Clase Integral 12 3 Solucionario
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Matemática Para Ingeniería (MA 261) Clase Integral 12.3
1. Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones justificando claramente sus respuestas:
a. Para cualquier valor x valor x se se cumple que cos cos1 x x . Falso. cos cos1 x x solo cumple si x 1;1
b. El CVA de la ecuación cos x tan x t an x es R. Falso. tan x debe existir y para que ello ocurra x ocurra x
c. La gráfica de ecuaciones paramétricas centro en
2
2
k . Luego CVA= R k , k Z .
x 4sent 2 es una circunferencia con radio 2 y y 4 c o s t 1
2; 1 .
Falso. x2
De x 4sent - 2 tenemos sent De y 4cost 1 tenemos cost
4 y 1 4
. .
Por otro lado sabemos que sen 2 t cos cos 2 t 1 , entonces: 2
2
x 2 y 1 2 2 1 o x 2 y 1 4 2 . 4 4 Es una circunferencia, pero de radio 4.
d. Los vectores 3; 5
y
3 5
;
2 2
son paralelos.
b, entonces 3; 5 =k Verdadero. Dos vectores a y b son paralelos si a=k b,
1
3 5
;
2 2
si k=-2.
2
2. Calcular el valor de: sen 1 sen cos 1 cos tan1 tan3 3 6
Lo pueden evaluar con la calculadora
3
6
0,1416... 1,4292...
2 ; 2 Recordar que cos1 (cos( x)) x solo si x al dominio restringido del coseno: 0; Recordar que tan 1 (tan( x)) x solo si x al dominio restringido de la tangente: ; 2 2 Recordar que sen1 (sen x) x solo si x al dominio restringido del seno:
3. Determinar la amplitud, el periodo y el desfase de: a) f ( x) 2 3sen(2 x) 6 cos(2 x)
La regla de correspondencia de la función f será expresada de la forma f ( x) k sen2 x , donde k =
2 3 6 2
2
4 3
Para determinar el valor de construimos el siguiente triángulo rectángulo:
f ( x) 4 3 sen 2 x
4 3 sen 2 x 3 6
Entonces: Amplitud = 4 3 2 Periodo = 2 Desfase =
6
(a la izquierda)
2
b) f ( x) 4sen(3 x) 4 cos(3x) La regla de correspondencia de la función f será expresada de la forma f ( x ) k sen3x , donde k = 42 42 4 2 Para determinar el valor de construimos el siguiente triángulo rectángulo:
f ( x) 4 2 sen 3 x
4 2 sen 3 x 4 12
Entonces: Amplitud = 4 2 2 Periodo = Desfase =
3
12
(a la derecha)
4. Simplifique la siguiente expresión: 2 tan x sec x
2tan x sec x
1 sen x
1 1 sen x
sen x 1 2 sen x 2 1 sen x 1 sen x cos x cos x 1 sen 2 x 1
1
2 sen x 2
cos x 0
cos x 1 tan x
sen x 1 cot x
2 sen x cos 2 x
sen x
1 tan x 1 cot x cos x sen x cos x sen x sen x cos x cos x
cos x
5. Demuestre la siguiente identidad: LI
1
cos 2 x
sen x
sen 2 x
cos x sen x cos x sen x cos x sen xcos x sen x
cos x sen x cos x sen x LD
3
cos x sen x
6. Determine el CVA y el CS de: a. 4 cos 2 t 1 4 cos t
CVA = R 4 cos 2 t 4 cos t 1 0
2 cos t 12 0
cos t
1 2
De donde 5 t 2k , k Z t 2k ; k Z 3 3 5 C.S. 2k ; 2k ; k Z 3 3
2k ; 2k ; k Z 3 3
También pueden responder: C.S.
b. (cos 2 x 0.4)(sen x 4)(tan x 1) 0
Como tan( x)
sen( x) cos( x)
entonces:
k / k Z , luego factorizando se tiene: 2
CVA = R x / cos( x) 0 R
(cos 2 x 0.4)(sen x 4)(tan x 1) 0 cos(2 x) 0.4 De donde 2 x cos 1 (0.4)
sen( x) 4 Como 1 sen x 1
2 x 73.80282391 2k , k Z
No existe sen x 4
x 36.90101196º k , k Z
CS2
tan( x) 1 De donde x tan 1 (1) x
4
k , k Z
CS3 k ; k Z 4
CS1 36.9º k ; k Z CS 36.9º k ; k ; k Z 4
4
7. Una torre de 125 pies se localiza en la ladera de una montaña que tiene una inclinación de 32º respecto de la horizontal. Se fijará un alambre de sujeción a la parte superior de la torre y se anclará en un punto a 55 pies colina abajo de la base de la torre. Determine la longitud del alambre.
Analizando los datos tenemos la siguiente figura:
125 pies
x 125
x
122°
55 pies
55
32º
32°
Aplicando la ley de cosenos, tenemos:
552 1252 255125cos122 x 161,047 x
2
Respuesta: La longitud del alambre es de aproximadamente 161,05 pies.
8. Desde la azotea de un edificio que da al mar un observador ve un bote navegando directamente hacia el edificio. Si el ojo del observador se encuentra a 40 metros sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión del bote cambia de 25º a 40º (durante el periodo de observación), determine la distancia aproximada que recorre el bote.
Según los datos, construimos la figura siguiente: De donde: 40 tan 40 y
25
y
40 tan 40
… (A)
40
40 m
tan 25
40 x y
x
40 tan 25
y … (B) 40
Reemplazando (A) en (B) x
40 tan 25
40 tan 40
y
25
x
38,110...
Respuesta: La distancia que recorre el bote es de aproximadamente 38,11 metros.
5
9. Determine la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos
1;3
y
4;1 utilizando vectores y luego elimine el parámetro de la ecuación paramétrica resultante.
Tenemos
que
P AB ,
y
además
P OA t AB .
Luego x; y 1; 3 t 4 1;1 3
1; 3 t 5 ; 2 Entonces la ecuación paramétrica de la recta es:
x 1 5t , t R y 3 2 t Ahora eliminamos el parámetro t , para ello tenemos: 2 x 2 10t
5 y
15 10t
Luego sumando 2 x 5 y 13 .
10. Determine las ecuaciones paramétricas del segmento cuyos extremos son los puntos A 2; 4 y
B 8; 6 . Tenemos que P AB , y además P OA t AB , t 0 ;1 Luego x; y 2; 4 t 8 2 ; 6 4
2; 4 t 6 ;10 Entonces la ecuación paramétrica de la recta es:
x 2 6t , t 0;1 y 4 10 t
6
11. Determine la ecuación paramétrica de la circunferencia que tiene por ecuación rectangular: x 2 2x y 2 4 y 1 0 donde las variables x e y se expresen como funciones sinusoidales.
Acomodamos la ecuación rectangular y completamos cuadrados
2 x 1 y 2 4 y 4 1 1 4 x 1 2 y 22 2 2 x 2
Reconocemos luego el centro 1; 2 y el radio igual a 2. Ahora determinamos la ecuación paramétrica considerando x 1 2sent y 2 2 cos t Luego x 2sent 1
, t 0 ; 2 y 2cos t 2
12. Grafique la curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
x 2t 3 y luego elimine el parámetro 2 y t 2 t
y expréselo como una ecuación rectangular. Tabulamos y graficamos t x y
-3 -9 3
-2 -7 0
-1 -5 -1
0 -3 0
1 -1 3
2 1 8
3 3 12
Ahora eliminamos el parámetro Tenemos que de x 2t 3 , t
x3 2
,
luego lo reemplazamos en y t 2 2t obteniendo 2
x 3 x 3 y 2 2 2 x 2 6 x 9 x 3 y 4 4 y x 2 6 x 9 4 x 12 Acomodando y completando cuadrados 4 y 21 x 2
10 x
4 y 21 25 x 2 2
10 x 25 2
4 y 1 x 5 o x 5
7
4 y 1
13. Grafique e indique el sentido de la curva de ecuaci ón
x 2sent , t 0; y 2cos t
Tenemos que x 2 y 2 2 2 , ecuación que representa una circunferencia de radio 2 y centro (0; 0) . Luego para graficar y ver el sentido tabulamos t x y
0 0 2
0 -2
/ 2 2 0
14. Sean los vectores: a 3; 4 y b PQ donde P 2; 3 y Q 4; 2 , determine:
a. 2a – 3b. b. La magnitud del vector 2a – 3b. c. La medida del ángulo que hay entre los vectores. d. Un vector c 5; n que sea ortogonal al vector a. e. El vector unitario de c. f.La proyección del vector a sobre el vector QP . a. Tenemos que b= 4 2; 2 3 6 ; 1 , luego 2a – 3b 2 3; 4 3 6 ; 1 12; 5 b.
2a 3b
122 52 13
c. Sabemos que cos
ab ab
3;4
3
2
6;1
4 2 6 2 12
22
5 37
22 43.6677... 5 37
Luego cos1 d. Como el vector 5; n
c
3;4 0 15 4n 0 n
luego
c
5;
15 4
0 . De este modo
es ortogonal al vector a, entonces
c a
15 4
.
e. El vector unitario de c es
c c
5;
15
5;
4
15 5 4
2
15 4
25
2
QP
a
4
5;
15
225
625
16
16
4
6;13;4 22 132 22 6 ; 1 6 ; 1 ; = 2 37 37 37 6;1
8
15
4 25
f. Se tiene: QP 6;1 Pr oy
5;
4 3 ; . 5 5
1 i ; i j 2 1 15. Sean las matrices: A 3 2 y B bij donde bij i 2 j ; i j , determine, sabiendo que j 1 ; i j 0 1 es posible hacerlo, el determinante de AB . Inicialmente debemos determinar i y j; para ello, si AB tiene determinante entonces debe ser una matriz cuadrada. De este modo A 32 B i j
AB 33 , luego i 2 y j 3 .
2 1 1 4 2 1 1 2 1 1 2 Ahora hallamos B y luego AB 3 5 1 10 2 1 2 2 1 2 2 0 1 1 2 2 Finalmente usando menores el
1 10 5 10 5 1 4 112 2 113 2 2 1 2 1 2 - - 12 2 10 4- 52 110 2- 5 2 1 1 18 0 18 0 11
det B 1
16. Determine la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la eliminación gaussiana e indicando el tipo de sistema que es basado en el conjunto solución: 2 y z 1 3 x 2 y z 4 3 x 2 y z 3
a.
x y 2 z 3 y z 2 x 1
b.
x y z 4 4 x y 4
c. x y z 1 4 x y 4
En cada caso obtenemos su matriz aumentada y mediante operaciones elementales por fila la transformaremos a su forma escalonada por filas respectivamente. a.
0 2 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 0 2 1 1 F 1 F 2 0 2 1 1 2 F 1 F 3 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 3 7 1 1 2 3 1 1 2 3 0 1 3 7 0 1 3 7 2 F 2 F 3 0 2 1 1 0 0 5 15 F 2 F 3
x y 2 z 3 Luego y 3 z 7 , de donde obtenemos x 1 , y 2 y z 3 . 5 z 15 Entonces el sistema es compatible determinado y su CS 1; 2; 3 .
9
3 2 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 F 1 F 2 3 F 1 F 2 b. 1 1 1 4 3 2 1 4 0 5 4 16 4 F 1 F 3 4 1 0 4 4 1 0 4 0 5 4 20 1 1 1 4 0 5 4 16 F 2 F 3 4 0 0 0 x y z 4 Luego 5 y 4 z 16 , de donde CS , es decir el sistema es incompatible. 04 c.
3 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 F 1 F 2 3 F 1 F 2 3 2 1 3 0 5 4 0 4 F 1 F 3 4 1 0 4 4 1 0 4 0 5 4 0 1 1 1 1 0 5 4 0 F 2 F 3 0 0 0 0 x y z 1 4 5 t , entonces haciendo z t obtenemos y t y x 5 5 5 y 4 z 0
Luego
5 t 4 ; t ; t ; t R 5 5
Por lo tanto el sistema es compatible indeterminado y su CS
1
2 4 3 2 AI , 2 1 a constantes a, b, c y d , siendo I una matriz identidad y A c d
17. Resuelva la ecuación matricial
0
1
0
2
4
indicando los valores de las b
.
0
a b 1 0
Tenemos inicialmente que AI=A, entonces: d 2 1 3 2 c 0 0 1
d 2
4 a b
Operando tenemos 2d 3 d 2 c 0 Luego
d 2 a
(1)
-4 b
(2)
2d 3 c
De (4) d -2 , en (3) c 1 , de (2) b -4 y en (1) a -4 .
10
(3)
- d 2 0
(4)
1 4 2 18. Dada la matriz B 0 2 3 , determine B e indique si la matriz es singular. 1 3 5
Hallamos B considerando las entradas de la fila 2. B
1 2 1 4 3 123 1 5 1 3 2 15 12 3 13 14 2 3 3 1 3 0 2 122
De este modo B
0 por lo tanto B no es una matriz singular.
19. Dos especies de insectos se crían juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los días se les proporcionan dos tipos diferentes de alimento. Cada individuo de la especie 1 consume 5 unidades del alimento A y 3 unidades del alimento B y cada individuo de la especie 2 consume 2 unidades del alimento A y 4 unidades del alimento B. Todos los días los técnicos del laboratorio suministran a los insectos 900 unidades del alimento A y 960 unidades del alimento B. ¿Cuántos insectos hay de cada especie?
Ordenamos la información en la siguiente tabla: Alimento A Especie 1 5 Especie 2 2 Total 900 Sea x el número de insectos especie 1 Sea y el número de insectos especie 2 Planteando las ecuaciones
Alimento B 3 4 960
2 1 180 5 5 x 2 y 900 5 2 900 1 1 f ; f f 1 f 2 1 2 4 3 x 4 y 960 3 4 960 5 3 1 320 3 2 1 180 2 15 1 180 5 de donde: x 120 e y 150 14 f 2 5 14 0 140 0 1 150 15 Luego existen 120 insectos de la especie 1 y 150 insectos de la especie 2
11
20. Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas, estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dada por:
Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los cuatro productos en un día de 8 horas, bajo el supuesto de que cada máquina se usa las ocho horas completas y que al menos se requiere producir una unidad de cada producto.
Sea x el número de unidades que se deben producir del producto 1 y el número de unidades que se deben producir del producto 2 z el número de unidades que se deben producir del producto 3 w el número de unidades que se deben producir del producto 4 Como cada máquina trabaja 8 horas diarias tenemos: x 2 y z 2w 8
z w 8 x 2 y 3 z 8 x 0, y 0, z 0, w 0 ; x, y, z , w N 2 x
Aplicando eliminación gaussiana tenemos:
1 2 1 2 2 0 1 1 1 2 3 0 2 z 2w 0 ;
8
1 2 1 2 8 2 f 1 f 2 0 4 1 3 8 luego 8 f 1 f 3 0 0 2 2 0 8 4 y z 3w 8 ; x 2 y z 2w 8 ; haciendo w t z t , x 4 t ; y 2 t por las condiciones antes mencionadas 0 t 2 t 0;1;2 y como se debe de producir al menos una unidad de cada producto entonces t 1 Luego, se deben producir 3 unidades del producto 1 y una unidad de los productos 2, 3 y 4.
12
21. Se va a construir un gran edificio de departamentos usando técnicas de construcción modular. La distribución de los departamentos en cualquier piso se escoge entre uno de tres diseños de piso básicos. El diseño A tiene siempre 18 departamentos en un piso e incluye 3 departamentos con tres dormitorios, 7 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio. Cada piso del diseño B tiene siempre 4 departamentos con tres dormitorios, 4 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio. Cada piso del diseño C tiene siempre 5 departamentos con tres dormitorios, 3 con dos dormitorios y 9 con un dormitorio.
a) Formule un modelo matemático que permita diseñar el edificio con exactamente un total de 66 departamentos con tres dormitorios, 74 departamentos con dos dormitorios y 136 departamentos con un dormitorio. b) Resuelva el modelo obtenido en (a) e indique si es posible diseñar tal edificio. Si se pudiera, ¿hay más de una manera? Explique su respuesta. Sea x el número de pisos del diseño A y el número de pisos del diseño B z el número de pisos del diseño C Ordenamos la información en la siguiente tabla: 3 dormitorios 2 dormitorios 1 dormitorios Diseño A 3 7 8 Diseño B 4 4 8 Diseño C 5 3 9 total 66 74 136 Planteamiento: x 0, y 0, z 0 ; x, y, z N 3 x 4 y 5 z 66
5 66 3 4 5 66 3 4 2 f 1 f 2 7 x 4 y 3 z 74 7 4 3 74 1 4 7 58 f 1 f 2 3 f 1 f 3 8 8 9 136 1 4 6 62 8 x 8 y 9 z 136
1 4 7 58 1 4 7 58 3 f f 1 2 3 4 0 16 26 240 1 f f 5 66 2 3 2 f 1 f 2 1 4 6 62 0 8 13 120 x
t 2
2
1 4 7 58 x 4 y 7 z 58 13t 0 8 13 120 8 y 13 z 120 y 15 8 0 0 z t 0 0 z t t puede ser 0 u 8; luego, para que se cumpla lo solicitado existen dos posibilidades:
I.- Cuando t = 0 2 pisos del diseño A 15 pisos del diseño B 0 pisos del diseño C II.- Cuando t = 8 6 pisos del diseño A 2 pisos del diseño B 8 pisos del diseño C
13
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