Clase - Formacion de Ybus y Zbus

Formación de Y bus y

bus

Computación Aplicada a Sistemas de Potencia

ro . erm n osas r z SEPI‐ESIME‐Departamento de IE Edificio Z‐4 Primer Piso

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Formación de matrices de incidencia Diagramas unifilares

•Un sistema de potencia trifásico es balanceado por naturaleza. •El uso de diagramas que indiquen las tres fases no es necesario y com lica lica mas mas los los est estudi udios. os. •El uso de diagramas representando una fase simplifica los cálculos y la visualización de resultados Sistemas en en por   por unidad  unidad 

•La normalización de cantidades eléctricas hace mas sencillo entender los cálculos. •Puede llevar a errores de redondeo si no se considera la precisión adecuada.

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Formación de matrices de incidencia El método El  método por   por unidad  unidad en en diagramas unifilares Las ecuaciones básicas de voltaje, corriente y potencia aparente son V [volt ]=Z[ohm]∙ I[ampere] =

=

De donde V; I; Z  I;  Z ; VA (o S): cantidades complejas; I* : el conjugado de I Ahora ara convertir en u las cantidades V Z I VA se introducen las cantidades Ibase ; Z   ;  Z base ; VAbase , V base

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Formación de matrices de incidencia El método El  método por   por unidad  unidad en en diagramas unifilares Todas las cantidades base son escalares (números reales o vectores con /0°  con  /0° ) y deben satisfacer las siguientes ecuaciones: V  volt = Z  ohm ∙ I am ere VAbase[volt ampere]= Vbase[volt]∙ Ibase[ampere]

(2)

VAbase [volt ampere] Ibase [ampere] = V base [volt] V

volt

Zbase [ohm] =

V 

2

= Ibase [ampere]

[ohm] VAbase

(3)

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Formación de matrices de incidencia El método por unidad en diagramas unifilares Se puede seleccionar cualquier valor arbitrario para el voltaje base V  ara la ca acidad base del sistema VA Sin embargo, la corriente base Ibase y la impedancia base Z base del seleccionados de V base y VAbase para satisfacer las ecuaciones (2) y (3).

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Formación de matrices de incidencia El método por unidad en diagramas unifilares Las ecuaciones (1) pueden convertirse en por unida usando las cantidades base de las ecuaciones 2 como se muestra V 

 Z  =

V base

∙

Z base

VA

Ibase

P+jQ =

VAbase

I

P =

VAbase

Q +

VAbase

V  =

VAbase

I* 4

∙

V base

Ibase

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Formación de matrices de incidencia El método por unidad en diagramas unifilares Utilizando una barra sobre las variables para indicar valores en pu se tiene V  =  Z  ∙ I VA = P+jQ = V  ∙ I* De donde V   Z  I* VA P V =  Z = I* = VA = P= V base Z base Ibase VAbase Pbase

Q

I*

= I*= Qbase Ibase

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Formación de matrices de incidencia El método por unidad en diagramas unifilares Las cantidades en por unidad V, Z, I, VA, P+jQ son cantidades en números com le os adimensionales Las ecuaciones en (4) son las mismas que las ecuaciones en (1) Las relaciones de fase de los vectores en (4) se preservan en (1) debido a que todas las cantidades base son elegidas como escalares (vectores con ángulo cero)

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Formación de matrices de incidencia El método por unidad en diagramas unifilares Claramente las cantidades en por unidad pueden ser cambiadas a sus valores reales con sus dimensiones individuales usando las ecuaciones siguientes: =

∙

base

,

=

·  base , =

·  base

VA = VA · VAbase , P = P · Pbase , Q = Q ·  Qbase

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Formación de matrices de incidencia El método por unidad en diagramas unifilares Gráficamente el concepto en pu es como sigue Condición del sistema con valores prácticos V, I, Z, VA

onvers n a p.u. V  V =

Análisis

base

Cantidades base Vabase, V base

Ibase, Z base

Conversión a valores prácticos V = V  ∙ V base

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Formación de matrices de incidencia Ejemplo: a) Resuelva para Z, I y S en el puerto ab de la figura siguiente 8 Ω

I 

100/_0° volts

 j12 Ω

-j6 Ω b

b) Repita lo anterior pero usando valores pu con Vbase=100v y Sbase = 1000 VA. Dibuje el correspondiente circuito en pu

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Formación de matrices de incidencia 8 Ω

I 

 j12 Ω

a

Ejemplo: a) Solución.

100/_0° volts

-j6 Ω b

 Z = 8 + 12 – 6 = 8+ 6 = 10  _ 36.9°  ohms I = V ab /Z ab = 100/_0° / 10 /_36.9° = 10 /_‐36.9 ° amperes S = V ∙I* = (100/_0°) ∙(10/_‐36.9°)* = 1000 /_36.9° = 800 + j600 VA P = 800 W y Q = 600 var

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Formación de matrices de incidencia Ejemplo: b) Repita lo anterior pero usando valores pu con Vbase=100v S = 1000 VA. Dibuje el correspondiente circuito en pu. Solución  Z base = V 2base /Sbase = (100)2 /1000 = 10 Ω Ibase = Sbase /V base = 1000/100=10 amperes V = V = 100  _0°  100 = 1 _0°  u  Z = Z  pu = (8 + j12 –j6)/10 = (8+j6)/10 = 0.8+j0.6 pu = 1 /_ 36.9° pu

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Formación de matrices de incidencia Ejemplo: b) Repita lo anterior pero usando valores pu con Vbase=100v S = 1000 VA. Dibuje el correspondiente circuito en pu. Solución S = S pu = V  pu∙I pu* = (1/_0°) ∙(1/_‐36.9°)* = 1 /_36.9° = 0.8 + j0.6 pu Regresando a valores reales (SI) I = (I pu )∙(Ibase ) = (1/_‐36.9°) ∙(10)= 10/_‐36.9° amperes  Z= Z  ∙ Z = 0.8+ 0.6 ∙ 10 = 8+ 6 Ω S = (S pu )∙(Sbase )=(0.8+j0.6)(1000)=800+j600 VA

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Formación de matrices de incidencia Los elementos de la red eléctrica son modelados cada uno de ellos por sus circuitos equivalentes en términos de inductancias, resistencias y capacitancias. Cada unidad constituye una red eléctrica por si misma y su interconexión constituye el sistema de transmisión. Cualquier método de describir los sistemas de transmisión debe obedecer las leyes de Kirchhoff. Los métodos de mallas y el de nodos son normalmente usados

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Formación de matrices de incidencia El análisis nodal es mas adecuado para la aplicación en computadoras digitales. ¿Por qué? Se usa casi exclusivamente para cálculos rutinarios de red La técnica de análisis nodal tiene las siguientes ventajas 

diagrama de circuito es muy simple. La preparación de datos es simple. numero e var a es y ecuac ones resu an e es comúnmente menor que con el método de mallas.

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Formación de matrices de incidencia Ramas que puentean a la red no presentan dificultad. Ramas en paralelo no incrementan el numero de variables o

ecuaciones Los volta es nodales se encuentran dis onibles directamente de la solución y las corrientes de rama puede ser fácilmente calculadas

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Formación de matrices de incidencia Elementos del sistema que requieren un modelo equivalente: Modelado de líneas de transmisión Modelado de transformadores Modelado de maquinas eléctricas (generadores)

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Formación de matrices de incidencia En el método de análisis nodal (aplicado a redes eléctricas), las variables son los voltajes y corrientes nodales complejos (bus) considerando la designación de algunas referencias. Normalmente dos referencias son ele idas: Para magnitudes de voltaje la referencia es la tierra, Para ángulos de voltaje la referencia se elije como el ángulo de , . Una corriente nodal es la corriente neta entrando (inyectada) a la red en el nodo dado, desde una fuente y/o carga externa a la red. De la definicion anterior, una corriente entrando tiene signo ositivo mientras ue una corriente saliendo es ne ativa. La suma algebraica de estas corrientes representa la corriente neta nodal.

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Formación de matrices de incidencia Se puede usar este razonamiento tambien para potencias nodales inyectadas S = P + jQ.

En este método es conveniente usar admitancias de rama en lugar de impedancias

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Formación de matrices de incidencia Considerando los voltajes de los nodos k e i como E k  y E i  respectivamente y la admitancia de la rama entre ellos denotada como Y ki  se tiene que la corriente fluyendo en esta rama del nodo k al nodo i esta dada or Iki =y ki (E k ‐E  ) i 

(1)

Se numeran los nodos de la red 0,1,…,n donde 0 designa al nodo de referencia (tierra). Usando la ley de Kirchoff de corrientes, la corriente inyectada Ik  debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del nodo k por lo que  I k 

n

I i 0

n

ki

  yki ( Ek  E i ) i 0

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Formación de matrices de incidencia Dado que E 0=0 y si el sistema es lineal  I k 

n

y i 0 k

ki

n

y

Ek 

i 1k

ki  

E i

Si esta ecuación se escribe para todos los nodos excepto la referencia, es decir, para todos los buses en el caso de una red , definiendo la red se obtiene en forma matricial como I 1 I 2  I n 

= 

Y 11

Y 12 

Y 1n 

E 1

Y 21

Y 22 

Y 2n 

E 2 

Y n1

Y n2 

Y nn 

E n 

(5)

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Formación de matrices de incidencia De donde Ykk 

n

yki  admitancia propia del nodo k 

i 0  k 

Y   

 admitancia mutua entre nodos k e i 

, I = Y ∙E 

(6)

o en forma de suma n k

ki i 1

i

ara i=1 … n

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Formación de matrices de incidencia Las matrices de admitancia nodal de las ecuaciones 4 y 5 tienen una estructura bien definida, lo cual hace sencillo construirlas de forma automática. Sus propiedades son las siguientes: Cuadrada de orden nxn Simétrica, ya que y ki =y ik  Compleja ki 

admitancia de rama entre los nodos k e i y frecuentemente tiene un valor de cero  Cada elemento diagonal y kk  es la suma de la admitancia de las ramas que terminan en el nodo k , incluyendo ramas a tierra  Debido a ue en todas las redes racticas exce to las pequeñas) muy pocas admitancias mutuas existen, la matriz resultante es altamente dispersa

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Formación de matrices de incidencia Consideraciones: Los generadores se pueden representar en el estado estable por un circuito e uivalente considerando:  I 

f.e.m. cte. E S a

Voltaje en terminales V 

 Z a

 E S 

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Formación de matrices de incidencia Consideraciones:  I 

 s

Y a

red 

V 

De tal forma que  ES  IZ a  V   I S 

→

 E S   Z a

 I  VY a

de donde:

Y a 

1

 Z a

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Formación de matrices de incidencia

. . . s a por una fuente de corriente Is y su admitancia en paralelo Y a siempre que  I S  

 E S   Z a

y

Y a 

1

 Z a

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Formación de matrices de incidencia Se considera que las fuentes E s e Is son aplicadas externamente en los nodos de las redes de transmisión, los cuales consisten únicamente de ramas pasivas. Los subíndices a y b distinguen cantidades de rama de las de nodo Los nodos se identifican por m,n,p y q o números La impedancia de rama o la admitancia de rama son conocidas como impedancia elemental o admitancia elemental res ectivamente con dos variables asociadas V  e I

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Formación de matrices de incidencia La ley de corrientes de Kirchhoff  es la base de algunas excelentes soluciones computacionales de los problemas de sistemas de potencia.

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Formación de matrices de incidencia

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Formación de matrices de incidencia Aplicando al nodo 1 (V1  V3 )Yc  (V1  V2 )Yd  (V1  V4 )Y f    0

Aplicando al nodo 3 3 a

3



2

b

3



1

c



3

Rearreglando ecuaciones

en el nodo 1 en el nodo 2

V1 (Yc  Yd  Y )  V2 (Yd )  V3 (Yc )  V4 (Y  )  0

V1 (Yc )  V2 (Yb )  V3 (Ya  Yb  Yc )  I 3  

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Formación de matrices de incidencia

V1 (Yc  Yd  Y f )  V2 (Yd )  V3 (Yc )  V4 (Y f  )   0

V1 (Yd )  V2 (Yb  Ye  Yd )  V3 (Yb )  V4 (Ye )   0 V1 (Yc )  V2 (Yb )  V3 (Ya  Yb  Yc )  I 3   V1 (Y f )  V2 (Ye )  V4 (Ye  Y f  Y g )  I 4  

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Formación de matrices de incidencia V1 (Yc  Yd  Y f )  V2 (Yd )  V3 (Yc )  V4 (Y f  )   0

V1 (Yd )  V2 (Yb  Ye  Yd )  V3 (Yb )  V4 (Ye )   0 V1 (Yc )  V2 (Yb )  V3 (Ya  Yb  Yc )  I 3   V1 (Y f )  V2 (Ye )  V4 (Ye  Y f  Y g )  I 4   1 ,

2 ,

3

4

* Una ecuación para el nodo de referencia no da información adicional

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Formación de matrices de incidencia El formato acostumbrado para la matriz de cuatro ecuaciones

1 1 2

4

2

3

4

11

12

13

14

1

1

31

32

33

34

3

3

Y Y Y Y   V   I    21 22 23 24   2    2     Y Y Y Y    41 42 43 44  V4 

   I 4 

El orden de subíndices Y es causa efecto: el primero es el nodo del que se expresa la corriente, el segundo es el del voltaje que causa esta componente e corr ente

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Formación de matrices de incidencia La matriz Y es conocida como matriz de admitancias de bus Y bus y se forma de la siguiente manera:  los elementos de la dia onal Y  son i uales a la suma de las

admitancias que están directamente conectadas al nodo j  los elementos fuera de la diagonal Y ij  son iguales al negativo

Las admitancias de la diagonal son las admitancias propias de los nodos y las que están fuera de la diagonal son las admitancias mutuas de los nodos.

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Formación de matrices de incidencia Para el mismo ejemplo se tiene que la matriz de admitancias de bus es entonces 1 1 2 2 4

2

3

4

Yd Yc Y f       (Yc  Yd  Y f )  Yd Yb Ye    (Yb  Yd  Ye ) Yc Yb (Ya  Yb  Yc )   0      Y  Y Y  Y  Y   0 ( )  f e e f g   

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Formación de matrices de incidencia Se puede separar la entrada que corresponda a cualquier bus o nodo del sistema (por ejemplo Y c) para tener 1 1

Y bus 

2

4

   

d

2 f

Yd Y f 1 2 2 4

 d (Yb  Yd  Ye )  Ye  Yc  0  Yc   0

Y c 0  0 0 0 0 Y c 0  0 0 0 0

3

Yb a

0

4

 f   Ye     

(Ye  Y f  Yg )   

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Formación de matrices de incidencia La matriz (o submatriz) correspondiente al elemento Y c puede escribirse de la siguiente forma: 1

2

.

c

2 2 4

 . .  Yc .   . .



3

4 c

.

Y c

.

.

.

1

2

3

  1 

 

.

o en forma compacta como sigue: 1

.

Y c  1



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Formación de matrices de incidencia Esta matriz mas pequeña es una matriz compacta de almacenamiento la cual mediante subíndices indica los elementos (filas y columnas) a los que pertenece 1 1 2

3

 1 1 Y c  1 1 

Esta matriz es un bloque de construcción importante para forma Y bus en redes mas generales.

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Formación de matrices de incidencia Si invertimos la matriz original Y bus, obtenemos el equivalente de Z bus,

1 1 1

 Z bus  Y bus 

2

11

12

 Z Z 22  21 31

4

2

32

  Z 41 Z 42

3

4

13

Z 23 33

Z 43

14

Z 24 



34



Z 44 

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Formación de matrices de incidencia Ejemplo de formación de Y bus Se muestra el diagrama unifilar de un pequeño sistema de potencia. Las reactancia se encuentran en por unidad. Un o enerador con una f.e.m. de 1.250 or unidad se conecta a

través de un transformador al nodo ③ de alto voltaje mientras un motor con un vo ta e nterno e o 0.85  45 se conecta de manera similar al nodo ④. Desarrolle la matriz de admitancias de nodo para cada una de las las ecuaciones de admitancias de nodo del sistema

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Formación de matrices de incidencia Se tiene entonces el siguiente diagrama de reactancias de la red La referencia es el ⓪ y las nodo reactancias y voltajes .

o

1.250

o

0.85  45

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Formación de matrices de incidencia Solución:

Del diagrama de reactancias anterior se pueden combinar las reactancias pertenecientes al generador, motor y a los transformadores elevadores reductores res ectivamente. Una vez hecho esto se pueden sustituir estos por un equivalente de fuente de corriente y tratarse como inyecciones de corrientes de acuerdo con los subíndices de sus corrientes y voltajes. Por ejemplo la rama entre los nodos ① y ③ se denomina rama c. La admitancia de cada rama es simplemente el reciproco de la impedancia de la rama. El diagrama de admitancias resultante se muestra a continuación.

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Formación de matrices de incidencia Diagrama de admitancias en por unidad del ejemplo con fuentes de corriente en lugar de las de voltaje

o

1  90

o

0.68  135

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Formación de matrices de incidencia Al utilizar la forma de bloques descrita en LCK (por congruencia se asignan los números de nodo en las direcciones de las corrientes de rama del circuito anterior) Se tiene:

③ a

③ ② ③  1 1 ②  1 1 

② ① ②  1 1 ①  1 1 

d 

b

③ ① ③  1 1 ①  1 1 

④ ② ④  1 1 ②  1 1 

e

④ c

④ ① ④  1 1 ①  1 1 

g 

f 

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Formación de matrices de incidencia Al combinar los elementos de las matrices anteriores que tienen etiquetas idénticas de fila y columna se obtiene

1 2 2 4

Yd Yc Y f      (Yc  Yd  Y f )  Yd Yb Ye    (Yb  Yd  Ye ) Yc Yb (Ya  Yb  Yc )   0         0 ( ) Y Y Y Y Y    f e e f g   

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Formación de matrices de incidencia Si se sustituyen los valores numéricos de las admitancias de rama en la matriz se obtienen las ecuaciones de admitancias de nodo de toda la red

j8.0 j 4.0 j 2.5  V 1    j14.5   j8.0  j17.0 j 4.0 j 5.0  V 2   j8.8 0.0  V 3  j 4.0   j 4.0     j j  j 2.5 5.0 0.0 8.3   V 4 

 

0 0

 

 1.0  90o   o   0.68 135  

de donde V 1 , V 2 , V 3 y V 4 son los voltajes de los nodos medidos con res ecto al nodo de referencia e I =0 I =0 I =1.00  ⁄    _ 90o e  I 4=0.68  ⁄    _-135o son la corrientes externas que se inyectan a los nodos del sistema

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Formación de matrices de incidencia Algoritmo computacional para la formación de Y bus

Descripción del código empleado en Matlab

. para entregar en dos semanas (10 noviembre 2010)