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Ecuación Constitutiva Para obtener la ecuación constitutiva de un sistema estructural, o como se verá, de la estructura, se debe partir con las de los elementos, que por ahora centraremos en La barra axial-flexural esbelta, prismática, lineal elástica; en ella son relevant relevantes es el el x), el esfuerzo de corte esfuerzo axial N( x) V( x) x) y el momento flector M( x) x), para el que se invocará la hipótesis de Navier, y su complemento propuesto por Jourawski 2
Tensi ensione oness Tangen angencia ciales les
3
~ U en Términos de Esfuerzos Se partirá especializando la fórmula para la barra axial-flexural, para la que la llamada hipótesis de Navier dice que y la teoría de distribución de tensiones de corte de Jourawski que conduce a las deformaciones tangenciales 4
~ U en Términos de Esfuerzos 2 con lo que al reemplazar en el integrando se tiene
y separando los términos que no son función de punto en la sección, y sólo lo son de x
5
~ U en Términos de Esfuerzos 3 En la fórmula se reconocen de inmediato pero el término requiere nuevamente invocar la teoría de Jourawski para remplazar y escribir 6
~ U en Términos de Esfuerzos 4 en que el área de corte está dada por En conclusión, el trabajo interno se puede escribir como la expresión
en la que se remplaza las distribuciones de esfuerzos internos reales y virtuales 7
~ U en Términos de Esfuerzos 5 en que el área de corte está dada por En conclusión, el trabajo interno se puede escribir como la expresión
en la que se remplaza las distribuciones de esfuerzos internos reales y virtuales 8
~ U en Términos de Esfuerzos 6 usando la conocida figura de análisis
para escribir para los esfuerzos reales
9
~ U en Términos de Esfuerzos 6
en que los esfuerzos son los causados por las cargas locales en la viga con condiciones de simple apoyo, con el deslizante en el nudo 1 y la rótula en el 2; Nl ( x) es el esfuerzo axial debido a la carga rasante, Ml ( x) es el momento flector debido a la carga normal, y Vl ( x) el esfuerzo de corte, derivada del momento De la misma figura los valores de los esfuerzos virtuales quedan dados por 10
~ U en Términos de Esfuerzos 7
con lo cual al reemplazar queda
11
~ U en Términos de Esfuerzos 8
que definiendo las cuadraturas
12
~ U en Términos de Esfuerzos 9
y en definitiva se tiene
13
~ U en Términos de Esfuerzos 10 o definiendo la matriz de flexibilidad
y el vector de deformaciones debidas a la carga local
la forma matricial ~i
~ iT i i F J F
~ iT l i F f 14
~ U en Términos de Esfuerzos 11 Estas cuadraturas tienen una forma que puede entusiasmar en aplicarlas a barras no prismáticas; a más de que en rigor no son válidas si la sección varía a lo largo de la barra, el uso en tal caso tiene el inconveniente de falsear parte del comportamiento; por ejemplo,
15
~ U en Términos de Esfuerzos 12 Para la barra prismática las cuadraturas son
en que el efecto de las deformaciones por corte si visualiza de escribir concluyéndose cuando
que
es
despreciable 16
La Ecuación de Flexibilidad Como ya sabemos de la transparencia 6 ~i U
~ T f i
Fi
por lo que se tiene que ~iT i F f
~ iT i i F J F
~ i T f l i F
y considerando la arbitrariedad del esfuerzo virtual, la ecuación de flexibilidad de la barra f i J i F i
fl
i
Es evidente que el conjunto de todas estas ecuaciones de flexibilidad de las 17
La Ecuación de Flexibilidad 2 barras lleva a la ecuación formalmente semejante, correspondiente a una propiedad de sistema, f J F f l
en el entendido que considerando los vectores de ordenamiento, ai, la matriz J y el vector f l se obtienen de las secuencias ˆ
J 0 mm J ai ai J i ˆ
ˆ
0 m,1
fl
for i 1,2,
b
f
l
a ˆ
i
f
li
for i 1,2,
b 18
El Método General Tenemos ahora para el sistema estructural las tres ecuaciones, de estática, cinemática, y de flexibilidad, que escribiremos en orden inverso, f J F f l
C Tq C F Q Q l
f
que por supuesto no se pueden resolver; pero que si se incorporan los GsDL restringidos r , con la estrategia 19
El Método General 2 quedará
f J F f l
f
r
C T q f CFQ
C C r : Q Qr Q r q q r r C q f r : r
con
l
T
que es un sistema de 2m+n-r ecuaciones con 2m+n-r incógnitas que ciertamente se puede resolver siempre; pero mejor aún sin costo alguno se puede eliminar la incógnita f , y obtener elsistema de m+n-r ecuaciones con m+n-r incógnitas 20
El Método General 3 J F C T q f r f l CFQ
que se escribe matricialmente Gx b
Al definir los vectores de dimensión m+n-r y la matriz cuadrada de la misma dimensión l f f b Q
F x q “
r
J G C
C T 0
”
Es gratis hacer la ecuación simétrica 21
El Método General 4 Como se podía esperar, cambiándole de signo a la ecuación de equilibrio, F x q
l f f b Q r
J G C
C T 0
pero en ciertas circunstancias puede no convenir; por ejemplo, al resolver con MATLAB, porque la matriz G no es positiva definida, y el programa hará primero un intento inútil de emplear el Método de Choleski para resolver, antes 22
de abordarla con LU con pivoteo parcial
23
Ejemplo del Método General Consideraremos un ejemplo no trivial; el ya visto, pero que con rótulas fijas en lugar de deslizantes es indeterminado
Empezaremos reproduciendo la formación de la matriz de equilibrio, pero bajo la forma full y no de la sparse 24
Ejemplo del Método General 2 a = 1; b = 2; c = 0.4; P=1; E = 1; A = 1; I = 1; [C1,L1,cs1,sn1] = axibend_C(0,0,a,0); [C7,L7,cs7,sn7] = axibend_C(0,b,a,a+c); [C8,L8,cs8,sn8] = axibend_C(b,2*b,a+c,a); C = zeros(56,48); a = [19 20 21 1 2 3]; for i=1:6 i3 = 3*i; C(a,i3-2:i3) = C1; a = a + 3; end a = [19 20 21 37 38 52]; d = [3 3 3 3 3 1]; for i=7:2:15 i3 = 3*i; C(a,i3-2:i3) = C7; a = a + d; end
24
Ejemplo del Método General 3 a = [37 38 39 22 23 24]; for i=8:2:16 i3 = 3*i; C(a,i3-2:i3) = C8; a = a + 3; end Cr = C; r = [1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17]; Cr(r,:) = []; Qr = zeros(56,1); Qr(38:3:50) = -P*ones(5,1); Qr(r,:) = []; J1 = A_B_J(L1,E,A,I); J7 = A_B_J(L7,E,A,I); J = zeros(48,48); 25
Ejemplo del Método General 4 for i=1:6 i3 = 3*i; J(i3-2:i3,i3-2:i3) = J1; end for i=7:2:15 i3 = 3*i; J(i3-2:i3,i3-2:i3) = J7; end for i=8:2:16 i3 = 3*i; J(i3-2:i3,i3-2:i3) = J7; end G = [J -Cr' Cr zeros(44,44)]; b = [zeros(48,1); Qr]; x =G\b; 26
Ejemplo del Método General 5 F = x(1:48); qr = x(49:92); bPrint2('F','qr') function J = A_B_J(L,E,A,I) J = [ 1/I/3 -1/I/6 0 -1/I/6 1/I/3 0 0 0 1/A]; J = L*J/E;
|Mat 'F':
1| 2| 3|
|Mat 'qr': 1| -0.3897| 0| -0.2728|
1|
-0.9677 -0.1151 0.003842 27
Ejemplo del Método General 6 4| 5| 6| 7| 8| 9| 10| 11| 12| 13| 14| 15| 16| 17| 18|
0.3416| -2.776e-017| -1.215| 0.0171| 0| -1.012| -0.0171| 0| -1.012| -0.3416| 0| -1.215| 0.3897| 0| -0.2728|
-0.003842 0.1151 0.9677 1.033 -0.2728 -1.163 0.05814 -1.215 0.05574 -0.006692 -1.012 0.01239 0.006692 -1.012 -0.01239 28
Ejemplo del Método General 7 19| 20| 21| 22| 23| 24| 25| 26| 27| 28| 29| 30| 31| 32| 33| 34| 35|
0.3897| -0.05814 4.374e-016| -1.215 -0.4357| -0.05574 -3.071e-016| -1.033 -1.298| -0.2728 -0.5248| 1.163 0.9568| 0.7323 -4.814e-017| -3.302 -0.1429| 1.38 2.957e-016| 0.01028 -1.005| -2.462 -0.1476| 1.037 0.9876| -9.238e-017 1.82e-016| -2.381 -0.1285| 0.9948 -1.949e-016| -0.01028 -0.9876| -2.462 29
Ejemplo del Método General 8 36| 37| 38| 39| 40| 41| 42| 43| 44| 45| 46| 47| 48|
-0.1285| 1.005| 3.58e-016| -0.1476| 1.51e-016| -0.9568| -0.1429| 1.298| 3.864e-016| -0.5248| -1.591e-016| -0.3897| -0.4357|
0.92 -0.7323 -3.302 1.56 -1.56 -0.92 -0.9948 -1.037 -1.38
30
Determinación Cinemática A veces se habla de determinación cinemática o determinación geométrica para referirse a algo que no es más que un sistema de un GDL El real concepto debe definirse a la luz de la dualidad estático-geométrica La determinación estática se da cuando de la ecuación Q
C F
la matriz de equilibrio es cuadrada y se 31
Determinación Cinemática 2 puede invertir para obtener los esfuerzos, dadas las cargas; porque obtener las cargas en equilibrio con cualquier conjunto de esfuerzos no es ninguna gracia; se puede hacer siempre En el caso de la ecuación f
C Tq
la gracia es que se puedan obtener directamente los desplazamientos compatibles con deformaciones dadas, 32
Determinación Cinemática 3 porque al revés, siempre es posible Y la condición es por supuesto que se pueda invertir la traspuesta de la matriz de equilibrio, que es equivalente a que sea invertible la matriz de equilibrio misma Los dos caso especiales son el mismo; si la estructura que es estáticamente determinada, es cinámicamente determinada, y viceversa 33
El Método de Rigidez Una estrategia de solución del Método General es tomar la ecuación combinada J F f l C T q y despejar el vector -1 l F J -1C T q J f para luego remplazar en la ecuación de estática l -1 T l Q Q C J C q J f CJ -1C T q Q Ql CJ -1f l
-1
34
El Método de Rigidez 2 que se escribe como la ecuación rigidez del sistema estructural
de
K q Q Q f
en que
K CJ -1C T Q f
Ql CJ -1f l
y que al imponer las condiciones de vinculación queda K r r q r K r r q r Q Q r
r
la ecuación de rigidez de la estructura 35
de n-r ecuaciones con n-r incógnitas
36
El Método de Rigidez 3 KqQ
en que
K K r r
Q
y si se desea
Q r Q r K r r q r
F J
C
r:
-1
C
T
q
f
l
q r
o bien definiendo q r q
qr
q r 37
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