Clase 4 de Probabilidad

1. En cada una de las siguientes situaciones, ¿su valor debería estar cerca del promedio o de un valor atípico? Si es un valor atípico, ¿tendría que ser muy grande o muy pequeño? a) Ingreso en su primer empleo. Valor atipico. b) Su calificación en el examen final de física. Cerca del promedio. c) Su peso en 10 años. Valor atípico. 2. Cada una de las siguientes situaciones, ¿su valor debería estar cerca del promedio o de un valor atípico? Si es un valor atípico, ¿tendría que ser muy grande o muy pequeño? a) El tiempo que tarde en completar una práctica de laboratorio la próxima semana. En esta es un valor atípico. b) El conteo de sus leucocitos. Cerca del promedio. 3. ¿la influencia de un solo valor atípico es mayor en la media o en la mediana? Explique su respuesta. En la media, aunque en la mediana el resultado se refleja mejor. 4. ¿la influencia de un solo valor atípico es mayor en el rango de la muestra o en el rango intercuartílico? Explique su respuesta. En el rango intercuartílico porque sus resultados son subjetivos. 5. Con referencia al ejercicio 1.8 del capítulo 1, se observa que la muestra de 4 desviaciones (observación-especificación) durante la segunda hora para un diámetro crítico del barreno del cigüeñal son -6 1 -4 -3 Diezmilésimas de pulgada. Para estas cuatro desviaciones a) Calcule la media muestral x. X=

−6+1+ (−4 ) +(−3) −12 = = -3 4 4

b) Calcule la desviación estándar muestral s.

x i x i−x ¿ ¿ −3 0 -1 −¿ 4 -3 −¿ 6 1 4 -12

0

0 1 9 16 26

26 2 =8.6(minuto) 3 s= √8.6=2.93 minuto 2

s=

c) En promedio, ¿el orificio es muy grande o muy pequeño? Muy pequeño.

6. El fresado laser puede resultar de una deposición de detritos en una superficie blanco y causar dificultades cuando este se emplea para micro estructuración. Ingenieros mecánicos3 han experimentado con decapado seguido por pulido electroquímico. Para tres especímenes de prueba, la rigurosidad de la superficie disminuyo 0.91, 0.99 y 0.98 (um). a) calcule la media muestral x.

x=

0.91+0.99+0.98 2.88 = =0.96 3 3

b) Calcule la desviación estándar muestral s.

x i x i−x ¿ ¿ 0.91 -0.05 0.98 0.99 2.88

0.02 0.03 0

0.0025 0.0004 0.0009 0.0038

0.0038 =0.0019 ¿ 2 s= √0.0019=0.04 minuto 2

s=

7. Ingenieros4 desarrollaron una capsula robótica miniaturizada para la exploración de un tracto gastrointestinal humano. Una solución novedosa usa paletas impulsadas por motor. El mejor diseño de los ingenieros funciono durante algunos ensayos y, luego, desechos cubrieron la punta de una patita, lo cual afecto negativamente el desempeño. Después de limpiarlo, la siguiente prueba del dispositivo resulto en 35 37 38 34 30 24 13 Distancias cubiertas (mm/min). a) Calcule la distancia media muestral.

x=

35+37+38+34 +30+24 +13 211 = =35.16 (mm/min). 6 6

b) ¿la media muestral brinda un buen resumen de estas pruebas? Si no, escriba una oración o dos para resumir con más precisión. Si ya que a través de ese resultado se puede obtener la distancia. 8. Un contrato para el mantenimiento de las locomotoras de mucha potencia para un ferrocarril nacional se otorgó a una importante compañía privada. Después de un año de experiencia con el programa de mantenimiento, los encargados del programa creyeron que podían hacerse grandes mejoras en la confiabilidad de las locomotoras. Para documentar el estatus actual, recopilaron datos acerca del costo de los materiales para reconstruir motores de tracción. Use los siguientes datos para a) calcule la media muestral x.

x=

42.65 =1.47 29

b) Calcular la desviación estándar de la muestra s.

7.673 =0.27 28 s= √0.27=0.51

s2=

Costos de los materiales para reconstruir motores de tracción (miles de dólares): 1.41 1.70 1.03 0.99 1.68 1.09 1.68 1.94 1.53 2.25 1.60 3.07 1.78 0.67 1.76 1.17 1.54 0.99 0.99 1.17 1.54 1.68 1.62 0.67 0.67 1.78 2.12 1.52 1.01 9. si la remuneración anual media pagada a los ejecutivos señor de tres firmas de ingeniería es de $175,000, ¿uno de ellos puede recibir $550,000? No cada uno recibirá 175,000. 10. Los registros muestran que, en Phoenix, Arizona, la temperatura máxima diaria normal para cada mes es 65, 69, 74, 84, 93, 102, 98, 88, 74 y 66 grados Fahrenheit. Verifique que la media de estas cifras es 85 y comente acerca de la afirmación de que, en Phoenix, la temperatura máxima promedio es de muy agradables 85 grados.

x=

65+69+74 +84+ 93+102+98+88+74 +66 =81.3 10

11. Con frecuencia, la salida de un instrumento es una forma de onda. Con la intención de desarrollar una media numérica de cercanía, científicos pidieron a 11 expertos observar dos formas de ondas en la misma gráfica, así como dar un numero entre 0 y 1 para cuantificar cuan bien concuerdan las dos formas de onda son: 0.50 0.40 0.04 0.45 0.65 0.40 0.20 0.30 0.60 0.45 a) calcule la media muestral x.

x=

0.50+0.40+ 0.04+0.45+0.65+ 0.40+0.20+0.30+ 0.60+0.45 3.99 = =0.399 10 10

c) calcule la desviación estándar de la muestra s.

0.29709 =0.03301 9 s= √0.03301=0.18

s2=

12. Con referencia al ejercicio anterior, encuentre s usando a) La fórmula que define s.

0.29709 =0.03301 9 s= √0.03301=0.18

s2=

b) La fórmula de calculadora de bolsillo para s.

1.8891−( 3.99 )2 /10 0.29709 s= = =0.03301 9 9 2

13. Los siguientes son los números de minutos que una persona debe esperar un autobús para ir a trabajar en 15 días laborales: 10 1 13 9 5 9 2 10 3 8 6 17 2 10 15 a) Encuentre la media.

x=

10+1+13+9+5+ 9+2+10+3+8+ 6+17+2+10+15 =¿ 15 120 =8 15

b) Encuentre la mediana.

10 1 13 9 5 9 2 (10) 3 8 6 17 2 10 15 La media es el 10 que está encerrado en el paréntesis. c) Dibuje un diagrama de caja. 14. Con referencia al ejercicio anterior, encuentre s2 usando: a) La fórmula que define s2. b) La fórmula de calculadora de bolsillo para s2. 15. El material fabricado de manera continua, antes de cortarse y enrollarse en grados rollos, debe monitorizarse en su grosor (calibre). Una muestra de 10 mediciones en papel, en milímetros, dio como resultado: 32.2 32.0 30.4 31.0 31.2 31.2 30.3 29.6 30.5 30.7 Encuentre la media y los cuartiles para esta muestra.

x=

32.2+ 32.0+30.4+31.0+ 31.2+31.2+30.3+ 29.6+30.5+30.7 309.1 = =30.91 10 10 1 np 10 =2.5 que seredondea a 3. 4 El primer cuartil es la 3 observación ordenada. Q 1=30.4 1 np 10 =5 2

()

()

Que es un entero por lo tanto se promedian los valores ordenados 5 y 6.

31.2+31.2 62.4 = =31.2 2 2 3 =7.5 se redondea a 8. Por lo tanto Q3=29.6 El tercer cuartil es np 10 4 Q 2=

()

16. Para las cuatro observaciones 9 7 15 5: a) Calcule las desviaciones ( x i−x ) y compruebe que suman 0.

x=

9+7+15+ 5 36 = =9 4 4 (x ¿¿ i−x) ¿ 9−9=0 7−9=−2 15−9=6 5−9=−4

0 b) Calcule la varianza y la desviación estándar.

¿¿ 0 4 36 16 56

56 =18.6 3 s= √ 18.6=4.31 2

s=

17. Con referencia al ejercicio 2.14 de la página 23, dibuje un diagrama de caja. 18. Una compañía experimenta un problema crónico de soldadura defectuosa con un ensamble de tubo de desagüe. Cada ensamble fabricado se prueba contra fugas en un tanque de agua. Se recopilan datos sobre la brecha entre la brida y la tubería, para 6 ensambles defectuosos que tenían fugas y 6 ensambles buenos que aprobaron la prueba contra fugas. Con fuga: 0.290 0.104 0.207 0.145 0.104 0.124 a) Calcule la media muestral x.

x=

0.290+0.104+ 0.207+0.145+ 0.104+0.124 0.974 = =0.1623 6 6

b) Calcule la desviación estándar de la muestra s.

0.0264 =0.00528 5 s= √0.00528=0.07

s2=

19. Consulte el ejercicio 2.44. las mediciones para 6 ensambles que no tenían fuga fueron. Buenos: 0.207 0.124 0.062 0.301 0.186 0.124 a) Calcule la media muestral x.

x=

0.207+0.124 +0.062+0.301+0.186+ 0.124 1.004 = =0.1673 6 6

b) Calcule la desviación estándar de la muestra s.

0.0342 =0.00684 5 s= √0.00684=0.0827 2

s=

c) ¿parece haber una diferencia sustancial en la brecha entre los ensambles que tenían fuga y aquellos que no la tenían? El grupo de mejoramiento de la calidad dirigió su atención a las variables en el proceso de soldadura. 20. Encuentre la media y la desviación estándar de las 20 lecturas de humedad de la página 21, usando:

x=

29+44 +12+53+21+34+ 39+ 25+48+ 23+17+24+ 27+32+34+15+ 42+21+28+37 20 x= 2

s=

605 =30.25 20

2361.75 =124.30 19

s= √124.30=11.14 a) Los datos brutos (no agrupados). b) La distribución obtenida en dicho ejemplo. 21. Utilice la distribución del ejercicio 2.10 en la página 22, para encontrar la media y la varianza de los diámetros de los nanopilares.

4417 =88.34 50 7239.22 2 s= =147.73 49 x=

22. Utilice la distribución obtenida en el ejercicio 2.12, de la página 23, para encontrar la media y desviación estándar de los tiempos de ignición. Determine también el coeficiente de variación de los datos de productividad.

417.78 =5.22 80 583.3651 s2= =7.38 79 s= √ 7.38=2.71 2.71 v= ×100=0.51× 100=51 5.22 x=

23. Demuestre que

n

ε i=1 ( x i−x )=0 Para cualquier conjunto de observaciones x 1 , x 2 , … . x n . 24. Demuestre que la fórmula para calcular s2, de la página 34, es equivalente a la utilizada para definir s2, en la página 27. Es equivalente pero no es igual de modo que algunas variables se establecen en ambas, pero los resultados no son iguales. 2

s=

0.2750 2 =0.055 (miinuto) 5

2

0.2750−( 5.1 ) /6 0.2750−4.335 −4.06 = = =−0.812 5 5 5 25. Si los datos se codifican de modo que x i=c ( ui ) +a , demuestre que x= c (u) + a y s x= c ( su ). s2=

26. Para encontrar la mediana de una distribución obtenida para n observaciones, primero se determina la clase en que debe caer la mediana. Entonces, si hay j valores

n −k ( en esta clase y k valores debajo de ella, la mediana se localiza a 2 ) del camino j

en esta clase, mientras que para obtener la mediana se multiplica esta fracción por el intervalo de clase y el resultado se suma a la frontera inferior de la clase, en la cual debe caer la mediana. Este método en la suposición de que las observaciones en cada clase están “dispersa de manera uniforme” a lo largo del intervalo de clase y, por consiguiente, se cuenta

n n+1 de las observaciones, en vez de , como en la 2 2

página 25 Para ilustrar, consultemos los datos de altura de los nanopilares en la página 15 y la distribución de frecuencias en la página 16. Puesto que n= 50, puede verse que la mediana debe caer en la clase (285, 325], que contiene j= 23 observaciones. La clase tiene ancho 40 y hay k= 3+11= 14 valores por debajo de ella, de modo que la mediana es:

285+

25−14 × 40=264.13 23

a) Use la distribución obtenida en el ejercicio 2.10, en la página 22, para encontrar la mediana de los diámetros de los nanopilares agrupados.

90+

25−23 × 40=94 20

b) Use la distribución obtenida en el ejercicio 2.12, de la página 23, para encontrar la mediana de los tiempos de ignición agrupados.

5+

40−39 × 70=10.6 12

27. Para cada una de las siguientes distribuciones, decida si es posible encontrar la media y la mediana. Explique sus respuestas. a) Grado frecuencia 40-49 5 50-59 18 60-69 27 70-79 15 80-89 6 Yo diría que sí, pero con valores que sean tomados por la persona que los vaya a elaborar de forma aleatoria. Dichos valores que se encuentren dentro de cada conjunto de las lecturas de humedad. b) CI frecuencia

Menor que 90 3 90-99 14 100-119 19 Mayor que 119 7 Yo diría que sí, pero con valores que sean tomados por la persona que los vaya a elaborar de forma aleatoria. Dichos valores que se encuentren dentro de cada conjunto de las lecturas de humedad.

c) Peso frecuencia 110 o menos 41 101-110 13 111-120 8 121-130 3 131-140 1 Yo diría que sí, pero con valores que sean tomados por la persona que los vaya a elaborar de forma aleatoria. Dichos valores que se encuentren dentro de cada conjunto de las lecturas de humedad. 28. Para encontrar el primer y tercer cuartiles Q 1 y Q 3 para datos agrupados, se produce como en el ejercicio 2.53, pero se cuentan

n 3n n y de las observaciones, en vez de . 4 4 2

a) Con referencia a la distribución de los datos de la altura de nanopilares de la página 15 y a la distribución de frecuencias de la página 16, encuentre Q1 ,Q3 y el rango intercuartílico.

np=50

( 14 )=12.5 que se redondea a13 Q1=309

segundo cuartil np=50

( 12 )=25 en este caso se promedian los valores .

290+300 =295 2 el tercer cuartil es la obervacion38 , Q3=276 rango intercuartilico 309−276=33 Q 2=

Para la distribución de frecuencias de la página 16 es lo mismo. b) Encuentre Q 1 y Q3 para la distribución de los datos de tiempo de ignición obtenidos en el ejercicio 2.12.

np=80

( 14 )=12.5 que se redondea a 13 Q1=2.46 3 np=80 =60 4 Q3=6.43

()

29. Si k conjunto de datos consisten, respectivamente, de x 1 , x 2 , … , x k observaciones y tienen las medias n1 , n2 , … ,n k , entonces, la media general de todos los datos esta dada por la formula k

x=

ε i=1 ni x i k

ε i=1 n i

a) Los salarios anuales promedio pagados a gerentes de alto nivel en tres compañías son $164,000, $172,000 y $169,000. Si los números respetivos de los ejecutivos de alto nivel en dichas compañías son 4, 15 y 11, encuentre el salario promedio pagado a esos 30 ejecutivos. b) En una clase de ingeniería nuclear hay 22 estudiantes de primer año, 18 de último año y 10 graduados. Si los de primer año promedian 71 en el examen de medio semestre, los de último año promedian 78 y los graduados promedian 89, ¿Cuál será la media para toda la clase?

30. La fórmula para el ejercicio anterior es un caso especial de la siguiente fórmula para Ka medida ponderada: k

x w=

ε i=1 wi x i k

ε i=1 wi

Donde w i es un peso que indica la importancia relativa de la i-esima observación. a) Si un profesor cuenta el examen final en un curso cuatro veces más que cada examen de 1 hora, ¿Cuál es la calificación promedio ponderada de un estudiante, que recibió calificaciones de 69, 75, 56 y 72 en cuatro exámenes de 1 hora y una calificación de examen final de 78? b) De 2004 a 2010, el costo de los alimentos en cierta ciudad aumento en 60%, el costo de la vivienda aumento en 30% y el costo del transporte aumento en 40%. Si el trabajador asalariado promedio gasto 24% de su ingreso en alimentos, 33% en vivienda y 15% en transporte, ¿Cuál es el aumento porcentual combinado en el costo total de dichos rubros?