CLASE # 3 Coeficientes de Fourier y Simetrías de Onda

MEX-33 ITM. MA MATEMÁTICAS TEMÁTICAS ESPECIALES. CLASE # 10

Docente: Martha Guzmán. Página # 1 de 9.

COMPETENCIA: Manejar los conceptos concept os de ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE. FASE. Tema: SIMETRÍAS DE ONDA Y CÁLCULO DE COEFICIENTES COEFICIEN TES DE FOURIER.

CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER  En la clase anterior trabajamos la definición definición de SERIE DE FOURIER para una una onda o señal señal   periódica. Esta definición fue obtenida por  J.B.J. por  J.B.J. FOURIER, FOURIER , un investigador francés del siglo XIX, que trabajaba sobre el flujo de calor. Según Según la defini definició ciónn de la SERIE SERIE DE FOURIE FOURIER, R, cualquie cualquierr señal señal periódic periódicaa puede puede ser  representada como la suma de: Un valor constante (llamado nivel DC), más una sumatoria infinita de ondas coseno (llamados ARMONICOS COSENO), más una sumatoria infinita de ondas seno (llamados ARMONICOS SENO). Estos Estos armónic armónicos os en el seno seno y cosen coseno, o, ti tiene enenn una carac caracte terís rístic ticaa espec especial ial,, sus sus respec respecti tivas vas frecuencias angulares: w n , son múltiplos enteros de la frecuencia angular fundamental fundamental w 0 de la señal original, o sea que: wn = n * w0 . Dónde n representa a todos los números enteros positivos. positivos. Lo que introduce la idea de que, una señal periódica con una frecuencia angular fundamental fundamental w0 , tiene intrínsecamente intrínsecamente contenidas, contenidas, frecuencias angulares que están armónicamente relacionadas entre sí. Recordemos Recordemo s la definición para una señal periódica cualquiera, llamada  f (t): +∞  f (t) =

a

0

+

∑ n=1

{ [ a * Cos ( nw  t )t ) ] n

0

+ [ bn * Sen ( nw 0 t ) t ) ]

O lo que es lo mismo, por que wn = n * w0 : +∞  f (t) =

a

0

+

∑

{ [ a * Cos (w  t )t ) ] n

n

+ [ bn * Sen (w n t ) t ) ]

}

}

n=1

Para una señal periódica  f (t) en particular particular,, el período T es conocido y su frecuencia frecuencia angular  angular  fundamental w 0 también es conocida por que se puede calcular por fórmula. Pero, ¿ Cómo  podemos calcular los respectivos valores de a0  , an  , bn ? .

 bn conocidos como como los COEFICIENTES COEFICIENTES DE FOURIER, pueden ser  Los valores de a0 , an , b calculados utilizando fórmulas que más adelante se detallan.

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SIMETRÍAS DE ONDA

Son propiedade propiedadess interesantes interesantes de las las ondas o funciones funciones periódic periódicas as que permiten permiten simplifica simplificarr la evaluación evaluación de los los llamados COEFICIENTES DE FOURIER : a0 , an , bn .

 SIMETRÍA PAR:

Se dice que una señal periódica  f(t) tiene SIMETRIA PAR, cuando cumple la siguiente  f ( t  ( t )) = f ( - t  ). condición: Para un t  dado ,

 SIMETRÍA IMPAR:

Se dice que una señal periódica  f(t) tiene SIMETRIA IMPAR, IMPAR, cuando cumple la f ( t  ( t )) = - f ( - t ). t ). siguiente condición: Para un t  dado ,

 SIMETRÍA DE MEDIA ONDA: ONDA: Se dice que una señal periódica  f(t) tiene SIMETRIA MEDIA ONDA, t dado , f (  t  ) = -  f (  t  + { T/2  /2  } ). cuando cumple la siguiente siguiente condición: Para un t dado  EJEMPLO 1 : ¿ Qué tipo de simetría de onda tiene la siguiente señal f ( t ) ? f=f(t)

T = 2л

seg.

5 -2л

-л - 3л/2

2л -л/2

л/2

3л/2

5л/2

t (seg)

-5 •

Evaluemos primero si tiene SIMETRÍA PAR: Si la tiene, debe cumplir la condición: f ( t ) = f ( - t ). Seleccion Seleccionamos amos un tiempo t  arbitrariamente para evaluar la condición, esto puede hacerse por que la condición, debe cumplirse cumplirse para todo el dominio. Sin embargo, la recomendación recomendación es que se utilicen t  tales que coincidan con valores máximos o mínimos de la función  f. Seleccionemos: t = ( л/2 ) Evaluamos la función para ese t, observando la gráfica: Evaluamos también la función para el - t :

 f ( t  ( t )) =  f ( л/2  ) = 5  f (   f ( -t  -t  )  ) =  f ( ( - л/2   ) = -5 -5

Preguntémonos Preguntém onos si la señal  f ( t ) cumple la condición:

¿  f (   f ( t t  )  ) =  f (   f ( -- t  )  ) ? ¿  f ( л/2  ) =  f (   f ( -- л/2  ) ? ¿ 5 = - 5 ? NO!!!

La respuesta es que NO que NO  se cumple la condición , por lo tanto  f ( t ) NO tiene simetría PAR. •

 f ( t t  )  ) = - f ( -t  ( -t  )  ) . . Evaluemos ahora si tiene SIMETRÍA IMPAR, si la tiene debe cumplir la condición:  f (  Seleccionamos un tiempo t arbitrariamente t arbitrariamente para evaluar la condición,: condición,: Seleccionemos: t = 3 [ л/2 ] Evaluamos la función para ese t, observando la gráfica: Evaluamos también la función para el - t :

 f ( t  ( t )) =  f (  3 [ л/2 ]  )  ]  ) = - 5  f (  - t  ) t  ) =  f (  - 3 [  л/2 ]  ) = 5

Preguntémonos Preguntém onos si la señal  f ( t ) cumple la condición: ¿  f (  f ( t  ) t  ) = -  f  ( - t  ) t  ) ? ¿  f  ( 3[ л/2] ) = -  f  ( - 3[ л/2 ] ) ? ¿ - 5 = - ( 5 ) ? SI!!! La respuesta es que SI  que SI  se  se cumple la condición , por lo tanto  f ( t ) SI tiene simetría IMPAR IMPAR !!.

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COEFICIENTES DE FOURIER SEGÚN LAS SIMETRÍAS DE ONDA

f ( t ): Señal periódica. d: Punto de inicio del período seleccionado. T: Valor del período de la señal f ( t ) . w n: Valor de la frecuencia angular del armónico número n. wn = n * w0 .

COEFICIENTES COEFICIENTE S PARA PARA ONDAS SIN NINGÚN TIPO DE SIMETRÍA DETECTADA: DETECTADA : (d+T)

a

0

=

∫

( 1 ) * T

f ( t ) dt

d (d+T)

a

n

=

∫

( 2 ) * T

f ( t ) * Cos ( w n t ) t )

dt

d

(d+T)

 b

n

=

∫

( 2 ) * T

f ( t ) * Sen ( w n t ) t )

dt

d

;

Para todas las n.

;

Para todas las n.

COEFICIENTES COEFICIENTE S PARA ONDAS CON SIMETRÍA PAR: ( d + {T/2} )

a

0

∫

= ( 2 ) * T

f ( t ) dt

d ( d + {T/2} )

a

n

= ( 4 ) * ∫ f ( t ) * Cos ( w n t ) t ) d T ; Para todas las n. = 0

0

COEFICIENTES PARA ONDAS CON SIMETRÍA IMPAR: = 0

n

=

n

 b a a

 b

n

 b

n

0

;

=

0

( d + {T/2} )

f ( t ) * Sen ( w n t ) t ) dt

d

;

;

Para todas las n.

Para todas las n.

∫

= ( 4 ) * T

dt

;

Sólo para las las n impares. impares.

Para las n pares.

próxima clase, clase, averigüe cuales son las las fórmulas fórmulas que que permiten permiten calcular  calcular  CONSULTA: Para la próxima los coeficientes de fourier: a0 , an  , bn  , para las las señales periódicas que tienen tienen SIMETRÍA SIMETRÍA DE  DE  MEDIA ONDA.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DE FOURIER 

 EJEMPLO 1 : Considere la siguiente señal periódica V ( t ), t ), que no tiene ninguna simetría de onda conocida. Calcule la SERIE DE FOURIER correspondiente correspondiente a V ( t ) hasta n=3. V= Vt

Voltios.

10 voltios

t 1

4

T = 4 seg.

5

8

w 0 = (л/2) (rad/seg).

9

Amplitud = 10 voltios.

Recordemos que la fórmula fórmula generalizada generalizada para las SERIES DE FOURIER FOURIER es: +∞

a

 f(t) =

+

0

∑ n=1

{ [ a * Cos ( nw  t )t ) ] n

0

se .

+ [ bn * Sen ( nw 0 t ) t ) ]

}

  Nuestra función no se llama f(t) sino V( t ) y tiene una w 0 = ( л ( л/2) (rad/seg) (rad/seg) = 1.57 (rad/seg). Como el   problema nos limita la representación hasta n=3, entonces la fórmula de la SERIE DE FOURIER puede reescribirse como: 3

a

V(t) =

0

+

∑ n=1

V(t) =

a

0

{ [ a * Cos ( n*1.57* t )t ) ] n

+ [ bn * Sen ( n *1.57* t ) t ) ] }

+ [ a1 * Cos ( 1*1.57* t ) ] + [ a2 * Cos ( 2*1.57* t ) ] + [ a3 * Cos ( 3*1.57* t ) ] + [ b1 * Sen ( 1*1.57* t ) ] + [ b2 * Sen ( 2*1.57* t ) ] + [ b3* Sen ( 3*1.57* t ) ]

Observe que en las SERIES SERIES DE FOURIER, FOURIER, después de reemplazar el valor de la w 0 , lo único que queda pendiente   por calcular, son los COEFICIENTES DE FOURIER: a0 , an , bn . Para ello se utilizan las fórmulas según sea sea la simetría de onda. En este caso particular particular como V(t) no tiene simetrías de onda, utilizamos la tabla de fórmulas para las funciones que no tienen simetría de onda. Para utilizar las fórmulas, previamente es necesario definir el punto de inicio d  para el período, luego calcular  el ( d + T ) , y encontrar la ecuación que que corresponde a la  f ( t ) = V (t) en el intervalo de integración:

1. Arbitraria Arbitrariament mentee escogemos escogemos un un punto punto de inicio inicio del del período: período: d = 0 2. Ya que T = 4 seg., puede calcularse entonces: (d+T) = 0+4 = 4 3. Y observand observandoo el el interv intervalo alo de integrac integración, ión, encontram encontramos os que la señal señal V ( t ) tiene tiene como ecuaciones, ecuaciones, a las siguientes siguientes rectas que tienen pendiente igual a cero y solo tienen intercepto con el eje vertical: entre : 0 < t < 1 , : V = V ( t ) = 10 voltios. entre : 1 < t < 4 , : V = V ( t ) = 0 voltios. •

 Para encontrar encontrar el nivel nivel DC de la señal periódica periódica V ( t ) usamos la fórmula:

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4

(d+T)

a

=

0

( 1 ) * T

∫

f ( t ) dt =

d

a a

=

0

0.25 *

0

4 4

1

a

( 1) *

{ ∫10

dt +

0

4

∫

V(t) dt =

0

4 1

∫0

dt

1

}

∫

( 1) *

10 dt

1

= ( 0.25*10 ) * ∫ dt =

2.5 *

0

0

= 2.5 * { 1 – 0 } = 2.5 * { 1 } = 2.5

0

= 2.5 voltios. ; Este es el nivel DC de la señal V ( t ).

{t}

0

Si queremos queremos utiliz utilizar ar la herramienta herramienta de MATLAB MATLAB para verificar  el resultado, resultado, podemos podemos hacerlo hacerlo utilizando utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>a0=0.25*int(10,t,0,1); >>pretty(a0) •

 Para encontrar los coeficientes coeficientes

a

n

se utiliza la siguiente fórmula:

(d+T)

( 2 ) * ∫ f ( t ) * Cos ( w n t ) t ) dt d T  Entonces, para el caso en que n=1 tenemos:

a

n

4

a

1

;

=

=

∫ V ( t ) * Cos (

( 2 ) * 4

;

t ) dt w 1 t )

0

Se cumple para la n = 1.

1

a

1

=

0.5 *

{ ∫

Se cumple Para todas las n.

4

t ) dt 10 * Cos ( 1 *1.57* t )

0

+ ∫

1

a

1

=

0.5 *

{ ∫ 10 * Cos (1.57* t )t ) dt }

1

= 0.5*10 * ∫ Cos (1.57* t ) t ) dt

0

1

a

1

= 5*

0 1

∫ Cos ( 1.57* t ) t ) dt 0

a a

= 5*

{ Sen (1.57* 1 ) - Sen (1.57* 0 ) }

= 3.18 *

1

= 3.18 voltios. ;

1

{ Sen (1.57* t )t )} 1.57

1

}

t ) dt 0 * Cos (1 *1.57* t )

1

= 3.18 *

0

{ Sen (1.57* t )t ) } 0

= 3.18

Esta es la amplitud del ARMONICO ARMONICO número 1 en el coseno.

Si queremos queremos utiliz utilizar ar la herramienta herramienta de MATLAB MATLAB para verificar  el resultado, resultado, podemos podemos hacerlo hacerlo utilizando utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>a1=0. 5*int(10*cos(1.57*t),t,0,1); >>pretty(a1)

 Entonces, para el caso en que n=2 tenemos:

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4

a

2

=

∫ V ( t ) * Cos (

( 2 ) * 4

;

w 2 t ) t ) dt

0

Se cumple Para la n = 2.

1

a

2

=

0.5 *

{ ∫

4

+ ∫

t ) dt 10 * Cos ( 2 *1.57* t )

0

1

1

a

2

=

0.5 *

t ) dt 0 * Cos (2 *1.57* t )

{ ∫ 10 * Cos (3.14 * t )t ) dt }

1

= 0.5*10 * ∫ Cos (3.14 * t ) t ) dt

0

0

1

a

2

= 5*

1

a

2

a

2

1

∫ Cos ( 3.14* t ) t ) dt = 5 * { Sen (3.14* t ) t )} = 0

= 1.59 *

0

3.14

{ Sen (3.14* 1 ) - Sen (3.14* 0 ) }

= 0 voltios. ;

}

1.59 *

{ Sen (3.14* t )t ) } 0

= 0

Esta es la amplitud del ARMONICO ARMONICO número 2 en el coseno.

Si queremos queremos utiliz utilizar ar la herramienta herramienta de MATLAB MATLAB para verificar  el resultado, resultado, podemos podemos hacerlo hacerlo utilizando utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>a2=0. 5*int(10*cos(3.14*t),t,0,1); >>pretty(a2)

 Entonces, para el caso en que n=3 tenemos: 4

a

3

=

( 2 ) * 4

∫ V ( t ) * Cos (

w 3 t ) t ) dt

0

;

Se cumple Para la n=3.

Defina y realice USTED esta integral y deberá obtener como resultado :

a

3

=

-1.06 voltios. ;

 El resumen de los coeficientes a0 a1 a2 a3

= 2.5 = 3.18 = 0 = -1.06

voltios. ; voltios. ; voltios. ; voltios. ;

Esta es la amplitud del ARMONICO número 3 en el coseno.

a

0

 y

a

n

calculados hasta n = 3, es el siguiente:

Es nivel DC de la señal V ( t ). Es la amplitud del ARMONICO número 1 en el coseno. Es la amplitud del ARMONICO número 2 en el coseno. Esta es la amplitud del ARMONICO número número 3 en el coseno. coseno.

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 Para encontrar los coeficientes coeficientes

b

n

se utiliza la siguiente fórmula:

(d+T)

 b

n

=

∫

;

Se cumple Para todas las n.

w 1 t ) t ) dt

;

Se cumple Para la n = 1.

{ ∫ V ( t ) * Sen ( 1*1.57* t )t )

dt

( 2 ) * T

f ( t ) * Sen ( w n t ) t ) dt

d

 Entonces, para el caso en que n=1 tenemos: 4

 b

1

=

∫ V ( t ) * Sen (

( 2 ) * 4

0

4

 b

1

=

0.5*

}

0

1

 b

1

=

0.5*

4

{ ∫ 10 * Sen ( 1.57* t )t ) dt

∫ 0 * Sen (

+

0

1

 b

1

 b b

=

0.5* 10 *

{∫

t ) dt 1.57* t )

1

}

1

Sen ( 1.57* t ) t ) dt 0

}=

5*

{ - Cos ( 1.57 * t ) } 0

1.57

{ Cos ( 1.57 * 1 )

- Cos ( 1.57 * 0 )

}

= - 3.18 * { 0 - 1

1

= - 3.18 *

1

= 3.18 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.

}

Si queremos queremos utiliz utilizar ar la herramienta herramienta de MATLAB MATLAB para verificar  el resultado, resultado, podemos podemos hacerlo hacerlo utilizando utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>b1=0. 5*int(10*sin(1.57*t),t,0,1); >>pretty(b1)

 Entonces, para el caso en que n=2 tenemos: 4

 b

2

=

( 2 ) * 4

∫ V ( t ) * Sen (

;

w 2 t ) t ) dt

0

Se cumple Para la n = 2.

4

 b

2

=

0.5*

{ ∫ V ( t ) * Sen ( 2*1.57* t )t )

dt

0

1

 b

2

= 0.5 *

{ ∫ 10 * Sen ( 3.14* t )t ) dt 0

4

+ 1

}

∫ 0 * Sen ( 3.14* t ) t ) dt }

1

 b

2

=

0.5* 10 *

1

{ ∫

0

Sen ( 3.14* t ) t ) dt

}=

5*

{ - Cos ( 3.14 * t ) } 3.14

0

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 b b

{ Cos ( 3.14 * 1 )

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- Cos ( 3.14 * 0 )

}

2

= - 1.59 *

2

= 3.18 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.

= 3.18

Si queremos queremos utiliz utilizar ar la herramienta herramienta de MATLAB MATLAB para verificar  el resultado, resultado, podemos podemos hacerlo hacerlo utilizando utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>b2=0. 5*int(10*sin(3.14*t),t,0,1); >>pretty(b2)

 Entonces, para el caso en que n = 3 tenemos: 4

 b

3

=

( 2 ) * 4

∫ V ( t ) * Sen ( 0

t ) dt w 3 t )

;

Se cumple cumple Para la n = 3.

Realice USTED USTED esta integral integral y deberá obtener como resultado :

b

3

=

1.06 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.

 El resumen de los coeficientes b coeficientes  bn calculados hasta n = 3 es el siguiente:

b1 b2 b3

= 3.18 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno. = 3.18 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno. = 1.06 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.

Todos estos cálculos nos llevaron a encontrar los valores de los COEFICIENTES de la SERIE DE FOURIER, ahora a0 , an  , bn .,   son conocidos hasta n = 3 y podemos reemplazarlos reemplazarlos en la SERIE SERIE DE FOURIER FOURIER correspondiente correspondiente a la función V (t) así:

V(t) = a0 + [ a1 * Cos ( 1*1.57* t ) ] + [ a2 * Cos ( 2*1.57* t ) ] + [ a3 * Cos ( 3*1.57* t ) ] + [ b1 * Sen ( 1*1.57* t ) ] + [ b2 * Sen ( 2*1.57* t ) ] + [ b3* Sen ( 3*1.57* t ) ]

V(t) = 2.5 + [ 3.18 * Cos (1.57* t ) ] + [ 0 * Cos ( 3.14* t ) ] + [ -1.06 * Cos ( 4.71* t ) ] + [ 3.18 * Sen (1.57* t ) ] + [ 3.18 * Sen ( 3.14* t ) ] + [ 1.06* Sen ( 4.71* t ) ] Observe la gráfica correspondiente a la SERIE DE DE FOURIER FOURIER para la función V ( t ) , hasta n = 3:

Esta es una pobre representación de V(t), construcción de la serie de Fourier. Fourier.

pero será cada vez mejor, cuantos más armónicos se incluyan en la

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ORIENT ORIENTACIÓN PARA PARA SU SU T.I. T.I. DE 6 HORAS HORAS CORRESPONDIENT CORRESPONDIENTE EA ÉSTA SEMANA:

1. Realice como repaso los dos Talleres de Inicio correspondientes a métodos de integración, que se encuentran “colgados” en la página web del ITM (www.itm.edu.co). El procedimiento para “descolgarlos” es el siguiente: Programas de Formación Tecnología de Telecomunicaciones. Matemáticas Especiales. Talleres 4 y 5 de Inicio.

ARTES, en 2. Repase los procedimientos y métodos de integración: por SUSTITUCION, y por PARTES,

cualquier libro de Cálculo. Y busque ayuda con los docentes ASESORES que el ITM ha   programado para USTED, en horarios que aparecen publicados en la Decanatura de Ciencias Básicas.

3. Consulte en un libro cualquiera de ANÁLISIS DE REDES o de ANALISIS DE FOURIER, sobre ejemplos de calculo de los coeficientes de fourier

4. Realice el Taller de PROBLEMAS RESUELTOS RESUELTOS TPR  CLASE # 3,

sobre cálculo cálculo de

coeficientes de fourier .

PROPUESTOS. TPP CLASE # 3. Puede utilizar las 5. Realice el Taller sobre PROBLEMAS PROPUESTOS.

salas: G-305, H-401, H-402, Laboratorio de Física del H primer piso, en sus horarios de Atención a Estudiantes. Este trabajo debe entregarlo la próxima clase.

BIBLIOGRAFÍA: •

•

• • • • • • •

Cualquier libro de ANÁLISIS DE REDES para estudiar ejemplos de análisis de Fourier, por ejemplo el de d e VAN VALKENBURG. VALKENBURG. ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei. Cualquier libro de Cálculo para repasar r epasar integrales. Manual del Estudiante Software MATLAB, MATLAB, se consigue en la biblioteca del ITM. Help sobre el comando comando syms. Help sobre el comando comando int ( ). Help sobre el comando comando  plot( ). MANUAL BÁSICO BÁSICO DE MATLAB. MATLAB. Prof: Dayron Arboleda. Arboleda. Se consigue en DOBLE CLICK. MANUAL MATLAB. MATLAB. Prof: Antonio Londoño. Londoño. Se consigue consigue en el código 34 de Doble Click.