Clase 2

 

CLASE No 2 ECUACIONES DIFERENCIALES

 

,--EJEMPLO 4

La funcion t = 2.xy2 + 3x2y +g(y)+ f (x) es la solucion la  solucion general de la ecuacion diferencial parcial:

alt

=4y+6x

ayax

at   porque —  porque  — ax = 2y2 + 6xy+

a2t  y

ayax

= 4y + 6x; asi que sustituyendo: 4y + 6x = 4.y + 6x.

EJEMPLO 5 La funcion y= cion diferencial:

+ c 2 ex

+e4e2A es es solucion  solucion general gen eral de la ecua-

 y'v - 5y" + 4y = 0

Porque:

y=

+c2ex -2c3e-2x + 2c

4e2x

y" = +cie' + c,e1 +4c3e-2x + 4c4e2' v=  yiv

+c,ex -8c3e' +8c4e2-r  +c,ex +16c3e-23` +16c4e2' 

Sustituyendo:  Ir 

ce' +c 2ei +16c3e-21 +16c4e

- 5c2ex -20c3e-2x - 20c4e2x

+4c,e' +4c2ex + 4c3e-2' +4c4e2x = 0 +4y

0=0

 

EJEMPLO 6 La funcion y = ex (3 cos 2x+ sen 2x) es  suluewn particular de la ecuacion diferencial y• — 2y1+ 5y = 0, porque:

(-6 sena + 2 cos 2x)+ ex (3cos21- sen 2x)

= y"

((-12 12 co coss 2x — 4 sen sen 2x 2x)) + ex ((-6 6 sen sen 2x + 2c 2cos os 2x) 2x) +

e' (-6 sen 2x + 2cos2x)+ ex (3cos 2x + sen 2x); sustituyendo:

ex (-12 cos 2x — 4 sen2x)+ 2e' (-6 sen2x + 2cos 2x) + (3cos2x+sen2x)+e' (12 sen 2x — 4cos 2.0+ ex (-6cos2x— 2 sen2x)+ (15cos 2x + 5 sen 2x)

ex [-12 cos 2x — 4 sen 2x-12 sen 2x+ 4 cos 2x + 3cos 2x + sen 2x + 12 sen 2x— 4 cos 2x — 6cos 2x — 2 sen 2x + 5 sen 2x +

15 cos 2x1= e' (0) = 0 0 = 0.

 

EJERCICIOS 1.2 Averiguar si las siguientes funciones son solucion de la correspondiente ecuacion diferencial. 1. y = cez

2.  y =2e=2 e-

de 2x

/ — y= 0

1

+-e x 3

3. y=81nx+c

de

yi + 2y = ex

de ,

4. y = cie' +ce2' 5. y = 8e' +xex y

6. =

de

Y=

1 1 64 x2

y"— y•— 2y

0

y"— 2y' + y

0

de

senx

de xy' + y = cosx

3x 1

7.

cosx 3

8. y = — 

=0

de

y'—ytanx=0

de

ys = 3y2

de

(1— xlyt + icy = x

de

y

de

4 y " +8 Y + 5 y = 0

de

y" + y' = e" cos—x 2

de

y' +

3x + 2

9. y=1+c-

x2

10.  y =2xV1— X2 1

11. y e xcos— lc 2

= 4x —8x1

1

12. y= e' cos— x 13 13..

x = cost

Y=e 14. y=

Y

 — 0

1—x 1— x

x

cos x

de

xy' — y = X2 tan x sec x

de

yy` + 4x = 0

x = cost 15.

16.

1

y = 2s 2sen en t sen 12x y=e

de

 xy' — y tan ln ln y = 0

Definicion 1.7 Solucion Soluci on singular singular de una ecuacion diferencial es una funcion cuya tangente a

su grafica en cualquier punto (xo,y0) con la tangente de otra solucion,  pew ya no coi coinci ncide de con esta aff affirm irm tangen tangente te en ningun ninguna a vec vecind indad ad del punto (x0,y0), por pequeria que esta sea.

I Estas soluciones soluciones no se obtiene obtienen n a parti partirr de la soluciin general general.. Un metodo para encontrarr dichas soluciones es deriver la ecuacion diferencial dada con respect° a encontra con lo cual formamos un sistema de ecuaciones:

 F(x,y, y')= 0  F(x,y,y')=  F(x,y,y1 y,y1 =  , F(x, ay

a

0

del que, eliminando y`, se obtienen una o mas soluciones singulares.

 

EJEMPLO Hallar Hall ar las solu solucione cioness singula singulares, res, si las hay, de la ecuacion diferencia diferencial: l: /2

= 16x' Derivando con respect° ay' se tiene:

y' = 0 Por lo qu Por que e = solucion singular.

sust sustit ituy uyen endo do en lla a ec ecua uaci cion on,, se obt obtie iene ne x = 0, que que es la

En efecto, las soluciones genet-ales de dicha ecuacion son:

y = 2x2 + c, y = -2x2 +•, y pars el punt° (0, 0) su grafica es y= ±212

Figura 1-1.

y x = 0 es el punts de contact° con las pendientes de V_± en el punt° (0, 0).

Algunas soluciones de ecuaciones diferenciales se encuentran sometidas a deltas

condiciones previas que deben satisfacer. Un problema que implica resolver la ecuacion

sometida a

Y (x a ) Y u ; donde yo , y 1, iniciales.

xo)= yi;

; YR-1(xo)= YR-1

son minteros reales, se llama problema con condiciones

 

Dofinicion 1.8  Problem con valores iniciales es la ecuacion diferencial acompafiada de condic lanes ink isles.

e — EJEMPLO EJEMPLO 1 Resolver la ecuacion diferencial; 4xy = 0

Para la condicion

1  y = —  cuando x = 0, o Dien, brevernente: 5

1

y(0)=

5

La ecuacion puede expresarse coma-,

dy = 41-ydr o Bien

= 4xdx,

integrando ambos lados de la igualdad, se obtiene; dy

4

ln y= 2x2 -Pc

 y = ce12

Sustituyendo los valores del punt° (0, 1 5

, se tiene que:

1 0  — =ce —c.=1. 5 55 Por lo que la solucion particular es: 1

Y= — 5

 

EJEMPLO 2 Resolver la ecuacion diferencial:

y" = x, para y(-2) = 4 Yr(0)= I Integrando ambos lados de la ecnacion se Ilene!

d

dy

 x

dy x

 I 

d i 1 ) = Ji n x dx

dx dx

2 +

dx - 2

Y volviendo a integrar:  x2

dy 11

= c,x+ x+ c2 Y   —+ c, 6

 — + c,idx 2

La Ina' es una solucian general. aplicando la.s condiciones iniciales dadas: 1=0+e,

Para y'

=l

8 Para. y

4=

6

- 2c +

-

 –4 4=--2(1)+c., 3

y=

+

solucion particular..

6 3 Cornprobacion: derivando la soluciOn particular y sustituyendo en la ecua-

cion se tiene

Observacion: Se necesita igual ntimero de condiciones iniciales que el del . orden de la ecuacion diferencial.

 

p—EJEMPLO 3 Dada la funeion:

 y = c,e2r c,e 2r +

+c e

' 

como solucien (h forma de obtenerla se estudiara rnas adelante) de h ecuacion diferencial:

 y“ — 4y” +

+6y =0

encontrar la solucion particular pars las siguientes condiciones iniciales: yi(0) =4, y/(0)= —1, f(0)= 0

y(0) =c. +c2

+c2 +c3. = 4

2c,e1". —e2e-i+3e2e1( 1(0)= 2r,

2c, c2 + 3c3 _-1

+3c3

y" = 4c,e

+ c2e-z +9c3er 

 y"(0) =4c, =4c, +ca +9c3,  —> 4c, +c2 +9c3 =

Resolviendo el sistema de ecuaciones: c, + c2

c, =

=4

+ 3c1= —1

4c, + ci +9c1= 0 10 9 7 se (*Ilene: c, = —  , c2 = , cs = --7 3 12 4 10 ., 29   _i_  7 ti ... y=  —e + —e — e  — e es In solucion particular Para las condiciones

3

d.adas.

12

4

 

ESERCICIOS 1.3 Dada la ecuaciOn diferencial, su solucion y las condiciones iniciales, deterrninar el iv alor de las constantes arbitrarias_  1. y' +6x =0

y = 2. y2yf — 4x = 0

x2 +c

y(0) = 4

1

y  = 6x 2 +C

=0 W

3_ y'=1+y2 y=

tail (x+ c) Y(I) = 1

tanx+c 1 — c tan x

4.

= 1— y2

tanh-L y= tanh-L  y= x+ c

y(0) = 0

Donde —1 < y