Clase 13-Matriz de Rigidez y de Transformacion de Coordenadas

Ley de Maxwell Esta es la llamada ley de las deflexiones recíprocas, y fue desarrollada por James Clerck Maxwell en 1864. Se considera esta ley de Maxwell un caso particular de la ley de Betti. Dicha ley se enuncia así:

“Para una estructura linealmente elástica, la deflexión en un punto i debida a una carga unitaria aplicada en un punto j es igual a la deflexión en j debida a una carga unitaria en i”

Ley de Betti Es el caso generalizado de la ley de Mawell. Fue enunciada en 1872 por E. Betti. Esta se expresa como: “Para una estructura linealmente elástica, el trabajo virtual realizado por un sistema P de fuerzas y pares actuando a través de la deformación causada por otro sistema Q de fuerzas y pares es igual a trabajo virtual del sistema Q actuando a través de la deformación debida al sistema P”

Matriz de rigidez-Coordenadas locales  La estrategia para obtener la matriz de rigidez de un

elemento, consiste en identificar cuáles son los grados de libertad de los extremos del mismo. La posición deformada de éste será la superposición de las posiciones deformadas debidas en cada grado de libertad.  Así como el método de las deformaciones coherentes

permite definir coeficientes de flexibilidad, es posible obtener el inverso de éstos: coeficientes de rigidez.

Matriz de rigidez-Coordenadas locales  Los coeficientes de rigidez indican la fuerza o

momento que es necesario aplicar en el extremo de un elemento para obtener un desplazamiento o rotación unitaria.

Obtención de la Matriz de rigidez  Definir el sistema de coordenadas locales del elemento  Definir el nodo inicial y el nodo final  Identificar los grados de libertad de cada nodo (esto es,

los desplazamientos posibles que puedan tener)  Numerar cada desplazamiento, siguiendo la notación

de poner el menor número en dirección x local, el que siga en dirección y local y el tercero en z local

Obtención de la Matriz de rigidez  Se aplica una traslación o giro unitario en la misma

dirección de cada grado de libertad. Esto se hace a cada grado de libertad en forma independiente. Cuando se aplica un desplazamiento o giro unitario a un grado de libertad, se toman como cero los demás.  Se calculan las fuerzas y momentos que se producen por la

traslación o rotación unitaria en los demás grados de libertad. Recuerde que un desplazamiento en un grado de libertad de un nodo afectará en forma indirecta a todos los demás grados. Para hallar tales fuerzas y momentos se usan algunas relaciones vistas en Resistencia de Materiales, Análisis Estructural y Estática

Obtención de la Matriz de rigidez  Los valores obtenidos en el punto anterior se llaman

coeficientes de rigidez, y se denotan como kij, donde j es el grado de libertad que se hace igual a 1, e i es el grado de libertad en donde se induce una fuerza o momento de acuerdo al desplazamiento unitario de j.  De acuerdo con el teorema de Maxwell, se tiene que

kij=kji, por lo que la matriz de rigidez es simétrica. Así, no se hace necesario calcular todos los términos de la matriz.  La matriz obtenida de la manera antes descrita

está en términos de coordenadas locales

Matriz de rigidez-Armadura plana Hipótesis  Se desprecia el efecto del peso propio de los elementos  La unión de las barras conforman nudos articulados sin fricción  Las cargas se aplican en los nudos  La sección transversal de los elementos es pequeña comparada

con la longitud, y por tanto su inercia se asume como nula  Las barras soportan sólo a fuerza axial, y no a momentos de

flexión

Matriz de rigidez-Armadura plana

La matriz de rigidez de este elemento tiene la forma:

Matriz de rigidez-Armadura plana Los componentes de la matriz de rigidez se calculan usando el mismo procedimiento antes descrito, y usando las expresiones:

Matriz de rigidez-Armadura plana Mediante la aplicación de las anteriores ecuaciones, se obtienen los coeficientes de rigidez de la matriz para armaduras planas en coordenadas locales:

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Hipótesis  La viga no está sometida a carga axial  No tiene cargas aplicadas entre sus apoyos. Sólo las tiene

en sus extremos  La viga sólo está sometida a fuerza cortante y momentos flectores en sus extremos.

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Para la viga considerada antes, los grados de libertad considerados son los mostrados en la figura

Matriz de rigidez-Viga sin carga en la luz De acuerdo con lo anterior, la matriz de rigidez tendría esta forma:

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Para determinar la matriz de rigidez del elemento se da un valor unitario a cada uno de los grados de libertad, manteniendo igual a cero los demás. Usando las ecuaciones de pendiente-deflexión se hallan las fuerzas y momentos inducidos en los otros.

Como puede verse, la matriz de rigidez de una viga sin carga en su luz es de 4 x 4.

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Para u1=1

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Para u2=1

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Para u3=1

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Para u4=1

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Finalmente, se obtiene la matriz:

Matriz de rigidez-Columnas En un sentido más general, deberían considerarse no columnas sino elementos sometidos a fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. Al igual que con las vigas, no se consideran cargas entre los nudos

Matriz de rigidez-Columnas La matriz de rigidez de un elemento de esta naturaleza tiene orden de 6 x 6, y tendría los siguientes términos:

Matriz de rigidez-Columnas La obtención de la matriz de rigidez de estos elementos puede obtenerse a partir de una superposición de la de las vigas y las armaduras planas

Matriz de rigidez-Columnas Finalmente, la matriz buscada es:

Matriz de transformación Las ecuaciones de equilibrio hasta ahora obtenidas se han deducido para el sistema de coordenadas locales, en el cual el eje x coincide con el eje del elemento. Como la orientación de los elementos varía en el espacio habrá tantos sistemas de coordenadas como inclinaciones diferentes tengan los elementos. Trabajar en forma simultánea con tantos sistemas de coordenadas no es imposible, pero si es complicado y laborioso. Para facilitar esta labor, se suelen referir todas las deformaciones y las fuerzas a un único sistema de coordenadas global. Para esto es necesario establecer relaciones entre ambos sistemas.

Matriz de transformación El objetivo primario de la transformación de coordenadas es se esquematiza en la siguiente figura:

Matriz de transformación Es importante identificar el ángulo que se forma entre los dos sistemas de coordenadas. Este ángulo se mide del sistema local de coordenadas al sistema global de coordenadas. De esto depende su signo.

Matriz de transformación La deducción de las matrices de transformación es similar para todos los tipos de estructuras. Básicamente se fundamenta en la descomposición de vectores de fuerza en componentes ortogonales paralelas a los respectivos ejes de coordenadas locales. La idea detrás de esto es encontrar un sistema equivalente de fuerzas en coordenadas globales.

Por lo general suele calcularse no el ángulo entre elementos, sino que a partir de sus coordenadas se calculan los valores de sus funciones trigonométricas de seno y coseno. Para estructuras espaciales, se suelen calcular los cosenos directores de los elementos.

Matriz de transformación • Armaduras planas:

• Vigas: Al ser horizontales no es necesario transformar • Pórticos planos:

Matriz de transformación • Entramados o parrillas:

Referencias 1. URIBE,

Escamilla Jairo. Análisis de estructuras. Segunda edición. Editorial ECOE. Bogotá. Año 2000.

1. ROCHEL,

Awad Roberto. Análisis matricial de estructuras. Texto editado por la Universidad EAFIT en el año de 1993.

2. KASSIMALI, Aslam. Análisis Estructuras. Editorial

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6. McCORMAC,

Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. Tercera edición.2006

7. HIBBELER, Russell. Structural Analysis. Editorial Pearson.

Séptima Edición. 2009.