Clase 11. Flujo Compresible

Flujo compresible Tema Segundo parcial (30%) Capitulo 12 Cengel

Contenido 

Propiedades de estancamiento.



Velocidad del sonido y número de Mach.



Flujo isentrópico unidimensional.



Flujo isentrópico en toberas.



Ondas de choque (normales y oblicuas) y ondas de expansión.



 

Flujo en ducto con transferencia de calor y fricción despreciable (flujo de Rayleigh). Flujo adiabático en un ducto con fricción (flujo de Fanno). Ventiladores. Sopladores o Fuelles. Compresores: tipos, eficiencia volumétrica, relación de compresión, trabajo de compresión.

Compresibilidad

Flujo de un fluido compresible 



Cuando el fluido se desplaza a velocidades cercanas a la velocidad del sonido, los cambios de densidad se vuelven importantes y el flujo se llama compresible. Para líquidos se necesitan presiones del orden de 1000 atmosferas para alcanzar velocidades cercanas a la del sonido. En cambio en gases, solo se necesita una relaciones de presiones de 2:1 para crear flujo sónico. Por tanto en gases, el flujo compresible es muy común.

Donde es importante el estudio de flujo compresible? Sistema de propulsión, turbinas, compresores

•

Tobera Una tobera es un dispositivo que convierte la energía térmica y de presión de un fluido (conocida como entalpía) en energía cinética. Como tal, es utilizado en turbomáquinas y otras máquinas, como inyectores, surtidores, propulsión a chorro, etc. El fluido sufre un aumento de velocidad a medida que la sección de la tobera va disminuyendo, por lo que sufre también una disminución de presión y temperatura al conservarse la energía. El cambio en la energía potencial es despreciable.

Flujo de un fluido compresible Debido a que la variación de la densidad es acompañada por cambios de temperatura y transferencia de calor, será necesario utilizar la termodinámica. 

Primera ley: Balances de energía (En estado estable)



Segunda ley: Relación entre transferencia de calor, irreversibilidad y entropía*.

dS=dQ/T *Entropía: Magnitud física que permite determinara la cantidad de energía que no puede utilizarse para producir trabajo.

Flujo de un fluido compresible 

Otros conceptos necesarios 

Ecuación de continuidad

(masa/tiempo)entra = (masa/tiempo)sale 

Numero de Mach



Ecuación del gas ideal



Capacidad calórica

Propiedades de estancamiento 

Entalpia: Combinación de energía interna y energía de flujo:

También se llama entalpia estática o entalpia normal.



Entalpía de estancamiento (o entalpía total) h0: Combinación de la entalpia y energía cinética

Cuando la energía cinética es despreciable, las dos entalpias son iguales.

Flujo estacionario de un fluido a través de un ducto adiabático Considere el flujo estacionario de un fluido a través de un ducto, tal como una tobera, un difusor, o cualquier otro conducto de flujo en el cual el flujo es adiabático y donde no se realiza el trabajo de flecha o trabajo eléctrico.

Si el fluido se lleva al reposo, entonces la velocidad del estado 2 es 0. Entonces:

Así, la entalpía de estancamiento representa la entalpía de un fluido cuando se lleva al reposo adiabáticamente. Durante el proceso de estancamiento, la energía cinética de un fluido se convierte en entalpía (energía interna + energía de flujo), la cual da como resultado un aumento en la temperatura y la presión del fluido.

Estado de estancamiento isentrópico 

Se llama estado de estancamiento isentrópico cuando el proceso de estancamiento es reversible y adiabático (es decir, isentrópico). La entropía de un fluido permanece constante durante proceso isentrópico de llevar el fluido al el estado de estancamiento.



El estado de estancamiento y las propiedades de estancamiento se indican con el subíndice 0.

Estado de estancamiento isentrópico y estado real de estancamiento La entalpía de estancamiento del fluido (y la temperatura de estancamiento si el fluido es un gas ideal) es la misma para ambos casos (estado de estancamiento y estado real de estancamiento). Sin embargo, la presión de estancamiento real es menor que la presión de estancamiento isentrópica porque la entropía aumenta durante el proceso real de estancamiento como resultado de la fricción del fluido.

Estancamiento de un gas ideal En un gas ideal:

h = cpT Entonces:

T0

se llama temperatura de estancamiento (o temperatura total), y representa la temperatura que alcanza un gas ideal cuando se lleva al reposo adiabáticamente. El término V2/2cp corresponde al incremento de la temperatura alcanzado durante tal proceso y se llama temperatura dinámica. Para los flujos a bajas velocidades, las temperaturas de estancamiento y estática son prácticamente iguales. Pero, para flujos a altas velocidades, la temperatura de estancamiento puede ser considerablemente mayor que la temperatura estática del fluido.

Presión de estancamiento P0 Es la presión que alcanza un fluido cuando se lleva al reposo isentrópicamente. Gas ideal:

Para un gas ideal con calores específicos constantes, P0 está relacionado con la presión estática del fluido mediante:

Densidad de estancamiento Teniendo en cuenta la relación isentrópica,

Y que, Entonces:

Cálculos entre dos estados

Balances de energía Balance de energía para el dispositivo de flujo estacionario con una entrada y una salida en términos de propiedades de estancamiento:

Cuando el fluido es un gas ideal con calores específicos constantes:

Ejercicio

Velocidad del sonido Es velocidad a la cual una onda de presión infinitesimalmente pequeña viaja a través de un medio. Obtención de la expresión para la velocidad de sonido en un medio: Considere un conducto lleno de fluido en reposo. Un émbolo colocado en el conducto se mueve a la derecha con una velocidad infinitesimal constantedV y crea una onda sónica. El frente de onda se mueve a la derecha a través del fluido a la velocidad del sonidoc y separa el fluido adyacente al pistón que ya está en movimiento del fluido que aún está en reposo. Considere un volumen de control que encierra al frente de onda y que se mueve con él. Para un observador que viaja con el frente de onda, el fluido a la derecha parecería moverse hacia el frente de onda con una velocidad c y el fluido a la izquierda parecería alejarse del frente de onda con una velocidad c - dV.

* Las ondas de propagación de sonido se deben a cambios de presión infinitesimalmente pequeños.

Obtención de la expresión para la velocidad de sonido en un medio 

Balance de masa:



Balance de energía: (no hay transferencia de energía en forma de calor o trabajo)

*Se desprecia el producto entre diferenciales

Obtención de la expresión para la velocidad de sonido en un medio 

Balance de entropía:

La amplitud de la onda sónica es pequeña y no causa cambios apreciables en la temperatura y presión del fluido. Por eso, la propagación de una onda sónica es casi isentrópica. Entonces:

Obtención de la expresión para la velocidad de sonido en un medio 

Combinando:



También se puede expresar como:

Obtención de la expresión para la velocidad de sonido en un medio 

Para un gas ideal

Velocidad del sonido 

La velocidad del sonido varía con la temperatura y con el fluido

R tiene valor fijo para un gas ideal en particular . La razón de calores específicos k de un gas ideal es una función de la temperatura.

Preguntas 



En qué medio viaja más rápido una onda de sonido ¿en aire a 20°C y 1 atm o en aire a 20°C y 50 atm?.

Puede el sonido propagarse en el vacio?

Numero de Mach, Ma 

Es el cociente de la velocidad real del fluido (o de un objeto que se mueve en el fluido en reposo) entre la velocidad del sonido en el mismo fluido, en el mismo estado.

¿El número de Mach permanece constante para un gas que fluye a velocidad constante?

Ejercicio 

Determine la velocidad del sonido en aire a a) 300 K b) 1 000 K.



Determine también el número de Mach de un avión que vuela a una velocidad constante de 240 m/s para ambos casos.

Preguntas ¿Cómo varia el numero de Mach de un cohete que asciende verticalmente a velocidad constante? (ver el cambio en la temperatura del aire con la altitud en tabla A-11, pag 897). Como se calcula el numero de Mach de un cohete que esta a la mitad de la •

•

distancia entre la tierra y la luna viajando a velocidad constante?

Ejercicio 

Entra dióxido de carbono a una tobera adiabática a 1 200 K a una velocidad de 50 m/s y abandona la tobera a 400 K. Considerando calores específicos constantes e iguales a sus valores a temperatura ambiente, determine el número de Mach en la entrada y la salida de la tobera.

Datos de R, cp y k se pueden obtener de la tabla A-1 página 886

Clasificación de los flujos según el número de Mach Sónico Subsónico Supersónico Hipersónico Transónico

Flujo isentrópico unidimensional Toberas convergente-divergentes. 

Ejemplo 12-3 Gas que fluye a través de un ducto convergente-divergente. Dióxido de carbono que fluye de manera estacionaria a través de un ducto con área de sección transversal variante



Mientras la presión disminuye, la temperatura y la velocidad del sonido disminuyen. En cambio, la velocidad del fluido y el número de Mach aumentan.

Flujo isentrópico unidimensional El número de Mach es igual a la unidad en la región de menor área de flujo, llamada garganta la velocidad del fluido continúa en aumento después de pasar por la garganta, aunque el área de flujo aumenta rápidamente en esta región. Este incremento en la velocidad a través de la garganta se debe a la rápida disminución en la densidad del fluido.

Las toberas convergentedivergentes se usan para acelerar gases a velocidades supersónicas.

32

Variación de la velocidad de fluido con el área de flujo 



Balance de masa para un proceso de flujo estacionario:

Se busca el diferencial y se divide la ecuación la razón de flujo deresultante masa y seentre obtiene:



Balance de energía para un flujo isentrópico sin interacciones de trabajo: 



33

Variación de la velocidad de fluido con el área de flujo 

Combinando:



Se sustituye también la expresión para la velocidad del sonido



Se obtiene: Describe la variación de la presión en función de la variación del área de flujo.

34

Variación de la velocidad de fluido con el área de flujo 

Flujos subsónicos (Ma1): El termino (1-Ma2) es negativo y por tanto dA y dP deben tener signos opuestos. 



La presión del fluido debe aumentar si el área de flujo del ducto disminuye, y debe disminuir si el área del flujo del ducto aumenta. A velocidades supersónicas la presión disminuye en ductos divergentes y disminuye en ductos convergentes. 35

Variación de la velocidad de fluido con el área de flujo 

Otra relación es:

36

Variación de la velocidad de fluido con el área de flujo La velocidad más alta que puede alcanzarse mediante una tobera convergente es la velocidad sónica.

37

Variación de las propiedades de flujo en las toberas aceleradoras y toberas desaceleradoras (difusores) subsónicas y supersónicas.









38

Relaciones de propiedades de flujo isentrópico de gas ideal

39

Propiedades del fluido en una región donde el número de Mach = 1 



Son llamadas propiedades críticas. Son diferentes a las propiedades criticas usadas en termodinámica. La relaciones anteriores se expresan así:

Razones críticas (Ma = 1)

40

Propiedades críticas

41

Ejercicio

42

Flujo isentrópico en toberas Considere: Flujo subsonico Deposito grande => velocidad de entrada despreciable

Puesto que velocidad del fluido en depósito es la cero y el flujo a través de el la tobera se aproxima como isentrópico, la presión de estancamiento y temperatura de estancamiento del fluido en cualquier sección transversal de la tobera son iguales a la presión y temperatura del tanque.

El flujo está bloqueado o estrangulado

43

Razón del flujo de masa a través de la tobera Para gas ideal:

Reemplazando la expresiones para T y P:

La razon maxima de flujo se obtiene cuando Ma=1 44

Efecto de la presión del receptor Pb en la razón del flujo de masa y la presión a la salida Pe de una tobera convergente

45

Variación de la razón de flujo de masa a través de una tobera con propiedades de estancamiento a la entrada

46

Relación para la variación del área de flujo A a lo largo de la tobera respecto al área A* de la garganta

47

Ejercicio Un gas ideal con k = 1.33 fluye en una tobera en la cual el número de Mach es de 2.4 en una sección transversal de 25 cm2 de área. Suponga flujo isentrópico y determine el área de flujo en la posición donde el número de Mach es 1.2.

Nota: Forzar un fluido a pasar a través de una tobera convergente-divergente no garantiza que el fluido se acelerará a una velocidad supersónica.

48

El numero Ma* Es la razón de la velocidad local a la velocidad del sonido en la garganta:

49

Ejercicio Efecto de la presión del receptor en la razó n de flujo de masa Se tiene aire a 1 MPa y 600 °C que entra a una tobera convergente con una velocidad de 150 m/s. Determine la razón del flujo de masa a través de la tobera para un área de la garganta de la tobera de 50 cm 2 cuando la presión del receptor es:  

a) 0.7 MPa y b) 0.4 MPa. 

50

Toberas convergente-divergentes El flujo en una tobera se determina por la razón de presiones Pb/P0. Cuando Pb = P0, no hay flujo a través de la tobera.

Garganta

Considere la tobera convergente-divergente: 1. P0 > Pb > PC. 2. Pb > Pc.

3. PC > Pb > PE. 4. PE > Pb > 0.

51

Ondas de choque 

Para algunos valores de presión del receptor ocurren cambios abruptos en las propiedades de los fluidos en una sección muy delgada de una tobera convergente-divergente en condiciones de flujo supersónico y crean una onda de choque.



Existen:



Ondas de choque normales



Ondas de choque oblicuas

Onda de choque normal

52

Ondas de choque normales 

Ocurren en la misma dirección del flujo.



Es un proceso muy irreversible y no puede aproximarse como isentrópico.



Conservación de la masa:



Conservación de la energía:



Conservación de cantidad de

movimiento:



Incremento de entropía:

Se considera flujo estacionario sin transferencia de calor o interacciones de trabajo y sin cambios de energía potencial 53

Diagrama h-s para el flujo a través de un choque normal Línea de Fanno: Combinación de relaciones de conservación de masa y energía. Describe estados con el mismo valor de entalpía de estancamiento y flujo de masa por unidad de área

Línea de Rayleigh: Combinación de relaciones de conservación de masa y de cantidad de movimiento.

El flujo cambia de supersónico a subsónico si ocurre una onda de choque normal. 54

Relaciones para ondas de choque normales 

Como h01 = h02, entonces:

Sin embargo: La presión de estancamiento disminuye. 

La temperatura normal (estática) aumenta (debido a la conversión de energía cinética en entalpía). 



La velocidad del fluido disminuye.



55

Relaciones para ondas de choque normales (gases ideales, cp y cv constantes) Relación de temperaturas

56

Relaciones para ondas de choque normales (gases ideales, cp y cv constantes) Relación de presiones:

57

Relaciones para ondas de choque normales (gases ideales, cp y cv constantes) Relación de números Ma

Representa la intersección de las líneas de Fanno y Rayleigh

58

Funciones de onda de choque normal unidimensional para un gas ideal con k = 1.4

El número de Mach después del choque (Ma2) es siempre menor que 1 y cuanto mayor es el número de Mach supersónico antes (Ma1), menor es del el númerodelde choque Mach subsónico después choque. La presión estática, la temperatura y la densidad aumentan después del choque, mientras que la presión de estancamiento disminuye.

59

Relaciones para la ondas de choque normales (gases ideales, cp y cv constantes) Cambio de entropía en el choque

Una onda de choque normal no puede existir para valores de Ma1 menores que la unidad, donde el cambio de entropía sería negativo. Para flujos adiabáticos, las ondas de choque existen solamente para flujos supersónicos, Ma1 > 1. 60

Ondas de choque oblicuas

Onda de choque oblicua con el ángulo de choque provocada por una delgada cuña bidimensional de semiángulo δ. El flujo gira en un ángulo de deflexión ϴ corriente abajo del choque, y el número de Mach disminuye. El ángulo de deflexión ϴ es igual al semiángulo δ de la cuña.

El número de Mach disminuye en un choque oblicuo, y las ondas de choque oblicuas son posibles solamente si el flujo corriente arriba es supersónico (Ma1 > 1). Ma2 puedes ser mayor que 1. Dado que la presión aumenta a través de la onda de choque, estas se denominan 61 también ondas de com resión.

Relaciones para ondas de choque oblicuas (gases ideales, cp y cv constantes) La entalpía de estancamiento no cambia en un choque oblicuo.

Relación -ϴ-Ma

62

Dependencia del ángulo de deflexión ϴ del ángulo de choque  en un choque oblicuo recto para varios valores del número de Mach corriente arriba Ma1

Onda de Mach (ϴ=0)

63

Observaciones de la gráfica 

•

Si el semiángulo de la cuña es mayor que ϴmáx, la onda de choque se curva y separa de la punta de cuña para formar lo que se llama onda de choque separada u onda de proa.

Flujo axisimétrico alrededor de los conos

64

Observaciones de la gráfica 

Flujo supersónico incidiendo en un cuerpo romo (sin punta afilada) 





No no puede existir un choque oblicuo separado de la superficie del cuerpo, cualquiera que sea el número de Mach. Siempre se genera una onda separada.

Hay dos posibles valores de  para ϴ < ϴmáx . 







El semiángulo es de 90°.

Se establecen dos regiones en la grafica Ondas de choque oblicuas débiles (correspondientes al menor valor de ) Ondas de choque oblicuas fuertes (correspondientes al mayor valor de ).

Para un número de Mach corriente arriba Ma1 dado, existe un único valor de ϴ para el cual el número de Mach corriente abajo Ma2 es exactamente 1. 65

Angulo de Mach Asociado a ondas de Mach. Las ondas de Mach no tienen efecto alguno en el flujo porque el choque es despreciablemente débil.



Se obtiene para la onda de choque oblicua mas débil posible



Se calcula con:

Haciendo

Angulo de Mach

*

Es independiente de k 66

Ejercicio Cálculo de onda de choque oblicua 

Aire supersónico a Ma1 = 2.0 y 75.0 kPa incide en una cuña bidimensional de semiángulo δ = 10°. Calcule los dos posibles ángulos de choque oblicuo débil y fuerte, que podrían producirse por esta cuña. Para cada caso, calcule la presión y el número de Mach corriente abajo del choque oblicuo.

67

Ondas de expansión de Prandtl-Meyer Se presentan en las situaciones en las cuales el flujo supersónico gira en dirección opuesta. 

Ondas de expansión de PrandtlMeyer

Suceden cuando el ángulo de ataque es mayor que el semiángulo de la cuña δ. 

Se le conoce como flujo de expansión.  Un flujo de expansión no se obtiene debido a una onda de choque.

ϴ





δ

El flujo cambia su dirección gradualmente.

El flujo que atraviesa todo el abanico de expansión es isentrópico. 

El número de Mach corriente abajo de la región de expansión aumenta (Ma 2 > Ma1). 

La presión, la densidad y la temperatura disminuyen. 

68

Ondas de expansión de Prandtl-Meyer

69

Angulo de inclinación de las ondas de expansión de Prandtl-Meyer  



Es el ángulo de Mach local . El ángulo de Mach de la primera onda de expansión se determina con:

El ángulo de la última onda es:

* 2 se mide con respecto a la nueva dirección del flujo corriente abajo de la región de expansión (dirección paralela a la superficie superior de la cuña) 70

Angulo de giro a través de un abanico de expansión 1 (Ma) es funcion de Prandtl-Meyer. Se calcula así:

ν

2

Para encontrar Ma2 para valores conocidos de Ma 1, k y ϴ, se calcula ν(Ma1) con la ecuación 2. Luego se obtiene ν(Ma2) con la ecuación 1. Posteriormente se obtiene Ma2 con la ecuación 2. 

Al ser un proceso isentrópico T0 y P0 permanecen constantes, y se usan las relaciones del flujo isentrópico obtenidas previamente para calcular otras propiedades de flujo corriente abajo de la expansión, tales como T2, 2 y P2. 



Ver ejemplo 12-12 de Cengel

71

Combinación de ondas de choque y ondas de expansión en chorros supersónico sobreexpandido “

”

72

Flujo en ducto con transferencia de calor de fricción despreciable Flujo de Rayleigh Se considera flujo unidimensional de un gas idea con calores específicos constantes en un ducto con área de sección transversal constante con transferencia de calor y con efectos de fricción despreciables.

73

Flujo de Rayleigh 

Ecuación de continuidad



Ecuación de cantidad de movimiento

 es aproximadamente igual a 1 (factor de corrección del flujo de cantidad de movimiento)

74

Flujo de Rayleigh 

Ecuación de energía

75

Flujo de Rayleigh 





Cambio en la entropía

La entropía del fluido puede aumentar o disminuir en el flujo de Rayleigh, esto depende de la dirección de la transferencia del calor.

Ecuación de estado

76

Diagrama T-s para el flujo en un ducto de área constante con transferencia de calor y de fricción despreciable (flujo de Rayleigh)

77

Efectos de calentamiento y enfriamiento en las propiedades de flujo de Rayleigh

78

Relaciones entre las propiedades para el flujo de Rayleigh (gas ideal, k=cte) Cantidad de movimiento

Ecuación de continuidad

79

Relaciones entre las propiedades para el flujo de Rayleigh (gas ideal, k=cte) Ecuación de gas ideal

Relacione de velocidades en términos de Ma

80

Relaciones entre las propiedades para el flujo de Rayleigh en terminos de las propiedades criticas (gas ideal, k=cte) Dado que las propiedades de flujo en condiciones sónicas son, usualmente, fáciles de determinar, entonces se usa el estado crítico (correspondiente a Ma = 1) como punto de referencia. Se toma como el estado 2 como sónico (Ma = 1 y se usa el superíndice *). El estado 1 es cualquier estado (subsónico o supersónico). Las relaciones anteriores quedan entonces así:

81

Relaciones entre las propiedades de estancamiento para el flujo de Rayleigh en términos de las propiedades criticas (gas ideal, k=cte) Las relaciones para la temperatura de estancamiento y la presión de estancamiento adimensionales quedan así:

También:

82

Valores de las relaciones entre las propiedades para el flujo de Rayleigh en términos de las propiedades criticas (gas ideal, k=1.4)

83

Flujo de Rayleigh bloqueado o estrangulado El flujo subsónico de Rayleigh en un ducto puede acelerarse mediante calentamiento hasta la velocidad sónica. (Ma = 1). ¿Qué ocurre calentándose?

si

el

fluido

continúa

¿Continuará el fluido acelerándose velocidades supersónicas?

a

Un fluido en el estado crítico, no puede acelerarse a velocidades supersónicas mediante calentamiento.

84

Flujo de Rayleigh bloqueado o estrangulado El calor adicional transferido ocasiona el fenómeno de bloqueo y por lo tanto un cambio en el estado de entrada (la velocidad de entrada disminuye), y el flujo ya no sigue sobre la misma línea de Rayleigh. Calor máximo:

Temperatura máxima de enfriamiento:

85

Ejercicio Una cámara de combustión consiste de un combustor tubular de 15 cm de diámetro. Aire comprimido entra en los tubos a 550 K, 480 kPa y 80 m/s. Combustible con un valor de poder calorífico de 42 000 kJ/kg se inyecta al aire y se quema a una razón de masas de aire y combustible de 40. Aproxime el proceso de combustión con la transferencia de calor al aire y determine la temperatura, presión, velocidad y número de Mach en la salida de la cámara de combustión.

86

Flujo adiabático en un ducto con fricción Flujo de Fanno La fricción en las superficies es importante y debe considerarse cuando se estudian largos tramos de flujo, especialmente cuando el área de sección transversal es pequeña.

Se considera Considere el flujo estacionario, adiabático y unidimensional de un gas ideal con calores específicos constantes en ducto de área de sección transversal constante con efectos de fricción importantes.

87

Ecuaciones de conservación para Flujo de Fanno 

Ecuación de continuidad

88

Ecuaciones de conservación para Flujo de Fanno 

• • • •

Ecuación de la cantidad de movimiento en x:

Ffricción es la fuerza ejercida por la superficie interior en el fluido. Se considera que no existen otras fuerzas externas o del cuerpo.  de flujopermanecerían =1. Seno aproxima factor de corrección de cantidad de constantes movimiento Si hubierael fricción, todas las propiedades encomo el ducto.

89

Ecuaciones de conservación para Flujo de Fanno 

Ecuación de la energía:

Para un gas con calores específicos constantes:

La entalpía de estancamiento h0 y la temperatura de estancamiento T0 permanecen constantes en el flujo de Fanno.

90

Ecuaciones de conservación para Flujo de Fanno Cambio de entropía 



En ausencia de cualquier transferencia de calor, la entropía de un sistema cambia solamente debido a irreversibilidades como la fricción, cuyo efecto siempre aumenta la entropía. Por lo tanto, la entropía del fluido debe aumentar en el flujo de Fanno. Para un gas ideal con calores específicos constantes: 

91

Ecuaciones de conservación para Flujo de Fanno Ecuación de estado:

92

Diagrama T-s para un flujo adiabático en un ducto de área constante (Flujo de Fanno) Los valores numéricos se dan para el aire con k = 1.4 a condiciones de entrada T1 = 500 K, P1 = 600 kPa, V1 = 80 m/s y un valor de s1 = 0 asignado.  La

línea indica todos los posibles estados que satisfacen las ecuaciones de conservación para flujo de Fanno. 

En el punto de máxima entropía, el número de Mach es Ma=1. Todos los estados en la parte superior de la línea de Fanno son subsónicos y todos aquéllos en la parte inferior son supersónicos.  La

fricción aumenta el número de Mach del flujo de Fanno subsónico, pero disminuye el número de Mach del flujo de Fanno supersónico. 93

Diagrama T-s para un flujo adiabático en un ducto de área constante (Flujo de Fanno)

La temperatura de estancamiento T0 permanece constante, pero la temperatura real puede cambiar. La velocidad aumenta y por lo tanto la temperatura disminuye en un flujo subsónico, pero ocurre lo opuesto en un flujo supersónico.

94

Efectos de la fricción en las propiedades del flujo de Fanno

95

Relaciones entre las propiedades para flujo de Fanno Para flujos compresibles la velocidad varía notablemente y, por lo tanto, es necesario realizar un análisis diferencial para considerar la variación de la fuerza de fricción.

Ecuación de continuidad

96

Relaciones entre las propiedades para flujo de Fanno Ecuación de cantidad de movimiento

1

La fuerza de fricción está relacionada con el esfuerzo cortante en las paredes τw y el factor de fricción local fx mediante la ecuación: 97

Relaciones entre las propiedades para flujo de Fanno Ecuación de cantidad de movimiento Reemplazando en la ecuación 1, se obtiene:

2

3

Usando:

Se obtiene:

98

Relaciones entre las propiedades para flujo de Fanno Ecuación de energía Se tenia que:

Al diferenciar y reordenar términos se obtiene:

4

Expresión para el cambio diferencial de la temperatura en términos de un cambio diferencial del número de Mach. 99

Relaciones entre las propiedades para flujo de Fanno Numero de Mach

5 Para gases ideales el Ma puede escribirse así:

Al diferenciar y reordenar términos se obtiene:

Al combinar con la ecuación 4 se obtiene:

ó

6

100

Relaciones entre las propiedades para flujo de Fanno Ecuación de gas ideal Al combinar con la continuidad se obtiene:

ecuación

de

Al diferenciar se obtiene:

Al combinar con las ecuaciones 4 y 5 se obtiene:

7

Expresión para los cambios diferenciales en P con Ma.

101

Relaciones entre las propiedades para flujo de Fanno Al combinar las ecuaciones 2, 5 y 7, se obtiene:

8

Ecuación diferencial para la variación del numero de Ma con respecto a x. Puede usarse también para ductos cortos que no alcanzan Ma=1.

102

Expresión de la propiedades del flujo Fanno en relación con las propiedades criticas Al integrar la ecuación 8 entre cualquier estado hasta el estado crítico (Ma=1 y x=xcr), se obtiene:

f es el factor de fricción promedio (asumido constante) entre x y xcr. L* = xcr – x, es la longitud del ducto necesaria para que el numero de Mach alcance el valor de la unidad. L* se llama longitud máxima, longitud crítica o longitud sónica.

103

Expresión de la propiedades del flujo Fanno en relación con las propiedades criticas La longitud real del ducto L entre dos secciones que tienen números de Ma1 y Ma2 puede determinarse a partir de: Si se considera f constante, entonces:

El factor de fricción depende del numero de Reynolds, Re=VDh/, y de la rugosidad adimensional ε/Dh. Dado que V=constante (ecuación de continuidad), entonces la variación de Re es moderada. Cualquier cambio en Re se debe solamente al cambio en la viscosidad con la temperatura. Para flujo subsónico se puede obtener f del diagrama de Moody, la ecuación de Colebrook o alguna aproximación como por ejemplo la de Haaland: Para Re que tiende a infinito, entonces la ecuación de Colebrook se reduce a: Haaland

104

Expresión de la propiedades del flujo Fanno en relación con las propiedades criticas Las otras propiedades pueden obtenerse integrando las relaciones para dP/P, dT/T y dV/V , desde cualquier estado hasta el estado critico:

105

Expresión de la propiedades de estancamiento del flujo Fanno en relación con las propiedades criticas

En cualquier lugar del ducto

106

Forma tabular para algunos valores de las propiedades en flujo de Fanno (gas ideal, k=1.4)

107

Flujo de Fanno Bloqueado 



En flujo subsónico, que pasa si se extiende la longitud la longitud del ducto a un valor mas alto que L*? Se acelerará el flujo hasta alcanzar velocidades supersónicas?

Respuesta: No porque a Ma=1 el flujo esta en su punto de máxima entropía. Para seguir a lo largo de la

línea de Fanno a la región supersónica se necesita que la entropía disminuya, lo cual es imposible (segunda ley de la Termodinámica). En el punto de Ma=1 el flujo esta bloqueado o extrangulado. arriba de L*, simplemente se mueve el estado crítico corriente abajo y se reduce la razón de flujo. Esto srcina un cambio en el estado de entrada (la Si se extiende la longitud del ducto por

velocidad de entrada disminuye), y el flujo se mueve a una línea de Fanno diferente.

108

Flujo de Fanno Bloqueado 

En flujo supersónico, que pasa si se extiende la longitud la longitud del ducto a un valor mas alto que L*?

Respuesta: Un aumento adicional en la longitud del ducto por arriba de L* no puede bloquear el flujo debido a que éste ya está bloqueado. En cambio se srcina una onda de choque normal en el lugar adecuado para que el flujo subsónico que surge de la onda de choque sea nuevamente sónico justo a la salida del ducto. Los incrementos progresivos de L* desplazan el punto de formación de la onda de choque. La

razón de flujo es máximo para la condición de flujo

estancado.

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Ejercicio Aire a T0=290 K y P0=95 kPa de una manera estacionaria se extrae de un contenedor mediante una bomba de vacío a través de un tubo adiabático de 1 cm de diámetro y 50 cm de longitud equipada con una boquilla convergente a la entrada. El flujo en su tramo correspondiente a la boquilla puede considerarse como el flujo isentrópico, y el factor de fricción promedio para este ducto se toma de 0.018. Determine el flujo másico máximo de aire que puede extraerse a través de este tubo y el número de Mach a la entrada del tubo.

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Ejercicio Entra aire a un ducto adiabático de 15 m de longitud y 4 cm de diámetro a V1=70 m/s, T1=500 K y P1=300 kPa. El factor de fricción promedio para el ducto se estima como 0.023. Determine el número de Mach a la salida del ducto, la velocidad de salida y la razón del flujo de masa del aire.

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