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INVESTIGACION DE OPERACIONES II
Ing. Enrique Enrique M. Avenda Avendaño ño Delga Delgado do
[email protected]
REGLAS DE CONVIVENCIA:
• PUNTUALIDAD Hora de Inicio de Clase: Según lo establecido en Horario
• ASISTENCI ASISTENCIA A Límite de Faltas: 11
• Exámenes en al Fecha Trámite en la Oficina de Bienestar Universitario Norma: GF-BU-P01-N01
• CELULAR en vibrador. No Mensajes de Texto, ni Internet Phubbing
• DESCANSO POR SESION Clase Teoría: (10 (10 min a las 9.00 am)
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AULA VIRTUAL
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AULA VIRTUA VIRTUAL L
FORMAS DE COMUNICA COMUNICACIÓN: CIÓN:
Al término de Clase
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@enriqueavendano
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TRABAJO APLICA APLICATIVO TIVO T3 FERIA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
TRABAJO APLICATIVO APLICATIVO T3 FERIA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
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TRABAJO APLICATIVO APLICATIVO T3 FERIA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
TRABAJO APLICATIVO APLICATIVO T3 FERIA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
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TRABAJO APLICATIVO APLICATIVO T3 FERIA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
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TRABAJO APLICATIVO APLICATIVO T3 FERIA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES
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PREGUNTAS...?
REGLAS
ASISTENCIA • PUNTUALIDAD • EXAMENES EN LA FECHA ARTICIPACION EN CLASES • PARTICIPACION • HORIZONTALIDAD •
SIN TIMIDEZ...
REPASO
Ing. Enrique Enrique M. Avenda Avendaño ño Delg Delgado ado
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LA PL DESCANSA EN 4 SUPUESTOS:
Este supuesto asegura que las variables
• Divisibilidad
de decisión pueden tomar cualquier valor fraccionario a cualquier nivel.
• Proporcionalidad • Aditividad
Toda c aracterísticas de costos, Toda utilidades, utilización de recursos, contribucioness a contribucione las propiedades de los productos y demás, siempre serán en forma proporcional al valor de la variable asociada.
• Determinístico Todos los coeficientes de costos, los coeficientes tecnológicos y los valores para los niveles de recursos son conocidos determinísticamente. Todo efecto probabilístico o estocástico inherente se asume que se ha reducido
Este supuesto garantiza que el costo total es la suma de todos los costos parciales y que la contribución total en cada restricción es la suma de las contribuciones individuales. Esto es, no hay substitución ni efectos de interacción entre actividades
3 CONDICIONES BÁSICAS:
Variables de decisión y parámetros
Función Objetivo
Restricciones Condiciones de No Negatividad
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PROGRAMACIÓN PROGRAMAC IÓN LINEAL PL) •
Todas las variables están restringidas a tomar valores positivos Max (z) = C.X sujeto a:
AX Xi ≥ 0
≤
b
; i = 1,2,…n
EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOO WOODC DCAR ARVI VING NG (JUGUETES DE MADERA GIAPETTO) Giapetto s Woodcarving Woodcarving,, Inc. Manufactura Manufactura dos dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado se vende en 27 dólares y requiere 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y los costos globales ´
de Giapetto en 14 dólares. Un los trentrenes se vende en 21 dólares y utiliza util 9 dólares devariable su valor en materia prima. Todos fabricados aumentan laiza mano de obra y los costos globales globales de Giapetto en 10 dólares. La fabricación de soldados y trenes de madera requiere dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y acabados. Un soldado necesita dos horas de trabajo de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. Todas Todas las semanas, Giapetto consigue todo el material necesario, pero sólo 100 horas de trabajo de acabado y 80 de carpintería. carpinter ía. La demanda de trenes es ilimitada, ilimit ada, pero se venden cuando mucho 40 soldados por semana. Giapetto desea maximizar las utilidades semanales (ingresos – costos), Diseñe un modelo matemático para la situación de Giapetto que se use para maximizar las utilidades semanales de la empresa.
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SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Al desarrollar el modelo para Giapetto se explotan las características que comparten todos los problemas de programación lineal. Variables de decisión: Se empieza por definir las variables de decisión pertinent pertinentes. es. En cualquier modelo de programación lineal, las variables de decisión deben describir por completo las decisiones decisiones que se tienen que tomar (en este caso, Giapetto). Evidentemente, Evident emente, Giapetto debe decidir cuántos soldados y trenes se debe fabricar fabricar cada semana.
X1 :
C antidad de soldados fabri cados cada c ada s ema emana na
X2 :
C antidad de trenes trenes fabric ados cada c ada s ema emana na
SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Función Objetivo: En cualquier programación programación lineal, el que toma las decisiones desea maximizar (por lo regular, regular, los ingresos y las utilidades) utilidades ) o reducir reducir al mínimo (casi siempre, los costos) algunas funciones funciones de la variable de decisión. La función que se desea maximizar o minimizar recibe el nombre de función objetivo. En lo que se refiere al problema de Giapetto, se observa que los costos fijos (como renta o los seguros) no dependen de los valores valores de x1 y x2. Por consiguiente consiguiente Giapetto se puede concentrar concentr ar en maximizar (ingresos semanales) – (costos de compra de materia prima) – (otros costos variables). Los ingresos y los costos por semana de Giapetto Giapetto,, se pueden expresar en término términoss de las variables variables de decisión x1 y x2, Sería Sería una tonteria tonteria que Giapetto fabri fabricara cara más soldados de los que pueden pueden venderse, así que se supone que todos los juguetes producidos se venderán. Entonces.
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SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Ingresos por semana = Ingresos por semana proporcionados por los soldados
+ ingresos por semana proporcionados por los trenes Dólares Solados Dólares Trenes Soldado Semana Tren Semana
Ingresos p por or semana
Ingresos p por or semana 27 X 1 21X 2
SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Asimismo, Costos de la materia prima pri ma a la semana = 10x1 + 9x2 Otros costos variables a la semana = 14x1 + 10x2
Entonces, Giapetto quiere qu iere maximizar (27x1 + 21x2) – (10x1 + 9x2) – (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2 Por consiguiente, consiguiente, el objetivo de Giapptto es escoger x1 y x2 para maximizar 3x1 + 2x2. Se utiliza la variable v ariable z para notar el valor v alor de la función objetivo de cualquier PL. La función objetivo de Giapetto es:
F.O.
Max z 3x 3x1 1 2x 2x2 2
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SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Restricción: A medida que X1 y X2 se incrementan, la función objetivo de Giapetto se hace más grande. Esto quiere quiere decir que si Giapetto fuera libre libre para escoger cualquier valor para X1 y X2, la compañía podría tener unas utilidades arbitrariamente arbitrar iamente grandes al escoger e scoger X1 y X2 muy grandes. Desafortunadament De safortunadamente, e, los valores de X1 y X2 están controlados controlados por las siguientes tres restricciones restricciones (con frecuencia frecuenc ia llamadas limitaciones limitaciones). ). Restricción 1: Se pueden usar cada semana no mas de 100 horas de tiempo de acabado. Restricción 2: Cada semana se pueden usar no más de 80 horas de tiempo de carpintería. Restricción 3: Debido a la demanda limitada, cuando mucho se deben producir cada semana 40 soldados.
SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Se suponeque quelas la cantidad prima en exist existencia es ilimitada, asíson que no Obsérvese unidadesde demateria todos los términos enencia la ecuación anterior hay restricción alguna relacionada horas de acabado por semana. Paracon queesto. una restricción sea razonable, todos los términos de la restricción debe tener las unidades. El siguiente paso en el planeamiento demismas un modelo matemático De lo contrario, para el problema problem uno a
está sumandoesperas con manzanas, por nolas tendría significado de Giapetto expresar expresar las restricciones restriccio neslo1que a 3 la enrestricción términos de variables de alguno. decisión X1 y X2, Para expresar la restricción restricción 1 de acuerdo con X1 y X2, obsérvese que: Total de hr de acabado Semana
hr. de acabado Soldados fabricados hr de acabado Trenes fabricados Semana tren semana Soldado
2 X 1 1 X 2 2 X 1 X 2 Entonces la restricción 1 se expresa:
2 X 1 X 2 10 100 0
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SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Para expresar la restricción 2 en términos de X1 y X2, nótese que Total de hr de carpinteria hr. de carpinteria Soldados fabricados hr de carpinteria Trenes fabricados Semana Soldado Semana tren semana
1 X 1 1 X 2 X 1 X 2 Entonces la restricción 2 se expresa:
X 1 X 2 80 Obsérvese una vez más que las unidades de todos los términos en la ecuación anterior. Son las mismas (en este caso, horas de carpintería a la semana).
SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Por último, el hecho de que cuando cu ando mucho se venden a la semana 40 soldados, se expresa limitando la producción semanal semanal de soldados a máximo 40 de ellos. Así se tiene la siguiente sigui ente restricción:
X 1 40 Por consiguiente, las ecuaciones de las restricciones horas de acabado y la demanda de mercado (2X1 + X2 = 0. Pero Pero algunas variables podrían podrían ser nrs en otros problemas. problemas. Por ejemplo, si Xi representa un saldo de efectivo de una empresa, entonces Xi podría ser considerada negativa si la empresa debe más dinero del que tiene a mano. En este caso sería conveniente clasificar clasificar Xi como nrs.
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SOLUCIÓN: EJEMPLO 1: GIAPETTO’S WOODCARVING) Variables:
X1 :
C ant antidad idad de soldados soldados fab fabri ricado cadoss cada s ema emana na
X2 :
C ant antidad idad de trenes trenes fab fabri ricados cados cada s ema emana na
F.O.
Max z 3x 3x1 1 2x 2x2 2
s.a.
2 X 1 X 2 10 100 0 X 1 X 2 80 X 1 40
X 1; X 2 0
EJERCICIO 2 La empresa Whitt Wi Window ndow tiene sólo tres empleados que hacen dos dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco m arco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Carlos hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Katty hace 4 marcos de aluminio alumi nio por día. Moisés forma y corta el vidrio v idrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera emplea 6 pies cuadrados de vidrio v idrio y cada una de aluminio, alum inio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total.
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EJER EJERCICIO CICIO 2 - DESA DESARROLLO RROLLO
OBJETIVO: Maximizar la ganancia total por la venta de los dos tipos de ventanas.
CONDICIONES: Los trabajadores Doug, Linda y Bob no pueden exceder su capacidad de producción
VARIABLES DE DECISIÓN: Sean: X1 : la cantidad de ventanas con marco de madera a producir al día X2 : la cantidad de ventanas con marco de aluminio a producir al día
EJERCICIO EJER CICIO 2 - DESA DESARROLLO RROLLO
Trabajador
V. Madera
V. Aluminio
Capacidad
Doug
√
X
6 Unidades
Li n d a
X
√
4 Unidades
Bob
6ft2/v
8ft2/v
48 Ft2/v
Ganancia
V. Ma Madera
V. Aluminio
60$/v
30$/v
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EJER EJERCICIO CICIO 2 - DESA DESARROLLO RROLLO •
El PL será:
Unidad 1 Modelos Determinísticos De Decisión
PROGRAMACIÓN ENTERA Y BINARIA
Ing. Enrique M. M. Avendaño Delgado
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INTRODUCCIÓN •
Hasta ahora hemos visto los problemas de programación lineal en el dominio de los reales. Sin embargo, en muchos modelos m odelos algunas o todas las variables de decisión deben ser enteras. Estos modelos son conocidos como modelos de programación lineal
entera (ILP). • A primera vista podría parecer parecer más fácil resolver resolver problemas con restricción de enteros, enteros, ya que transforman un problema continuo en un problema discreto. Los modelos m odelos de programación lineal entera se pueden clasificar clasifi car en:
Modelo
Tipos de Variables de Decisión
Complet Compl etamen amente te enter entero o Tod odas as son ent enter eras as (AILP) Algunas, pero no todas son Mixto Mix to (MILP) (MILP) enteras Binaria (BILP)
Todas so s on bi b inarias (0 ó 1)
PROGRAMACIÓN ENTERA La PE titien ene e gr gran an ca cant ntid idad ad de ap aplilica caci cion ones es en to todo doss lo loss ca camp mpos os.. Hayy pr Ha prob oble lema mass qu que e no pu pued eden en re reso solve lvers rse e co con n la lass té técn cnic icas as ac actu tual ales es po por: r: – Dis Dispo ponib nibilid ilidad ad de tie tiempo mpo de ord orden enad ador or – Ca Capa pacid cidad ad de memo memoria ria • Pa Para ra evi vita tarr es esto to pa pare rece ce sen enssat ato o ca calc lcul ular ar la so solu lucció ión n de un PE re redo dond ndea eand ndo o la sol oluc ució ión n continua. Pero ro el re redo dond ndeo eo no es ac acon onssej ejab able le de debi bido do a: • Pe – La solución redondeada no es necesariamente óptima. En muchos casos, ni siqu si quie iera ra es esta tará rá ce cera ra de dell óp óptim timo. o. solu lució ción n re redo dond ndea eada da pu pued ede e no se serr fac factib tible le.. – La so • •
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PROGRAMACIÓN ENTERA •
Programación Entera es un termino general para los modelos de programación matemática que
presenta presentan n condiciones de integridad que estipulan que algunas o todas las(condiciones variables de decisión deben tener valores enteros). Ya hemos apuntado que los modelos de programación lineal entera son modelos m odelos de programación lineal que tienen la característica adicional de que algunas de las variables de decisión deben tener valores v alores enteros. enteros. Existen diversas clasificaciones de esta categoría de modelos. • Programas Enteros Puros, Un modelo entero puro (PLE) es, como su nombre lo indica, i ndica, un problema en el que se exige que todas las variables de decisión tengan valores v alores enteros enteros
IMPORTANCIA DE LAS SOLUCIONES ENTERAS •
Existen muchos problemas importantes en los que la “solución redondeada” redondea da” simplemente no funciona.
•
Por ejemplo, si la solución de un modelo de programación lineal recomienda que la Boeing construya 11,6 aparatos 747 y 6,8 aparatos 727, el administrador probablemente no quedara contento con la simple medida de tomar la decisión de construir 11 de los primeros y 6 de los segundos, o cualquier otra solución redondeada. redondeada. La magnitud del rendimiento y la asignación de recursos asociados con cada unidad del problema aconsejan determinar la mejor solución entera posible.
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IMPORTANCIA DE LAS SOLUCIONES ENTERAS • Con otro ejemplo, sé vera que muchos modelos usan variables enteras para indi indicar car decisiones lógicas. Por ejemplo, ejemplo, veremosvar queiables problemas en los que queramos que una variable variabl e “x” “x” sea igual a 1 si vamos a
construir un almacén o x sea igual a cero cer o (si-no). (si -no). Supóngase que la solución de una versión de programación lineal de este problema produce un valor no entero, enter o, por ejemplo, x = 0,38. Vemos Vemos que este valor no contiene información i nformación aprovechable como como solución sol ución al problema probl ema real.
IMPORT IMP ORTA ANCIA DE LAS SOLUCIONES SOLUCI ONES ENTERAS cier to que • Es claro que no podemos construir 0,38 de un almacén. Es cierto podemos elegir almacenes de diversos diver sos tamaños, tamaños, pero en todo caso, o bien tenemos un almacén o no lo tenemos. Se podría suponer que en un caso como este se trataría de redondear al entero más próximo (0 en este caso) como forma de salvar la dificultad. di ficultad. Por desgracia, esto no garantiza que se obtenga una buena (y no digamos óptima) solución. reali dad, veremos veremos que el redondeo no siempre conduce a solucione sol ucione • En realidad, factibles en casos como este.
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IMPORTANCIA DE LAS SOLUCIONES ENTERAS administrati vos • El fondo del asunto es que existen muchos problemas administrativos importantes que serian de programación lineal si no fuese por el requerimiento de que sean enteros los valores de algunas variables de decisión, en los que no se puede encontrar una buena solución mediante el uso del método Simplex seguido segui do del redondeo de los valores óptimos resultantes para variables de decisión. Estos problemas deben ser resueltos mediante algoritmos especialmente diseñados para resolver problemas de programación entera.
VARIABLES
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PLANEAMIENTO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ENTERA
EJEMPLO 1:
PE DE UN PRESUPUESTO DE CAPITAL (*) • Stockco proyecta cuatro inversiones. inversiones. La inversión inversión 1 genera un valor neto actual
(VNA) 2, un de 22de000 dólares; la inversión 3, un VNAdede1612000 000dólares; dólares,layinversión la inversión 4, VNA una VNA 8 000 dólares. Para cada inversión se requiere una cierta salida de efectivo en el tiempo presente; la inversión 1, 5 000 dólares; la inversión 2, 7 000 dólares; la inversión 3, 4 000 dólares; la inversión 4, 3 000 dólares. Dispone en la actualidad de 14 000 dólares para invertir. invertir. Plantee un PE cuya solución solución le indique a Stockco el modo de maximizar el VNA obtenido de las inversiones 1 a 4.
(*) Investigación de Operaciones – W. Winston Pág Pág.. 478
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EJEMPLO 1
Solución:
X j ( j 1, 2, 3, 4)
1 Si se efectua la inversion 0 Si no se efectua la inversion
Por ejemplo: X2 = 1 si invierte en la inversión i nversión 2, pero X2 = 0 no se invierte
El VNA que logra Stockco (en miles de dólares) dólares) es: VNA total que logra Stockco = 16X1 + 22X2 + 12X3 + 8X4
EJEMPLO 1
•
Por ejemplo: Si Stockco invierte en en 1 y en 4, entonces obtiene un VNA de 16 000 + 8 000 = 24 000 dólares. Esta combinación de inversiones corresponde corresponde a:
•
X1 = X4 = 1, X2 = X3 = 0
•
El VNA para esta combinación de inversiones es:
•
VNA = 16(1) + 22(0) +12(0) + 8(1) = 24 (miles) (mil es) dólares. dólares.
max z 16 x1 22 x2 12 x3 8 x4
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EJEMPLO 1
• Stockco se enfrenta a la restricción restricción de que se puede invertir invertir
cuando mucho 14 000 dólares. Si se aplica el mismo razonamiento utilizado. Se tiene:
Cantidad total invertida = 5x1 + 7x2 +4x3 +3x4 (en miles de dólares)
Por ejemplo, sí X1 = 0, X2 = X3 = X4 = 1, entonces Stockco invierte en 2,3 y 4. 4. En este caso, Stokco tiene que invertir 7 + 4 + 3 = 14 (miles de) dólares. 5(0) +7(1) + 4(1) + 3(1) = 14 mi dólares.
5 X 7 X 4 X 3 X 14 1
2
3
4
EJEMPLO 1
5 X1 7 X 2 4 X3 3 X 4 14 16 X1 22 X 2 12 X 3 8 X 4 Max M ax z 16 S .a.
5 X 1 7 X 2 4 X3 3 X 4 14
X j 0 o 1
( j 1, 2 2,, 3, 4) 4)
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EJEMPLO 2
Modifique la formulación formulación de Stockco Stockco para tomar tomar en cuenta cada una de las condiciones siguientes: 1. Stockco Stockco puede invertir invertir cuando cuando mucho mucho en dos inversiones. 2. Si Stockco Stockco invierte en 2, entonces también también debe invertir en 1 3. Si Stockco Stockco invierte en 2, no puede invertir invertir en 4
EJEMPLO 2
Solución 1: • Simplemente se adiciona la siguiente restricción:
x1 x2 x3 x4 2
Debido a que cualquier elección de tres o cuatro inversiones inver siones dará X1 + x2 + x3 + x4 >= 3, la desigualdad ya no considerara las combinaciones de inversiones que impliquen tres o más inversiones
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EJEMPLO 2
Solución 2: • Simplemente se adiciona la siguiente restricción:
x2 x1 o bien, x2 x1 0 Entonces ya se tomó en cuenta la segunda condición. Para que la ecuación equivale equivale a la condición 2, se consideran dos posibilidades:
EJEMPLO 2
Caso 1: X = 1 2
• X2 = 1, entonces implica que X1>=1. Como X1 tiene
que ser igual a = o a !, esto quiere decir que X 1 = 1, como se requiere requier e en 2.
Caso 2: X2 = 0 • •
X2 = 0, entonces implica que X1>=0. Lo cual permite que X 1 = 0 o que X1 = 1. En resumen: sí X2 = 0, No limita el valor de X 1. Esto también es consistente con la condición 2.
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EJEMPLO 2
Solución 3: • Simplemente se adiciona la siguiente sigui ente restricción:
x2 x4 1
EJEMPLO 2
Caso 1: X2 = 1 2 = 1, En este caso se invierte en 2, y la condición 3 • X establece que Stockco Stockco no puede invertir invertir en 4 ( es
decir, X4 = 0). Observe que si X2 = 1, entonces la ecuación queda: 1 + X4 = 0. ecuaci ón es • Por lo tanto, si X2 = 1, entonces la ecuación consistente con la condición 3 Caso 2: X2 = 0 •
X2 = 0, En este caso, la condición 3 no limita el valor de X 4. Observe que si X2 = 0, entonces la ecuación se reduce a X 4 = 1 x21 + x22 + x23 + x24 >= 1 x31 + x32 + x33 + x34 >= 1 x41 + x42 + x43 + x44 >= 1
(Restricción de la Región Oeste) (Restricción de la Región Oeste Medio) (Restricción de la Región Este) (Restricción de la Región Sur)
x11 + x21 + x31 + x41 – 4y1
