22/08/2016
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
Ing. Enrique Enrique M. Avendaño Avendaño Delga Delgado do
[email protected]
REGLAS DE CONVIVENCIA: • PUNTUALIDAD Hora de Inicio de Clase: Lun es 14.30 14.30 pm Labor atorio : Lun es 11.50 11.50 am y 12.3 12.30 0 pm
• ASISTENCI ASISTENCIA A Lím ite de Faltas: 11
• Exámenes en al Fecha Trámite en en la Oficin a de Bienestar Univers itario Norm a: GF-BU-P GF-BU-P0101-N01 N01
• CELULAR en vibrador. vib rador. No Mensajes Mensajes de Texto, ni Internet Phubbing
• DESCANSO POR SESION Clase Teoría: Teoría: 3.00 pm (10 min )
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AULA VIRTUAL
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AULA VIRTUAL
FORMAS DE COMUNICACIÓN:
Al término de Clase
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facebook.com/enrique.avendanodelgado
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REGLAS
•
ASISTENCIA
•
PUNTUALIDAD
•
EXAMENES EN LA FECHA
•
PARTICIPACION EN CLASES
•
HORIZONTALIDAD
DELEGADOS DE CLASE:
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Unidad 1 Modelos Determinísticos De Decisión
PROGRAMACIÓN BINARIAENTERA Y
Ing. Enrique Enrique M. Avendaño Delga Delgado do
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INTRODUCCIÓN •
Hasta ahora hemos visto los problemas de programación lineal en el dominio de los reales. Sin embargo, en muchos modelos m odelos algunas o todas las variables de decisión deben ser enteras. Estos modelos son conocidos como modelos de programación lineal entera (ILP).
• A primera vista podría parecer parecer más fácil resolver resolver problemas con restricción de enteros, enteros, ya que transforman un problema continuo en un problema discreto. Los modelos m odelos de programación lineal entera se pueden clasificar clasific ar en: en:
Modelo
Tipos de Variables de Decisión
Complet Compl etame ament nte e ent enter ero o Tod odas as son ent enter eras as (AILP) Mixto Mix to (MIL (MILP) P)
Algunas, pero no todas son enteras
Binaria (BILP)
Todas sso on b biinarias (0 ó 1)
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PROGRAMACIÓN ENTERA •
La PE ti tien ene e gr gran an ca cant ntid idad ad de ap apli lica caci cion ones es en to todo dos s lo los s ca camp mpos os..
•
Hay Ha y pr prob oble lema mas s qu que e no pu pued eden en re reso solve lvers rse e co con n la las s té técn cnic icas as ac actu tual ales es po por: r: – Dispo Disponib nibilid ilidad ad de tie tiempo mpo de ord orden enad ador or – Ca Capa pacid cidad ad de memo memoria ria
•
Para evi Para vita tarr es esto to pa pare rece ce sen ens sat ato o ca calc lcul ular ar la so solu luc ció ión n de un PE re redo dond ndea eand ndo o la sol oluc ució ión n continua.
•
Pero Pe ro el re redo dond ndeo eo no es ac acon ons sej ejab able le de debi bido do a: – La solución redondeada no es necesariamente óptima. En muchos casos, ni siqu si quie iera ra es esta tará rá ce cera ra de dell óp óptim timo. o. – La so solu lució ción n re redo dond ndea eada da pu pued ede e no se serr fac factib tible le..
PROGRAMACIÓN ENTERA •
Programación Entera es un termino general para los modelos de programación matemática que presentan presenta n condiciones de integridad (condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros). Ya hemos apuntado que los modelos de programación lineal entera son modelos m odelos de programación lineal que tienen la característica adicional de que algunas de las variables de decisión deben tener valores v alores enteros. enteros. Existen diversas clasificaciones de esta categoría de modelos.
•
Programas Enteros Puros, Un modelo entero puro (PLE) es, como su nombre lo indica, un problema en el que se exige que todas las variables de decisión tengan v alores enteros enteros
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IMPORTANCIA DE LAS SOLUCIONES ENTERAS •
Existen muchos problemas importantes en los que la “solución redondeada” redondea da” simplemente no funciona.
•
Por ejemplo, si la solución de un modelo de programación lineal recomienda que la Boeing construya 11,6 aparatos 747 y 6,8 aparatos 727, el administrador probablemente no quedara contento con la simple medida de tomar la decisión de construir 11 de los primeros y 6 de los segundos, o cualquier otra solución redondeada. redondeada. La magnitud del rendimiento y la asignación de recursos asociados con cada unidad del problema aconsejan determinar la mejor solución entera posible.
IMPORTANCIA IMPORT ANCIA DE LAS L AS SOLUCIONES SOL UCIONES ENTERAS ENTERAS variabl es enteras • Con otro ejemplo, sé vera que muchos modelos usan variables para indicar decisiones decisi ones lógicas. Por ejemplo, ejemplo, veremos que problemas en los que queramos que una variable variabl e “x” “x” sea igual a 1 si vamos a construir un almacén o x sea igual a cero (si -no). Supóngase que la solución de una versión de programación lineal de este problema produce un valor no entero, enter o, por ejemplo, x = 0,38. Vemos que este valor no contiene información aprovechable como solución al problema real.
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IMPORT IMPORTANCIA ANCIA DE LAS L AS SOLUCIONES SOL UCIONES ENTERAS ENTERAS
claro que no almacenes podemos construir 0,38tamaños, de un almacén. cierto queo • Es podemos elegir de diversos pero enEs todo caso, bien tenemos un almacén o no lo tenemos. Se podría suponer que en un caso como este se trataría de redondear al entero más próximo (0 en este caso) como forma de salvar la dificultad. difi cultad. Por Por desgracia, desgraci a, esto no garantiza que se obtenga una buena (y no digamos óptima) solución. reali dad, veremos veremos que el redondeo no siempre conduce a solucione sol ucione • En realidad, factibles en casos como este.
IMPORTANCIA IMPORT ANCIA DE LAS L AS SOLUCIONES SOL UCIONES ENTERAS ENTERAS • El fondo del asunto es que existen muchos problemas administrativos importantes que serian de programación lineal si no fuese por el requerimiento de que sean enteros los valores de algunas variables de decisión, en los que no se puede encontrar una buena solución mediante el uso del método Simplex seguido del redondeo de los valores óptimos resultantes para variables de decisión. Estos problemas deben ser resueltos mediante algoritmos especialmente diseñados para resolver problemas de programación entera.
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VARIABLES
PLANEAMIENTO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ENTERA
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EJEMPLO 1:
PE DE UN PRESUPUESTO DE CAPITAL (*) • Stockco proyecta cuatro cuatro inversiones. La inversión 1 genera un valor neto actual (VNA) de 16 000 dólares; la inversión 2, un VNA de 22 000 dólares; la inversión 3, un VNA de 12 000 dólares, y la inversión in versión 4, una VNA de 8 000 dólares. Para Pa ra cada inversión se requiere una cierta salida de efectivo en el tiempo presente; la inversión inversi ón 1, 5 000 dólares; la inversión inversión 2, 7 000 dólares; la inversión 3, 4 000 dólares; la inversión inversión 4, 3 000 dólares. Dispone en la actualidad de 14 000 dólares para invertir invertir. Plantee un PE cuya solución le le indique a Stockco el modo de maximizar el VNA obtenido de las inversiones 1 a 4.
(*) Investigación de Operaciones – Operaciones – W. Winston Pág. 478 478
EJEMPLO 1
Solución:
X j ( j
1, 2, 3, 4)
1 Si se efectua la inversion 0 Si no se efectua la inversion
Por ejemplo: X2 = 1 si invierte en la inversión 2, pero X 2 = 0 no se invierte
El VNA que logra Stockco (en miles de dólares) es: VNA total que logra Stockco = 16X1 + 22X2 + 12X3 + 8X4
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EJEMPLO 1
•
Por Si + Stockco edólares. n 1 y en Esta 4, entonces obtiene VNAejemplo: de 16 000 8 000 =invierte 24 000en combinación deun inversiones corresponde corresponde a:
•
X1 = X4 = 1,
•
El VNA para esta combinación de inversiones es:
•
VNA = 16(1) + 22(0) +12(0) + 8(1) = 24 (miles) (mil es) dólares. dólares.
max z
X2 = X3 = 0
16 x 22 x 1
2
12 x 8 x 3
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EJEMPLO 1
restricción de que se puede invertir • Stockco se enfrenta a la restricción cuando muchoutilizado. 14 000 dólares. Si se aplica el mismo razonamiento Se tiene:
Cantidad total invertida = 5x 1 + 7x2 +4x3 +3x4 (en miles de dólares)
Por ejemplo, sí X1 = 0, X2 = X3 = X4 = 1, entonces Stockco invierte en 2,3 y 4. En este caso, Stokco Stokco tiene que invertir 7 + 4 + 3 = 14 (miles de) dólares. 5(0) +7(1) + 4(1) + 3(1) = 14 mi dólares.
5 X 1 7 X 2 4 X 3 3 X 4 14
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EJEMPLO 2
Modifique la formulación Modifique formulación de Stockco para tomar tomar en cuenta cada una de las condiciones siguientes: 1. Stockco Stockco puede invertir invertir cuando cuando mucho mucho en dos inversiones. 2. Si Stockco invierte en en 2, entonces también también debe invertir en 1 3. Si Stockco Stockco invierte en 2, no puede invertir invertir en 4
Ejercicios de Aplicación Material:
•Papel •Lapicero •Calculadora
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PROBLEMA 1 Gandhi Cloth Company fabrica tres tipos de prendas de vestir: camisetas, shorts shorts y pantalon pantalones. es. La elaboración elaboración de cada ca da titipo po de pr pren enda da re requ quie iere re qu quee Ga Gand ndhi hi te teng ngaa di disp spon onib ible leia nec el esaria titipo poria de maqu quin inar aria ia apro ropi piad a. La maquinar maqu inaria necesa paraa ma par manufac manu factura turarrap cada cad aada tipo de pren pr enda da se titien enee qu quee re rent ntar ar a la lass ta tari rifa fass sig igui uien ente tes: s: maquinar maqu inaria ia par paraa cam camiseta isetas, s, 200 dól dólares ares por sema semana na;; maqu ma quin inar aria ia pa para ra sh shor orts ts,, 15 1500 dó dóla lare ress po porr se sema mana na;; maquinaria para pantalones, 100 dólares por semana. La hechura de cada tipo de prenda también requiere las cantidades de tela y mano de obra que se indican en la tabla 1. Están disponibles cada semana 150 horas de mano de obra y 160 yardas cuadradas de tela. El costo unitario variable y el precio de venta para cada tipo de prenda, se proporcionan en la tabla 2. Formule un PE cuyo solución maximice la utilidad semana de Gandhi. Gandhi.
Tabla Ta bla 1: Recurso s necesarias para Gandhi
Tipo de Prenda Cam i s et a Sh o r t s Pan t al o n es
Mano de Obra (H) 3 2 6
Tabla Ta bla 2: Ingres os e Información del co sto para Gandhi
Tipo de Prenda Cam i s et a
Precio Pre cio de Venta (Dól) 12
Costo Variable (Dól) 6
Sh o r t s
8
4
Pan t al o n es
15
8
PROBLEMA 2 •
Tela (Yardas cuadradas) 4 3 4
Hay seis ciudades (ciudad 1 a 6) en el condado de Kilroy Kilr oy.. EL condado debe decidir donde construir la estación de bomberos. bom beros. Asimismo, el condado quiere construir la cantidad mínima de estaciones de bomberos necesarios para tener la certeza de que por lo menos una está dentro de 15 minutos minut os (tiempo de manejo) de cada ciudad. Los tiempos (en minutos) minu tos) necesarios necesarios para ir en automóvil de una ciudad a otra del condado se indican en la tabla siguiente. Plantee un PE mediante el cual Kilroy sepa cuántas estaciones de bomberos debe construir y dónde ubicarlas.
A Desde Ci u d ad 1 Ci u d ad 2 Ci u d ad 3 Ci u d ad 4 Ci u d ad 5
Ci u d ad 1
Ci u d ad 2
Ci u d ad 3
Ci u d ad 4
Ci u d ad 5
Ci u d ad 6
0 10 20 30 30
10 0 25 35 20
20 25 0 15 30
30 35 15 0 15
30 20 30 15 0
20 10 20 25 14
Ci u d ad 6
20
10
20
25
14
0
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PROBLEMA 3 •
La empresa Mirasol, planea la producción de 2000 unidades de un producto, escritorio ejecutivo, que se fabrican en tres máquinas. m áquinas. Los costos de preparación, costos de producción porcada unidad, y la capacidad los de producción máxima para máquina están tabulados a continuación. El objetivo es minimizar el costo total de producción del lote requerido.
Máquina
Costo
Costo de
Capacidad
Fijo
Prod/Unid
(Nún (N ún Un Unid id))
1
100
10
600
2
300
2
800
3
200
5
1200
PROBLEMA 4 Pegajoso, fábrica tres tipos de pegamento en dos líneas de producción pr oducción distintas, Hasta 7 trabajadores usan a la vez cada línea. Cada trabajador recibe un pago de 500 dólares dól ares por semana en la línea de producción produc ción 1, y 900 dólares por semana en la línea l ínea de producción 2. Una semana de producción en la línea de producción p roducción 1 cuesta 1 000 dólares dólar es para organizarla y 2cada 000 dólares dólar es en la línea de producci producción Durantede una semana en una de producción trabajador elabora la cantidad cant idad ón de 2. unidades pegamento que selínea proporcionan en la tabla adjunta. Se tiene que elaborar elabora r a la semana, por lo menos, m enos, 120 unidades del pegamento 1, por lo m enos 150 unidades del pegamento 2 y por lo menos m enos s 200 unidades del pegamento 3. Formule un PE para minimizar m inimizar el el costo total t otal por cumplir con las demandas semanales. Línea de Producción
Pegamento 1
2
3
1
20
30
40
2
50
35
45
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EJERCICIO 5 Una fábrica de automóviles construye tres tipos de autos: Com pactos, m edianos y grandes. Los requerimientos de materi teria ales les, manos de obra y el ben benefic ficio obtenido ido por cada tip tipo debric auto au to dfab fabri rica cado se60 mu mues tra en cuad cusadro romate si sigu guie iente nte; Actua lment e,ras la fábr fá ica a ispo ispone nedode 6000 00estra tone to nela lada das de ma ter riale ia les s; Ac y tualme 60 6000 000 0 nte, hora ho s de ma man no de obra ra.. Para que la pro rod ducción ión de un tip tipo de vehíc ícu ulo sea económi mic camen mente fac factib tible, le, se debe pro rodu duc cir al meno menos s 1000 000 unidades de cada tipo que se fabrique. Formule un PLE que permit permita a max maximi imiza zarr el bene benefic ficio io de la fáb fábric rica. a.
Compacto
Mediano
Grande
Materiales
1.5
3
5
Mano de Obra
30
25
40
2000
3000
4000
Beneficio $
PROBLEMA 6 IBM computer, fabrica 4 tipos de computadores desktop, para el mercado de Latinoamérica, estas computadores se venden en 4 países, Perú, Chile, Argentina Argentina y Colombia; los tipos de computadores, mano de obra, numero de microprocesadores , costos costos fijos f ijos y precio de venta v enta se se detallan en la tabla siguiente, Se dispone de un total de 20000 microprocesadores mic roprocesadores y de 10000 horas hombre. Plantee un PE para ayudar a IBM a maximizar max imizar sus sus utilidades utili dades si si el costo de mano de obra por hora es de 200 dólares
Des k t o p
Man o de de Obra
Mi ccrr o
Co s to to s Fi Fi jjo o de de Fabricación (dólares)
Precio de Venta (Dólares)
G-55
1 hora
1
10000
800
P-56
2 horas
1
13000
1000
I-56
3 horas
2
15000
1500
G-60
3 horas
4
16000
2000
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Problema 7 •
Mabe SA fabrica diferentes modelos de lavadoras, y dispone de dos plantas de montaje (Fábrica1 y Fábrica2). Mabe está estudiando la fabricación de 4 nuevos modelos (Modelo1, Mdelo2, Modelo3 y Modelo4) para aprovechar el exceso de capacidad de 2500 horas y 3.200 horas respectivamente, y ha recolectado los
siguientes datos de interés (tiempos en horas y costos en cientos de dólares): a) Formular un modelo de optimización que se pueda utilizar para maximizar el beneficio de Mabe, y escribir el modelo en PLE. b) Obtener la solución óptima e indicar si va a quedar exceso de capacidad en alguna de las plantas. Utilice Lindo
P1
P2
P3
P4
Tiempo/u en F1
3
3.5
5
2.5
Tiempo/u en F2
2.8
4
4.5
2
Costo/u en F1
3
2.5
5.2
2.2
Costo/u en F2
2.8
2.3
4.8
2.1
Costo de Lanzamiento
600
500
700
400
Precio de venta
6.5
7
9.2
5.2
Problema 8 Motorsa, un fabricante de automóviles, tiene cinco plantas obsoletas, que indicaremos como P1 hasta P5. La administración está considerando la modernización de estas plantas para la producción de los bloques motor y transmisiones de un nuevo modelo. El costo de modernizar cada una de las plantas (en millones de dólares) y la capacidad de producción después de la modernización (en miles de unidades) son como se muestra en la siguiente tabla. Se tiene prevista la producción de 1.200.000 unidades del nuevo modelo. a) Formular un modelo para determinar qué plantas va a modernizar Motorsa, y en cuales se fabricará cada componente. b) Añad Añadir ir las siguientes siguientes restriccio restricciones nes impue impuestas stas por razones razones de política política come comercial: rcial: 1) Las plantas P2 y P3 no pueden ser modernizadas simultáneamente, 2) Como máximo se pueden modernizar 3 plantas. 3) Se moderniza la Planta 5, también debe modernizarse la Planta 1 Planta
Costo
Capacidad
Capacidad
Bloques de motor
Transmisiones
P1
25
500
300
P2
35
800
400
P3
35
400
800
P4
40
900
600
P5
20
200
300
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EJERCICIO 10 •
Una jo jove ven n pa parej reja a Jua Juan n y Ci Cinth nthia ia qu quie ieren ren di divi vidi dirr la las s pr prin inci cipa pale les s tar tarea eas s de dell hoga ho garr (i (irr de co com mpr pra as, co coci cina narr, la lav var pla lato tos s y la lava varr ro ropa pa)) ent ntre re lo los s do dos, s, de mane nera ra qu que e ca cada da uno t en enga do dos s obl bliiga gaci cio one nes s y que el tie iem mpo t ot ot al al para ha para hace cerr esta stas s ta tare rea as sea el mí míni nimo mo.. La efi fici cien enci cia a en ca cada da una de la las s tare ta rea as difi fie ere ent ntre re ello los; s; la si sigu guie ien nte ta tabl bla a pro ropo porc rcio iona na el tie iemp mpo o que cada uno nec esita para c ada tarea.
Formule un modelo
de
progra pro gramac mación ión en ente tera ra bi bina naria ria y re reso solv lver er po porr so softw ftware are..
Horas necesarias por semana
Juan (1) Cinthia (2)
Compras (1) 4.5 4.9
Cocinar (2) 7.8 7.2
Lavar platos (3) 3.6 4.3
Lavar ropa (4) 2.9 3.1
EJERCICIO 11 SOUTHWESTERN AIRWAYS necesita asignar sus tripulaciones para cubrir todos sus vuelos programados. Se estudiara el problema de asignar tres tripulaciones con base en San Francisco (SF) a los vuelos enumerados en la tabla. Las otras 12 columnas muestran 12 secuencias de vuelos factibles de una tripulación. (Los números en cada columna indican el orden de los vuelos.) Es necesario elegir tres de estas secuencias (una por tripulación) de tal manera que se cubran todos los vuelos. (Se permite tener mas de una un vuelo, el cual los miembros la tripulación adicional volarían como pasajeros, pero lostripulación contratos en colectivos deen trabajo requieren que sedepague el tiempo de la tripulación adicional como si estuviera en horario de trabajo)
El costo de asignar una tripulación a una secuencia de vuelos especifica se muestra (en miles de dólares) en el renglón inferior de la tabla. El objetivo es minimizar el costo total de asignar las tres tripulaciones de manera que cubran todos los vuelos.
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EJERCICIO 12 Datos: 1 Kgr. De madera = 1 pie
Productos
8 día 26horas días mes
MO:
4.5 hr
Madera:
40 pies
MO Acabado: 1 hr Precio Venta:
100 $
5hr 20 pies 0.7hr 80 $
4.3 hr 22 pies 0.4 hr 90 $
Recursos:
11 Toneladas
16 trabajadores
2 Trab. Acabado
Las bancas se producen como mínimo 25 und. Las mesas de noche deben ser por lo menos el doble de las sillas menos 10 unidades Los costos de preparación de planta para la fabricación de cada producto es: 10000, 7500 y 12500
