Clapeyron + Cross

STRUKTUR STATIS TAK TENTU A.

Struktur Statis Tertentu dan Struktur Statis Tak Tentu

Struktur statis tertentu

:

Suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi perletakannya sama dengan jumlah syarat kesetimbangan statika.

Struktur statis tak tentu

:

suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi perletakannya melebihi jumlah syarat kesetimbangan statika.

Jenis perletakan dan reaksi yang timbul : No.

1

Jenis peletakan

Simbol/notasi

Mampu menahan gaya vetikal dan horisontal tetapi mengalami rotasi (putaran sudut)

Perletakan Sendi

2

Perletakan Rol

3

Perletakan Jepit

Reaksi dan rotasi yang timbul

Mampu menahan gaya vetikal dan mengalami rotasi

Mampu menahan gaya vetikal, horisontal dan momen serta tidak mengalami rotasi tumpuan

Jumlah syarat kesetimbangan statika : 1. Struktur 2 dimensi : 3 syarat kesetimbangan

---->  Fx = 0

;  Fy = 0

; M=0

x ;  Fy = 0 ;  My = 0

;  Fz = 0 ;  Mz = 0

y

2.

Struktur 3 dimensi

:

6 syarat kesetimbangan

---->  Fx = 0  Mx = 0 z

y

x Pada suatu struktur balok atau portal, apabila jumlah joint (titik kumpul atau titik simpul) termasuk perletakan dinyatakan sebagai j, jumlah batang yang dibatasi 2 joint dinyatakan sebagai m, dan jumlah reaksi perletakan dinyatakan sebagai r maka dalam bentuk formula,

Struktur statis tertentu

:

3j = 3m + r

Struktur statis tak tentu

:

3j < 3m + r

B. 1.

Contoh Struktur StatisTertentu dan Struktur Statis Tak Tentu y A

B RAy

RAx

x Reaksi perletakan, r Jumlah batang, m Jumlah joint, j 2.

RBy

= = =

3 1 2

3j = 3m + r (3 * 2) = (3 * 1) + 3 6 = 6 -------> Struktur statis tertentu

y MA

A RAy

x

Reaksi perletakan, r Jumlah batang, m Jumlah joint, j 3.

RAx

= = =

3 0 1

3j = 3m + r (3 * 1) = (3 * 0) + 3 3 = 3 -------> Struktur statis tertentu

y A

B RAy RAx

x Reaksi perletakan, r Jumlah batang, m Jumlah joint, j 4.

RBy

= = =

3 1 2

3j = 3m + r (3 * 2) = (3 * 1) + 3 6 = 6 -------> Struktur statis tertentu

y A

B RAy RAx

x Reaksi perletakan, r Jumlah batang, m Jumlah joint, j

RBy

= = =

4 1 2

RBx

3j = 3m + r (3 * 2) = (3 * 1) + 4 6 < 7 -------> Struktur statis tak tentu

5.

y A

B RAy

RBy

RCy

RAx

x Reaksi perletakan, r Jumlah batang, m Jumlah joint, j 6.

C

= = =

4 2 3

3j = 3m + r (3 * 3) = (3 * 2) + 4 9 < 10 -------> Struktur statis tak tentu

y MA

x

RAx

Reaksi perletakan, r Jumlah batang, m Jumlah joint, j

= = =

RCy

RBy

RAy

8 2 3

MC

C

B

A

RBx

RCx

3j = 3m + r (3 * 3) = (3 * 2) + 8 9 < 14 -------> Struktur statis tak tentu A

7.

Tumpuan sendi

z

RAz

y

RAx

RAy

C x

RCz RCx

RCy

B RBz

RBy

RBx

Reaksi perletakan, r Jumlah batang, m Jumlah joint, j

= 9 = 3 = 4

3j = 3m + r (3 * 4) = (3 * 3) + 9 12 < 18 -------> Struktur statis tak tentu

13

C.

Metode Analisis Pendekatan

Metode analisis pendekatan didasarkan pada deformasi balok (struktur) dengan mencermati lokasi titik-titik belok, di mana pada titik-titik belok deformasi balok (struktur) momen lenturnya sama dengan nol. 1.

Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban merata w

1)

Balok statis tak tentu kedua ujung terjepit dengan beban merata

B

A

MB

MA RA

RB

L

A

2)

B M

0,21L

Sketsa deformasi balok Terdapat dua titik belok yaitu titik M dan N

N 0,21L

0,58L

Pada titik M dan N momen lenturnya sama dengan nol

w 3)

Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis stertentu yg terpisahkan pada titik belok

(I) RM

RN

w

w

A MA

(II)

M

N

B MB RB

RA 0,21L

(II)

Reaksi tumpuan dan momen untuk masingmasing segmen dapat dihitung.

0,58L

(+) ML

0,21L Segmen I : RM = RN = (w x 0,58L)/2 = 0,29 wL ML

2 = (wL )/8 2 = (w x (0,58L) )/8 2 = wL /24

Segmen II : RM atau RN menjadi beban pada segmen II MT

(-)

= = = =

RB (w x 0,21L)+RM 0,21 wL + 0,29 wL 0,5 wL

MT

= - (RM x 0,21L) (w x 0,21L) x (0,21L/2) = - (0,29 wL x 0,21 L) 0,022 wL2 2 = - wL /12

Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen.

MT=- wL2/12

(-)

(-)

(+)

ML=wL2/24

D=1/2wL

(-) (+)

D=1/2wL

2.

RA

Diagram gaya lintang

Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban terpusat

1)

Balok statis tak tentu kedua ujung terjepit dengan beban terpusat

P

B

A

MB

MA RA

RB

L L/2

2)

A

B N

M 0,25L

0,5L

0,25L

Sketsa deformasi balok Terdapat dua titik belok yaitu titik M dan N Pada titik M dan N momen lenturnya sama dengan nol

3)

Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis tertentu yang terpisahkan pada titik belok

P

(I)

A

(II)

MA

RM

RN

M

N

Reaksi tumpuan dan momen untuk masingmasing segmen dapat dihitung. (II)

B MB RB

RA 0,25L

0,25L

0,5L

Segmen I : RM = RN = 1/2 P ML

ML

Segmen II : RM atau RN menjadi beban pada segmen II

MT

MT=-1/8PL

(-)

(-) (+)

ML = 1/8PL (-)

D=1/2P

= 1/4 PL = 1/4 x P x 0,5L = 1/8 PL

(+)

RA

= RB = RM = 1/2 P

MT

= - (RM x 0,25L) - (1/2 P x 0,25L) = -1/8 PL

Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen.

D=-1/2P

Diagram gaya lintang

3.

Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban merata w

1) B

A

MB RA

2)

RB

L

A

Sketsa deformasi balok Terdapat satu titik belok yaitu titik M

M 0,25L

0,75L

Pada titik M momen lenturnya adalah nol

w

3) A

Balok statis tak tentu ujung terjepit dan tumpuan sendi dengan beban merata

Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis stertentu yg terpisahkan pada titik belok

(I) RM

RA

w

M

Reaksi tumpuan dan momen untuk masingmasing segmen dapat dihitung.

B

(II)

MB RB

0,25L

0,75L

Segmen I : RM = RA = (w x 0,75L)/2 = 0,375 wL

(+) ML

ML

MT (-)

2 = (wL )/8 2 = (w x (0,75L) )/8 2 = 9/128 wL

Segmen II : RM menjadi beban pada segmen II RB

= (w x 0,25L)+RM = 0,25 wL + 0,375 wL = 0,625 wL

MT

= - (RM x 0,25L) (w x 0,25L) x (0,25L/2) = - (0,375 wL x 0,25 L) 0,03125 wL2 2 = - wL /8

MT=-wL2/8 (-)

Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen.

(+) ML=9/128wL2

D=-0,625wL

(-)

(+)

D=0,375wL

4.

Diagram gaya lintang

Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban terpusat P

1) B

A

MB RA

RB

L L/2

2)

Balok statis tak tentu ujung terjepit dan tumpuan sendi dengan beban terpusat

B

A

M 0,2725L

0,7275L

P

Sketsa deformasi balok Terdapat satu titik belok yaitu titik M Pada titik M momen lenturnya sama dengan nol

3)

Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis stertentu yg terpisahkan pada titik belok

P

A

(I)

RM

Reaksi tumpuan dan momen untuk masingmasing segmen dapat dihitung.

RA

M

0,5L

B

(II)

MB

RB

0,2275L

0,2725L

0,7275L

(+)

ML

Segmen I : RM = (0,5/0,7275) x P = 0,687 P RA

= (0,2275/0,7275) x P = 0,313 P

ML

= RA x 0,5L = 0,313P x 0,5L = 5/32 PL atau

ML

= RM x 0,2275L = 0,687P x 0,2275L = 5/32 PL

Segmen II : RM menjadi beban pada segmen II MT

RB

= RM = 0,687 P

MT

= - (RM x 0,2725L) = - (0,687 P x 0,2725 L) = -3/16 PL

(-)

MT=-3/16 PL

(-)

(+)

ML=5/32 PL

Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen.

D=-0,687P

(-)

D. 1.

Diagram gaya lintang

(+)

D=0,313P

Metode Clapeyron Pengertian metode Clapeyron

Metoda Clapeyron atau yang dikenal juga dengan Metode Persamaan Tiga Momen adalah salah cara menyelesaikan suatu struktur statis tak tentu di mana meliputi perhitungan semua gaya-gaya luar (reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya normal, gaya lintang, momen) pada struktur tersebut. Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada struktur tersebut diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua persyaratan yaitu : 1)

Keseimbangan Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama dengan nol.

2)

Kestabilan Rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama besarnya dan arahnya

Perhatikan konstruksi di bawah ini ! Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku maka, MT1 + MT2 + MT3

=

0

qT1 = qT2 = qT3

dan

P T

MT3 3

MT1

qT3 MT2

qT1

1

qT2

2

Deformasi (rotasi) balok disebabkan oleh beberapa faktor yaitu : 1) Akibat beban luar yang bekerja a) Beban terpusat di tengah bentang P

q12

= q21

q12

= Pb (L2 - b2) 6 EI L

q21

= Pa (L2 - a2) 6 EI L

q12

= q21

q12

=

9 wL3 384 EI

q21

=

7 wL3 384 EI

q12

=

M1 L 3 EI

q21

=

M1 L 6 EI

=

PL2 16 EI

EI 1 L/2

q12

q21

2 L/2

b) Beban terpusat jarak a dari tumpuan 1 P

EI 1

q12

2

q21

a

b L

c) Beban merata w

=

EI 1

q12

L

2

q21

d) Beban merata setengah bentag w

EI 1 L/2

2)

q12

q21

2

L/2

Akibat momen pada salah satu ujung balok a) Momen di ujung balok 1 M1

EI 1

q12

L

q21

2

wL3 24 EI

b) Momen di ujung balok 2 M2 EI 1

3)

q12

L

q21

2

q12

=

M2 L 6 EI

q21

=

M2 L 3 EI

Akibat perpindahan (translasi) relatif ujung balok terhadap ujung balok yang lain

q12

1

q21

2

D

q12

= q21

=

D L

L

Metoda Clapeyron (Persamaan Tiga Momen) memakai momen-momen batang sebagai variabel (bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi D ) pada struktur-struktur yang dapat bergoyang. Untuk menentukan apakah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori sebagai berikut : 1) Suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal. 2) Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan. 3) Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama. Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r) dimana, n j m f h r

= = = = = =

jumlah jumlah jumlah jumlah jumlah jumlah

derajat kebebasan dalam pergoyangan. titik simpul termasuk perletakan batang yang dibatasi oleh dua joint. perletakan jepit. perletakan sendi. perletakan rol

Apabila n  0, struktur tidak dapat bergoyang. Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang disebutkan diatas yaitu : 1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. 2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan arahnya. Dan kalau ada variabel D perlu persamaan keseimbangan struktur.

2.

Langkah-langkah penyelesaian metode Clapeyron

Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan metode Clapeyron (metode Persamaan Tiga momen) urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sebagai berikut : 1)

Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai pergoyangan, dengan rumus : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r) Kalau n  0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang. P=10 kN

a)

w=5 kN/m

EI D

3m

EI C

EI B

4m

A

6m

Balok diatas tiga tumpuan, A jepit, B dan C rol, dengan beban seperti tergambar, maka : j = 3; m = 2; f = 1; h = 0; r = 2 n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r) = (2 x 3) - ((2 + (2 x 1) + (2 x 0) + 2)) = 0 --------> Tidak ada pergoyangan b)

P1=4 kN

w=5 kN/m P2=6 kN C

4m

EI

E

EI

EI

A

D

EI

4m

B

1,5 m

Suatu portal dengan perletakan A dan B sendi, dengan ukuran dan beban seperti tergambar, maka : j = 4; m = 3; f = 0; h = 2; r = 0 n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r) = (2 x 4) - ((3 + (2 x 0) + (2 x 2) + 0)) = 1 --------> Ada pergoyangan

2)

Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang – batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu : a) Batang tidak berubah panjang, suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar D , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar D.

b)

3)

Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang. Perpindahan relatif antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang.

Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momen-momen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan. P=10 kN

D

MCD

w=5 kN/m

C

MCB

MBC

B

MBA

MAB A P1=4 kN

P1=4 kN

w=5 kN/m P2=6 kN C

D

MDC

MCD

MDE MDB

MCA

A 4)

E

B

Gambar pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa : a) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama besarnya maupun arahnya. Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya searah jarum jam, maka batang-batang yang lain yang bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam. b) Ujung batang yang terjepit tetap mengalami rotasi (pada saat pemisalan garis elastis batang yang ujungnya terjepit diasumsikan sebagai tumpuan sendi, sehingga mengalami rotasi), Walaupun terjepit tetap mengalami rotasi P=10 kN

w=5 kN/m

qBC

qBA D

C

B

A P1=4 kN

w=5 kN/m

qDE

P2=6 kN D

C qCDB

E

qDC

qCA

qDBB

A

B

5)

Dari langkah 1-4 yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu momen-momen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung batang (Δ) kalau ada goyangan.

6)

Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan – persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan momen dan rotasi batang-batang pada titik simpul atau perletakan. a) Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (-) , atau sebaliknya. b) Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol. c) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya . Untuk menyusun persamaan rotasi harus memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan momen – momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau sebaliknya diberi tanda negatif (-). d) Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan “ free body diagram” dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan , sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya.

7)

Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang berupa momenmomen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (+), maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen yang dimisalkan terbalik.

8)

Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiap-tiap batang (free body diagram), maka bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis tidak tertentu tersebut dapat digambarkan.

3.

Contoh-contoh soal :

RCx