Cisalhamento Por Hughes

CÁLCULO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NA VIGA-NAVIO Na viga-navio, assim como em qualquer viga sob a carga de forças transversais, existe uma força cortante Q agindo na seção transversal. Em seções de paredes pouco espessas, como em vigas caixão, é importante saber como a força cortante total Q se distribui pela seção, de forma a dimensionar adequadamente a espessura das paredes. Em outras palavras, é necessário determinar a distribuição da tensão cisalhante ao longo de toda a seção transversal. Na figura 1 mostra-se uma viga (navio) de paredes finas e simétrica em relação a um plano vertical, sujeita a uma força cortante vertical Q. Da teoria básica de vigas, sabemos que, num segmento diferencial de comprimento dx, Q provoca uma mudança no momento fletor dada por

dM = Q ⋅ dx

Figura 1 – Tensões de cisalhamento oriundas de força cortante

(1)

Devido a essa mudança no momento fletor, as tensões de flexão σA e σB nas duas faces do segmento diferencial são diferentes. Portanto, ao isolarmos um pedaço do segmento diferencial fazendo dois cortes, um na linha de centro da seção e o outro em um arco de comprimento s da linha centro, o desbalanceamento nas tensões normais longitudinais deve ser contrabalançado por tensões de cisalhamento longitudinais atuantes nas seções de corte. No entanto, devido a simetria, não devem existir tensões de cisalhamento no corte da linha de centro. Então a força que equilibra o corpo deve vir totalmente da tensão de cisalhamento do outro corte. Portanto o equilíbrio longitudinal implica que: s

s

0

0

τ ⋅ t ⋅ dx = ∫ σ B ⋅ t ⋅ ds − ∫ σ A ⋅ t ⋅ ds Substituindo σ =

τ ⋅ t ⋅ dx =

(2)

M⋅y nas duas faces: I

MB − MA I

s

∫ y ⋅ t ⋅ ds = 0

s

dM ⋅ y ⋅ t ⋅ ds I ∫0

(3)

e substituindo dM = Q ⋅ dx temos:

τ ⋅t =

s

Q ⋅ y ⋅ t ⋅ ds I ∫0

(4)

A integral do lado direito da equação é função da geometria da seção e da posição s ao longo da seção. Por conveniência chamamos de m essa quantidade: s

m = ∫ y ⋅ t ⋅ ds

(5)

0

m é o momento de primeira ordem em relação à linha neutra da área da seção acumulada a partir da extremidade “aberta” (extremidade com tensão de cisalhamento nula) da seção. Substituindo m em (5) e isolando τ:

τ=

Q⋅m t⋅I

(6)

O produto τ ⋅ t tem significado especial na torção de seções de paredes finas, e há algumas analogias com o fluxo de um fluido ideal em tubulação fechada. Esse produto é então referido como um “fluxo de cisalhamento” e é representado pelo símbolo q: q = τ ⋅t

(7)

O fluxo de cisalhamento é também uma quantidade útil no caso em estudo, uma vez que a tensão de cisalhamento resulta de um carregamento transversal. Da equação 6 observamos que o fluxo de cisalhamento é dado por: q=

Q⋅m I

(8)

Dado que Q e I são constantes na seção inteira, o fluxo de cisalhamento é diretamente proporcional a m. De fato, a razão Q/I pode ser considerada um fator de escala e uma vez que a distribuição de m foi calculada, a distribuição do fluxo de cisalhamento é idêntica com unidades diferentes. Além disso, uma outra vantagem de q é que seu valor não varia abruptamente com a variação local da espessura como acontece com a tensão τ. Deve ser observado ao derivar-se (8) que os valores de Q e I são normalmente aqueles para toda a seção transversal da viga-navio, já que o cálculo de m foi feito usando metade da seção. Esta é a convenção que é usada daqui para frente. Obviamente, os valores de Q e I para a metade da seção poderiam também ser usados desde que sua razão fosse constante. No entanto, m deveria sempre ser calculado para metade da seção. Se as duas metades da seção fossem usadas para derivar a equação (8), então teríamos duas faces de corte simétricas e idênticas, cada uma carregada com uma força de cisalhamento de τ ⋅ t ⋅ dx . Neste caso o denominador de (8) seria 2 ⋅ t ⋅ I . A convenção de usar meia seção para o cálculo de m é ainda mais apropriada porque na prática meias-seções são usadas em desenhos estruturais. O cálculo de m é ilustrado na fig. 2 para uma viga-navio ideal. Para elementos horizontais o braço de momento y é constante e então m aumenta linearmente com o comprimento do arco. Isto ocorre no convés e no fundo se não há curvatura. Por exemplo, no convés: m( s1 ) = g ⋅ t D ⋅ s1

(9)

e m A = m(b) = g ⋅ t D ⋅ b

(10)

Na lateral m é parabólico: s2

m( s 2 ) = m A + ∫ y ⋅ t s ⋅ ds 2 = m A + ( g ⋅ s 2 − 0

1 2 ⋅ s2 ) ⋅ t s 2

(11)

Figura 2 – Cálculo do momento estático ao longo dos trechos da seção Em navios de proporções normais a parábola é bem chata e consequentemente o fluxo de cisalhamento q é praticamente constante na vertical. Devido à variação na orientação e espessura das chapas que compõe a seção da viga-navio, a integração de m é efetuada em segmentos. A integração começa sempre na extremidade livre de qualquer segmento. Como ilustrado na fig. 3 não precisa ser necessariamente na linha de centro; pode ser na extremidade de um corte ou outra abertura.

Figura 3 – Conservação do fluxo de cisalhamento nas junções A fig. 3 mostra também o efeito de ramificações múltiplas, por exemplo, conveses adicionais. Se um corte imaginário for feito no ponto C a força cisalhante naquele ponto deve equilibrar o desbalanceamento das tensões de flexão no segundo deck e em todo o chapeamento acima dele. Consequentemente toda essa área deve ser incluída no cálculo de m no ponto C. A nova área que é incluída ao passarmos de B para C é a área do segundo deck, e então o incremento em m é igual ao valor de m para o segundo deck. Isto é, mC = m A + m B e, desde que q é diretamente proporcional a m, qC = q A + q B . Isto ilustra uma das razões para o uso do termo “fluxo de cisalhamento”: em qualquer união ou ramificação a variação no fluxo de cisalhamento é igual ao fluxo que entra (ou sai) pelo ramo, como mostrado na fig. 3. Deve-se notar que uma vez que o deck e as chapas laterais devem ser distintos, a regra de continuidade para o fluxo de cisalhamento não vale para τ. A fig. 4 ilustra como τ varia com a mudança na espessura.

Figura 4a – Exemplo de diagrama mostrando a direção do fluxo de cisalhamento

Figura 4b – Variação de τ com a mudança de espessuras É notório (e.g., pelo círculo de Mohr) que pelo equilíbrio na tensão de cisalhamento em um elemento diferencial em qualquer ponto ocorre na forma de duas tensões iguais e opostas, uma positiva e a outra negativa. Uma vez que são iguais faz pouca diferença distinguir qual é qual, e portanto não há necessidade de uma convenção rigorosa para cada m ou τ ou q. A direção do fluxo de cisalhamento pode ser determinada analisando que na seção da viga-navio ele tem a mesma direção – ascendente ou descendente – da força cortante Q. Em seções “abertas” como da fig. 4 o fluxo é todo num sentido; a reversão da direção do fluxo é rara e portanto geralmente só o módulo de m e q interessam e seu sinal será positivo. Além disso, a integração de m sempre começa em uma extremidade aberta de cada ramo para simplificar os cálculos. Consequentemente, o braço de momento y é sempre positivo no início de cada ramo, não importando de que lado da linha neutra o ramo começa, e só fica negativo se e quando um ramo particular atravessar a linha neutra. Por esta razão, é preferível parar na linha neutra e terminar aquele ramo começando

pela outra extremidade. Se isso não for possível então a integração pode cruzar a linha neutra, contanto que um momento negativo seja usado para todos os pontos do outro lado. Tensão de Cisalhamento em Seções com Múltiplas Células Na definição de m, equação 5, foi assumido que a integral sempre começaria em um ponto com fluxo de cisalhamento nulo. Portanto, como observado anteriormente, se há alguma bifurcação (como um segundo convés ou um suporte fixado ao casco) então cada ramificação deve ter fluxo de cisalhamento nulo na sua extremidade. Isto é equivalente ao requisito que não deveria haver nenhum circuito fechado ou “célula” dentro da meia-seção da viga-navio. Consequentemente, para o navio tanque da fig. 5 o valor de m pode somente ser calculado ao longo de AB e FE; não pode ser calculado em nenhum lugar ao redor do perímetro do tanque de asa BCDEB. A dificuldade aparece pelo fato que o fluxo de cisalhamento se divide no ponto B (e se junta no ponto E) e as componentes separadas não podem ser determinadas por estática simples. O problema é estaticamente indeterminado e, como é recorrente neste tipo de problema, informação adicional deve ser obtida da consideração de compatibilidade geométrica. A técnica padrão consiste de dois passos principais: 1. Remova um número suficiente de restrições a fim de tornar o problema determinado estaticamente. Isto fará com que apareça um deslocamento quando na verdade este é nulo. 2. Para cada restrição retirada, imponha deslocamento nulo para que a condição geométrica seja satisfeita.

No caso em questão a restrição não é um suporte externo, como no caso de vigas, mas sim uma auto-restrição da seção: uma parte da seção da viga-navio impondo uma restrição na parte adjacente (e a segunda impondo uma restrição igual e oposta na primeira).

Figura 5 – Calculo do fluxo de cisalhamento em seções com múltiplas células O procedimento descrito será ilustrado através da aplicação no navio tanque da fig. 5. O fluxo de cisalhamento na viga-navio se torna estaticamente determinado no ponto B fazendo-se ali um corte longitudinal, como mostrado na fig. 5b. Isto transforma a meia-seção da viga-navio numa seção aberta com três ramos: ABE, BCDE e FE, cada um com fluxo de cisalhamento nulo nas suas extremidades. No caso geral, com N células fechadas, um total de N cortes deveriam ser feitos. O momento de primeira ordem m pode agora ser calculado. Para explicitar que este valor de m corresponde a uma seção cortada artificialmente, ele será chamado de m*. A equação 5 fica então s

m * ( s ) = ∫ y ( s ) ⋅ t ⋅ ds 0

(12)

Como anteriormente, m*(s) é função da posição dentro e ao redor da meia-seção da viga-navio. A posição de qualquer ponto é especificada pelo arco de comprimento s a partir da extremidade de um ramo particular que aquele ponto pertença. O valor correspondente do fluxo de cisalhamento será denotado como q* eq. (13) fica então q * (s) =

Q ⋅ m * (s) I

(13)

Agora deve-se remover o erro que os cortes longitudinais introduziram na estrutura. O efeito de cada corte é permitir o deslocamento longitudinal entre as extremidades cortadas. Portanto uma condição geométrica deve ser imposta de maneira que o deslocamento seja nulo em cada corte, e afim de satisfazer esta condição alguma correção ou adição ao fluxo de cisalhamento deve ser feita. É mostrado na seção 6.1 que o equilíbrio de uma seção de paredes finas isolada requer um fluxo de cisalhamento constante dentro da seção. Então, a correção no fluxo de cisalhamento é introduzida na forma de N valores constantes do fluxo de cisalhamento, qi (i=1,...N), um para cada uma das células fechadas originais. A soma de todos estes valores, mais a distribuição q*, deve dar o correto fluxo de cisalhamento total q. Isto é N

q = q * + ∑ qi

(14)

i =1

A situação é ilustrada na fig. 5 para o caso de um navio tanque. Neste caso há somente uma célula fechada e, portanto somente uma correção do fluxo de cisalhamento, q1 , como mostrado na fig. 5c. Agora para uma seção prismática de paredes finas de comprimento unitário, o deslocamento longitudinal que ocorreria devido a um corte é igual a integral cíclica da tensão longitudinal de cisalhamento de uma extremidade do corte até a outra ao redor de qualquer caminho na seção. Isto é

deformação = ∫ γ ⋅ ds =

1 1 q ⋅ ∫ τ ⋅ ds = ⋅ ∫ ⋅ ds G G t

(15)

Onde γ é a deformação por cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal. Neste caso o caminho de integração para cada corte é o perímetro da célula fechada associada com aquele corte (i.e., a célula que foi aberta por aquele corte). Então a condição de deslocamento nulo em cada corte é trocada pela condição de que para cada célula a integral cíclica mencionada acima é nula. Isto nos leva a um sistema de N equações:

q ( ) ⋅ ds = 0 (j=1,...N) t célulaj

∫

(16)

Note que por causa do zero do lado direito da equação, G foi eliminado. Substituindo por q de (14) e aplicando a integral cíclica para cada termo modificamos (16) para uma forma expandida:

qN q1 q2 q* ⎧ ⎫ ⎪ ∫ t ⋅ ds + ∫ t ⋅ ds + ... + ∫ t ⋅ ds = − ∫ t ⋅ ds ⎪ célula1 célula1 célula1 ⎪célula1 ⎪ ⎪ ⎪ qN q1 q2 q* ⋅ ds + ∫ ⋅ ds + ... + ∫ ⋅ ds = − ∫ ⋅ ds ⎪ ⎪ ∫ t t t ⎨célula 2 t ⎬ célula 2 célula 2 célula 2 ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ qN q1 q2 ⎪ ⎪ q* ⎪ ∫ t ⋅ ds + ∫ t ⋅ ds + ... + ∫ t ⋅ ds = − ∫ t ⋅ ds ⎪ célulaN célulaN célulaN ⎩célulaN ⎭

(17)

Deve-se notar que todos os termos do lado esquerdo são da forma

qi ⋅ ds t celulaj

∫

e, então, para quaisquer duas células i e j não adjacentes o termo correspondente será nulo, e se forem adjacentes a integral cíclica só resultará um valor não nulo ao longo da fronteira comum. Uma vez que o navio tanque da fig. 5 tem somente uma equação de compatibilidade:

q1 ⋅

ds q* =− ∫ ⋅ ds t t BCDEB BCDEB

∫

E, portanto a correção do fluxo de cisalhamento no tanque de asa é − q1 =

q* ⋅ ds t BCDEB ds ∫ t BCDEB

∫

(18)

Como requerido pela eq. (14) o fluxo de cisalhamento total é obtido pela adição da parcela da correção do fluxo de cisalhamento q1 ao fluxo de cisalhamento estaticamente determinado (artificialmente) q*. Isto é ilustrado na fig. 6. A expressão final pode ser simplificada notando que em (14) Q e I são constantes para a seção inteira. Então estas componentes de q* podem ser tiradas da integral. O resultado final para o navio tanque fica

m* ⎡ ⎤ ∫ t ⋅ ds ⎥ Q⎢ q = ⎢m * − ⎥ ds ⎥ I ⎢ ∫ t ⎦⎥ ⎣⎢ Convenção de Sinais

(19)

Na aplicação desta teoria, alguns cuidados devem ser tomados em relação a convenção de sinais porque dois tipos diferentes de integrais de linha estão envolvidos: (1) a integral para o cálculo de m*(s) para obter q*(s); e (2) as integrais q q* cíclicas de e i em torno de cada uma das células fechadas. Estas duas t t integrais envolvem convenções de sinais distintas. 1. Cálculo de m* - A direção geral do fluxo de cisalhamento q* pode ser estabelecido por inspeção uma vez que a localização dos cortes foi escolhida. Por este motivo é usual fazer-se um croqui da seção de corte indicando as direções de q* por meio de setas, como na fig. 6a. Mais uma vez a integração deve sempre começar na extremidade aberta de cada ramo, e y é sempre positivo inicialmente e só se torna negativo se e quando aquele ramo em particular atravessa a linha neutra. q q* 2. Integração cíclica de e i - Como observado anteriormente, a direção de q* t t em qualquer ponto pode ser estabelecido por inspeção uma vez que a localização dos cortes foi escolhida. É necessário saber a direção de q* em todos os pontos porque em todas as integrais cíclicas do lado direito de (17) o sinal estipulado para q* depende da sua direção local. A convenção de sinais usada daqui para frente será como se segue: O fluxo de cisalhamento q* em qualquer ponto é positivo se naquele ponto a direção do fluxo for horário em relação a sua célula. Dentro de cada equação de (17) (i.e., dentro de cada célula) todas as integrações cíclicas devem ser feitas na mesma direção. É aconselhável percorrer sempre cada célula no sentido horário porque então a definição do q* positivo é mais fácil: q* é positivo se ele flui com a integração e negativo se ele flui contra. A mesma convenção (sentido horário positivo) é usada para a parcela de correção do fluxo de cisalhamento, q1 . Se qualquer valor de q1 for negativo isto significa que nesta célula em particular a parcela de correção do fluxo de cisalhamento é anti-horária (como acontece no exemplo da figura 6). O método apresentado nesta seção é essencialmente uma técnica manual, e ela se torna complicada para seções transversais com muitas células fechadas, como o graneleiro apresentado na fig. 6 Alguns programas de computador são disponíveis e são versões automatizadas do método acima.

Figura 6 – Fluxo de cisalhamento em seções típicas (Graneleiro)

Fluxo de Cisalhamento em Seções Contendo Módulos de Elasticidade Diferentes (Avançado) A análise anterior foi feita para uma seção transversal homogênea e será agora generalizada para uma seção que tenha dois ou mais módulos de Young. A tensão de flexão σ em (1) será agora dada por que é

σ = Ti ⋅

M⋅y I tr

e assim (1) se torna

MB − MA s τ ⋅ t ⋅ dx = ⋅ ∫ Ti ⋅ y ⋅ t ⋅ ds I tr 0

(20)

Agora se modificarmos o fator de transformação Ti multiplicando pela área, ou mais especificamente pela espessura t, obtemos uma seção homogênea equivalente em que a espessura da parede é Ti ⋅ t . Como resultado desta escala, a integral em (20) é o valor de m para a seção transformada; isto é, o momento de primeira ordem da área da seção transformada ao longo de um arco de comprimento s, pego sobre a linha neutra da seção transformada. Em conformidade com nossa notação para flexão, denotamos este valor de m como mtr s

mtr = ∫ y ⋅ Ti ⋅ t ⋅ ds

(21)

0

e esta é a versão generalizada de (3). A expressão para o fluxo de cisalhamento (3.7.6) fica então

q=

Q ⋅ mtr I tr

(22)

Para obter a tensão de cisalhamento em qualquer ponto dividimos o fluxo de cisalhamento pela espessura local real t:

τ=

Q ⋅ mtr I tr ⋅ t

(23)

Ao contrário da distribuição da tensão de flexão, a tensão de cisalhamento não sofre uma mudança abrupta numa interface de material (a menos que haja também neste ponto uma ramificação, neste caso a mudança abrupta é devida totalmente ao novo ramo). A distribuição da tensão de cisalhamento sofre, no entanto, uma mudança brusca de declividade em interface de material. Uma distribuição típica da tensão de cisalhamento na chapa lateral de uma viga-navio de material composto é mostrada na fig. 7.

Figura 7 – Fluxo de cisalhamento em seções com múltiplos materiais.

Texto traduzido do Livro Hughes. Ship Structural Design: A Rationally-Based, Computer-Aided Optimization Approach, SNAME, 1995.