Circunferencia

 

COLEGIO PRIVADO “PETER NORTON”

GEOMETRÍA ANALITICA

                   C    

                        P (x, y)        C (0; 0)         dC,P   r r

  x  0   y  0  2

2

 x2  y2 r2

 x 2  y2

Ejemplo:        C (0; 0)      P (2; 3)     P (4; 3)   

  r 2 = 32 + 42 r 2  x 2  y2 r  9  16 16 r = 5 u.       2 5  x2  y2 25 = x2 + y2.

Lic. Juan Medina Mendoza

1

 

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GEOMETRÍA ANALITICA

          C (h, k)              C (h, k)     P (x, y)       C

        2 2 dC,P   r   x  h   y  k  r2

 x  h   y  k  2

2

        (x + 2)2 + (y + 5)2 = 49                       h = -2, k = -5

C ((-2 2; -5) -5)

   2 r  = 49

r = 7 u.

              P1 (-1; 1), P2 (3; 5) y P3 (5; (5; -3) -3)                                             

Sea Q punto Sea punto medio medio del del segme segmento nto P1P2, entonces: Q (1; 3) y “m” la pendiente del segmento P1P2, entonces m = 1; por lo tanto la pendiente pendiente la med mediatriz iatriz     es: es: -1. -1.   y – 3 = -1(x – 1) x+y=4      : Sea R punto medio del segmento P 2P3, entonces: R (4; 1) y “ ” la pendi pendient ente e del segmento P1P2, entonces m = -4 ; por lo tanto la pendiente pendiente la mediatriz mediatriz       es: 1/4.   y – 1= 1/4(x – 4) x - 4y = 0

        x= 16/5, y = 4/5,         C  (16/5; 4/5) Lic. Juan Medina Mendoza

2

 

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El radio de la circunferencia esta dado por: 2

2

 16  1   4  1  1 442 r  CP1    5  5 5    Por lo tanto la ecuación buscada es: 2

2

  16     4   442 x 5  y 5 25    

                         2 2 r 2  x  h   y  k  r2





 x 2  2xh  h2  y 2  2yk  k 2



 y 2  2h x  2k y  h2  k 2  r 2  0   D = -2 -2h, h, E = -2 -2k k y F = h2 + k2 - r 2                 x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 x2

  2 2   D     E   D2  E2  4F x 2  y 2  4                     D2                  (-D (-D/2, /2, -E/2) -E/2)    

1 2

D2

 E2  4F

 D2                                          (-D/2, /2, -E/2) -E/2)   (-D  D2                                                          D = -2 -2h h

10 = -2 -2h h

h = -5 C (h, (h, k) = C ( -5; 4) 4)

E = -2k F = h2 + k2 - r 2

-8 = -2k

k=4 5 = (-5) + (4)2 +r 2 r=6            C       

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2

3

 

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                P (8; 0)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

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GEOMETRÍA ANALITICA

                                                                                       



                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

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GEOMETRÍA ANALITICA

                                                                                                              

                (x - h)2 + (y - k)2 = r 2,     , h, k y r.        x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0     , D, E y F.                                                                                                      A (- 1. 1). B (3. 5) y C (5. - 3).          : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.       D. E Y F                                  (-1,1), (3, 5), (5, - 3).

1+1-D+E+F=0. 9 + 25 + 3D + 5E 5E + F = 0. 0. 25 + 9 + 5D - 3E 3 E + F = 0. 0.

que pueden escribirse más abreviadamente así: D- E -F=

2.

3 D -+ 5 +F = -- 3 5D 3E E+ F= 34 4..

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GEOMETRÍA ANALITICA

                  1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 34 1 3 5 34 34 5 1 5 34 1 5 3 34 34 3 1 8 34 32    E     F  D 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 3

5

1

3

5

1

3

5

1

3 1 5 3 1 5 3 1           5

x2 + y2 -

32 8 34 x- yF = 0, o sea: 5 5 5 5x2 +5 y2 - 32x - 8y - 34 = 0

                 P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3) viene dada por el determinante: x 2  y2 x y 1 x12  y12 x1 y1 1 0 2 2 x2  y2 x2 y 2 1 x 32  y 3 2 x3 y 3 1                           

                    a. A ((-4; 4; 2), 2), B (4; (4; 2) y C (0 (0;; -2 -2)) b. A (1 (1;; 2), 2), B (6; (6; 5) y C (9; (9; 0) c. A ((-7; 7; 2), 2), B (1 (1;; -2 -2)) y C ((-2 2; -3) -3) d. A ((-6; 6; 9), 9), B (6; (6; 1) y C (6 (6;; -9 -9))

                                                                                                                    Lic. Juan Medina Mendoza

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                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

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COLEGIO PRIVADO “PETER NORTON”

GEOMETRÍA ANALITICA

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Lic. Juan Medina Mendoza

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COLEGIO PRIVADO “PETER NORTON”

GEOMETRÍA ANALITICA

                                                                        

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C1  C2          

                  Lic. Juan Medina Mendoza

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COLEGIO PRIVADO “PETER NORTON”

GEOMETRÍA ANALITICA

  C1    C2            C2      C1    C2                                  D2                        C1  C2        C1            C2               C3        C1   C2            : x –y -2 = 0                                                   x 2 +y 2 +  7-k  x-  10+6k  y+  31+3k  =0  k+1  k+1   k+1 

               C3                              k  7 3k  5  ,       2 k 1 k 1                  k 7 3k  5  20 2 k  1 k  1  

k

7 3

    

   k             C3           

             C1 y C2   C1: x2+ y2 + D1 x + E1 y + F1 = 0, ………………………………………….. (1) 2

2

C2: x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0 ………………… …………………………………… ………………………… ……… (2)

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GEOMETRÍA ANALITICA

       

x2+ y2 + D1 x + E1 y + F1 + k(x2 + y2 + D2 x + E2 y + F2) = 0 (3)

                                (D1 - D2) x + (E1 - E2) y + F1 - F2 = 0……… 0…………… ………… ………. …. (4) (4)  C1 y C2      D1  D2   E1  E2   

                                      C1 y C2     C1 y C2                                      C1 y C2                   C1 y C2                                                    C1            C2                                                                                                     C1 y C2     5 3       ;      2 2        3 2         5 4 2 6

9 3

    

                    

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GEOMETRÍA ANALITICA

    t             P1(x1; y1)                t

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1

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2

 

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           t                                                          

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Lic. Juan Medina Mendoza

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