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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA
MATEMÁTICA BÁSICA
SECCIONES CÓNICAS: CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA
ROGELIO EFREN CERNA REYES
RESOLUCIÓN DECANAL Nº 184-2013-D-FIME
SEMESTRE 2013-B CALLAO-PERU
Secciones Cónicas: Circunferencia y Parábola
PREFACIO
E
n los espacios vectoriales reales 2-dimensionales se puede presentar los vectores, rectas, traslaciones, rotaciones y tambien las secciones
cónicas. En estas dos ultimas decadas el enfoque vectorial es el preferido por los estudiantes de ingeniería, por una razón simple, los temas de los cursos de ingenieria requieren de una interpretación conceptual y gráfica en la forma vectorial. Lo cual, es motivo mas que suficiente, para presentar las secciones cónicas: circunferencia y parábola en el espacio bidimensional de manera grafica y conceptual como tercer tema a desarrollar en el curso de Matemática Básica en Ingenieria. A continuación se tiene la presentación de la circunferencia y parábola desarrollando sus definiciones, rectas tangentes y propiedades aplicando el enfoque vectorial. Este tercer trabajo queda ha vuestra disposición, especialmente de los estudiantes de Ingeniería Mecánica y de Energía de la Universidad Nacional del Callao.
El autor.
Rogelio Efren Cerna Reyes
ii
Secciones Cónicas: Circunferencia y Parábola
INDICE 1.
CIRCUNFERENCIA .....................................................................................................................1 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
2.
DEFINICIÓN. ............................................................................................................................................ 1 FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS ................................................................................................. 6 PROPIEDAD IMPORTANTE DEL EJE RADICAL ....................................................................... 9 RECTA TANGENTE A UNA CURVA ........................................................................................... 12 RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA .................................................................. 13
PARÁBOLA .................................................................................................................................24 2.1. 2.2.
DEFINICIÓN. ......................................................................................................................................... 24 ECUACIONES ORDINARIAS DE LA PARÁBOLA .................................................................. 26 2.2.1. PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA .........................................................................26 2.2.2. SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA........................................................................26 2.3. TANGENTE A UNA PARÁBOLA .................................................................................................. 27 2.4. PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA .............................................................................................. 28 3.
PROPIEDAD COMÚN DE LAS CÓNICAS...............................................................................40
REFERENCIALES ................................................................................................................................44
Rogelio Efren Cerna Reyes
iii
Secciones Cónicas: Circunferencia
SECCIONES CÓNICAS: CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA 1. CIRCUNFERENCIA 1.1. DEFINICIÓN. Una circunferencia es un conjunto de puntos de
que se encuentran a
una distancia constante llamado radio de un punto fijo llamado centro (Charles H., 1980). Esto es; ‖̅̅̅̅‖
{
y
}
,
denota a la circunferencia, y
8
su radio
7
su centro.
5
‖̅̅̅̅‖
,
‖̅̅̅̅‖ Sea
ℎ,
y ‖
,
𝐶 ℎ, 𝑘
4
,
3
, entonces
2
3
4
5
6
7
x
Figura 1: Circunferencia de centro , y radio .
‖
ℎ,
𝒞
𝑟
6
ℎ Expresión conocida como la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro
y radio
ℎ,
. Desarrollando la ecuación ordinaria se
obtiene: ⏟ ℎ
⏟
⏟ℎ
Ecuación que puede escribirse en la forma
Expresión llamada forma general de la ecuación de la circunferencia de centro
(
,
) y radio
Notas. 1. Una circunferencia queda determinada completamente, si se conocen tres datos.
Rogelio Efren Cerna Reyes
1
Secciones Cónicas: Circunferencia
2. Si las mediatrices1 de tres puntos no colineales se cortan en un punto, este es el centro de la circunferencia determinada por dichos puntos. 3. Para hallar la ecuación de una circunferencia, se remplazan los tres puntos dados en la ecuación general de la circunferencia, obteniéndose un sistema de tres ecuaciones de donde se hallan
,
y . Ejercicio 1. Halle la ecuación de la circunferencia puntos
, ,
( ,√ ) y
que pasa por los
( , √ ).
Solución. Se conoce que la ecuación general de una circunferencias está dada por
Remplazando los puntos dados en
se tiene:
, ( ,√ )
√
( ,√ )
√
De donde se tiene el sistema de 3 ecuaciones en 3 incógnitas
√ √ Resolviendo el sistema se tiene
,
,
Luego la ecuación general de la circunferencia es y la ecuación en forma ordinaria es
Tambien se puede resolver utilizando la siguiente propiedad: En todo triángulo de vértices
,
y
las mediatrices de sus tres lados
1
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB (WIKIPEDIA. Enciclopedia Libre, 2013).
Rogelio Efren Cerna Reyes
2
Secciones Cónicas: Circunferencia
concurren en un mismo punto, llamado el circuncentro
del
triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro
y de
radio ‖̅̅̅̅‖, pasa por los otros
𝑃
2
,
𝑃 ( ,√ )
𝑃 (√ , )
dos vértices del triángulo. Se
𝑅𝑀
1
dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que
𝑅𝑀
1𝐶
1
2
3
el triángulo está inscrito en la 1
circunferencia.
(WIKIPEDIA.
Enciclopedia Libre, 2013).
2
Hallamos la mediatriz
del
lado formado por los puntos
, ,
( ,√ )
̅̅̅̅̅̅ ,
,
Remplazando los datos ( ,
√
Hallamos la mediatriz
(
)
),
√ ,
del lado formado por los puntos
, ,
( ,√ ) ̅̅̅̅̅̅ ,
,
Remplazando los datos ( ,
√
(
)
√ , ),
Luego, el centro de la circunferencia es ( ,
√
)
(
√ ,
)
( ,
√
)
(
√ , )
Aplicando multiplicación escalar en ambos miembros por el vector (
,
√ ) se tiene
Rogelio Efren Cerna Reyes
3
Secciones Cónicas: Circunferencia
( ,
√
) (
√ )
, ( ,
√
(
(
√ ,
) (
,
) ( √ )
,
√ )
(
√ , ) (
√ )
,
√ )
√
Entonces ( ,
√
)
√
(
)
√ ,
Es el centro de la
,
circunferencia . Ahora hallamos el radio de la circunferencia ‖̅̅̅̅̅‖
‖ ,
‖
Finalmente la ecuación ordinaria de la circunferencia es
Ejercicio 2. Halle la ecuación de la circunferencia trasladada 10 unidades en la dirección del vector
, .
Solución. Recordamos ̅, El punto
trasladado t unidades el vector ̅. En el ejercicio se desea
trasladar los puntos unitario ̅
̅ ‖ ̅‖
de la circunferencia 10 unidades el vector
paralelo al vector
, . 10
Es decir
𝒞𝑇
8
̅,̅ Sea
,
y
,
6 4
,
𝒞
2
,
,
, 2
{
{
2
4
6
8
10
2
Reemplazando en la ecuación de la circunferencia tenemos
Rogelio Efren Cerna Reyes
4
Secciones Cónicas: Circunferencia
Simplificando se obtiene la circunferencia trasladada
Ejercicio 3. En el sistema , ,
,
sistema
′ ′ la circunferencia
′ pasa por los puntos
y( ,
√ ). Halle la ecuación de la circunferencia ′ en el
si
,
,
√
, .
√
Solución. Se desea hallar la ecuación de la circunferencia en el sistema
.
En el sistema ′ ′ se tiene: ′
′
′
′
Pero , , ( ,
√ )
(
√ )
(
√ )
De donde se tiene el sistema {
(
√ )
{
√
Luego
Completando cuadrados se tiene la circunferencia 10
De centro ′ ,
y radio
Llevamos el centro
′ ,
𝑌
.
8
al sistema
.
𝑌′
Utilizamos
𝑋′
6 4
,
′ √
′
,
√
2
, 2
Entonces
2
4
√
,
√
,
( ,
8
10
𝑋
2
,
6
√ )
Finalmente la ecuación de la circunferencia es: Rogelio Efren Cerna Reyes
5
Secciones Cónicas: Circunferencia
(
√ )
1.2. FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS Sean las circunferencias
La recta que pasa por los centros de las circunferencias denomina recta de los centros y se denota
y
se
̅̅̅̅̅̅̅
La familia de curvas asociadas a las circunferencias
y
, denotada
, está dada por: , Reemplazando las ecuaciones de las circunferencias se tiene , , Familia de curvas que tiene las siguientes características:
1. Si
y las circunferencias
entonces la familia de curvas
y
no son concéntricas,
representa una recta, denotada
Llamada eje radical de las circunferencias
y
y se presentan
los siguientes casos: a) El eje radical de y
y
pasa por los puntos de intersección de
. Es decir es una cuerda común a las circunferencias
dadas. b) El eje radical de
y
circunferencias (
y
c) El eje radical de
y
dos circunferencias (
es una recta tangente común a ambas son tangentes). no tiene ningún punto común con las y
no tiene puntos de intersección).
En los tres casos, el eje radical de de los centros Rogelio Efren Cerna Reyes
̅̅̅̅̅̅̅
y
es perpendicular a la recta
. 6
Secciones Cónicas: Circunferencia
2. Si
la familia de curvas
es una familia de circunferencias,
las cuales tienen sus centros en la recta de los centros de
̅̅̅̅̅̅̅
y
representa los siguientes casos: a) Todas las circunferencias que pasan por los puntos de intersección de
y
excepto la circunferencia
b) Todas las circunferencias que son tangentes a
y
en su
punto común excepto la circunferencia c) Una circunferencia para cada valor de ecuación
resultante
circunferencia, si
satisfaga y
las
, siempre que la
condiciones
de
no tienen puntos de intersección.
Además, ningún par de circunferencias de la familia punto común con alguna de las circunferencias Nota.
una
tiene un
y
Sean tres circunferencias, de las cuales no hay dos que sean
concéntricas. Cada para tiene un eje radical, y las tres, tomadas a pares, tienen tres ejes radicales. Si las tres circunferencias no tienen una recta de los centros común, sus tres ejes radicales se cortan en un punto llamado centro radical. Ejercicio 4.
Sean las circunferencias
Determine: a) La recta de los centros
̅̅̅̅̅̅̅
b) La familia de circunferencias asociadas a c) El eje radical de
y
y
Solución. a) Se desea hallar la recta de los centros
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅ ,
Basta hallar los centros de las circunferencias dadas. De las circunferencias
Rogelio Efren Cerna Reyes
7
Secciones Cónicas: Circunferencia
Completando cuadrados se tiene (
)
(
10
)
8
(
6
, )
C2 (4,6) 4
,
2 5 3 , 2 2
C1
Entonces ̅̅̅̅̅̅
( , )
,
4
2
2
4
6
8
ER
Luego la ecuación vectorial de la
2
recta de los centros está dada por (
̅̅̅̅̅̅̅
, )
,
,
Y en forma cartesiana o forma general es ̅̅̅̅̅̅̅
b) Se desea hallar la familia de circunferencias asociadas a
y
. Es
decir , Reemplazando los datos , (
)
,
Expresión que representa una familia de circunferencias para
Como las circunferencias
y
no tienen puntos de intersección,
veamos algunas circunferencias para Para
se
tiene
que
es
circunferencia, en forma ordinaria Para
(
(
)
se tiene que
es una
circunferencia, en forma ordinaria c) Se desea hallar el eje radical de Si
)
una
(
)
(
)
y
, entonces la familia de curvas
Rogelio Efren Cerna Reyes
8
Secciones Cónicas: Circunferencia
(
)
Resulta ser la ecuación de la recta (
Llamada eje radical de Se aprecia que
̅̅̅̅̅̅̅
y
y
)
.
son rectas ortogonales, pues sus vectores
normales son ortogonales.
1.3. PROPIEDAD IMPORTANTE DEL EJE RADICAL En la figura se aprecia que; si punto exterior
es la longitud de la tangente trazada del
a la circunferencia
,
en forma general
⏟ ℎ
ℎ ,
⏟ℎ
⏟
entonces ‖̅̅̅̅̅‖ Es decir √
ℎ ⏟ ℎ
√
⏟ℎ
⏟
El segundo miembro de esta expresión
es
como
hubiéramos
reemplazado
coordenadas del punto
𝑡
𝑃 𝑥 ,𝑦
si las
𝑟
𝒞 𝐶 ℎ, 𝑘
,
en el primer miembro de la ecuación
general
de
la
Figura 2. Longitud de la tangente trazada del punto exterior , a la circunferencia
circunferencia .
Rogelio Efren Cerna Reyes
9
Secciones Cónicas: Circunferencia
Propiedad. El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico2 de un punto que se mueve de tal manera que las longitudes de las tangentes trazadas 10
desde él a las dos circunferencias son iguales (Charles H., 1980).
6
𝑡 𝒞 circunferencias
𝒞
8
Sean
Dos
𝑡
4
no
2
concéntricas. Sea
el punto que se mueve y
,
sean
y
las longitudes de las
tangentes trazadas desde
a
4
2
2
4
𝐸𝑅
6
8
2
Figura 3. Propiedad importante del eje radical
y
respectivamente, entonces
Como las longitudes
y
son iguales, es decir
, entonces
De donde se obtiene Expresión que es la ecuación del eje radical de
y
.
Ejercicio 5. Halle la longitud de la tangente trazada desde punto
,
a la circunferencia Solución. Recordamos que la longitud de la tangente trazada desde el punto ,
2
a una circunferencia está dada por
Lugar Geométrico, es el gráfico de un conjunto de puntos que cumplen una propiedad geométrica.
Rogelio Efren Cerna Reyes
10
Secciones Cónicas: Circunferencia
De la circunferencia
se tiene 6
4
Reemplazando los datos del ejercicio se tiene
t
P(3,4)
2
(
)
6
4
2
2
4
2
√
4
Ejercicio 6. Sean las circunferencias
Utilizando, la propiedad importante del eje radical, halle la ecuación del eje radical de
y
Solución. De las circunferencias dadas
Se tiene 10
𝑡
𝒞
8
Dos
circunferencias
no
concéntricas. Si
las
6
𝑡
longitudes
de
𝒞
las
4
tangentes trazadas desde un punto
,
circunferencias
a son
las
2
dos
iguales,
entonces el lugar geométrico
4
2
2
4
𝐸𝑅
6
8
2
que describe dicho punto es el eje radical de las dos circunferencias. Rogelio Efren Cerna Reyes
11
Secciones Cónicas: Circunferencia
Es decir
Simplificando se obtiene el eje radical de las circunferencias dadas.
1.4. RECTA TANGENTE A UNA CURVA Sea la ecuación de una curva
Y la de una recta ℒ Si de la ecuación de la recta ℒ , se despeja
en función de
y se
remplaza en la ecuación de la curva, se obtiene una ecuación de segundo grado en la variable . Luego se afirma:
ℒ
1. La recta ℒ es una recta secante a la
𝒞
curva, si la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones. Es decir su discriminante es mayor que cero . 2. La recta ℒ es una recta tangente a la
curva,
denotada
,
si
𝐿𝑇
la T
ecuación de segundo grado tiene una única solución. Es decir su discriminante ,
es
llamada
igual
a
𝒞
cero
condición
de
tangencia. 3. La recta ℒ y la curva no tienen puntos de intersección, si la ecuación de segundo grado no tiene soluciones reales. Es decir su discriminante es menor que cero Rogelio Efren Cerna Reyes
. 12
Secciones Cónicas: Circunferencia
1.5. RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Para la determinación de la ecuación de la recta tangente a una circunferencia (Charles H. 1980) se tiene en cuenta que: 1.
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de contacto.
2.
La condición de tangencia descrito líneas arriba.
La ecuación de la recta tangente a una circunferencia queda completamente determinada cuando se conoce su vector direccional y el punto de contacto (o algún otro de sus puntos). Si se tiene uno de estos datos, el otro debe determinarse a partir de las condiciones del problema. Según esto tenemos los siguientes problemas: 1.
Hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada y que pasa por un punto exterior dado.
2.
Hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada y que tiene un vector direccional dado.
3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia dada y que pasa por un punto de contacto dado.
Ejercicio 7. Halle la ecuación de la recta tangente
a la circunferencia
cuyo punto de contacto o tangencia es
ℎ .
,
Solución. Sea
,
un punto arbitrario de la recta
,
7 6
en la figura se observa que los vectores
5
̅̅̅̅
4
,
, ̅̅̅̅
ℎ,
3
son ortogonales. Es decir
𝐶 ℎ, 𝑘
𝑃
2
̅̅̅̅ Entonces Rogelio Efren Cerna Reyes
̅̅̅̅
1
𝑇 𝑥𝑇 , 𝑦𝑇 1
2
3
𝐿𝑇 4
5
6
7
13
Secciones Cónicas: Circunferencia
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ,
ℎ,
ℎ Sumando y restando ℎ y ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
ℎ Como
adecuadamente
ℎ
ℎ
ℎ
se tiene que
,
Ecuación de la recta tangente a la circunferencia .
Ejercicio 8. Halle
las
ecuaciones
de
las
circunferencia
rectas
tangente
a
la
trazadas desde el punto
, . Solución. Sean las rectas tangentes a
trazadas desde
̅ , 𝑅
, Sólo
falta
conocer
los
𝑇
vectores
𝐿𝑇
direccionales.
𝑢̅
En la figura se tiene: a) ̅̅̅̅
̅
b) ̅̅̅̅
‖̅̅̅̅̅‖
𝐶
,
𝑣
‖̅̅̅̅̅‖ ̅ , ̅
𝑇
, ‖̅‖
, ,
,‖ ‖
, ‖̅̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅̅‖
,
,
𝐿𝑇
Dónde: ̅̅̅̅
, , ‖̅̅̅̅ ‖
√
√
Ahora hallamos los vectores unitarios ̅ y De (a) tenemos ,
, {
Rogelio Efren Cerna Reyes
√
,
√ √ 14
Secciones Cónicas: Circunferencia
( √
Resolviendo el sistema se tiene:
),
(
√
)
Entonces ( √
̅
,
)
√
Por lo que la recta tangente es ( √
,
),
, √
De (b) tenemos ,
, {
,
√ √
√
Resolviendo el sistema se tiene:
( √
),
√
)
(
√
)
Entonces ( √
,
Por lo que la recta tangente es ,
( √
),
, √
Ejercicio 9. Sea
una circunferencia.
El origen del sistema positiva del eje intersección de
se traslada al punto
′ es paralela al vector
,
y la dirección
, . Por los puntos de
con los ejes del sistema ′ ′ se trazan rectas tangentes
formando un cuadrilátero. Hallar, en el sistema
, los vértices de
dicho cuadrilátero. Solución. De la ecuación de la circunferencia se tiene (
) (
Rogelio Efren Cerna Reyes
( )
(
) ) 15
Secciones Cónicas: Circunferencia
Recordamos ̅ , ‖ ̅‖
̅ Como eje ′ es paralelo al vector
, , entonces ̅
, .
Luego ,
,
,
,
De donde
𝐶 𝐿
′
{
𝑅
′ ( ,
{
, )
( , Llevamos
el
𝐷
,
, ) centro
𝐿
𝑄
𝑆
,
( , )
de
𝑃 𝐴 𝑃 𝐿
𝐿
𝐵
la
circunferencia al sistema ′ ′ {
(( , ) (( ,
)
, )
,
, )
,
,
Centro de ′
La ecuación de la circunferencia en el sistema ′ ′ es ′
′
′
Ahora hallamos los puntos de intersección de ′ con los ejes son los puntos de tangencia ′ , , ′
,
′ ′ que
, ′( , √ ) y ′( , √ ) de
las rectas ′ , ′ , ′ y ′ respectivamente con la circunferencia ′. Recordamos que la ecuación de la recta tangente a una circunferencia es; ℎ
ℎ
En el sistema ′ ′ las rectas tangentes son: ′ ′
Rogelio Efren Cerna Reyes
′
√
′
√ 16
Secciones Cónicas: Circunferencia
Ahora hallamos los vértices del cuadrilátero ′
′
′
′
√
′
′
√
′
′
en el sistema ′ ′ :
√
√ √
′(
,
√
)
√ )
′( , ′( , √ )
√
√
√
′(
,
√
)
Llevando estos vértices del cuadrilátero al sistema ,
, ,
( ,
, ,
√
(
)
,
(
√ )
,
( √ )
,
( ) √
,
(
,
(
,
(
√ , √ , √ ,
√ ) √ ) √ )
√ ,
√ )
Ejercicio 10. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
y por las intersecciones de las circunferencias:
,
, Solución. Recordamos que , Es
la
familia
de
circunferencias pasan
por
desea
pasa
y
hallar
circunferencia por
, el
𝑦
las
intersecciones de Se
𝒞 𝑥
que
𝐴
,
una que punto
, , de la familia
Rogelio Efren Cerna Reyes
17
Secciones Cónicas: Circunferencia
Veamos ,
Luego la circunferencia es (
)
(
)
(
(
))
(
(
))
(
)
Finalmente la circunferencia es
{
Ejercicio 11. Sea
̅ } una recta no vertical ̅̅̅̅̅̅ es un
segmento tal que ̅̅̅̅̅̅
, , ̅̅̅̅̅̅
,
dos circunferencias con centros en respectivamente. ‖̅̅̅̅̅̅‖
,
{ , }, ̅̅̅̅̅
{ , },
̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ‖̅ ‖
( y
√
,
).
y
y radios
, ‖̅̅̅̅̅̅‖
son y
,
, .
a) Halle la ecuación de la circunferencia con centro en
y que pasa
por b) Si el sistema de coordenadas se traslada al punto
y se rota en la
dirección de ̅̅̅̅̅ . Encontrar las coordenadas de
en este nuevo
sistema. Solución. En la figura se tiene ‖̅̅̅̅̅̅‖
‖
̅
̅̅̅̅̅̅‖
̅̅̅̅̅̅ ̅ ‖ ‖ ̅‖
‖
̅̅̅̅̅̅ ̅ ‖ ‖̅ ‖
‖
‖̅̅̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅ ‖
‖̅̅̅̅̅ ‖
√ ‖̅̅̅̅‖
Donde ‖̅̅̅̅‖
√ ,
Rogelio Efren Cerna Reyes
‖̅̅̅̅̅‖
√
‖̅̅̅̅‖
√ 18
Secciones Cónicas: Circunferencia
‖̅̅̅̅̅ ‖
‖̅̅̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅̅ ‖
√
‖̅̅̅̅‖
( √ )
√
Entonces ‖̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅̅ ‖
‖̅̅̅̅‖
( √ )
,
̅̅̅̅̅̅
√
√
Además ̅̅̅̅̅̅
(
)
( , )
a) Hallamos la ecuación de la circunferencia con centro en que pasa por
.
Sea ̅
̅
̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅ ‖̅ ‖
,
, ‖ ̅‖
̅̅̅̅̅̅ ̅
(
̅ , ̅ ̅̅̅̅̅̅
̅
‖ ̅ ‖
y
,
, entonces )
,
,
√
De donde √ , Resolviendo se obtiene ̅
,
√
Ahora, hallamos el centro de la circunferencia ‖̅̅̅̅‖ ̅ √
,
,
√
,
Finalmente, la circunferencia es
b) Se desea hallar las coordenadas del punto
en el sistema ′ ′.
Recordamos ,
̅̅̅̅̅
En la figura se tiene ‖̅̅̅̅̅‖
‖
Rogelio Efren Cerna Reyes
̅
̅̅̅̅̅‖
‖
,
, ‖
‖
, , ‖ ‖ , ‖
√ 19
Secciones Cónicas: Circunferencia
‖̅̅̅̅̅̅‖
‖
̅
̅̅̅̅̅‖
‖
, ‖
,
, ‖
‖
, ‖ , ‖
√
Además ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Donde ̅̅̅̅̅
‖̅̅̅̅‖ ̅
‖̅̅̅̅̅‖
, ̅̅̅̅̅
, , ‖̅̅̅̅̅‖
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
√
√
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
,
√
,
√
,
√
,
,
,
,
√
,
,
,
,
Ahora recordamos { ( ,
, )
( ,
{ Luego el punto
,
, )
,
√ ,
√
√
en el sistema ′ ′ es ′( , √
O También, se aprecia que ̅̅̅̅̅
)
̅̅̅̅̅ , es decir el punto
esta sobre
el eje ′ ‖̅̅̅̅̅‖ ,
√
,
( , √
)
′( , √
)
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Sean
Dos circunferencias no concéntricas. Si sobre el eje radical de tangentes de
Rogelio Efren Cerna Reyes
a
y
y
,
es un punto que esta
, demostrar que las longitudes de las rectas
son iguales.
20
Secciones Cónicas: Circunferencia
2. Demostrar que; la ecuación de la recta tangente
a la circunferencia
, con punto de contacto
ℎ por
ℎ
, está dada
,
ℎ
3. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
y
,
sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la
,
cuerda ̅̅̅̅ es igual a
√
4. Halle la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo cuyos lados están contenidos en las rectas 5. Sean
y
,
,
dos circunferencias cuyos sus radios cumplen la relación
.
,
,
{ ,
y
,
,
} una
,
recta que une los centros de las circunferencias la cual se intercepta con {
la recta ̅̅̅̅̅̅̅
, donde
̅̅̅̅̅̅
, y
a) Las ecuaciones de
} en el punto
, ,
son los centros de
respectivamente. Halle
y
b) La ecuación de la recta tangente a 6. Un atleta de
y
de modo que
y
de pendiente positiva.
de altura está corriendo siguiendo la trayectoria . En el punto
se levanta un poste vertical de
,
de altura, en cuyo extremo hay un foco. Hallar la ecuación que describe el extremo de la sombra del atleta. 7. Sean
y
dos circunferencias disjuntas, tales que el radio de
doble del radio de
. La recta
tangente simultáneamente a corta a
en el punto
tangente a
,
y
que pasa por el punto . La recta
en el punto cuya ordenada es
,
es
que contiene a los centros
{
. La recta
es el
,
,
,
} es
. Encontrar las ecuaciones
de ambas circunferencias. 8.
es un triángulo recto en
. Por el punto
mediatriz de ̅̅̅̅ que corta a ̅̅̅̅ en Rogelio Efren Cerna Reyes
,
de ̅̅̅̅ se traza la
. Una circunferencia
de 21
Secciones Cónicas: Circunferencia
diámetro ̅̅̅̅̅ corta a ̅̅̅̅ en . Si
, ̅̅̅̅
,
̅̅̅̅ y
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
. Halle la ecuación de .
,
9. El origen del sistema
es trasladado al punto
y luego los ejes se
,
rotan de manera que el semieje positivo ′ está en la dirección del vector , . La ecuación de la circunferencia ( dada en el sistema sistema
′ ′. La recta
)
{
,
(
está
)
} dada en el
̅,
es una recta tangente a la circunferencia y tiene pendiente
positiva. Determine el área del triángulo formado por
y los ejes ′ e ′ y
el punto de tangencia. 10. La recta
con
, donde que
y √
, es tangente a las circunferencias
y el punto
,
es el centro de
y
. Si se sabe
no son secantes y que la menor distancia entre
y
es
unidades. Halle
a) La ecuación de b) La ecuación de c) La intersección de
con la circunferencia
.
11. Determinar la ecuación de las circunferencias cuyas tangentes son las rectas
y su radio es 5.
,
12. La recta
es tangente a una circunferencia cuyo centro
se encuentra en el cuarto cuadrante. Si circunferencia tal que
̅̅̅̅
,
,
es el punto de la
. Halle la ecuación de la
circunferencia. 13. Halle la ecuación de la circunferencia tal que determina sobre los ejes coordenados
e , segmentos de 3 y 6 unidades, respectivamente y cuyo
centro está en el primer cuadrante y pertenece a la recta
.
14. Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas , común a las circunferencias Rogelio Efren Cerna Reyes
y que es perpendicular a la cuerda que es y
. 22
Secciones Cónicas: Circunferencia
15. Una circunferencia
de radio √ unidades tiene su centro sobre la recta
y es tangente a la recta
. Halle el centro y
la ecuación de . 16. Halle los puntos de tangencia y las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la circunferencia
trazadas desde el punto
,
.
17. Halle la ecuación del eje radical de las circunferencias y 18. Halle las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias ,
y
y las longitudes de las tangentes trazadas del centro radical a cada circunferencia y demuestre que son iguales.
Rogelio Efren Cerna Reyes
23
Secciones Cónicas: Parábola
2. PARÁBOLA 2.1. DEFINICIÓN. Una parábola es un conjunto de puntos de
tales que cada punto
equidista de una recta fija y de un punto fijo que no pertenece a dicha recta (Stewart, Redlin, & Watson, 2007) {
‖̅̅̅̅‖ ,
,
}
Es la recta fija, llamada recta directriz de la parábola.
𝑢̅
: Es el punto fijo, llamado 𝑥′
foco de la parábola. La recta perpendicular a la recta directriz y que pasa por el foco se llama eje de la parábola . En la Figura 4 se observa que: : es llamado vértice de
.
̅̅̅̅: Radio focal o radio vector de El sistema
Figura 4: Parábola con foco directriz .
y recta
.
se traslada y se rota de modo que todo punto de
se
puede escribir en términos de las coordenadas que posee en el sistema rotado y trasladado ′ ′ ̅ En el sistema
se define
,
̅ , ‖ ̅‖ . Entonces ̅ ̅
Y la ecuación vectorial de la recta directriz es ̅ , De la definición de la parábola se tiene que: Rogelio Efren Cerna Reyes
24
Secciones Cónicas: Parábola
‖̅̅̅̅‖
,
‖̅̅̅̅‖
, Donde ‖̅̅̅̅‖
‖
̅ ‖,
̅
|
′
|
‖(
′
|
, ′
)̅
|
̅ ‖
Elevando al cuadrado ambos miembro de la igualdad y operando adecuadamente se obtiene: ′
′
Luego la expresión ̅
̅ ,
′
‖ ̅‖
,
Es llamada Ecuación vectorial de la parábola
.
Equivalentemente ′
̅ , ‖ ̅‖
̅
En general, la parábola está dada por el siguiente conjunto {
̅
̅ ,
′
,
‖ ̅‖
}
NOTAS 1. En la Figura 5 se observa los siguientes segmentos: ̅̅̅̅̅̅ Cuerda de la parábola. ̅̅̅̅̅̅̅ Cuerda focal de la parábola. ̅̅̅̅̅̅̅ Lado recto de la parábola, es una cuerda perpendicular al eje de la parábola. 2. La longitud del lado recto de la parábola esta dado por ‖̅̅̅̅̅̅̅ ‖
Rogelio Efren Cerna Reyes
|
|
Figura 5: Principales segmentos de la parábola
25
Secciones Cónicas: Parábola
2.2. ECUACIONES ORDINARIAS DE LA PARÁBOLA La ecuaciones ordinarias o formas canónicas de la parábola son aquellas que tienen su vértice en el origen de coordenadas (o no) y su eje focal coincide (o es paralelo) con uno de los ejes coordenados. 2.2.1. PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA 1. Si ̅
y
,
, , entonces la
𝑃
ecuación de la parábola es
El eje de
es el eje .
Si
𝐹 𝑝,
la parábola se abre hacia
la derecha Si
𝐿𝐷 𝑥
la parábola se abre hacia la
𝑝
izquierda. 2. Si ̅
y
,
, , entonces la
ecuación de la parábola es
El eje de
𝑃
es el eje .
Si
𝐹
la parábola se abre hacia
,𝑝
arriba. Si
𝐿𝐷 𝑦
la parábola se abre hacia
𝑝
abajo.
2.2.2. SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA 1. Si ̅
,
y
ℎ,
, entonces la
ecuación de la parábola es
𝑃
ℎ El eje de
es la recta
V ℎ, 𝑘 𝐹 𝑝,
paralela al eje .
Rogelio Efren Cerna Reyes
𝐿𝐷 𝑥
ℎ
𝑝
26
Secciones Cónicas: Parábola
Sí
la parábola se abre hacia la derecha
Sí
la parábola se abre hacia la izquierda.
2. Si ̅
y
,
, entonces la
ℎ,
ecuación de la parábola es ℎ El eje de
𝑃
es la recta
𝐹
ℎ
V ℎ, 𝑘
paralela al eje . Si
,𝑝
𝐿𝐷 𝑦
la parábola se abre hacia
𝑘
𝑝
arriba. Si
la parábola se abre hacia
abajo.
2.3. TANGENTE A UNA PARÁBOLA 1.
La recta tangente en ,
a la parábola cualquier
punto
𝑃 𝑥 ,𝑦
de la curva, tiene por ecuación 𝐿𝑇
2.
La recta tangente
a la parábola ℎ
punto
en cualquier 𝑃 𝑥 ,𝑦
de la curva, tiene por
,
𝑉 ℎ, 𝑘
ecuación (
3.
ℎ)
La recta tangente
de pendiente
parábola
tiene por ecuación ,
Rogelio Efren Cerna Reyes
𝐿𝑇
a la 𝐿𝑇
27
Secciones Cónicas: Parábola
Notas3. 1. La recta tangente punto exterior
a la parábola ,
trazada desde el
a la curva, tiene por ecuación
2. Las rectas tangentes a una parábola en los puntos extremos de su lado recto son perpendiculares. 3. El punto de intersección, de las rectas tangentes a una parábola en los puntos extremos de su lado recto, está sobre la recta directriz de la parábola. 4. Una cuerda de la parábola, une dos puntos de la parábola que son puntos de contacto de las rectas tangentes trazadas desde un punto exterior a la parábola, se llama cuerda de contacto del punto exterior para la parábola.
2.4. PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA 1. La distancia del punto medio del radio vector o radio focal, a la recta perpendicular al eje focal que pasa por su vértice, es igual a la mitad de la longitud de dicho radio focal. 2. La recta normal a una parábola en un punto de dicha parábola, es perpendicular a la recta tangente a la parábola en dicho punto. 3. La recta normal a una parábola en un punto de dicha parábola, forma ángulos congruentes con el radio vector de dicho punto y la recta, paralela al eje focal, que pasa por el punto indicado. 4. Si una cuerda de la parábola, perpendicular al eje focal, la corta en un punto. Y las rectas tangentes a la parábola con punto de contacto los extremos de la cuerda se interceptan con el eje focal en otro punto. Entonces el vértice de la parábola equidista de dichos puntos. 3
Notas extraídas del libro de Geometría Analítica (Charles H., 1980)
Rogelio Efren Cerna Reyes
28
Secciones Cónicas: Parábola
5. Las rectas tangentes de una parábola, con punto de contacto los extremos del lado recto, son perpendiculares y se cortan en la intersección del eje focal y la directriz. 6. Si cualquier recta tangente de una parábola corta en un punto a la recta que contiene el lado recto y en otro punto a la recta directriz, entonces el foco equidista de ambos puntos. 7. Si las rectas tangente y normal a una parábola, en un punto de dicha parábola excepto el vértice, cortan al eje focal en otros dos puntos respectivamente, entonces los tres puntos equidistan del foco. 8. Toda circunferencia cuyo diámetro es una cuerda focal es tangente a la directriz. 9. La cuerda común a dos circunferencias cuyos diámetros son cuerdas focales de una parábola pasa por el vértice de dicha parábola. 10. La cuerda de contacto de cualquier punto de la recta directriz de una parábola pasa por su foco. 11. Dada una cuerda de una parábola, los puntos medios de todas las cuerdas paralelas a ella, están en una recta paralela al eje focal, llamada diámetro de la parábola respecto de la cuerda dada. 12. Propiedad Óptica. Si
es el foco y
parábola entonces la recta tangente en
es un punto cualquiera de la forma ángulos iguales con
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, que es paralela al eje focal de la parábola (Purcell & Varberg, 1993). Un principio de la física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
ARCO PARABÓLICO. En construcción, de los diferentes arcos que se presentan, uno de ellos es el arco parabólico como en la Figura 6 la longitud en la base ‖̅̅̅̅ ‖ se llama claro o luz y la altura máxima sobre la base ‖̅̅̅̅‖ se llama altura del arco. Si la Rogelio Efren Cerna Reyes
29
Secciones Cónicas: Parábola
longitud de la luz es
y la altura
Y 1.5
del arco es ℎ entonces la ecuación 1.0
de la parábola está dada por
0.5
En un puente colgante cada cable cuelga de sus soportes
O 4
2
2
4
y
X
0.5
como en la Figura 7 la distancia ‖̅̅̅̅ ‖
comprendida
entre
1.0
los
soportes es llamada la luz y la
A
distancia ‖̅̅̅̅ ‖ la altura de los
Figura 6: Claro o Luz y altura del arco parabólico
soportes sobre el punto más bajo
1.5
A
1.5
del cable se llama depresión del cable. Si los pesos de los cables
C
B
B
C
1.0
son pequeños comparados con el 0.5
de la carga y si la distribución del peso de la carga es uniforme en la dirección horizontal, se demuestra
4
2
O
2
4
0.5
en Mecánica que cada cable toma aproximadamente la forma de un arco
parabólico
(Charles
H.,
1980). Si la longitud de la luz es
1.0
Figura 7: En un puente colgante cada cable toma 1.5 aproximadamente la forma de un arco parabólico.
y la depresión del cable es ℎ entonces la ecuación de la parábola está dada por
PARÁBOLA DE SEGURIDAD. Es una parábola envolvente de una familia de parábolas, si en cada uno de sus puntos toca una u otra parábola de la familia, y también, diferentes
Rogelio Efren Cerna Reyes
30
Secciones Cónicas: Parábola
parábolas de la familia dada tocan a la parábola de seguridad en distintos puntos. La parábola envolvente de las trayectorias de los proyectiles lanzados, por una pieza de artillería, con velocidad
bajo diferentes ángulos de
inclinación del cañón respecto al horizonte se denomina parábola de seguridad (Piskunov, 1978). Ejercicio 1. En una parábola. Demostrar que la distancia del punto medio del radio vector o radio focal, a la recta perpendicular al eje focal que pasa por su vértice, es igual a la mitad de la longitud de dicho radio focal. Solución. Se desea demostrar, en la figura, que
,
‖̅̅̅̅‖
′
En el sistema ′ ′ Sea
,
′ entonces
′
Como ′ ,
y
( , √
′ entonces
′
′)
′(
,√
′)
Luego ,
|
′
‖̅̅̅̅̅̅‖
|
|
‖(
|
𝑌 8
)‖
, √
𝑃
𝑋′
6
√
( √
)
𝑌′
4
√ ′ ‖̅̅̅̅̅ ′ ′‖
|
𝐹
2
|
𝑉
Finalmente
2
,
Ejercicio 2.
𝑀
Sean
,
y
,
puntos de una parábola
, , hallar la ecuación vectorial de
Rogelio Efren Cerna Reyes
4
6
8
𝑋
2
‖̅̅̅̅̅ ′ ′‖
′
2
, cuyo foco es
.
31
Secciones Cónicas: Parábola
Solución. Y
Se desea hallar
10
̅
̅
Aplicamos
, ′
′
la
propiedad
demostrada en
el ejemplo
X'
P1 2, 9 8
6
anterior.
M1
En la figura, calculamos los punto medios
y
4
de los
Y'
radios vectores ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅
2
F(3,2) M2
V(2,1)
respectivamente.
2
Veamos [ ,
4 P2 5, 0 6
, ]
[ ,
( ,
, ]
‖̅̅̅̅̅‖
′ ,
‖
‖̅̅̅̅̅‖
′
Con el eje ′ y los puntos medios
y
‖ ,
)
y
, ‖
al eje ′
√
‖
√
se construye la siguiente figura, en
donde se tiene ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
‖̅̅̅̅̅̅‖ ̅
̅̅̅̅̅̅
𝑟
‖̅̅̅̅̅̅‖ ̅
𝑌′
Dónde: ̅̅̅̅̅̅̅̅
(
‖̅̅̅̅̅̅̅̅‖
√
√
√
, )
‖̅̅̅̅̅̅‖
√
10
,
Ahora, encontramos las distancias de los puntos medios ,
8
𝑀 𝑅
𝑢̅
𝑀 𝑠
‖̅̅̅̅̅̅‖
√‖̅̅̅̅̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅̅̅‖ 𝑇
‖̅̅̅̅̅̅‖
√( √
Rogelio Efren Cerna Reyes
)
( √ )
√
32
X
Secciones Cónicas: Parábola
̅
Vector unitario en la dirección positiva del eje focal de la
,
parábola Luego (
{
, )
,
√
√
√
√
,
√
̅
,
√
√
Lo cual permite hallar la ecuación vectorial del eje focal de la parábola, es decir ̅, ,
,
,
Además ̅ ,
√
√
,
,
Permite hallar la ecuación vectorial del
̅ ,
,
,
,
Luego el vértice de la parábola está dado por ,
,
′
,
,
Aplicando multiplicación escalar en ambos miembros de la igualdad por el vector
se tiene
,
Por lo que el vértice de la parábola es ‖̅̅̅̅ ‖
‖ , ‖
,
,
y
en
.
,
√
En consecuencia, la ecuación vectorial de la parábola es: {
Ejercicio 3.
,
Sea
,
, ̅ ,
talque
√
,
√
,
,
√
recta tangente a la parábola recta directriz de
.
′}
,
es punto medio del radio focal formado con el punto
Rogelio Efren Cerna Reyes
̅, de 33
Secciones Cónicas: Parábola
ordenada mayor que 7. Si el área del triángulo de vértices es
y el foco de
,
, hallar:
a) La ecuación vectorial de b) La ecuación vectorial de Solución. a)
Se desea hallar ̅
̅ , ′
′
En la figura se observa que
12
Y
10
T
Entonces la recta tangente pasa por el extremo
M(-3,7) Y'
del lado
triángulo
u
6
F
y se tiene que el
recto de
X'
8
4
es rectángulo. LD
‖̅̅̅̅ ‖‖̅̅̅̅̅‖
2
V
Esto es
12
10
8
S
6
4
2
Q(-5,-1) D
2 2
Además ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
‖̅̅̅̅‖ ̅
T
‖̅̅̅̅‖ ̅
Donde
M
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅ ̅
‖̅̅̅̅̅ ‖
,
‖̅̅̅̅‖
, ‖̅̅̅̅‖
p
√
2p D
, ‖̅‖
√‖̅̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅‖
√
F
‖̅̅̅̅‖
√
Reemplazando los datos ,
,
{ Ahora hallamos el vértice de la parábola Rogelio Efren Cerna Reyes
, ̅
(
,
)
34
X
Secciones Cónicas: Parábola
̅ Donde ̅ ,
(
,
)
(
,
)
Luego (
,
)
(
,
)
(
,
)
Finalmente ( b)
,
)
(
,
)
(
,
), ′
Donde
̅̅̅̅
′
Se desea hallar ,
Hallamos el extremo
del lado recto de
,
el punto de paso
y el vector
direccional . ̅ ̅ , (
( ,
)
, (
̅̅̅̅
,
(
,
)
(
)
(
,
)
,
)
)
,
Finalmente, (
Ejercicio 4.
)
Sea
,
directriz de la parábola el vértice
,
,
y el punto ,
y ‖̅̅̅̅ ‖
,
,
, ,
de
, √
,
,
una
recta
una recta que pasa por
,
. Halle la ecuación vectorial de
si
.
Solución. Se desea hallar ̅
Rogelio Efren Cerna Reyes
̅ , ′
′
35
Secciones Cónicas: Parábola
En la figura
Se tiene ,
, Se conoce ‖̅̅̅̅ ‖
̅̅̅̅
,
√
‖̅̅̅̅ ‖
,
√
Y 15 Y'
entonces ‖̅̅̅̅ ‖
√
R(7,13)
En la parábola se conoce
LD 10
que , Entonces ‖̅̅̅̅ ‖
X'
5
S
, p
F
V 5
Hallamos el vértice de la
5
D
10
X
15
B(2,-2)
parábola
L1 5
R 4
D
?
p 1
V
?
S
𝑝
B
‖̅̅̅̅ ‖
‖̅̅̅̅ ‖
̅̅̅̅
Reemplazando los datos ,
√
√
,
,
Además
R
‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅ ‖
‖̅̅̅̅‖ √‖̅̅̅̅ ‖
‖̅̅̅̅ ‖ 5p
‖̅̅̅̅‖ F
Rogelio Efren Cerna Reyes
3p
4p S 36
Secciones Cónicas: Parábola
Luego ̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅‖
‖̅̅̅̅ ‖
‖̅̅̅̅ ‖
,
√
‖̅̅̅̅ ‖ ( √
)
R
√
4p
Ahora hallamos el vector de rotación ̅̅̅̅
‖̅̅̅̅ ‖ ̅
‖̅̅̅̅ ‖ ̅ , ̅
V
,
S
4p
Reemplazando los datos √
, {
√
√
√
√
,
(
√
, ̅
, (
,
√
√
)
Finalmente,
Ejercicio 5.
Sea
foco es
,
,
√
una recta tangente a una parábola
en
Si
̅
√
)
̅̅̅̅
(
,
), ′
√
√
,
√
√
̅
̅̅̅̅
′
cuyo
, y ̅
√
, halle la ecuación vectorial de la parábola
̅̅̅̅
y el punto
̅̅̅̅ .
Solución. Se desea hallar
Y
̅
̅̅̅̅
̅
′
se tiene
, ‖̅̅̅̅‖
,
De ̅
̅
y
,
De
̅ , ′
se tiene ̅,
√
X'
5
Y'
M
,̅
15
10
5
5 5
,
10
15
F(8,-5) V
Para De
T(2,12)
√
̅̅̅̅
̅
10
10
̅̅̅̅
̅ ,
̅̅̅̅ ̅ ‖ ̅ ‖
√ ,
√
| |
LT 15
R
20
√ Rogelio Efren Cerna Reyes
37
X
Secciones Cónicas: Parábola
De
̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅ ‖ ̅‖
√
,
√
,
√
| |
√ Luego √
{
̅
√
(
,
√
)
√
Para De
̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅ ‖ ̅ ‖
√
,
√
,
√
| |
√ De
̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅ ‖ ̅‖
√
,
√
,
√
| |
√ Luego √ √
{
(
̅
,
√
)
√
Consideremos el vector de rotación que se encuentra en el primer cuadrante. El vértice de la parábola está dado por ̅ ,
(
,
√
√
,
√
)
Aplicando ,
‖̅̅̅̅‖ ,
′
, Hallamos la ecuación de la recta
(
(
′ en el sistema
√ √
√
′
( , ( ,
( , )
,
,
) ̅
√
)) ( ) (
√
√
,
√
,
√
)
√ )
√ Luego Rogelio Efren Cerna Reyes
38
Secciones Cónicas: Parábola
( ) ,
′
|
√
|
√
|
|
√
√
√
El vértice queda dado por ,
Por lo que la ecuación vectorial de la parábola está dado por ,
(
,
√
)
√
(
,
√
Para hallar el punto
̅̅̅̅
Hallamos la recta tangente
en el sistema ′ ′
), ′
√
√
′
Recordamos ′ Llevamos el punto de tangencia ,
′
,
al sistema ′ ′
′
,
√
,
{
′ ′
√ √
{ ,
√
′( √
, √
)
Reemplazando en ′ se tiene
′ Luego
′
√
′
( ′
√
)
′
Para
′(
√
, ) llevando este punto al sistema
√
̅ (
,
√
)
√ ̅̅̅̅
‖̅̅̅̅‖ ‖̅̅̅̅ ‖
√
̅
,
√
También, para hallar el punto Como ‖̅̅̅̅‖
√
‖
,
,
se aplica la propiedad ‖
√
Entonces ‖̅̅̅̅ ‖ ̅ , Rogelio Efren Cerna Reyes
√
√
,
,
39
Secciones Cónicas: Parábola
3. PROPIEDAD COMÚN DE LAS CÓNICAS Las cónicas
es un conjunto
de puntos de
K
Y 10
tales que la
X'
distancia a un punto fijo (un
P 8
foco) es igual a un número constante de veces la distancia
Y'
6
a una recta fija (una recta directriz
correspondiente
4
F
al V
foco). Este número constante
2
se llama excentricidad y se 2
denota por e.
2
4
8
10
X
LD
Es decir
2
‖̅̅̅̅‖
{
,
}
Figura
8:
Propiedad
y la recta directriz
Ejercicio 6. Sea
común
de
si y sólo si ‖̅̅̅̅‖
Sólo se ha graficado una parte de la cónica
6
cónicas ,
correspondiente al foco .
una parábola cuyo foco es
y su recta directriz
,
. Determinar la ecuación vectorial de la parábola
.
Solución. Se desea hallar la ecuación vectorial de la parábola ̅
̅ , ′
′
Aplicando la propiedad común de cónicas Si y sólo si ‖̅̅̅̅‖
,
En particular consideremos el vértice de la parábola, es decir Si y sólo si ‖̅̅̅̅ ‖ Por definición de la parábola ‖̅̅̅̅ ‖
Rogelio Efren Cerna Reyes
,
, entonces
40
Secciones Cónicas: Parábola
Luego
10
Y
,
Y'
Es decir |
|
√
8
6
√
De la recta directriz se tiene su vector normal ̅
2
que es paralelo al eje
,
X'
4
4
F(3,2) V(1,1)
2
2
focal de la parábola. Es decir, el
4
6
8
X
10
2
vector de rotación del sistema
L D : 2x+y+2=0 4
, está dado por ̅
̅ ‖ ̅‖
,
√
Hallamos el vértice de la parábola ̅ Esto es √
,
√
,
,
Finalmente, ,
√
,
√
,
, ′
√
′
Expresión que es la ecuación vectorial de la parábola deseada.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sea
una parábola con vértice de abscisa mayor que
sus coordenadas es igual a la unidad. directriz es y
y el área del triángulo formado por el vértice y
los extremos del lado recto de 2. Los ejes coordenados y
es la recta
es una recta que pasa por el foco. Halle
la ecuación vectorial de
puntos
y cuya suma de
,
. son tangentes a una parábola
simétricos con respecto a su eje focal ′.
Rogelio Efren Cerna Reyes
en dos
es el vértice de
, 41
Secciones Cónicas: Parábola
el área del triángulo
es igual a
del área del triángulo
es el origen del sistema de coordenadas Determine los puntos , , 3. Sea
es una recta que intercepta a
respectivamente. Si ̅̅̅̅
y
,
,
̅̅̅̅̅
talque ‖̅̅̅̅ ‖
4. La recta
,
directriz
̅,
‖̅̅̅̅̅ ‖,
√
y a
̅̅̅̅̅
en
,
,
y ̅̅̅̅
,
. Determine la
,
es tangente a la parábola
en , la
intercepta a
talque
̅,
, ,
,
. ,
,
,
.
̅,
se encuentran en el sistema de
ecuación vectorial de
̅̅̅̅
en
.
de foco
en ,
es una recta que intercepta a
, ,
̅̅̅̅̅
,
y la ecuación vectorial de la parábola
es una recta tangente a
,
′ ′ y
el eje focal de una parábola
̅,
donde
̅̅̅̅
,
Halle la ecuación vectorial de 5. Una viga de longitud
,
̅̅̅̅
,
en
√ .
,
. está uniformemente cargada con
por pie. En mecánica se demuestra que a una distancia de soporte, el momento flexionante ecuación
libras de un
en pies-libras está dado por la
. Determine en qué punto de la viga se tiene
el momento flexionante máximo. 6. Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan un puente colgante cuando el claro es de 150 metros y la depresión de 20 metros. 7. Después de realizar una transformación de coordenadas, el eje de la parábola
resulta orientada según el vector
punto
,
pertenece a
Determine en el vértice
de
Rogelio Efren Cerna Reyes
un punto
de
, . En el sistema ′ ′ el
y en el sistema
el foco es
tal que el triángulo
, .
sea recto en
.
42
Secciones Cónicas: Parábola
8. El eje de una parábola es la recta punto
,
y el vértice
recta directriz
Rogelio Efren Cerna Reyes
,
. Si el foco es el
. Halle , , la ecuación vectorial de la
y la ecuación cartesiana de la parábola en el sistema
.
43
Secciones Cónicas: Circunferencia y Parábola
REFERENCIALES 1. WIKIPEDIA. Enciclopedia Libre. (7 de 09 de 2013). Recuperado el 7 de 9 de 2013, de http://es.wikipedia.org/wiki/Mediatriz 2. Charles H., L. (1980). Geometría Analítica. Mexico 1, D.F.: Editorial Limusa, S. A. 3. Piskunov, N. (1978). Cálculo Diferencial e Integral (4ta edición ed.). URSS: MIR - MOSCU. 4. Purcell, E. J., & Varberg, D. (1993). Cálculo con Geometría Analítica (Sexta Edición ed.). México: Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. 5. Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2007). Precálculo. Matemáticas para el Cálculo. Mexico: Thomson Editores S.A.
Rogelio Efren Cerna Reyes
44
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