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Capítulo
CIRCU CUNFE NFERE RENCI NCIAA TRI TRIGONO NOM M TRI TRIC CA
7
C I R C U N F E R EN EN C I A T R I G O N O M ÉT RI RI C A DEFINICIÓN E s aqu aq u ella circun cu n feren erenci cia can ó n ica; es deci de cir, con co n cent cen tro en el o rigen ge n d el sistem a cartesian o ; y con co n rad io igual gu al a la u n id ad d el sistem a. En E n el gráfico ad ju n to, dest d estacar aca rem o s lo s si sigui gu ient en tes elem ent en to s: y
A (1; 0)
: ori origen gen de arcos
B (0; (0; 1)
: ori origen gen de com com plem entos de arcos
B R= 1 A
A' O
A '(-1; 0) : ori origen d e suplem entos de arcos arcos
x
1
x 2 + y2 = 1 C .T.
B' (0; -1) : anónim o B'
ad o s E l p u nto nto A (1 ;0) se se den d eno o m in a o rigen d e ar a rcos, co s, ya qu e a p artir d e él se van a d ib u jar a r c o s o r i e n t ad , con co n u n signo gn o asoci aso ciad o, tan igual gu al q u e en e n el caso d e lo s ángu án gul lo s trigo n o m étricos; co s; p o r ejem p lo, en el gráfico: co : u n arco p o sitivo : es un
y
(sent sen tid o an tih o rario )
B
M
1 A'
u n arco n egat eg ati ivo : es un (sent sen tid o h o rario )
A x
O
A ho ra bi b ien, lo s pu nto nto s "M " y "N "N " se deno d eno m inan na n extremos de arco ; y d icho s
N
arcos en posición nomal . arcos arcos se se d eno m inarán narán arcos
B'
S i o b servam servam o s en la sigui gu ien te C .T., n o tarem arem o s qu e ent e ntr re el arco arco y el e l án gul gu lo cent cen tral correspo espon n d ient en te, se cu m p le qu q ue n u m éricam ent en te so n igual gu ales; es; lo cua l p erm erm itirá estab lecer ece r u n a relació ació n en tre lo s nú m ero ero s rea les y el á n gu lo cen tral cor co rrespo n d ient en te, en rad ianes. an es. y
E n el e l secto r circular AO A O M ; po r lo ngi ng itu d d e un u n arco arco :
B
M
O
rad , esto es:
(en rad rad) ) = A M (num nu m éri éricam ente) ente) A O M (en
rad
A'
AO M =
1
A
rad 1
x
D ebi eb id o a est e sta rel relació n, a cad ca d a ar a rco le co cor rrespo espond nd e un u n ángu án gul lo cent cen tral d el m ism o valo r, per pe ro exp e xpr resad esad o en radian radianes es. .
C .T.
B'
N
1
A sím ism o, po dem os establecer:
R .T. ( rad) = R .T. ( ) ;
R
C on lo cual queda claro q ue las R azon es Trigono m étricas (R .T.) de u n nú m ero real, son calculables al asociarles un ángulo cuya m edida está exp resada en rad ianes, nu m éricam ente igual considerad o. E s decir; por ejem plo: Sen 2 = Sen 2 rad Tan 3 = Tan 3 rad C os (-1) = C os (-1 rad)
LÍNEA S TRIGO NO MÉTRIC AS Son segm entos dirigidos (de m edida positiva o negativa)que van a representar elvalor nu m érico d e una R azón Trigono m étrica de un cierto núm ero (exp resado graficam ente com o un arco); así com o tam bién perm itirán analizar las variaciones de estas R .T., asícom o su com po rtam iento. Para com enzar con el an álisis, se recom ienda tener en cuenta las siguientes ob servaciones para la ubicación de arcos. a)
Para arcos representado s por núm eros enteros: y
y
1,57 = 2
1
2
1 3,14= O
3
x
O
x
2 = 6,28 6 C .T.
3 4,71= 2
4
Para arcos con extrem os en A , B , A 'ó B ' ( n
b)
5
Z)
y B:
; ; ;.... 2 2 2
n A ':(2n 1) n B :(4 n 1) 2 (2 n 1) 2 2 B ':(4 n 3 ) 2 A :2n
...,3 A '
A ;0; 2 ; 4 ;... x
3 ; ; .... B ': ; 2 2 2
I.
L íne a Se no .-
Representación :
Variación :
y B
C .T.
M
1 Sen (+ )
(+ )
Sen A
A'
0
Sen (-) N
2
2 1 0
3 2 0 -1
E sto es:
1 Sen 1
-1
B'
2
0 1
x (-)
m áxim o : 1 m ínim o : 1
Sen
;
R
3 2 2 -1 0
II.
L ínea C os eno -
Representación :
Variación :
y C .T.
M C os (+ )
-1
A'
0
B
C os
2
2
1 0
0 -1
-1 0
1 C os 1 B'
(-)
3 2
3 2 2 0 1
E sto es:
x
N
A
1
C os (-)
R
;
m áxim o : 1 m ínim o : 1
C os
(+ )
Observación: Si consideram os el extrem o de un arco cualqu iera, notarem os que po r ser un p un to del plano cartesiano, tiene sus y
prop ias com po nentes: C .T.
Po r ejem plo, para "M " se nota que: abscisa = C os
Sen
A
C os
M = (C o s ; Sen
Sen
Sen
A'
Luego:
)
x
C os
B'
D e m anera sim ilar, las com po nentes de N son (C os III.
M C os
N
ordenada = Sen
B
; Sen )
L íne a Tan gen t e .-
Representación:
Variación :
T y
B
Tan
M
Tan A
x
O (-)
B'
0
2
2
3 2
0
0
3 2 2 0
(+ )
A'
C .T.
0
N
Tan
E sto es:
< Tan < N o hay m áxim o, ni m ínim o
P
Consideración : L a L.T.tan gen te no está d efinida p ara arcos cuyo extrem o esté en B ó B ';lo cual significa que la R .T.tan gente no se define para todo arco d e la form a: (2 n 1)
; nZ 2
3
EJERCICIO S PROPUESTOS 01 . Pon er el signo en: I. C os80º ( ) II. C os200º ( ) III. C osx ( ) x ; agudo a) < ; < ; > c) > ; < ; > e) < ; > ; <
06 . D eterm ine el área d e la región som breada en la C .T.
C os 100º C os 300º C os(x+ 2 0º)
B
b) > ; > ; < d) > ; < ; =
02. Poner elsigno > ; < I. S en20º ( II. C os10º ( III. S en200º ( a) > ; > ; < c) > ; > ; > e) > ; < ; <
A’
a) Tg d)
c) FFV
04 . D eterm ine el área de la región som breada en la C .T. y
b)
T g 2
T g 2
x
c) -Tg
e) -Tg2
07 . D eterm ine la variación de: E a) [3;3]
b) [4 ;4 ]
d) [5 ;3 ]
e) [2;5 ]
4 Sen 1
c) [3 ;5 ]
08 . D eterm ine la variación de: A a) [3,5] d) [-1,3]
B
A
B’
b) < ; < ; < d) < ; > ; >
b) V FV e) FFF
O
o = en: ) S en80º ) C os40º ) S en300º
03. Indicar con "V " lo verdad ero y con "F" lo falso: I. Tg50º > Tg200º II. Tg100º > Tg300º III. Tg13 5º = Tg315 º a) V V V d) FV F
L
y
b) [1,5] e) [-3,3]
2C os 2 3
c) [-3,5]
09. Sabiendo que A’
O
A
x
IIC . ¿C uál es la variación de : L
B’
a) Sen
b) -C os
d) -C os
e) -C os /2
a) 0 ;2 d)
c) Sen /2
b)
1 ;1
B
O
A’
A
b)
1 ;3
d) 0 ;3
e)
2 ;2
c)
1 ;1
x
11 . C alcular elprod ucto del m áxim o y m ínim o valor de:
f( , ,) 2 Sen 2 3 | C os | Sen Siendo , y
B’
4
c) 0 ;3
IIIC ; sabiendo la variación de: L 2 C os 1
a) 1 ;3
a)
Sen
b)
C os
d)
Sen 2
e)
Sen.C os
2
1 ;2
e) 4 ;2
10. Sabiendo que
05 . D eterm ine el área de la región som breada en la C .T. y
3 Sen 1 ?
2
2
c)
C os 2
a) 0 d) 8
independien tes entre sí.
b) 4 e) 12
c) 8
12. H allar el área de la región som bread a en la C .T. y
a) 1 ;3 d)
1 ;3
b)
3 ;3
c) 1 ;5
e) 3 ;6
150º 17 . Señale V erdadero (V ) o falso (F), según correspo nd a en:
x C .T.
3 1 2 a) 4 4
b)
1 2 6 2
d)
c)
1 2 4 3 1 2 2 2
1 2 3 2
I. S i:0
x1 x 2 Tanx1 Tanx 2
II. Si: 2
x1 x 2 Tanx1 Tanx 2
2
III. Si: 3 x1 x 2 2 Tanx1 Tanx 2 2 a) V V V d) V FV
b) V V F e) V FF
c) FFV
18. H allar todos los valores qu e debe tom ar "K " para qu e la igualdad no se verifique:
e)
Sec
; ; señale la variación de:
13 . Sabiendo que: x
4
4
L
3 T an 2 x 1
a) 0 ;1
b) 0 ;1
c) 1 ;4
d) 1 ;4
e) 2 ;4
1 K 4 c) 1 K 4 e) K 1 K 4 a) K
b) d)
5
1 K 4 K 1 K 4
19. E n la C .T. calcular un valor de:
K
Sen C os y L1 : y-2x+ 1= 0
x2+ y2= 1 14 . Sabiendo que:
3
2K
x 2
¿C uál es la variación de :
3 C os x 1 ?
L
a) 4 ;2 d)
4 ; 1
x
2
b)
4 ;2
e)
4 ;1
c)
4 ;1 3 5 1 d) 5 a)
15. Siendo x
; 5
8
24
b)
4 5
c)
7 5
e) 1
Señale la variación d e: L
4
2 Sen 2 x 1 4
a) 1 ;2
b) 1 ;4
d) 3 ;6
e) 4 ;8
11 x 35 12 12 Señale la variación d e;
20 . Sabiendo que:
C
c) 2 ;4
x 4 C os 1 2 8
a) [ 3 ;2] b) [ 3 ; 3] d) [ 5 ; 6] e) [ 3 ; 5]
16. Sabiendo que x 17 ;7 24 8 Señale la variación d e:
L
c) [ 2 ; 3]
4 C os 2 x 3 12
2 1 . S i:
; ; 2
2 2 C alcular la sum a del m áxim o y m ínim o valor de : E
2Sen 3 C os 4 Sen
5
a) 1 d) 1
b) 2 e) 2
c) 0
22 . D e las cuatro prop o siciones, ind icar d o s qu e son im posibles: I.
3 Sen 2x
D
n 2 )C osx 2 m n , m n R
III. (m 2
n 2 )C scx m 2 n 2 ; m n 0
IV. Secx
3
a) Iy II d) II,III
b) Iy III e) III,IV
c) IIy IV
b) V FF e) V V F
El Seno aum enta. El C oseno aum enta. E l C osecante aum enta. La S ecante dism inuye. La C otangente aum enta.
25. E n un círculo trigonom étrico se tiene:
x x 1 2
2 D e las sigu ientes proposiciones: Senx1
II.
C osx 2
III. C osx 2
A O
a) Sec T an
1 C os Sen
b) Sec T an d)
1 C os Sen
e) Sec C sc 27. E n elcírculo trigo nom étrico, calcular elárea d e la región som breada.
O
c) V FV
24 . C uando el ángulo "x" aum enta de 90 º a 180º. ¿C uál de las sigu ien tes afirm aciones es cierta?
I.
B
c)
23. D ecir si son falsos (F) o verdad eros (V ) los siguientes enu nciad os: I. La función S eno y C oseno son negativos en el tercer cuad ran te y crecientes en el cuarto cuad ran te. II. N o existe fun ción trigono m étrica alguna de un ángulo del segundo cuadrante que sea po sitivo y aum ente a m edida que el ángu lo crece. III. Sólo existe una función q ue pu ede tom ar el valor de 3,8 y ser po sitiva en el tercer cuad ran te.
a) b) c) d) e)
valor de O C D B , en fun ción del ángulo " " C
2
II. (m 2
a) FFF d) V V V
26. E n la circunferencia trigo nom étrica, se pide indicar el
Senx 2
C osx1 C osx 1
a) 1 (Sen C os 1) 2 b) 1 (Sen C os 1) 2 c) 1 (1 Sen C os) 2 d) 1 (1 2C os) 2 e) 1 (1 2Sen ) 2 28. C alcular B Q en el círculo trigo nom étrico adjun to en función d e " " B Q
E s o son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo II c) S ólo III d) S ólo I y II e) Las 3 son correctas
O
a) 1 Sen
b)
1 Sen
c) 2(1 Sen)
d)
2(1 Sen)
e)
6
2(1 C os)
29. Evaluar: Sen (k) C os(k) Tan (k)
a)
k: núm ero entero no negativo. a) 1
b) 2 k
d) (1)
c) 1
e)
Si:
6
b)
13 ; 9 9 13
16 ; 9 16 9
d)
11 ; 9 9 11
c)
e) 1
3 0 . S i es un arco delsegund o cuad rante,po sitivo m eno r qu e una vuelta. H allar la extensión de: C os( )
14 ; 9 9 14
10 ; 9 9 10
34 . E n la figu ra m ostrad a, ha lle el área d e la regió n triangular O Q P. y (0;1)
4
P
1 a) 2
C os( ) 1 2 1 b) 1 C os( ) 2 2 2
Q O
d)
1 C os( ) 3
2
2
3 2
C os( )
a)
2 2
31. D e las siguientes propo siciones:
I. Si : x1 x 2 0 entonces: 2 Sen x 2
Sen x1 II. Si :
x1 x 2 0 entonces:
SenC os 4
c)
2
Sen C os 16
b)
SenC os
d)
SenC os
8
2
e) SenC os 35. E n la figu ra siguien te, calcular el área d e la región som breada. y x2+ y 2= 1
2
Senx III.
x
(1;0)
C os( ) 1
c)
e)
y
x 3
1
3
Senx1
Senx Tanx C osx C tgx
x
E s po sitivo en el prim er y tercer cuadran te y negativo en el segund o y cuarto cuad rante. Son verdaderas: a) Só lo I d) Sólo III
b) Só lo Iy II c) Só lo IIy III e) I,IIy III
a)
C os() 2
c) 32 . E lm ínim o valor de la función :
f(x) T g x ; x ; 5 es : 3 6 2
1 a) 0 b) 3 d) N o existe m ínim o f
33. Si:
; para 6 3
c) 3
e)
1 C os() 2 3
b)
1 C os() 2
d)
1 C os() 2 2
2
1 C os() 2 2
36. E n el círculo trigono m étrico m ostrad o, halle el área de la región som breada. y B
e) 1
C
que valores de "x" se cum ple
que:
O
D
A
x
(x 1)Sen 2 3 x 2
7
a)
Sen 2 2
b)
T an Sen c) 2 e)
T an Sen 2
d)
2
T an 2
2
T an
2
III.
2 C os(Tanx ) C os(Tanx ) 1
Sen 2
a) V FV d) FFF
37. Segú n la figura, sólo un a d e las siguientes afirm aciones es Verdadera para: 0
x1 ;x 2 0 ; /x1 x 2 y 2
b) V V F e) FV F
c) FFV
S1
41 . E n la C .T.m ostrada:
S2
y
x 2
B
y
C B
S1
x O
S2
A x
A' D
A
x
B'
C .T.
a)
1 T an (Sec T an 1)2
b) SenxC osx 2x Tanx c) Senx x C osx
b)
1 C os(Sec T an 1)2
d) C osx x Senx e) SenxC osx x Tanx
c)
2 1 T an (Sec T an 1) 2
d)
1 T an (Sec T an 1)2
e)
1 C os(Sec T an 1)2
a) Sen 2x
x Tanx 2
38 . Señale la variación d e: 3 M 4 T an Sen 1 4
a) [5 ; 4] d) [6 ;4]
b) [4 ; 5] e) [3 ; 5]
2 2
2 2
c) [3 ; 3] 42 . E n la C .T.m ostrada:
39 . Señale la variación d e:
M
3 3 a) ; 7 2 3 d) ;1 7
2 Sen 2 x Senx 1 Sen x Senx 2
3 3 b) ; 7 4 1 3 e) ; 7 4
C alcular: "S"
S1 S2
1
II.
x1 ;x 2 0 ; /x1 x 2 y 2 Tan (Senx ) Tan (Senx ) 1
8
2
2
S1 N
O
Q
T
S2 A'
2 Sen(Tanx ) Sen(Tanx )
B S
2 4 c) ; 7 7
x1 ;x 2 0 ; /x1 x 2 y
17
y
S
40 . Señale V erdadero (V ) o Falso (F), según correspo nd a en: I.
15
B' 15 2 7 16 2 d) 17 a)
12 2 17 20 2 e) 17 b)
c)
14 17
2
A x
43 . Señale Verdadero (V ) o Falso (F) en: I. C os(Sen1) < C os(Sen2) II. Sen(C os2) > Sen(C os3) III. |Tan(Sen4)| > |Tan(Sen5)| a) V V F d) FV F
b) V FV e) FV V
47 . Sabiendo que: 3 2
Señale Verdad ero (V ) o Falso (F), según corresponda en:
Tan
II. T an Sen
Sec T an b) FFV e) V V F
T an Sen
III. T an(2 C os) T an(2 C os) a) FV F d) FFF
b) V V F e) FV V
c) FFV
48. E n la circunferencia trigonom étrica m ostrad a, hallar el
2
a) FFF d) FV F
Tan
I.
c) FFV
44 . Ind icar Verdadero (V ) o Falso (F) según correspo nd a en: I. Sec (Sen1) > Sec(Sen2) II. Sec(C os1) > Sec(C os2) III Si:
2
área de la región som breada, si M N //A B y
c) V FV
B
45. D el gráfico m ostrad o, hallar las coordenadas de P. N
y x 2+ y 2= 1
A
A'
x
C .T
x
B'
M
P a) V ersC ov a)
Tan ; Tan 1 Tan 1 Tan
b)
1 T an ; 1 T an 1 T an
c)
1 T an ; 1 Tan 1 Tan
d)
1 ; T an 1 Tan 1 Tan
e)
T an 1 ; 1 T an 1 T an
c)
1 V ers C ov 2
e)
1 V ersC os 4
b)
1 V ersC os 2
d)
1 C ov Sen 2
49. E n la C .T. m ostrada, calcular: M (2 S )C tg S: área d e la región som breada. y x 2+ y 2= 1
B
46. Sabiendo que: C ot 2 C ot Tan Señale la variación d e:
L
S O
3 | Sen | 1
a) [0 ; 2]
b) [1 ; 2]
d) 1 ;2
e) 1 ;3
c) 1 ;2
A
1 4
b)
1 2
d) 1
e)
2 3
a)
x
c) 2
9
50. Siendo x un arco perteneciente al intervalo ( ;0) A dem ás:
1 Senx 3 2
H allar la variación de:
K
3 Tan x 1 2 6
a)
6
b)
6
d)
6
e)
2
c)
3 2 6 3
54. Sabiendo que:
;5
x a) 1 ;2
1 ;1 2
d)
5 1 . D ad o:
1 ;2 c) 2
2 ;2
b)
a) 2 ;4
b) 1 ;4
d) 1 ;3
e) 1 ;3
C os2 C os
C alcular: L
d)
32 3 4
1 3 3 ; 4 2
e) 0 ;
b)
1 32 3 ; 4 4
d)
3 3 1 ; 2 4
M
N S
A'
A
B'
a) 2 d) 6
7 C os 15 4
7 ;
b)
b) 4 e) 8
c) 3
4
56. E n la C .T. m ostrad a, hallar: T an
H allar la extensión de: T an 2
9 ; 7
1 ; 15
Si: M P es una vertical de longitud igualal diám etro de la C .T.y adem ás O Q = 0,5 y
c) 15 ;
P
B
e) 7 ;
A'
M A
O
53 . C alcular el valor 3x 2y
de
T an , p ara e l cu al:
C .T.
C sc Tan ,tom a su valor m áxim o,,siendo x e y
las coordenad as del pun to P. Adem ás : 2AP = 3TP
T
P A
x 2+ y 2= 1
x
Q B'
a)
2 10 3
b)
3 10 2
d)
3 10 5
e)
2 10 5
y
10
x
Q
P
1 2
A dem ás:
d)
Tan Tan 3 y
52. Si: 2
a)
c) 1 ;4
55. E n la C .T.m ostrada,las áreas de las region es som breadas son igu ales.
C alcular la variación d e:
a) 0 ;
24
2C sc 3 2x 1 4
L
;11 6 6 T
24
Señale la variación d e :
2 3 ; 2 2
e)
6 4
c)
3 10 4
x
57. Si en la C .T. m ostrad a, el área de la región som bread a es iguala 2 2 . C alcular: L
59. D e la figura, "G " es el baricentro del triángulo O PQ . C alcular la ecuación d e la recta que pasa por G y por el origen del sistem a de coo rdenad as, en térm inos de
2
2
Sec C os
y
. y
y M
x 2+ y 2= 1
B
P
S
A'
O
A
O
x
x Q
B'
a) 16 d) 18
b) 8 e) 24
c) 6
58. D el gráfico, hallar M N : y
O
M
N
a) y
x Tan 2
b) y
x Tan 2
c) y
T an ( ) x
d) y
C ot x 2
e) y
C tg( ) x
x 60 . S i "S " representa el área d e la región som breada, red uzca:
C .T.
E
Sen 2 (S C os3 ) Sen 2 y
a)
Sen Sen C os C os
C osC os c) C os C os
b)
SenSen Sen C os
y= x2
C os C os d) Sen Sen
x
O
e) Sen (C os C os) Sen Sen
C .T. a) 2
b) 1
d) 4
e)
c) 3
1 2
11
aves Clav es
12
361.
c
391.
a
362.
d
392.
b
363.
b
393.
d
364.
a
394.
e
365.
b
395.
c
366.
b
396.
e
367.
d
397.
e
368.
a
398.
e
369.
b
399.
b
370.
c
400.
d
371.
e
401.
a
372.
a
402.
b
373.
d
403.
d
374.
d
404.
d
375.
c
405.
e
376.
c
406.
d
377.
d
407.
e
378.
c
408.
a
379.
c
409.
d
380.
b
410.
a
381.
a
411.
b
382.
b
412.
b
383.
b
413.
d
384.
c
414.
e
385.
e
415.
a
386.
c
416.
c
387.
b
417.
d
388.
c
418.
e
389.
d
419.
b
390.
b
420.
b
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