UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI INGENIERIA ELECTROMECÁNICA ELECTROMECÁNICA
CIRCULO DE MOHR Gulcamaigua Guamushig César Augusto e-mail:
[email protected] Guzmán Pulamarín Fabricio Isaúl e-mail:
[email protected]
Toapaxi Toapaxi Luis Antonio e-mail:
[email protected] del esfuerzo del esfuerzo cortante máximo máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
RESUMEN:
El presente trabajo consta de una investigación realizada realizada sobre el círculo de mohr y sus principales aplicaciones en la ingeniería. El objetivo principal es conocer los fundamentos para su construcción y debido a que no se necesitan medidas reales para su construcción es una forma gráfica que aún se utiliza pese a la introducción de calculadoras y computadores. Para realizar un análisis se han resumido los temas principales principales que intervienen en este trabajo. trabajo.
2.1 CONCEPTOS GENERALES La Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima. El círculo de mohr nos permite representar gráficamente los esfuerzos normales y cortantes máximos
PALABRAS CLAVE: CLAVE: cargas, diagramas, esfuerzos, tensiones
El círculo de mohr es a plicable a casos bidimensionales Los círculos de Mohr permiten de forma gráfica resolver problemas de tensión plana y de estados generales de tensiones.
1 INTRODUCCIÓN Christian mohr hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras siendo el un ing. Civil. Siendo el método de mohr el más conocido hasta hasta la actualidad a pesar de los avances tecnológicos de los ú ltimos años.
El polo es aquel punto del círculo Mohr, tal que si por él trazamos una paralela al plano del que queremos conocer las tensiones y lo prolongamos hasta que corte a la línea límite del círculo, entonces, las coordenadas cartesianas del punto de intersección son precisamente las tensiones del plano “α” que buscamos
El mismo que nos permite determinar esfuerzos máximos y mínimos de compresión y además tensiones de esfuerzos cortantes y su representación se la realiza mediante un plano de esfuerzos completos y en el mismo va un circulo sT dibujado en un sistema sistema de ejes perpendiculares.
Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.
A continuación se realizara una breve síntesis sobreveste método haciendo énfasis en los conceptos más importantes y además mediante la demostración en una maqueta de la teoría.
Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la res ultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante. La tensión normal es el esfuerzo normal (tracción o compresión) que implica la existencia de tensiones normales
2 CIRCULO DE MOHR El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para calcular con ella momentos de inercia, deformaciones deformaciones y tensiones, adaptando adaptando los mismos a las características de una circunferencia una circunferencia (radio, centro, entre otros). También es posible el cálculo
La tensión tangencial, tangencial, son los esfuerzos cortantes
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3 CÍRCULO DE ESFUERZOS
MOHR
PARA
Los esfuerzos normales de tracción son positivos Los esfuerzos normales de compresión son negativos.
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90°
Y para la aplicación a la mecánica de suelos se aplicara la convención contraria (los esfuerzos normales de compresión será positivos). El esfuerzo cortante τxy donde: (X: cara positiva y Y: dirección positiva) si es positivo tendrá una rotación del elemento en sentido anti horario.
Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior
De acuerdo con lo antes dicho el eje de ordenadas será positivo. Estado de esfuerzos en equilibrio:
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal (σ) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (τ) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera Centro del círculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:
Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por: Notación τxy: esfuerzo cortante que actuando en la cara X tiene dirección del eje Y.
4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS LEYES DE TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS DEL CÍRCULO DE MOHR Par la representación correcta es importante establecer una convención de signos. La teoría de la elasticidad emplea lo siguiente:
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5 IMÁGENES DEL CIRCULO DE MOHR
6 ECUACIONES Asbista del centro c del circulo de mohr:
Radio del círculo de mohr
Ecuación de un circulo de radio R y centro ( σprom, R)
Notese que para determiar el sigo de τxy basta con observar si τxy esta actuando en cara positiva de X y en direccion positiva del eje Y; entonces sera positivo y si actua en la cara negativa de X y en direccion negativa del eje Y tambien sera pósitivo
Esfuerzos normales máximos (
3
)
√ (
)
UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI INGENIERIA ELECTROMECÁNICA Esfuerzos cortantes máximos
Calculo del ángulo de la ecuación
7 CONSTRUCCIÓN DEL CIRCULO DE MOHR
8 EJERCICIO DE APLICACIÓN Del estado mostrado en la figura determine: Los esfuerzos normales y tangenciales máximos
Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el siguiente procedimiento: 1. Se traza un par de ejes coordenadas tomando a σ como eje de las abscisas ya τ como eje de las ordenadas. 2. Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y ac de la Fig. 6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De acuerdo con la convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales como los de las caras ac y bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con coordenadas (+ σ x, + τ), y el punto H con coordenadas (+ σ y, - τ) son los puntos que se trazarán
Cálculo del centro:
Calculo del radio: √ √
3. Se traza la línea recta HCV que une estos dos puntos. Esta recta es el diámetro del círculo cuyo centro es el punto C.
√ √
4. Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radioCV.
4
√
UNIVERSIDAD TECNICA DE COTOPAXI INGENIERIA ELECTROMECÁNICA Calculo de los esfuerzos principales: (
)
√ (
(
)
√ (
)
)
Representación de los esfuerzos principales y cortante máximo. √
√ √
9 CONCUSIONES El círculo de mohr nos permite representar los esfuerzos normales y cortantes máximos mediante la representación de un plano completo.
Calculo del ángulo de la ecuación: (
√ )
Es una técnica muy utilizada en ingeniería para la resolución de ejercicios de esfuerzos y deformaciones pese al avance de la tecnología. Para determinar el círculo de mohr es necesario calcular primero sigma (σ) y tau (τ). Calculo del esfuerzo cortante máximo:
El esfuerzo cortante máximo es igual al radio del circulo de mohr.
Corresponde al radio del círculo
10 BIBLIOGRAFIA
Representación del círculo de mohr
[1] http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/ [2] http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/mecanicay-mecanismos/Contenidos/Teoria/1.3.Circulo-Mohr.pdf [3] http://ocw.uc3m.es/mecanica-de-medios-continuosy-teoria-de-estructuras/elasticidad-resistencia-dematerialesii/material-de-clase-1/materialescompuestos/anexoA.circulo.mohr.pdf [4] http://fisica.laguia2000.com/conceptos-basicos/elcirculo-de-mohr-y-sus- características
[5] http://materiales.azc.uam.mx/gjl/Clases/MA10_I/S6.pdf [6] http://es.scribd.com/doc/49369439/Mecanica-deMateriales-Circulo-de-Mohr-y-Columnas
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