Circulo de Mohr

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ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ESFUERZO ESPACIAL Y CIRCULO DE MOHR CICLO

:

V

CURSO

:

RESISTENCIA DE MATERIALES I

DOCENTE

:

ING. AARON WILBER LINO LIPA

ALUMNO

:

Valdez Chura, Ruth Espinoza Coayla, Minelly Herrero Suyo, Lizbeth Gricel Quispe Coayla, Anyelo Manuel Casilla Ramos, Jaime Coayla Colana, Yuri Johny

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INDICE

INTRODUCCION.

CIRCULO DE MOHR.

1. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS 1.1

CASO BIDIMENSIONAL.

1.2

CASO TRIDIMENSIONAL.

2. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

3. ESFUERZOS EN EL ESPACIO. 1.1

EL ESFUERZO ESFERICO.

1.2

ROTACION DE PLANOS: PLANOS DE MAXIMO ESFUERZO CONSTANTE.

1.3

EL ESTADO DE ESFUERZOS TRIDIMENSIONAL.

1.4

ECUACIONES

DE

ESFUERZOS. RESOLUCION DE PROBLEMAS

TRANSFORMACION

DE

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INTRODUCCION

El Círculo de Mohr es una de las pocas construcciones graficas en la ingeniería civil que no ha perdido importancia con la introducción de las calculadoras y las computadoras. La razón para esta vigencia se encuentra en la información, simultáneamente general y detallada, que el circulo de Mohr suministra sobre determinados problemas de la ingeniería.

Las aplicaciones de esta construcción grafica tienen su fundamento en las leyes de transformación de ciertas entidades matemáticas llamadas tensores, a las que el círculo de Mohr representa con sencillez y claridad. Una de sus características más importantes es que, aunque se trate de una solución gráfica, su construcción no exige, en la mayoría de las aplicaciones, medidas de escala. Tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonométricas elementales para obtener ecuaciones de interés en la solución de algunos problemas propios de la Resistencia de Materiales y de la mecánica de suelos.

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CIRCULO DE MOHR

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

1. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA ESFUERZOS

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1.1 CASO BIDIMENSIONAL

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la

σ) y el eje vertical representa la tensión cortante o

tensión normal (

τ

tangencial ( ) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:

 Centro del círculo de Mohr:

 Radio de la circunferencia de Mohr:

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Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

1.2 CASO TRIDIMENSIONAL El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ, τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3

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círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ, τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

2. CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

 Centro de la circunferencia:

 Radio de la circunferencia:

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3. ESFUERZOS EN EL ESPACIO

Un elemento de material como el indicado en la figura siguiente se encuentra en un estado de esfuerzo triaxial, pues además de los esfuerzos asociados a las direcciones X y Y aparecen ahora los esfuerzos en la dirección Z.

Estado de los esfuerzos en el espacio

Solo se muestran los esfuerzos sobre las caras positivas del cubo elemental.

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1.1 EL ESFUERZO ESFERICO

Es un estado especial de esfuerzo triaxial en el cual los esfuerzos normales en las direcciones x, y, z son iguales y no existen cortantes. Es claro que estos esfuerzos son esfuerzos principales. Nótese x, y, z = Dirección de los ejes de coordenadas. X, Y, Z = Componentes de esfuerzos paralelos a los ejes x, y, z respectivamente.

Para el estado de esfuerzo esférico, el esfuerzo cortante es nulo en todos los planos (el circulo de Mohr se convierte en un punto).

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1.2 ROTACION DE PLANOS: PLANOS DE MAXIMO ESFUERZO CONSTANTE.

El

estado

de

esfuerzos

principales

indicados

representación gráfica en los círculos de Mohr A, B, C.

Interpretación de los Círculos de Mohr:

Circulo A = rotación respecto al eje x. Circulo B = rotación respecto al eje y. Circulo C = rotación respecto al eje z.

Esfuerzos cortantes máximos

Circulo A:

Circulo B:

Circulo C:

encuentra

su

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En este caso en particular, el máximo esfuerzo cortante se obtiene en el círculo C.

Los esfuerzos cortantes así obtenidos actúan sobre planos de esfuerzos cortantes máximos (o principales). Gráficamente:

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1.3 EL ESTADO DE ESFUERZOS TRIDIMENSIONAL

El estado de esfuerzos tridimensional no solo consta de esfuerzos normales sino también de esfuerzos cortantes, como se muestra en la figura siguiente, donde se supone que todos los esfuerzos (normales y cortantes) son positivos.

Notación para los esfuerzos cortantes: Ty = Esfuerzo cortante que actúa en la cara “i” del elemento y tiene la dirección del eje “j”.

Del estado tridimensional de los esfuerzos se concluye que es posible conocer los esfuerzos en cualquier plano que pase por el punto en el cual se quiere obtener los esfuerzos, si se conocen las seis componentes del estado tensional

.

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1.4 ECUACIONES DE TRANSFORMACION DE ESFUERZOS.

Supóngase que se quiera calcular los esfuerzos que se generan en un plano oblicuo cuya dirección en el espacio viene determinada por los cosenos directores de la normal N al plano, es decir por l, m y n.



Sea N, el vector normal a un plano ubicado en el espacio .

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

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Sea ρn, el vector de tensiones que actúa sobre el plano orientado por N.