Circulo de Mohr Resistencia de Materiales

 

RESEÑA El círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos puntos de un cuer cuerpo. po. Fue desa desarrollo rrollo por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (18!"1#18$ uno de los más cele%res del siglo &'&. Entre las tensiones ue e)isten en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas * con unas ciertas restricciones+ importan en general las tensiones principales+ ue son las tensiones ue e)isten so%re ciertos planos del cuerpo+ donde las tensiones de corte son nulas. Estas tensiones son de importancia para el dise,o de estructural * mecanico en dos * tres dimensiones

JUSTIFICACIÓN MATEMÁTICA -ada una figura+ de área + se uiere conocer las rectas /1 * /0 ue proporcionan el má)imo * mínimo valor del momento de inercia+ así como dichos valores de los momentos de inercia

na recta / ue proporcione un má)imo (o mínimo$ del momento de inercia forma con el e2e & un ángulo 3. Entonces usaremos ecuaciones de transformaci4n ue nos permiten llevar las coordenadas desde los e2es O& * O5 hacia los nuevos e2es ue son /1 * /0. r 1= x cos θ + y sin θ

r 2= y cos θ − x sin θ

6i ten tenemo emos s es estas tas ecu ecuaci acion ones es po podem demos os ree reempl mpla7a a7arr en las ec ecuac uacnes nes par para a calcular los momentos * el producto de inercia con respecto a los nuevos e2es θ  y cos θ− x sin ¿

¿ ¿

2

d I  R 1= r 2 dA= ¿ 2

2

d I  2= r 1 dA=( x cos θ + y sin θ ) dA  R

 

θ  y cos θ − x sin ¿

d P R 1 R 2

¿ =r 2 dA =( x cos θ + y sin θ ) ¿ 2

6i re reso solv lvem emos os alge alge%r %rai aica came ment nte e es esta tas s ec ecua uaci cion ones es lu lueg ego o la las s in inte tegr gram amos os 2 2  I OX =  y dA  I OY =  x dA  POX,OY =∫ xy dA teniendo tenie ndo presente ue +    * las

∫

∫

identidaees trigonometricas

6i /1 es perpendicular a /0

6i

el

producto de inercia respecto a dos rectas /1 * /0 es nulo+ se puede compro%ar

na de las rectas formará con la hori7ontal un ángulo 3 de forma ue se cumple

 

El momento de inercia respecto a dicha recta será má)imo o mínimo. /eordenando * elevando al cuadrado las ecuaciones anteriores

Esta es una ecuaci4n análoga a la de una circunferencia

 

-onde

•

El e2e O& tiene ue girar un ángulo 3 en sentido antihorario para o%tener la recta /1 ue proporciona el má)imo valor del momento de inercia. El e2e O5 tiene ue girar un ángulo 3 en sentido antihorario para o%tener  la recta /0 ue proporciona el mínimo valor del momento de inercia.

•

 

Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma.

Sea una barra, sometida a una carga P.

Si cortamos a la barra por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte de la izquierda, nos aparecen unas fuerzas por unidad de supercie (tensiones) que an a ser uniformes y a las que amos a llamar σ! porque an en la dirección del e"e !. σx = P / A Si, a#ora, cortamos a la barra inicial por la sección oblicua $-$, de manera que la normal a la sección forme un %ngulo φ con el e"e de la barra, de donde& σ = σxcos φ 'a m%!ima tensión se produce en los puntos de la sección normal al e"e de la barra. sta m%!ima tensión ale σ!. En una sección inclinada la tensión es menor que en el caso de la sección recta y vale σ  x cos cos φ.

Descomposición de σ en una tensión normal y en otra tangencial o cortante. amos a descomponer descomponer la tensión * en otras dos& una en la dirección de la normal a dic#a sección, llamada tensión normal (σ normal (σn ) y la otra en dirección paralela a la sección, llamada tensión cortante .

 

*n + * cos  + * ! cos  τ  9 σ sen ϕ 9 σ ) sen ϕ cos ϕ = (  x /

2 ) sen 2 

!ectos "ue producen la tensión normal y la cortante. 'os esfuerzos internos sobre una monda, son una sección plana y se denen como un con"unto de fuerzas y momentos est%ticamente est%ticamente equialentes a la distribución de tensiones internas sobre el %rea de esa sección. s, por e"emplo, los esfuerzos sobre una sección transersal plana de una iga es igual a la integral de las tensiones t  sobre  sobre esa %rea plana. /ormalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares perpendiculares a la sección de la iga (o espesor de la placa o l%mina) y los tangentes a la sección de la iga (o supercie de la placa o l%mina)& •

sfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que iene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al %rea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.

•

sfuerzo cortante (tangencial (tangencial al plano considerado), considerado), es el que iene dado por la resultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al %rea para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

#on$ención de signos de la tensión normal. 'a tensión normal es el esfuerzo normal (tracción o compresión) que implica la e!istencia de tensiones normales% normales % las cuales pueden estar producidas por un momento 0ector, de acuerdo con la ley de /aier. 'os bimomentos tambi2n proocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional.

 

'a tensión tangencial, por otro lado, son los esfuerzos cortantes y el momento torsor que implican la e!istencia de tensiones tangenciales. ()3imomentos& 4 ()3imomentos&  4ipo de esfuer7o interno interno  resultante de las tensiones perpendiculares (normales$ a la secci4n transversal asociadas al  al ala%eo seccional seccional de  de un prisma mecánico. mecánico .

#on$ención de signos de la tensión cortante. 'a tensión cortante es aquella act5a tangente al plano "o.  Se suele suele denotar por la letra griega griega

. n piezas piezas prism%ticas prism%ticas las tensiones

cortantes aparece en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.

#&rculo de 'or para la tracción simple. l crculo de 6or# es un crculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que e!isten en una sección inclinada cualquiera de la barra. l crculo de 6o#r es una t2cnica usada en ingeniera para representar gr%camente gr%cament e un tensor sim2trico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de un crculo como por e"emplo el radio, el centro, entre otras.  4ambi2n  4 ambi2n es posible posible el c%lculo del esfuerzo esfuerzo cortante m%!imo absoluto absoluto y la deformación m%!ima absoluta. 7onstrucción 7onstrucci ón del crculo de 6o#r 6o# r

 

Se toman unos e"es coordenados de forma que en el e"e de abscisas situemos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes.  'os puntos representatios de las tensiones que act5an en $ caras perpendiculares denen un di%metro del crculo de 6or#.

'as tensiones cortantes que act5an act5an en dos secciones secciones perpendiculares perpendiculares son iguales y de sentido contrario.

Para dibu"ar correctamente el crculo de 6o#r deben tenerse en cuenta los siguientes detalles - l sentido de giro del %ngulo " en el crculo se corresponde corresponde con el sentido de giro del plano 3 en la realidad. - l signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positio si giran en sentido de las agu"as del relo" alrededor del elemento diferencial y negatio en caso contrario. - l %ngulo entre dos radios del crculo equiale al doble del %ngulo entre los planos reales correspondientes.

TEORÍA DEL CÍRCULO DE MOHR PARA DOS DIMENSIONES Consid Cons ide ere un cu cue erp rpo o so% o%re re el cuá uáll ac act: t:a a un estado estado pla plano no   de car cargas gas.. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano )*+ d de e modo ue no e)istan esfuer7os en el sentido perpendicular a este (esfuer7os en 7 nulos$.  doptamos un elemento triangular donde se supone ue los e2es ) e * son princi pri ncipal pales+ es+ o sea las ten tensio siones nes de cor corte te en eso esos s pla planos nos son nul nulas. as. Esta suposici4n se hace con el fin de no complicar la matemática+

 

Circunferencia de Mohr para un estado de tensi4n %idimensional.

;ueremos o%tener una relaci4n entre las tensiones en las áreas )+ * * 