Circulo de Fricción

Circulo de Fricción Enunciado. El método del círculo de fricción constituye en una de las metodologías adicionales con el fin de evaluar la estabilidad de un talud. Con el fin de observar su aplicabilidad se plantea como ejercicio a desarrollar obtener la probable superficie de falla, asociada a aquella que arroje el más bajo factor de seguridad F para el corte mostrado en la Figura 1.

Figura 3.1. Talud en análisis. Características geométricas El talud mostrado posee adicionalmente posee las siguientes características. 1. Se encuentra totalmente seco KN 2. γ t =18 m3

3. ϕ =32   º KN 4. c =25 m2

5.

β=35   º   y   i=15 º

Con la información anteriormente expuesta por tanto se desea hallar la potencial superficie de falla del talud en estudio la cual posee la forma de una sección de circunferencia es tangente al pie del talud. Metodología Para desarrollar el ejercicio enunciado gracias a la metodología y análisis por el círculo de fricción se debe en primer lugar fijar un centro arbitrario O,

el cual para el presente ejercicio se va a localizar exactamente arriba del pie del talud con el fin de que la circunferencia la cual defina la superficie de falla sea tangente a este punto. Supuesta la localización del punto O así como el radio r para la superficie de falla se procede a determinar diversas características de la cuña formada dentro de las cuales se encuentran el peso de la misma y su centro de gravedad asociado, así la longitud de la cuerda definida por los puntos de corte de la superficie de falla con el talud así como la longitud de arco de la superficie de falla. Para tal fin en primer lugar se debe encontrara los puntos de corte entre la superficie de falla y el talud en estudio. Por tanto fijando como punto de origen del sistema coordenado el pie del talud, es posible obtener como el primer punto de corte siempre va a estar localizado en el punto de origen y el segundo de ellos será obtenido gracias a la equivalencia realizada de las ecuaciones que definen el círculo de la superficie de falla y la recta localizada en la parte superior del talud, dada por:

(

h

)

1. Ecuación de la recta: y =−tan ⁡ i * x + h− tan ⁡ β tan ⁡ i …3.1 2

2 2 2. Ecuación del círculo: x +( y−r ) =r …3.2

Resolviendo y disminuyendo a su mínima expresión se obtendría que

x 2 + y 2−2 y r=0…3.3 Con el fin de obtener las coordenadas del punto de corte por tanto es necesario resolver la expresión: 2

(

x +−tan ⁡ i * x+ h−

2 h h tan ⁡ i −2  − tan ⁡ i * x+ h− tan ⁡ i r=0 …3.4 tan ⁡ β tan ⁡ β

) (

(

))

Expresión implícita de la cual es posible obtener el valor del punto de corte en el eje de las abscisas, Para hallar el valor de la coordenada en el eje de las ordenadas tan solo se evalúa el resultado obtenido anteriormente de nuevo en la expresión 3.1. Posteriormente se determina el área así como la localización del centro de gravedad para la cuña formada ente la superficie de falla y del talud. Para tal fin se plantea desarrollar un discretización de la región circular formada, limitada por el ángulo denominado como θ como se puede observar en el siguienteb gráfico:

Figura 3.2. Discretización de secciñon circular para obtener área y Centro de Gravedad cuña El proceso de discretización mostrado anteriormente tiene como principal objetivo dar uso de la formulación ya existente para el cálculo de áreas y centros de gravedad de las diferentes figuras en las cuales se descompuso. Según tal orden de ideas se obtendría como a modo la localización de los centroides para cada una de las figuras expuestas se encuentra en la localización mostrada

θ

Figura 3.3. Localización centroides proceso de discretización Es posible gracias a un proceso trigonométrico obtener el valor de la coordenada donde se localiza cada centro, información de gran utilidad a la hora de evaluar el Centro de Gravedad Total. A modo de ejemplo se desarrolla el proceso adelantado para poder obtener el área así como el centro de gravedad total para un radio supuesto de 50 metros, por tanto: 1. Se calcula el punto de Corte

A través de la metodología descrita anteriormente resolviendo las ecuaciones desde 3.1 hasta 3.4 cuando el radio es equivalente a 50 metros es posible obtener como puntos de corte: P u n t o   d e   C o r t e   1: ( 0,0 )

P u n t o   d e   C o r t e   2:(−38.095 ,   17.616) 2. Cálculo del θ Para obtener el ángulo que definen los dos puntos de corte se debe obtener primero el ángulo definido como ϕ mostrado en la figura 3.2 el cual sería equivalente a ϕ=tan −1 ⁡

50−17.616 =0.704   r a d 38.095

Por tanto el ángulo θ es igual π θ = −ϕ=0.866   r a d 2

Calculado el ángulo θ ahora es posible hallar las áreas correspondientes a cada una de las figuras.

3. Cálculo del área. Se desarrolla el cálculo del área para cada una de las secciones definidas. Se tiene en cuenta como el eje coordenado posee su origen en el pie del talud, punto denominado como A, por tanto: A r e a   1− A E O=

A r e a   2− A B C =

A r e a   3− B C O=

r * θ 2 50 * 0.866 2 2 = =1082.81   m 2 2

b 2 * h 2 17.14 * 12 = =102.83   m2 → P e r m a n e c e   C o n s t a n t e 2 2

( r− h ) * b 2 ( 50−12 ) * 17.14 = =325.62   m2 → P e r m a n e c e   C o n s t a n t e 2 2

A r e a   4− D C O=

A r e a   5− E D C =

b 5 * h5 17.85 * 37.69 = =336.25   m 2 2 2

b 5 * ( r −h 5 ) 17.85 * ( 50−37.69 ) = =110.06   m 2 2 2

Por tanto el área total de la sección dada por el talud y la superficie de falla para un radio de 50 m sería: At o t = A1− A2− A3− A 4− A5=208.055   m2

Dado que como datos iniciales se posee el peso unitario del suelo en estudio es posible calcular: W =208.055   m2 * 18

KN KN =3745 m m3

4. Cálculo centro de gravedad Sin embargo se debe hallar el centro de gravedad con el fin de poder determinar el punto de aplicación del peso anteriormente obtenido. Para tal fin se da uso del cálculo del centroide del de un área compuesta la cual es equivalente a: −X =

−Y =

∑ ( X i * Ai )  …3.5 (∑ ( A i )   )

(∑ (Y i * Ai )   ) …3.6 ( ∑ ( Ai )   )

Por tanto como se enunció anteriormente para hallar el centro de gravedad de cada una de las regiones se realizó el cálculo de los puntos fijado dando uso de la teoría expuesta para cada uno de los triángulos y región circular y posteriormente gracias a trigonometría se hallaron las proyecciones de los centroides para el eje coordenado en uso los cuales para el caso de un radio supuesto igual a 50 constituyeron: A(m2)

−x i (m)

−yi (m)

A*−xi (m3)

A*− y i (m3)

Área 1

1082.81

-13.56

20.68

22394.512

Área 2 Área 3 Área 4

-102.83 -325.62 -336.24

-5.71 -5.71 -15.28

8.00 24.67 29.20

14679.611 587.406 1860.121 5137.660

-822.613 -8031.904 -9818.595

Área 5

-110.06

-27.98

18.41

3079.362

-2025.819

Por tanto las expresiones 3.5 y 3.6 antes expuesta se obtiene como:

−X =−19.298   m −Y =8.150   m 5. Suponer un F ϕ Se supone un F ϕ =2 calculando posteriormente

ϕ r =tan −1 ( ⁡

tan ⁡ ϕ )…3.7 Fϕ

El cual para el caso del ejercicio de un radio de 50 m es equivalente a 0.302 rad.

6. Calcular el “K” y dibujar el círculo de fricción con radio

rc f En primer lugar se debe calcular la constante K asociada al círculo de fricción equivalente a la expresión: K=

π 2−θ 2   …3.8 θ 2 π * cos ⁡ 2

( )

Con la constante K ya obtenida ahora es posible hallar el radio del círculo de fricción equivalente a:

r c f =K   r   s e n   ϕ r …3.9 La cual es de suma importancia definirlo dado que la resultante de Normal y cortante friccional es tangente a al círculo con radio r c f y con centro en el punto O. Para el caso del ejemplo que se ha venido desarrollando evaluando las expresiones anteriormente enunciadas se obtiene que: K=

π 2−0.866 2   =1.0179 0.866 2 π * cos ⁡ 2

(

)

Y

r c f =1.0179 * 50*   se n   0.302=15.17   m

7. Construir el polígono de fuerzas. De la información anteriormente descrita es posible obtener como las reacciones y acciones en el sistema por tanto constituyen:

Figura 3.3. Líneas de acción acciones y reacciones Talud en análisis

Con el fin de obtener el valor del ángulo ξ se plantea realizar la construcción de los siguientes triángulos xc`o y el triángulo otc`. Sin embargo es de gran importancia definir en primer lugar (Poner distancia c`)

ξ En donde el ángulo

ξ =ä n g u l o   ( x c o )−á n g u l o   (t c o) Cuyos valores son posibles obtenerlos por trigonometría. Con el ángulo épsilon ya obtenido ahora es posible obtener el polígono de fuerzas

ν

ξ

ψ

Polígono del cual se puede obtener los valores de C`r y R` gracias a la resolución del mismo. Obtenidos los valores anteriormente mencionados es posible calcular el factor de seguridad asociado al radio supuesto inicialmente gracias a la expresión: F c=

c cr

En donde como se había enunciado en las condiciones iniciales para el KN ejercicio en desarrollo c` es equivalente a c =25 m2

Para el caso del caso en desarrollo es posible obtener como los ángulos del polígono son equivalentes a:

ξ =ä n g u l o   ( x c o )−á n g u l o   ( t c o ) =0.383−0.265=0.118   r a d Posterior se calcula el ángulo ν teniendo en cuenta que el lado superior del polígono es paralelo a la cuerda que define los dos pintos de corte entre el talud y la superficie de falla circular supuesta. Según tal orden de ideas se obtiene que:

ν=1.137   r a d Y a su vez:

ψ=1.886   r a d Con los ángulos anteriormente mencionados y por el peso de la cuña obtenido equivalente a 3275 KN por unidad de ancho se obtiene como, solucionando el polígono gracias a la ley de senos se obtiene que: ( s e n   ψ ) ( se n   ξ ) = W C r Lc  

Por tanto: C r =8.02311

KN m2

Y ( s e n   ψ ) ( se n   ν ) = W R

Expresión de la cual se obtiene

R =3616.61   K N Ahora para el radio en estudio se procede a calcular el factor de seguridad asociado al mismo el cual sería equivalente a: c F c= = cr

KN m2 =3.116 KN 8.023 2 m 25

8. Comprobar si F c = F ϕ+η en donde el valor de η debe ser inferior a 0.01. Dado que para el caso del ejercicio desarrollado no dio equivalente es necesario repetir el procedimiento desde el punto 4 de nuevo hasta que se cumpla la condición anteriormente expuesta es decir:

Volver a Paso 4

Seguir a Paso 8

Volviendo al paso cuatro (4) y desarrollar todo el procedimiento de nuevo hasta que se cumpla se obtuvo como F ϕ =F c =2.265 para un radio de 50 m supuesto inicialmente 9. Se desarrolla el ejercicio hasta que se obtenga el radio que conduzca al factor de seguridad mínimo. Dado que para el ejercicio en desarrollo se debe obtener aquella superficie de falla la cual conduzca al menor factor de seguridad es decir la superficie potencial de falla para el talud en análisis Desarrollo Gracias a que la metodología anteriormente expuesta fue posible tabularla, se pudo desarrollar el procedimiento para un total de 538 radios diferentes de los cuales se obtuvo la siguiente relación entre el radio del círculo y el Factor de seguridad de:

Factor de seguriidad

Radio Vs. Fs 2.45 2.4 2.35 2.3 2.25 2.2 2.15 2.1 2.05 2 1.95 10

20

30

40

50

60

70

Radio supuesto [m]

Como se puede observar en la figura el valor de seguridad mínimo se obtuvo para un radio equivalente a 27.6 metros asociado a un FS igual a 2.111025. Dese esta manera realizando la representación gráfica para el radio más crítico se obtendría que la superficie potencial de falla constituiría la formada por los puntos AB

Como anexo es posible observar el cálculo de los diferentes parámetros descritos anteriormente para diversos valores de radios escogidos de los 538 calculados dentro de los cuales se incluye el radio que arrojó el mínimo Factor de seguridad. Según tal orden de ideas se obtiene que:

80

Coord. Punto de Corte

Coord. Centro de Gravedad

Radio Sup

X [m]

Y[m]

θ [ra

−x

−y

Área [m2]

W [KN]

Fϕ

ϕr

R` [KN]

Cr

Fs

19.000

17.72 5 22.11 0 23.36 2 23.43 1 23.50 0 23.56 8 23.63 7 23.70 6 23.77 4 31.67 0 31.73 3 31.79 6 31.85 8 31.92 1 31.98 3 32.04 6 32.10 8 32.17 1 32.23 3 32.29 6

12.15 7

d] 1.20 2

-9.708

5.10 3

50.817

914.700

2.29 8

0.26 6

805.867

10.87 7

2.29 8

13.33 2

1.08 5

6.11 3

81.175

1461.15 3

2.11 9

0.28 7

1329.71 5

11.79 6

2.11 9

13.66 8

1.05 9

6.32 6

90.203

1623.64 7

2.11 1

0.28 8

1487.79 6

11.83 6

2.11 2

13.68 6

1.05 7

6.33 7

90.704

1632.66 6

2.11 1

0.28 8

1496.58 8

11.83 7

2.11 2

13.70 5

1.05 6

6.34 8

91.205

1641.68 5

2.11 1

0.28 8

1505.38 1

11.83 8

2.11 2

13.72 3

1.05 5

6.35 9

91.706

1650.70 4

2.11 1

0.28 8

1514.17 5

11.83 8

2.11 2

13.74 1

1.05 3

6.37 0

92.207

1659.72 2

2.11 1

0.28 8

1522.97 0

11.83 9

2.11 2

13.76 0

1.05 2

6.38 1

92.708

1668.73 9

2.11 1

0.28 8

1531.76 6

11.83 9

2.11 2

13.77 8

1.05 0

6.39 2

93.209

1677.75 6

2.11 1

0.28 8

1540.53 4

11.84 2

2.11 1

15.89 4

0.93 0

7.43 8

154.06 4

2773.14 7

2.18 1

0.27 9

2616.25 6

11.46 4

2.18 1

15.91 1

0.93 0

7.44 6

154.57 1

2782.28 4

2.18 1

0.27 9

2625.26 2

11.45 9

2.18 2

15.92 8

0.92 9

7.45 3

155.07 9

2791.42 2

2.18 2

0.27 9

2634.27 1

11.45 5

2.18 2

15.94 4

0.92 8

7.46 0

155.58 7

2800.56 3

2.18 3

0.27 9

2643.28 1

11.45 1

2.18 3

15.96 1

0.92 7

7.46 8

156.09 5

2809.70 5

2.18 4

0.27 9

2652.29 4

11.44 6

2.18 4

15.97 8

0.92 7

7.47 5

156.60 3

2818.84 9

2.18 5

0.27 9

2661.31 0

11.44 2

2.18 5

15.99 5

0.92 6

7.48 2

157.11 1

2827.99 6

2.18 5

0.27 8

2670.32 7

11.43 8

2.18 6

16.01 1

0.92 5

7.48 9

157.61 9

2837.14 4

2.18 6

0.27 8

2679.34 7

11.43 4

2.18 7

16.02 8

0.92 4

7.49 6

158.12 7

2846.29 4

2.18 7

0.27 8

2688.36 9

11.42 9

2.18 7

16.04 5

0.92 4

7.50 4

158.63 6

2855.44 7

2.18 8

0.27 8

2697.39 4

11.42 5

2.18 8

16.06 2

0.92 3

12.09 2 12.70 1 12.73 4 12.76 7 12.79 9 12.83 2 12.86 5 12.89 7 16.47 9 16.50 7 16.53 4 16.56 2 16.59 0 16.61 7 16.64 5 16.67 2 16.70 0 16.72 7 16.75 5

7.51 1

159.14 5

2864.60 1

2.18 9

0.27 8

2706.42 1

11.42 1

2.18 9

25.000 26.800 26.900 27.000 27.100 27.200 27.300 27.400 39.500 39.600 39.700 39.800 39.900 40.000 40.100 40.200 40.300 40.400 40.500

54.500 54.600 54.700 54.800 54.900 55.000 55.100 55.200 55.300 55.400 55.500 69.500 69.600 69.700 69.800 69.900 70.000

40.76 9 40.82 8 40.88 7 40.94 6 41.00 5 41.06 4 41.12 3 41.18 2 41.24 1 41.29 9 41.35 8 49.44 2 49.49 9 49.55 5 49.61 2 49.66 9 49.72 6

18.33 2

0.84 5

18.34 8

0.84 5

18.36 4

0.84 4

18.37 9

0.84 4

18.39 5

0.84 3

18.41 1

0.84 3

18.42 7

0.84 3

18.44 3

0.84 2

18.45 8

0.84 2

18.47 4

0.84 1

18.49 0

0.84 1

20.65 6

0.79 1

20.67 1

0.79 1

20.68 6

0.79 1

20.70 2

0.79 1

20.71 7

0.79 0

20.73 2

0.79 0

20.46 7 20.49 3 20.51 8 20.54 4 20.57 0 20.59 6 20.62 2 20.64 7 20.67 3 20.69 9 20.72 4 24.26 8 24.29 3 24.31 8 24.34 3 24.36 8 24.39 3

8.43 0

231.69 6

4170.52 8

2.30 0

0.26 5

3995.92 8

10.86 9

2.30 0

8.43 7

232.22 5

4180.05 3

2.30 1

0.26 5

4005.34 1

10.86 5

2.30 1

8.44 3

232.75 4

4189.58 0

2.30 1

0.26 5

4014.75 8

10.86 2

2.30 2

8.44 9

233.28 4

4199.11 1

2.30 2

0.26 5

4024.17 8

10.85 8

2.30 2

8.45 5

233.81 4

4208.64 4

2.30 3

0.26 5

4033.60 1

10.85 5

2.30 3

8.46 1

234.34 3

4218.18 1

2.30 4

0.26 5

4043.02 8

10.85 1

2.30 4

8.46 7

234.87 3

4227.72 0

2.30 4

0.26 5

4052.45 7

10.84 8

2.30 5

8.47 3

235.40 4

4237.26 3

2.30 5

0.26 5

4061.88 9

10.84 4

2.30 5

8.47 9

235.93 4

4246.80 9

2.30 6

0.26 5

4071.32 5

10.84 1

2.30 6

8.48 5

236.46 4

4256.35 8

2.30 6

0.26 5

4080.76 3

10.83 8

2.30 7

8.49 2

236.99 5

4265.91 0

2.30 7

0.26 4

4090.20 5

10.83 4

2.30 8

9.31 2

313.07 1

5635.27 2

2.39 7

0.25 5

5444.31 3

10.43 0

2.39 7

9.31 8

313.62 7

5645.29 3

2.39 7

0.25 5

5454.22 7

10.42 7

2.39 8

9.32 3

314.18 4

5655.31 6

2.39 8

0.25 5

5464.14 2

10.42 5

2.39 8

9.32 9

314.74 1

5665.34 4

2.39 8

0.25 5

5474.06 2

10.42 2

2.39 9

9.33 5

315.29 9

5675.37 5

2.39 9

0.25 5

5483.98 6

10.42 0

2.39 9

9.34 0

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