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Hoang Le-Huy

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Les Presses de l’Université Laval

Les Presses de l ’Université Laval reçoivent chaque année du Conseil des Arts du Canada et de la Société d ’aide au développement des entreprises culturelles du Québec une aide financière pour l'ensemble de leur programme de publication. Nous reconnaissons l ’aide financière du gouvernement du Canada par l ’entremise de son Programme d ’aide au développement de l ’industrie de l ’édition (PADIÉ) pour nos activités d ’édition.

ISBN 2-7637-8078-4

© Les Presses de l ’ Université Laval 2004 Tous droits réservés. Imprimé au Canada

Distribution de livres Univers 845, rue Marie-Victorin Saint-Nicolas (Québec) Canada G7A 3S8 Tél. (418) 831-7474 ou 1 800 859-7474 Téléc. (418) 831-4021 http ://www.ulaval.ca/pul

Table des matières

V II

Table des matières

Avant-propos

IX

Chapitre 1 ÉLÉMENTS DE BASE DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES 1.1 Phénomènes électriques fondamentaux 1.2 Étude des systèmes électriques

1

9

1.3 Modélisation des systèmes électriques 1.4 Théorie des circuits électriques

10

11

1.5 Variables et éléments de circuits électriques 1.6 Éléments actifs

12

15

1.7 Éléments passifs

17

1.8 Amplificateur opérationnel Exercices

1

24

27 31

Chapitre 2 LOIS ET THÉORÈMES DE CIRCUITS 2.1 Branches et noeuds d’un circuit électrique 2.2 Lois de Kirchhoff

31

32

2.3 Dipôles équivalents

34

2.4 Théorèmes de Thévenin et de Norton 2.5 Transfert maximal de puissance

44

47

2.6 Linéarité des circuits électriques - Principe de superposition 2.7 Analyse des circuits résistifs Exercices

49

53

55

Chapitre 3 FORMULATION DES ÉQUATIONS D’ÉQUILIBRE 3.1 Topologie des circuits électriques 3.2 Équations d’équilibre

59

60

3.3 Méthode des noeuds

63

3.4 Méthode des mailles

70

3.5 Équations d’équilibre des circuits avec sources commandées Exercices

85

59

77

Table des matières

V III

Chapitre 4

FONCTIONS D'EXCITATION

4.1 Excitations électriques 4.2 Fonctions singulières

93

4.3 Fonctions apériodiques

97

4.4 Fonctions exponentielles

98

4.5 Fonctions sinusoïdales

102

4.6 Fonctions périodiques Exercices Chapitre 5

91

91

103

107

ANALYSE TRANSITOIRE DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES

5.1 Excitation et réponse

109

5.2 Méthodes d'analyse transitoire des circuits électriques

110

5.3 Analyse des circuits électriques par équations différentielles 5.4 Circuits du premier ordre

132

5.6 Régime continu permanent

150

5.7 Analyse des circuits initialement excités

Chapitre 6

151

157

ANALYSE DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES PAR LA TRANSFORMATION DE LAPLACE

6.1 Transformation de Laplace

171

6.3 Analyse des circuits par la transformation de Laplace 6.4 Méthode d’analyse et exemples d'application 6.5 Fonctions de réseau Exercices

163

163

6.2 Transformation inverse de Laplace

Chapitre 7

111

115

5.5 Circuits du deuxième ordre

Exercices

109

177

182

188

199

ANALYSE DES CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOÏDALPERMANENT

7.1 Régime sinusoïdal permanent - Notions de phaseur et d’impédance

207

207

7.2 Analyse des circuits électriques en régime sinusoïdal permanent 215 7.3 Réponse en fréquence

222

7.4 Puissance en régime sinusoïdal permanent 245 Exercices

261

Annexe A

Rappel sur les nombres complexes

267

Annexe B

Addition de deux fonctions sinusoïdales

269

Annexe C

Dérivée et intégrale d’une fonction de la forme f(t)u(t)

271

Annexe D La résonance dans les circuits RLC

273

Réponses aux exercices

279

Index

315

Avant-propos

IX

Avant-propos Un circuit électrique, sous forme de schéma, est l’ensemble des éléments idéals con­ nectés de façon à constituer le modèle mathématique d’un système électrique. Ce mo­ dèle présente la structure ainsi que les caractéristiques essentielles du système physique. L’étude d’un circuit permet de comprendre le fonctionnement du système électrique qu’il représente. La théorie des circuits comprend essentiellement des lois et des théorèmes qui régissent les relations entre les variables d’un circuit et aussi des méthodes permettant l’analyse et la synthèse des circuits. Cet ouvrage a été écrit pour utiliser comme manuel dans un premier cours de circuits électriques au niveau universitaire. Il présente les concepts de base et les lois fondamentales des circuits électriques ainsi que les principales méthodes d’analyse en régime transitoire et permanent des circuits linéaires. Les notions de mathématiques pré-requises sont celles présentées normalement dans les cours de mathématiques de première année universitaire. La matière est présentée de façon concise et directe afin de se concentrer sur l’es­ sentiel de la théorie de circuits. Les notions théoriques sont expliquées et illustrées par des exemples de circuits concrets. Le premier chapitre introduit les notions fondamentales de l’électricité et présen­ te les éléments de base utilisés dans la modélisation des systèmes électriques. Les chapitres 2 et 3 présentent les lois et théorèmes de circuits et les différentes méthodes pour établir les équations d’équilibre des circuits. Les méthodes classiques (des mailles et des noeuds) sont détaillées et appliquées à des diverses topologies de circuits passifs et actifs. Chapitre 4 présente les fonctions mathématiques utilisées pour modéliser les sources d’excitation des circuits électriques. Les fonctions singulières (échelon, impul­ sion, rampe) et leurs combinaisons permettent de modéliser la plupart des excitations apériodiques. Les fonctions exponentielles complexes sont utilisées pour représenter les excitations périodiques et en particulier les fonctions sinusoïdales. Dans le chapitre 5, l’analyse transitoire des circuits électriques est étudiée et ap­ pliquée à des circuits du premier et du deuxième ordre. La méthode d’analyse basée sur les équations différentielles est expliquée en détails permettant de l’utiliser dans di­ verses situations. On étudie également le régime continu permanent et l’analyse des circuits initialement excités. Chapitre 6 présente la transformation de Laplace et son application dans l’ana­ lyse transitoire des circuit électriques. Les notions d’impédance et d’admittance sont introduites pour faciliter l’établissement des équations d’équilibre du circuit et aussi pour pouvoir appliquer les méthodes déjà développées dans le domaine du temps. La méthode par la transformation de Laplace est systématique permettant d’analyser des circuits d’ordre plus élevé et plus complexes. Les fonctions de transfert sont introduites

Avant-propos pour l’analyse des quadripôles. Chapitre 7 traite de l’analyse des circuits en régime sinusoïdal permanent utili­ sant des phaseurs et des impédances. Les fonctions de transfert en régime sinusoïdal permanent sont introduites. La réponse en fréquence des circuits est étudiée et appli­ quée à des circuits passifs et actifs. Le calcul de la puissance en régime sinusoïdal per­ manent est également examiné. Des exercices typiques à la fin de chaque chapitre permettent d’illustrer l’appli­ cation de la théorie aux problèmes réels d’analyse de circuits. Des réponses aux exer­ cices sont aussi données comme aide à la pratique. Université Laval Québec, Canada Janvier 2004

Hoang Le-Huy

Chapitre 1 Éléments de base des circuits électriques

1

Chapitre 1 ÉLÉMENTS DE BASE DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES Dans ce chapitre, les phénomènes électriques fondamentaux sont décrits pour intro­ duire les éléments idéaux servant à la modélisation des systèmes électriques. L’appro­ che générale d’analyse des systèmes électriques et les notions de base des circuits électriques sont présentées.

1.1 Phénomènes électriques fondamentaux Nous allons examiner les notions de base de l’électricité telles que charge électrique, courant électrique, tension électrique, énergie électrique et puissance électrique. En­ suite, les trois phénomènes fondamentaux qui se trouvent dans tous les systèmes élec­ triques seront décrits: la résistance, le condensateur et l’inductance. 1.1.1 Charge électrique et courant électrique La notion de charge électrique est basée sur la théorie atomique suivant laquelle l’atome est représenté comme un noyau portant une charge positive entouré d’électrons por­ tant des charges négatives. Dans un atome neutre, la charge totale du noyau est égale (en valeur absolue) à la charge totale des électrons. Un atome devient positif lorsque certains électrons manquent. Un atome devient négatif lorsqu’il y a un surplus d’élec­ trons. La charge électrique élémentaire est la charge portée par un électron. L’unité de charge -19

électrique est Coulomb (C). L’électron porte une charge de 1.6021x10

C.

Un courant électrique est créé par le déplacement des électrons dans un milieu donné. L’intensité d’un courant électrique est défini comme le taux de déplacement de la char­ ge électrique q à travers une section du milieu:

On utilise habituellement le terme «courant» pour désigner Vintensité d’un courant élec­ trique. L’unité de courant est Ampère (A). Dans les solides, il existe un certain nombre d'électrons libres qui sont «détachés» de leurs atomes et qui peuvent se déplacer dans le matériau sous l’influence d’un champ électrique. Les conducteurs électriques sont des matériaux qui ont beaucoup d’électrons libres qui permettent la circulation des courants électriques importants. Les isolants électriques sont des matériaux qui ont très peu d’électrons libres. Ils empêchent la cir-

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

2

culation des courants électriques. Il y a aussi des semi-conducteurs qui possèdent une conductivité située entre celles des conducteurs et des isolants. Le silicium et le ger­ manium sont deux semi-conducteurs courants utilisés dans la fabrication des transis­ tors et des circuits intégrés. On utilise habituellement le symbole «i» pour représenter un courant électrique. Le sens conventionnel d’un courant électrique est l’opposé du sens de déplacement des élec­ trons, comme illustre la figure 1- 1 . Courant

Conducteur

\

i

^ 3 ^ 3 t s

-> t s

Puissance

1.25 J Énergie

Figure 1-30 Courant, tension, puissance et énergie dans le condensateur C.

1.7.4 Transform ateur idéal Le transformateur idéal est un élément à deux paires de bornes qui représente le cou­ plage mutuel entre deux bobines dans un système électrique. Les relations entre les tensions et les courants d’un transformateur idéal sont: = av0

(1-54) (1-55)

11 " â où a est défini comme le rapport de transformation du transformateur. :

Figure 1-31 Transformateur idéal

Primaire

a:1

Secondaire

24

CIRCUITS ÉLECTRIQUES Exemple 1-4 Tension et courant d’un transformateur Une source de tension vs est connectée au primaire d’un transformateur de rapport a = 4. Une résistance R est connectée au secondaire du transformateur.

+

Vi

Figure 1-32 Un transformateur avec une charge résistive. On a: Vi = Vs = 4 v 2

La tension au secondaire est égale à: _

V2

v i _

4

vs

4

Le courant au secondaire (dans la résistance R) est égal à: .

_

R

_

R

Zi 4R

Le courant au primaire (dans la source vs) est égal à: 11

ÎR 4 ~

(V r /r )

4

(vs/(4R)) 4

Vs

16R

1.8 Amplificateur opérationnel L’amplificateur opérationnel est un composant électronique complexe, disponible sous forme de circuit intégré, que l’on appelle communément «ampli op». Un amplificateur opérationnel est constitué de plusieurs éléments: transistors, diodes, résistances, con­ densateurs. Les amplificateurs opérationnels sont utilisés comme éléments actifs dans les circuits électroniques analogiques pour réaliser diverses fonctions: amplificateur, oscillateur, filtre, comparateur, sommateur, etc. Il existe plusieurs sortes d’amplificateur opérationnel. La plus utilisée est un amplifica­ teur de tension avec des caractéristiques proches des caractéristiques idéales: gain très élevé, impédance d’entrée très élevée, impédance de sortie très faible. La figure 1-33 montre un amplificateur opérationnel réel (le uA741) avec son circuit in­ terne et ses caractéristiques.

25

Chapitre 1 Éléments de base des circuits électriques

schematic

Component Count Transistors-22 Reslstors -11 Diode -1 Capacltor - 1

UA741M . . . JG PACKAGE UA741C, UA741I. . . D OR P PACKAGE (TOP VIEW)

Boîtier

Connexions externes

IN-

OFFSET N1[ 7 ° " 8 p N C IN -[ 2 ] vcc+ ] OUT IN+[1 3 ] OFFSET N2 v C C -[

Av = 100000 OUT

BW = 100 Hz Caractéristiques

IN+

Ri = 1MH Ro =100 Q

Symbole Source: Texas Instruments Inc.

Figure 1-33 Le uA741 - Un amplificateur opérationnel réel. (Remarque: Le uA741 est l’amplificateur opérationnel le plus utilisé de tous les temps!)

26

CIRCUITS ÉLECTRIQUES Le modèle d’un amplificateur opérationnel idéal est une source de tension commandée par une tension tel qu’illustre la figure 1-34.

+ Vi

+ Figure 1-34 Amplificateur opérationnel idéal

A = gain en tension

Dans ce modèle, Vj est la tension d'entrée, vQest la tension de sortie, et A est le gain en tension de l’amplificateur opérationnel. On peut ajouter au modèle idéal deux résistances (Rj et R0) qui représentent les résis­ tances d’entrée et de sortie. On obtient ainsi un «modèle simple» d’un amplificateur opé­ rationnel, illustré dans la figure 1-35.

W \A

Figure 1-35 Modèle simple d'un ampli­ ficateur opérationnel A = gain en tension

Chapitre 1 Éléments de base des circuits électriques

27

Exercices 1.1

Une source de tension vs est connectée aux bornes d'une résistance de 10 Q.

Figure E l . l Déterminer et tracer en fonction du temps la tension, le courant, la puissance et l'énergie dans cette résistance.

1.2

Une source de tension vs est connectée aux bornes d'un condensateur de 250 jiF.

Figure E l.2 Déterminer et tracer en fonction du temps la tension, le courant, la puissance et l'énergie dans ce condensateur.

1.3

Une source de tension vs est connectée aux bornes d'une inductance de 100 mH.

vs Q

vL ;

L = 100 mH

Figure E l.3 Déterminer et tracer en fonction du temps la tension, le courant, la puissance et l'énergie dans cette inductance.

28

1.4

CIRCUITS ÉLECTRIQUES Soit le circuit montré dans la figure E l.4. 'l

T

^

vs0

+ I

24 V

A

< r 4oii \ >

i L 0.1

s

L = 200 mH

R = 100 Q

Figure E l.4 Déterminer et tracer en fonction du temps le courant i1? le courant iL et l’énergie accumulée dans l’inductance L.

1.5

Soit le circuit montré dans la figure E l.5.

0.8 A is ( + )

C = j = +vc

0.015vc < ^

r

>

Vr

0.1

->t

s

R = 60 Q

C = 200 jiF

Figure E l.5 Déterminer et tracer en fonction du temps la tension vc , la tension vR, l’énergie dissipée dans la résistance R et l’énergie accumulée dans le condensateur C.

1.6

Une résistance de 20 Q est connectée à une source de tension sinusoïdale par l’intermédiai­ re d’un transformateur idéal de rapport 5.

H

5:1

>2

ms R = 20Q

Figure E l.6 Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ilf le courant pée dans la résistance R.

12

et la puissance dissi­

29

Chapitre 1 Éléments de base des circuits électriques

1.7

Une source de tension vs alimente trois éléments R, L, C connectés en série.

ms

L = 250 mH

C = 1000^iF

R = 20 Q

Figure E l. 7 La tension vL aux bornes de l’inductance est donnée dans la figure E l.7. a) Déterminer et tracer en fonction du temps les tensions vc, vR et vs. b) Déterminer et tracer en fonction du temps la puissance et l’énergie fournies par la source v s-

Remarques: - Le même courant circule dans les trois éléments R, L, C. - La tension vs est égale à la somme des tensions vL, vc et vR: vs = vL + vc + vR

1.8

Soit le circuit montré dans la figure E l.8. l2

0.8 V t

i

VsO

-r

+

V1 < R1 20V1\ >

i

t ms

Ô

VS1

0 +v-

2.3.2 Equivalent parallèle de sources de courant Considérons deux sources de courant isi et is2 connectées en parallèle. Les deux sour­ ces de courant ont la même tension à leurs bornes.

=

( f ) 's1+ 's2

Figure 2-9 Équivalent parallèle de deux sources de courant

36

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

En appliquant la loi des courants, on peut écrire: (2 - 6 )

1 = îai + i®2

Par conséquent, Téquivalent de deux sources de courant connectées en parallèle est une source de courant égale à la somme des deux sources. Ce résultat peut être généralisé au cas de plusieurs sources de courant en parallèle. Remarque: Les sources de courant ne peuvent être connectées en série car cette con­ nexion ne respecte pas la loi des courants de Kirchhoff. Exemple 2-3 Sources de courant en parallèle On connecte en parallèle deux sources de courant: isl = 10 mA et is2 = 20sin(20007it) mA suivant la connexion montrée dans la figure 2-10.

10 mA

©

js1

t ms

©

© l.i

© '. 2 =

©

Figure 2-10 Équivalent de deux sources de courant en parallèle. On obtient une source de courant équivalente de valeur: is —isi ~ is2 —[10 - 20sin(20007it)] mA 2.3.3 Équivalent série d’éléments - Diviseur de tension équivalent série de résistances Considérons deux résistances Rj et R2 connectées en série tel que montré dans la figure 2 - 11 .

Les courants dans les deux résistances sont identiques:

i = i 1 = i2

À l'aide des lois de Kirchhoff, on écrit: v = VJ+V2 = Rji + R2i = (R 1 + R2)i

(2-7)

37

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

Figure 2-11 Équivalent série de deux résistances Cette relation v-i est identique à celle d’une résistance unique Req dont la valeur est donnée par la relation suivante: R eq =

+ R2

(2-8)

La tension v à l’entrée est divisée en deux tensions v* et v2 aux bornes de chaque ré­ sistance Ri et R2. Ces tensions sont données par les relations suivantes: vl "

R R l + R2

Vo =

R2 , R l + R2

(2-9)

(2- 10)

Ces relations constituent la loi du diviseur de tension. Généralisation: Équivalent série de plusieurs résistances Pour le cas de N résistances connectées en série, - la résistance équivalente est égale à la somme de toutes les résistances R eq =

R

i

+ R 2 + .-. + R N

(2-11)

- la tension aux bornes d’une résistance R^ est donnée par la loi du diviseur de tension: vk =

Rk

xv

(2- 12)

eq

où v est la tension totale aux bornes des N résistances. Exemple 2-4 Diviseur de tension Une source de tension sinusoïdale vs = 120sin(5007it) est connectée à trois résistances en série.

R-, = 15 Q R2 = 25 Q

Figure 2-12 Exemple de diviseur de tension

R3 = 20 a

38

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

La résistance équivalente des trois résistances en série est égale à: Req = Ri + R2 + R3 - (15 + 25 + 20) Q = 60 Q Les tensions aux bornes de Ri, R2, et R3 sont données par la loi de diviseur de tension: R 1 \ T — 15 Req s 60

R2

\T

Re q s

—

25 120sin(5007it) = 50sin(5007it) 60

20 120sin(5007it) = 40sin(5007it) fD i v S = 60 eq équivalent série d’inductances En utilisant la même approche pour les résistances, on détermine l’équivalent de deux inductances connectées en série comme: (2-13)

Leq - L 1 + L2

Leq - L1 + L2

Figure 2-13 Équivalent série de deux inductances. Les tensions vi et v2 aux bornes des inductances en série sont données par la loi du diviseur de tension inductif: (2-14)

Li + L2

(2-15)

Li + L2 Généralisation: Équivalent série de plusieurs inductances Pour le cas de N inductances connectées en série, - l'inductance équivalente est égale à la somme de toutes les inductances: eq

N

(2-16)

- la tension aux bornes d’une inductance Lk est donnée par la loi du diviseur de tension, inductif: vk = _

xv eq

où v est la tension totale aux bornes des N inductances.

(2-17)

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

39

équivalent série de condensateurs En utilisant la même approche pour les résistances, on détermine Téquivalent de deux condensateurs connectés en série comme: C

ec*

=

C 1C2 Cj + 02

(2-18)

, 'e q

_ C1C2 C .,+ C 2

+ v2:

Figure 2-14 Équivalent série de deux condensateurs. Les tensions Vi et v2 aux bornes des condensateurs en série sont données par la loi du diviseur de tension capacitif: v' = c - T c T v

( 2 ' 19)

v2 = r 7 r ~ x v

(2' 20)

Généralisation: Équivalent série de plusieurs condensateurs Pour le cas de N condensateurs connectés en série, - le condensateur équivalent est donné par:

é eq - = è^ 1 + è 2 + " + ê -N

(2' 21)

- la tension aux bornes d’un condensateur Ck est donnée par la loi du diviseur de ten­ sion capacitif: vk

Ck

(2 - 22)

où v est la tension totale aux bornes des N condensateurs. 2.3.4 Équivalent parallèle d’éléments - Diviseur de courant équivalent parallèle de résistances Considérons deux résistances Ri et R2 connectées en parallèle tel que montré dans la figure 2-15. La même tension se retrouve aux bornes des deux résistances: v = Vj = v2

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

40

r

e(>

=

RlR2

R., + R0

Figure 2-15 Équivalent parallèle de deux résistances. À Taide des lois de Kirchhoff, on écrit: (2-23)

1 = li +lo = R l + R 2'

Cette relation v-i est identique à celle d'une résistance unique Req dont la valeur est donnée par la relation suivante: J _

R eq .

— + —

(2-24)

R 1R 2

(2-25)

Ri

R2

ou bien

eq

R l + R2

Le courant i à l'entrée est divisé en deux branches ij et i2. Chaque courant peut être calculé: (2-26) R i + R2 r i

(2-27)

x 1

R i+ R2

Ces relations constituent la loi du diviseur de courant. Généralisation: Équivalent parallèle de plusieurs résistances Pour le cas de N résistances connectées en parallèle, - la conductance équivalente est égale à la somme de toutes les conductances: G eq =

G 1+ G 2 + ...+ G

n

(2-28)

- le courant dans une résistance R^ estdonné par la loi du diviseur de courant 1,

k

où i est le courant total.

=

Rea

_JL£t x 1 =

Rk

Gk

— -

x1

G eq

(2-29)

41

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

Exemple 2-5 Diviseur de courant Une source de courant is = 1.5 A alimente trois résistances en parallèle.

'2 is =

1 .5

A

©

r 2

J r

^

13

^

=

i o n

r 2 =

20 a

R 3 =

50 Q

Figure 2-16 Exemple de diviseur de courant. La conductance équivalente des trois résistances en parallèle est donnée par: l

„

„

„

1

1

1

G' - = Rrq = G ' * G 2 t ° 3 “ i r ï C R ;

1 1_L 1 J_ J_ 10 + 20 + 50

17 ~ 100

On déduit la résistance équivalente: Req

Geq

100 = 5.882Q 17

Les courants dans R1? R2, et R3 sont donnés par la loi du diviseur de courant: R eq.

lj = ^R 1Ro £ R, Rq

5.882/ (1.5) = 0.882A 10

5.882 (1.5) = 0.441 A 20 = 5.882 (1.5) = 0.177A

50

équivalent parallèle d’inductances En utilisant la même approche pour les résistances, on détermine l’équivalent de deux inductances connectées en parallèle: t

_ eq"

L i L2

(2-30)

Li + L2

,

- L1L2 eq " l 1 + l 2

Figure 2-17 Équivalent parallèle de deux inductances. Les courants ij et i2 dans les inductances en parallèle sont donnés par la loi du diviseur de courant inductif:

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

42

ii =

io =

Li + L2

x1

(2-31)

(2-32)

Lj + L2

Généralisation: Équivalent parallèle de plusieurs inductances Pour le cas de N inductances connectées en parallèle, - Tinductance équivalente est donnée par: 1

(2-33) N

- le courant dans une inductance Lk est donné par la loi du diviseur de courant inductif. ik = ^ 3 x i

(2-34)

où i est le courant total. équivalent parallèle de condensateurs En utilisant la même approche que pour les résistances, on détermine l'équivalent de deux condensateurs connectés en parallèle: Ceq = C 1 + C2

(2-35)

Ceq ~ Ci +C2

Figure 2-18 Équivalent parallèle de deux condensateurs. Les courants ij et i2 dans les condensateurs en parallèle sont donnés par la loi du di­ viseur de courant capacitif: C, 'i h ~ Cj + c 2

Cl + c 2

(2-36)

(2-37)

Généralisation: Équivalent parallèle de plusieurs condensateurs Pour le cas de N condensateurs connectés en parallèle, - la capacité équivalente est égale à la somme des capacités: eq

Cj + C2 + ... + C N

(2-38)

43

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

- le courant dans un condensateur Ck est donné par la loi du diviseur de courant capa­ citif. (2-39) eq

où i est le courant total. 2.3.5 Équivalent “source de tension - source de courant99 Considérons un dipôle D (avec deux bornes A-B) composé d'une source de tension vs en série avec une résistance Rs.

-O A

■vV A

+

ô

Figure 2-19 Dipôle composé d'une source de tension en série avec une résistance.

v

-O B

La relation v-i du dipôle s'écrit: V

= Rsi + V s

(2-40)

Cette relation peut être exprimée sous forme: (2-41)

Dans cette dernière relation, chaque terme du deuxième membre représente un cou­ rant: R0

R0

courant dans une résistance Rs avec la tension à ses bornes égale à v,

= source de courant qui arrive au noeud A.

À partir de cette relation, on peut établir un circuit équivalent du dipôle D qui est cons­ titué d’une source de courant is en parallèle avec une résistance égale à Rs avec: (2-42) ls

Re r

n D Îv /R s V s/R sÇ

Figure 2-20 Dipôle équivalent composé d'une source de courant en parallèle avec une résistance.

i ^^

D

c. v H \

> R S

-o\f B i

Cette équivalence peut être appliquée dans les deux sens pour convertir «une source de tension en série avec une résistance» en «une source de courant en parallèle avec une résistance» et vice versa.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

44

La figure 2-21 montre l'équivalent source de tension-source de courant qui peut être uti­ lisé pour simplifier l'analyse des circuits complexes. i

-W S A -

^^

A------OA +

vs Q

'•G 5

v.r H \

> R S

/•V. -OB

-OB is = vs/Rs

1

Figure 2-21 Équivalent “source de tension-source de courant”.

2.4 Théorèmes de Thévenin et de Norton Les théorèmes de Thévenin et de Norton permettent de déterminer le circuit équivalen d’un dipôle. 2.4.1 Théorèm e de Thévenin Le circuit équivalent d'un dipôle D est constitué d'une source de tension vT en série ave• une résistance RT, avec: vT =

tension aux bornes du dipôle en circuit ouvert (lorsque le dipôle n’est pas connecté à un autre circuit), Rt = résistance équivalente du dipôle lorsque toutes les sources indépendantes du dipôle sont annulées. Rt

W \Avt

-A------OA +

Q

-O B

Figure 2-22 Équivalent de Thévenin. Remarque: • Source de tension de valeur 0 = court-circuit • Source de courant de valeur 0 = circuit ouvert

45

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

+ Ve = 0 V

:0 A

Figure 2-23 Annulation des sources de tension et de courant.

ô

Court-circuit

=

©

Circuit ouvert

2.4.2 Théorèm e de Norton Le circuit équivalent d'un dipôle D est constitué d'une source de courant iN en parallèle avec une résistance RN, avec: iN =

courant en court-circuit du dipôle (courant qui circule dans un court-circuit reliant les deux bornes du dipôle), Rn = résistance équivalente du dipôle lorsque toutes les sources indépendantes du dipôle sont annulées. i

O A

A ------OA

+ v

-------- O B

Figure 2-24 Équivalent de Norton. On peut remarquer que: - la résistance Thévenin RT et la résistance Norton RN sont identiques, - la source Thévenin et la source Norton sont reliées par: vT = RTiN . Exemple 2-6 Équivalents Thévenin et Norton d’un dipôle Considérons le dipôle D montré dans la figure 2-25. Dipôle D

Figure 2-25 Un dipôle contenant une source de tension et des résistances. vs = 120 V

Nous allons déterminer les équivalents Thévenin et Norton de ce dipôle en utilisant les définitions données plus haut.

46

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

La résistance Thévenin (ou la résistance Norton) du dipôle est la résistance équivalente vue aux bornes AB lorsque toutes les sources indépendantes du dipôle sont annulées: Rt

=

r n

= (1 5 0 0 II 100Q) = 6 0 Q . 150 Q OA



60Q -O B

iN - 0.8 A (b)

Figure 2-29 Équivalents Thévenin et Norton du dipôle D. (a) Équivalent Thévenin. (b) Équivalent Norton.

2.5 Transfert maximal de puissance Dans cette section, on considère le problème d’optimisation du transfert de puissance d’une source vers une charge résistive. Soit une source qui alimente une charge résistive Rch. On peut représenter la source par son équivalent Thévenin qui comprend une source de tension vT en série avec une résistance RT. Charge

Source^

Figure 2-30 Une source qui alimente une charge résistive. Le courant dans la charge est égale à: (2-43) + R ch

r t

La puissance dans la résistance Rch est égale à: (2-44)

Rch R T + R cli

On peut remarquer que cette puissance varie en fonction de la valeur de RchLa dérivée de Pch par rapport à Rch est donnée par: d p ch _ , 2

d R ch ~ "

R t - R cH

T'

( r t + Rch)

(2-45)

48

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

La puissance dans la charge est maximale lorsque

dP4

ch = 0 , c’est à dire lorsque Rch ch

= Rt . La puissance maximale dans la charge sera: v; p ch( m a x ) =

(2-46)

4Rt

La figure 2-31 montre la puissance Pch dissipée dans la charge en fonction de la résis­ tance de charge Rc^. ch

pch( max) =

'ch

Figure 2-31 La puissance dans Rch en fonction de R^.

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

2.6

49

Linéarité des circuits électriques - Principe de superposition 2.6.1 Définition de système linéaire Un système effectue une opération sur le signal d'entrée x pour donner le signal de sor­ tie y. Système Sortie

y

F = opération effectuée par le système sur le signal d’entrée

Figure 2-32 Un système est défini par l'opération qu'il effectue sur le signal d'entrée. Un système est défini par la relation entre la sortie y et l'entrée x: y = F(x)

(2-47)

Un système est dit linéaire si la relation entre la sortie y et l'entrée x possède les carac­ téristiques suivantes: • Si l’entrée est multipliée par une constante a, la sortie sera multipliée par la même constante: Si x => y alors ax => ay • Si l’entrée est égale à une somme (x!+x2), la sortie sera égale à une somme (yi+y2), avec yi est la sortie correspondante à x 1; et y2 est la sortie correspondante à x2: Si

Xi => yi ET x2 => y2

x ^ x 2 => yi+y2

alors

Ces deux caractéristiques peuvent être combinées en une seule qui s’énonce comme suit: Un système est linéaire si une combinaison linéaire de plusieurs fonctions appliquée à l’entrée produira à la sortie la même combinaison linéaire des sorties prises individuel­ lement: Si Xi => y! ET x2 => y2 alors ax1+bx2 => ay!+by2 Exemple d’un système linéaire Considérons un système dont la relation entre l’entrée la sortie y et l’entrée x est: dx y = dt

x ------ >

Figure 2-33 Un système linéaire.

y=y

dt

Nous vérifions le fonctionnement du système: x=> ^ dt

alors

ax => ~ [a x ] = a ^ dt dt

Nous constatons que si l’entrée est multipliée par une constante «a» la sortie est multi­ pliée par cette même constante.

50

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Continuons avec la deuxième propriété: xi 1

dxi dx2 => —— et x2 => —r— dt * dt d

dxi

alors (xj+xa) => ^ [ x j +x2] = _

dx2

+_

Nous constatons que si l’entrée est la somme de xj_ et x2, la sortie est la somme des dxi dx2 deux sorties individuelles — - et — - . dt dt Donc, ce système est un système linéaire parce qu’il possède les deux propriétés requi­ ses. Exemple d’un système non linéaire Considérons un système dont la relation entre l’entrée la sortie y et l’entrée x est:

y=x Figure 2-34 Un système non linéaire.

,

Nous vérifions le fonctionnement du système: x2

ax => (ax)

alors

x => x2

2 2

= a x * ax

2

Nous constatons que si l’entrée est multipliée par une constante «a» la sortie n’est pas multipliée par cette même constante. Continuons avec la deuxième propriété: 2

2

xj => x-^ et x2 => x2 alors

(x1+x2) => (xj_ + x2)

2

2

2

= x 1 + x2 + 2x xx2 * Xj_ + x 2

2

2

Nous constatons que si l’entrée est la somme de xj_ et x2, la sortie n’est pas égale à la

2

2

somme des sorties individuelles x 1 + x 2 . Donc, ce système n’est pas un système linéaire parce qu’il ne possède pas les deux pro­ priétés requises.

2.6.2 Linéarité des circuits électriques On peut démontrer que les éléments R, L, C, transformateur idéal, et les sources com­ mandées sont des éléments linéaires. Résistance: v = Ri - Étant donné vj_ = R^ et v2 = Ri2 - Si i = aii + bi2 alors v = R(aij + bi2) = aRii + bRi2 = avj + bv2

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

Inductance: -------------

v =

- Etant donné v, 1

51

dt dii di9 =L—- etv0 =L—dt 2 dt

dii di9 - Si i = aij + bi2 alors v = L ^ (a ii + bi2) = aL—— + bL—^ = avi + bv9 dt dt 1 2 Condensateur: i = C ^ ----------------- Etant donné

dt

dvi ii = C— - et 1 dt

dv9 i9 = C— 2 dt

d dvi dv9 - Si v = avi + bv9 alors i = C—-(av, + bv9) = aC— - + bC— ^ = aii + bi0 dt 1 2 dt dt 1 2 Transformateur idéal:

vp = avs et ip = is/a

- Ces relations sont des relations linéaires parce que «a» est une constante. Sources commandées: - Dans une source commandée, la relation entre la sortie et rentrée est linéaire parce que la multiplication par une constante est une opération linéaire. On peut constater que les circuits électriques qui contiennent seulement des éléments R, L, C, des transformateurs idéals et des sources commandées sont des combinaisons d’éléments linéaires. Les variables dans ces circuits respectent les lois linéaires (lois de Kirchhoff). Par conséquent, ces circuits électriques sont des systèmes linéaires.

2.6.3 Principe de superposition Le principe de superposition découle directement des propriétés des systèmes linéaires. Pour les circuits électriques linéaires, ce principe s’énonce comme suit. Lorsqu’un circuit électrique linéaire est excité par plusieurs sources, l’analyse du cir­ cuit peut être effectuée en considérant une seule source à la fois, les autres sources étant annulées. La réponse totale sera égale à la somme de toutes les réponses indivi­ duelles.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

52

Exemple 2-7 Analyse d’un circuit électrique par la superposition Soit le circuit montré dans la figure 2-35. On désire calculer la tension vx aux bornes de la résistance 150 Q. L = 1.5A

Figure 2-35 Un circuit alimenté par deux sources différentes. Réponse due à la source vg seule On annule la source de courant is en la remplaçant par un circuit ouvert, comme illustré dans la figure 2-36.

vs =120v Q

Figure 2-36 Réponse due à la source vs seule.

On calcule la tension vxl en appliquant successivement deux fois la loi du diviseur de tension: Vxl où:

150 (1 5 0 + 5 0 ) XVab

vAB = ---- 5*5---- xv

avec RAB =

(r a b + 1 0 ° )

100(150 + 50) Q _ 66 67a (100+ 150 + 50)

Alors: vv1 = ----— --- X----- 66,67---- x 120V = 36V xl (150 + 50) (66.67+100) Réponse due à la source iRseule On annule la source de tension vs en la remplaçant par un court-circuit, comme illustré dans la figure 2-37. La tension vx2 est égale à 150ix2. On calcule le courant ix2 en appliquant la loi du diviseur de courant: -50 [(100 II 100)+ 150] + 50

„ .

53

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

Alors: v 9 = 150 X 1^2 x 1.5A = -45V x2 250 is = 1.5 A [— < 9 - ------- 1 100 a ------ v W ------ 100 Q

v .= 100 V

a) Déterminer la résistance équivalente vue par la source vs. b) Utilisant les lois du diviseur de tension et du diviseur de courant, déterminer les cou­ rants et les tensions dans chaque résistance du circuit.

56

2.4

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Soit le circuit résistif montré dans la figure E2.4.

50 Q

Figure E2A

80 Q

a) Déterminer la résistance équivalente vue par la source de courant is. b) Utilisant les lois du diviseur de tension et du diviseur de courant, déterminer les cou­ rants et les tensions dans chaque résistance du circuit.

2.5

Soit le circuit résistif montré dans la figure E2.5.

Figure E2.5 a) Déterminer l’équivalent Thévenin de la partie gauche (bornes a-b) du circuit. b) À l’aide du résultat de a, déterminer le courant ix.

2.6

Soit le circuit résistif montré dans la figure E2.6.

Figure E2.6 a) Déterminer l’équivalent Thévenin de la partie gauche (bornes a-b) du circuit. b) À l’aide du résultat de a, déterminer le courant ix.

57

Chapitre 2 Lois et théorèmes de circuits

2.7

Soit le circuit résistif montré dans la figure E2.7.

Figure E2.7 a) Déterminer l’équivalent Thévenin vu aux bornes a-b du circuit (sans la résistance Rx). b) À l’aide du résultat de a, déterminer le courant ix.

2.8

Soit le circuit résistif montré dans la figure E2.8.

Figure E2.8 a) Déterminer l’équivalent Thévenin vu aux bornes a-b du circuit (sans la résistance Rx). b) À l’aide du résultat de a, déterminer la tension vx.

2.9

Soit le circuit résistif montré dans la figure E2.9. Ri

-WSA35 Q

vs Q

VsAA150 Q

^2

(n-1) équations de courants

^ 2b équations

m équations de tensions

Figure 3-3 Le nombre d'équations à écrire est égal à deux fois le nombre de branches.

62

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

En insérant les b relations v-i dans les équations de courants et de tensions, on obtien­ dra b équations à b inconnues (b tensions ou b courants) que Ton doit résoudre. Exemple 3-1

Équations d’équilibre avec la méthode de base (méthode longue)

Considérons le circuit montré dans la figure 3-4. R5

Îr

Rc

(a) Figure 3-4 Formulation des équations d'équilibre par la méthode de base, (a) Circuit, (b) Circuit de base. Le circuit de base est obtenu en annulant les deux sources vs et is. À l'aide du circuit de base, on peut identifier: • nombre de branches b = 5 • nombre de noeuds n = 3 • nombre de mailles m = 3 Les équations d’équilibre du circuit sont:

v, = L

5 relations v-i

di 1 dt di0 dt 3l 3

dvA l4 = C4-dT v 5 = R 5i 5

2 équations de courants

i l - i2 + U = °

au noeud b au noeud c

3 équations de tensions

V1+ v 2 + v5 = U

dans la maille abc

v2 + v 3 + v4 = 0

dans la maille bcd

Vi - V 4 = v 0

dans la maille abd

En insérant les 5 relations v-i des éléments dans les équations de courants et de ten-

63

Chapitre 3 Formulation des équations d'équilibre

sions, on obtiendra un système de 5 équations à 5 inconnues que Ton doit résoudre:

c ; J v ' dt- c ; H , t C ^ 1 f l

2

n

V3 -

R

3 -

= 0

v5 _ R

5

-

ls

V1+ v 2 + v5 = 0 V2 + V3 + y 4 = 0

Minimisation du nombre d’équations La méthode de formulation des équations d’équilibre d’un circuit que nous venons de voir est simple et directe. Cependant, le nombre d’équations à écrire (et à résoudre) est grand (égal au nombre de branches du circuit). Il est possible de réduire le nombre d’équations à écrire pour un circuit donné en choi­ sissant un ensemble de variables indépendantes en fonction desquelles les variables du circuit peuvent être exprimées. Les équations d’équilibre du circuit seront établies en fonction de ces variables indépendantes dont le nombre est réduit par rapport au nom­ bre de branches. C’est précisément le principe des deux méthodes que l’on expliquera dans les deux prochains paragraphes: méthode des noeuds et méthodes des mailles. Dans la méthode des noeuds, on choisit un ensemble de (n-1) tensions indépendantes et on écrit (n-1) équations de courants aux (n-1) noeuds du circuit. Le nombre d’équa­ tions sera donc égal à (n-1). Dans la méthode des mailles, on choisit un ensemble de m courants indépendants et on écrit m équations de tensions dans les m mailles du circuit. Le nombre d’équations sera donc égal à m. Pour minimiser l’effort de calcul, on devrait choisir la méthode qui donne le plus petit nombre d’équations.

3.3 Méthode des noeuds Considérons le circuit de base montré dans la figure 3-5.

b=7 n=4 m=4

Figure 3-5 Méthode des noeuds: choix des tensions nodales dans le circuit de base.

64

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

On choisit un noeud arbitraire comme noeud de référence (noeud d par exemple). Le potentiel du noeud de référence est considéré nul: vd = 0. Les tensions entre les autres noeuds et le noeud de référence sont définies comme les tensions nodales du circuit: v a = v ad = v a v b = v bd = v b v c = v cd = V

<

II

V1

1 <

Les tensions dans les branches du circuit peuvent être exprimées en fonctions des ten­ sions nodales:

v2 = va

=

1 <

o

< en

=

> 1

V6

=

O >

v4

<

v 3 = vb

vc

v7 = - va

Ainsi, les tensions nodales forment un ensemble de tensions indépendantes en fonction desquelles les équations d’équilibre du circuit peuvent être établies. Pour un circuit de n noeuds, le nombre de tensions nodales est égal à (n-1) qui est plus petit que b. Les inconnues sont les (n-1) tensions nodales. Les équations à écrire sont les (n-1) équations de courants appliquées aux (n-1) noeuds du circuit. Les étapes de la méthode des noeuds sont: a. Définir les (n-1) tensions nodales va, vb, vc, ... b. Exprimer les tensions dans les branches en fonction des tensions nodales c. Écrire (n-1) équations de courants pour les (n-1) noeuds d. Insérer les relations v-i des éléments et les équations de l’étape b dans les équa­ tions de courants de l’étape c On obtient ainsi un ensemble de (n-1) équations avec (n-1) inconnues qui sont les (n1) tensions nodales.

Exemple 3-2

Équations d’équilibre d’un circuit résistif avec la méthode des noeuds

Considérons le circuit résistif montré dans la figure 3-6. Nous utilisons la méthode des noeuds pour établir les équations d’équilibre du circuit. - À l’aide du circuit de base, on détermine 5 branches, 3 noeuds et 3 mailles. On choisit le noeud c comme noeud de référence. - On définit les deux tensions nodales va et vb.

65

Chapitre 3 Formulation des équations d'équilibre

R! = 50 n R2 = 250 n R3 = 100Q r 4=

200

r 5 = 50

n

n

vs = 80 V is = 1.2 A vs2= 120 V

Figure 3-6 Méthode des noeuds appliquée à un circuit résistif. - On exprime les tensions dans les branches en fonction des tensions nodales: V1 = vs " va

v2 = va (3-2)

v3 = va ~ vb V 4 = Vb v 5 = v b " v s2

- On écrit les équations de courants aux noeuds a et b: i i —i0 —

= ie

lo —ld, —le —

au noeud a

(3-3)

au noeud b

(3-4)

On écrit les relations v-i des éléments: 11

Ri "1

1o

=

Ro xx2

R4 AX4

R*3 1X

Rc

- On remplace ces relations v-i dans les équations de courants: _^3 = Rl

r

3

R2 R3

r

4

r

•

(3-5)

*»

(3-6)

5

- On remplace les relations (3-2) dans les équations (3-5) et (3-6): 'b R

Ro

Va-Vj, R-3

s2 Rz.

(3-7)

R,

R*

= -i.

(3-8)

Ces deux dernières équations constituent les équations d’équilibre du circuit, Elles peuvent être exprimées sous la forme suivante:

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

66

rS52■ +'

( r ) v* + ( r 3 + R4 + r ) v*

(3-10)

i«

Ou sous forme matricielle:

1 Ri

i

1 R3

1 R3 1 1 + r 4 ' Rc R3

i

■R3

Ri

(3-11)

_s2 ■+ 1< Rt

Avec les valeurs numériques, cette équation devient: 1 1 1 50 + 250 + 100

__1_ 100

__ 1_

1. 6

100 1 1 1 100 + 200 + 50

-

1.2

(3-12) 2.4+ 1.2

ou bien: 0.034 -0.01 va -0.01 0.035 _vb

0.4 3.6

(3-13)

En résolvant pour va et vb, on obtient: 0.4 -0.01 3.6 0.035

= ‘+D.O / V

0.034 0.4 -0.01 3.6 Vb = b

0.035

i p

0.035

b

0.034 -0 .0 1

i o

0.034 -0 .0 1

= 115.96V

Les tensions aux bornes des éléments du circuit sont calculées à partir de va et vb à l’aide des relations (3-2). Les courants dans les éléments du circuit sont calculés à partir de va et vb: vs " va

Ri 1q —

Ro Rq

Ra

80-45.87 = 0.683A 50

45.87 = 0.183A 250

100

= -0.701 A

115.96 = 0.580A 200

vb- v,s2 _ 115.96-120 = -0.081 A 50 R.

Chapitre 3 Formulation des équations d'équilibre

Exemple 3-3

67

Équations d’équilibre d’un circuit général par la méthode des noeuds

Considérons le circuit montré dans la figure 3-7. R5

'5

^5

Figure 3-7 Établissement des équations d'équilibre par la méthode des noeuds. (a) Circuit: choix des tensions nodales. (b) Circuit de base. - À l’aide du circuit de base, on détermine 5 branches, 3 noeuds et 3 mailles. On choisit le noeud d comme noeud de référence. - On définit les deux tensions nodales vb et vc. - On exprime les tensions dans les branches en fonction des tensions nodales: V,

= V

-V K

Vo = V K - V 0

(3-14)

- On écrit les équations de courants aux noeuds b et c: 11- 12+14 = °

au noeud b

(3-15)

12- i 3 - i 5 = - i s

au noeud c

(3-16)

- On écrit les relations v-i des éléments:

‘- è f

Vjdt

1q =

dv4

dt

R,

"dt"

R.

On remplace les relations v-i dans les équations de courants: _L f v j d t - — fv2d t + C ^ i = 0 LjJ 1 L2J 2 dt

(3-17)

l f V2d t - ÿ - ÿ = - i s L J R3 R5 ■"o 1J

(3- 18)

3

5

- On remplace les relations (3-14) dans les équations (3-17) et (3-18):

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

68

q J(v, -

(3-19)

- j - J

_J_

R3

Avec les valeurs numériques, on a:

__1_ ( 1 - 0.6)

200

1 1 200 + 400

1 "200

30 50

(3-64)

0.15

ou bien: 1 va

Vb

0.24 0. i 5

(3-65)

En résolvant cette équation matricielle, on obtient va = 17.288V

et

vb = 31.525V

Les tensions et courants du circuit peuvent être calculés à partir des tensions nodales va et vb. Exemple 3-7

Détermination de l’équivalent Thévenin d’un dipôle contenant une source commandée Considérons le dipôle montré dans la figure 3-16.

Figure 3-16 Un dipôle contenant une source commandée. On désire déterminer l’équivalent Thévenin vu aux bornes a-b du dipôle.

Chapitre 3 Formulation des équations d’équilibre

79

Ce dipôle contient une source commandée de telle sorte qu’on ne peut déterminer l’équivalent Thévenin par la méthode classique (calcul séparé de RT et VT). Par contre, on peut obtenir l’équivalent Thévenin du dipôle en déterminant la relation entre la ten­ sion vab et le courant ia. Pour ce faire, on connecte aux bornes a-b une source de ten­ sion vab et on calcule le courant ia en fonction de vab, comme illustré dans la figure 317.

Figure 3-17 Une source de tension est connectée aux bornes a-b du dipôle. On définit V ± comme la tension nodale du circuit. L’équation d’équlibre du circuit est obtenue par la méthode des noeuds: ["1 1 1 1„ Vs [50 + 100 + lOOj 1 " 50

V;ab

(3-66)

1+ 10 1

V ii1 = 1 0 0 *

Mais:

Alors, l’équation (3-66) devient:

rJ _ + J _ + J _ i v = ^50 - 2 lio l il ï +^ [.50 100 2 5 J 1 cy 25

(3-67)

ab f j _ J _ J_ _ 2 _ lv _ ^ L50 + 100 + 25 + 100J 1 50 + 25

(3-68)

9Vj = 2vs + 4vab

(3-69)

Ou encore:

On déduit:

V, = ±v. + ?v.ab

Le courant ia est donné par: v ab

= 200

v ab

^1

v ab , V ab

^ ------ 1 = onn200 25

ia = 0.045vab0- .06|^-vs + 9 5v ab)

^1

n f ^1 ^

n n/i c

n na\r

ôq----------It7vv 25 100^= 0.045vab-0.06VJ = 0. 0183vab-0.0133vs

À partir de cette relation, on peut écrire: vab = 54.545ia + 0.727vs On peut identifier dans cette relation la résistance Thévenin RT et la source Thévenin

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

80

VT: Rt = 54.545 Q VT = 0.727vs Remarque: Pour déterminer la relation v-i du dipôle, au lieu d’utiliser une source de tension, on peut aussi connecter aux bornes a-b une source de courant ia et calculer la tension vab résultante en fonction de ia. Exemple 3-8

Équations d’équilibre d’un circuit général avec une source com­ mandée Considérons le circuit montré dans la figure 3-18.

r H W —

v — sAAA

Figure 3-18 Un circuit général avec une source commandée. En considérant que toutes les sources sont indépendantes, nous établissons les équa­ tions d’équilibre par la méthode des noeuds:

(3-70)

La source de courant commandée est égale à aii où ^ est donné par: (3-71) En remplaçant la relation (3-71) dans l’équation (3-70), nous obtenons:

81

Chapitre 3 Formulation des équations d'équilibre

Exemple 3-9 Équations d’équilibre d’un circuit résistif avec un AMPLI OP Soit un circuit résistif avec un ampli opérationnel montré dans la figure 3-19.

Ampli Opérationnel R1 = 5 kQ

Ay = 100000

R2 = 15 kQ

Ri = 1 MQ

R3 = 20 kQ

Figure 3-19 Un circuit résistif avec un amplificateur opérationnel On obtient le circuit équivalent du système en remplaçant l’AMPLI OP par son modèle simple comme illustré dans la figure 3-20.

R1 = 5 kQ R2 = 15 kQ R3 = 20 kQ

Figure 3-20 Circuit équivalent obtenu en remplaçant VAMPLI OP par son modèle simple. On établit les équations d’équilibre en utilisant la méthode des noeuds: r

1

—

—

+ —

-,

V 1

R 1 + R 2 + R i

R 2

1 — _ R 2

Mais:

R 2

+ — R

+ — R 3

o

vs

=

(3-74)

R 1 A vV i

_v o L

r o

J

vi = -Vj

Alors, l’équation (3-74) devient:

J_

_L

_L Ro

R 1+ R2 + Ri _ j_

K

R2 + R

j_ o

R2 + R

j_ o

R,

+ R 3

En remplaçant les valeurs numériques dans cette équation, on obtient:

(3-75)

82

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

2.6766x10 4 -6.6666x10 5 1333.3332666 0.01345

(3-76)

5000 0

La résolution de cette équation matricielle donne: vj = 0.0003vs

et

v0 = -2.99875vs

En utilisant un modèle plus simple pour l’ampli opérationnel, on peut réduire le nom­ bre de tensions nodales à 1. La figure 3-21 montre le circuit équivalent obtenu avec un modèle plus simple.

R1 = 5 kQ R2 = 15 kQ R3 = 20 kQ

Figure 3-21 Un circuit équivalent plus simple avec une seule tension nodale. La seule tension nodale dans ce cas est v^. 1

On écrit:

A vv i

i

vs

Ri " R2 Vl = i

ou bien:

1

Vi = R

Ri + r 2 Ri

Cette équation donne:

(3-77)

(3-78)

(3-79)

1 ( 1+Av

R1

On déduit:

v

R2

VRi---= -A„V t = --------v 1 1 1+AV Ri

R2

Avec Av = 100000 ( » 1), on peut approximer vGcomme:

(3-80)

83

Chapitre 3 Formulation des équations d'équilibre

Analyse simplifiée avec un ampli op idéal Le circuit considéré dans cet exemple peut être analysé de façon encore plus simple en utilisant un modèle idéal pour l’ampli op. Ampli Opérationnel idéal Av = oo Ri = 00

Figure 3-22 Un circuit résistif avec un amplificateur opérationnel idéal. On obtient le circuit équivalent du système en remplaçant l’AMPLI OP par son modèle idéal comme illustré dans la figure 3-23.

R ï = 5 kQ R2 = 15 kQ R3 = 20 kQ

Figure 3-23 Circuit équivalent obtenu en remplaçant VAMPLI OP par son modèle idéal. Car Av = oo, la tension d’entrée V j de l’ampli op est égale à 0. Cela signifie que le noeud a est au même potentiel que la masse: va ~ 0

(À remarquer que la tension du noeud a est zéro mais il n’est pas relié à la masse.) Au noeud a, on a: Ou bien:

i 1 = i2 o 2

On déduit:

-R

85

Chapitre 3 Formulation des équations d'équilibre

Exercices 3.1

Soit le circuit montré dans la figure E3.1.

Figure E3.1 a) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode directe (méthode lon­ gue). b) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds. c) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des mailles. d) Comparer le nombre d’équations obtenues avec les trois méthodes.

3.2

Soit le circuit montré dans la figure E3.2.

a) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode directe (méthode lon­ gue). b) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds. c) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des mailles. d) Comparer le nombre d’équations obtenues avec les trois méthodes.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

86

3.3

Soit le circuit montré dans la figure E3.3.

a) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds. b) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des mailles. c) Comparer le nombre d’équations obtenues avec les deux méthodes.

3.4

Soit le circuit montré dans la figure E3.4. Ri

a

r3

+< v2!

Av<

R4

A W

- V A ----?----- W V

•o



Figure E3.4 a) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds. b) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des mailles. c) Comparer le nombre d’équations obtenues avec les deux méthodes.

3.5

Soit le circuit montré dans la figure E3.5.

Figure E3.5 a) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds. b) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des mailles. c) Comparer le nombre d’équations obtenues avec les deux méthodes.

Chapitre 3 Formulation des équations d'équilibre

3.6

Soit le circuit montré dans la figure E3.6.

a) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds. b) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des mailles. c) Comparer le nombre d’équations obtenues avec les deux méthodes.

3.7

Soit le circuit montré dans la figure E3.7. Li

Figure E3.7 a) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds. b) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des mailles. c) Comparer le nombre d’équations obtenues avec les deux méthodes.

3.8

Soit le circuit montré dans la figure E3.8.

Figure E3.8 a) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds. b) Écrire les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des mailles. c) Comparer le nombre d’équations obtenues avec les deux méthodes.

87

88

3.9

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Soit le circuit résistif montré dans la figure E3.9. 150 Q

Figure E3.9 a) Établir les équations d’équilibre du circuit utilisant la méthode de noeuds. b) Établir les équations d’équilibre du circuit utilisant la méthode des mailles. c) À l’aide des résultats de a ou b, déterminer le courant ix.

3.10

Soit le circuit résistif montré dans la figure E3.10. 75 Q

Figure E3.10 a) Établir les équations d’équilibre du circuit utilisant la méthode des noeuds. b) Établir les équations d’équilibre du circuit utilisant la méthode des mailles. c) À l’aide des résultats de a ou b, déterminer le courant ix.

89

Chapitre 3 Formulation des équations d'équilibre

3.11

Soit le circuit résistif montré dans la figure E3.11.

a) Déterminer l’équivalent Thévenin de la partie gauche (bornes a-b) du circuit. b) À l’aide du résultat de a, déterminer la tension v2 en fonction de vs.

3.12 Soit le circuit résistif montré dans la figure E3.12. a

ix

50 Q

■ o -^ W V

VsÔ

251, b 50 n -o— V v V Figure E3.12

a) Établir les équations d’équilibre du circuit utilisant la méthode des mailles. Calculer le courant ix. b) Déterminer la résistance équivalente vue par la source vs aux bornes a-b.

3.13 Soit le circuit montré dans la figure E3.13. R2 Ampli Opérationnel R1 = 1 kQ R2 = 15 kQ r3 =

1 kQ

r4 =

5 kQ

Av = 100000 Ri = 1 MQ

Figure E3.13 a) Établir les équations d’équilibre du circuit utilisant la méthode des noeuds. (On considè­ re que l’ampli op est idéal.) b) Déterminer le gain en tension A = v0/vs. c) Déterminer la tension de sortie v0.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

90

3 .1 4

Soit le circuit montré dans la figure E3.14. R4 Ampli Opérationnel R1 = 1 kQ r2

= 5 kQ

r3 = r4

Av = 100000 Ri = 1 MQ

1 kQ

= 5 kQ

r5 =

1 kQ

Figure E3.14 a) Établir les équations d’équilibre du circuit utilisant la méthode des noeuds. (On considè­ re que l’ampli op est idéal.) b) Déterminer la tension de sortie vQen fonction de vsl et vs2. Quelle est la fonction de ce circuit?

Chapitre 4 Fonctions d'excitation

91

Chapitre 4 FONCTIONS D’EXCITATION Dans ce chapitre, les fonctions mathématiques utilisées pour modéliser les sources d’excitation des circuits électriques sont étudiées.

4.1 Excitations électriques Les excitations électriques sont des fonctions du temps. Elles peuvent être classées en deux grandes catégories: excitations apériodiques et excitations périodiques. Les excitations apériodiques sont les excitations qui ne se répètent pas. La figure 4-1 illustre quelques exemples d’excitations apériodiques. / 12 V

0 -5 V

1

3

6

Figure 4-1 Exemples d'excitations apériodiques.

>

92

CIRCUITS ÉLECTRIQUEt

Les excitations périodiques sont les excitations qui se répètent à intervalles réguliers La figure 4-2 illustre quelques exemples d’excitations périodiques.

Figure 4-2 Exemples d'excitations périodiques.

Les circuits contenant les éléments R, L, C, transformateurs idéals et sources comman dées sont des circuits linéaires auxquels on peut appliquer le principe de superposi tion. Il est donc possible de décomposer une excitation complexe en une somm d’excitations simples que l’on peut considérer individuellement. La réponse totale sen égale à la somme des réponses à des excitations individuelles. Pour décomposer une excitation apériodique, on utilise les fonctions singulières telle que l’impulsion, l’échelon, la rampe, etc. Pour décomposer une fonction périodique, on utilise les fonctions exponentielles et le fonctions sinusoïdales.

Chapitre 4 Fonctions d'excitation

93

4.2 Fonctions singulières Dans l’analyse transitoire des circuits électriques, on utilise habituellement une famille de fonctions singulières comprenant l’échelon unitaire, l’impulsion, la rampe, ... com­ me fonctions d’excitation. 4.2.1 Échelon unitaire Véchelon unitaire u(t) est une fonction discontinue du temps définie comme: u(t) =

0 pour t < 0 1 pour t> 0

(4-1)

u(t)

/N

-> t

Figure 4-3 Échelon unitaire. L’échelon unitaire est utilisé pour modéliser une excitation qui change brusquement de valeur à un instant donné. Considérons par exemple le système électrique illustré dans la figure 4-4.

(a)

(b)

Figure 4-4 Modélisation d'une source continue appliquée brusquement à t = 0. (a) Source continue appliquée à t = 0. (b) Modèle, (c) Formes d'ondes.

94

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Dans ce système, le commutateur S est à la position 1 depuis longtemps. À l’instant t = 0, S change de position de 1 à 2. La tension aux bornes A-B change brusquement de valeur de 0 à E à l’instant t = 0. L’ensemble de la source continue E et le commutateur S peut être représenté par une source de tension échelon vs(t) = Eu(t). Une excitation f(t) appliquée brusquement à t = 0 peut être représentée par x(t) = f(t)u(t). Un exemple est illustré dans la figure 4-5 où le commutateur S change brusquement de position de 1 à 2 à l’instant t = 0. 2 s f 0 vmœs(o)t) Ç y w

, ,

y 1

1 1 11 i (a)

(b)

(c) Figure 4-5 Modélisation d'une excitation sinusoïdale appliquée brusquement à t = 0. (a) Source sinusoïdale appliquée à t = 0. (b) Modèle, (c) Formes d'ondes.

Un échelon qui commence à t = îq est exprimé comme u(t-to). Une excitation f(t) appliquée à t = t0 est représentée par f(t)u(t-to). Une excitation f(t) retardée de t0 et appliquée à t = t0 est représentée par f(t-t0)u(t-t0)• La figure 4-6 illustre ces différentes fonctions d’excitation.

95

Chapitre 4 Fonctions d'excitation

u(t-to)

>

t

4.2.2 Im pulsion unitaire L’impulsion unitaire 5(t) est une fonction du temps définie comme la dérivée de l’échelon unitaire: S(t) = ^ [u (t )]

(4-2)

Les propriétés de 5(t) sont: - elle est nulle pour tout t, excepté à t = 0, - elle est infinie à t = 0, - sa surface est égale à 1. L’échelon unitaire u(t) est égale à l’intégrale de l’impulsion 5(t): 5(x)dx = u(t) 0

(4-3)

Lors qu’on multiplie 5(t) par une constante A, on obtient une impulsion de surface A:

L

A5(x)dx = Au(t)

(4-4)

La fonction A8(t) est nulle pour tout t, excepté à t = 0, est infinie à t = 0, et possède une surface égale à A.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

96

f Aô(t) A

-> t

-> t

Figure 4-7 Fonctions impulsions S(t) et AS(t). Considérons une fonction continue du temps f(t). Le produit f(t)5(t) est nul pour tout t, excepté à t = 0. Nous avons:

1f(x)5(x)dx = f(0)u (t)

(4-5)

On déduit: (4-6) Alors, le produit d’une fonction continue f(t) et l’impulsion 5(t) donne une impulsion de surface égale à la valeur de la fonction f(t) à t = 0. y|\ f(t)ô(t)

m ->t

>t

->t

Figure 4-8 Multiplication d’une fonction f(t) et l'impulsion S(t).

4.2.3 Rampe unitaire La rampe unitaire r(t) est définie comme l’intégrale de l’échelon unitaire u(t): r(t) = f u(t)dt 00

(4-7)

La rampe unitaire est une droite de pente 1, qui commence à t = 0: r(t) =

0 pour t < 0 t pour t > 0

(4-8)

On écrit aussi: r(t) = tu(t)

(4-9)

Chapitre 4 Fonctions d'excitation

97

4.3 Fonctions apériodiques Les fonctions d’excitation apériodiques peuvent être décomposées en des sommes de fonctions singulières. Diverses techniques de décomposition sont illustrées dans les exemples qui suivent.

Exemple 4-1

Décomposition d’une impulsion carrée en une somme d’échelons

Figure 4-10 Décomposition d'une impulsion carrée. Nous écrivons:

Exemple 4-2

f(t) = 5u(t) - 5u(t-2)

Décomposition d’une excitation en une somme de rampes

Figure 4-11 Décomposition d'une excitation en une somme de rampes. Nous écrivons:

f(t) = 2.5r(t) - 2.5r(t-2)

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

98

Exemple 4-3

Décomposition d’une excitation en une somme d’échelons et de rampes

Figure 4-12 Décomposition d'une excitation en une somme de fonctions singulières. Nous écrivons: Exemple 4-4

f(t) = 5r(t) -lOu(t-l) - 5r(t-2) Décomposition d’une excitation en une somme d’échelons et de rampes

Figure 4-13 Décomposition d'une excitation en une somme de fonctions singulières. Nous écrivons:

f(t) = 1.5r(t) + 3u(t) -6u(t-2) - 1.5r(t-2)

4.4 Fonctions exponentielles Une fonction exponentielle complexe du temps est une fonction de la forme suivante: x(t) = Xest

(4-10)

où

X = |X | est l’amplitude complexe, s = a + jco est la fréquence complexe. Nous pouvons aussi exprimer la fonction exponentielle x(t) sous la forme suivante: x(t) = |X|eJ(*>e(cr +jc£>)t = |X|eCTtej(“ t + W

(4-11)

La fréquence complexe s comprend une partie réelle et une partie imaginaire: • la partie réelle aest définie comme la fréquence népérienne. Elle représente le taux de variation del'amplitude de x(t). Elle a comme dimension neper/s. Lorsque a < 0, on l’appelle facteur d'atténuation.

Chapitre 4 Fonctions d'excitation

99

• la partie imaginaire co est définie comme la fréquence angulaire. Elle représente le taux de variation de la phase de x(t). Elle a comme dimension rad/s. La fréquence angulaire est reliée à la fréquence et à la période par: co = O 2 ni =

f

271

T

où f est la fréquence en Hz et T est la période en s. 4.4.1 Cas où X et s sont réels Si X et s sont réels, la fonction x(t) est une fonction exponentielle réelle du temps: x(t) = |X |eot

(4-12)

L’allure de la fonction exponentielle réelle |X |eot dépend du signe de cr: 0: |X| eat est 0: |X||eot est 0: |X||eat est

La fonction exponentielle e

est caractérisée par sa constante de temps x qui est égale à: 1 T= Réponse (Tensions et courants dans les éléments du circuit)

Figure 5-1 Excitation et réponse d'un circuit électrique. Lors de l’analyse d’un circuit électrique, on étudie son comportement qui est représenté par la réponse du circuit à des excitations spécifiques. La réponse d’un circuit électrique, suite à l’application d’une excitation, comprend gé­ néralement un régime transitoire et un régime permanent. • Durant le régime transitoire, les tensions et les courants du circuit évoluent avec le temps. Ce régime ne dure qu’un temps limité. • Durant le régime permanent, les tensions et les courants du circuit n’évoluent plus et ils demeureront inchangés jusqu’à l’infini s’il n’y pas d’autre excitation. Le régime transitoire existe toujours dans les circuits contenant des éléments R, L, C et excités par une source quelconque. Par contre, le régime permanent existe seulement avec les excitations qui sont constantes (excitation continue) ou périodiques. L’analyse transitoire consiste à déterminer la réponse d’un circuit électrique suite à l’application d’une excitation. L’analyse du régime permanent consiste à déterminer la réponse d’un circuit électrique après que les transitoires soient terminés.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

110

Application de l’excitation

i

H--------------------------------------1------------------------------------------------> t

0 Réaime Régime 0. • Pour t < 0: le circuit est au repos. Donc vc = 0. • Pour t > 0: vc est la solution de l’équation différentielle suivante: RC? t [Vc]+Vc = E

(5' 24)

La solution de cette équation est la somme de deux termes: vc =

v cp

+

(5-25)

v ch

où vCP est une solution particulière de l’équation (5-24) et vCH est la solution de l’équaj

tion homogène RC— [vc ] + vc = 0 . La solution particulière de l’équation (5-24) est:

vCP = E

La solution de l’équation homogène est de la forme suivante: vCH = Ae

Sjt

, où A et sj

sont des constantes à déterminer. La constante Sj peut être déterminée en remplaçant vCH = Ae mogène:

Sit

dans l’équation ho­

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

117

RC^L[AeSlt] + AeSlt = 0

(5-26)

RCSi + 1 = 0

(5-27)

ou bien: Cette dernière équation est connue comme Véquation caractéristique du circuit. La solution Sj =

s’appelle la fréquence naturelle du circuit.

La quantité t =

= RC a comme dimension «seconde» et est définie comme la consls il tante de temps du circuit. Alors, la solution pour vc pour l’intervalle t > 0 est: -t E + AeRC

VC =

(5-28)

La constante A est déterminée par la condition initiale de vq (c’est à dire la valeur de vc à l’instant t = 0+) On définit: t = 0- est l’instant juste avant t = 0, t = 0+ est l’instant juste après t = 0. Nous avons: vc(0-) = 0 parce que le circuit est initialement au repos. En examinant l’équation(5-23), on constate que le membre droit[Eu(t)] est discontinu à t = 0. Parconséquent, lemembre gauche est aussi discontinu àt =0. Cette discontij

nuité doit se trouver uniquement dans le terme R C ~ [v c ] parce que si vc est discon­ tinue, sa dérivée “^ [vcl sera in^nie (ce Qui n’est pas conforme). Donc, on conclut qu’à l’instant t = 0, v^ est continue et sa dérivée ^ [ vc] est disconti­ nue. Alors, nous avons:

vc(0+) = vc (0-) = 0 -t

En remplaçant t = 0 dans l’expression vc = E + Ae

RC

, on obtient:

vc (0+) = E + A = 0 On déduit: A = -E Finalement, la solution pour tout t est: 0

pour t < 0 (5 -2 9 )

1 - e RC pour t> 0

On peut aussi exprimer vc sous une forme plus compacte:

118

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

VC = E 1 - e

RC

(5-30)

u(t)

Le courant ^ peut être calculé à partir de vc : h = c £ [ v c ] = c A J E| l - e RC u(t)

-t E RC ... = RC U(t)

v C (t)

(a)

(b)

Figure 5-9 Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension Eu(t). (a) Tension aux bornes du condensateur, (b) Courant dans le condensateur.

(5-31)

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

119

5.4.2 Réponse d’un circuit RL à un échelon Considérons le circuit RL montré dans la figure 5-10. h

R

>—\AAA

+ vR -

E

+ l 3 vl

0

vs = Eu(t)

Figure 5-10 Circuit RL excité par une source échelon. Le circuit est initialement au repos: les tensions et les courants dans le circuit sont nuls avant l’instant t = 0. La source de tension vs = Eu(t), qui représente une source de tension continue E appli­ quée à t = 0, est l’excitation du circuit. Le courant ^ et les tension vR et vL sont les réponses du circuit. Nous considérons en particulier le courant

dans l’inductance L.

Nous écrivons l’équation d’équilibre du circuit: (5-32)

vR + vL = v, ou bien:

(5-33) La résolution de cette équation différentielle linéaire peut être effectuée de façon iden­ tique au cas précédent. • pour t < 0: ij = 0 j

• pour t > 0: Nous avons:

ii est la solution de l’équation L— [ i j + R ix = E ^ = i1P + i 1H

avec: i lp = - est la solution particulière et i 1H = Ae 1 est la solution homogène. La fréquence naturelle Sj est la solution de l’équation caractéristique: Lsj + R = 0 Alors:

(5-34)

-R

La constante A est déterminée par la condition initiale de i^ i1(0+) = i 1(0-) = 0 = | + A Donc: Finalement, la solution pour tout t est:

(5-35)

120

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

il1 = -R 1 - e

tr -

(5-36)

u(t)

La tension aux bornes de l’inductance est calculée à partir de i^ -R . VL =

L

L A {i

dt

} =

l 4 - j -

dt |R

1- e

u (tU = Ee ^ u(t)

(5-37)

Figure 5-11 Réponse d’un circuit RL à un échelon de tension Eu(t). (a) Courant dans Vinductance. (b) Tension aux bornes de Vinductance.

5.4.3 Com portem ent d’un condensateur et d’une inductance à t = 0+ et à t -> oo dans un circuit excité par une source échelon En examinant la réponse d’un circuit RC à un échelon de tension, on constate que: • à t = 0+ un condensateur se comporte comme un court-circuit • à t —>oo un condensateur se comporte comme un circuit ouvert En examinant la réponse d’un circuit RL à un échelon de tension, on constate que: • à t = 0+ une inductance se comporte comme un circuit ouvert • à t -> oo une inductance se comporte comme un court-circuit

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

121

Utilisant ces observations, on peut déterminer la réponse d’un circuit du premier ordre à une excitation échelon simplement par inspection. Il suffit de retenir les points sui­ vants: a) La réponse d’un circuit du premier ordre (RC ou RL) à une excitation échelon est de la forme suivante: y(t) = A + B e T u (t)

(5-38)

où A et B sont des constantes, et t est la constante de temps du circuit, b) La constante de temps t est déterminée en utilisant le circuit de base: t = RC pour un circuit RC x = L/R pour un circuit RL c) Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiale (t = 0+) et finale (t -> oo) de la réponse y(t). • la condition initiale pour y(t) est obtenue en remplaçant chaque condensateur par un court-circuit et chaque inductance par un circuit ouvert: y(0+) = A + B • la condition finale pour y(t) est obtenue en remplaçant chaque condensateur par un circuit ouvert et chaque inductance par un court-circuit. y(°°) =

a

Exemple 5-2 Analyse d’un circuit du 1er ordre par inspection Soit le circuit RC montré dans la figure 5-12. h

R1 R., =100 Q R2 = 200 Q C = 500 jj.F

Figure 5-12 Circuit du premier ordre excité par une source échelon. On désire déterminer le courant ^ et la tension v2. On obtient le circuit de base en annulant la source de tension vs. R1 r 1 =100 n r 2 = 200 n C = 500 jj.F

Figure 5-13 Circuit de base. La constante de temps du circuit est: T

= (R j II R2)C = ( 100 II 200) x 500xlCf6 = 33.33 ms

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

122

Le courant i^t) est de la forme suivante:

i^ t) = A + B e T u(t)

La tension v2(t) est de la forme suivante:

v2(t) = C + D e T u(t)

Les constantes A, B, C, D sont déterminées par les conditions initiales et finales de ij et v2. À t = 0+, on remplace le condensateur par un court-circuit. À t -» oo, on remplace le condensateur par un circuit ouvert. Les circuits équivalents initial et final sont mon­ trés dans la figure 5-14. >---------

"W W ^+ ►v2(0+)

120 V (

(>---------

4200 Q > v2H

120 V o

200 Q

-------------------- 1>-------(b)

(a)

Figure 5-14 Circuits équivalents. (a) À t = 0+. (b) À t = oo. À t = 0+, le courant ij et la tension v2 sont: ^(0+) = 120/100 = 1.2 A v2(0+) = 0 V À t -> oo, le courant ^ et la tension v2 sont: ii(o o )=

120/300 = 0.4 A

v 2(oo) =

200 2 0 0 + 100

x 1 2 0 V = 80 V.

En remplaçant t = 0 et t = oo dans les expressions de ij (t) et v2(t), on obtient les relations suivantes: ii(0 + ) = A + B = 1.2 i^oo)

= A = 0.4

v2(0+) = C + D = 0 v2(°°) = C = 80 On déduit: B = 0.8 et D = -80 Alors, la solution pour ix et v2 sont:

et

ii(t ) = 0.4 + 0.8eT u(t)

avec t = 33.33 ms,

v2(t) = 8 0 - 8 0eT u(t)

avec t = 33.33 ms.

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

123

Figure 5-15 Réponse du circuit RC de l’exemple 5-2 à un échelon 120u(t). (a) Courant dans la source, (b) Tension aux bornes de la résistance R2.

5.4.4

Réponse d’un circuit du premier ordre à une im pulsion ou une rampe

La réponse d’un circuit linéaire à une impulsion (ou une rampe) peut être obtenue en dérivant (ou en intégrant) sa réponse à un échelon. Ce résultat découle directement des propriétés des circuits linéaires.

Excitation

Réponse

u(t)

y(t)

ô(t) = ^t [u(t)]

r(t) =

f

u(t)dt J-oo

f

y(t)dt J-oo

Tableau 5-2 Propriétés des circuits linéaires.

124

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Exemple 5-3 Réponse d’un circuit du 1er ordre à une impulsion et à une rampe Considérons le circuit de l’exemple 5-2. Nous allons déterminer le courant i1(t) et la ten­ sion v2(t) pour vs = 120Ô(t) et vs = 2400r(t). Cas où v« = 1208(t) Dans l’exemple 5-2, on a déjà obtenu les réponses à un échelon de 120 V: r -ti i 1(t) = 0.4 + 0.8eT u(t) et v2(t) = 80 - 80ex u(t) avec t = 33.33 ms. Pour obtenir les réponses à une impulsion 120Ô(t), on dérive simplement les expres­ sions de ij_(t) et v2(t). -t. i 1(t) =

dt

-t.

d v2(t) = dt

-t

0.4 + 0.8ex u(t) l = 1.28(t)- 2 i§e Tu(t) = 1 .2 8 (t)-2 4 eTu(t) -t

80 - 80eT u(t) \ = — e Tu(t) = 2400e Tu(t)

Figure 5-16 Réponse du circuit RC de Vexemple 5-2 à une impulsion 120ô(t). (a) Courant dans la source, (b) Tension aux bornes de la résistance R2.

hapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

125

Cas où v« = 2400r(t) Les réponses à une rampe de 2400r(t) sont obtenues en intégrant les expressions de il(t) et v2(t) obtenues pour une excitation de 120u(t) et en multipliant le résultat par 20. i i (t) = 20 J-oo

r 1 r u(t) u(t) idt = 8t + 0.533 I’ e j J

-t r r -S i v2(t) = 2()J -j |80 —80eT 80e T u(t) dt = 1600t- 53.334 [ 1 - eT jl u(t) L j_ _ J

(a)

Figure 5-17 Réponse du circuit RC de Vexemple 5-2 à une rampe 2400r(t). (a) Courant dans la source, (b) Tension aux bornes de la résistance R2.

126

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

5.4.5 Réponse d ’un circuit du premier ordre à une excitation apériodique En général, on peut décomposer une excitation apériodique en une somme de fonctions singulières (échelon, rampe, ...) et appliquer le principe de superposition pour détermi­ ner la réponse. Cette approche est illustrée dans l’exemple 5-4. Exemple 5-4 Réponse d’un circuit du 1er ordre à une impulsion carrée On considère le circuit RC de l’exemple 5-2. On désire déterminer le courant ^ et la tension v* lorsque la source de tension vs est une impulsion carrée d’amplitude 180 V et de largeur 50 ms comme illustrée dans la figure 5-18.

Figure 5-18 Impulsion carrée de Vexemple 5-4.

Fn

>t

On peut décomposer vs en une somme de deux échelons: vs(t) = 180u(t)- 180u(t-0.05) Dans l’exemple 5-2, avec une source vs = 120u(t), nous avons obtenu: r —i ii(t ) = 0.4 + 0.8eT u(t) et v2(t) = 8 0 - 80e T u(t) avec x = 33.33 ms. En utilisant les propriétés des circuits linéaires, nous pouvons déterminer ij et v2 pour ce cas où vs(t) = 180u(t)- 180u(t-0.05) (que nous appelons ilx et v2x): 180 1X

120

120

180. 180 v 2x = ^ ô V 2( t ) - _ v 2( t - 0 . 0 5 )

Alors: —

i l x = 1.5

]

0.4 + 0.8e T u(t) -1.5

0.4 + 0.8e

-t ilx = 0.6+ 1.2eT u (t )- 0 .6 + 1.2e r et:

v 2x =

- (t - 0 .0 5 )n

r

avec x = 33 ms

-(t - 0 .0 5 ) _tl ] f 80- 8 0 e 1 u(t) -1.5 80-8 0 e 1 u(t

-(t -0 .0 5 )

0, la solution vx est: t-.

vx = De

RC

1 +; RCjco0 + 1

j«ot

(5-47)

À t = 0, la variable vx est continue: (5-48)

vx(0+) = vx(0-) = 0 En remplaçant t = 0 dans l’expression de vx, on obtient: D+

1 = 0 RCjo)0 + 1

(5-49)

-1 RCjcûQ + 1

(5-50)

On déduit: D =

Finalement, la solution vx pour tout t s’écrit: ~ts j « 0t

e RCj(o0 + 1v

-e

rc

-j^o

u(t)

e u -e

-t RC

u(t)

(5-51)

7(RC û)0)2+ 1

avec 0 = atan(RCco0) La tension vc est donnée par la relation suivante: vc = A • R e{v x } =

cos(co0t - ())q) - cos0e

RC

U (t)

(5-52)

Ji RCco0)2 +1

Exemple 5-5 Réponse d’un circuit RL à une excitation sinusoïdale Soit le circuit RL montré dans la figure 5-21. L’équation différentielle qui relie ii à vs s’écrit: L ^ i + Rij = vs = 50cos(20007it)u(t) = 50 • Re|e^û)°tu(t)|

(5-53)

avec coq = 200071 rad/s. Nous résolvons en premier lieu l’équation suivante: d iy

j(Ûnt

L -57 + RlX = e

u (t)

(5-54)

130

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

i!

R=10n Vr L= 5m H SvL

v* 0

-> t ms

Pour t < 0, le courant ix est égal à zéro. Pour t > 0, le courant ix est ix = iXP + iXH, avec: 1 AX P

L jû) q

1 e j 2 0 0 0 7 tt 10 + j31.416

jû)0t

+R

=

q

Q 3 Q 3 e

j 1 .2 6 3 ^

2 0 0 0 ^

-R t

et

XH =

, - 1 e L =-0.0303e-jl 263e-2°00t. Ljco0 + R

La solution pour ix pour tout t est: r*

-j 1.263r j20007tt

ix = 0.0303eJ

[eJ

-e

-2000t..

...

]u(t)

(5-55)

Le courant i^ est donné par la relation suivante: i! = 50 • R e {ix } = 50Re{0.0303e~j l '263[ej2000nt- e ' 2°00t]u (t)}

(5-56)

i x = [1.515 cos(2000îtt - 1.263) - 0.4595e_2000t]u (t)

(5-57)

On peut distinguer dans l’expression de ij_(t) deux parties: Partie A:

[ 1.515cos(20007it - 1.263)]u(t)

Partie B:

[-0.4595e_2000t]u (t)

La figure 5-22 montre le courant

réponse forcée

réponse naturelle

en fonction du temps.

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

131

(a)

t

(b)

t

ms

ms

(c)

t ms

Figure 5-22 Réponse du circuit RL de Vexemple 5-5 à une tension sinusoï­ dale d’amplitude 50 V et de fréquence 1 kHz appliquée à t = 0. (a) Réponse forcée, (b) Réponse naturelle, (c) Réponse totale.

5.4.7 Discussion sur la réponse d’un circuit du prem ier ordre On constate que la réponse d'un circuit du premier ordre à une excitation appliquée brusquement à t = 0 est constituée de deux parties distinctes: la réponse particulière et la réponse homogène. • La réponse particulière est de même nature que l'excitation et est appelée aussi la ré­ ponse forcée. Si l’excitation est une constante, la réponse particulière sera une constante. Si l'exci­ tation est sinusoïdale, la réponse particulière sera aussi sinusoïdale de même fréquen­ ce. • La réponse homogène est déterminée uniquement par la nature du circuit et est ap­ pelée aussi la réponse naturelle. Pour un circuit du premier ordre, la réponse naturelle est une exponentielle décroissante de constante de temps t . La constante de temps d'un circuit du premier ordre est déterminée par les éléments du circuit: • x = RC pour un circuit RC • x = L/R pour un circuit RL

132

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

Un certain temps après t = 0, la réponse naturelle devient négligeable. Pour le reste du temps, la réponse du circuit est constituée uniquement de la réponse forcée. Si l’exci­ tation est une constante ou une fonction périodique, la réponse forcée persistera. Dans ce cas, on l’appelle la réponse permanente. Application de l’excitation

Réponse naturelle

+

Réponse forcée

Réponse forcée

Régime _ transitoire

- Repos -

->{

5t

0

-X -

Régime ' permanent

Figure 5-24 Régime transitoire et régime permanent dans un circuit du premier ordre. On considère que la durée du régime transitoire dans un circuit du premier ordre est égale à 5t .

5.5 Circuits du deuxième ordre Un circuit du deuxième ordre est un circuit dont la réponsey et l’excitation x sont re­ liées parune équation différentielle du deuxième ordre: a2 ^ f + ai^7 + a0y = b a ^ f + b j g + V

dt2

dt

dt2

dt

(5-58)

où les coefficients a2, a1? a0, b2, b1? b0 sont des constantes. Le circuit de base d’un circuit du deuxième ordre contient deux éléments accumula­ teurs d’énergie (L et C) et une ou plusieurs résistances. Il peut prend une des trois for­ mes suivantes: • circuit RCC: deux condensateurs et des résistances. • circuit RLL: deux inductances et des résistances. • circuit RLC: une inductance, un condensateur et des résistances.

133

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

La figure 5-25 montre quelques exemples de circuits du deuxième ordre. R v w —

L

L

==c

R d=zc

is ©

+ JL vsQ

(C)

(a)

R, V W —

U!

R2

Ri -\A A A -

VsÔ

VSAA-

v’0 (d)

(e) Figure 5-25 Exemples de circuits du deuxième ordre.

L’analyse d’un circuit du deuxième ordre s’effectue de la même façon que les circuits du premier ordre. 5.5.1 Réponse d’un circuit RCC à un échelon Considérons le circuit RCC montré dans la figure 5-26. Vi W sA -

VVNA-

200 Q

500 Q 50 V

vO

= C! 100 |iF

200 |iF -> t

Vs = 50u(t)

Figure 5-26 Circuit RCC excité par une source échelon. Le circuit est initialement au repos: les tensions et les courants dans le circuit sont nuls avant l’instant t = 0. La source de tension vs = 50u(t) représente une source de tension continue de 50 V ap­ pliquée à t = 0. Les tensions vj et v2 aux bornes des condensateurs sont définies comme les tensions nodales du circuit. équation différentielle On établit les équations d’équilibre du circuit en utilisant la méthode des noeuds: Gi + G2 + CjS —Go

~G2 Go + Cr

V1 _ G lvs 0 y2

(5 -5 9 )

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

134

En résolvant Téquation matricielle (5-59), on obtient: Gj + G 2 + C i s G j v s

-Go

G 1G 2

Vo =

v s

C 1C2S + (G^C2 + G2C2 + G2C i)s + GjG2

G 1 + G2 + C 1S

“ ^2

—G 2

G2+ C2s

On déduit: (5-60)

( C 1C 2 s + ( G 1C 2 + G 2C 2 + G 2C 1)s + G 1G 2} v 2 = G j G 2v s

En remplaçant l'opérateur s par — et l'opérateur s2 par —- , on obtient l’équation difdt dt2 férentielle qui relie la tension v2 à l’excitation vs: dv9 d v« C iC 2— ^- + (G i C2 + G2C2 + G2C i ) — + G i G2v2 = G jG2 dt

(5-61)

Avec les valeurs numériques, on obtient: -d v2

0 .002-

(5-62)

+ 0 . 1 6 ^ + v2 = 50u(t)

dt2 Résolution de réquation différentielle Cette équation différentielle linéaire a comme deuxième membre une fonction qui est discontinue à t = 0. Par conséquent, nous allons considérer deux intervalles distincts: t < 0 et t > 0. • Pour t < 0: le circuit est au repos. Donc v2 = 0. • Pour t > 0: v2 est la solution de l’équation différentielle suivante: dv9 + 0.16— = + v9 = 50 dt 2 dt2

-d v2

0 . 0 02 -

(5-63)

La solution de cette équation est la somme de deux termes: v2 = v2P + v2H >°ù v2p est une solution particulière de l’équation (5-63) et v2H est la solution de l’équation homogè­ dv9 -d v2 + 0.16—— + v9 = 0 . ne 0.002dt 2 dt2 La solution particulière est: v2P = 50 La solution de l’équation homogène est de la forme suivante: v2H = A^e

Sjt

+ A2e

s 2t

où

Ai, A2, Si et s2 sont des constantes à déterminer. Les constantes S! et s2 sont les fréquences naturelles du circuit, qui sont les racines de 2 l’équation caractéristique: 0.002s + 0 .1 6 s+ l = 0. On a: Sj = -73.166 et s2 = -6.834. Alors, la solution pour v2 pour l’intervalle t > 0 est:

v2 = 50 + A ^ 1* + A2eS2t.

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

135

Conditions initiales Les constantes Ai et A2 sont déterminées à Taide des conditions initiales (valeurs à t = , dvQ 0 ) de v2 et — - . z dt Nous avons:

v2(0-) = 0 parce que le circuit est initialement au repos.

En examinant l’équation (5-62), on constate que le membre droit [50u(t)] est discontinu à t = 0. Par conséquent, le membre gauche est aussi discontinu à t = 0. Cette disconti­ nuité doit se trouver uniquement dans le terme

A2v0 d dr

dv2 Donc à l’instant t = 0, v9 et sa dérivée — - sont continues, c’est à dire: 2 dt v2(0+) = v2(0-) = 0 dv2 dt t = o +

dv2 dt t = o -

En remplaçant v2 = 50 + A ^

Sit

+ A2e

S2t

dans ces deux conditions, on obtient

50 + Ai + A t

vs = 100cos(2007it)u(t)

Figure 5-32 Circuit RLC excité par une source sinusoïdale. La résistance R est laissée comme un paramètre du problème et on étudiera le compor­ tement du circuit en fonction de la valeur de R. Le circuit est initialement au repos: les tensions et les courants dans le circuit sont nuls avant l'instant t = 0. La source de tension vs = 100cos(2007it)u(t) représente une source de tension sinusoï­ dale d'amplitude 100 V et de fréquence 100 Hz, appliquée à t = 0. Nous définissons la tension nodale du circuit. équation différentielle Nous avons déjà établi l'équation d’équilibre du circuit: d v 1 L d vi LC- r + - - r — + Vj = V0 dtz R dt

(5-90)

En remplaçant les valeurs numériques dans l’équation (5-90), on obtient: + dt

R dt

= 100cos(200jit)u(t) = 100Re{ej200,tlu (t)}

(5-91)

Résolution de réquation différentielle En premier lieu, nous résolvons l’équation suivante: (5-92) avec coq = 20071. Cette équation différentielle linéaire a comme deuxième membre une fonction qui est discontinue à t = 0. Par conséquent, nous allons considérer deux intervalles distincts: t < 0 et t > 0. • Pour t < 0: vx = 0. • Pour t > 0: vx est la solution de l’équation différentielle suivante:

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

143

La solution de cette équation est la somme de deux termes: (5-94)

v x = v xP + v xH

où vxP est une solution particulière de l’équation (5-93) et vxH est la solution de Véqua_sd2vv n 9 dvv tion homogène 10 — ~ + —— —^ + v = 0 y R dt x dt.2 j ® 0t

La solution particulière de l’équation (5-93) est: j COq t

En remplaçant vxP = Be

dans l’équation (5-93), on obtient:

io o®0) + 0.2/^ - 0 “ O)x + -1, rBe = e 1A- 5 r

.2

On déduit:

vxP = Be

l D J'^ot

B = (1 -1 0

-5

J'tM

.0.2coc 2, co0) + j ~R~

Pour R =10 Q B = 0.0775/-1.801 Pour R =31.623 Q B = 0.2021/-2.209 Pour R =90 Q B = 0.3066/-2.699 La solution de l’équation homogène est de la forme suivante: s9t

(5-95)

VxH = A l e ' + A

où Aj, A2, si et s2 sont des constantes à déterminer. Les constantes S! et s2 sont les fréquences naturelles du circuit, qui sont les racines de l’équation caractéristique: R

Fréquences naturelles

10 Q

sx = -1948.7

s2 = -51.3

31.623 Q

Si = -316.23

s2 = -316.23

90 Q

S! = -111.11 + j296.06

s2 = -111.11 - j296.06

Alors, la solution pour vx pour l’intervalle t > 0 est: jC0 n t

Sit

Sot

vx = Be 0 + Aj e 1 + A 2e 2

(5-96)

Note: Le cas où sj = s2 sera traité plus loin. Conditions à t = O Les constantes Aj et A2 sont déterminées à l’aide de la condition initiale de vx (c’est à dire la valeur de vx à l’instant t = 0+). Nous avons:

vx(0~) = 0

En examinant l’équation (5-92), on constate que le membre droit [eJ(°otu(t) ] est discon­ tinu à t = 0. Par conséquent, le membre gauche est aussi discontinu à t = 0. Cette dis­

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

144

A2

continuité doit se trouver uniquement dans le terme

d vx

dt2 Donc à Tinstant t = 0, vx et sa dérivée dvx/dt sont continues, c’est à dire: vx(0+)

= vx(0-) = 0 dv X

dvx dt t = 0 +

0

~dt t = o-

En remplaçant vx = Be

j CÛgt

+A ^

sjt

S2t

+ A 2e

dans ces deux conditions, on obtient:

B + Ai + A2 = 0

(5-97)

jco0B + SjA j + s2A2 = 0

(5-98)

On a donc: O o - s 2)B So —Si

Ai =

Ü c o 0 -

et

s i ) B

Si —Sn

(5-99)

Constantes Ai et A2

R 10 Q

Aj = 0.0257/-0.312

Ao = 0.0836/1.652

90 Q

A! = 0.4821/0.323

Ao = 0.1814/-3.022

La solution pour vx pour tout t est: ^

rr> jco0t-1948.7t

R=10Q

vx = [Be

+ A xe

A

-51.3t.

+ A2e

lu( t)

~

(5-100)

avec: B = 0.0775/-1.801. A x = 0.0257/-0.312. et A2 = 0.0836/1.652 R = 90 Q

vx = [BeJÛ)ot + A 1e(_a+jP)t + A 2e(' a_jP)t]u (t)

(5-101)

avec: B = 0.3066/-2.699. A x = 0.4821/0.323. A2 = 0.1814/-3.022. a = 111.11 et (3 = 296.06. Finalement, la tension est donnée par: Vl = 100Re{vx}

(5-102)

- pour R =10 Q i Ann

f r_, jco0t

V! = 100Re R e

Im 4^

Réponse indicielle

0 R e

O n^l

s2

Im

A

Réponse indicielle

Ç=0

Ç= 0

(c)

-> R e

-œn

“ ®n

Figure 5-35 Fréquences naturelles et réponse indicielle d’un circuit du deuxième ordre. (a)Ç>l.(b)0 0, un condensateur avec une tension initiale vc (0‘ ) peut être représenté par un circuit équivalent comprenant un condensateur de même valeur, initialement au repos, en série avec une source de tension égale à vc (0~)u(t).

C z f z vc(0-) Condition initiale

(a) (b) Figure 5-38 Modèle d’un condensateur initialement chargé. (a) Condensateur initialement chargé, (b) Circuit équivalent pour t > 0. Une inductance accumule de l'énergie sous forme d'un champ magnétique (qui dépend du courant dans l'inductance). La quantité d’énergie accumulée dépend de l’inductance L et du carré du courant i:

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

152

WT = ±Li La relation v-i d’une inductance est: (5-118) iL(0" Dans cette relation, le terme iL(0 ) = - | vLdt représente le courant dans l’inducL J-00

tance à l’instant t = 0‘ . Elle représente tout le passé de l’inductance parce que c’est l’in­ tégrale de la tension vL de -oo à 0". Ainsi, pour t > 0, une inductance avec un courant initial iL(0~) peut être représentée par un circuit équivalent comprenant une inductance de même valeur, initialement au re­ pos, en parallèle avec une source de courant égale à iL(0")u(t).

iL( 0 - )

(a) Figure 5-39 Modèle d}une inductance initialement chargée. (a) Inductance initialement chargée, (b) Circuit équivalent pour t > 0.

Méthode d’analyse Utilisant les circuits équivalents présentés précédemment, on peut analyser un circuit initialement excité en suivant les étapes ci-dessous: Étape 1 Déterminer les tensions aux bornes des condensateurs et les courants dans les inductances à l’instant t = 0‘ . Ces tensions et courants constituent l’état initial du circuit. Étape 2 Remplacer chaque condensateur et chaque inductance par un circuit équi­ valent formé d’un élément initialement au repos et une source échelon repré­ sentant son état initial. Étape 3 Analyser le circuit équivalent obtenu dans l’étape 2 par les méthodes utili­ sées pour les circuits initialement au repos.

153

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

Exemple 5-7 Analyse d’un circuit initialement excité Considérons le circuit montré dans la figure 5-40.

Figure 5-40 Circuit contenant un commutateur. Le commutateur S est à la position 1 depuis très longtemps. À l'instant t = 0, S change de position de 1 à 2 et demeure à cette position pour le reste du temps. On désire dé­ terminer le courant ij pour t > 0. À Tinstant t = 0", le commutateur est à la position 1 et le circuit est en régime continu permanent. L’inductance L se comporte alors comme un court-circuit. Le courant cir­ culant dans L à t = 0" est égal à: iL(0" ) =

100V 50Q

2A

Pour t > 0, on remplace «l’inductance 200 mH avec condition initiale» par «une induc­ tance 200 mH sans condition initiale» en parallèle avec «une source de courant de 2u(t)». On obtient ainsi le circuit équivalent valide pour t > 0 comme montré dans la figure 5-41.

= = 5 0 iF

Figure 5-41 Circuit équivalent pour t > 0. On écrit l’équation d’équilibre du circuit: 1 1[ Ls + R + C i ] il = [_Ls]is

(5-119)

[LCs2 + RCs + 1]ij = [-LC s2]is

(5-120)

ou bien:

En remplaçant s par — et s par — - , on obtient l’équation différentielle qui relie i^ à is: dt dt2

154

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

L C ^ + R C ^ i + i, = - L C ^ dt2 dt 1 dt2

(5-121)

Avec les valeurs numériques, on a Téquation différentielle suivante: _5 d

ii

10 5_ i + 2 dt2

X

_3

ci i -i

-5 ^

i»

-5 H 2

10 3—i + i x = -10 5- ^ = -10 5-Ë_[2u(t)] dt dt2 dt2

(5-122)

En premier lieu, nous résolvons l’équation différentielle suivante: i2 10 5Ë_Z + 2

10"3^ + y = u(t) dt

x

dt2

(5-123)

Cette équation différentielle linéaire a comme deuxième membre une fonction qui est discontinue à t = 0. Par conséquent, nous allons considérer deux intervalles distincts: t < 0 et t > 0. • Pour t < 0: y = 0. • Pour t > 0: y est la solution de l’équation différentielle suivante: 2

l 0-5d_^ + 2x io -3dï + y = i dt2 dt

(5-124)

La solution de cette équation est la somme de deux termes: y = yp + yH , où yP est une solution particulière de l’équation (5-124) et yH est la solution deVéquationhomogène 10-5dJ£ + 2x l0 "3^ + y = 0 dt2 dt La solution particulière de l’équation (5-124) est: yp = 1 La solution de l’équation homogène est de la forme suivante: yH = A je

Sit

+ A2e

Sot

, où

Ai, A2, si et s2 sont des constantes à déterminer. Les fréquences naturelles si et s2 sont les racines de l’équation caractéristique: 10-5s2 + 2 x 10"3s+ 1 = 0 On a:

Si = -100 + j300 et s2 = -100 - j300

Alors, la solution pour y pour l’intervalle t > 0 est:

y = 1+Aje

S j t

+ A2e

S2t

Les constantes Ai et A2 sont déterminées à l’aide des conditions initiales de y et dy/dt. Nous avons: y(O-) = 0 En examinant l’équation (5-123), on constate que le membre droit [u(t)] est discontinu à t = 0. Par conséquent, le membre gauche est aussi discontinu à t = 0. Cette discontid2 nuité doit se trouver uniquement dans le terme — ï . dt2 Donc à l’instant t = 0, y et sa dérivée dy/dt sont continues, c’est à dire: y(0+) = y(O-) = 0 dy dt t = o +

=

dt

= 0 t = 0-

(5-125) (5-126)

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

En remplaçant y = 1 + A ^

Sjt

+ A2e

s 2t

155

dans ces deux conditions, on obtient: + Ai + A2 =(5-127) 0

1

sxAi + s2A2 = 0

(5-128)

Les solutions de cet ensemble d’équations sont: (5-129) Donc:

A x = 0.527/2.820 et A2 = 0.527/-2.820

La solution pour y pour tout t est: y = [ l + A 1e

S,t

+ A 2e

Sot

]u (t)

La solution de l’équation (5-122) est donnée par la relation suivante: i! = - 2 X 10-5- 4 [ y ] = -2 x 10-5- 4 { [ l + A ie Slt + A2eS2t]u (t )} dt dt l J ij = -2 x 10_5[S jA 1eS‘ t +S2A2eS2t]u (t) ij = -[1.054ej0'322e(_100+j300)t+ 1.054e_j0‘322e(" 100" j300)t]u (t) ij = [-2 .108e_1°0tcos(300t + 0.322)]u(t)

Figure 5-42 Courant i2pour t > 0.

(5-130)

157

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

Exercices 5.1

Le circuit de la figure E5-1 est initialement au repos. i., i1 oüü 500 Q 12 >----v W ---- f + 1 kQ

50 jiF

Figure E5-1

vs = 15u(t)

a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ii et la tension v2. Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ij et la tension v2 en régime permanent. b) Déduire le courant et la tension v2 dans les cas suivants: vs = 5ô(t) et vs = 10r(t). Tracer en fonction du temps le courant i^ et la tension v2 pour chaque cas.

5.2

Le circuit de la figure E5-2 est initialement au repos. 500 n

Figure E5-2 a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2. Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ij et la tension v2 en régime permanent. b) Déduire le courant ij et la tension v2 dans les cas suivants: vs = 5ô(t) et vs = 10r(t). Tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2 pour chaque cas.

5.3

Le circuit de la figure E5-3 est initialement au repos.

+ V1

h V i —v W 1.5 kQ

+

Figure E5-3 a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant i1? la tension v± et la tension v2.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

158

Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ilf la tension v2 en régime permanent.

et la tension

b) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant i1} la tension et la tension v2 dans le cas où vs est une impulsion carrée d’amplitude 15 V et de durée 30 ms.

5.4

Le circuit de la figure E5-4 est initialement au repos. 150 Q

vV\A i1 100 Q «►-►-vW—

Figure E5-4

j2 500 mH

vs = 100i

a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant i1? le courant i2 et la tension v3. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ii, le courant i2 et la tension v3 en régime permanent.

5.5

Le circuit de la figure E5-5 est initialement au repos. 100 Q V W i1 200 Q

Figure E5-5

j2

50 Q

vs = 60u<

a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ii, le courant i2 et la tension V3. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ii, le courant i2 et la tension v3 en régime permanent.

5.6

Le circuit de la figure E5-6 est initialement au repos. 50 Q

Figure E5-6 a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij_ et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant i^ et la tension v2 en régime permanent.

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

5.7

159

Le circuit de la figure E5-7 est initialement au repos. 100 Q

+ 50 O"

“• 0 Figure E5-7

100 mH

vs = 100cos(2007it)u(t)

a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ij et la tension v2 en régime permanent.

5.8

Le circuit de la figure E5-8 est initialement au repos. 100 jiF

40 Q

VvAA + .

Figure E5-8

50 \ i F = l

v2 ‘ ►80 Q

vs = 120u(t)

a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant permanent.

5.9

et la tension v2 en régime

Le circuit de la figure E5-9 est initialement au repos. .

50 jaF

50 Q

- W 'A + vsQ Figure E5-9

200 mH <

v2

■150u(t)

a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ii et la tension v2 en régime permanent.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

160

5.10 Le circuit de la figure E5-10 est initialement au repos. 200 mH

50 Q

-JT5WV- v w + 50 ^ F = = :v2

vs Q

.200 Q

vs = 100u(t)

Figure E5-10

a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ii et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ^ et la tension v2 en régime permanent. c) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ii et la tension v2 pour le cas où vs=100cos(5007it)u(t). Déduire le courant ij et la tension v2 en régime permanent.

5.11

Le circuit de la figure E5-11 est initialement au repos. i

75 |iF

100 mH

V— vs Q

500

25 Q*

+ v2

vs = 100u(t)

Figure E5-11

a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ij et la tension v2 en régime permanent. c) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2 pour le cas où vs=100cos(4007it)u(t). Déduire le courant ij et la tension v2 en régime permanent.

5.12

Soit le circuit montré dans la figure E5-12. i1 50 Q

-W-VSAA+ 120 V"

30 Q"

100 hf:

v2

. 120 Q

Figure E5-12 Le commutateur S est à la position 1 depuis très longtemps. À t = 0, S change de position de 1 à 2 et demeure à cette dernière position pour le reste du temps. a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire?

161

Chapitre 5 Analyse transitoire des circuits électriques

5.13 Soit le circuit montré dans la figure E5-13. 50

Q

200 mH

h

VsAA-^SOO^120 V"C

100 mH! >50 mH (

25

v2 v2

1

150 (iF

►100 Q

Figure E5-14 Le commutateur S est à la position 1 depuis très longtemps. À t = 0, S change de position de 1 à 2 et demeure à cette dernière position pour le reste du temps. a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courant ij et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courant ii et la tension v2 en régime permanent.

5.15 Soit le circuit montré dans la figure E5-15. il

500 mH

-0 ^ 0 -

->— + 100 V "T

+ 50 Q*

v2

► 100 Q

Figure E5-15 L’interrupteur S est ouvert depuis très longtemps. À t = 0, S est fermé et demeure à cette position pour le reste du temps. a) Déterminer et tracer en fonction du temps le courants ij_ et la tension v2. b) Quelle est la durée du régime transitoire? Déduire le courants ij et la tension v2 en régime permanent.

Chapitre 6 Analyse des circuits électriques par la transformation de Laplace

163

Chapitre 6 ANALYSE DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES PAR LA TRANSFORMATION DE LAPLACE Dans ce chapitre, la transformation de Laplace est définie et ses principales propriétés sont étudiées. L'application de la transformation deLaplace dans l’analyse des circuits électriques est considérée et une méthode générale d’analyse est présentée.

6.1 Transformation de Laplace La transformation de Laplace transforme une fonction du temps f(t) en une fonction de la fréquence complexe s: A f(t) —* F(s)

(6- 1)

La fonction F(s) est la transformée de Laplace de f(t). On écrit: F (s )= ^ {f(t)}

(6-2)

Remarque: La fréquence complexe s est habituellement exprimée sous forme s = a + jco. La transformation de Laplace est définie par la relation suivante: F(s) = f f(t)e"stdt V

(6-3)

Une fonction f(t) est transformable si: - elle est continue par sections, - il existe un nombre réel et positif aj de telle sorte que [

|f(t)|e Gltdt < oo .

V Remarque: Cette dernière condition signifie que l’intégrale (6-3) doit exister.

Exemple 6-1 Transformée d’un échelon La transformée de Laplace d’un échelon unitaire est:

^ [u (t)] = j V stdt = ( ~ ) e - st|o = i

(6-4)

164

CIRCUITS ÉLECTRIQUES Exemple 6-2 Transformée d’une exponentielle La transformée de Laplace d’une exponentielle commençant à t = 0 est: ^ [ e atu (t)] =

f eate"Stdt = a_ L- s. e (a- s)t|10“ = aJ -_s e(a-a-j a(6-6)

La transformation de Laplace étant unique, il est possible d’établir une table de trans­ formation qui contient des paires de transformées de base. En utilisant cette table de transformation de base et les propriétés de la transformation de Laplace, on peut dé­ terminer la transformée d’une fonction f(t) quelconque sans effectuer l’intégrale (6-3). Nous allons étudier les propriétés de base de la transformation de Laplace.

6.1.1 Linéarité La transformation de Laplace est une opération linéaire: A & h W + bf2(t)] = a ^ [fi(t )] + b ^ [f2(t)] = a F ^ s) + bF2(s) Exemple 6-3

(6-7)

Transformée d’une fonction sinusoïdale

Nous avons:

cosx = i[e^x + e^x] 2 J

et

sinx = _L[e^x - e ^ xl 2j J

Nous écrivons: ^f[ejratu (t)] = — L -

S-JCO

Alors:

^[coscotu(t)] = -f "—

et

^[sincotu(t)] =

et

2 ls - jc o

^ [e " jû>tu (t)] =

s

+ jcoJ

------- 0

2 j Ls - jco

s

+ jcoJ

S+JCO

s = -rr—~2 §2 + co s 2 + û)2

(6-8)

(6-9)

*

'

6.1.2 Transform ation de dérivée Nous écrivons: ^ [ â f(t )] = {

^ f ( t ) e “stdt = e"stf(t)|“ + £

sf(t)e"stdt = - f(0 ) + sF(s)

Donc:

*4aïf(t)] = sF(s)_f(0)

t

^ [ u ( t - a ) ] = e-38!

S

f(t) = u(t) -u(t-a)

^ [ u ( t ) - u ( t - a ) ] = ( l - e - as) i

Figure 6-1 Calcul de la transformée d’une impulsion carrée. L’impulsion unitaire ô(t) peut être considérée comme la limite d’une impulsion carrée d’amplitude 1 /a et de largeur a lorsque a tend vers zéro: ô(t) = lim \i[u (t ) - u(t - a)] a —>o a

(6 - 22)

La transformée de 8(t) sera donc la limite de la transformée de l’impulsion carrée lors­ que a tend vers zéro: -^[S(t)] = lim j ^ r i [ u ( t ) - u ( t - a ) ] l [ = lim \ — (1 - e as) [ a->o l_a J a-> o a s

(6-23)

Chapitre 6 Analyse des circuits électriques par la transformation de Laplace

^f[S(t)] =

i—

lim

a->0[

= 1

s

(6-24)

ô(t)

f(t) = (1/a)[u(t)-u(t-a)] 1/a

167

lim

, Surface = 1

Surface =1

Figure 6-2 L ’impulsion S(t) est la limite de l’impulsion carrée. 6.1.8 Translation de l’axe de fréquence Si F(s) est la transformée de f(t), la transformée de eatf(t) est: ^ f[eatf(t)] = f eatf(t)e~stdt = f f(t)e '(s_a)tdt = F(s ■ a) •Vr •'rr Exemple 6-7

(6-25)

Transformée d’une fonction eatf|t)

Nous avons:

^ [U (t )] = i

Alors:

^ [ e _5tu(t)]

et

S 4-

-

Vs(s) o

V s(s) = ^ { v s(t )}

ls( S ) @

ls(3 ) = ^ { i 8(t )}

Figure 6-7 Transformation des sources. Transformation de R On peut transformer une résistance R en un élément dans le domaine de fréquence en transformant sa relation v-i comme illustré dans la figure 6-8. Domaine du temps

Domaine de fréquence complexe

r 'R (t)

vrW ^

+

R

V r (s)

vR(t) = RiR(t)

■r (s )

Z=R

V R(s) = R I r ( s )

Figure 6-8 Transformation d’une résistance. Transformation de L On peut transformer une inductance L en un élément dans le domaine de fréquence en transformant sa relation v-i comme illustré dans la figure 6-9. Domaine du temps

Domaine de fréquence complexe

'l(s)

+ X lL(S) Z = Ls

ÜL(0)

i.(0 )

'l (s) = iL(t)

1

V + G Vl(s)

V L(S) = L SIl ( S ) - U l (0)

v L(t)dt

•'—00"l A vV|

Vj = 0

Rj = 00

R0 = 0

Av = 00 Figure 6-30 Circuit transformé. La tension Vj est égale à 0 car l’ampli op est considéré idéal (Av = 00). Le point y est au même potentiel que la masse. On choisit Vx comme la tension nodale du circuit. On établit l’équations d’équilibre en utilisant la méthode des noeuds:

193

Chapitre 6 Analyse des circuits électriques par la transformation de Laplace

En appliquant la loi des courants au noeud y, on obtient: Y ï = 1 X2 z4 zs ' Ou encore: Vx = ~ ^ x V 0 . 5

L’équation (6-67) devient: 1 1 ■=—+ ^1

2

V V — +— Zi z 3

r z4 1 1 + •=—+ •=— 7 x V n 0 3

5

4

Ou bien: J j_ \Z3 +

j _ _i_ n l v = Y i Z2+ Z3+ z j ] 0

Z!

La fonction de transfert reliant la tension VQet la source Vs est: ~z,

V

i

-1

j_

j_

n i

Z 3 + Z 5V Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z 4J j

1, 4 , Z3

Z5

141 141 1 Z 2Z 5

Z 3Z 5

Z5

-R ,

H j(s) =

R 1R3R4C2C5S + (R 1R3 + R^ R4 + ^3^4)^5S + ^1 Avec les valeurs numériques, on a: „

,

v

l ( s) “

- 1 0 0 0 0

2

0.02s + 28s + 10000

L’impédance d’entrée du circuit est le rapport de Vs et 1^ V. Zin(s) =

Il

V.

Vo V -V

f Vs - V :

x Z,

=

_(V S/VG)

(VS/V0) - ( V X/V0)

x Z,

Ou encore: [HjCs)]' Zin(s) =

Z.'

x Z,

1

_(R^ R3R4C2CgS + (R^R3 + R jR 4 + R3R4)C 5s + x R,

Zm(s) = —(R| R 3R4C2CgS + (R ^ R 3 + R j R4 + R 3R4) C 5s +

+ R4C5s

194

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

_

R ^ R ^ C gS

+ (R1R3 + R ^ 4 + R3R4) C5s + Rj

Z i n ( s ) ------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------- X

K x

R lR 3R402C^s + (R^ R^ + R j R4)0^s + R| Avec les valeurs numériques, on a: Zin(s) = 002s + 28s+IOOOO x 1000o 0.02s2 + 24s + 10000 6.5.5 Fonction de transfert et réponse temporelle On a vu que dans un circuit la réponse Y(s) est égale au produit de la fonction de trans­ fert H(s) et l’excitation X(s): Y(s) = H(s) x X(s)

(6-68)

La réponse temporelle x(t) est la transformée inverse de Laplace de Y(s): y(t) = ^ 1{Y (s )} = / ‘ {H (s )x X (s )}

(6-69)

La fonctionH (s) x X(s) peut être décomposée en une somme de fractions partielles. En supposant quecette fonction ne possède que des pôles simples, on peut écrire: N

K

M

K

Y(s) = H(s) x X(s) = V - ^ - + V — 2 L -l s - p n L -l s - p m n= 1

(6-70)

m= 1

où pnsont les pôles de la fonction de transfert H(s), pm sont lespôles de l’excitation X(s), Net Msont respectivement les nombres de pôles de H(s) et X(s). On peut remarquer que les pôles de la fonction de transfert H(s) sont également les ra­ cines de l’équation caractéristique du circuit: ansn + ... + ajS + a 0 = 0.

Alors, les pôles de H(s) sont les fréquence naturelles du circuit. La réponse temporelle x(t) est la transformée inverse de l’équation (6-70): N

x(t) = £

M

KnePnt+ £

n= 1

reponse naturelle

KmePmt

(6-71)

m= 1

reponse forcée

On constate que la réponse x(t) est composée de deux parties: N

- la réponse naturelle ^

KnePn qui est une somme de fonctions exponentielles de fré-

n=1

quences égales aux fréquences naturelles du circuit, M

- la réponse forcée

KmePm qui est une somme de fonctions exponentielles de fré-

m= 1 quences égales aux fréquences de l’excitation. On peut ainsi conclure que les pôles de la fonction de transfert déterminent la nature de la réponse naturelle et les pôles de l’excitation déterminent la nature de la réponse forcée.

195

Chapitre 6 Analyse des circuits électriques par la transformation de Laplace

Si l’excitation x(t) est une impulsion unitaire 5(t), X(s) = 1 et la réponse Y(s) du circuit sera égale à la fonction de transfert: Y(s) = H(s). Dans ce cas particulier, la réponse temporelle y(t) est appelée réponse impulsionnelle h(t) du circuit. Elle est la transformée inverse de Laplace de la fonction de transfert H(s): h(t) = ^ " 1 {H (s )}

(6-72)

On peut dire qu’un circuit est complètement défini par sa fonction de transfert H(s) ou par sa réponse impulsionnelle h(t). Exemple 6-20 Fonction de transfert et réponse temporelle d’un circuit RLC Considérons le circuit RLC montré dans la figure 6-31. 100 mH

Figure 6-31 Circuit de Vexemple 6-20. On désire déterminer la fonction de transfert qui relie v2 à vs, la réponse impulsionnelle du circuit et la réponse v2(t) lorsque l’excitation vs est 100sin(1207it)u(t). On transforme le circuit en domaine de Laplace comme montré dans la figure 6-32.

Zi - Ri — VSQ

^4 - Ls -tn >

v,

Z3 = 1/(Cs)

+ v2

Figure 6-32 Circuit transformé. Les équations d’équilibre sont obtenues par la méthode des noeuds:

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

196

En résolvant cette équation, on obtient:

1 Vs z4 Zl

1 1 Z 1 + Z3

_1^

0

Vo

J_

J_

J _ __1

Zi

Z3

^4

^4 z2

1 1 ■+ ^ 1^2 ^ 1^4

vs Z 1Z4 1 1 1 _ + -- - -- + ; ^ 3^2 ^ 3 ^4 ^ 2^4

z4

La fonction de transfert qui relie V2 à Vs est: H ^s) =

H i(s) =

^2^3 Ve

Z i Z 2 + z xz 3 + z xz 4 + z 2z 3 + z 3z 4

Ro R ^ C s + (R 1R2C + L)s + (R x + R2)

Avec les valeurs numériques, on a: 50

H i(s) =

2.5x10 4s2 + 0.225s + 75 Les pôles de la fonction de transfert H(s) sont les racines de l’équation caractéristique 2.5x10“4s2 + 0.225s + 75 = 0: Pj = -450+j312.25

p2 = -450+j312.25

La réponse impulsionnelle est la transformation inverse de Laplace de H^s): h j(t) = u f 1 {H 1(s )}

50 2.5x10 4s2 + 0.225s + 75

La fonction de transfert H^s) peut être décomposée en fractions partielles: l(s )

320.256Z-1.571 320.256Z1.571 s + 450- j 3 12.25 + s + 450 +j312.25

On déduit: 320.256Z1.571 u ^1(320.256^-1 .571 j312.25 + s + 450 + j3 12.25 h i ( t ) = Z { s + 450 -.,*31 h j(t) = 640.51e

cos(312.25t-1.571) = 640.51e

sin(312.25t)

La figure 6-33 montre la réponse impulsionnelle hx(t) en fonction du temps.

197

Chapitre 6 Analyse des circuits électriques par la transformation de Laplace

Temps (s) Figure 6-33 Réponse impulsionnelle du circuit RLC de Vexemple 6-20. Si l'excitation vs est 100sin(1207it)u(t), sa transformée est: 1 0 0 s

x

120

2 + (1 2 0

1 2 0 0 0

tt

t i)

2

s

2 + (1 2 0

tt ti)

2

La tension de sortie V2 est égale au produit de H ±(s) et V,s*

V 2 = H 1(s)xVs = - - - - - - - - - - - - - x 2.5x10 4s2 +0.225s+ 75 „

= 2

1200071 s2 + (1207t)2

7.5398xl09 (s + 450 - j312.25)(s + 450 + j312.25)(s - j 120tc) ( s + j 120ti)

On peut décomposer V2 en une somme de fractions partielles: K i

K i*

K 2

K 2*

V2 = s + 450 -j312.25 + s + 450 + j312.25 + s-jl207t + s+jl207t

Les constantes

réponse naturelle et K2 sont égales à:

réponse forcée

Kj = 32.262e“j0721 K2 = 26.722e j2'706 La tension v2(t) est la transformée inverse de V2: . f , v2^ >

32.262e_j0'721 32.262ej0'721 26.722e"j2'706 26.722ej2'706 1s + 450-j312.25 + s + 450 + j3 12.25 + s - jl2 0 n + s + jl2 0 jt

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

198

v2(t) = [64.524e 450tcos(312.25t-0.721) + 53.444cos(1207it- 2.706)]u(t) La figure 6-34 montre la tension de sortie V2(t) en fonction du temps.

Temps (s)

Figure 6-34 Tension de sortie v2(t) lorsque vs(t) = Î00sin(1207tt)u(t).

Chapitre 6 Analyse des circuits électriques par la transformation de Laplace

199

Exercices 6.1

Déterminer la transformée de Laplace F(s) de chacune des fonctions du temps suivantes: a) f(t) = A(1 - e-at)u (t) b) f(t) = { A P ° ur 0 ailleurs

c) f(t)

Ae 0

pour 0 < t = ic (t) + iR(t) vL(t) = L iL {iL(t)} iC(t) = c A { v c(t )} vc (t) = RiR(t) Ces relations peuvent être transposées dans le domaine de phaseur:

Vs = vL+ vc *L = *C + *r V L = jL (o IL

I c = jcoCVc Vc = RIr On peut illustrer ces relations dans le plan complexe où chaque variable (phaseur) est représentée par un vecteur qui indique le module et l’angle de la variable. Ce diagram­ me s’appelle diagramme vectoriel

Figure 7-23 Diagramme vectoriel illustrant les relations entre les tensions et les courants de Vexemple 7-2.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

222

7.3 Réponse en fréquence 7.3.1 Im pédance des élém ents R, L, C en fonction de la fréquence Nous avons vu que les impédances des éléments R, L, C en régime sinusoïdal perma­ nent sont: ZR(jco) = R ZL(ja>) = jcoL

L’impédance de la résistance est indépendante de la fréquence angulaire co de la source d’excitation tandis que l’impédance de l’inductance et celle du condensateur en dépen­ dent. Par conséquent, lorsque la fréquence de l’excitation varie, les tensions et les cou­ rants dans un circuit en RSP varieront. La figure 7-24 montre l’impédance des trois éléments R, L, C en fonction de la fréquence co.

Figure 7-24 Impédance des éléments R, L, C en fonction de la fréquence, (a) Impédance de R. (b) Impédance de L. (c) Impédance de C.

223

Chapitre 7 Analyse des circuits électriques en régime sinusoïdal permanent

Remarque: La fréquence angulaire cd (en rad/s) est égale à 2nî (f est la fréquence en Hz). Cependant, on utilise souvent le terme générique « fréquence » pour désigner indifféremment 03 et f. Exemple 7-3 Comportement d’un circuit RLC en fonction de la fréquence Considérons le circuit RLC montré dans la figure 7-25. h

L

11

jœL

1/(jœC)

Z Z I— C 3 -

Vs©

Vs©

(a,

m

Figure 7-25 Circuit RLC en RSP. (a) En domaine du temps, (b) Dans le domaine des phaseurs. L’impédance équivalente vue par la source est la combinaison série des impédances:

zeq = R+JLt0+j ^

= R+j ( L“ - ^ )

Cette impédance est une fonction de la fréquence angulaire a>. La partie réelle (résistan­ ce) est constante tandis que la partie imaginaire (réactance) dépend de cû: Résistance = R, Réactance = ( L g>- ——1 . v Co3J _1 Lorsque 03 < - z— , la réactance est négative. L’impédance Zeq est alors équivalente à Vl c Q

une résistance R en série avec un condensateur de valeu r--------- - . 1 -LC03 _1_ Lorsque 03 = - ~ = , la réactance est nulle. L’impédance Zeq est alors équivalente à une JhC ' résistance R. On dit que le circuit RLC est en résonance et la fréquence 03R = y== est la fréquence de résonance. Lorsque 03 > ~j~ ~ >

réactance est positive. L’impédance Zeq est alors équivalente à une

résistance R en série avec une inductance de valeur L ----^ = L LC(û2 - 1 C g3J LCco2 Application numérique Considérons le cas où R = 10 Q, L = 50 mH et C = 100 |iF. La fréquence de résonance est:

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

224

cdr

= -p = =

1 = 447.21 rad/s. J 50x10"3 x IOOxIO"6

- Lorsque co = 250 rad/s, l’impédance Zeq est égale à: Z

(250) = 10+jf50xl0"3 X 250---------- l—---------1 = 10-j27.5 =30.208Z-1.144 0 4 v 100x10 x 2 5 a

L’impédance Zeq est alors équivalente à une résistance de 10 Q en série avec un con­ densateur de valeur 145.45 jiF. - Lorsque co = coR = 447.21 rad/s, l’impédance Zeq est égale à: ZeQ(coR) = 10 +j(50xl0~3 x 447.21----------- i ---------- 1 = 10 = ÎOZOO V 100x10 x 447.21' L’impédance Zeq est alors équivalente à une résistance de 10 Q. - Lorsque co = 550 rad/s, l’impédance Zeq est égale à: Z

(550) = 10+jf50xl0"3 X 550---------- — l ---------1 = 10+j9.318 = 13.668Z0.750 0. v 100x10 x55 a

L’impédance Zeq est alors équivalente à une résistance de 10 Q en série avec une in­ ductance de valeur 16.9 mH. 7.3.2 Fonctions de réseau RSP Dans un circuit en régime sinusoïdal permanent, la réponse Y(jco) et l’excitation X(jco) sont reliées par une équation algébrique. Le rapport de la réponse Y(jco) et l’excitation X(jco) est définie comme une fonction de réseau RSP H(jco): H =

(7-19)

Fonction de réseau RSP Excitation X(jco)---------- ►

H(jœ)

Réponse ------- ► Y(jco) = H(jcù) x X(jco)

Figure 7-26 Définition de fonction de réseau RSP. Pour un circuit donné, on peut définir plusieurs fonctions de réseau RSP suivant la ré­ ponse considérée. Les fonctions de réseau RSP d’un circuit ne dépendent que de sa topologie et de la nature de ses éléments. On distingue deux sortes de fonctions de réseau RSP: fonction immittance et fonction de transfert. • Fonction immittance est le rapport de deux variables prises à la même paire de bor­ nes. On définit deux types de fonctions immittances: - impédance (rapport tension/courant), - admittance (rapport courant/tension). • Fonction de transfert est le rapport de deux variables prises à deux paires de bornes différentes.

225

Chapitre 7 Analyse des circuits électriques en régime sinusoïdal permanent

On définit quatre types de fonctions de transfert: - Impédance de transfert (rapport tension/courant), - Admittance de transfert (rapport courant/tension), - Gain en tension (rapport tension/tension), - Gain en courant (rapport courant/courant). Les différentes fonctions de réseau RSP d’un circuit sont définies dans le tableau 7-2.

Fonction de réseau RSP Impédance

H(jco) - .. ,

V jü »)

z ' ü" ) ■ 1 ,0 » )

Immittance Admittance

IlCj©) Yl(j£0) = V l(ja»

Impédance de transfert

* r . V2(J) = v : = jcoL+ — •

R

L(j(o) LC(jco) +■ p + 1

1 +jRCco

( 7 -2 3 )

On peut exprimer la fonction de transfert H^co) sous la forme suivante: 1

(7 -2 4 )

1 est la fréquence naturelle non amortie, Vl c

avec:

ç = ± [ k est le coefficient d’amortissement. s 2R-VC Nous avons:

1

A^co) = |HxÜco)|

[1 - ( © / 0.707: L’amplitude A(co), égale à 1 pour co = 0, décroît de façon monotone vers 0 lorsque la fré­ quence augmente. À la fréquence con, on a A(con) = 1/2Ç. La phase 4>(co), égale à 0 pour co = 0, décroît lorsque la fréquence augmente et tend vers (-71) quand co tend vers oo. À la fréquence con, on a (con) = -n/2, peu importe la valeur de Ç. • Cas où Ç = 0.707: L’amplitude A(co), égale à 1 pour co = 0, décroît de façon monotone de 1 vers 0 lorsque la fréquence augmente. À la fréquence con, on a A(con) = 0.707. La phase 0.707.

Chapitre 7 Analyse des circuits électriques en régime sinusoïdal permanent

231

• Cas où Ç < 0.707: L’amplitude A(co), égale à 1 pour co = 0, croît pour atteindre un maximum à une fréquen­ ce cor donnée par: = œnV l-2 < ;2 = con 1 - - L 2Q

(7-25)

où Q = 1/2Ç Ce phénomène s’appelle la résonance et la fréquence cor est la fréquence de résonance. Le paramètre Q s’appelle le facteur de résonance du circuit. À la fréquence de résonance, A(co) a comme valeur: A((0r) = A

_

i k

J Ï^ 2

_

Q

(7-26)

11— L 4Q

Dépassant la fréquence de résonance, A(co) décroît et tend vers 0 lors que la fréquence augmente vers oo. On remarque que plus Ç est faible (plus Q est grand), plus la fréquence de résonance est proche de con et plus Amax est grande. La phase

-j33. 5-133.16

V L (e ff)

= Z LlL(eff) = (j37.7)( 11.33Z-43.850) = 427.26Z-46.15°V

V C ( e ff)

= V R(ef0 = Vs(eff)- V L(eff) = 240 - (427.26Z-46.15°) = 313.18Z-100.3°V

iR (e ff) =

! C (e f f)

=

3 1 3 1 8 5 Ô 1Q Q 3° =

6.26Z-100.3°A

= V ^.

240 x 0 842

= 123.67 A

La résistance de la charge: R

P

25000

I.rf2 Aeff

(1 2 3 .6 7 )2

= 1.635Q

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

260

La réactance de la charge:

x = - 2 - = 16000 9 = 1.0460 Ieff2 (123.67) Donc Timpédance de la charge est: Z = R + j X = (1.635+j 1.046) Q

Chapitre 7 Analyse des circuits électriques en régime sinusoïdal permanent

261

Exercices 7.1

Le circuit montré dans la figure E7-1 est en régime sinusoïdal permanent. 20 mH

i,

5 ^F

100 Q S V4 vs = 150cos(10007it)

Figure E7-1

a) Déterminer les tensions et les courants du circuit. b) Tracer un diagramme vectoriel pour illustrer les relations entre les tension et les cou rants du circuit. Remarque: Le phaseur Vs est pris comme référence de phase.

7.2

Le circuit montré dans la figure E7-2 est en régime sinusoïdal permanent. h

50 Q

100 Q

-V sA A -

VsA A -

20 mH

+ vs i ( y

75 n

y2

+ v3 '

10

vs1 = 200cos(10007ct)

© v s2

Vs2 = 200cos(10007it+7i/3)

Figure E7-2 Déterminer les tensions V2, V3 et les courants Ilf I4.

7.3

Le circuit montré dans la figure E7-3 est en régime sinusoïdal permanent. + V1 -

+ ; v2

Figure E7-3 a) Calculer l’impédance Zeq vue par la source. b) Déterminer le courant I1? la tension Vj_ et la tension V2. c) Tracer un diagramme vectoriel illustrant la relation entre Vs, Remarque: Le phaseur Vs est pris comme référence.

et V2.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

262

7.4

Le circuit montré dans la figure E7-4 est en régime sinusoïdal permanent. 150 Q

----------- A V ----------L 100 mH

i2

50 mH

'SÀ v*+© Figure E7-4

+ 200

50 Q S V3

vs = 120cos(4007it)

a) Déterminer le courant Ij_, le courant I2 et la tension V3. b) Déterminer le courant Is débité par la source. Déduire l'impédance Zeq vue par la source.

7.5

Soit le circuit montré dans la figure E7-5. 10 mH 20 Q a o— »— 'rüü?Tk— - v w — +

< +

5 (J.FH

vi

Zab —^

Figure E7-5

> V2 150 Q< > -

b o----------------------- ------------------- 1i-----------

a) Déterminer l'impédance Zab(jco) vue aux bornes a-b du circuit. Tracer en fonction de la fréquence le module et la phase de Zab(jco). Déterminer la fréquence à laquelle l’impédance Zab est purement résistive (phase de Zab =

0 ).

V2

b) Déterminer la fonction de transfert H ^co) = — . vl Tracer les diagrammes de Bode représentant la réponse en fréquence de H}(jco). c) Déterminer le courant d’entrée I]_ et la tension de sortie V2 lorsqu’une tension sinusoïdale d’amplitude 50 V et de fréquence 250 Hz est appliquée à l’entrée.

7.6

Soit le circuit montré dans la figure E7-6. h

a o —►-

150 Q

VW ^

250 Q

-w ^ +

20 mH

-ab

Figure E7-6

10 jaFZZZ 500 Q

bo-

a) Déterminer l’impédance Zab(jco) vue aux bornes a-b du circuit. Tracer en fonction de la fréquence le module et la phase de Zab(jco). V2 b) Déterminer la fonction de transfert H ^co) = — . Vi

v2

Chapitre 7 Analyse des circuits électriques en régime sinusoïdal permanent

263

Tracer les diagrammes de Bode représentant la réponse en fréquence de H^co). c) Une source de tension sinusoïdale d’amplitude 100 V et de fréquence 60 Hz est connectée aux bornes a-b. Déterminer le courant ^ et la tension de sortie V2.

7.7

Soit le circuit montré dans la figure E7-7.

Figure E7-7 a) Déterminer l’impédance Zi(jco) vue par la source. Tracer en fonction de la fréquence le module et la phase de Z^'co). V2 b) Déterminer la fonction de transfert H ^co) = — . s

Tracer les diagrammes de Bode représentant la réponse en fréquence de H^co). c) Une source de tension sinusoïdale d’amplitude 1 V et de fréquence 5 kHz est connectée à l’entrée. Déterminer le courant d’entrée ^ et la tension de sortie V2.

7.8

Soit le circuit montré dans la figure E7-8.

Figure E7-8 a) Déterminer l’impédance Z^co) vue par la source. Tracer en fonction de la fréquence le module et la phase de Z^co). V2 b) Déterminer la fonction de transfert H ^co) = — . v s

Tracer les diagrammes de Bode représentant la réponse en fréquence de H^co). c) Une source de tension sinusoïdale d’amplitude 5 V et de fréquence 400 Hz est connectée à l’entrée. Déterminer le courant d’entrée Ij_ et la tension de sortie V2.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

264

7.9

Le circuit montré dans la figure E7-9 est en régime sinusoïdal permanent. 20 Q

50 mH

'WRP— v W ==100 jaF

vs © Figure E7-9

vs = 400cos(1207it)

a) Déterminer l'impédance équivalente vue par la source. b) Calculer le courant 1^ c) Calculer les puissances apparente, active, et réactive dans la charge. Tracer le diagram­ me de puissance. Déterminer le facteur de puissance de la charge.

7.10 Le circuit montré dans la figure E7-10 est en régime sinusoïdal permanent. 100 mH

50 mH

20 Q

Figure E7-10

vs = 400cos(1207it)

a) Déterminer l'impédance équivalente vue par la source. b) Calculer le courant 1^ c) Calculer les puissances apparente, active, et réactive dans la charge. Tracer le diagram­ me de puissance. Déterminer le facteur de puissance de la charge.

7.11

Le circuit montré dans la figure E7-11 est en régime sinusoïdal permanent. ;

100 mH

20 Q

->— n m '— \AAAvsi Figure E7-11

©

vs1 = 300cos(1207it)

© "•2 vs2 = 300cos(1207it+7i/3)

a) Calculer le courant Ij_ (valeur efficace et phase). b) Calculer la puissance dissipée dans la résistance et la puissance réactive dans l'induc­ tance. c) Calculer les puissances active et réactive fournies par la source Vsl.

265

Chapitre 7 Analyse des circuits électriques en régime sinusoïdal permanent

7.12 Le circuit montré dans la figure E7-12 est en régime sinusoïdal permanent. A

------- o—

vs1 =300cos(1207it)

/"'N

vs i Ç U

+l vs2 = 100cos(3607rt+7i/5)

'1

50 mH

►— 'uoir*—

+

10 Q

VAB

vs2 ( J y

100 nF B

-------- O--------------Figure E7-12 a) Tracer en fonction du temps la tension vAB(t). Calculer la valeur efficace de vAB(t). b) Calculer et tracer en fonction du temps le courant ij(t). Calculer la valeur efficace de i^t). c) Calculer les puissances active et réactive dans la charge RLC

7.13 Une charge Z est connectée à une source de tension sinusoïdale. Les formes d’ondes de la tension et du courant de la source sont montrées dans la figure E7-13.

Figure E7-13 a) Déterminer l’impédance Z. Calculer les puissances active et réactive dans la charge Z. b) Une inductance de 100 mH est connectée en parallèle avec Z. Calculer la nouvelle valeur efficace et la nouvelle phase du courant is.

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

266

7.14 Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace des tensions et des courants montrés dans la figure E7-14. vi(t), V

ms

ms

ms

3

Figure E7-14

00

i

i

1 1

1

1

1

1

1

-1 2

5 CD

C\l

0

y ms

Annexes

267

Annexe A Rappel sur les nombres complexes 1. Définition Un nombre complexe est composé d’une partie réelle et une partie imaginaire. On peut écrire un nombre complexe X sous forme cartésienne: X = a + jb où a est la partie réelle et b est la partie imaginaire. On peut aussi exprimer le nombre complexe X sous forme polaire: X = xe*9 où x est le module de X (on écrit aussi |X |) et 0 est l’argument de X (ou l’angle de X). On peut représenter le nombre complexe X par un vecteur dans le plan complexe. Im

Figure A -l Représentation graphique d'un nombre complexe dans le plan complexe. À partir de cette figure, on déduit les relations suivantes: a = xcos0

b = xsin0

x = J a2 + b2

0 = atanf-1 ^a/

X = xe-*9 = x { cos0 + j sin0} 2. Les opérations sur les nombres complexes Les opérations sur les nombres complexes sont des opérations vectorielles. Addition et soustraction L’addition et la soustraction des nombres complexes s’effectuent sous forme cartésien­ ne. On additionne (ou soustrait) deux nombres complexes en additionnant (ou en sous­ trayant) les parties réelles et les parties imaginaires respectives. Considérons deux nombres complexes X = a + jb et Y = c + jd. La somme et la différence de X et Y sont données par les relations suivantes: X + Y = (a + c) +j(b + d) X - Y = (a - c) + j(b - d)

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

268

Im

Im X+Y X

X-^ /

X

-> Re

0

Y

z.

(a)

>Re

(b) Figure A-2 Opérations sur les nombres complexes, (a) Addition, (b) Soustraction.

Multiplication et division La multiplication et la division des nombres complexes s’effectuent sous forme polaire. - On multiplie deux nombres complexes en multipliant les modules et en additionnant les arguments. - On divise deux nombres complexes en divisant les modules et en soustrayant les ar­ guments. Considérons deux nombres complexes A = ada et B = be^. Le produit de A et B est:

AB = abeJ^a + ^

Le rapport de A et B est:

A _ a j(a-p) B - b

3. Exem ples Soient deux nombres complexes: X = -0.5 + j3 = 3.041ejl/736 Y = 1.25 - j2 = 2.358e'J1012 La somme:

X + Y = (-0.5 + 1.25) + j(3 - 2) = 0.75 +j = 1.25ePa927

La différence:

X - Y = (-0.5 - 1.25) + j(3 + 2) = -2 +j5 = 5.385ej1951

Le produit:

XY = (3.041 x 2.358)^1/736 " 1012) = 7.171ei°-724

Le rapport:

X _ 3.041 J( 1.736 + 1.012) Y _ 27358e

Annexes

269

Annexe B Addition de deux fonctions sinusoïdales Soient deux fonctions sinusoïdales de même fréquence: X j(t) = A 1cos(cot + (j^) x2(t) = A2cos(cot + 2) La somme de ces deux fonctions peut être calculée en utilisant la forme exponentielle: d \a y(t) = x 1(t) + x2(t) = R ejA je

+

[ j(cût + d)2) URe| A2e

y(t) = R e j A ^ ^ + A , / " 1^ } = R e j t A ^ * 1+ A2eJ>2]ejfflt y(t) = R e fC e ^ e ^ 1} = Re{Ce^cot +^VvV-

286

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

c) Méthode des mailles.

L -i — -—"4“ Ro 4* Ro dt 2 8

-Ro

vs

Ro +

te -R6

J 3

1

Jisdt c

3

_

1

t b

dt -é-J "3 -

ê-J" R6 + L? tè-J

J l

11

hf

0

.

Jicdt

J 4

-L

d

L ldï

d)

0

Méthode longue Méthode des noeuds Méthode des mailles

-R«

r4 +

y dt + R#; + L dt

0

8 équations 4 équations 4 équations

3.2 a) Méthode directe (longue).

5 relations v-i des éléments v3 = R3i3

3 équations de courants

2 équations de tensions

Réponses aux exercices

287

b) Méthode des noeuds.

L 4 Jfd t

0

J - + - L | d t+ ~ fdt

-±

“r-

Rs

l

4

J

r

v h D l

7

J

r

5

Vc

-, vs

_

R3 is 2 _ i s l

v d ^1

c) Méthode des mailles.

d)

Méthode longue Méthode des noeuds Méthode des mailles

5 équations 3 équations 2 équations

288

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

3.3 a) Méthode des noeuds.

> CO R

L4jdt

1

r

3

>

1

c

co I

V

>

b II

R3+ L4|dt

V

T3

,

Rc + gn

~ r j dt

R^ + c ; j d t + ü ; j dt

0

b) Méthode des mailles.

r i+

-R i

-èi-

è-J

dt

Ji

-R *

h

gmR

gmR 5

J3

-R c

U - R

,

-

ldt

dt

-R ,

R i

+ R o

+

R r

+

L . —

dt

vs

—

0 0 0

Réponses aux exercices

3.4

289

a) Méthode des noeuds.

b) Méthode des mailles.

0

R i + R 2 -Ro (- r 2 + AR2) (R 2 + r 3 - AR2)

•AR2 0

ar2

0

o

5d t

L 5 d ”t

l

0

5d t

3.5

5A + J _ 5d t c6

vs

_

-L d

R4 + L5A 4

•il

h U

0 0 0

a) Méthode des noeuds

dt

ü +i +c ?!

s

v,s 2 R„

dVs2 3 _ d F

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

290

b) Méthode des mailles

v<

r .

1

J2 v4 -r 1. 5 -

3.6

*sl

=

•

i.d t

s2

J3

a) Méthodes des noeuds

v<

+ c 3i

dt

c 3—

dt

b) Méthode des mailles C3 R2 c

R4

dt

r5

Va

-C ^ Csd~t

vc L6

dt

C O >

Ro

1

r4

co >

_1_

1 r2

=

r4

0

vd ■ •4

4 _

Réponses aux exercices

3.7

291

a) Méthodes des noeuds

r2

dt

-C rï C4d"t "4dt ' L

b) Méthode des mailles

Va vb V„

0 0 v sd t + i s

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

292

3.8

a) Méthode des noeuds Ri -A /W

L3

èj* -if* rjdt è h à + c4 P d 1 ~ C2T t ~ R [

r d i _C2d-t_ R;

Ri

V,

_^s Ri

C2A + JL jd t+ J dt L5 J Ri

b) Méthode des mailles

Jl J2 = J3

3,9

vs 0 ^6*8

a) Méthode des noeuds 150 Q

1 1 1 1 75 + 25 + 50 50 x Va 1 1 1 1 Vb 50 50 + 25 + 150

^ i- i 75 s V S

150

Réponses aux exercices

293

b) Méthode des mailles 150 Q A W 75 + 25

-2 5

-7 5

-2 5

25 + 50 + 25

-5 0

-7 5

-5 0

75 + 5 0 + 150

O

v s + 2 5 is x

^2 ^3

25 Q

is = 2sin(5007ut) c) ix = 0.059 - 0.416sin(500Tct)

3.10 a) Méthode des noeuds 75 n

,/Va ^

A /W

vs1 = 120V V s iQ

25 Ci i -W V -+ 4 ' Vs2Q

50 n A W

vs2 = 50 V "l +

1 150

.

1

1

1

60

150

60

1 150

25

1

1

60

100

100

x

100

± + ^ - + 50

100

.

Va"

1

J - + -L + J^ 150

\r

1 60

V ub v c

co

75

L = 1.5A

-

0 v s2 . --------ra + 1Ac 50 _

b) Méthode des mailles 75 Q

L = 1 .5 A

=

-2 5 is 0

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

294

-150 -25 75+ 150 + 25 -100 -25 25+ 100 + 50 150 + 60+ 100 -100 -150

v sl x

^2 ^3

=

v s2

60is

c) ix = 0.16 A.

3.11

V'p = 1.286vs

a) Rt = 82.15 fi b) v2 = 0.706vs

3.12 a) Méthode des mailles a

’x

25 Q

50 Q

-o —►—^ A /v

t

f(t) = 5u(t-1 ms)-10u(t-3ms)+5u(t-5ms)

-> t ms

296

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

4.3 f(t) = 15e 2(t °'5>u ( t - 0 . 5 )

15

10

;..........|....... |..........i lS e _2tu(t) ■ ^ : : ..A : \ : : \ ! f(t) i= 15e " 2,u(t - 0 . 5 )

\

.

...

.

5- -

-0.5

'■

-

0

k

0.5

V

-

1

1.5

2

2.5 f(t) = 15e

4.4

a)

b)

-2t

cos(10t + 0 . 5 ) u ( t - 0.5)

f(t) = 50cos(5007it-1.24) = Re{50ej(500,tt" 124)} f(t) = 50cos(50(btt- 1.24) =

50sin(5007it - 1.24 + |) =Im {50ej(500’'t + a331)}

f(t) = 50cos(5 00 jtt-1.24) =

S O j^ 500*1- 124) + e-j(5Kt-1.24)}

f(t) = 50sin(5007tt + 0.55) =Im{50ej(500,'t + a55)} f(t) = 50sin(5007it + 0.55) =50cos(5007it + 0 .5 5 -| ) = Re{50ej(500,tt" 1021)} f(t) = 50sin(5007tt + 0.55) =

c)

1021>+ e-J(500*t-1.021)^

f(t) = 50e-15tcos(5007tt + 0.9) = Re{50e“ 15tej

45.45-45.45e T u(t)

La durée du régime transitoire est 5x = 5 x 11.5 ms = 57.5 ms. Régime permanent: i^oo) = 0.109A, i2(°°) = -0.145A, 5 .6

v 3 (oo)

= 45.45V

ij = [1.585cos(2007tt + 0.514) + 0.62e-500t]u (t) v2 = [49.8 cos(2007it-0.899)-30.995e"500t]u(t) La durée du régime transitoire est 5t = 5/500 = 10 ms. Régime permanent: i x = 1.585cos(2007it + 0.514), v 2 = 49.8cos(2007it - 0.899)

5 .7

ij = [0.753cos(2007it-0.185)-0.0732e"333 33t]u W v2 = [29.47 cos(2007it + 0.488) + 7.32e~333'33t]u (t) La durée du régime transitoire est 5x = 5/333.33 = 15 ms. Régime permanent: i l = 0.753 cos(2007it - 0.185), v2 = 29.47cos(2007it + 0.488)

5.o

0

nr

ij = {1.761e

-796.53t

.. oor4 -78.46t.

+ 1.239e

, .

}u (t)

( o o c. -796.53t QO - -78.46t. v2 = {-83.6e + 83.6e }u (t)

La durée du régime transitoire est —:—-, .— r- = = 63.7ms . & mm^s^, |s2|) 78.46 Régime permanent: i x = 0, v2 = 0

5 .9

ij = 2.582e"125tcos(290.47t-1.571)u(t) v2 = 163.3e

-12St

cos(290.47t + 0.406)u(t)

La durée du régime transitoire est 5x = 5/125 = 40 ms. Régime permanent: i l = 0, v2 = 0 5 .1 0

a) i! = {1.456e"175tcos(3 0 7 .2 t-1.849)+ 0.4}u (t)

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

302

{80e

-175t

cos(307.2t + 3.07) + 8 0}u (t)

b) La durée du régime transitoire est ^

= 28ms .

Régime permanent: i l = 0.4A , v2 = 80V c) iy = {0.326e_175tcos(307.2t- 1.27) + 0.327cos(500Tct- 1.4)}u(t) v2 = [4.8e

-1 7 S t

cos(307.2t + 0.556) + 4.0 cos(5007tt- 2.91 l)]u (t )

Régime permanent: ij = 0.327cos(5007tt - 1.4), v2 = 4.0cos(5007tt-2.911)

5.11

a) i! = [0 .2 + 1.483e 133tcos(332.4t- 1.638)]u(t) V2

= [72.31e

-1

cos(332.4t- 1.5708)]u(t)

b) La durée du régime transitoire est 5x = 5/133 = 37.6 ms. Régime permanent: i x = 0.2 , v2 = 0 c) ij = [0.255e

-i

cos(332.4t + 2.316) + 0.853cos(4007tt- 1.364)]u(t)

v2 = [6.226e'133tcos(332.4t + 2.391)+ 20.288cos(4007it-1.344)]u(t) Régime permanent: ij = 0.853cos(4007rt-1.364), v2 = 20.288cos(4007rt- 1.344)

5.12 i1 = 0.706 A pour t < 0

1i|(t) = - 1 .093e4 6ms 15

100 v2 = 84.7 V pour t < 0

La durée du régime transitoire est 5t = 24 ms.

5

10 15 Temps (ms)

pour t > 0

20

25

303

Réponses aux exercices

5.13

1.6e°'33ms + 0.8 u(t)

5.14

i1 = [0.48-2 .6 9 e

v2 =

120.48e

-401

cos(445.4t + 1.5728)]u(t)

Temps (s)

-401

cos(445.4t- 3.05) + 120 j>u(t)

La durée du régime transitoire est 5t =

-5 -

40

=

0.125

s.

5.15 Pour t > 0:

ij = 3 - e

15ms

100-33.33e

15ms

La durée du régime transitoire est 5x = 75 ms.

Chapitre 6

6.1

, nv . A A a) F(s) = - ■ s s+a c) F(s) = A

1 s+a 2(s + 0.5)

e) F(s)

s + 0.5

b) F(s) = —- e_Ts x — = ^[1 - e " Ts] s s s e

-T(s + a)

s+a

d) F(s) ( s + 5) -

-j0.785

n f is ) = . 6f . (s + 1.5 -j5 0 0 )

j0.785

6 e(s + 1.5 + j500)

304

6 .2

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

a) f(t) = {0.267e * + 0.352e l cos(1.732t + 2.428)}u(t) b) f(t) = {0.667e_t + 0.832e_tcos(t + 2.215)}u(t) c) f(t) = { 10te_t- 5 e _t + 5e2t}u (t) d) f(t) = {8 e_t- 8 e _tcost}u (t) e) f(t) = {0.4e-t + 0.564e_tcos(2 t- 2.356) }u (t) f) f(t) = {0.036e_2t-0.143e_t + 0.107}u(t)

A o a) Z \ 'y 2s + 300 6 .3 (s) t= \-------- -j-s --------------4 % ± n m t;c x i

„ , H ^s) =

s + 200 2s + 300

b) ij(t ) = 2.5x10 3ô(t) + (0.333 + 0.0417e 150t)u (t) v2(t) = (6 6 .6 6 7 -16.667e'150t)u (t) La durée du régime transitoire est 5/150 = 33.3 ms. Régime permanent: i x = 0.333 , v2 = 66.667 c) i j (t) = 2.5xl0'36(t)+ {1.026cos(120îTt+ 1.202) + 0.0057e"150t}u (t) v2(t) = {52.591 cos( 1207it - 0.109) - 2.278e~1S0t}u (t) Régime permanent: i x = 1.026cos(1207rt + 1.202), v2 = 52.591 cos( 1207it- 0.109)

( L A

6 .4 a) Z

, , 50(s2 + 1400s + 320000) (s) = -------- ^-----------------------s + 1000s+ 80000

>7

160000 H j(s) = -x----------------------s + 1400s+ 320000

b) Fréquences naturelles: Sj = -287.7, s2 = -1112.3 La durée du régime transitoire est 5m ax(y■ -■■^ -- ■) = 17.4ms . 2o7.7 1112.3 c) ij(t ) = {0.5+ 1.053e_2877t + 0.447e-1112'3t}u (t) v2(t) = { 5 0 + 17.44e_1U2-3t-6 7 .4 4 e'287'7t}u (t) Régime permanent: i t = 0.5, v2 = 50 c) ij(t ) = {1.808cos( 1256.6t + 0.252) + 0.052e_2877t + 0.447e” 1112'3t}u (t) v2(t) = {7.396 cos( 1256.6t- 2.192) + 7.663e"111231 - 3.359e"287 7t}u (t) Régime permanent: ij = 1.808cos(1256.6t+0.252), v2 = 7.396cos(1256.6t-2.192) A c \ rj

{ \ 120.48(s + 520.833) 1 eci(S) s + 627.5 b) i x(t) = ( 1 -0 .1 7e“52a833t)u(t)

„ , , _ 0.25(s + 833.333) l(S) " s + 520.833

Réponses aux exercices

/Ar.

, -

v2(t) = (4 0 - 15e

305

-520.833t.

)u (t)

La durée du régime transitoire est 5/520.833 = 9.6 ms. Régime permanent: i x = 1 , v2 = 40 c) ij(t) = {0.945cos(1 20 n t-0.085)-0.1 l l e -520,833t}u (t) v2(t) = {35.564 cos(120nt- 0.202) - 9.843e_520833t}u (t) Régime permanent: ij = 0.945cos(1207it-0.085), v2 = 35.564cos( 1207it-0.202)

6.6a) i ! (t) = { 0.518e-62'2t - 0.018e~2412 8t}u (t) i2(t) = {2 - 2.074e_622t + 0.074e_2412 8t}u (t) v3(t) = {100 - 77.8e_62 2t + 2.8e_2412 8t}u (t) b) La durée du régime transitoire est 5 x m ax{—j—, } } = 80ms . 62.2 2412 Régime permanent: i l = 0, i2 = 2 , v3 = 100 c) ij(t) = {0.0008e_62'2t-0.013e_2412'8t + 0.512cos( 1570.81+ 0.02)}u(t) v3(t) = {23.24 cos(1570.8t- 0.08) - 0.12 e-62'21 + 1.95e-24128t}u (t) Régime permanent: i l = 0.512cos(1570.8t + 0.02), v3 = 23.24cos(1570.8t-0.08) £L rj \ >7 ( \ s + 350s + 125000 6 .7 a) Z (s) = ----- ë7- + 1Qm----tHs+iUU)

u /\ 100000 H j(s) = ----------------------s + 350s + 125000

b) Fréquences naturelles: sx = -175+j307.2, s2 = -175-j307.2 La durée du régime transitoire est

= 28.6ms .

c) i ! (t) = {0.4+ 1.456e"175tcos(307.2t-1.85)}u(t) v2(t) = {80 + 92.06e-175tcos(307.2t + 2.62)}u(t) Régime permanent: i l = 0.4 , v2 = 80 c) ij(t) = {0.076e v2(t) = {4.76e

-1 7 S t

cos(307.2t + 2.37) + 0.326cos(1570.8t- 1.4)}u(t)

cos(307.2t + 0.56) + 4.056cos(1570.8t- 2.91)}u(t)

Régime permanent: ij = 0.326cos(1570.8t-1.4), v2 = 4.056cos(1570.8t-2.91) A fl

6.8

. , -7 0. l ( s 2 + 263.49s + 1.2697xl05) a) Z (s) = ------------- — — ------------Cq ( s + 25.4)

Tt , x H j(s) =

238.095s s2 + 263.49s + 1.2697xl05

b) Fréquences naturelles: Sj = -131.75+j331.1, s2 = -131.75-j331.1

CIRCUITS ÉLECTRIQUES

306

La durée du régime transitoire est 5 x

131.75

= 38ms .

c) ij(t) = {0.2 + 2.948e 13L75tcos(331.1t- 1.64)}u(t) v2(t) = {71.92e-131 75tcos(331.1t+1.57)}u(t) Régime permanent: i l = 0.2 , v2 = 0 c) i ! (t) = {0.252e-13175t cos(33 l . l t + 2.32) + 0.844cos(1256.6t - 1.37)}u(t) v2(t) = {7 .12e-13175tcos(331.11+ 2.39) + 20.1 cos(1256.6t- 1.35)}u(t) Régime permanent: i l = 0.844cos( 1256.6 t- 1.37), v2 = 20.1 cos( 1256.6 t - 1.35)

6.9

, „

a)

,

,

6

2 5 ( s 2 + 4 5 0 0 s + 3 x l0 6)

eq(s) ------ 2 S

+ 4 0 0 0 s +1x10

2x10

H,(S) =

6

s2 + 4500s + 3xl06

b) i ! (t) = {0.333 - 0.015e-3686 11+ 0.6815e 8139t}u (t) {0.333 - 0.015e-3686 1(t-5ms) +0.6815e-813 9(t-5ms)}u (t-5 m s ) t) = {66.67 + 18.89e-3686' 11- 85.56e-813’9t}u (t) 66.67+ 18.89e-3686'1(t-5ms) - 85.56e-813'9