Circuitos Rc y Rl

Universidad de Oriente  N ú  c  leo de Anzo á  t  egui  úcleo átegui  Extensi ó  ón   Regi ó  ón   Centro Sur  Anaco, Estado Anzo á  t  egui  átegui 

Profesor: Luis Rojas

Bachilleres:  Golindano Yutxy 

 

20.712.313 

 

Gonz á  ález  lez Nathaly 

 

20.712.114  Abreu Elias 



: 

1.1. Funciones Elementales: Funcion Rampa; Funcion Escalon; Funcion Impulso; Funcion Parabola.  1.2. Propiedades de las funciones elementales.  1.3 Aplicaciones de las funciones elementales. 

2.1. Respuestas Naturales de Circuitos RL y RC.  2.2. Constante de Tiempo y Respuesta Exponencial.  2.3. Respuesta de estado cero de Circuitos RL y RC. Respuestas Completa. 

3.1 Resolucion general para casos Subamortiguado y Sobreamortiguado.  3.2. Respuesta completa del circuito RLC.  3.3 Resolucion para caso de Amortiguamiento Critico. Respuesta Completa. 

Uno de los dos tipos b ás  icos de se ña  les, para las cuales la variable independiente es contin úa  , es decir son se ña  les que est án  definidas para un intervalo continu ó  de valores de su variable independiente.  Ejemplos:  Una Se ña  l de voz como una funci ó n del tiempo.  é r ica como una funci ón   de la Presi ó n atmosf   altura. 

Notaci ó n:  Para nombrar este tipo de se ña  les se usan   bolo "t" para denotar letras min ús  culas y el s ím la variable de tiempo continu ó.    La variable independiente, encerrar á  entre par én  tesis "(.)" 

adem á s,

se

El otro tipo b ás  ico de se ña  les, para el cual la variable independiente (tiempo) es discreta, es decir que est án  definidas para un conjunto de valores discretos de su variable independiente.  Ejemplos:  Los valores semanales del í ndice burs át  il "Dow Jones".  Los valores de Ingresos Promedios de la  poblaci ón  seg ún  su nivel de instrucci ó n. 

Representaci ón  Gr á fica:   

Notaci ó n:  Para nombrar este tipo de se ña  les se usan letras min ús  culas y el s ím   bolo "n" para denotar la variable de tiempo discreto. 

La variable independiente, encerrar á   entre corchetes "[.]" 

adem á s,

se

Es una funci ón  elemental real de un s ó lo argumento, contin úa  y diferenciable en todo su dominio excepto en un punto (inicio de la rama) f  á cilmente computable a partir de la funci ó n m ín  imo o la funci ón  valor absoluto .

Es una funci ón  matem át  ica que tiene como caracter ís  tica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matem át  icamente seria de la forma:  Para

se tiene que el proceso ocurre instant án  eamente, puesto que el argumento de

es el tiempo t, que

cambia de un valor negativo a uno positivo. 

Algunos sistemas mec án  icos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensi ó n el éc  trica en el caso de los circuitos el éc  tricos) de gran magnitud, que solamente act úa  durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga el é ctrica podr í a caer sobre el ala vibrante de un avi ón  ; a un cuerpo sujeto a un resorte podr í a d ár  sele un  fuerte golpe con un martillo, una pelota (de b éi  sbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podr ía  ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bate de b é isbol, un bast ón  de golf o una raqueta de tenis. La funci ó n impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza. 

Existen

algunas

a)  (Se b)

propiedades

importantes

que

será   n

explicadas

en

clase:  

(Esta igualdad se conoce con el nombre de f  ó rmula fundamental de la trigonometr ía  ). demuestra

f á c ilmente aplicando el teorema

de

Pit á  goras

al

tri án  gulo

rect án  gulo

OPQ) 

. (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente) 

c) los valores del seno y del coseno est án  comprendidos entre -1 y 1. 

En lo general se deben aplicar las siguientes sugerencias:  1. Usar una identidad trigonom é trica  y simplificar , es ú til cuando se presentan funciones trigonom ét  ricas.  2. Eliminar una ra í z cuadrada , se presenta normalmente despu és  de completar un cuadrado o una sustituci ón  trigonom ét  rica.  3. Reducir una fracci ó n impropia.  4. Separar los elementos del numerador de una fracci ón  entre el denominador de la fracci ón  .  5. Multiplicar por una forma unitaria g(x)/g(x) que al multiplicar por el integrando f(x) permita modificar adecuadamente [f(x)g(x)]/g(x).  6. Probar sustituir f(x) por 1/(1/f(x)).  Es necesario tener siempre a la mano una tabla de identidades trigonom ét  ricas y sustituyendo adecuadamente, llegar ás  a las “f   ó rmulas b ás  icas”. 

Se aplica el seno  y coseno  del á ngulo mitad: 

: Circuito RL (arriba) y circuito RC (abajo). 

: Comportamiento de los circuitos serie RL y RC en CC.  Los

son circuitos que contienen solamente un componente que almacena energ ía  (puede ser un condensador o inductor), y que adem ás  pueden describirse usando solamente una ecuaci ón  diferencial de  primer orden. Los dos posibles tipos de circuitos primer orden:  1.  Circuito RC (Resistor y Condensador)  2.  Circuito RL (Resistor e Inductor)  Respuesta  Los circuitos serie RL y RC (figura 1) tienen un comportamiento similar en cuanto a su respuesta en corriente y en tensi ó n, respectivamente.  Al cerrar el interruptor S en el circuito serie RL, la bobina  crea una fuerza electromotriz  (f.e.m.) que se opone a la corriente que circula por el circuito, denominada por ello fuerza contraelectromotriz. Como consecuencia de ello, en el

mismo instante de cerrar el interruptor (t0 en la figura 2) la intensidad ser á   nula e ir á   aumentando exponencialmente hasta alcanzar su valor m áx  imo, (de t0 a t1). En el mismo circuito abre S (donde el circuito ser á  abierto en la red RL),y el valor de no desaparecer í a instant án  eamente, sino que ir í a disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3).  Por otro lado, en el circuito serie RC, al cerrar el interruptor S (t0 en la figura 2), el condensador comienza a cargarse, aumentando su tensi ó n exponencialmente hasta alcanzar su valor m áx  imo E0 (de t0 a t1), que coincide con el valor de la f.e.m. E de la fuente. Si a continuaci ón  , en el mismo instante de abrir S (t2 en la figura 2) se har á   corto circuito en la red RC, el valor de Eo no desaparecer ía  instant án  eamente, sino que ir í a disminuyendo de forma exponencial hasta hacerse cero (de t2 a t3).  R  é  gimen de Funcionamiento :    En ambos circuitos se da por lo tanto dos tipos de r é gimen de funcionamiento (figura 2): 

•

•

: desde t0 a t1 (carga) y desde t2 a t3 (descarga).  : desde t1 a t2. 

  La duraci ón  del r é gimen transitorio depende, en cada circuito, de los valores de la resistencia , R, la capacidad , C, del condensador y de la autoinductancia, L de la bobina. El valor de esta duraci ó n se suele tomar como , donde es la denominada , siendo su valor en cada circuito: 

Si R est á  en ohmios , C en faradios y L en henrios ,  estar á  en segundos . Matem át  icamente se pueden obtener   las ecuaciones en r é gimen transitorio de cada circuito que se muestran en la siguiente tabla: 

  etro muy importante en este tipo de circuitos y se expresa en unidades de . La constante de tiempo, t, es un par ám

tiempo. En un circuito RL, t=L/R     enin Th , y en un circuito RC, t=R   Th C, donde R   Th es la resistencia equivalente de Th év vista desde las terminales del elemento de almacenamiento. 

El voltaje o corriente en cualquier lugar de un circuito RL o RC se obtiene resolviendo una ecuaci ón  diferencial de  primer orden.  Recordar que cualquier circuito de primer orden puede reducirse a uno equivalente en la forma de Th év  enin o Norton conectado a un ú nico inductor o condensador equivalente, como se muestra a continuaci ón  : 

cuya soluci ón  es: 

cuya soluci ón  es: 

se demuestra entonces, que la expresi ón  de la soluci ón  general es: 

•

•

•

•

Donde la variable desconocida es i(t) (o v(t))para circuitos RL (o RC). Una vez que se encontr ó  la expresi ón  de i(t) para el inductor, se calcula v(t) como L di(t)/dt. O cuando se encontr ó  la expresi ón  de v(t) para el capacitor, se calcula i(t) como C dv(t)/dt.  Cuando se quiere encontrar la respuesta natural del circuito, el valor final de la variable ser á   cero, entonces:

Si inicialmente, el elemento no tiene energ ía  almacenada, entonces el valor inicial de la variable ser á  cero. Y la respuesta al escal ó n ser á:   

Generalmente, el tiempo de conmutaci ó n es cero. 

Se consideran ahora los circuitos RLC en donde las fuentes de CD se conmutan dentro de la red  produciendo respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo tiende a infinito.  La respuesta completa se expresa como la suma de la respuesta forzada y natural, de igual forma se calculan las condiciones iniciales y se aplican a la respuesta completa para encontrar los valores de las constantes.  La respuesta completa (que arbitrariamente se supone que es un voltaje) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta forzada: 

que es una constante de excitaci ó n de CD, y una respuesta natural,

As í : 

Suponiendo que s1, s2 y Vf se conocen (basados en el circuito serie) se deben encontrar A, y B, sustituyendo el valor conocido de v en t=0+ se encuentra una ecuaci ón  que relaciona A y B, ,pero esto no es suficiente, se necesita otra relaci ón  entre A y B y normalmente se obtiene tomando la derivada de la respuesta: 

Se sustituye el valor conocido de

 en t=0+. 

Podr í a tomarse una segunda derivada y obtener una tercera relaci ó n entre A y B si se usara el valor de en t=0+, sin embargo este valor no se conoce en un sistema de segundo orden, ser í a m ás  ú til para encontrar el valor inicial de la segunda derivada, si se hace necesario, hasta este punto solo tendr í amos 2 ecuaciones para hallar las dos inc ó gnitas A y B.    Solo falta determinar los valores de v y dv/dt en t=0 + . Suponiendo que v es el voltaje en el capacitor, vc. Como , si se puede establecer un valor inicial para la corriente del capacitor autom á ticamente se tendr á   el valor de  . Si se hubiera seleccionado una corriente de inductor como respuesta, entonces el valor inicial de deber í a relacionarse con alg ú n voltaje del inductor. Las variables que no sean voltajes de capacitor o corrientes de inductor se calculan expresando sus valores iniciales y los valores iniciales de sus derivadas en t é rminos de los valores correspondientes  para c 

Las variables de estos circuitos se gobiernan por ecuaciones diferenciales de segundo orden. A primera vista se pueden distinguir porque contienen dos elementos capaces de almacenar energ í a; ya sean dos condensadores, dos bobinas (que no se puedan sustituir por una C o una L equivalente) o un

condensador m ás  una bobina. Su estudio ser á   similar al empleado con los circuitos basados en una ecuaci ón  de primer orden.  .  , si R