111Equation Chapter 1 Section 1Circuitos Monofásicos De Corriente Alterna L. Carchi† † E-mail:
[email protected] ‡ Carrera de Ingeniería Electromecánica, Electromecánica, Universidad Nacional de o!a, o!a, Ecuador †E-mail:
[email protected]
I.
INTRD!CCI"N
os circuitos #e corriente alterna constan #e una co$%inaci&n #e ele$entos' resistencias( con#ensa#ores( %o%inas ) una *enera#or que su$inistra la corriente +aria%le cu)o senti#o i*ura 1' fe$ #e la %o%ina. #e ci circ rcul ulac aci& i&nn +a por ca$% ca$%ia ian# n#o o su suce cesi si+a +a$e $ent nte e fuer,a en el tie$po( constitui#o una necesaria fuente #e electro$otri, - "em "em /10. Ciertos ele$entos for$a parte !na f. e. $ alterna se pro#uce $e#iante la rotaci&n #e #e i$pe i$pe#a #anc ncia iass que que so sonn epre epresa sa#a #ass en oh oh$ $ -2( -2( una %o%ina con +eloci#a# an*ular constante #entro #e hacien#o referencias a las relaciones eistentes en los un ca$po $a*n;tico unifor$e entre los polos #e un +alores efecti+os #el +olta3e aplica#o al circuito ) la i$án co$o se in#ica en -1' corriente pro#uci#a en sus ter$inales aplican#o #icho +olta3e en for$a #e on#as sinusoi#ales( as4 co$o las -> V =V m sen( ω t ) epresiones utili,a#as en el cálculo #e #icho circuito. Estos circuitos se encuentra en #iferentes II.8. Ley de Ohm en corriente alterna confi*uraciones -serie( paralelo o serie paralelo )a que La intensi#a# #e la corriente alterna que se ori*ina( se oportuna$e oportu na$ente( nte( las i$pe#ancia i$pe#anciass están están inte*ra#as inte*ra#as por #e#u #e#uce ce a parti partirr #e la le le)) #e h h$ $ con con lo loss +alo +alore ress #os co$ponentes' resistencias ) reactancia. $ái$os #e e I o con los +alores eficaces co$o se 5ara 5ara la re reso solu luci ci&n &n #e #i #ife fere rent ntes es fase fasess qu quee se $uestra en -8' encu encuen entra trann lo loss ci circ rcui uito tos( s( se hace hace refe refere renc ncia ia a las las V m #i+ersas ecuaciones se*6n el caso( %asán#ose #e i*ual -> i = R = senωt = I m senωt for$a for$a en *r *ráf áfica icass ) si$u si$ulac lacio ione ness para para su $a)o $a)or r enten#i$iento. 5ara ello se ha to$a#o la resoluci&n #e Re Resu sult ltan an#o #o qu quee la in inte tens nsi# i#a# a# ta ta$% $%i; i;nn +ar4 +ar4aa un e3 e3er erci cici cioo 7. 7.89 89 #el #el li% li%ro ro Elec Electr trot otec ecnia nia :ás :ásic icaa1 re refi firi ri;n ;n#o #ose se lo si si*u *uie ient nte' e' En un circ circui uito to reac reacti+ ti+o< o< sinusoi#al$ente con el tie$po( con la $is$a frecuencia quee la ensi ensi&n &n apli aplica ca#a #a.. Se su suel elen en ut util ili, i,ar ar ot otro ross ca capa paci citi ti+o +o -RC -RC(( se sa%e sa%e que que la corr corrie ient ntee está está en qu ele$entos a#e$ás #e las resistencias &h$icas( co$o a#elanto #e fase con respecto a la tensi&n con un án*ulo #e =>? ) un +alor 9.@ A. si el resistor es #e 1> 2 ) la pue#e ser conecta#as en serie con una resistencia R( una tenci&n #e ali$entaci&n es #e 1>> a B> ,. Calcular' %o%ina L ) un con#ensa#or C. Al aplicar una tensi&n el +a +alo lorr #e la i$pe i$pe#a #anc ncia ia reac reacti+ ti+aa capa capaci citi ti+a +a ) la alterna a los etre$os #e #icho circuitos en serie( se esta%lece( una +e, #esapareci#os los efectos transitorios epresi&n instantánea #e la corriente. #e corta #uraci&n( una corriente estacionaria que +iene epresa#a en -=' II II.. !NDAMENT TE" TE"RIC
L
II.1. Fuerzas electromotrices sinusoidales Los circuitos están constitui#os por un *enera#or #e corr corrie ient ntee al alte tern rnaa cu cu)o )o sent senti# i#oo #e circ circul ulac aci& i&nn +a ca$%ian#o sucesi+a$ente en el transcurso #el tie$po. Esta Esta corr corrie ient ntee es pe peri ri&# &#ic icaa ) su +alo +alore ress pu pue# e#en en epresarse $e#iante el seno o el coseno #e una funci&n #e tie$po( #eno$inán#ose sinusoi#al. Los *enera#ores in#ust in# ustria riales les están están pro)ec pro)ecta# ta#os os para para *en *enera erarr una "em sinusoi#al/ CITATIN Inf18 l 8>F9 0. !n *enera#or sencillo #e corriente alterna consiste en un unaa %o %o%i %ina na *i *ira ran# n#oo en un ca$p ca$poo $a*n $a*n;t ;tic icoo unifor$e( co$o se +e en la i*. 1'
i = I m √ 2 sen ( ωt −θ ) A
->
Don#e la intensi#a# está #esfasa#a en un án*ulo
θ -án*ulo #e #esfase o #esfase con intensi#a# respecto a #e la tensi&n. Los +alores instantáneos #e una corriente "em +ar4an peri&#ica$ente en funci&n #e la posici&n #e la %o%ina respecto a las l4neas #e ca$po en un in inst stan ante te cual cualqu quie iera ra.. El co$p co$por orta ta$ie $ient ntoo #e un #eter$ina#o circuito en serie quera epresa#o por los +alores $ái$os #e la intensi#a# - I m #e la tensi&n - # m ta$%i;n #e +alor #el #esfase θ . I ee" $ La intensi#a# efica, - I " #e una corriente alterna se #efine con el +alor #e la intensi#a# #e una corriente continua que se #esarrollase en la $is$a canti#a# #e calor en la $is$a resistencia ) en el $is$o tie$po.
II.=. Impedancia La i$pe#ancia -G en una relaci&n que eiste ente la #iferencia #e potencial alterna entre #os puntos ) la corriente circulante a tra+;s #e estos. La ecuaci&n #e la
i$pe#a i$p e#anci nciaa pue#e pue#e #efini #efinirse rse fasori fasorial$ al$ent entee co$o co$o se $uestra en -7'
Z =
U I
->
5osee una parte real e i$a*inaria. La parte real se #eno$ina i$pe#ancia resisti+a -R ) la parte i$a*inaria i$pe#ancia reacti+a -H #on#e esta pue#e' in#ucti+a o capaciti+a 5o 5orr co cons nsi* i*ui uien ente te la epr epres esi& i&nn *ene *enera rall #e la i$pe#ancia co$o es co$o se in#ica en -F' Z = R ± jX
->
Don#e el si*no positi+o correspon#e a la i$pe#ancia reacti+a in#ucti+a ) la capaciti+a #e si*no ne*ati+o.
i*ura =' Relaci&n #e fase in# in#uctancia uctancia pura.
Receptores capaciti+os puros -C'LaCo$puestos ele$en ele$entos tos pura$e pura$ente nte capac capaciti+ iti+os. os. tensi& tensi&nn están estpor án #esfasa#os >? ne*ati+os. La epresi&n #e la tensi&n efica, a tra+;s #el ele$ento #e la ecuaci&n es -1>'
U C = I . (− X C )
->
II.4. Impedancias conectadas en serie
La ecuaci&n #e la i$pe#ancia equi+alente #e +arias conecta#as en serie para un circuito #e corriente alterna $ostra#o en -B'
U Z eq = = Z 1 + Z 2 + ... Z n I
i*ura 7' Relaci&n #e fase con ccapaciti+o apaciti+o puros.
->
En for$a rectan*ular se tiene epresa#o la si*uiente ecuaci&n -@'
Z eq =( R 1+ ..+ Rn )+ j ( X 1+ .. + Xn)
->
En el caso #e i$pe#ancias reacti+as capaciti+as se $antiene la ecuaci&n -@( pero la su$a se co$pone #e canti#a#es ne*ati+as. Receptore Recept oress res resist isti+o i+oss puros puros -R' -R' Co$pu Co$puest estoo por resistencia pura #on#e el +olta3e ) la corriente están en fase. La epresi&n #e la tensi&n resisti+a ! R a a tra+;s #el resistor se in#ica co$o -9' U R = I . R
En reali#a# reali#a# no ha) nin*6n receptor receptor R( R( L o C puro( )a que por e3e$plo en un $otor el;ctrico tiene su %o%ina#o con co$ponente L( pero ta$%i;n esta %o%ina( por ser un ca%le( tiene un parte resisti+a( por lo tanto será un receptor RLC. /80 II.F. Circuito en serie Resistivos-Indu R esistivos-Inductivo ctivo (RL) Son Son aque aquell llos os ci circ rcui uito toss #e corr corrie ient ntee alte altern rnaa co$puesta por uno o $ás ele$entos resisti+os ) uno o $ás ele$entos in#ucti+os co$o se $uestra en la i*. F.
->
i*ura F: Circuito en serie resisti+o
El trián*ulo #e la i$pe#ancia correspon#iente es el que se $uestra en la i*. B. Del cual pue#en etraerse las las epre epresi sion ones es que que ri ri*e *enn el co$p co$por orta ta$i $ien ento to #el #el circuito. El án*ulo #e #esfase #epen#e #e la canti#a# #e co$ponente in#ucti+o que ten*a.
i*ura B' Dia*ra$a fasorial a#ecua#a al circuito #e la i*. F .
El +a +alo lorr $o#u $o#ula larr #e la i$pe i$pe#a #anc ncia ia pu pue# e#en en ser ser calcula#as $e#iante las si*uientes ecuaciones -11'
Z =√ R R + X L 2
2
->
La ecuaci&n -18 #e la i$pe#ancia reacti+a in#ucti+a -HL es' X L= 2 πfL =ω . L
−1 X L
= tan−
R
El +alor $o#ular #e la i$pe#ancia pue#e calcularse #e la for$a co$o se $uestra en -17'
− X R +( +(¿¿ ¿ C ) Z =√ ¿
1
U L
II.B. Circuito en serie Resistivo-Capacitivos (RC) Son aquellos circuitos que se encuentran co$puestos por uno o $ás ele$entos resisti+os ) uno o $ás ele$en ele$entos tos capaci capaciti+ ti+os os conec conecta# ta#os os en serie serie co$o co$o se $uestra en la i*. @.
->
Sien#o que la ecuaci&n #e la i$pe#ancia reacti+a capaciti+a -Hc se o%ser+a en -1F'
X C =
->
U R
2
2
->
El án*ulo #e la i$pe#ancia pue#e #eter$inarse partien#o #e la ecuaci&n anterior -11 -11 o%tenien#o la si*uiente -1='
θ= tan
i*ura 9' Dia*ra$a fasorial correspon#iente correspon#iente -RC
−1
=
ω .C
−1
->
2 πfC
El si*no ne*ati+o #e HC con respecto a H L in#ica $ate $ate$á $áti tica ca$e $ent ntee lo loss efec efecto toss op opue uest stos os #e a$ a$%a %ass i$pe#ancias reacti+as so%re el $is$o circuito el;ctrico. A#e$ás se $uestr A#e$ás $uestraa la ecuaci ecuaci&n &n -1B -1B acerca acerca #el án*ulo án* ulo #e la i$pe#a i$pe#anci nciaa pue#e pue#e #eter$ #eter$ina inarse rse #e la si*uiente for$a'
θ= tan
−1
− Xc −1 − =tan− = sen− -> 1
R
II.@. Cir Circuit cuitos os
1
2 πfCR
en seri seriee Capacitivos (RLC)
Resi Resist stiv ivoo-In Indu duct ctiv ivoo-
Son aquell aquellos os circui circuitos tos que se encuen encuentra trann co$p co$pue uest stos os por por un unoo o $á $áss ele$ ele$en ento toss re resi sist sti+ i+os os(( in#ucti+os ) capaciti+os( to#os estos conecta#os en serie $ostra#o en la si*uiente i*. .
i*ura @' Circuito en serie resisti+o? ) $enore $en oress a >? *ra#os *ra#os.. EL trián* trián*ulo ulo #e i$pe#a i$pe#anci nciaa #on#e el án*ulo J se consi#era ne*ati+o con respecto al #e la in#uctancia. 5or consi*uiente correspon#e a estos circuitos que se o%ser+a en la i*. 9.
i*ura ' Circuito R' Dia*ra$a fasorial correspon#ient correspon#iente. e.
En la i*. 1> se o%ser+a que la ca4#a #e +olta3e pro#uci#a en a reactancia in#ucti+a se encuentra a#el a#elan anta ta#a #a > >?( ?( $ien $ientr tras as la ca4# ca4#aa #e +olt +olta3 a3ee en la rea reacta ctanci nciaa ca capac paciti iti+a +a está está atrasa atrasa#a #a >?( >?( a$%as a$%as con
i*ura 11' Circuito en paralelo.
respecto un #esfasa3e #e 19>? entre ellos. 5ora la lo corriente( tanto( es eiste necesario restar a$%os fasores La i$pe#ancia i$pe#ancia equi+alente equi+alente #e +arias +arias conecta#a conecta#ass en $e $e#i #ian ante te la ut util ili, i,ac aci& i&nn #el #el $; $;to to#o #o *eo$ *eo$;t ;tri rico co paralelo co$o se in#ica en la ecuaci&n -19' con+e con+enc ncio iona nal( l( que# que#an an#o #o co$o co$o resu result lta# a#oo el faso fasor r 1 #iferencial # % #c. El fasor representati+o #el +olta3e Z eq = 1 1 1 1 en la resistencia #e%e estar necesaria$ente en fase con -> … + + + + la corriente. /70 Z 1 Z 2 Z 3 Z n El +alor $o#ular $o#ular #e la i$pe#ancia i$pe#ancia ) el án*ulo total #e esta pue#en #eter$inarse a tra+;s #e las epresiones II III. I. EEM EEM5L 5L DE DE A5L A5LIC ICAC ACI" I"N N co$o se $uestran en -1@'
Z =√ R R + [ X L + Xc ] 2
2
->
5ara el #esarrollo #e un e3e$plo( se ha to$a#o uno #e los propuestos por el li%ro OElectrotecnia :ásicaP el e3ercicio 7.89. III.B.
Estas ecuaciones -1@ pue#e consi#erarse las $ás *enerales *enera les puesto puestoss que inc inclu) lu)en en cierto ciertoss pará$e pará$etro tross fun#a$entales en los circuitos el;ctricos e in#ica que' 1 El +alor +alor #e #e la reactancia reactancia capaciti+a capaciti+a #e%e restarse restarse sie$pre el +alor #e la l a reactancia in#ucti+a. 8 Las Las $a $a*n *nit ituu#es #es #e a$%a $%as reac reacta tanc ncia iass son son #e #ete ter$ r$in inan ante tess en los los co$p co$por orta ta$i $ien ento toss #el #el circuito( puesto que el án*ulo #e la i$pe#ancia es capa, #e +ariar en #epen#encia #e estos #os ele$entos cu)os efectos so%re el circuito son total$ente opuesto. = Si H LKHC la reac reacta tanc ncia ia pre#o pre#o$i $ina nant ntee es in#ucti+a ) el án*ulo resultante es positi+o. 7 Si( por el contra trario( Si H LHC( la reacta reactancia ncia pre#o$inante es capaciti+a el án*ulo resultante es ne*ati+o.
Enunciado
En un circuito reacti+o? ) un +alor 9.@ A. si el resistor es #e 1> 2 ) la tenci&n #e ali$entaci&n es #e 1>> a B> ,. Calcular' a. alor #e la i$pe#anc i$pe#ancia ia reacti+a reacti+a capacit capaciti+a. i+a. %. Epresi&n instantánea #e la corriente. corriente. III.@. n!lisis Ante Antess #e co$e co$en, n,ar ar a re reso sol+ l+er er el e3er e3erci cici cio( o( pri$era$ente se #e%e to$ar en cuenta que la ca4#a #e +o +olt lta3 a3ee eis eiste tent ntee a tr tra+ a+;s ;s #e un con# con#en ensa sa#o #orr se encuentra atrasa#a >? con respecto a la corriente que por el circula( #e i*ual for$a la corriente se encontrara a#elanta#a con un án*ulo #e =>? se*6n el enuncia#o #el
e3ercicio. Al e$pe,ar el análisis suponien#o la corriente co$o
referencia( por ser la canti#a# co$6n a to#o el circuito. 5or tanto su epresi&n instantánea resulta i*ual co$o se in#ica#o en -='
La representaci&n #el circuito que#ar4a #e la si*uiente for$a i*.18.
ω .t < θ A i =√ 2 . Is Isen en ¿ -= 5ara 5ara po po#e #err re reso sol+ l+eer #e for$ for$aa a#ecu #ecuaa#a las las interr interro*a o*ante ntess los esta%l esta%leci eci#as #as por elel e3ercicio' pro %le$a( $a( re+isa re+isar r pri$era$ente #atos que %rin#a epro%le 3ercicio' <
∅
i*ura 18' Circuito RC e3e$plo 7.89.
"=>Q
<
I 9.@ A.
<
R1> 2
<
!1>> .
<
" B> ,
III.9.8. E%presi&n
instant!nea
de
la
corriente
De acuer#o con la ecuaci&n -8 se pue#e o%tener la epresi&n instantánea #e la corriente'
i = I m √ 2 sen ( ωt ) A
Anali,an#o las ecuaciones #eter$ina#as anterior$ente para circuitos RC( se conclu)e que las ecuaciones -8 ) -1B ser4an las a#ecua#as para la resoluci&n a#ecua#a #el pro%le$a. III.9. #esarrollo
Re Repr pres esen enta tan# n#oo lo loss +alo +alore ress a#ec a#ecua ua#o #oss con$e$oran#o que el án*ulo #e la corriente esta a#elanta#a( o%tenien#o el si*uiente resulta#o'
III.9.1. $alor de la impedancia reactiva capacitiva 5a 5ara ra la #ete #eter$ r$in inac aci& i&nn #e la i$pe i$pe#a #anc ncia ia reacti+a capaciti+a se hace uno #e la ecuaci&n -1B epresa#a anterior$ente( #on#e el án*ulo #e la i$pe#ancia total #el circuito es #irecta$ente proporcional a la i$pe#ancia reacti+a capaciti+a pero in+ersa$ente proporcional al resistor. resistor.
θ= tan
Desp Despe3 e3an an#o #o ecuaci&n -1'
X C
−1
−
->
se o%ti o%tien enee la si*u si*uie ient ntee
X C =−[tan anθ θ .R]
377 2
i =√ . ( 377
8.7
t 30 ° A
) sen ¿
i =12.3036 sen ¿
t 30 ° A
I. CM5R:ACIN DE STARE 5ara la 3ustificaci&n #e los resulta#os o%teni#os en el e3erc 3ercic icio io(( se ut util ili, i,&& el sof oftU tUaare MATL MATLA: A: V( $anipulan $anip ulan#o #o una #e las herra$ientas herra$ientas ofreci#as ofreci#as por el $is$o softUare( en este caso Si$ulinW. !tili,an#o los #atos %rin#a#os por el pro%le$a co$o los los +alo +alore ress #ete #eter$ r$in ina# a#os os(( se re real ali, i,&& el ci circ rcui uito to uti utili, li,an# an#oo tre tress +olt4$ +olt4$etr etros os ) un a$per4 a$per4$et $etro ro en la platafor$a #on#e estos a la +e, se conectan a un osciloscopio co$o se $uestra en la i*. 1=.
Sustitu)en#o los +alores( #an#o co$o resulta#o una i$pe#ancia reacti+a capaciti+a #el si*uiente +alor'
X C =−5.7735 Ω X C =−[ tan tan 30 ° .10 Ω ] i*ura 1=' Representaci&n #el circuito RC conecta#o a un osciloscopio.
5er$itien#o #e esta $anera( o%ser+ar el #ia*ra$a en funci&n #el tie$po e+i#ente en la i*. 17.
U CC & $ I '-( C C Uc& ).* ⦝+ . '/.**+/⦝-0$ # Uc&/.1102/⦝-3 #
Tra,an#o el #ia*ra$a fasorial con respecto a los resulta#os o%teni#os $e#iante la resoluci&n $ate$ática co$o co$o la si si$u $ula laci ci&n &n #el #el $i $is$ s$o( o( se o% o%te teni nien en#o #o la si*uiente i*. 1@' i*ura 17' Dia*ra$a #e tie$po.
Los #if #ifere erente ntess colores colores asi*na asi*na#os #os a ca#a cur+a cur+a representan la si*uiente i*. 1F.
i*ura 1@' Dia* Dia*ra$a ra$a fasorial i*ura 1F' Colores asi*na#os a l4neas #e +olta3e ) corriente .
Co Co$p $pro ro%a %an# n#oo lo loss resu result lta# a#os os o% o%te teni ni#o #oss en el #ia*ra$a #e tie$po co$o los o%teni#os por $e#io #e ecuaciones( se #e$uestra lo si*uiente confor$e a lo ilustra#o en la i*. 1B.
Los #iferentes #ia*ra$as ilustra#os en el e3ercicio( tiene co$o o%3eti+o #ar a conocer el co$porta$iento #el circuitos resisti+o18. /En l4nea0. 0 A+aila%le' http'[[UUU.sa%eloto#o.or*[fisica[circuitosalterna.ht $l. /8 YTecnolo*ia(Z YTecnolo*ia(Z A*osto 8>18. /En l4nea0. l 4nea0. A+aila%le' A+aila%le' 0 http'[[UUU.areatecnolo*ia.co$[electrici#a#[circuitos @[circuitos< rlc[circuitos>B. 0 /F YCorriente alterna(Z septie$%re 8>1F. /En l4nea0. 0 A+aila%le' http'[[UUU.*eocities.Us[pna+ar8[alterna[rc.ht$l. /B I. :lo*( YTutoriales #e electronica %asica(Z 3unio 0 8>1B. /En l4nea0. A+aila%le' A+aila%le' http'[[tutoriales#eelectronica%asica.%lo*spot.co$[8> 1B[>B[paralelo
