Prof. José Francisco Gómez González,
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Universidad de La Laguna
2. BASES FÍSICAS DE LA ELECTROMECÁNICA 2.1 Introducción En los circuitos eléctricos, la conexión existente entre los elementos pasivos se realiza por medio de materiales conductores que obligan a que la corriente eléctrica siga determinados recorridos, obedeciendo las leyes de Kirchhoff. Cuando se trata de estudiar las máquinas eléctricas, electroimanes y otros dispositivos electromagnéticos, se plantea un problema similar de canalizar y concentrar altas densidades de flujo magnético en las regiones donde se necesita, lo que se logra por medio de materiales ………………..……….. Un circuito magnético está formado generalmente por una estructura de hierro, sobre la que se arrollan una o más bobinas por las que circulan corrientes, que dan lugar a los flujos que aparecen en el sistema.
2.2 El campo magnético Los campos magnéticos son el mecanismo fundamental para convertir la energía de corriente alterna en energía de corriente continua, o viceversa, en motores, generadores y transformadores. Existen cuatro principios básicos que describen cómo se utilizan los campos magnéticos en estos aparatos: - Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su alrededor. - Un campo magnético variable con el tiempo induce un voltaje en una bobina de alambre si pasa a través de ésta (base del FUNCIONAMIENTO DEL TRANSFORMADOR). - Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético experimenta una fuerza inducida sobre él (base del FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR). - Un conductor eléctrico que se mueve en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje inducido en él (base del FUNCIONAMIENTO DEL GENERADOR). 2.2.1 Producción de un campo magnético La ley básica que gobierna la producción de un campo magnético por una corriente es la ley de Ampère: r r ∫ H • drl = Inet donde H es la intensidad del campo magnético producida por la corriente Inet. Ejemplo: En la figura se muestra un núcleo rectangular con un devanado de N vueltas de alambre enrollado sobre una de las ramas del núcleo. Si el núcleo es de hierro o algún otro material ferromagnético, casi todo el campo magnético producido por la corriente permanecerá dentro del núcleo, de modo que el camino de integración de la ley de Ampère es la longitud media del núcleo, lc. La corriente que pasa por el camino de integración Inet es entonces Ni, puesto que la bobina de alambre corta dicho camino N veces mientras porta la corriente i. La ley de Ampère se expresa entonces Hl c = Ni donde H es la magnitud del vector de intensidad de campo r magnético H . De esta manera, la magnitud de intensidad de campo magnético en el núcleo debido a la corriente aplicada es Ni H= lc 27
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r La intensidad de campo magnético H es una medida del “esfuerzo” de una corriente por establecer un campo magnético. La potencia del campo magnético producido en el núcleo depende r también del material de éste. La relación entre la intensidad de campo magnético H y la densidad de r flujo magnético resultante B producida dentro del material está dada por r r B = µH donde µ es la permeabilidad magnética del material y representa la facilidad relativa para establecer un campo magnético en un material dado. En unidades del S.I, I se mide en amperes (A), H en amperes-vuelta por metro (A-v/m), µ en henrys por metro (H/m) y la densidad de flujo webers por metro cuadrado (Wb/m2= T, teslas). La permeabilidad del espacio libre es µo=4π 10-7 H/m La permeabilidad de cualquier material comparada con la del espacio libre se denomina permeabilidad relativa: µ µr = µo La permeabilidad relativa es una medida útil para comparar la capacidad de magnetización de los materiales. Por ejemplo, los aceros utilizados en las máquinas actuales tienen permeabilidad relativa de 2000 a 6000 o más. Esto significa que, para una cantidad de corriente dada, en la sección de acero, habrá entre 2000 y 6000 veces más flujo que en la sección correspondiente en aire. Los metales que forman los núcleos de un transformador o de un motor cumplen un papel de extrema importancia para incrementar y concentrar el flujo magnético en el aparato. Debido a que la permeabilidad del hierro es mucho mayor que la del aire, la mayor parte del flujo en el núcleo de hierro permanece dentro del núcleo en lugar de viajar a través del aire circundante. Para el ejemplo anterior, la magnitud de la densidad de flujo es µNi B = µH = lc Y el flujo total en cierta área está dado por r r φ = ∫ B • dA A
Si el vector de densidad de flujo es perpendicular a un plano de área A, y si la densidad de flujo es constante en toda el área, la integración da φ = BA Por lo que para el ejemplo, el flujo total en el núcleo producido por la corriente i en el devanado es µNiA φ = BA = lc 2.2.2 Circuitos magnéticos De la ecuación anterior se puede ver que la corriente en una bobina de alambre conductor enrollado alrededor de un núcleo produce un flujo magnético en éste. Esto es análogo al voltaje que produce un flujo de corriente en el circuito eléctrico. Es posible definir un circuito magnético cuyo comportamiento sea gobernado por ecuaciones análogas a aquellas establecidas para circuitos eléctricos. Con frecuencia, el modelo de circuito magnético del comportamiento magnético se utiliza en el diseño de máquinas y transformadores eléctricos para simplificar el proceso de diseño.
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En el circuito eléctrico de la figura, la fuente de voltaje V genera una corriente I a lo largo de la resistencia R. Según la ley de Ohm: V = IR El voltaje o fuerza electromotriz, V, es la que genera un flujo de corriente. Por analogía, en un circuito magnético el flujo magnético Φ es generado por Ni=F denominado fuerza magnetomotriz (fmm) (unidades A-v). La fuerza magnetomotriz tiene polaridad, el terminal positivo de la fuente de fmm es el terminal de donde sale el flujo y el terminal negativo es el terminal por donde el flujo retorna a la fuente. La relación entre la fmm y el flujo es F=ΦR donde R (unidades A-v/weber)es la reluctancia de un circuito magnético, que es el homólogo de la resistencia del circuito eléctrico. Para el circuito magnético del apartado 1.2.1, la reluctancia del núcleo es…..
Los cálculos del flujo magnético en el núcleo utilizando el concepto de circuito magnético es una aproximación. Efectuar el cálculo exacto utilizando las ecuaciones de Maxwell es muy difícil, y en muchos casos no se requiere puesto que tonel método aproximado se obtiene resultados satisfactorios con un error del 5% del valor real.
2.3 Efectos magnéticos en la materia 2.3.1 Ferromagnetismo Los campos magnéticos interactúan con la materia en función de varios efectos. El efecto importante desde el punto de vista de la ingeniería es el ferromagnetismo, que surge del momento magnético inherente asociado con el spin de los electrones en órbita. En ciertos materiales, entre los que sobresale el hierro, los momentos magnéticos (dipolos magnéticos) de los electrones de los orbitales interactúan para producir una región de coherencia magnética en una región extensa del material: dominio magnético. Se puede imaginar un dominio magnético como un imán microscópico, capaz de interactuar de forma importante con un campo externo. En condiciones normales, los dominios magnéticos están orientados al azar, y no producen un efecto neto. Sin embargo, por influencia de un campo magnético externo los límites de los dominios se desplazan de tal manera que los dominios orientados en la dirección del campo aplicado aumentan de tamaño a expensas de los que están en otras direcciones, y el efecto neto es una considerable intensificación del 29
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flujo magnético. Este efecto, llamado ferromagnetismo, es capaz de establecer los grandes flujos magnéticos que los dispositivos electromecánicos requieren. 2.3.2 Densidad de flujo magnético Consideramos el estado de la materia que es imantada por un campo externo, de tal modo que los dominios magnéticos producen un memento magnético neto. Definimos la densidad bipolar magnética r (magnetización), M , como la suma vectorial de todos los mementos magnéticos en un volumen de espacio, dividida entre dicho volumen. La magnetización caracteriza el efecto del campo magnético en r el estado magnético de la materia. La densidad de flujo magnético, B combina el magnetismo aplicado y el inducido r r r B = µ o (H + M) 2.3.3 Propiedades magnéticas del hierro. Debido a la importancia del hierro en la electromecánica, nos concentramos e las propiedades ferromagnéticas del hierro. Con campos aplicados moderados, la magnetización producida es proporcional al campo aplicado, y la densidad del flujo magnético es proporcional al campo magnético. r r r r r MαH ⇒ B = µH = µ oµrH En el hierro la permeabilidad relativa es típicamente del orden de 1000 a 10 000, por tanto, una causa r r magnética pequeña, H , crea un efecto magnético grande B . Un cuadro más completo de los efectos magnéticos en el hierro requiere mostrar los efectos de saturación magnética e histéresis, como se indica en la figura
En la figura se muestra el efecto de aplicar un campo magnético externo al hierro no imantado. La curva de magnetismo comienza en el origen (a) y aumenta de forma lineal a medida que el campo magnético imanta el hierro. La pendiente de la curva en esta región es como describe la ecuación anterior. Tarde o temprano, todos los dominios magéticos se alinean con el campo magnético aplicado, y la curva se aplana cuando el hierro se satura magnéticamente (b). Si entonces el campo magnético se reduce a cero, la densidad de flujo sigue una curva diferente porque el hierro tiende a retener su estado magnetizado anterior. Las fuerzas termodinámicas que desorientan los dominios magnéticos del hierro no destruyen totalmente el orden impuesto por el campo externo, por lo que el hierro conserva un magnetismo residual (c). Se ha producido así un imán permanente. Al invertir el campo magnético aplicado, con el tiempo el hierro se magnetiza en la dirección inversa hasta saturarse una vez más (d). Si se prosigue modificando cíclicamente el estado magnético del hierro aplicando una corriente ca a la bobina que crea el campo magnético aplicado, la curva continuará siguiendo una trayectoria conocida como curva de histéresis. El área encerrada por la curva de histéresis es la pérdida de energía por unidad de volumen y por ciclo. Esta pérdida calienta el hierro, y es una de las razones por las que los motores eléctricos y los transformadores se calientan En resumen, podemos decir que el hierro intensifica el flujo magnético y gobierna su distribución en el espacio. 30
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2.4 Ley de Faraday: Voltaje inducido por un campo magnético variable La ley de Faraday establece que si un flujo atraviesa una espira de alambre conductor, se inducirá en éste un voltaje directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo con respecto al tiempo, lo cual se expresa mediante la ecuación dφ ev = − dt Si una bobina tiene N espiras y el mismo flujo circula en todas, el voltaje inducido en toda la bobina estará dado por dφ dλ eind = Ne v = −N = dt dt donde λ es el enlace de flujo magnético o encadenamiento de flujo magnético. El signo menos se debe a la ley de Lenz, la cual establece que la dirección del voltaje inducido en la bobina es tal que si los extremos de ésta estuvieran en cortocircuito, se produciría en ella una corriente que generaría un flujo opuesto al cambio del flujo inicial. Puesto que el voltaje inducido se opone ala cambio que lo causa, se incluye un signo menos en la ecuación.
2.5 Ley de Biot y Savart (ley de Laplace): Producción de fuerza inducida en un alambre Sobre todo conductor recorrido por una corriente y bajo la acción de un campo magnético, actúa una fuerza mecánica r r r F = i(l × B ) La magnitud de la fuerza es F = ilBsen θ
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2.6 Voltaje inducido en un conductor que se mueve en un campo magnético Si un conductor se desplaza a través un campo magnético, se induce un voltaje en aquél. El voltaje inducido en el alambre está dado por r r r eind = (v × B ) • l r r r donde v es la velocidad del alambre y l longitud del conductor en el campo magnético. El vector l apunta en la dirección del alambre hacia el extremo que forma el ángulo más pequeño con respecto al r r vector v × B . El voltaje en el alambre se inducirá de modo que su extremo positivo esté en la dirección r r del vector v × B .
2.7 Conversión de energía electro-mecánica. Ejemplo de máquina lineal de corriente continua La máquina lineal de corriente continua es la versión más sencilla y fácil de entender de una máquina dc, ya que opera con los mismos principios y exhibe la misma conducta que los generadores y los motores reales. Por ello sirve como un buen punto de partida en el estudio de las máquinas eléctricas. En esta sección, mostraremos cómo la ley de Faraday y la ley de Ampere de la fuerza describen la transformación de energía de forma eléctrica, voltaje y corriente a la forma mecánica, fuerza y velocidad y viceversa. Transductor electromecánico. Un imán externo suministra el flujo magnético. El circuito eléctrico consiste físicamente en una batería (V), un resistor (R), dos rieles estacionarios y una barra móvil que puede rodar o deslizarse a lo largo de los rieles con contacto eléctrico. Supondremos que la barra tiene una longitud activa de l entre los rieles y que inicialmente está inmóvil. Al cerrar el interruptor, observamos la siguiente serie de efectos:
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la corriente no se inicia de inmediato debido a la inductancia del circuito (es una bobina de una sola vuelta). La constante de tiempo de L/R es muy pequeña, sin embargo. La corriente alcanza rápidamente el valor V/R. Se ejerce una fuerza sobre la barra debido a la interacción entre la corriente y el flujo magnético. La magnitud de esta fuerza es
pm = Fu = iBlu Esta potencia proviene del circuito eléctrico y, en último término, de la batería, y acelera la barra, realiza trabajo contra una fuerza externa, o ambas cosas. El movimiento de la barra produce una fuerza electromotriz. Por lo que v = uBl La polaridad de la f.e.m es positiva cuando la corriente entra en la barra en movimiento. El circuito equivalente que se muestra en la figura es un modelo de loas aspectos eléctricos del sistema. La barra en movimiento genera una fuerza contraelectromotriz que se opone a la corriente
La potencia eléctrica instantánea que entra en la barra pe, es p e = vi = uBli
Al comparar las ecuaciones anteriores se ve que la potencia eléctrica de alimentación y potencia eléctrica de salida son iguales. En la dinámica del sistema electromecánico interviene sistema eléctrico
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i=
V − v V − B lu = R R
y el sistema mecánico: V − Bl u F = B li = B l R
La barra tiene una velocidad de equilibrio de u=
V lB
para la cual la corriente y la fuerza generada es cero. Si una fuerza mecánica externa la desplaza más aprisa, la barra se convierte en un generador, invierte la dirección de la corriente y suministra potencia eléctrica al resistor y la batería. En estas circunstancias se podría demostrar que la potencia mecánica de alimentación es igual a la potencia eléctrica de salida suministrada por la barra al resistor y a la batería.
2.8 Principio de electromagnético
la
conservación
de
la
energía.
Par
El principio universal de la conservación de la energía, nos permite deducir también las ecuaciones dinámicas. La conversión de energía de uno a otro sistema sólo es posible si la energía almacenada en los campos de acoplamiento se modifica o tiende a ser modificada. La energía total almacenada en los campos de acoplamiento es la suma de las energías de los campos magnéticos y eléctricos. Wc=Wmg+Wel En general Wc=W(Ψ, T, θ, q, i, u) entre estas variables hay una dependencia por lo que hay tres variables independientes Wc=W(Ψ, q, θ) Para determiner el par debido a los campos de acoplamiento se supone un desplazamiento arbitrario, dθ, el cual implicará una modificación de la energía almacenada. Pero el principio de conservación de energía exige que se cumpla Energía entrada
eléctrica
de =
Aumento de energía almacenada
+
Energía mecánica que sale
En la mayoría de los convertidores electro-magnéticos, la energía almacenada en los campos de acoplamiento está en el campo magnético, despreciando la del campo eléctrico tenemos que . dWel=dWmg+dWmec por tanto uidt=dWmg+Te dθ dWmg= - Te dθ + (dΨ/dt) i dt Si consideramos que la corriente i y θ son las variables independientes Ψ= Ψ(i, θ) d Ψ=(∂Ψ/ ∂i) di+ (∂Ψ/∂θ) dθ 34
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Wmg= Wmg(i, θ) d Wmg =(∂ Wmg / ∂i) di+ (∂ Wmg /∂θ) dθ Sustituyendo en la expresión anterior y despejando Te dθ=[- ∂ Wmg /∂θ+i (∂Ψ/∂θ) ] dθ+[- ∂ Wmg /∂i+i (∂Ψ/∂i) ] di Para que el par, Te, sea independiente de las variaciones de la corriente, I, durante el despalzamiento dθ, la expresión que multiplica a di debe ser cero por lo que la corriente es i=∂ Wmg/ ∂Ψ Y el par es Te =- ∂ Wmg(i,θ) /∂θ+i (∂Ψ (i,θ) /∂θ) Si las variables independientes fueran Ψ y θ Te =- ∂ Wmg(Ψ,θ) /∂θ
2.9 Concepto de coenergía La energía eléctrica suministrada a un sistema electromecánico conservativo, durante un tiempo t, viene expresada por t
Wel = ∫ uidt 0
Parte de esta energía quedará almacenada en el campo magnético del sistema y si considera Ψ como la variable independiente la energía magnética almacenada será ψ
Wmg = ∫ ψi(ψ )dψ 0
Integrando por partes tenemos que i Wmg = iψ + ∫ − ∫ ψdi dψ 0
Energía Ψ
Coenergía
Se define la coenergía magnetica como i
W ' mg = − ∫ ψdi
i
0
La suma de la energía y la coenergía es Wmg+ W´mg= Ψ i En función de la coenergía magnética, las expresiones del par electromagnético cuando i y θ son las las variables independientes es Te =- ∂W´mg(i,θ) /∂θ
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PROBLEMAS DE BASES FÍSCAS DE LA ELECTROMECÁNICA 1. El circuito magnético de la figura está construido de fundición de hierro y en el entrehierro se desea obtener una inducción magnética de 1 T. Calcular el valor de la intensidad de corriente que debe circular por la bobina de 1000 espiras considerando que ningún flujo se dispersa fuera del circuito. Longitud total del hierro, LFe=38.6 cm y del entrehierro Le=0.4 cm Sol. 7.16 A
2. Se usa un electroimán para levantar un tejo de hierro de 130 Kg. La rugosidad del hierro es tal que cuando está en contacto con el electroimán hay un entrehierro mínimo igual a 0,015 cm en cada pierna. La resistencia de la bobina es 3 Ω. Calcule el voltaje mínimo de la bobina que se debe aplicar para elevar el tejo contra la fuerza de la gravedad. Desprecie la reluctancia del hierro. 500 vueltas, 3Ω
Tejo de hierro, 130Kg
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Electroimán, área de la sección transversal 0 35 cm2
EJERCICIOS DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS
