Circuitos Eléctricos - Jesús Fraile Mora - 1 de 3

 

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Ci r c u i t ose l é c t r i c o s

 

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Ci r c u i t ose l é c t r i c o s J e s ú sF r a i l eMo r a Cat edr át i c odeI ngeni er í aEl éc t r i c a Es c u el adeI n ge ni e r osdeCa mi mi n os ,Ca n al esyPu er t os Uni v er s i dadPol i t éc ni c adeM Ma adr i d

 

Da t osd ec a t a l og a c i ónbi b l i og r á fi c a Ci r c ui t osel é ct r i c os  J e s ú sF r a i l eMo r a

PEARSON ONEDUCACI ÓN,S. A. ,Ma dr i d,2012 I SBN N: :9788483227954 Ma t e r i a :6 21. 3I ng en i er í ae l éc t r i c a For ma t o:195×250mm Pág i nas :576

Cua l qu i e rf or mader e pr o duc c i ón,di s t r i bu c i ón ,c omun i c a c i ónpú bl i c aot r a s f or ma c i óndees t aobr as o l opu edes e ru t i l i z a da c onl aa ut o r i z a c i óndes ust i t u l a r e s ,s a l v oe x ce pc i ónpr e v i s t aporl al e y .L ai nf r a c c i óndel osde r ec hosme nc i ona dosp ue des e r c ons t i t ut i v adede l i t oc ont r al apr opi eda di nt el ec t u a l( a r t s . 270ys g t s .Códi g opena l ) . Di r í j as eaCEDR DRO ( Centr oEspañoldeDerechosRepr ogr áficos—www. cedr o. or g) ,s inecesi t af ot ocopi aroescanearal gún f r agment odeest aobra. Todosl osderechosr eser vados. ©

  2R 01 2 P Ed A R S O ON N E D UCACI ÓN,S . A. C/ i b e r a e l L oi r a , 2 8 28042Ma Madr i d(Es paña) I SBN: N:9788483227954 Depósi t oLegal : E qu i p od ee di c i ón : Edi t or: Mi guelMar t í nRomo Téc ni c oedi t or i a l :Es t herMa r t í n Equi podedi s eño: Di s e ña dor a :E l e naJ a r a mi mi l l o T éc n i c odedi s e ño:I r e neMe Me di n a Equi podeproducc i ón: Di r e c t or ad epr o duc c i ón :Ma r t aI l l es c a s  J ef edepr oduc c i ón:J os éA.Cl a r es Di s e ñ od ec u bi e r t a :Cop i b ook ,S . L . Compos i ci ón:Copi book,S. L. I mpr es opor : I MPRESOENES PAÑA ÑA-PRI NTEDI NSP AI N No t as o br ee n l a c e sap á g i n a swe ba j e n a s : e s t el i br oi nc l uy een l a c e sas i t i oswe bc uy ag es t i ón ,ma nt e ni mi en t oyc on t r ols onr e s pon s a bi l i da d úni cayexcl usi vadet erc erosaj enosaPEARSO ON NED DU UCACI ÓN,S. A.Losenl acesuot ra sr ef erenci asas i t i oswebsei ncl uyenconfinal i dad e s t r i c t a me nt ei n f or ma t i v ays ep r op or c i ona ne ne le s t a d oe nq ues een c ue nt r a ne ne lmome nt odepu bl i c a c i ó ns i ng a r a n t í a s ,e x pr e s a so i mp l í c i t a s , s o br el ai n f or ma c i ónqu es epr op or c i on eene l l a s . L ose nl a c e sn oi mp l i c a nela v a ldeP EARS O ON NEDUCACI ÓN S . A.at a l e ss i t i os , p ág i n aswe b,f u nc i ona l i da de sys u sr e s pe c t i v osc on t e ni dosoc ua l qu i e ra s oc i a c i ónc ons u sa dmi n i s t r a d or e s . Enc ons e c ue nc i a , PEARSO ON NED DU UCACI ÓNS. A. ,noas um me eres ponsabi l i dadal gunaporl osdañosquesepuedanderi vardehi pot ét i casi nf ra cci onesdel osder echos

depr o pi e da di n t e l e c t u a ly /oi n du s t r i a lq uepue da nc on t e ne rd i c h oss i t i oswe bn iporl a sp ér d i da s ,de l i t o sol osd a ñosype r j ui c i osd er i v a dos , di r ec t aoi ndi r e c t a me nt e ,de lus odet a l e ss i t i oswe byd es ui nf or ma c i ón .Al a c c ede rat a l e se nl a c ese xt e r n osd el oss i t i oswe b,e lus u ar i oe s t a r á baj ol aprotec ci óndedat osypol í t i casdepri vaci dadoprác t i casyot r osc ont eni dosdet al ess i t i oswebynodePEARSO ON NED DU UCACI ÓNS. A. E s t el i b r oh as i d oi mpr e s oc onpa pe lyt i n t a se c ol óg i c os

 

  Cont eni do

Acerca del autor   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi Prólogo   . Al estudiante   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

Capítulo 1. Introducción a la teoría de los circuitos eléctricos   . .. .. .. . .. .. .. . 1 1 . 1.I nt r o du c ci ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 2. .V Var i abl esquei nt er vi enenene les t udi odel osci r cui t osel éct r i cos .Conveni odes i gnos.. 1 . 2. 1.Co r r i e nt ee l é c t r i c a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 2. 2. .P Pot enci alel éct r i co.Tensi ón.Di f er enci ade ep pot enci al l. .. .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... 1 . 2. 3.Po t e n c i ae l é c t r i c a a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 3. .E El ement osact i vosi deal es .Fuent esogener ador es s. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1. 4. .T Ti posde ee exci t aci ón ny yf or masde eo onda.. . .. .. . ... . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . 1. 4. 1. .C Cl as i f i caci ónde eo ondas s. .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1. 4. 2. .O Ondasper i ódi cas :val or esa sas oci ados... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1. 5. .E El ement os sp pasi vos.. .. ... .. ... .. .. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 . 5. 1.Re s i s t e nc i a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 4 5 7 9 12 12 13 15 1 6

1 5 2 .B B n a . I n d ct a n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . 5. . 3. . .C Co ob ni d e n s a d ou r . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . 1. 6. .I I mpedanci ayadm mi i t anci aoper aci onal.. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... 1. 7. .T Topol ogí ader edes :concept osf undam me ent al es s. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... 1 . 7. 1.De f i ni c i one s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . 7. 2.Pr o pi e d a de s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 8. .L Lemasd sde eK Ki r chhof f. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... 1. 8. 1. .P Pr i merl emade eK Ki r chhof f. .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... 1. 8. 2. .S Segundol emade eK Ki r chhof f.. .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... 1. 8. 3.El e cc i ón nd de el l as se ec uac i onesi ndepe ndi e nt es sp par al aapl i ca ci ón nd de el l os sl l ema sde Ki r c h hof f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 9. .E El ement os sa act i vosr eal es s. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1. 10.As oci aci ón ny yt r ansf or maci ónde ef f uent es s. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

2 21 3 28 30 3 0 3 2 32 33 34

1. 11.1 A. s o c i a ci ó n nd d e ee e l em en t o s pa s i v o s .. . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 . 1 . .C C o n e xi ó n ne en ns s e r i e . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. . . . . .. . . . . . . 1. 11. 2. .C Conexi ón ne en np par al el o .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1. 11. 3. .E Equi val enci aes t r el l at r i ángul o.Teor emade eK Kennel l y.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

4 8 49 50 52

36 41 43

 

 v i   CONT ENI DO

1. 12. .A Anál i s i sdeci r cui t osporelmét odo od del asmal l as s. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. 60 1. 12. 1.Mét odode el l asmal l as .For mul ac i ón ng gener al.. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. . . 60 1. 12. 2.Mé t odo od del asmal l ascongener ador esdecor r i ent e. .. .. . .. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . 66 1. 13. .A Anál i s i sde ec ci r cui t osporelmét odod ode el l osnudos. s. . .. . .. .. . .. .. . .. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . 71 1. 13. 1. .F For mul aci óngener al l. .. .. .. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 71 1. 13. 2.Mé t odo od del osnudoscongener ador esdet ens i ón n. .. . .. .. . .. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . 76 1. 14.Pr i nci pi odes esuper posi ci ón. n. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 82 1. 15. .T Teor emasdeT eThéveni nyNor t on. n. . .. . .. . .. .. . .. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . 86 1. 16.Ot r os st t eor emasdec eci r cui t os. s... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 94 1. 16. 1. .T Teor emadesust i t uci ón. n.. .. ... ... ... .. ... .. .. ... ... ... .. .. ... .. ... ... ... .. .. . 94 1. 16. 2. .T Teor emade er r eci pr oci dad d. .. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 96 1. 16. 3. .T Teor emade eM Mi l l man n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 97 1. 16. 4. .T Teor emadeTel l egen. n.. ... .. .. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 99 1. 1 7.Cua d r i p ol os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 1. 18.Elampl i f i cadoroper aci onal l. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .1 110 1. 19.Bobi nascona nacopl ami ent omagnét i co o. .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . 116 1. 19. 1.Anál i s i sdel osf l uj osmagnét i cosenbobi nasac opl adas s. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. .1 117 1. 19. 2.Ener gí amagnét i caal mac ena da ac conb nbobi nasac opl ada s.. .. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . 122 Pr o bl e m ma a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Bi og r a f í a s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Re f e r e nc i a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 8

Capítulo 2. Circuitos de corriente alterna sinusoidal ......................... 141 2 . 1.I nt r o du c ci ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 2. 2. .O Ondas i nus oi dal :gener aci ónyval or esas oci ados. .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .1 144 2. 3. .R Repr es ent aci ón nc compl ej ade eu una am magni t ud ds s i nusoi dal.. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . 149 2. 4. .D Der i vada ae ei nt egr aldeuna am magni t ud ds s i nusoi dal. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. . . 155 2. 5.Eldom mi i ni odelt i empoy oyeldom mi i ni odel af r ec uenci a. .. . .. . .. .. . .. . . .. . .. . .. . .. .. . .. . 156 2. 6. .R Res pues t as i nus oi dalde el l osel ement osp spasi vos.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 161 2. 7. .I I mpedanci ayadm mi i t anci acom mp pl ej as. s. .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .1 165 2. 8. .A Anál i s i sde ec ci r cui t osen nr r égi men np per manent es i nusoi dal l. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. 168 2 . 8. 1.Ge ne r a l i d ade s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 2. 8. 2. .A As oci aci ón nd de ee el ement osp spasi vos.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 175 2. 8. 3. .M Mét odode el l ascor r i ent esde em mal l a.. .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .1 177 2. 8. 4.Mé t odo od de el l ast ens i onesde en nudo. .. .. . ... . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . 179 2. 8. 5. .P Pr i nci pi odesuper posi ci ón n. .. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .1 183 2. 8. 6.Teor emasdeThéveni nyNor t on n. . . .. .. . ... . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . 187 2. 9. .P Pot enci aenun nc ci r cui t oel éct r i coen nr r égi men nd de ec cor r i ent eal t er na as s i nus oi dal.. . .. .. .. . . 193 2. 10.Pot enci acom mp pl ej a ... .. ... ... .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2 202 2. 11.Fac t orde ep pot enci a:s ui mpor t anci apr áct i ca a. .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . 209 2. 12.Cor r ecci óndelf act ordep epot enci a.. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . 213 2. 13.Medi da ad de el l apot enci aen nc c. a.. .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. . 223 2 1 4. a n s f e r e n ci a m á x i m a d e ep p o t e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 28 2. . 15 .T Rr e s o n a n c i a e n nc c . a . .. . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .2 23 1 2. 1 6.Losf i l t r o s se e l é c t r i c os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7 2. 17.Ci r cui t osel éct r i coscon ns s eñal esno os si nusoi dal es. s.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2 241

 

CON ONT ENI DO   v i i

2 . 17 . 1 . .I I n t r o du c ci ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 2. 17. 2. .R Revi s i ónm nmat emát i ca.Ser i esde eF Four i er. r.. .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .2 242 2. 17. 3. .A Apl i cac i onesde el l ass er i esde eF Fouri eral osci r cui t osel éct r i cos s. .. .. .. .. .. .. .. ..2 . 247 2. 17. 4. .C Ci r cui t osel éct r i coscon nt t ensi óns ns i nus oi dalycor r i ent eno os s i nus oi dal l. . .. . .. .. ..2 . 251 Pr o bl e m ma a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6 Bi og r a f í a s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Re f e r e nc i a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7

Capítulo 3. Circuitos tr trifásicos .. . . . . .. . .. .. . . .. .. . . .. . .. .. . . .. .. . . .. . . . .. . . .. 279 3 . 1.I nt r o du c ci ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 3. 2. .G Gener aci ónde et t ensi onest r i f ás i cas s. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .2 281 3. 3. .C Conexi ón ne en ne est r el l aequi l i br ada. a .. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. 285 3. 4. .C Conexi ón ne en nt t r i ángul oequi l i br ado. o... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. 296 3 . 5.Ca r g a s sd d es e q u i l i br a da s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 3. 5. 1. .C Car gas sd desequi l i br adasc sconect adas se en ne es t r el l a... .. .. ... .. .. ... .. ... ... ... .. .. . 305 3. 5. 2. .C Car gasdese qui l i br adasconect adasen nt t r i ángul o .. .. .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .3 315 3. 6. .P Pot enci aen ns s i st emast r i f ási cos s. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3 321 3 . 6. 1.Ge ne r a l i d ade s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 3. 6. 2. .P Pot enci asen ns s i s t emast r i f ás i cos se equi l i br ados.. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .3 322 3. 7. .C Cor r ecci óndelf act orde ep pot enci aen nt t r i f ás i ca. a.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..3 . 329 3. 8. .M Medi da ad de el l apot enci aen ns s i s t emast r i f ás i cos s. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 333 3 . 8. 1.Ge ne r a l i d ade s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 3. 8. 2. .M Medi da ad de el l apot enci aen nc ci r cui t ose sequi l i br ados. .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .3 335 3. 9.Tr ans por t ede ee ene r gí ael éct r i ca :vent aj adel el os ss s i s t emast r i f ás i cosf sf r ent eal os sm monof á s i c os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 3. 10.Component es ss si mét r i cas s. .. ... .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3 346 3. 10. 1. .G Gener al i dades .. ... ... .. .. ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3 346 3. 10. 2. .E Eloper adort r i f ás i co« o«a» ». .. ... ... ... .. ... .. .. ... ... ... .. .. ... .. ... ... ... .. .. . 347 3. 10. 3. .C Com mp ponent ess i mét r i casdef ef as or esdese qui l i br ados. s.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 348 3. 10. 4.I mpedanci asdebi dasal ascor r i ent esde ed di f er ent es ec uenci a.. . . .. . .. . .. .. . .. . 355 3 1 5 .R R e s sd de es se c u e n c i a . . . . .. . . . . .. . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 3 3. . 10 0. . 6. . .C Ce ád l c u l o de ef f a l t a s e n ns s i s t e m a s d e ep p o t e n c i a .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .3 35 56 7 Pr o bl e m ma a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Bi og r a f í a s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7 Re f e r e nc i a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9

Capítulo 4. Régimen transitorio de los circuitos eléctricos ................... 391 4 . 1.I nt r o du c ci ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 4. 2. .L Lar es pues t acompl et ade eu una ar r ed dl l i neal. .. .. . ... . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . 393 4. 3. .C Condi ci onesi ni ci al esde el l osel ement os s. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..3 . 395 4 . 3. 1.Re s i s t e nc i a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 4 . 3. 2.I nd uc t a nc i a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 4 3. 3 . .C C p a c i d ad . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . . .. .3 9 6 4. 4. .A A. n á l i s i sa c l á s i c o od de et t r a n s i t o r i o s e n s i s t e m a s d e ep p r i m e r o r d e n n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 4 00 4. 4. 1. .R Respues t at r ansi t ori adeu eun nc ci r cui t o R-L   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 0 4. 4. 2. .R Respues t at r ansi t ori ade eu un nc ci r cui t o R-C   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 06

 

 v i i i   CONT ENI DO

4. 5. .S Sol uci ón ns s i s t emát i cade er r edesde ep pr i meror den. n... . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . 409 4. 6. .A Anál i s i scl ás i codet r ans i t or i osens i s t emasdes egundoor den. n. .. . . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. 423 4. 6. 1. .R Respues t at r ansi t ori ade eu un nc ci r cui t o R-L-C   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 4. 7. .T Tr ansf or madad ade eL Lapl ace. e.. ... .. .. .. .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .4 438 4. 8. .F Funci ón nd det r ans f er enci a.Di agr amadepol osycer os. s. .. . .. .. . .. . .. . .. . . .. . .. .. . .. . .. . 440 4. 9.Apl i c ac i ones sd de el l at r ans f or mada ad de eL Lapl ac een ne eles t udi ode et t r ans i t or i os sd de ec ci r cui t os e l é ct r i c os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 4. 9. 1.Re s pue s t adel ose l eme nt ospas i voss i mpl esenelpl ano o« «s ». . . . . .. . . . . . . . . . . . . 444 4. 10.Anál i s i sde ec ci r cui t osel éct r i cosporvar i abl esde ee es t ado. o.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 460 4. 10. 1. .E Elconcept ode ee es t ado. o .. ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4 460 4. 10. 2.Pl ant ea mi ent os i s t emát i co od de el l asecuac i onesde ee es t ado o. .. .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . 463 4. 10. 3.Sol uci ónd ndel ase cua ci one sdee s t ado op porl at r ans f or madadeLa pl ac e. .. . . . . .. .4 466 Pr o bl e m ma a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Bi og r a f í a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Re f e r e nc i a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6

Apéndice 1. Circuitos eléctricos: Aspectos históricos ......................... 489 A. 1. 1.Ley yd de eO Ohm my yl emasdeK eKi r chhof f.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. ..4 . 490 A 1 2 l g u n o s e o r e m a s dt e el o c i r c. ui t o s é r i c o s s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 92 1 A. . 1. . 3. .A Ci r c u i t o st d ec e c or r i en el as l t e r n a E l ce ál l cc ut l o s i mb ó l i c o o. . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .4 A. 1. 4. .L Lapot enci aen nc cor r i ent eal t er na a. .. ... ... .. ... ... ... ... .. .. ... .. ... ... ... .. .. ... .. .. 494 A. 1. 5.Loss i s t emaspol i f ás i cosyelmét odod ode el l ascomponent ess i mét r i ca s. . .. .. . .. .. . .. ..4 . 494 A. 1. 6.Elcál cul ooper aci onaldeHeavi s i de e. .. ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... ... .. . 496 A. 1. 7. .L Losf i l t r osel éct r i cos.Las í nt es i sde el l osci r cui t osel éct r i cos s. . ... ... ... ... ... ... .. .. .. 497 A. 1. 8.Lar eal i ment aci ónyot r ascont r i buci onesen nc ci r cui t os s. .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... ... .. . 498 A. 1. 9.Lasi nnovaci onesel ect r óni casyl osci r cui t osact i vos. .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... ... .. . 500 A. 1. 10.Del at eor í adeci r cui t osal at eor í ade es s i s t emas. s. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. 501 A. 1. 11.Eles t udi odel osci r cui t osel éc t r i coscon na ayudade eo or denador. r.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . . 503 Re f e r e nc i a s. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4

Ap éndice 2. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 A. 2. 1 . .I I n t r o du cc i ónhi s t ór i c a a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 0 A. 2. 2.Def i ni ci ón nd de et t r ansf or madade eL Lapl ace. e.. .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... ... .. . 510 A. 2. 3.Teor emass obr el at r ans f or madade eL Lapl ace e. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. 511 A. 2. 4.Des ar r ol l ode ep par esde et t r ansf or madas. s.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 519 A. 2. 5.Sí nt es i sde eo ondasut i l i za ndoeloper adorr et ar do od delt i empo. o .. . . .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. 523 A. 2. 6.Funci óni mpul s o.Del t ade eD Di r ac c. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 526 A. 2. 7.Sí nt es i sde eo ondasut i l i zando ol l af unci óni ni mpul s o.. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... ... .. . 530 A. 2. 8.Tr ans f or mada ai i nver s ade eL Lapl ac e.Tabl asde et t r ans f or mada s. .. . .. . .. . .. .. . .. . . . .. ..5 . 532 A. 2. 9.Lai nt egr alde ec convol uci ón . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . ... ... .. . 538 A. 2. 10.I nt er pr et aci óngrá f i cadel aconvol uci ón n. .. ... ... ... ... .. .. ... .. ... ... ... .. .. ... .. .. 541 A. 2. 11.Pr opi edadesde el l ai nt egr alde ec convol uci ón. n.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 544

Índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 Í nd i c e ea a na l í t i c o o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1 Í nd i c e eb bi og r á f i c o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7

 

  Acer cadel aut or

Nat ur alde eA Ayer be e( ( Hues ca ) .Per i t oI ndust r i al ,r amael éc t r i ca ,porl aEs cue l aTéc ni cad ade Per i t osI ndust r i al esdeZar agoza,1965 5( ( enl aact ual i dad:E. U.deI ngeni er í aTécni caI ndust r i al ) .I ngeni er odeTel ecom mu uni caci ón,r amael ect r óni ca,porl aE. T. S.deI ngeni er osdeTel e comuni ca ci ón nd deMadr i d,1970.Doct orI ngeni er odeTel ec omu muni ca ci ónporl aUni ver s i da d Pol i t é cni cade eM Ma dr i d,1974.Li c e nc i a do oe e nCi enc i a s ,s e c ci ón nd deF eFí s i c a s ,por rl l a Uni ve r s i da dCompl ut e ns edeMad r i d,1976. Ma es t r odeL eLabor at or i odeEl ec t r ot ec ni ade el l aE. T. S.deI ngeni er osde eT Tel ec om mu uni ca ci ón nd deMadr i d,196771.Pr of es orenca r gadodecur s oydecl as espr ác t i ca sde eE El ec t r ot ec ni aenl aes cuel aant er i or ,197072.Pr of es orenca r gadod odeLabor at or i odeEl ect r ot ecni ade l aE. T. S.deI ngeni er osdeTel ec omu muni ca c i ón nd deMadr i d,197274.Pr of es oradj unt odeLabor at or i odeEl ect r ot ecni aenl ami s maes cuel a,197475.Cat edr át i codeEl ect r ot ecni adel a Es cue l aUni ver s i t ar i adeI ngeni er í aTécni cadeObr asPúbl i ca sdeMadr i d,197278.Pr of es orad j unt ode eM Máq ui nasE sEl é c t r i ca sde el l aE. T. S.de eI I nge ni e r osI sI ndus t r i a l e sde eM Mad r i d, 197578.Cat edr át i cod odeE eEl ec t r ot ec ni adel el aE. T. S.de eI I ngeni e r osdeC eCami nos ,Ca nal esy Puer t osdel aUni ver s i daddeSant ander ,197880.Cat edr át i codeEl ec t r ot ecni adel aE. T. S. deI ngeni er osdeCami nos ,Cana l esyPuer t osdel aUni ver s i dadPol i t éc ni cadeMadr i d,des de1 e1980,cont i nuando oe en nl l aac t ual i dad.Pr of es orenca r gado od de el l aas i gnat ur aI ns t r um me ent ac i ó ny C o n t r o l , d el e l a c a r r e r a d es e gundo oc c i c l o,de eI I nge ni er odeMa t e r i a l e sdel aUPM, M,dur a nn t ey l o s C u r s o s 1 9 9 5 a 1 9 9 8 . Di r ec t ordelDepa r t ament odeEner gét i cadel aUni ver s i daddeSant ander ,197880.Secr et ar i oGener aldel aUni ver s i dad dd deSant ander ,197980.Sec r et ar i odel aE. T. S.deI ngeni er osdeCami nos ,Cana l esyPuer t osdeMadr i d,198182.Subdi r ec t ordeI nves t i gac i óny ny Doc t or adod odel aE. T. S.deI nge ni e r osdeCami nosdeMadr i d,198386.  Member  delIEEE (  Institute of Electrical and Electronic Engineers)de  Institute s de e1 1972,r e ci bi e ndo oe e lgr a dod odeSenior Member  en1985.Di r ec t ordelD De epar t ament odeI ngeni er í aCi vi l :Hi dr ául i cayEner gét i cadel aUPM M, ,19942004.Pr emi odel aFundac i ónGe ne r aldel aUPM al al a bordoc e nt e des a r r ol l ad aporunpr of es orens uvi daac adémi ca ,año1991.M Me eda l l adeOr odel aAs oc i aci ón nE Es pañol apar aelDes ar r ol l odel aI ngeni er í aEl éct r i ca,año o2 2005.Pr emi oal aExcel enci aDoc ent edel aUni ver s i dadPol i t éc ni cadeMadr i d,año2008. Aut ordedi ver s osl i br osdet ext oyar t í cul osenelÁ Ár r eadeI ngeni er í aEl éct r i ca.Pr emi o del aFundac i ón nG Gen er a ldel aUni ve r s i dad dP Pol i t éc ni c ade eM Mad r i da lme j orl i br odet et e xt o e s cr i t oporun np pr of e s ordel aUPM porell i br o:  Electromagnetismo y Circuitos Eléctricos Eléctri cos, a ño o1 1993.Hai mpa r t i dogr a nnúmer odes e mi na r i osycu r s osdedoc t or ad oendi ve r s a suni -

 

 x   ACER CA AD DELAUT OR

ve r s i da deses pañol as .Tambi énh nha ad di r i gi doo oopa r t i ci pa doe oenn nnume mer os oscur s osdef ef or maci ónyde er r eci cl ado op par adi ver s asempr es asei nst i t uci ones .Lal abori nves t i gador ades ar r ol l ada ai i ncl uyel ost emasdee ees t abi l i dadd ddes i s t emasel éc t r i cosdep epot enci a;compor t ami ent o t r ans i t or i ode em máqui nass í ncr onas ;r egul ac i óne nel ec t r óni ca ad de ev vel oci dad dd dem emot or esde ei i nduc ci ón nt t r i f ás i cos ;s i s t emasdea eal mac enami ent odee eener gí ael éct r i camedi ant ebobi nass uper conduct or asSMES;t ecnol ogí asdevel oci dad dv var i abl eycont r oli nt el i gent eenl agener aci ónhi dr oel éct r i cayt ambi éns ns obr ehi st or i ade el l aI ngeni er í aEl éct r i ca.

 

  Pr ól ogo

Es t el i br odeCi r cui t osEl éc t r i coses t áa dapt ad oal osnuevosPl an e sdeEs t udi oque es s ees t á ni mpl a nt a ndo oe e nEs pa ñae nl osúl t i mosa ños ,comoc ons ec ue nci adel aar moni z a c i ónd nde l asens eñanza suni ver s i t ar i ase s pañol asconelEs paci oEur opeodeEns eñanzaSuper i or .Es t aobr aeself r ut odemásdecua r ent aañosdeexpe r i enc i adoce nt eene s t amat er i aendi ver s a sEs c uel asTéc ni c asEs pañol asde eI I ngeni er í aTéc ni c aeI ngeni er í aSuper i or .Aunquee ee l t ext oes t áor i ent ado oe enpr i nci pi opar aques i r vadeguí adees t udi oal osnuevoses t udi ant es del osdi ver s osgr adosenI nI ngeni er í aCi vi l ,elcont eni dos os eor i ent aal osobj et i vosdocent es del apr i mer apar t edel aas i gnat ur aEl ec t r ot ec ni adel aE. T. S.de eI I ngeni er osdeCa mi nos , Ca nal esyPuer t osdel aUni ve r s i dadPol i t éc ni c adeMadr i d,a unques eha na mpl i adoal gunost emas ,par aques eaút i la au uns ec t oruni ver s i t a r i omásampl i odeot r asr a masdel ai ngen i e r í a . Ell i br oexpl i cal ospr i nci pi osdel at eor í adel osCi r cui t osEl éc t r i coscomobas ef undament a lpar aun ne es t udi opos t er i ordel asMáqui nasEl éc t r i caseI ns t al aci ones .ElCapí t ul o1 esunai nt r oducc i óna nal at eor í ade el l osci r cui t osel éct r i cos ,ene nelque es s epl ant eanc nconcept os gener al es ,vál i dospar aci r cui t osdecor r i ent econt i nuaycor r i ent eal t er na,l oquer epr es ent a unag agr an nv vent aj adet et i empo of f r ent ealenf oquet et r adi ci onal .Sees t udi ane nen ne es t eca pí t ul ol os pr i nci pal est eor emasdeci r cui t osyl osej empl osdeapl i ca ci ón nq quecont i enes er ea l i zanc on f uent esdec ec. c.par aques es eamásf ác i ll aas i mi l ac i ónd ndel osc once pt ose s t udi ados .Seh eha n i ncl ui doe oenes t ecapí t ul odi ver s ascuest i onesadi ci onal escom mo ocuadr i pol os,elampl i f i cador ope r aci onalyl asbobi nascon na a copl ami ent omagnét i co.ElCapí t ul o2t r at adel osci r cui t os dec. a.s i nus oi dal ,quec ecomi enz acon nl l ar epr es ent ac i ónc ncompl ej adees t et i po od deo eondas ,i nt r oduc i e ndoe oe lco nc e pt ode ed domi ni odel el af r ec ue nci aco mpl ej aya pl i c a ndo ol l ost e or e mas es t udi adosenelcapí t ul oant er i orenf or macompl ej a.Sees t udi ancon nd det al l el osconcept os depot enci aenc. a. ,elf ac t ordepot enci ays ui mpor t anci apr áct i cayl af or madecor r egi rel mi s mo;s ei ncl uyen nt t ambi énl nl osci r cui t os sr r es onant es ,l os sf f i l t r osel éct r i cosyelanál i s i sde l osci r cui t os sd dec ec. a.cons ns eña l esno os s i nus oi dal es ,par al ocua ls ei ncl uye eu un nr r epa s ode el l as Ser i esdeFour i er .ElCapí t ul o3s er ef i er eal osci r cui t ost r i f ás i cost ant oequi l i br adoscom mo o des equi l i br ados,l apot enci ayl osci r cui t osde em medi da ae enl nl osci r cui t ost r i f ás i cos,e ei i ncl uye alf i naluna ab br e ved edes cr i pci ón nd del el ascomponent ess i mét r i ca s .ElCa pí t ul o4s ededi caal r égi men nt t r ans i t or i ode el l osci r cui t osel éct r i cos ,en ne elques ehaceun nd dobl eanál i s i s ,t ant oel cl ás i coder es ol uci ón nd di r ect ade el l asecuac i onesi nt egr odi f er enci al esdel ar ed,com mo oelm mo ode r no ob ba s ado oe e nl at éc ni c adel el at r a ns f or ma dad ade eL La pl a ce .Sei ei nc l uye nl osc onc e pt osd sde f unci onesde et t r ans f er enci a,di agr amasde ep pol osyce r osys ei ncor por aalf i nalun na aná l i s i s s i mp l i f i c a d od od e ec c i r c u i t ose l é c t r i c osut i l i z a n dov a r i a bl e sd ee ee s t a do.

 

 x i i   PR ÓL OGO

Elt ext ot i eneademásdosapéndi cesadi ci onal es ,elpr i mer odes ar r ol l auna ah hi s t or i as uci nt adel osci r cui t osel éct r i cosyqueconsi der amosdegr ani nt er éspar aquel oses t udi ant es conoz ca nl aev ol uci ón nd dees t ar a madel aI ngeni e r í aEl éc t r i c aycompl et endees t emodo os s u ne c es ar i af or mac i ónh nhuman í s t i c ayels egu ndo oq queha c eune ne s t udi odel at r an s f or ma dad ade La pl a ce,ques es ei nc l uyeamodod ode ea a ne xo op pa r as e pa r a rs ut r a t ami e nt oma t e mát i code el l a s a p l i c a c i on e sa le s t u di ode lr é gi me n nt t r a n s i t or i od e el l osc i r c u i t o se l é c t r i c o s . Esi mpor t ant edes t ac a rquee nes t et ext os ehanada pt adot a nt ol anome menc l at ur ade el l a s ma gni t ude se l éc t r i c a sco mol as i mbol ogí adel osci r cu i t osal a snor mase ur ope a sCENELEC( Com mi i t éEur opeodeNor ma l i za c i ón nE El ec t r ot éc ni ca )yqueenEs pañaes t ár epr e s ent adaporAENOR( As oc i a ci ón nE Es pa ñol adeNor ma l i z a ci ón ny yCer t i f i c ac i ón,quea ea pr ueb aas u ve zl asNor ma sUNEEN) .Es t asnor ma scoi nc i de nbá s i ca me nt ec onl nl a sa pr oba da sporl a Comi mi s i ónEl ect r ot écni caI nt er naci onal(  International Electrotechnical Comission)  International .Es t eor gani s mo,f undado oe en1904,apr uebaypubl i caes t ándar esi nt er naci onal esr ef er ent esal at ecnol ogí ael éct r i cayenéles t ánr epr es ent adoscas it odospaí s esdelmundo. Ca da ac ca pí t ul ode ll i br oco nt i e ne eu una ag gr a nva r i e da ddee ee j e mpl osde ea a pl i c a ci ón nc c on ns s u s ol uci ón nc compl et al oquef ac i l i t a,porunapar t e,l al abordelpr of es orque el l out i l i ce,ya aq que pod r áde di c a rme nost i e mpo od de el l ac l a s eal at edi os ama ni pul ac i ón nn numér i caymásal a s deducc i onesbás i ca sy,porot r ol ado,f ac i l i t aelaut oapr endi za j edelal um mn no,ya aq quec eca da n ue v oc o c o n c e pt o q u e s e i n t r o d u c e t i e n e s uf e j e m p l o e a p l i c a c i ó n np pa r a q u e co m p r e n d a m e j o r el s i g ni f i c a d o d e l a t e o r í a p r es e n t a d a . A l i n a ld e cd ad a c a p í t ul o s e i n cl u y en e nt r e c u a r e n t a y s es ent apr obl emasenl osques edaúni cament el ar es pues t af i nal .Conel l os epr et endef ac i l i t arl al abordelpr of es orenl apr epar aci óndeenunci adosdeej er ci ci ospar adesar r ol l aren cl as eye lt r aba j odelal umn mnod odet ene rquer ec ur r i rabus ca rl i br osdepr obl e maspar ac om mpr oba rs uni veldea ea s i mi l ac i ónd nde ec co noc i mi e nt os .Lama yorpa r t ede ee es t ospr obl emasc or r es pondenaexá mene sques ehanpr opues t oanues t r oses t udi ant esenl asdi ver s aspr uebas yeval uac i ones .Teni endoencue nt al osej empl osr es uel t osal ol ar god odeca daca pí t ul oyl os e j e r c i c i osf i n a l e s ,e ll i b r op l a nt e ac a s i t r e s c i e n t o spr obl e ma ma s , quef a c i l i t a nl nl aa s i mi l a c i ónd e l at eor í a.Encadacapí t ul os ei nt er cal anc nconf nf r ecuenci aanécdot as ,coment ar i ospr áct i cosy s e c ci onesde ea a mpl i ac i ónd ndec econoc i mi ent os ,que es s on np punt oss uger ent esder er ef l e xi ón,que i nce nt i van nl l al ec t ur adelt ext o,debi do oa as ucur i osi dady dyal asapl i ca ci onesquet et i enen ne enl a pr ác t i capr of es i onaldel ai ngeni er í a.Sei ncl uye et t ambi énalf i naldeca dac aca pí t ul ounaampl i abi bl i ogr af í adea eampl i ac i ónd ndel el ost emases t udi adosen nl l al ec ci ón,que ep pueder er es ul t ar muybenef i ci os apar aaquel l oses t udi ant esquedes ee ncompl ement arl osconcept oses t udi ados ;s onpar t edel asr ef er enci asquehaut i l i zadoelaut orenl ar edac ci óndell i br o.Tambi én s ehan ne es cr i t ol asbi ogr af í asdeci ent í f i cos,i ngeni er osypr of es or esquehan nc cont r i bui dod odi r ect aoi ndi r ect ament ealdes ar r ol l odel at ecnol ogí ael éct r i ca.Susmemor i ascont r i buyen na a conoc erelmoment os oci oc ul t ur a le nelque es s edes envol vi er onl nl osdes cubr i mi en t osyl as cont r i buci onesmási mpor t ant esquer ea l i za r on nl l osci ent í f i cosyaqui enesl ahum ma ani dad dl l es debeporel l ohom me e naj eygr at i t ud. Sehai nt e nt adoenl ar e dac ci ón nd delt ext ocons egui rl amayorcl ar i dadquehas i dopos i bl e ;pa r ae l l oe lau t orha ae e s t a doa oa t e nt oat oda sl a spr e gunt a sque el l eha c í a nl osa l umnos de nt r oyf uer adelaul a,c omp mpr obandoquépar t esdeca dal ec c i ónenc e r r aba nmayor esdi f i c ul t a despa r ae l l osyobs e r va ndo oc c on nd de t eni mi e nt ol ose r r or e sques es epr oduc í a nc on nm más f r e c u en c i a e n l os ed x á md e ne s y e v a l ua c i o n e s . L o s p r o f e s o r es d e el l ai a s i g n a t u r ao p r e s t a r o nu n n a a y u d a v a l i o s í s i m a, a n o oi i d e as p a r a m o d i f i c a r l o s p l a n t e a m i e n t o s n i c i a l e s . T d a s es t a su o b s er vaci onesaconsej ar ont nt enerqueef ect uardi ver s oscambi os;ena nal gunoscas os,sepr epar a-

 

P RÓL OGO   x i i i

r on nm másf i gur as( ell i br ocont i enemásdequi ni ent asf i gura spr epar adasporelpr opi oaut or ) , pa r af ac i l i t aruna am mej orc omp mpr ens i ón;en no ot r os ,hubo oq que ei i ncl ui rmáse j empl osdea eapl i ca ci ón nq quei l us t r as enconmayorvi gorl osconce pt ost eór i cosexpl i ca dos .Nos és il aobr aque s eof r ec ea ll e c t ormer e c e r ás ua pr oba c i ón,l oúni c oquepued ede ci re la ut ore sques eha pue s t ot odo oe elempe ño,pa r aqueelt ex t ot uvi e r aunaal t ac al i da ddi dá c t i c a,ene ne lque es s e combi na s en nd de eu unm nmodo oa ade cua dol ol at eo r í ayl apr á ct i ca ,f ac i l i t ando oa al oses t udi an t e ss u es t udi o.Cons i der amosqueesun nd deberdet odoeduca dorl ogr arl oquenues t r ogr anf i l ósof o Or t egayGas s etdenomi nabal aec onomí mí ade el l aens eña nza ,esdec i rhac erf ác i ll odi f í ci l , pa r aopt i mi za relt i empo od de lal umno,hac i e ndoquea pr en daenunt i e mpo om másbr e ve .Qui e nesl l eguen na aut i l i za res t el i br odet et ext oqui záencuent r en nq quea eal gunass ec ci onesdebi er an ampl i a r s eodet al l ar s eaún nm más .Cual qui ers uger enc i anuevaocr í t i cas er ábi enve ni day ays e t om ma ar áen nc cons i der aci ónpar af ut ur asedi ci ones . De s eoha ce rpa t e nt emiag r ad e ci mi e nt oaa que l l aspe r s ona sque ee enal gún nm mome nt ode mivi dac a us ar onu nung ngr ani mpa c t oe nmif or ma ci ón.Enpr i me rl uga rl osr e c ue r doss edi r i ge nami spa dr e s :mi spr i me r osyme j or e smae s t r os ,s ue j e mpl ode ed de di c a ci ón ny ye s f ue r z o ha ns i dopa r amíl aguí ademivi da .Ta mbi énqui s i er aa gr a de ce rami spr of e s or e s ,compa ñer osycol abor ador esenl osce nt r osdondehei mpar t i do od docenc i a,porl aayudapr es t adae n c a dam amoment oyporl aa mi s t adquenoshauni dod ode s dee nt onc e s .Qui er oa pr ove c ha re s t a op r t u n i da d , r a d ar l a s g r a c i a s c ol e c t i v a m me e nr t e u c h o s pu r o f e o r e s d e I n g e n i e r í a E l é c t r i c ao d e l a U n i vp ea r s i da d e s p a ñ o l a y d e L a t i n o a m mé é i ca am po r l a s m y ús t i l e s s u ge r e n c i a s r ec i b i d a s , de mas i ado on numer os a spar aagr ade ce r l asi ndi vi dual ment e,aunquenop opore l l omenosapr ec i ad as .Ese nor met a mbi é nl ade udadegr a t i t udami sa l umnos ,pora yuda r mec on ns s uspr e gunt a sabusc armej or esi dea spar aes cr i bi rmej oryhac ermásas equi bl el at r a ns mi s i ón nd de i nf or mac i ón.Ael l osvadi r i gi doe oes peci al ment ees t el i br o,par aqueencuent r enmenosdi f i cul t ade sen ne eles t udi ode el l aas i gnat ur a.Repr es ent an ne elpúbl i cod odee ees egr an nt t ea t r oque es s on l a saul as ,dondeelac t ordes eas eres cuc hado oc con ni i nt er ésyca r i ño.Suac t i t ud df f avor abl ey r e s pet uos ae nt odom omome nt omepr opor c i ona r one ne li mpul s os uf i c i en t epa r al l ev arac abo es t aar duat ar ea. Des eoa gr ade c erdeunmodoe s pec i alamies pos aehi j osl apac i enc i amos t r adadur a nt e l apr ep ar a c i ón nd dee s t el i br oyporc om mp pr en de rmivoc a c i ón nd doc e nt e ,pors ua l i e nt oyco mpr ens i ón,yaqui eneses t aobr al eshar es t adomuchí s i mashor asdeconvi venci a.Enr ec onoc i mi e nt odee l l o,qui s i e r ade di ca res t el i br oc om mo ohom me e na j eal ame mor i ademi spa dr esy t a mbi é nami she r man a s ,es pos a ,hi j osyni e t os ,pors ui nc ondi ci ona lap oyo oy yca r i ño oe e n t oda sl aset apa sdemivi da. Es t aedi ci ón ns s epubl i cabaj oelpat r oci ni odel aedi t or i alPea r s on,ys edebeal at enac i da ddeledi t oruni ver s i t ar i o,M Mi i guelM Ma ar t í nRom mo o,quehapues t oun ng gr anempeñopa r aque l aobr as econf ec ci onar aenun nt t i empo or r é cor dyconunagr a nca l i daddepr es ent a ci ón.

 

a

 

  Al es t udi ant e

Elobj et odees t aobr a,pens adayes cr i t apar at i ,e sayudar t eeneles t udi odel osCi r cui t os El éc t r i coscomopr eámbul oaunaf or maci óne nenEl ec t r ot ec ni auot r asapl i cac i onespr áct i ca s del aI ngeni er í aEl éc t r i ca .Aunquel aguí adeun np pr of es orexper t oesmuyb ybenef i ci os apar a t i ,er est úys ol ament et ú,elúni cor es pons abl edelpr ogr es oent uses t udi os.Eléxi t odependec ec ompl e t a me nt ede eq que et t ome spa r t ea c t i va ae e ne lpr oc e s odea eapr e ndi za j e.Túno oe e s t ás apr endi endopor quees t ésal mac ena ndoe oent ument emásconoc i mi ent osomá si nf or mac i ón. Unaper s onaapr ende,cuandohacom mp pr endi doels i gni f i c adod odel oquees t udi a,des ar r ol l andou ounac aca pac i dadp dpar aenf r e nt ar s ec ons ns i t uac i onesnueva symej or ando ou unasa pt i t udesde r az onami ent o.D De e cí aJ amesCl er kMaxwel lens uconf er enc i ai naugur alenelKi ng‘ sCol l egedeLondr ese n1860:Quien se aprende una fórmula, se halla a merced de su memoria,  pero aquel que domina un principio puede mantener su cabeza libre de fórmulas, pues  sabe que puede fabricar las que le hagan falta, en el momento que quiera. ¿Será necesario añadir que, a pesar del rechazo natural del espíritu ante el duro proceso de pensar, este  proceso una vez realizado hace sentir al espíritu un poder y alegría que le animan a seguir  adelante, olvidando el trabajo y las angustias que acompañan el paso de un estado de desarrollo a otro? Quer i do oe es t udi ant e,l aspal abr asant er i or esr es um me enu nun ne ext ens ot r at ado pedagógi co,¡ apr ende ed de ee el l as ,t r ansf or mar án nt t ushábi t osdee ees t udi o! D a da al l a r e v o l u c i ó n nt t e c n o l ó gi c a a c t u , q u ep e p on el e nd n uc d al a l o s c o n t e n i d o s st t r a di ci o n a l e s , s eh ac e ca d a av v e z m á s ac u c i a n t e e l e n t r ea nl a m i e nt o de a sd f a u l t a d e s i n t e l e c t u al e s , m e d i a n t e und ndes ar r ol l oequi l i br a do od de el l ament e.Esi mpor t ant equet et ú,es t udi ant e,compr endases t a l e cc i óny nyt eej er ci t esen nu un na apr endi za j eant i ci padorei nnovador .Debe ses t arpr epar ado oy y s erl obas t ant ef l exi bl epar ar eeducar t eys i nt oni zarcon nl l asnuevass i t uaci ones ,acom mo odándot er áp i dayf ác i l me nt eal anove da dc ons t a nt eyal osnume r os osc ambi osquei nt er ve ndr án ne en nt t uca r r er af ut ur a.Ut i l i zaes t el i br odi ar i ament e.U Un ndí aodosant esdec eca dacl as e, ha zune nexa me npr e l i mi na rdel el al e c ci ón nq queva ya aa ae xpl i c arelpr of es orenela ul a ,e s t o des per t ar át ui nt er ésporelt emayt eper mi t i r áconoce rl aor gani za ci ón nd delca pí t ul o.Es c om mo omi r a rl ai ma ge ndeun nr r ompe ca bez asa nt e sdej unt a rs uspi e za s ;t e ne runai de age ne r aldelca pí t ul ot eayudar ácons i der a bl ement epar avercómos er el ac i onanl nl ost emasent r e s í .Convi ene ee en ne es t ar evi s i ónq nque et t ef or mul espr egunt asyanot esl aspar t esos cur as ,par a quepr es t esmásat enc i ón ne e nl asexpl i ca ci onesdecl as ee nl oconc er ni ent eaes t ospunt os . Es t aac ci ón nm mej or ar át uapr ovec hami ent oen ne elaul ayf avor ec er át uconc ent r ac i ón.Cad a dí a ,de s puésde ea a s i s t i ral asc l a s es ,c onvi e ne eq que eh ha ga suna al l ec t ur amásde t e ni dad ade el l os t e masexpl i ca dosenelaul a.Ell i br oc ont i e nemuchosej empl osdeapl i ca ci ón nq quet eayuda-

 

 x v i   ALEST UDI ANT E

r ánacompr endermej orl asc ues t i onesexpues t as ,pr ocur ahac erl ospr obl emasport ucue nt aycompar al osr es ul t adosconell i br o,e s t eesunm nmét odo oi i ne s t i mabl epar acompr obart u pr opi opr ogr es o.Siun np pr obl emas et er es i s t e,vuel vear epas arl at eor í aot r avezei nt ént al o r es ol vernuevam me ent e.Es t epr ocedi mi ent opodr ápar ecer t el ent oalpr i nci pi o,per oconfor me avancee eelcur s over ásl osr es ul t ados :es t ásmej or ando ot t usf acul t adesi nt el ect ual es .Siaún nt t e que dandudas ,apr ovechal ashor a sdet et ut or í asdel ospr of es or espar ahace r l esl ascons ul t as cor r es pondi ent es .Alf i nal i zarcadacapí t ul o,esi nt er es ant ehacerun nr r epas ogener al ,exponi endover bal ment e,cont uspr opi aspal abr as ,l oquehasl eí do.Tepuedesayudarconr es úmene squehayaspr epa r adoc on na ant el ac i ón,l oquemej or ar át uapr endi za j eenl or ef er ent ea or gani za ci ón ny ycompr ens i ón.Par aconc l ui r ,convi ene eq que ec compr uebe st usconoci mi ent os , r es ol vi endol ol ospr obl ema squecons i der esmásade cua dosyquehaypr epa r a dosalf i nalde ca dac aca pí t ul o;elobj et i voe oesobl i gar t eaque ea ac t úesport ucuent a,s i nayuda,es f or zándot e ena napl i ca rt usconoci mi ent os .Sur es ol uci ón nt t eayudar áades ar r ol l armét odos sl l ógi cosde pensami ent o,adqui r i endo ol l as uf i ci ent epr áct i caydest r ezaenl aapl i caci óndel osconcept os e s t u d i a d o s . Es pe r oquedi s f r ut esconl al ec t ur adees t el i br oyques eadegr anut i l i dadent uses t udi os.Cons ér val ocuandoapr uebesl aas i gnat ur a,t es er vi r áen nt t ucar r er apr of es i onal .  Bienv enido al marav illoso mundo de la Ingeniería Eléctrica.

 

  Capí t ul o1 I nt r oducci ónal at eor í a del osci r cui t osel éct r i cos I nt r oduc ci ón  1 . 2  Var i abl esquei nt er v i eneneneles t udi o del osc i r c ui t ose l éc t r i c os .Conv eni o  1 . 1

des i gnos El ement osac t i v osi deal es .Fuent es ogener ador es  1 . 4T i posdeexci t aci ónyf ormasdeonda  1 . 5E l ement ospas i vos  1 . 6 I mpedanc i ayadmi t anci aoper ac i onal  1 . 7T opol ogí ader edes:concept os f undam me ent al es  1 . 8L emasdeKi r chhof f  1 . 9 E l ement osact i vosr eal es   1 . 1 0 As oci ac i ónyt r ans f or maci óndef uent es   1 . 1 1 As oci aci óndeel em me ent ospas i vos  1 . 3

  1 . 1 2

A ná l i s i sd e c i r c ui t osporelmét odo de l a m ma a l l a s   1 . 1 3 An ál i s i sdeci r c ui t osporelmét odo  del osnudos   1 . 1 4 P r i nci pi odes uper pos i c i ón   1 . 1 5 T eor emasdeThév eni nyNor t on   1 . 1 6 Ot r ost eor emasdeci r cui t os   1 . 1 7 Cu adr i pol os   1 . 1 8E lam mp pl i ficadoroperaci onal   1 . 1 9 B obi nasc onacopl ami ent omagnét i c o

 

2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

1.1.   Introducción Lasbase sci ent í f i casdel at eor í adel osci r cui t osel éct r i cos ,seas i ent anenl asl eyesdeOhm yl osl emasdeK eKi r chhof fys eapl i ca r on ni i ni ci al ment eaci r cui t osr ec or r i dos sp porcor r i ent es e s t a c i on a r i a s q u n o ov va r i a b a n nc c o n e l t i e m p o , l o c u a l e r a l ó g i c o s u po n e r d e b i d oa os a uel e l os ú n i c o s g e n e r a d oe r e s def e f u e r z ae a e l e c t r o mo m o t r i z e x i s t e n t e s e n ne e s a é po ca a( ( m i t a d dd d e l i gq l o ) XI X er and ndecor r i ent econt i nua,basa dosenl nl aspi l asel éct r i casi nvent adasporAl es s andr oVol t a en1800.Mást ar decon ne eldes ar r ol l odel acor r i ent eal t er naabas edegener ador esel ec t r ome c áni c os ,s edi s pus odef uent esdef ef . e. m.cuyamagni t ude der aunaf af unci ón ns s i nus oi daldel t i empo o( ( haci aelaño1880) .Es t asvar i aci onesaum me ent ar onl nl acom mp pl ej i dad dd deles t udi odel os ci r cui t ose sel éc t r i cos ,yaq aque ea apa r ec i e r on nn nuevosf enómenosque eh habí aque ei i ncl ui renl nl a s ec uaci onesbás i ca s .Tr at ándos edec ecor r i ent esyt ens i onescuyasvar i aci onescon ne elt i empo 1 e r a nl nl e nt a s,sepudo or r ea l i za runa aa ada pt ac i ónd nde el l asl eye sde eO Ohm yKi r ch hof f ,ut i l i za ndo di agr amasvec t or i al esei nc l uyendo ot t ambi énelcá l cul oconnúmer oscompl ej os ,ques ede nomi nó ói i ni ci al ment emétodo simbólico. ¿Pero ¿Pe ro qué es un circuito eléctrico? Unci r c ui t oor ed de el éc t r i caesunc nconj unt ode ee el eme nt oscombi nadosdet alf or maqueexi s t el apos i bi l i dad dd deque es s eor i gi neu eunac acor r i ent e os ot el éct r i ca.Exi s t enu nunosel ement os sd denomi mi nadosacti v a mbi énf nf ue nt e soge ne r a dor es ques es um mi i ni s t r an ne ene r gí ael éc t r i ca ay yot r os se el ement os sd denom mi i nados pasiv os,quedi s i pa no al ma ce nan ne es t et i po od deener gí a.Podemoss i mbol i za run nc ci r cui t oel éc t r i coporelbl oque ed de l aFi gur a1. 1,quee ees t ás om me et i do oa aunose s t í mul osd sdee eent r a da ad denomi nadosexc i t ac i ones , debi dasal aac ci ón nd de el l asf uent es ,or i gi nandou ounasr es pues t asen ne elci r cui t o,que es s on nl l as t ens i one sycor r i ent esqueapar ece nen nl l ar ed.

circuito ito eléctrico Figura 1.1   Diagrama de bloque de un circu

Eneles t udi odel osci r cui t os ,exi s t endosr amasbi endet er mi nadas ;unas edenomi nael  análisis de redes,cuyami s i ón ne escal cul arl ar es pues t a,conoci endo ol l aexci t ac i óny nyl at opol ogí adelci r c ui t o,yot r ada ao or i ge nal a síntesis de redes cuyoo oobj et i vo oe esdet er mi narl os c om mp pone nt e sdeun nc c i r cu i t o,cu an do os s ec onoc el ae xc i t ac i óny nyl ar es pue s t ade lmi s mo.En es t et ext o,s ol os ees t udi aelanál i s i sder edes,par ael l o,esnecesar i or epr es ent aruns nsi s t em ma a f í s i co op porun nm model oel éct r i coe oequi val ent eycons i s t een na apl i ca rpost er i or ment edi ver s os t e or emas ,queengene r alut i l i za ncomoba s el osl ema sdeKi r chhof f . Segúnl nl anat ur al ezadel af unci ón nd deexci t aci ón,seobt i enen nd di ver s oscapí t ul osi nt er es ant eseneles t udi odel osci r cui t osel éc t r i cos.Sies t af unci ón ne esi nvar i ant eenelt i empo s eobt i enenl oscircuitos excitados con corriente continua ( c . c . ) ;s il af u nc i óne xc i t a c i ó n 1

Cuandol ol ast ensi onesycor r i ent esvar í anl ent ament e,sedi cequesondenat ur al ezacuas i es t aci onari a,l oquesi gni f i ca ,másconc r et amen t e ,quel el asdi mens i onesdelci r cui t os onp npeq ueña scompar ada sconl nl al ongi t udd dde eo ondad adel el as se ñal esquel el or ecor r en,od odeot r af or ma,l aper t ur baci óne nel éct r i casepr opagaene nelci r cui t oi nst ant áneament e.

 

I NT RODUCCI ÓN AL ATEORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   3

ess i nus oi dal ,s eobt i enenl nl oscircuitos excitados con corriente alterna sinusoidal  ( c . a . ) , ques ond ndeg egr ani mpor t anc i a,ya aq que ee e nl apr ác t i ca,l ac . a.si nus oi da lesl aba s ede el l a gener aci ón,t r ans f or maci ón ny ydi s t r i buci ónd ndel aener gí ael éct r i ca.Enes t ecapí t ul os eexponenc nconcept osgener al esdel at eor í ade ec ci r cui t os,vál i dospar ac. c.yc. a. ,s i nembar go l osej empl ost r at adoss er ea l i zan nc con nf f uent esi nvar i ant esene nelt i empo,par aqueell ect or pue da aa a pl i ca ri nm me edi a t ame nt eyde eu una af f or mas enci l l al os st t eor e masf or mul ad os ss s i nl a comp mpl ej i dada dapar ent eques uponealpr i nci pi ol ac. a. ,( cuyo oe es t udi opar t i cul ars er eal i za enelCa pí t ul o2) . Lar e pr es ent ac i ón nm ma t e má t i cadelc om mp por t a mi ent ode eu unc nci r cui t ohac eus odee ee cua ci onesdi f er enc i al es ,cuya as s ol uci ónc ncom mp pl et acompr ende ed dospar t es ;una aq que ee esl as ol uci ónd nde ls i s t e mahomogé neo,ques ede nom mi i nar es pue s t anatural o propia delci r cui t oy quee ee si ndepe ndi e nt edelt i pod odee ee xc i t ac i ón ny yot r aque ee esl a soluci  solución ón particular  particu lar  d   del el a ecuac i ón nd di f er enci al ,ques edenomi narespuesta forzada yquede pen dede lt i podeex ci t aci ón.Enci r cui t ospasi vosquecont i enen nr r es i st enci as ,l ar es pues t anat ur aldebes es erneces ar i ament eamo mor t i guada,yvi enec eca r act er i za daport ér mi nosexponenci al esdecr eci ent es ;mi ent r asque ee es t ar es pues t ano os s eades pr ec i abl es edi ceque ee elci r cui t of unci onae aen régimen transitorio ycua ndoa oa lc abo od deunci er t ot i empo oe es t ar e s pues t at i endeac er o,se di cequee ee lci r cui t of unci onae aenrégimen permanente.Enl oqu es i gues es uponequeel t i e m p o ot t r a n s c u r r i d o od de s d e u e e c on e c t a r o n nl l a s e xc i t a c i o n ee sn al ci r c u i t o e s l o s u f i c i e n t e m e nt e g r a n d e p a r a qu e l o sq t é r ms i no s t r a n s i t o r i o s n oi o i n f l u y a ne n l a r e s p u es t a , e s d e c i r s o l o s ehar áune nes t udi odelr égi menper manent edelci r cui t o.ElCapí t ul o4s ededi caales t udi o es pecí f i codelcomp mpor t ami mi ent ot r ansi t or i odel osci r cui t osel éct r i coscuyabas emat emá mát i cas eapoyae nelconce pt odet r an s f or ma dadeLa pl ac e .

1.2.   Variabl Variables es que intervi intervienen enen en el estudio de los circuit circuitos os eléctr eléctricos. icos. Convenio Con venio de signos Laspr i nci pal esvar i abl es sq que ei i nt er vi enen ne en ne eles t udi ode el l osc sci r cui t os se el é ct r i coss ss on: cor r i ent e,t ensi óny nypot enci a.Ladef i ni ci ón nd de ee es t asvar i abl esya al l asconoceell ec t orde unc ncur s ode eF Fí s i ca aU Uni ver s i t a r i a ,per oc ons i de r amos sd deg egr an ni i mpor t anc i ada run nr r epa s o,s i qui er as ome mer o,par aaf i anz arconc ept osqueapar t i rdeahor avanas erdeus ovul gar pa r aeles t udi a nt e.Ta mbi én,yant e sde er r e pas a rl osl sl emas sd de eK Ki r chhof f ,s ei nc l ui r án ene nes t eepí gr af el osconveni osd sdes es i gnos su ut i l i za dose se neles t udi ode el l osc sci r cui t osel éc t r i cos .De be es s eña l a r s equel el os ss s í mbol os sd del el a smagni t udesel éc t r i ca s ,a s íco mol os sd de s usuni dadesene nelSi s t emaI nt er naci onal( SI ) ,es t ánn nnor mal i za dosys eencue nt r ane nen nl l a Nor maUNEEN N6 600271: 2009,Símbolos literales empleados en electrotecnia .  Parte 1: Generalidades.Es t aNor mae sl aver s i ón no of i ci al ,e ne s pa ñol ,del aNor maEur opea EN600271: 2006,queas uvezadopt al asNor ma sI nt er nac i ona l e sdel aCom mi i s i ón nE El ect r ot éc ni caI nt e r naci onalCEI600271: 1995.Esporel l oque ee en ne e s t aobr as es egui r áns us r e c om me e n d a c o n es e n c u a n t o a l a no m n c l a t u r aD de l a m a g n i t u d s y u s un i d ad e sb y q u ed s e i r á n ni i n c l uy ei n d o op pr o g r e s i v a m e n t e e ne e l t e x t o . eb es d es t a c a r s ee q u es p a r a l o s s í m o l o s e l asmagni t udess edebeut i l i zarelt i po od del et r ai t ál i ca( i ncl i nada)ypar al oss í mbol osdel el as uni dadess edeben ne empl earcar act er esr oma manos( ver t i cal es ) .

 

4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

 1.2.1.

Corriente eléctrica

t )ye Elor i gen nd det et odosl osf enóme menosel éct r i cosesl aexi s t enci adel el aca r ga ae el éc t r i caq( yel movi mi e nt odel ami s ma .Launi da ddec ar gae ne ls i s t e maSIe se lculombio,ys er e pr e s ent aporl al et r aC.Lasca r gasel éc t r i ca spueden ns s erpos i t i vasynegat i vas .Sedemues t r a exper i ment al ment equel aca r ga ae el éct r i cas ol ament eexi s t eenmúl t i pl osent er ospos i t i voso .

1 9

t oi mpl i caquel aca r n a t i vo s d e l v a l o r acar gadelel ect r ónq 1, 602·10 C;es ge ag e s t á c ua n t i z a d a .del Lacor r i ent eel éc t r i caeselmovi mi ent ode el l asca r gasel éc t r i ca sal ol ar god ode ec ca mi nos es pecí f i cosys er epr es ent aporl al et r ai o I s e gúnquel ama gni t udde pe ndaonode lt i empo. Lacor r i ent eel éct r i car epr es ent al avar i aci óndel acar gaq( t )c onr nr es pe c t oa lt i empoques e pr oduceenl as ec ci ónt r ans ver s aldeun nc conduct or ,esdeci r : e %.

dq( t )   [ A] dt  Launi daddel acor r i ent eel éct r i caeselamperio ( A) . Lac or r i e nt ee l é c t r i c as ec o ns i d e r a quee se lmovi mi ent odeca r gaspos i t i vas( conve ni odebi do oa aBen j a mí nFr ankl i n) ,aunque s a be mosquel ac onduc c i óne nenl osme t a l e s ,s ede bee nr e a l i da da lmovi mi en t odel ose l e c t r one sl i br e s . enios relativ os Dea cue r doc onl aNor maUNEEN60375: 2004( CEI60375: 2003)Conv a los circui circuitos tos eléctricos eléctricos y magné magnéticos ticos,par ai ndi carels ent i dod ode el l acor r i ent eel éct r i caen unc nc onduc t or ,s eut i l i z auna af f l e ch ade er r e f er e nc i ae nc i maoa ll ad ode ea a quél ,quemue s t r a t ambi énelval oromagni t udd ddel acor r i ent e.( Debedes t aca r s eaquíquel acor r i ent eel éct r i caesunam amagni t ud de es ca l ar ,elvec t oradyac e nt ealconduct ori ndi caenr ea l i dad de els ent i do vec t or i alde el l avel oci dad dd del ascargas positiv as ques emuev ende nt r ode lc onduc t or ) .En l aFi gur a1. 2as emues t r aun nt t r a modeconduc t orquel l evaunacor r i ent eques edi r i gedeA aByva l e5a mpe r i os .Cua ndos ei nvi e r t el ac or r i e nt eyc i r c ul adeBaAc omos emue s t r a enl aFi gur a1. 2b,ent once ss uval orca mbi ades i gno,esdec i r.5A,s i e mpr eques ec on s e r vee ls e nt i do od del af l ec haa pun t a ndodeAaB,o op pode mospone r!5As is eca mbi ae l s ent i do od del af l ec ha.Elmi s mocr i t er i os ee mpl eapar acor r i ent esquev evar í encon ne elt i empo i t i vo,esdeci ri( t a)b 0, i( t ) ;e nes t eca s os ie lval ordei( t )par aun nt t i empo od def i ni dot a espos i( t )%

eo nt o n ce s e l m( o v i m i en t o d e el l a s c r g as p o s i i v a s en ne es i n t a n t e s i ga us e ee e l s e n t i d o om m o s t r a d o p r l a f l ec h a F i g ur a 1 . 2c ) .S i i( t a 0 , e n t o n c es en t e t s a s c a r p o s i t i v a s ( c or r i e n t e ) a % b) b l ci r cul anen ns s ent i doo oopues t oali ndi ca do op porl af l echa.

Figura 1.2   Sentidos d de e referencia de la corriente eléctrica  1.2.2.

Potencial eléctrico. Tensión. Diferencia de potencial

El  potencial eléctrico ve nunpunt odeunar e de sl aen er gí apot en c i a lporuni da ddeca r ga, deu eunac ac ar gac ac ol oca dae ae nes epunt o.Elpot e nc i a le l éc t r i c oen nu un nc ci r cu i t oesa ná l ogo oa a l pot e nci algr avi t at or i o.Com mo oenelca s odelcampog ogr avi t at or i o,elni velce r odelpot enci al

 

I NT RODUCCI ÓN AL ATEORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   5

el éct r i co oe esar bi t r ar i o;s ol ament et i enen ns si gni f i cadof of í si col ol asdi f er enci asdel el aener gí apod . d .   pp. t e nc i a l .Esporel l oques es ede f i ne el l adiferencia de potencial   ( )o tensión  ent r edos punt osA yBde eu unc nc i r c ui t o,c omoelt r a ba j or e al i z ado op pa r amove rl ac a r gauni da de nt r e e s ospunt os .Sis ede nomi mi nadw elt r abaj o( enj ul i os,J )par amoverun nd di f er enci aldeca r ga dq ent r edospunt osA yB,c uyospot en ci al e se l éc t r i coss onvA yv es pect i vam me ent eys e Br d e s i g n auABal at ens i ónodi f er enci adepot enci alent r ees osdospunt os,quepuedees cr i bi r t ) s ee nge ne r a lc omou( ,elval ordees t at ens i ón ne es : uAB% u( t )% v A. v B%

dw   [ V] dq

Ta n t oe lp ot e nc i a le l é c t r i c ov ( t )comol at ens i ónu( t )s emi de ne nv oltios ( V)ys er ep r e s ent anenelpr i merca s oporl asl et r asvoV ,s egúnques usmagni t ude sde pe nda nonode l t i empo,y ye enels egundoporl asl et r asu oU  r e s p e ct i v ame nt e . Enl aFi gur a1. 3s emue s t r aunc i r c ui t oc ond ndost e r mi na l e soac ces osA yB quee n t e or í adeci r cui t osr ec i bee ee lnombr ede yquea l gun osa ut or est ambi énd nde nomi na n p ue r t o( de li n gl é s  port ) .Dent r odelr ect ángul opuedee eexi s t i runs ns ol oel ement odeci r cui t oo unac acombi nac i ónd ndee ee l l os .Esi ndi f er ent es ucont eni do,yaq aque ee es t amosi nt er es adoss ol ame nt ee nl oques uc edee nl ost e r mi na l esdeac ce s oe xt e r no.

Figura 1.3   Sentidos de referencia de la tensió tensión n eléctrica

Deac ue r doc oc onl aNor maUNEEN60375: 2004( CEI60375: 2003)me nc i ona daa nt e s , pa r ai ndi ca rl apol ar i dad dd der ef er enc i ade el l at ens i ón ne ent r el ost er mi nal esA yB,sepuede hacerde el l ost r esmodosequi val ent ess i gui ent es : Me di ant el anot ac i ónd nded edobl es ubí ndi c e,c on ne els i gni f i ca doi oi ndi ca dop oporl aec uaci ón( 1. 2) .Elsí mbol ol i t er aluAB s ecol ocaall adodeunal í nea ,r ec t aocur va,di bu j a dae nt r el osdospunt osoe ns uc a s ot e r mi na l e sAyBc uyat ens i óns edes i gna,t a l c omos emue s t r ae nl aFi gur a1. 3a . Conunal í ne ar ec t aocur va,per oenl ugardeldobl es ubí ndi ceene ls í mbol ol i t er al u,s ec ol oc auns i gn omá s( !) j unt oalpr i merpunt oi ndi ca do oe enelsubí ndi ce .Sis e qui e r e ,par amayorcl ar i dad,s epuedeponeruns i gno om menos( enelot r oext r emo .) del al í neat a lc om mo os ei ndi c aenl aFi gur a1. 3b.Sepue deomi t i rl al í ne ac uan do on no exi s t aambi gu ¨e dad de en nl l ai dent i f i caci óndel el ospunt ost er mi nal es . Conunaf l e chadi r i gi dadelpunt odepr i mers ubí ndi cealdels egundoycol oca ndoel s í mb ol ol i t e r a lquer e p r e s e nt al at e n s i ónu all adodel af l ec ha ,t a lcomos es eña l aen l aFi gur a1. 3c. Engene r a l ,en ne es t et ext os es egui r ál anot ac i ónm nmos t r ad aen nl l aFi gur a1. 3b,pr e s ci endi endopar amayors enc i l l ez( ys i empr equeno oh hayaambi gu ¨ eda d)dedi buj arl al í neaent r e l ospunt ost e r mi na l es .Al gunosau t or esde s cr i be nt a mbi énl nl at e ns i ón ne en t r eA yB( ode eA A

 

6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

s ob r eB)ent ér mi nosdecaídas o elev aciones   dep epot enc i al .As ípar aut i l i za run ne ej empl o c onc r e t o,s upónga s eque ee e ncua l qui e r ade el l ose ses que ma smos t r a dose nl aFi gur a1. 3,l a d. d. p.ent r el ost e r mi na l e sopunt osAyBe sde2vol t i os .Sepue dede c i re nt once sques e t i e neunac a í dadepot e nc i a ldeAaBde2V( uAB%!2V) ,o ou unael e va c i ónd ndepot en c i a l deBaA de2V.Ent ér mi no se ne r gé t i cos ,set i ene eu unac aí dadep epot e nc i a le nt r eA yB, c uan do ol l ac a r gau auni da ddesarrolla unt nt r a ba j oa lmove r s edeA ha s t aB;oalc ont r ar i o,s e t i eneunae l e va c i ónd nde ep pot e nc i a le nt r eByA c ua ndo os s erequiere unt nt r aba j oext er nop opar a move rl ac a r gauni da dde s deBha s t aA. Teni endo oe enc ncuent al aanal ogí aent r eelpot enci alel éc t r i coy oyelcampog ogr avi t at or i ot er r es t r e,podemoscompr enderm me ej ores t osconce pt os .Enl aFi gur a1. 4as emues t r aunamas a de1kg gs s i t ua daaunaa l t ur ahA% 7m r e pr e s en t ad apore lni ve lA,s ehaco ns i de r a do oo ot r a a l t u r ahB% 5m r e pr e s ent adapore lni ve lB,porde ba j odeA.Es t ácl a r oquee lpot e nc i a l .Dee s t emododeAaBs et i e neuna ( a l t ur aoni ve l )deAesmá sa l t oquee lB B( ( hAb hB) caída de potencial ,obi endeBaAexi s t eunaelev ación de potencial .Sil ama s ade1kgs e s uel t aenelni velA,l amas aca er áat r aí daporelcampog ogr avi t at or i oG  pa s andoporelni vel B,desarrollando unt r abaj oys uf r i endo ou una ap pér di dadeener gí apot enci al .Siporelcont r ar i os econs i der aquel amas aes t ái ni ci al ment eenelni velB,ent oncespar apas aralni velA quee s t ámá sal t o,s e r áne ce s a r i oqueun na a ge nt ee xt e r noc oc om mu uni queunae ner gí aal ama s a , e ne c o t r a d e l a sa f u e r z a s d e l a m p o og g r a v i t at o i o p a r a ov e r a m a s a d e s d e B a s t aA.Es t a r gn í a q u e da r á l m a c e n a d ac c o m o e n e r g í pr o t en c i a lm de l a ml s ae n e l n i v e l Ah . Enelca s odel osci r cui t osel éct r i cos ,enl aFi gur a1. 4b,s emues t r auna ac car ga ae el éc t r i ca de1c ul ombi o,queene lpunt oAe s t áaunpot e nc i alV A% 7vol t i os( r es pect oaun nr r ef er enol t i o s . c i alques ede nomi nat i e r r aene lpun t oO)yene lpunt oBaun np pot e nc i alV B% 5v Dees t emodoent r eA yBs et i e neunacaída de potencial U AB% 2V,obi e ndeBaA exi s t eunaelev ación de potencial  de2vol t i os .Sil aca r gade1Cs ede j ae ne lpunt oA,l a ca r ga aa at r aí da ap porelca mpoe oel éct r i co E  pa s a r áa lpunt oB,desarrollando unt nt r a ba j oys uf r i endo ou unac aca í dad adepot enci alel éct r i co.Siporelcont r ar i os econsi der aque el l aca r ga ae es t á i ni ci al me nt eenelpunt oB,ent oncespar apas aralpunt oAquees t áamayorpot enc i al ,s er á nec es ar i oqueunage nt eext er nocomuni queunaene r gí aal aca r ga,encont r adel asf uer za s de lca mpo oe e l éc t r i co,pa r amoverl aca r gades deBhas t aA.Elage nt eext er noenes t ec a s oes elgener adorel éct r i coque ed debeel evarelpot enci aldel ascar gasel éct r i cas ,mi ent r asqueen l o s el e m ei n t o s p a s i vo s s e p r or d uceuna ac ca í dad adepot enci al ,des ar r ol l ándoseuna ae ene r gí aque d e be s u m mi n i s t r a r e l g en e r a d o .

Figura 1.4   Analogía d del el potencial eléctrico con e ell gravitatorio

 

I NT RODUCCI ÓN AL ATEORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   7

Debet ene r seencue nt aade másquel ad. d. p.ot ens i ón nc cumpl econl as i gui ent er el a ci ón: U ijij %.U   ji.Pore j e mpl opa r ae lc a s odel aFi gur a1. 4b bs s et i en equeU AB% 2V,porl oque l at en s i ónen t r el ospunt osByAs e r áU BA%.2V( ende f i ni t i vadal omi s mode c i rquee l pot e nc i a le l éc t r i c odeAe s2vol t i osmáspos i t i vo oq queB,oquee lpunt oBe s2vol t i osmás ne ga t i vo oq queA) . Lad. d. p.ent r edospunt ose xt r e mosdeun nc c i r c ui t os eobt i enec omol as umadel a st en s i onesent r el osdi f er ent espunt osi nt er medi osyporcons i gui ent es is econsi der aporej empl oqueenun nc ci r c ui t os et i ene nunast ens i ones :U AB%!10V;U BC%.6V;U CD%!11V, s et e ndr á un d. d. p.e nt r el os punt os A y D de va l or :U AD%U AB!U BC!U CD% %!1 0.6!11%15vol t i os ,l oquei ndi c aqueelpunt oAes t áaunp npot e nc i alde15Vpor e nc i made lpunt oD.Sis ede s e aca l cul a rl ad. d. p.e nt r el os sp punt osC sC yA r e s ul t a r á: U CA%U CB!U BA%.U BC.U AB%.( ). ( 1 0 )%.4vol t i os ,l oquei ndi caqueelpun.6 t oCes t áa4Vpordeba j odelpot enc i aldelpunt oA.Esi mpor t ant ees c r i bi rc or r ec t ament e l as ec uenci adel et r asdel el ast ens i onespar anoc ocomet erer r or es .  1.2.3.

Potencia eléctrica

Unac a r gadq ques emue vede s deunpot enc i a lv as t aun np pot enci alv d e s a r r o l l au n nt t r a Ah B, ba j oques egún( 1. 1)y( 1. 2)vi eneexpr es a do op por : dw % dq( v %d q· uAB% ( idt )· uAB   [ J ] A. v B) Comos a bemos ,l apot enc i ael éc t r i caeselt r ab aj or ea l i z adop oporuni dadd ddet et i empo.De e s t emodoy oyt e ni e ndo oe e ncue nt a( 1. 3)yde s i gna ndodeunaf or mage ne r a lauAB poru( t )s e p ue d ee s c r i b i r : dq dw t ) i( t ) [ W] t ) % u(  p( t )% % u( dt  dt  Lapot enci ael éct r i cas emi deenv atios ( W) .Como moqui er aquel apot enc i ael éc t r i cadepende dedosvar i abl es :t ens i ónycor r i ent e,habr áque et t eneren nc cuent al oss ent i dosde er r ef er enci a dea mbasma gni t ude spa r aobt e nere ls en t i dod odel apot en c i a .Enl aFi gur a1. 5as emues t r a u nt nd d i p o l o e n e l qu ee s e s e ña l a nel o s s i g no s d el e l a t e n s i óny n y e le s e n t i d o od d el el ac or r i e nt e .La p o e n c i a e l é c t r i c a q u entra e n ne l d i p o l o v i e n ed ef i n i d ap a po rl a x p r e s i ón :  p( t )% u( t ) i( t )

s i  p( t )b 0,en t onc eseldi pol oM r ec i beoabsorbe pot e nc i aac t uan doc om mo ounc ons umi dor oca r ga.Si  p( t )a 0,e nt onc ese ldi pol oM pr oduc eoentrega pot e nci a( ener gí a)comouna f uent eogener ador .Com mp pr obem mo osquees t asaf i r maci oness on nc cor r ect as :s upóngas ei ni ci al me nt equeu b 0ei b 0,alseru b 0,ent once sdeac uer doc oc on nl l apol ar i daddel at ens i ón del el aFi gur a1. 5a ,s et i e ne eq queuAb uB yals erl acor r i ent ei b 0,l ascar gas se el éct r i cas ( pos i t i va s )i r á ndelt e r mi nalA alB,s uf r i endo ou una ac ca í da ad dep epot enc i a l ,porl oque ed di cha s ca r gasper der áne nener gí apot enci al ,l acuals er áabs or bi dap aporeldi pol oM,esdeci rr es ul t a  p( t )b 0. o n s i er e m o s sa a h o r a e l a s o c o n t r a r i o , s ua p ó n g a s ea e n os n c e s q u ep e o r j e m p l o s e t i e n e u bC 0 , e id 0 ,e n t o n c e sl a sc c a r ga s p o s i t i v a s v n d e B At , u f r i e n d ou op u n ae e l e va c i ónd n de p o a t enci al ,porl oquedi chascar gasganan ne ener gí apot enci al ,l acualser áent r egadaporeldi pol o ,e sde c i rr e s u l t a p( t )a 0;es t eeselca s or epr es ent ado oe enl aFi gur a1. 5b( elm mi i s mor es ul -

 

8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Figura 1.5   Sentido de la potencia potencia eléctrica eléctrica

t ado os s eobt i eneconsi der andou a 0ei b 0) .Enl apr áct i ca ,noe oesconveni ent et r abaj arcon pot enci asnegat i vas,porl oques epr ef i er ehabl ardepot enci asabsor bi dasypot enci asgener a da s .He mosvi s t oqueeldi pol oM de el l aFi gur a1. 5aabsorbe pot e nci ayt r aba j ac om mo o r ec ept or ;en ne e st eca s oobs er vamost ambi énq nquel el acor r i ent eentra porelt er mi nalpos i t i vo deldi pol o.Alcont r ar i o,eldi pol oNdel aFi gur a1. 5b suministra pot enc i ayt r aba j acomo gene r ador ;enes t eca s oobs er vamosque el l acor r i ent e sale porelt er mi nalposi t i vo.Dees t e modos epue dede c i rquel apot e nc i aabsorbida porund ndi pol o,e selpr oduct odel at ens i ón porl acor r i ent equeentra porelt er mi nalposi t i vo o( ( di pol or ecept orocar ga) ,mi ent r asquel a p o t e n c i a suministrada porun nd di pol o,eselpr oduct odel at ens i ónp nporl acor r i ent eque sale pore lt e r mi na lpos i t i vo o( ( di pol of ue nt eoge ner a dor ) .Ve amosa hor ac óm mo os epr oduc el a t r ans f er enci adeener gí aent r edosdi pol os.Enl aFi gur a1. 6s emues t r andosdi pol osuni dos ent r es íporunp npardet er mi nal escon nl l aspol ar i dadesi ndi cadas .

Figura 1.6   Transferencia de energía entre un dipo dipolo lo generador y otro receptor  receptor 

Eldi pol o1r epr e s ent aunaf uent eogene r adoryaquel ac or r i e nt es al epors ut er mi nal pos i t i vo.Lapot enci a generada pores t edi pol oes :  P generada% 5· 3% 15W

eldi pol o2r epr es ent aun nr r ec ept orocar ga,yaque el l acor r i ent eent r apors ut er mi nalposi t i vo.Lapot enci aabsorbida pores t edi pol oes :  P absorbida% 5· 3% 15W

dee s t emodol oques ec umpl ee nes t es i s t e mae sque :  P generada% P absorbida

quee ss i mpl e me nt ee lpr i nc i pi odec ons e r va ci ón nd del aen e r gí a.Dee s t emodo os s epr oduc e unat at r ans f er enc i ade ee e ner gí adelgene r adoralr ec ept or ,comol omues t r aels e nt i do od del el a f l e c h a .

 

I NT RODUCCI ÓN AL ATEORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   9

Come ment ari ospr áct i cos

Si gni f i cadodelamperi o,vol t i oyvati o 1. El amperio:  Para que tenga el lector una idea más concreta de lo que significa el amperio se pueden dar las siguientes cifras: el hombre empieza a sentir la corriente que pasa a través de su cuerpo cuando alcanza los 5 miliamperios (5 mA), si esta asciende a 50 mA resulta peligrosa para su vida; las lámparas incandescentes (bombillas) de uso frecuente en el alumbrado doméstico absorben corrientes entre 0,2 y 0,7 A; los radiadores eléctricos entre 4 y 8 A; una cocina eléctrica entre 5 y 10 A; un motor de un ascensor entre 10 y 20 A; un alternador de una central eléctrica puede suministrar a plena carga una corriente comprendida entre 10 kA y 20 kA. Un rayo puede llegar a tener una intensidad de cresta de 100 kA.

2. El voltio:  Las pilas galvánicas en la mayoría de los casos generan una tensión del orden de 1,5 V (aunque hay modelos de 4,5 y 9 V); el acumulador de plomo produce una tensión de cerca de 2 V por celda (como hay seis en serie, seri e, resulta resulta un valor to total tal de 12 V); los trene trenes s metrop metropolita olitanos nos funcion funcionan an con 600 V de corriente corriente continua continua y las líneas nuevas son son de 1.500 V de c.c.; los ferrocarriles españoles funciona funcionan n a 3 kV de c.c, pero los trenes de alta velocidad velocidad se alim alimentan entan a 25 25 kV de corri corriente ente alterna. alterna. En los terminale terminales s de un enchufe enchufe doméstico doméstico ex existe iste una una tensión tensión de 230 V de c.a. La red española de baja tensión está normalizada en los valores de 230 V y 400 V, la red de media tensión cubre los escalones de 3-6-10-1 3-6-10-15-20-25 5-20-25 y 30 kV, la de A.T. abarca las tension tensiones es de 45, 66 y 132 kV y la de muy alta tensión tiene tiene los valores de 220 y 400 kV. Los alternadores alternadores de una cen central tral elé eléctrica ctrica generan tensiones tensiones entre los 3 kV (pequeños alternadores de centrales hidráulicas) hasta 30 kV en los turboalternadores de las centrales nucleares. La tensi tensión ón más elev elevada ada en las redes de transp transporte orte espa español ñolas as de A.T. es de 400 kV; existen tensiones tensiones más elevadas elevadas para el transporte deen energía eléctrica enlínea líneas longitud; así en(1,2 EE.UU. redes de c.a. 500 kV y en Canadá de 765 kV; Rusia existe una dede 1,2gran millones de voltios MV) hay entre Siberia y losde Urales. Finalmente un rayo puede desarrollar una tensión que a veces alcanza los 500 MV.

3. El vatio:   Las lámparas incandescentes (bombillas) de uso frecuente en el alumbrado doméstico tienen potencias entre 25 y 150 W; los radiadores eléctricos entre 1.000 y 2.000 W; una cocina eléctrica consume entre 1.000 y 2.000 W (y si se incluye el horno, la potencia puede superar los 4 kW); el motor eléctrico de una lavadora tiene una potencia entre 170 y 340 W (lavado o centrifugado respectivamente) y las resistencias de calefacción del agua del lavado tienen una potencia adicional del orden de 2.000 W. Un motor de un ascensor de un edificio común tiene potencias entre 6 y 10 kW. El tren español de alta velocidad AVE (línea Madrid-Barcelona Madrid-Barcelona)) tiene la la tracción eléctrica eléctrica distribuida con 16 motores asíncronos de 550 kW cada uno, lo que representa una potencia total de 8.800 kW. Los generadores eólicos más g grandes randes tienen potencias u unitarias nitarias de 2 a 3 MW; los alternadores alternadores de una central hid hidroelécroeléctrica tienen potencias unitarias del orden de 150 MW pero que pueden llegar a 750 MW (la central eléctrica de Itaipú tiene tien e 18 altern alternadores adores de 700 MW con una potencia total instalad instalada a de 12.600 MW). Los alterna alternadore dores s de las centrale centrales s nucleares tienen potencias entre 1.000 y 1.500 MW. Un rayo puede alcanzar una tensión máxima de 500 MV y con corrientes del orden de 100 kA, por lo que desarrolla una potencia instantánea de 50.000 millones de kilovatios, sin embargo teniendo en cue cuenta nta que su frente de onda es del orden de 4 ]s y con una duración de 50 ]s (tiempo transcurrido hasta que la tensión se reduce a la mitad del máximo), al integrar la curva de potencia, da lugar a una energía de unos 230 kWh, que es del orden del consumo mensual de una vivienda doméstica.¡Es decir, el rayo es un ejemplo idóneo para distinguir la potencia de la energía, ya que tiene una potencia destructora enorme, pero con muy poca energía, porque la desarrolla en muy poco tiempo!

1.3.  Elementos activos ideales. Fuentes Fu entes o generad generadores ores Lose l e me nt osa c t i voss ede nomi na nt a mbi énf nf ue nt esoge ne r a dor e sys on nl l ose nc ar ga dos des um mi i ni s t r arener gí ael éct r i caalci r cui t o.Losdosmodel osbás i cosempl ea doseneles t udi o e o s i r c u i t o s e l é c t r i c o sp s o n : g en e r a d o r e s d e e n s i ó n ny y g e n e r a di o r e s o r r i e n t e . C a da u n od d el l o sc t i p o s a n t e r i o r e s s e u e d e n s u b d i vi d i r e nt f u e n t e s i n d e p e n d e n t ed se oc d e p e n d i e n t e s y t a mbi énengener ador esi dea l esor ea l es .Enes t eepí gr af es ol ament es evanacoment arl os gener ador esi deal est ant oi ndependi ent escomo modependi ent es .EnelEpí gr af e1. 9s eexpl i -

 

1 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

ca r ánl osel ement osac t i vosr ea l es ,unavezques ehayanes t udi adol osl emasdeKi r chhof f . Vamosaes t udi aracont i nuac i ónl nl osel ement osact i vosi deal es . ,esaque lel ement odelci r cui t oquep epr opor ci ona ener gí ael éct r i ca ac conu nuna ad det er mi nada at t ens i ónu s( t )( que et t a mbi é ns es ue l ees c r i bi rc omo u g ( t ) )queesi nde pen di e nt edel aco r r i en t equepa s aporé l .Enl aFi gur a1. 7a as s emue s t r a n l oss í mbol osnor mal i za dosdelgener adordet ens i óni dealenelques ei ndi cal at ens i ónu ( t )  s de lgene r adorconl nl apol ar i dad dd delmi mi s mo( e nes t el i br os eut i l i za r ás ol oelsí mbol ode el l a i zqui e r dadel aFi gur a1. 7a) .As ís iu s( t )b 0ent onceselt er mi nalAt i eneunpot enc i alu s( t ) vol t i osporenc i madelt er mi nalB.Lat ens i ónu s pue dede pe nde rde lt i empo oo ono;cua ndo t )yc ua ndonode pe ndede lt i e mpos e depe nde ed delt i empo,s er epr es ent aconmi núsc ul a:u s( r epr es ent aconmayúsc ul a:U  s.Es t aúl t i mas i t uaci ónesl aques et i enecua ndo os s et r at adeun ge ner adordec or r i ent econt i nua,comoe se lca s odeunapi l aoac umu mul ador .Tr at ándos ede unapi l aoa c umul a dori de alt a mbi é ns epue de eu ut i l i za run ns s í mbol oa l t e r na t i vo oc c omo moese l most r adoenl aFi gur a1. 7b.Elt er mi nalmásf i noyl ar gor epr es ent as i empr eelbor nepos i t i vo,mi ent r asque ee elmáscor t oygr ues or epr es ent aelt er mi nalnega t i vo o( ( porel l ol oss i gnos el aFi gur a1. 7b bs s onr nr edundant es ) . ! y. d

Figura 1.7   Símbolos de g generadores eneradores de tensión ideales y curva c característica aracterística ui

Lac a r a c t e r í s t i c au-i deun ng gene r adori dea lde et t ens i óne nesl ai ndi ca dae nl aFi gur a1. 7c, queess i mpl ement euna ar r ec t ahor i zont alcuyaor denadar epr es ent aelval oru s del at ensi ón enbor nes ,yaquedeac uer doc oconl adef i ni ci ón,elval ordeu s node pe ndedei.Sis econec t a unacar ga aa algener adorde et t ensi ón ni i deal ,es t es um mi i ni s t r ar ácor r i ent ealci r cui t o.Elval orde es t acor r i ent edepender áde el l amagni t ud dd de el l ai mpeda nci adec eca r ga.Lapot enc i ael éc t r i ca  suministrada porelgene r adordet ens i óndel aFi gur a1. 7a,s ielse nt i dodel acor r i ent eesel i ndi ca do,s er ádeac uer doc ocone nelEpí gr af e1. 2. 3i guala:  p s( t )% u s( t ) i( t )

r ec uér des equecuandos et r at adeca l cul aruna ap pot enci a generada,s et omac omoc or r i e nt e pos i t i val aque es s al eporelt er mi nalposi t i vo od delgener ador . Un ,e saquele l eme nt oa c t i voquepr opor c i onaener gí aconunadet er mi nadacor r i ent ei s( t )( quet ambi éns epuedees cr i bi ri g ( t ) )queesi ndepe ndi e nt edel at en s i ón ne e nbor nes .Loss í mbol osdeun ng gene r adordecor r i ent es onl nl osmos t r adosenl aFi gur a1. 8a,dondei s( t )o I  s esl acor r i ent es um mi i ni s t r adaporelmi mi s mo( aquís ol os e ut i l i z ar áels í mbol ode el l ai zqui er da) .Els ent i do od del el acor r i ent es ei ndi ca ap poruna af f l ec ha u-i c o l o c a d a ae e ne n e le i n t e r i o r d e l í r c u l o . L c a r a c t e r í s t i c a de u n ng g e n e r a o r d e ec o r r i e n t e i d e a l e s l a m o s t r ad a n l a F i g u r ac 1 . 8 b , q u ea es s i m p l e m e n t e una r e c t a v e r t i cd a l c u y ac a b s c i s a r e p r e s ent aelval ordei s( t )( o I  s par af uent esdec. c. )de el l acor r i ent es um mi i ni s t r adaporelgener ador ,yaquedea cue r do oc c on nl l adef i ni ci ón,elval ordei s node pe ndedel at en s i óne nbor nes .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   11

Figura 1.8   Generador de corriente ideal

Lat ens i óndelge ner adordepe ndedel aca r gacone ct adaext er nament eyesuner r orque come met en nl l os sp pr i nci pi ant es ,consi der arquel at ensi ónu( t )e sc e r o.De be eq que da rc l ar oque u( t )de pe nde ed de le xt e r i or .Cons i de r e mos su une ne j e mpl os i mpl e :s upónga s equei( t )% 5A y quee nt r eAyBs ec one ct aunar e s i s t e nc i ade10L;s egúnl al e ydeOhml ml ad. d. p.U ABs e r á iguala R i s esdec i renes t eca s o50 0V V,per os il ar es i s t enc i aesi guala20Ls e r áde100V, et c.Esdeci rU AB depe ndedel aca r gaext er na.Sil at ens i ón nq quer es ul t aenbor nesdelgene radoresu( t )ye si s( t )l acor r i ent eque  sale p ore lt e r mi na lp os i t i v o, l ap ot e n c i as u m mi i ni s t r a da porelgener adorde ec cor r i ent ees : v  p( t )· i s( t ) )% u( l asf uent esdet ens i ón ny ycor r i ent eques eac aband nde ed des cr i bi rs on ne el ement os se enl nl osque el l at ens i ón ny yl acor r i ent et i ene nval or esf i j os ,y port ant o,noa oaj ust abl es .Exi s t enot r ost i posdef uent esenl osquel osval or esdeu oi nos on f i j os ,s i no oq que ed de pe nde nde el l at e ns i óno noc or r i en t ee not r ospunt osde el l ar ed ;e s t et i po od de ge ner ador ess econoc e nconelnom mb br edegene r ador e sde pendi ent esoge ner ad or escont r ol a dos.Puedendar s ecua t r ot i posdef uent escont r ol ada s ,dependi endo od deque ec ca dagener adors umi mi ni s t r euna at t ens i ón no ounac acor r i ent eys egúnque el l avar i abl edecont r ols eaunau o unai.Enl aFi gur a1. 9s emues t r anes quemát i ca ment ees t osgener ador es ,dondeelr ec uadr o i ndi caun nc ci r cui t oel éct r i co o( ( C  E   E . . ) .

Figura 1.9   Fuentes de tensión y d de e corriente dependientes dependientes

 

1 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Ene lca s odel aFi gur a1. 9as et i en eunge ne r ad ordet e ns i ón nc c uyama gni t udde pe ndede l at ens i ónent r eot r ospunt osdelci r c ui t o,enb)s et i e neun ng gener adordet ens i ónc ncuyamagni t ud dd dependedeunacor r i ent e;enc)exi s t eungener a dordecor r i e nt ecuyai nt ens i daddepende del el at ens i ón ne e nt r edospunt osdelci r c ui t oyen nd d)s et i e neu eung nge ne r a dordec ec or r i en t ec uya i nt ensi dad de esf unci ón nd del acor r i ent eenot r apar t edelci r cui t o.Losgener ador esdependi ent es s ei nt r oduj er onh nhi s t ór i cament een nl l at eor í adec eci r cui t ospar acar act er i zarelcomp mpor t ami ent o deel ement osac t i vosel ec t r óni cos ,comoporej empl ol asvál vul asyl ost r ans i s t or es .

1.4.  Tipos de excitación y formas de onda Eneles t udi ode el l osci r cui t os se el éc t r i cos ,s emanej an nd di f er ent esf unci onesde ee exci t ac i óny ny r es pues t aqueenge ner alpue denvar i arc one nelt i empo.Ladepe ndenc i af unc i ona l u % u( t ) o   i % i( t )

pue dedar s ee nf or maana l í t i caogr á f i ca .Enambosca s os ,s ec onoceae s ar e l ac i ónf unci ona lc on ne elt ér mi no od de forma de onda .  1.4.1.

Clasificación de ondas

Lasondasut i l i za dasenc nci r cui t ospueden nc cl as i f i ca r s eenp npr i merl ugars egún ne els i gno od del el a magni t ud dq quel ar epr es ent a,y ya as ís et i enen: s on no ond a se nl a squel amagni t ud t om ma aval or espos i t i vosonega t i vos .Enelcas odeque el l aonda ar r epr es ent el af ue r za e l e c t r o mo mo t r i z(  f   f . e. m. )deu eung ngener adorde et t ens i ón,s i gni f i caque el l apol ar i dadd ddes es us t e r mi na l e svac a mbi a ndo oc c one nelt i empo.Enl aFi gur a1. 10 0s s emue s t r aunaondade es t et i po,r epr es ent adaporunaf unci ón y % y( t ) . s onondase nl a squel amagni t udq dquel a sr ep r es ent at i ene unaúni capol ar i dad.Enes pec i alset i enel aondad adecor r i ent econt i nua ad demagni t ud cons t ant eques er epr es ent aenl aFi gur a1. 11.Puede er r eal i za r s et ambi énu nunacl as i f i c a ci ón nd del a sonda ss egún nq ques er e pi t anono oc cone ne lt i e mpo oy ya s ís et i ene n: s on nl l asques er epi t enai nt er val osi gual esdet i empo oy yen elmi s moor den.Elt i empo on nec es ar i opar ar e pet i r s eelci cl os el l ama periodo ys e r epr es ent aporT .Sil aondae sdel af or ma y % f ( t )s ec umpl e :  y % f ( t )% f ( t ! T )

Figura 1.10   Onda periódica

 

Figura 1.11   Onda de corrien corriente te continua continua

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   13

Laondadel aFi gur a1. 10es ,ademásdeal t e r na ,per i ódi caconelper i odo oi i ndi cadoenl af i gur a.Unaondaal t er naper i ódi cadees peci ali mpor t anci al acons t i t uye l aondas i nus oi dal( Fi gur a1. 12)cuyamagni t ud dv var í aconelt i empo os s i gui endouna l e ys eno. Enunaondape r i ódi cas ede nom mi i nac i cl oal apa r t edel aondac ompr end i dae n e li nt e r va l ode et t i empo od deu eun np pe r i odo,pore j e mpl oe ne li nt e r va l o( t ,t ! T ) .Se de nomi na frecuencia alnúmer odec i c l osquet i e ne nl uga rpors e gun doy oyques e mi dee nhe r t z( e ne s pa ñols ede nomi nahe r ci oys us í mbol oesHz )quec or r e s pondeal aant i gua au uni dad:ci cl opors egundo( o( c/ s ) .

Figura 1.12   Onda p periódic eriódica a sinusoidal

s on na a quel l asondasque en not ot i ene nci cl os sd der er epe t i ci ón,t ambi éns ns el l amanondasar bi t r ar i as .U Un nej empl odees t asondass ei ndi caen l aFi gur a1. 13.Enes t eca pí t ul o,s eva aa at r aba j arf undam me ent al ment econ nl l asondas dec . c.dema gni t ud dc c ons t a nt eye nl osCapí t ul os2y3,con nl l a sonda spe r i ódi ca s al t er nass i nusoi dal es .Exi s t en,s i nembar go,ot r ot i po od deondasques on ni i nt er es ant es ene neles t udi ot r ans i t or i odeci r cui t osyque es s ees t udi ar áne nenelCapí t ul o4dedi ca do al ost r ansi t or i osenl osci r cui t osel éct r i cos:f unci ónr ampa,f unci ón ne es cal ón,pul s o r ec t angul aryf unci ón ni i mpul s oodeDi r ac( es t asondast i ene nt ambi éni ni nt er ésenel es t udi odel asvi br aci onesmecáni cas ) .

Figura 1.13   Onda aleatoria  1.4.2.

Ondas periódicas: valores asociados

Deb i do oa al ai mpor t a nc i ade ee e s t a sonda s ,va nade f i ni r s edi ver s asma gni t ude sque es s ee mpl e a ne ns ue s t udi o.Se eh ha nvi s t oya al l osco nce pt osdec ec i cl o,pe r i odo oy yf r ec ue nci a ;de el l a s def i ni ci onesdees t asdosúl t i masmagni t udespuedeo eobt ener s el ar el ac i ón: 1  f % T 

 

1 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

e nl aque f   r epr es ent al af r ec uenci aen nh her ci os sy yT  e lpe r i odo oe e ns e gundos .Sil aond a pe r i ódi caesdel af or ma:  y % f ( t )s ede nomi na : Valor medio a lpr om me e di oi nt egr alenunper i odoT ,os ea ,e lval orme di oenunc i c l o, s uexpr es i ón nm mat emát i caes : T 

Y med% T  1

Valor eficaz 

 f ( t )dt 

I alval orcuadr át i comedi o( conoci do ot t ambi énp nporl asi ni ci al esr . m. s .en 0

i n g l é s ,root mean square)yques i gni f i c ae lval ormedi odelcua dr adodel af unci ón e nunpe r i odoT .Suexpr es i ón ne es : Y %

JI 1 T 

T 

2 [  f ( t ) ] dt 

0

Enelc as ode eq quel a sonda sques es ees t udi enr e pr e s ent encorrientes,l osconc ept osd sde val ormedi oyef i cazt i enenun ns s i gni f i ca do of f í s i coi mpor t ant e,yas ípuededemost r arell ect orque ee elval ormedi oi ndi caelval orconst ant e I meddeunacor r i ent econt i nuaquepr oduce l ami s maca nt i dadd dde ee el ec t r i ci dad de en ne elper i odoT  quel el aonda ap per i ódi ca ;mi ent r asquee eel val oref i caz zi i ndi cae aelval orcons t ant e I  deu eunac ac or r i e nt ec ont i nua aq que ep pr oduc el ami s ma ca nt i dad dd deca l orenelper i odoT quel acor r i ent eper i ódi ca,alci r cul arporunar es i s t enci a  R.Alva l ormáxi moquer epr e s ent al aondape r i ódi c as el ec onoc econe nelnombr edev alor  de cresta ot a mbi énv alor de pico ,pudi endoe oexi s t i rdosval or esdi f er ent escuandol ol aonda s eaal t er na( a( par aval or espos i t i vosynegat i vos ) .

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.1

Ca l c ul are lval ormedi oye f i ca zdel aondar epr es ent adae nl aFi gur a1. 14,det er mi nandopr evi ame nt eel per i odoyl af r ecuenci a.

Figura 1.14   Ejemplo de aplica aplicación ción 1.1

So l uc i ón

Elper i odo oe e sde0, 03s 3s egundos ,quec or r es pondeaunaf r ec uenc i ade:  f %

1 %3 3, 3Hz 0 , 0 3

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   15

Laec ua c i ón nd del aondae s : 0a t m 0 , 0 1

 

i%

10 t % 1 . 0 0 0t  0 , 0 1

0 , 0 1a t m 0 , 0 2   i % 10 0 , 0 2a t m 0 , 0 3   i%0 porl ot a nt ol osval or esmedi oyef i ca zs on: 1  I med% 0 , 0 3

0 , 0 1

0 , 0 2

C I1.000t ·dt  I10·dt  I0·dt D5A 1 20 ( 1 . 0 0 0t )· dt  10· dt  0· dt  0 , 0 3C I I I D3A J !

0

%

0 , 0 2

0 , 0 2

2

0

!

0 , 0 1

0 , 0 1

 I ef%

0 , 0 3

0 , 0 3

2

!

0 , 0 1

!

%

0 , 0 2

1.5.  Elementos pasivos Sona na que l l os sc c ompone nt e sdel el osc sc i r c ui t osq sque ed di s i pa noa l ma c e nan ne e ne r gí ae l éc t r i c ay cons t i t uyenporel l ol osr ec ept or esoca r gasdeunar ed.Es t osel ement oss onmodel osmat emát i cosl i neal esei deal esde el l osel ement os sf f í s i cosdelci r cui t oque ei i ndi vi dual ment epuedenpr es ent arl ass i gui ent espr opi edades :a)disipación de energía eléctrica (   R R: r e s i s t e n c i a ) ; b)almacenamiento de energía en campos magnéticos (   L L:c oef i ci ent edea eaut oi nducci ón) ; c )almacenamiento de energía en campos eléctricos ( C :capaci dad) .Last r espr opi edades pue de nda r s ee nmayoro om menorgr a doe oene lcompor t a mi ent odeun nc c ompone nt edeunc i r cui t or eal ,porel l ol ascar act er í s t i casdel oscom mp ponent espr áct i cospueden ns si nt et i zar s epor me di odeunaa de cua dac ombi na ci ónde R,  L yC . Elt ér mi noresistencia o resistor  s eut i l i zapar aca r ac t er i za run nc component ede eu un nc ci r c ui t oc uyo oc c om mp por t ami e nt os ea pr oxi mai de a l me nt eaune nel e me nt o R pur o.Elt ér mi no ob bobi naoi nduct ors er ef i er eaun nc c om mp ponent edeunci r cui t ocuyapr i nci palca r act er í s t i caesl a i nduct a nci a.Elcondens adori ndi caun nc component edeun nc ci r cui t ocuyocompor t ami ent os e apr oxi mai dea l ment eaunac apa ci dadC  pur a.Losel ement os R,  L yC  s es uponenideales, l oc ua lqui e r ede ci rquec ec a da au uno ot t i en euna spr opi e dad esúni ca sei nde pe ndi en t e sde el l as car act er í s t i casde el l osot r os,y ya adem má ási mpl i caquel asr el ac i onesexi s t ent esent r el at ens i ón i) ycor r i ent een nc cadaunode ee el l oss on nl l i neal esybi l at er al es ,esdeci r ,l asr el aci onesu % f ( cons i s t enenecuaci onesdi f er enci al esl i neal escon nc coef i ci ent escons t ant esyel  sentido de la corriente enune l e me nt opa s i vonomodi f i cas urespuesta.Losval or es  R,  L yC s es uponen t ambi éni ndependi ent esdel af r ec uenci aydel asampl i t udesdel at ens i ón ny ydel acor r i ent e. Elt ér mi no pasiv os i gni f i c aquel el os se el ement osnoc oc ont i ene ngene r ador esyenc ncons e cuenc i ano op puedeapar ec erni ngunat ens i ón ny ycor r i ent eens ust er mi nal ess inos os eapl i cauna  Re  Lci C i f u e n t e d e n e r g í a x e r na.La pr opi eda de é c t r i c a a s oc i a d a c o n nc c a d e l e m n t od , y s e c o n s i de r ae c o m o ue n at unidad concentrada  l i n d i v i du a l l o c a l i z a d a ae e nu na u n np p ue n t o l r cu t o , a unquedehe choe nun nc c ompone nt epr ác t i c oc omo moe se lc a s odeunar es i s t e nc i a ,l adi s i pa ci ón nd deene r gí as epr oduzcaal ol ar god odet odas ul ongi t ud df f í s i ca .  La suposición de elemen-

 

1 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

tos concentrados implica que el efecto que se produce al conectar una fuente,  se propaga instantáneamente a todo el circuito y la corriente resultante en un componente determinado es la misma en todas sus partes en cualquier instante de tiempo.Tals uposi ci ón ns s i mpl i f i c aenor meme nt eelanál i s i sder ed esye svál i das as i empr eque el l asdi mens i onesdel osel ement osi ndi vi dual esydet odo oe elci r cui t os eanmuy yp pequeñas( ca mposcuas i es t ac i onar i os ) ; enc nca s ocont r ar i os eha ad der er ec onoce rl al i mi t ac i ónd ndelt ér mi no oe el ement oconc ent r a do oy ys e debet enerencuent al anat ur al ezar ea lde parámetros distribuidos distribuidos ( enl at éc ni cadel aEl ec t r o t e c n i a ,s o l oa pa r e c e nc i r c u i t osc o n np p ar á me me t r o sd i s t r i b ui dosa le s t u di a rl í ne a sd et r a n s po r t ed ee ne r g í ae l é c t r i c alargas del ongi t uds ds uper i ora300 0k km) m) .Cuandos ees t udi ans i s t emas quet r aba j anaal t asf r ec uenc i ascomoocur r eenelca s odel asmi c r oondasnopuede na pl i ca r s el osconc ept osde ec ci r cui t odes ar r ol l adosen ne es t al ec ci ón ny ys edeben ne empl ea rdi r ec t ame nt el asec uac i onesdeMaxwel lcom mo oexpr es i onesmásgene r a l esquedes cr i benl osf enóme nos se el ec t r oma magné t i cos .Se ev vana naes t udi arahor al a spr opi eda desf undame nt al e sde el l os el ement ospasi vos R,  L yC .  1.5.1.

Resistencia

Como moyas ehai ndi cadoenl ospár r af osant er i or es ,l ar es i s t enci aeselel ement odelci r cui t o, e ne lques edisipa ene r gí ael éc t r i ca .Enl aFi gur a1. 15a as s emues t r aels í mbol odel ar es i s t e nc i ae l éc t r i c a ,e ne lques ei nc l uyee lva l orde el l ami s mae nohmi osy syl oss e nt i dosde r ef er enci aas oci adosde et t ens i ón ny ycor r i ent e.Enelcas odeque el l ar es i s t enci as eavar i abl es e e mpl eae ls í mbol odel aFi gur a1. 15b( i ndi c a ndoe oe lr a ngo od deva r i ac i ónd ndel ami s ma ) .Enel mer ca do os s eencuent r aunagr anvar i edaddet i posder es i s t enci as :f i j asyvar i abl esque ep puedene nes t arhec hasde ec ca r bón,deh ehi l obobi nado,l í qui das ,et c. ,l ashayt yt ambi éne nes pec i al es : var i abl esconl nl at ensi ón n( ( VDR) ,var i abl esconl nl al uz z( ( f ot or r es i st or es ) ,r es i st enci asquedi s mi nuyenconl at emper at ur a( NTCot er mi s t or es )et c.Lasr es i s t enci asr egul abl esdepequeñap apot e nc i as ede nomi na n potenciómetros  y  yl l a sde eg gr anpot e nc i ar e ci be ne lnombr ede reóstatos quepue de ns e ras uve zdear r a nque ,der e gul ac i ón ny ydeca r ga .

Figura 1.15   Símbolos de la resistencia resistencia eléctrica eléctrica

 R,e Ene lca s oder es i s t enc i a sbobi nada shayquet ene re ncue nt aade másde lef ec t ode l ef ec t odel ai nducci ón,ques er át ant omási mpor t ant ecuant omayors eal af r ec uenci adel a cor r i ent e.Enes t ecas oelci r cui t oequi val ent ede el l ar es i s t enci ar eal ,t eni endo oe enc ncuent ael ef ec t odei nducci ón,eseli ndi ca do oe enl aFi gur a1. 16 6( ( mi ent r asquen eno os s edi gal ocont r ar i o s es uponeques et r abaj acon nr r es i s t enci asi deal es ) .

Figura 1.16   Circui Circuito to equivalente de una una resistencia real

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   17

Al ahor adees pec i f i ca runar ar es i s t enc i ano oe e ss uf i ci ent ei ndi ca rs uval oróhmi mi co,s i no queesnec es ar i odet al l arl amáxi mapot enc i aqueesca pazdet r ans f or marenca l orporef ec t oJ oul es i nca l ent ar s e( t ambi énp npuedei ndi car s el amáxi macor r i ent eadmi mi s i bl e) .Elval or del ar es i s t enci apuedei ndi car s edi r ect ament ees cr i bi endos os uval orenl as uper f i ci eopuede e mpl ea r s ec om mo os eha cee ne l e c t r óni c a,uncó di godec ol or e sco mos emues t r ae nl aFi gur a 1. 17,enes t ecas ol ar es i s t enci apr es ent acuat r obandasdecol or es ,nume mer adosapar t i rdel a a a ba ndamá sc er c anaaunodel osext r e mos .La1 y2 ba n dac o ns t i t uy e n nl l a sc i f r a ss i g ni f i c a a t i va s ,l a3 ba ndai ndi caelf ac t ormul t i pl i ca doronúme mer odece r osquehayquea ñadi ral as a c i f r a ss i gni f i c a t i v asyl a4bandai ndi cal at ol er anci adent r odel acualelf abr i cant egar ant i zaelval ordel ar es i s t enci a.Els i gni f i cadodel oscol or eseselques ei ndi caenl aTabl a1. 1

Figura 1.17   Ejemplo de rresistencia esistencia eléctri eléctrica ca empleada en electrónica. electrónica. Código de colores

Porej empl o,s il oscol or esdel el asbandass on:bl ancovi ol et anegr oor o,elval ordel el a r e s i s t e nc i ae s :

Tabla 1.1.  Código de colores de resistencias eléctricas empleadas en electrónica

Ne gr o Ma r r ón Roj o Nar a nj a Ama r i l l o Ver de Az ul Vi ol e t a Gr i s Bl a nc o Or o Pl at a Si nc ol or

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 — — —

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 10 1 10 2 — .

.

 

— — — — — — — — — — u5% u10% u20%

 

1 8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Lar es i s t enci ael éct r i cas emi deenohmios ( s í mbo l oL) .Lar e s i s t e nc i a R deunc onduc t order e s i s t i vi da do,l ongi t u dl  ys ecci ón nt t r ansver s aluni f or meS ,es: l  L]  R % o   [ S  .

8

o

o ar es i s t enc i a ea lr v a l o r de p a r a l c br e ec c oe c i d oa ao 2 0l Cs e s : 1 , 7 2 1 · 1 0s L v í a c o nl n l a t e m p ee r a t uo r a d er a u r do oc oc n nl a i g u i e n t e4 e x p r e i ón :·m.Ademásl  R2% R1[ 1! a( h2. h1) ]

n d i c a ar e s i s t e n c i aal at e m mp p er a t ur ah2,ai s i e n d o R1l ar e s i s t e n c i aal at e mp mp e r a t ur ah1,y R2l elcoef i ci ent edevar i ac i ónd nde el l ar es i s t enci acon nl l at emper at ur a,quep epar aelc as odelcobr e 3 1 val e3, 93·10 K .De Dea c ue r doc oc onl nl al e ydeOhm,l ar e l a c i óne nent r el at e ns i óny nyl acor r i ent eenunar es i s t enci aval e: u( t )% Ri( t ) .

.

l ar el aci ónm nmat emát i caant er i oresúni cament evál i da ap par al aspol ar i dadesmost r adasen nl l a Fi gur a1. 15.Dee s t emodos eobs e r vaques ii( t )b 0( l acor r i ent eent r aporelt er mi nalA) , e n t o n c e su( t )b 0,l oques i gni f i caquel acor r i ent eent r aporelt er mi naldemayorpot enc i al t )a 0( Ays et r a s l a daa ldemenorpot enc i alB.Sis upo ne mosquei( cor r i ent ee nt r aporel t er mi nalB) ,ent oncesu( t )a 0ye lt er mi na lB Bt t i en ema yorpot enc i a lquee lt e r mi na lA.De nue vo,ot r avez ,l acor r i en t eent r aporelt er mi na lcuyo op pot enc i alesmayor .Como moqui er a quel acor r i en t eci r cul aporl ar es i s t enc i ademayoramenorpot enc i al ,de ea a cue r do oc con ne e l Epí gr af e1. 2. 3s et endr áunc ncons um mo odepot enc i ae nes t eel ement ocuyoval or ,t eni e ndoe oen cuent a( 1. 4)y( 1. 14) ,s er á: u2( t )  p( t )% u( t ) i( t )% Ri ( t )%  R 2

expr es i ónquer er epr es ent al apot enci adi s i padaporef ect oJ oul e.Lai nver s adel ar es i s t enci a s ede nomi naconductancia ys edes i gnaporl al et r aG,det alf or maques ec umpl e : 1 G % R   [ S] l auni da dde ec c onduc t a nc i aese l  siemens   ( S) .( EnEE. UU.al aun i da da nt er i orl eda ne l nombr edemho,queesl apal abr aohm me es cr i t aalr evés ,yt ambi énl as i mbol i za nconl al et r a 1 .Unae xpr es i ón na al t er na t i va ad de el l al e ydeO eOhm me e n gr i egao aomega ai i mpr e s aboc aa ba j oL ) f unci ón nd del aconduct anci aes : 1 i( t )%  u( t )% Gu( t )  R .

det alm mo odoque p( t )t omal af or ma : 1 t )% Gu2( t )  p( t )%  i2( G Elconcept oder es i s t enc i as eut i l i zat ambi énpar adef i ni rdost ér mi nosmuycomunese n t e or í adec i r c ui t os :cortocircuito y circuito abierto.Un cortocircuito es un conductor ideal  que se une entre dos puntos, haciendo de este modo que su resistencia sea cero ohmios.

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   19

Elcor t oci r cui t opuedel l evarcual qui ercor r i ent ecuyoval ordepende ed delr es t odelci r cui t o, per ol at ens i ónent r es ust er mi nal e sess i empr ede ec ce r ovol t i os .Alcont r ar i o,un circuito abierto representa una ruptura del circuito en ese punto, por lo que no puede circular  corriente.   S e ep puede ec cons i der arcomoun nc ci r cui t oconr nr es i s t enc i ai nf i ni t a( oconduct anc i a

ce r o)yquepuedet ene rcua l qui ert ens i ónquedependedelr es t odel ar ed.Enl aFi gur a1. 18 s ei l ust r an ne es t osconcept os.

Figura 1.18   Cortocircuito y circuito abierto abierto en un dipolo dipolo

Come ment ari ospr áct i cos

1. Sensores de temperaturas resistivos:  De acuerdo con la ecuación (1.13), la resistencia de un conductor es función lineal de la temperatura. Esta ecuación es aproximada y en general la variación de la resistencia de un con  representa la 1 ! ah! bh2 ], en la que   R  representa ductor con la temperatura sigue una ley parabólica de la forma   R % R 0  [ [1 resistencia del conductor a la temperatura hy  R 0  la resistencia a la temperatura de cero grados. Los valores de los parámetros ay bpara el caso d del el platino son: a% 3,9·10 3/ oC; b%.5,8·10 7/ oC, lo que significa b@ apor lo que la variación de resistencia con la temperatura sigue prácticamente una ley lineal. Esta propiedad se utiliza para Resistance Temperature Detecto Detectors rs ) que consisten en un hilo construir detectores de temperatura resistivos (RTD: Resistance de platino de alta pureza bobinado sobre un núcleo de cerámica. El elemento sensor se protege habitualmente con una envoltura o pantalla de acero inoxidable, vidrio o cerámica. La envoltura envoltura es estanca para proteger la resistencia de los efectos corrosivos de la humedad y el medio a medir. Generalmente estos tipos de transductores se sumergen en el medio fluido en el que se desea medir la temperatura. El tiempo de respuesta de estos termómetros de inmersión es relativamente grande (se requieren de 1 a 5 segundos para alcanzar la temperatura de régimen). Las .

.

.

o

con hilo hilos de 25 ePara l rango de temperaturas entre 150 C a 500 C) y presentan una resistencia des 100 L] am0 Cdiámetro y 138,5 L a 100 C.el obtener estos valores se requiere por consiguiente un hilo de aproximadamente 50 cm de longitud. Para rangos de temperatura entre .180 oC y o !1.000 C el hilo de platino tiene un diámetro de 250 ] m. o de platino sondas son das platino se construye construyen n

o de

o (cubriendo

2. Galga extensométrica, galga de deformación o banda extensométrica (strain gage ):  La resistencia eléctrica de un hilo conductor no solamente cambia con la temperatura sino también cuando se le somete a una fuerza de tracción. Este efecto se basa en un descubrimiento realizado por Lord Kelvin en 1856, que observó que al cargar  mecánicamente unos hilos de hierro y cobre, se producía una variación de resistencia eléctrica, siendo mayor la variación en el hierro que en el cobre. La medida se realizó con la ayuda de un puente de Wheatstone, utilizando un galvanómetro galvanó metro como indicador. Pese a la antigu¨edad del descubrimien descubrimiento, to, hubo que esperar más de 80 años para que se hiciera una aplicación práctica del mismo. En 1938, Ruge y Simmons desarrollaron independientemente un extensómetro eléctrico para estudiar las relaciones tensión mecánica-deformación en un material sometido a impacto y se hicieron sus primeras aplicaciones para fines aeronáuticos. Su difusión y desarrollo se hizo después de la Segunda Guerra Mundial. Se sabe de un Curso de Resistencia de Materiales que al aplicar a un hilo metálico de diámetro  D1  y longitud  L 1, una fuerza de tracción  T  se produce un cambio en su longitud, que pasa a valer   L2  y una reducción en su diámetro que pasa a valer  D , según se aprecia en la Figura 1.19a. El alargamiento absoluto es L % L2 . L1  y su valor, por unidad de longitud, se denomina deformación axial o longitudinal: e% BL/L1, mientras B que la contracción en el diámetro es BD%D2 . D1   y su valor, por unidad, se denomina deformación transversal: e% BD/D1. Al cociente entre la deformación transversal y la deformación axial, se le conoce como módulo de Pois2

a

t 

 

2 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

son %.e t  /e a  (el signo negativo en la expresión anterior se debe a que ambas deformaciones tienen signos contrarios). El valor del coeficiente de Poisson se debe determinar experimentalmente, pero tiene un valor típico de 0,3 para muchos materiales.

Figura 1.19   Principio de funciona funcionamiento miento de una banda extens extensométrica ométrica Cuando un hilo conductor se somete a una fuerza de tracción se produce un cambio no solo en las dimensiones, como se acaba de señalar, sino que además además cambia su resistividad resistividad (efecto piezorresistivo piezorresistivo). ). La variación de la resistencia eléctrica por unidad unidad de resistencia y por unidad de deformación deformación (alargamiento unitario) se denomina factor de galga. La expresión del factor de galga  K  es de la forma: dR 

BR  BR 

R 

R 

K % dL % BL % L

R 

e a

(1)

L

L/L, de la expresión anterior, se deduce la deformación axial del hilo: Como quiera que e a%B

e a%

1

BR 

(2)

K  R 

Este efecto se utiliza en la ingeniería civil para medir deformaciones en estructuras. Es teóricamente posible medir deformaciones con un solo hilo como elemento sensible, sin embarg embargo, o, para no sobrecargar sobrecargar el circuito eléctrico de alimentación y reducir lo más posible el calor generado por la corriente que circula por el hilo, es necesario una resiste res istencia ncia mínim mínima a de 100 ohm ohmios, ios, por lo que si se em emplea plea un cond conductor uctor de constantá constantán n (alea (aleació ción n con 45 % de níquel y 55 % de cobre) de 0,025 mm de diámetro, que tiene una resistencia del orden de 1.000 L/m, se necesitaría una lon longitud gitud de 10 10 cm cm;; esta esta llongi ongitud tud es prohibitiva prohibitiva si s se e dese desean an realizar realizar medidas medidas prec precisas isas y muy muy loca localizad lizadas. as. El probl problema ema fue resuelto por Simmons y Ruge en 1938, que desarrollaron una banda metálica de conductor muy delgado, formando una rejilla plana c con on el hilo, tal como se muestra en la Figura 1.19b. Estas bandas bandas se pegan con un adhesivo sobre la estructura a ensayar, según se muestra en la Figura 1.20, de tal modo que las deformaciones de la estructura se transmiten a la banda, y al medir con un puente de Wheatstone la variación de la resistencia de la banda, se puede determinar mediante la ecuación (2) la deformación correspondiente de la estructura. Las bandas extensométricas se emplean en ingeniería civil no solamente para medir deformaciones, sino que también constituyen el sensor primario de otro tipo de transductores; por ejemplo para la medida de fuerzas se utiliza un cuerpo elástico cuyo módulo de elasticidad elasticidad es conocido y constante, sobre el que se pega un una a banda extensomé extensométrica; trica; al aplicar una fuerza a este cuerpo elástico se produce una deformación proporcional a la fuerza, que se traduce según (2) en una variación de la resistencia eléctrica proporcional a la fuerza. Este transductor recibe el nombre de célula de carga (load cell ). ). También se utilizan bandas pegadas a pequeños diafragmas para medir presiones de fluidos.

Figura 1.20   Colocació Colocación n de una banda extensométrica extensométrica para medir una deformación deformación La mayoría de los extensóm extensómetros etros eléctricos se fabrican c con on constantán y el factor de galga K se mantiene constante dentro de un amplio margen de deformaciones y es prácticamente prácticamente igual a 2. Si se considera por ejemplo una una banda típica con  K  % 2 y  R  % 120 L, que detecte una deformación de 10 6 m/m (que se denomina microdeformación) se .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   21 supone un cambio en la resisresisproducirá una variación de resistencia BR % KR e% 2·120·10 6 % 0,00024 L, lo que supone tencia de 0,0002 %. Obviamente para medir cambios tan pequeños, se deberán utilizar circuitos de medida muy sensibles, teniendo especial cuidado en compensar las magnitudes de influencia: interferencia electromagnética, temperatura, etc. Los cables suelen ser apantallados para evitar inducciones externas y el puente de medida dispone de la conexión a tres hilos, para reducir los efectos de las resistencias de los cables de unión. .

NOTA : En los coment comentarios arios práct prácticos icos que se inclu incluyen yen despu después és del epígra epígrafe fe dedicado dedicado a los lemas lemas de Kirchhoff Kirchhoff en este

capítulo, se explica explica el puente de Wheats Wheatstone tone como circuito de m medida edida utilizado utilizado para medir deformacio deformaciones nes de estructuras con bandas extensométricas.

 1.5.2.

Bobina. Inductancia

Ese le l emen t ode lc i r cu i t oc ap a zde ea a l ma ce na re ne r gí ama gné t i c a .Lasbobi na ss ec ons t r uye na r r ol l ando ou unc nc onduc t oral r e de dordeu eun nn núc l e o,quep epue des es e rono od dem ema t er i a l f er r om ma agnét i co,t alcomos emues t r aenl aFi gur a1. 21.

Figura 1.21   Bobina

Cua ndof l uyeunacor r i ent eporl abobi nas ee s t abl e ce nl í ne asdeca mpom omagné t i c o( i n B d u c c i ó n y e l n ú m me er os t ot a l d ee e e s t a s l í n e a s u ee a t r a vs i e s a nl n aS s e c c i ó n nd de l nú cl e os e( d en o m i n a f l u j o) m a g n é t i co y e r e p r s n p o r J ( t q ) y n e l i t e ml I s e m i e webers W b ) . Elf l uj omagnét i cot ot alconcat enadoporl abobi nacompl et as er epr es ent aporK( t )ys ys is e t i e n e n N  e s pi r a ss ecumpl equeK( t )% N J( t ) ,ys ielci r cui t omagnét i coesl i neal ,elf l uj o t o t a lK( t )conca t ena do op porl abobi naespr opor ci onalal acor r i ent eque el l ar ec or r ei( t ) :

( t )% N J( t )% Li( t )

K

Lacons t ant e L del aec uac i óna nant er i ors edenomi mi na ac coe f i ci ent edeaut oi nducci ón nd del a bobi naos i mpl e ment einductancia ys emi dee nhenrios ( H) .Porot r ol ados ielf l uj omagn é t i c oJ( t )va r í ac on ne e lt i empo,s ege ne r ae nl abobi na ,dea cue r do oc c onl aley de Faraday, unat ens i ón ni i nduci daui( t )( o fuerza contraelectromotriz) ,que ee en na aus enc i ade er r es i s t enc i a el éc t r i cadel abobi nacoi nci de ec conl nl at ens i ón ne ext er naa aapl i ca day ayqueo eobede ceal aexpr es i ó n : t ) t ) dJ( dK( u( t )% ui( t )%   % N  dt  dt 

 

2 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Quea lt e ne re ncu en t a( 1. 19) ,l ar e l a c i ón( n( 1. 20)s epue dee xpr es ardeun nm modo om má sút i le n elcampo od del at eor í adeci r cui t os : u( t )% N 

di dJ % L dt  dt 

Lar e l a ci ón n( ( 1. 21)e súni ca me nt evá l i dap apar al aspol a r i dade smos t r ada senl nl aFi gur a 1. 21.Lad. d. p.e nbor ne sde el l abobi nae ae sdi r e ct a me nt epr opor ci ona lal ava r i ac i ónd ndel el a cor r i ent er es pect odelt i empo.Lai nduct anc i as er epr es ent aporels í mbol odel el asFi gur as 1. 22ao1. 22b bs s egún ns s eaelval ordelcoef i ci ent edeaut oi nducci ónf nf i j oovar i abl e.

Figura 1.22   Símbolos de la inductancia

Cone lconve ni odes i gnosdel aFi gur a1. 22( 2( quec oi nc i decon ne e ldel aFi gur a1. 21)y t e ni endoencuent al aexpr es i ón( 1. 21) ,podemoscompr obarqueunaument odel acor r i ent e cor r es ponde ea auna at t ens i ón np pos i t i va ay yunar e ducc i ón nd de el l acor r i ent edal ugaraunat ens i ón nega t i va.Seobs er vat at ambi én,s egún ni i ndi cal aec uaci ón n( ( 1. 21) ,que es s il acor r i ent ei( t )e s t )e c o ns t a nt e , e nt on c e sl at e n s i ó nu( sc er o.Dee s t emodo ,una bobina alimentada con una corriente continua (estacionaria) actúa como un cortocircuito . Sienca mbi ol acor r i en t e i( t )cambi aconr nr api dez,seobt endr áunaf af uer t et ens i ón ne ent r el ost er mi nal es . As oc i a doc oc on ne e lva l orde L,l abobi nap apr es ent at ambi énu nuna ar r e s i s t en ci adebi do oa aque es t ár ea l i za da ap porun nc conduct orar r ol l ados os obr eunn nnúcl eo( i ncl us oadet er mi nadasf r ec uenci as ,puedea eapar ece rune nef ec t odec eca paci dad de ent r ees pi r as ) ,r es ul t ando ou unc nci r cui t oequi val e nt edeunabob i nar e a lc omoe li ndi c adoe oe nl aFi gur a1. 23.M Mi i e nt r a squenos os edi gal al o cont r ar i os es uponeque es s et r abaj aconbobi nasi deal es .

Figura 1.23   Circuit Circuito o equivalente de una inductancia real

Lar el ac i óni ni nver s aa( 1. 21)s epuedeobt enerpori nt egr ac i óne nent r eun nt t i empo oi i ni ci alt 0 yunt nt i e mpo of f i na lt ,l oquedal uga ra : di 1 t ) %  u ( dt   L

di 1 t  u( t )dt  % d t   L t 0 t 0 t 

ú

I I

queali nt egr arnosda: 1 t  u( t )dt  i( t ). i( t 0)%  L t 0

I

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   23

dedon des ede duc e : 1 t  u( t )dt  i( t )% i( t 0)!  L t 0

I

ot oma ndot 0% 0r e s u l t a : t 

i( t )% i( 0)! 1 u( t )dt   L 0

I

l aexpr es i ón na ant er i ori ndi c aque el l acor r i ent een nl l abobi naen nu un nt t i empot b 0esi gu alal al a c or r i e nt ei ni c i a li( 0)más l acor r i ent eques edesar r ol l aapar t i rdet % 0. Comoqui er aquel a t ensi ón ne es t ár el aci onadacon ne elf l uj ot( t )c onc a t e na do op porl abobi naporl al e ydeFar a da y ( 1. 20) ,ent oncesl ai nt egr alde( 1. 25)r epr es ent aelf l uj oconcat enado op porl abobi na,queal d i vi di rpo r L nosda al l acor r i ent e.A An nal i za ndo ol l aec uaci ón n( ( 1. 25)s eobs er vaquela bobina tiene un efecto de memoria,ya aq que el l ac or r i e nt e( s a l i da ao or e s pue s t a )e nun nt t i e mpot % t 1 de pe nde en no os s ol a me nt edel el at e ns i ón( n( e nt r a da ao oe xci t a ci ón na ap l i c a da )e nelt i e mpo oa ac t ua l t % t 1s i no ot t ambi éndelval orpas adodel aent r ad a( t a t 1) . Ot r oas pec t oacons i der aryques ededuc edel aec uac i ón n( ( 1. 21) ,esquel acor r i ent een u n ae b o b i n ap n o op p u e d e v ar i a rb r u s c a m e n t e , ya aq q ub e el l a t e n s i óp n ns s e r í a i n f i n i t a , l o q u e ee e s f í s i ca m n t e i m o s i b l e . Po r e l l o l a c o r r i e n t e e n un a o b i n a n o u e dh ea t e n e r d i s c o n t i nu i d ad e s . E n par t i cul arsecum mp pl e: i( 0 )% i( 0) .

!

quei ndi caq aque el l acor r i ent ei ni ci alj us t oant esdet % 0e sl ami s maquej us t ode s pué sde t % 0.Es t econcept oesút i lene neles t udi odelr égi ment nt r ansi t or i odel el osci r cui t os. Par ae s t a bl e ce run nf f l uj oenu nuna ab bobi nas as er e qui er euna ae e ne r gí ade ee e nt r a da ,qu eque da al mac e nadades pué sene lca mpo om ma gné t i c o.Lapot e nc i aabs or bi daporl abobi naesi gua la: di( t )  p( t )% u( t ) i( t )% Li( t ) dt  yl aen e r gí aa l ma ce na dae nun ni i nt e r va l odet i e mpo oc co mpr en di doe oe nt r e0yt  v a l e : w( t )%

i 1 di t )  L  i dt %  Li di %  Li2( 2 t  0 0 d t 

t 

ui dt  I I %

0

I

Laene r gí ama gnét i caal ma ce nadaw( t )s emi deen julios ( J ) .Lac o r r i e n t ei( t )del abobi na ariable de estado por cons t i t uyeunav quedet er mi na ae e les t adoene r gé t i c odel ami s ma .  1.5.3.

Condensador 

Elco nden s a dore sun nd di s pos i t i vo oo oe le l eme nt ode lc i r cu i t oc a pa zdea ea l mac e nare ne r gí a el éct r i ca .Laf or mamáss i mpl edecondens adores t áf or madapordospl ac asmet ál i ca spar aS  d  l e l a s d e es s ec ci ó n , d en om mi i n a d a s a r m ad ut r a s , s e p ar a da su u n a ad di s t an c i a e n a s4 q ueexi s t eun d i e l é c t r i c oo o o a i s l a n t e d e ep p e r m i t i v i d a d e , a l c o m o s e m e s t r a e n l a F i gu r al 1 . 2 . Alapl i ca runad ad. d. p.ent r el aspl aca su( t )s epr oduceun nc ca mpoe oel éc t r i co oe e neli nt er i or delcondensador E ,quepr ovocaunas epa r ac i ónd ndel asca r gasq( t )queap a r e ce nenl a spl a -

 

2 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

ca syques es on ni i gual esyde es s ent i dosopues t os( l aca r ga ae e spos i t i va/ nega t i va ap par al apl ac a uni daalt er mi nalpos i t i vo/ negat i vo od delgener adordeal i ment ac i ón) .Enun nc condensador ,el va l ordel aca r ga aa al mac ena daq( t )espr opor ci onalal at ens i óna napl i cadau( t ) ,esdeci r : q( t )% Cu( t )

Figura 1.24   Condensad Condensador or de placas placas paralelas paralelas

Lacons t ant ede ep pr opor ci onal i dadC  e  e sl acapacida capacidad d del condensador  condensador   ys ys emi deen  faradios ( F) .Comoqui er aquee s t auni da desmuyel e vad as es uel e ne mpl e a renl apr á c t i c a 6 ,e lna nof a r a di o s ubmúl t i pl os de l a mi s ma c omo e lmi c r of ar a di o( 1 ]F% 10 F) 9 1 2 ( 1nF% 10 F)yelpi c of ar adi o( 1pF% 10 F) .Elval ordel aca pa ci da ddeunc nc onde ns adordepende ed de es s usdi mens i onesyde el l aper mi t i vi dadd ddeldi el éc t r i coi oi ncl ui doe oent r el as pl a c asys uex pr e s i ón np pa r aunc nc onde ns a dorpl a no oe esC % e S / d . Enl aFi gur a1. 25as emues t r aels í mbol ode lconde ns ador ,enelques ei ncl uyee lval or del aca pac i dad de enf nf ar adi osyl oss ent i dosa s oci adosdet ens i óny nycor r i ent e.Enelca s ode queelcondens adors eavar i abl es eempl ea r áels í mbol odel aFi gur a1. 25b. .

.

.

Figura 1.25   Símbolos del condensador 

Enunc nconde ns adorde be ed de f i ni r s ee lva l orde el l ac apa ci da denf a r a di osyt ambi énl nl a t e ns i ón nm máxi maqueesc a pa zdes opor t a rent r es ust er mi nal ess i nques eper f or eeldi el éc t r i co.( Enl oscondensador esempl eadospar acor r egi relf act ordepot enci adel asi nst al aci onesi ndus t r i al es ,envezde es s eñal arl acapac i dad,s es uel edarelval ordel apot enci ar ea ct i vr a , c o n c e p o sq s ur e es s e e s t u d i a r á n ne e n e l C a p í t u l od 2 ) . Ea nr l a p r á c t i c a e l o n d ns a d or s u e l e p e s e n t a r ut n a sq pé di d as r e p r e s e n t a d as p o r m e d i o e un e s i s t e n c i a en pc ar a l ee l o c o n el c o n de ns ad orc omoi ndi c al aFi gur a1. 26 6( ( mi e nt r a snos os edi gal al oc ont r ar i o,s es uponeq eque es s e t r abaj aconc ncondens ador esi deal es ) .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   25

Figura 1.26   Circuito equi equivalente valente de un un condensador real

Lar el ac i ónent r el at ens i ónapl i c adayl acor r i ent eenuncondens adoresdeac uer docon ( 1 . 2 9 ) :

I

i dt  q( t ) % C % t ) u( t ) u(

  ú

  i( t )% C 

du( t ) dt 

esdec i rl acor r i ent een nu unc ncondens adoresdi r ec t ament epr opor ci onalal avar i ac i ónd nde el l a t ens i ónr es pect odelt i empo.Unaument odel at ens i óncor r es pondeaunacor r i ent eposi t i va yunar ar educc i ón nd del at ens i ón na apl i ca da aa alcondens adorcor r es pondeauna ac cor r i ent enegat i va .Seo eobs e r vaques iu( t )esconst ant e,ent once sl acor r i ent ei( t )e si gua lace r o.Dee s t e modo,un condensador alimentado con una tensión continua (estacionaria) se comporta como un circuito . L a r el a c i ó ni n i nver s aa( 1. 30) ,s epuedeo eobt eneri nt egr andoe oent r e u nt nt i em po oi i ni ci alt abierto n nt t i e m p o of f i n a l t : 0yu

du 1 t ) %  i ( dt  C 

du 1 dt % t  C  t 0 d t 

Ii(t )dt 

I

ú

t 

t 0

queali nt egr arnosda: 1 u( t )% u( t 0)% C 

t 

Ii(t )dt  t 0

dedon des ede duc e : 1 u( t )% u( t 0)! C 

t 

Ii(t )dt  t 0

e s u l t a : ot om ma andoe oeli ns t a nt ei ni ci alent 0% 0r 1 t  i( t )dt  u( t )% u( 0)! C  0

I

l aexpr es i ón na ant er i ori ndi caquel at ens i ón ne enelcondens a dorenun nt t i empot b 0e si gua la l at e ns i óni ni c i a lu( 0)más l at e ns i ónde s a r r ol l a daap ar t i rd et % 0.  El condensador tiene un efecto de memoria yaquel at e ns i ón( n( s al i da )queadqui er eenunt i empot % t 1de pe ndede l val orde el l acor r i ent e( ent r a da)ene nelt i empo oa ac t ualt %t 1yde el l osval or esant er i or esde el l a c or r i e nt e( t a t 1) .Ot r oa s pec t oaco ns i de r aryq yques ede duc ede( 1. 30)esquel at e ns i óne n uncondensa dornopuede ev var i arbr usc ament e,yaquel acor r i ent es ehar í ai nf i ni t a,l oquees f í s i ca me nt ei mpos i bl e.Dees t emodo ol l at ens i ónenuncondens adornopuedet ene rdi s cont i nui dades .Enpar t i cul ars ecumpl e: .

u( 0) 0 )% u( l oque ei i ndi caque el l at ens i ón ni i ni ci alj us t oant esdet % 0esl ami s maquej us t ode s pué sde t % 0.Es t econcept oesút i lenelest udi odelr égi ment r ans i t or i odel osci r cui t os.Alapl i car !

 

2 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

unat e ns i óna naunc nc onde ns a dors epr oduc eunas e pa r ac i ónd ndec a r ga sent r ea mba spl a c aso a r ma dur as ,l oquepr oduc eun nc ca mpoe oe l éc t r i c o,que da ndo oa a l ma c ena dau aunae ne r gí adee s t e t i po.Lapot enc i aabs or bi daporelcondens adores : du( t )  p( t )% u( t ) i( t )% Cu( t ) dt  yl aen e r gí aa l ma ce na dae nt r e0yt  s e gundosesi guala: w( t )%

du C    u dt % dt  0 t 

t 

I I ui dt %

0

1 Cu du % Cu2 2 0 u

I

Lat ens i ónu( t )delcondensa dorcons t i t uyeu eunav ariable de estado por que ed det er mi naeles t a do oe ene r gét i codelmi s mo.

Come ment ari ospr áct i cos

 Anal og´ í as se el ectr om me ecáni cas Existe una gran analogía entre entre las ecuaciones que relacionan la tensión con la corriente (o la carga eléctrica) en los elementos pasivos eléctricos: resistencia resistencia,, inductancia y ca capacidad, pacidad, con las ecuacio ecuaciones nes que relacionan relacionan la fuerza aplicada cad a y el desplazam desplazamiento iento en los elemento elementos s mecánic mecánicos: os: masa, masa, muelle muelle y amortigu amortiguador ador.. Para comproba comprobarr esta similitu similitud, d, recordemos que las relaciones u % f (i ) en los elementos pasivos eléctricos son: Bobina:  u(t ) % L

di (t ) dt 

; Resistencia:  u (t ) % Ri (t ); Capacidad:  u (t ) %

1 C 

I

i (t ) dt 

 

(1)

Las ecuaciones anteriores se pueden expresar en función de la carga eléctrica  q (t ), ), teniendo en cuenta que se cumple  i (t ) % dq (t )/dt , lo que da lugar respectivamente a: d2q (t ) q (t ) dq (t )  u t  R   u t  Bobina: u (t ) % L   ; Resistencia: ( ) % ; Capacidad: ( ) % dt 2 dt  C

(2)

En mecánica se dispone de tres elementos análogos a los anteriores y que son: masa, muelle y amortiguador y cuyas relaciones fuerza-desplazamiento se demuestran a continuación.

a) Masa:  La masa se considera como una indicación de la propiedad de un elemento de almacenar la energía cinética en el movimiento de traslación. En la Figura 1.27 se muestra el símbolo correspondiente. De acuerdo con las leyes de Newton, al aplicar una fuerza   f (t ) a una masa  m  se obtiene una aceleración  a (t ) y un desplazamiento desplazamiento x (t ), que están relacionados por la ecuación: f (t ) % ma (t ) % m

d2 x (t ) dt 2

Figura 1.27   Masa de traslación

 

(3)

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   27

b) Muelle o resorte:  En la práctica un muelle lineal, puede ser un muelle real o la deformación de un cable. En general un muelle se considera como un elemento que almacena energía potencial. En la Figura 1.28 se muestra el símbolo del muelle, en el que el parámetro   k   es la constante del muelle o simplemente su rigidez. En la práctica, todos los muelles presentan una cierta no linealidad. Sin embargo, si la deformación del muelle es pequeña, su comportamiento puede representarse aproximadamente mediante una relación lineal: f (t )

%

kx (t )

(4)

Figura 1.28   Muelle de traslació traslación n c) Amortiguador: Amortiguador:  Cuando existe un movimiento o tendencia de movimiento entre dos elementos, aparecen fuerzas de rozamiento. En las aplicaciones prácticas, las fuerzas de rozamiento se dividen en tres categorías: rozamiento viscoso, rozamiento estático y rozamiento de Coulo Coulomb. mb. El rozamiento rozamiento viscoso es la fuerza de fricción entre superficies móviles separadas por un fluido viscoso o la fuerza entre un cuerpo sólido y un medio fluido. Esta fuerza es aproximadamente proporcional proporcional a la velocidad, dentro de un rango de velocidades. En la Figura 1.29 se representa este tipo de amortiguador en que el parámetro   b   representa la constante viscosa. Básicamente el amortiguador consiste en un pistón que se mueve dentro de un cilindro de aceite. La expresión matemática del amortiguador es: f (t ) % b

d x (t )

(5)

dt 

Figura 1.29   Amortigua Amortiguador dor de traslación En resumen, las ecuaciones que relacionan la fuerza con el desplazamiento en los sistemas mecánicos son: Masa:   f (t ) % m

d2 x (t ) d x (t ) ); Amortiguador:   f (t ) % b 2   ; Muelle:   f (t ) % kx (t ); dt  dt 

(6)

Si se comparan las ecuaciones eléctricas (2) con las ecuaciones mecánicas (6) se observan las analogías entre las variables mecánicas y las variables eléctricas señaladas en la Tabla 1.2. Es decir, la masa en los sistemas mecánicos de traslación es equivalente a la inductancia en los circuitos eléctricos; en una masa cualquier variación de velocidad está ligada a la aparición de una fuerza de inercia   f (t ) %.mdv/ dt  y por analogía en una bobina cualquier variación de la corriente está vinculada a la aparición de una f.e.m. de autoin2 ducción  e %.Ldi (t ))/d /dt . En una masa se almacena energía cinética  mv  /2 y en una inductancia se almacena energía magnética  Li  2/2. El muelle en un sistema mecánico es equivalente al condensador en un circuito eléctrico. Y así como el muelle al deformarse almacena una energía potencial  kx 2/2, en un condensador se almacena energía eléctrica q 2/2 C. El amortiguador en un sistema mecánico, es un elemento que disipa energía por rozamiento y su valor es  bv 2 2

y es equivalente a una resistencia eléctrica, en la que se disipa una energía  R i  . Estas analogías entre los sistemas mecánicos de traslación y los sistemas eléctricos pueden extenderse a sistemas hidráulicos, térmicos, etc. El concepto de analogía es útil para el modelado y comportamiento de los sistemas físicos. Si se obtiene una solución en un sistema, esta respuesta se puede extender a todos sus sistemas análogos.

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   29

Deac uer doc oconl adef i ni ci ón nd dei mpeda nci ayt eni endoencue nt al a spol ar i dade sdel a Fi gur a1. 31,s epuedees cr i bi r : u( t )% Z (   D D) i( t ) l ar el aci óna nant er i orengl obal ast r esexpr es i ones( 1. 39) ,cump mpl i éndos epar acada ae el ement o: Z (  D  D)% R   Z (  D  D)% LD 1 Conde nsa dor :   Z (  D  D)% CD l ai mpeda nci aess e gún n( ( 1. 40)unc ncoc i ent eent r et e ns i óny nycor r i ent e,y yp porel l os emi de ee en ohmi mi os( s í mbol oL) ,i gualquel ar es i s t enci ael éct r i ca.Endef i ni t i val oque es s ucedeesquel a i mpeda nci aesunama gni t ud dm másgene r alque el l ar e s i s t enc i ays eut i l i zacua ndol ol ast ens i one syc or r i ent e svar í an nc cone nelt i empo.EnelCap í t ul o2dedi ca do oa al acor r i en t eal t er nas as e t e ndr áuna ai i deamásf í s i cadels i gni f i ca do od de el l asr el ac i ones( 1. 41) .Enpr i nci pi ol oque es s e pr et ende ee enes t eca pí t ul oesdarf or mul aci onesgener al esde el l at eor í adec eci r cui t osques es ean vál i daspar acual qui ert i po od de ee exci t aci ón.Losej empl osde ee es t ecapí t ul os er eal i za r án nc con f uent esdecor r i ent econt i nuadondeno oe exi s t envar i ac i onesconelt i empo.Dees t emodo os s e cons egui r ácomp mpr enderl acor r i ent eal t er na( c. a. )con nm másf aci l i dad,evi t ándos er epet i rconcept osi nneces ar i osqueen nl l ost ext ost r adi ci onal ess obr eci r cui t osel éct r i coss ehan ne es t ado produciendo. Enelcas odeques et om me enl ast ens i onescomovar i abl esi ndependi ent es ,l asr el ac i ones cor r i ent et ensi ónen nl l osel ement ospasi voss i mpl es ,s eobt i enena napar t i rde e( ( 1. 17) ,( 1. 25)y ( 1. 30) ,queen ne els upues t odeval or esi ni ci al esnul osdanl nl ugara:   i( t )% Gu( t ) Re s i s t e nc i a : 1 11  u( t )   i( t )% u( t )dt % Bobi na:  L  L D du( t )  

Re s i s t e nc i a : Bobi na:

I

  %

%

CDu( t )   i( t ) C  dt  Conde nsa dor : Lasec uaci onesant er i or esnosdi ce nque ep podem mo osexpr es arl ai nt ens i dadi( t )comoun pr oduct o,no oc conmut at i vo,de eu unac aci er t aexpr es i ón nd deloper ador  D,quee ne lcas odeuna r es i s t enci as er educe ea aunaconst ant eporl avar i abl eu( t ) .Repr es ent amoses aexpr es i ón np por Y (  D  D) ,ys ede nomi naadmitancia operacional ,c uyos í mbol oese lm mi i s moquee ldel aFi gur a 1. 30del ai mpe da nc i a .Dee s t emodos ec umpl e : i( t )% Y (   D D) u( t )

quea pl i c a da aa a( 1. 42)nosi ndi c aelval ordel aa dm mi i t an c i apar ac adae l ement opa s i vos i mp l e : Re s i s t e nc i a :   Y (  D  D)% G Bobi na: Conde nsa dor :

   

Y (  D  D)% 1  LD Y (  D  D)% CD

 

3 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

l aadmi t anci a,ess egún( n( 1. 43)un nc coc i ent eent r ecor r i ent eyt ens i ón,yporel l os emi de ee en  siemens,i gualque el l aconduct anc i ael éc t r i ca a( ( 1. 16) .Endef i ni t i va,l aadmi t anc i aesuna magni t udmásgener alquel aconduct anc i ays eempl eaenci r cui t osenl osquel ast ens i ones ycor r i ent esvar í anc ncon ne elt i empo. Losconce pt osdei mpedanc i ayadmi t anci aoper ac i onals onmuyú yút i l espar ades ar r ol l ar l o s p r i n i pa l e s t ec oi r e mo as d e c i r c u t o sd d es de u n np p un t o d e i s t a g e n e r a l . E no e l c a s o q u e l a s f u en t e sc d e e x c i a ó no n g e ne r a d oi r e s e l a r e d n o ov v a r í e nv c o n e l t i e m p o o( ( c r r i e n t ed ce on t i n u a ) , s ol ot i enes es ent i doh ohabl arder es i s t enci ayconduct anci a;obs ér ves eque ee ene nes t eca s o,als er  D % d/ dt % 0,l ai mpe da nc i adeunabobi naesc er o,l oquee s t ádea c ue r doc oconl as e gund a r el ac i ónd nde( 1. 39) ,m mi i ent r asquepar aun nc condens adors eobs er vaquel ai mpedanc i aesi nf i ni t a;l oant er i ors i gni f i caq aqueu euna ab bobi na aa al i ment ada ac con nc cor r i ent econt i nua as s ecompor t a c omouncortocircuito ( i mpe danc i ace r o) ,m mi i e nt r a squeunconde ns a dors ecompor t acomo uncircuito abierto ( i mpedanci ai nf i ni t a) ;deo eot r af or mas is eanal i za al l aexpr es i ón n( ( 1. 40) , puededeci r s equeunacor r i ent econt i nuaqueci r cul eporunabobi napr oduceunad. d. p.en s usbor ne snul a,mi mi e nt r a sque es s is eap l i c aunad ad. d. p.c ont i nua aa aunc nc onde ns a dor ,e s t eno dej ar ápas arl acor r i ent e.Sis ecompar anl asexpr es i ones( 1. 40)y( 1. 43) ,seobse r vaquel os c onc ep t osdei mpe da nc i aya dm mi i t an ci as on ni i nve r s osys ec umpl e: Y (  D  D)% 1  Z (   D D)

1.7.   To Topología pología de redes: conce conceptos ptos fundamentale fundamentaless Lat opol ogí ae sunar a madel age ome t r í ade di c a daa le s t udi odel a sf i gur a squepe r man e ce ni nvar i ant es ,cuandos os on np pl egadas ,di l at adas ,cont r ai dasodef or madasyquei nvent óel gr a nma t e má t i c oLe onha r dEul e re n173 6pa r ada rs ol uc i ón na a lf a mos o problema de los 2  siete puentes de Ko¨ nisberg  ,yque ee esmuy yú út i lpar aes t udi arl osci r cui t osel éct r i cos( Ki r chhof fyal aempl eóen1. 847) .Unadel asapl i ca ci onesmási mpor t a nt esdel at opol ogí aene l anál i s i sde er r ede s ,espoders el ec ci onarelnúme mer ocor r ec t oymásapr opi adode et t ens i oneso cor r i ent esi ncógni t aspar al ar e sol uci ón nd de eu unc nci r cui t oel éc t r i co.Vamosadaren ne es t eepí gr af eunas as er i eded edef i ni ci onesút i l esques evan na aut i l i zaral ol ar god odelt ext o.  1.7.1.

Definiciones

Esunpunt odeuni ónen t r et r e somáse l e me nt osdeun nc c i r cu i t o.Ent opol ogí a ,el c onc ept odenud os ea pl i cat a mbi éna lpun t odon dec onf l uye ndosomá se l e me nt osdeun c i r c ui t o.Ennue s t r oc as oc ua ndos et e ngaunp npunt ode eu uni óne ne nt r edose l e me nt osdeu eun ci r cui t o,denomi nar emosaes t epunt o:nudo os s ec undar i o,ycua ndoe oexi s t ant nt r esomásel eme nt oss ec onoc e r ás i mpl e me nt eporelnom mb br edenudo.Enl aFi gur a1. 31a, l ospunt osAy Bs onnudo s ,mi mi e nt r a squee nl aFi gur a1. 31b,l ospunt osAyBs onnudoss e c unda r i os . 2

Loshabi t ant esdeK eKo ¨ni s ber g( enl nl aact ual i dadK dKal i ni ngr ado)s epr egunt abans ns ier aposi bl er ecor r eres t aci udad, pa s andounavezys ol ouna,po rca daunodel ospuent ess obr eelr í oPr ege l ,yvol vi endoalpunt odepar t i da.Lac aci udad t ení acuat r opar t esdi st i nt asuni dasporsi et epuent es .Eul err es ol vi óelpr obl emausandou oung ngr af o.

 

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Figura 1.31   Nudos d de e una red e eléctrica léctrica

Esune l ement oogr upo od dee l e me nt osc one c t ado oe ent r edosnudos .( Ent opol ogí aelt ér mi not ambi énesvál i dopar anudoss ec undar i osper onos os eapl i ca r áaquí ) .Lar ed del aFi gur a1. 31a,t i enet r esr amas . Esunar e dquepue ded edi buj ar s es obr eunas upe r f i c i epl a na as s i nque es s e c r uc eni ngu nar ar a ma .Enc a s oc ont r a r i os edi cequel ar e desno plana.LaFi gur a1. 32a pr e s ent aunar e de npue nt equea pa r ent e me nt ee sno op pl ana ,s i ne mbar godi buj ándo l ac omo s emues t r aenl aFi gur a1. 32b,s eobse r vaquer ea l ment eespl ana.( Enes t et ext os ol ament e s ees t udi ar ánl nl asredes planas) .

Figura 1.32   Ejemplo de rred ed plana dibujada d de e dos formas disti distintas ntas

Esun nc c onj unt oder a ma squef or manunal í ne ace r r ada ,de et t alf or maques i s ee l i mi na ac c ual qui err amadell az o,elca mi no oq quedaa aa bi er t o.( Es t econc ep t oe svál i do t ant opar ar ede spl ana scom mo opar al asno op pl anas ) .Enl aFi gur a1. 32b,l osca mi nosa,b yc s on l azos ,per ot ambi éns onl a zosl osca mi nosMADCNM,ADCBA,MABCNM y MABDCNM. M. Es t econc e pt os eapl i cas as ol ament eacircuitos planos ye sunl a z oqueno cont i eneni ngúnot r oens ui nt er i or .Enunc nci r cui t opl anoe oexi s t enobvi ament et ant asmal l as , c omov entanas t i e nel ar e d.Enl aFi gur a1. 32b bs s et i en en nd dee s t af or ma3ma l l as :a,b yc. Si ne mbar gonos onmal l asl oscami nosMA MADCNM,ADCBA,MABCNM yMABDCNM. Esdec i rt odasl asmal l a ss onl nl az os ,per ono ot t odosl osl az oss on nm mal l a s . Esun nd di buj os i mpl i f i c ad odeu eunc nc i r c ui t oe ne lqueca da ar r a mas er e pr e s en t a porun ns s e gm me e nt o.Sit a mbi éns ei ndi cac onu nunaf l ec hae ae ls e nt i do od del ac or r i e nt epa r ac a da l í n e a e l g r a f o s e1 d i c e et i e ne eu ung ngr a f oor i e nt ado .Enl aFi gur a1. 33b bs s emue s t r ae l g r a f od d e l a F i g, ur a . 3 3 aq .ues Esl apa r t edeungr a f of or ma doporr a ma squec ont e nga nat odosl osnudo s , s i nques ef or me nl a z os .Enl aFi gur a1. 33b bs s emue s t r ac on nl l í ne a sgr ue s a suná ná r bolde l

 

3 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

gr a f o,co ns t i t ui dop oporl asr a ma s2,3y4,pe r os ehubi e r a npodi doe oe l e gi rot r osc om mo ol os f or madosporl a sr ama s1,2,5;1,3,6 6y yt ambi én4,5y6.

Figura 1.33   Circui Circuito to eléctrico y grafo correspondiente correspondiente

Sonl nl a sr amasde lgr a f ono oi i nc l ui da se ne lár bol .Seconoc e nt ambi én c on ne elnombr edecue r da syt a mbi énr a ma sde ee e nl a ce.Par ae lgr a f oyá r boldel aFi gur a 1. 33b,l asr amasdi buj adasen nl l í neadi s cont i nua a1 1,5y6s on ne es l abones .  1.7.2.

Propiedades

Del adef i ni ci ón nd deár bol ,s ededuc eques is et i eneunar edder r a masyn nudos ,elnúme mer o der amasde lár bole si gua laldenud osmenos1. Númer oder a masde lár bol me r onudo s. 1% n . 1 % Nú porot r apa r t ee lnúmer odee s l a bone sesi gua lalnúme r oder amasde lgr a f ome nose lnúme r oder a ma sdelár bol ,esdec i r : n . 1)% r . n ! 1 Núm me e r odees l abone s% r . ( La sec uac i ones( 1. 46)y( 1. 47)s on nm muyú yút i l espar al ael ec ci ón nd del el asvar i abl esi ndepe ndi ent e sdeunar edeneles t udi odel osci r cui t osel éc t r i cos .

1.8.  Lemas de Kirchhoff  Lasec uaci onesbás i ca sde el l osci r cui t oss ef or mul ar ona napar t i rdedos sl l emass enc i l l osque f uer one ne xpr es adosporpr i me r avezporGus t avKi r c hhof fe n1845.Elpr i merl emas eapl i c a al ascor r i ent esqueent r anos al endeun nn nudoy oycons t i t uyel aver s i ón ne ent eor í adeci r cui t os delpr i nci pi odecons er vaci ón nd del aca r gael éct r i ca .Els egundo ol l emas eapl i caal ast ens i one sal ol a r go od de eu unc nci r cui t oce r r ado( l az oomal l a)yr e pr es ent al aver s i ón ne enl at eo r í ade ci r cui t osdelpr i nci pi odecons er vaci óndel aener gí a.Vamosaveracont i nuaci ónl nl af or mul a ci ón ny yexpl i ca ci ón nd deca dauno od dees t osl ema s .

 

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1.8.1. 1.  1.8.

Primer Primer lema de Kirchhoff  Kirchhoff 

Es t el emaeselr es ul t ado od di r ec t odelpr i nci pi odec econs er vaci ón nd de el l aca r ga.Enl ost ext os s a j one ss ec onoc ec on ne e lnombr edeley de las corrientes de Kirchhoff ,ys ys ea pl i c aal os nudosdeunar e d.Cons i der e mosunnudocu al qui e r adeunci r cu i t o,c omoe lm mo os t r a doe nl a Fi gur a1. 34,enelques emues t r anl oss ent i dosder ef er enci adel ascor r i ent esenl asdi s t i nt a sr amas( l ascor r i ent esengener alpuedendepe nderdelt i empo oy yporel l os ees cr i ben nc c on mi nús cul a ) .Comoqui er aqueenunn nnudo on no os s epue de ea a l ma ce na rc ar ga ,e nc ua l qui e ri ns t ant ede et t i empo,l acor r i ent et ot alqueentra ene ne lnudo od de be es s e ri gua lal ac or r i e nt et ot a l que sale de lmi s mo.Enot r a spa l a br a syconf nf or mul a ci ón nm ma t e má t i c a ,e ne lnudo od de el l a Fi gur a1. 34 4s s ecumpl e: i1( t )! i3( t )! i5( t )% i2( t )! i4( t )

Figura 1.34   Primer lem lema a de Kirchh Kirchhoff off aplicado a un nudo

odeot r omodo : i1( t ). i2( t )! i3( t ). i4( t )! i5( t )% 0

ques epuedeexpr es ardi ci endo:  En cualquier instante de tiempo, la suma algebraica de todas las corrientes que qu e entran en un nudo es igual a cero:

; i( t )% 0 e nl ad e f i n i c i óna nt e r i or ,l ap a l a b r aalgebraica s i g ni f i c aq uel a sc o r r i e n t e st i e ne ns i gn o,u na c o r r i e n t ei2( t )ques al edelnudo oe esequi val ent eaunacor r i ent e.i2( t )quee nt r ae ne lnudo. Dees t emodop opar aapl i ca r( 1. 50)s edebeas i gnarels i gno! al ascor r i ent esqueent r anen e lnudo oy ys i gno. al ascor r i ent esques al endelnudo.Com mo oqui er aquel aec uac i ón n( ( 1. 50) c ons er vas uva l i de zs is emul t i pl i c an na a mbosmi e mbr ospor( ) ,l aecuaci ón ne equi val ent e .1 i ndi ca r í aquel el as umadel asc or r i en t e sques a l en nd deu eunn nnudo oe es ,ent odo oi i ns t an t e,i gua la c e r o . Cual qui e rver s i ón ne esbuena,l oi mpor t ant eeses t abl ecerl oss i gnosdel ascor r i ent escl ar ament e.Elpr i merl emadeKi r chhof ft i eneun ns s í mi lhi dr ául i co:s is econs i der auna ar r edde 3 t uber í asl l evandoaguaqueconf l uyer anenunpunt o,elca udalt ot al( m / s )quel l e gaa lnudo de bes e ri gualace r o. Elpr i merl emadeKi r ch hof fs epuedegene r a l i za rut i l i za ndol ol oqueent opol ogí as edenomi na grupo de corte.Cons i dér es eunar e dques epuedes epar ar( cor t ar )endospar t es  N 1 y N 2c om mo os emues t r aen nl l aFi gur a1. 35a.Lal í neadi s c ont i nua ar r epr es ent al a superficie de

 

3 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

corte quedi vi dealci r cui t oenunapar t eext er na N 1( no od di buj ada)yunapar t ei nt er na N 2e n l aque es s emue s t r a nl ose l e me nt osc sc om mp pone nt e s .Lasdospa r t e se s t án nc c one ct a da sporl os h i l o sa,b,c,d quel l evanl nl ascor r i ent esi ndi cadas. Comoqui er aquel aco r r i e nt equee nt r aenc a dael e me nt oe si gua lal aques a l edeé l ,ya quel ac ar ganet aal mac ena daess i e mpr enul a,e nt once ss ecumpl e: ia( t ). ib( t )! ic( t ). id ( t )% 0

Ell e c t orpue dec ec om mp pr oba rl ave r ac i daddees t ae cu a ci ón na a pl i ca ndoe oelpr i me rl e made Ki r c hhof fal osnudosA,B,C Cy yDdel aFi gur a1. 35ayobs e r va ndoqueals umarl a sec ua ci onesr es ul t ant ess eobt i eneelr es ul t ado o( ( 1. 51) .Endef i ni t i vaes t aecuaci ónesuna ag gener al i z a ci ónd nde lpr i merl e madeK eKi r chhof fyques es ee nunc i aa s í : La suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier superficie cerrada es igual a cero.

Figura 1.35   Prime Primerr lema de Kirch Kirchhoff hoff y grupos de corte corte

Las uper f i ci edecor t et ambi énpuedes erabi er t a,si empr eques epar eelci r cui t oor i gi nal end ndospar t es .Enl aFi gur a1. 35bs bs emue s t r an nd dosc i r cu i t os N 1( i z qu i e r da )y N 2( d e r e c h a ) C  qo u e s e h a n s e p a r a d o op r m e dp i o d ed u np n p l a no od d e c o t ed . S i s es c oc nu s i de r a nc n r i ent e s p s i t i va s l as q u es e s a l ep no p o rl a ar t e e r e c h a de l p l ar n od o e c o r t e e m p l e :comocor i1( t ). i2( t ). i3( t )! i4( t )% 0

queexpr es aendef i ni t i va aq que; i( t )% 0encua l qui er  superficie de corte.

1.8.2. 2.  1.8.

Segundo Segundo lema de Kirchhoff  Kirchhoff 

Es t el emaes ,comoyas ehai ndi c ado oa ant es ,cons ec uenc i adi r ec t adelpr i nc i pi odeco ns er va ci ón nd del aene r gí a .Enl ost ext oss aj oness edenomi na:ley de las tensiones de Kirchhoff , ys ea pl i c aal osl az osoma l l a sde eu unar e d.Rec ué r de s equel ad. d. p.ot ot e ns i óne ne nt r edos punt os1y2e selt r a ba j o( e ner gí a )poruni daddec ar gaquea dqui e r eopi e r del ami s maa l move r s ede s de1ha s t a2.Sia li rde1a2,l ac ar gaadqu i e r eoga nae ne r gí ae nt once s2e s posi t i vor es pec t oa1,hayporcons i gui ent eunael evac i óndepot enci alde1a2( ounaca í da depot e nc i a lde e2 2a1)o,a lc ont r ar i o,s il ac a r ga ap pi e r deo eoga s t ae ne r gí apa r ai rde e1 1a2, e nt onc e s2e sne ga t i vor or e s pe c t oa1,l oques i gni f i caunaca í dadepot e nc i alde1a2( ouna

 

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e l ev ac i ónd nde ep pot enc i a lde e2 2a1) .Cons i der emosah or aelci r c ui t ode el l aFi gur a1. 36,que mue s t r aunc ami noce r r adodel ar e d.Supó ngas eunaca r gaq % 1C,ques es i t úaene lnud o Ayques emue vee ne ls e nt i doi ndi c ado,de lnudoAa lB,de lB Ba a lC,e t c.has t avol ve ral nudod odepar t i daA.Sehans e ñal adoenl aFi gur a1. 36 6l l a spol ar i dade sdel ast ens i ones . Segúne ne lpr i nc i pi ode ec c ons er va c i ónd ndel el ae ner gí a ,l ae ne r gí ape r di dap aporl ac ar gaa aa l eu f e c t u a r e s t e r e c o r r i d o oc ce r r a dn oc , d e b e r áp s e r i g u a l a l a e n e r g í a a na d ap a p o r l a i s mp a . C o m mo o q i e r a q u e el l as c a í d a s de ep p o t e i a l s o n np é r d i d a s d e ee e n e r g í a yg l a s e l e v a c i o n em sd e ep o t en c i a l s on ng gananc i asdeener gí a,s et endr áuna ae ener gí agas t adadeval or :u3( t )! u4( t )yunae ne r gí aga na daporl aca r gai gua lau1( t )! u2( t )! u5( t )ye ncons e c ue nc i as ec umpl e : u3( t )! u4( t )% u1( t )! u2( t )! u5( t )

odeot r omodo,s is eponent odasl ast ens i onesal ai zqui e r dadel aec uac i ón,s et i ene : u3( t )! u4( t ). u1( t ). u2( t ). u5( t )% 0

Figura 1.36   Segundo lem lema a de Kirch Kirchhoff hoff y lazo correspon correspondiente diente

ques epuedeexpr es ardi ci endo:  En cualquier instante de tiempo, la suma algebraica de todas las tensiones a lo largo de un camino cerrado es igual a cero;

t )% 0 ; u(

enl adef i ni ci ónant er i or ,l apal abr aal gebr ai cas i gni f i caquel ast ensi onest i enens ns i gno.Una t e ns i óne nunel e ment os et om ma acons i gnopos i t i vo oc cua ndoa oalr e cor r erelci r cu i t ovamosde ma yorame norpot e nc i a l )ys et omac ons i gnone ga t i voc ua ndova mosde. a! ! a. ( ( menoramayorpot e nci al ) .I ndudabl ement es eobt i eneelm mi i s mor es ul t adot oma mandoelcr i t er i ocont r ar i o,esdeci rquel as um ma adel asel evaci onesdepot enci alsonce r o,per oconvi ene ce ñi r s eaunú núni copr ocedi mi ent o. Endef i ni t i val osdosl emasde eK Ki r chhof fs eexpr es anas í : o 1. Nudos

 

; i( t )% 0

o 2. Laz os s( ( mal l a s ) ; u( t )% 0

quenosi ndi caquel oques ec umpl ee nunae c ua ci ón np pa r al a sc or r i e nt e s ,s ecumpl ee nl a ot r apar al ast ens i ones ;l oques eapl i caenun nc ca s opar al osnudos,s eapl i cae nelot r opar a l osl az osomal l as .Es t ass emej anza sapar ec en nc conf r ec uenci aenl at eor í adeci r cui t osys e

 

3 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

c onoc econe lnombr ededualidad .Enes t ecas ol ost ér mi nosdual ess on:cor r i ent et ens i ón ynudomal l a;ext endi endo ol l adual i dad da aot r asmagni t udes ,s econs i gue es s i mpl i f i ca rmucho e le s t ud i od e ec c i e r t osc i r c u i t o s .  1.8.3.

Elección de las ecuaciones independientes para la aplicación de los lemas de Kirchhoff 

Lar es ol uci ón nd deu eun nc ci r cui t oel éct r i co oc cons i s t een nc cal cul arl ascor r i ent esde el l asdi ver s as r amasde lmi s mo,ya aq qued edet er mi nada ses t ass epuede neva l ua rl asdi f er ent est ens i onesy pot e nci asen nc ca da ae el ement odelci r cui t o.Sielci r cui t ot i ener  r a ma ma s ,e xi s t e nr  i n c ó g n i t a s . Par ar es ol verl ar ede despr eci s opr epar arent once sr  ec uaci onesque es s ea ni ndependi ent esy ques es edef i ne nalapl i ca rl osdosl ema sdeK eKi r c hhof falci r cui t o.¿Per oc óm mo oel egi res t as ec uac i ones ,t eni endo ol l as egur i dad dd deq equef or men nu uns ns i s t e mai ndependi ent e?Par aanal i za r es t as i t uaci ón nc consi der emosporej empl oelci r cui t odel aFi gur a1. 37.

Figura 1.37   Circuito eléctrico plano con tres mallas

r % 6) Exi s t ens e i sr amas( ,al asques el eshaas i gnadounascor r i ent esenunoss ent i dos t om ma adosar bi t r ar i ament e.Deac uer doc ocone s t oss ent i doss ehadet er mi nado ol l apol ar i dad dd de l ast ens i onesen nc cadaunade el l asr es i s t enci asdelci r cui t o( l acor r i ent es edi r i ge,en nl l osel eme nt ospa s i vos ,demay orame norpot enc i al )dee s t emodo oe e nc a daunadel asr e s i s t e nc i a s s ee s cr i bel al e ydeOhm mc c omoui % Ri ii.Elci r cui t ot i e ne4nudos( n % 4)al osqu epue de apl i ca r s eelpr i merl emadeKi r chhof f ,ycuyor es ul t ado,deac uer doc ocon( 1. 50) ,es :

NudoA: I 1. I 2. I 3% 0 NudoB: I 2. I 4. I 5% 0 NudoC: I 4! I 6. I 1% 0 NudoD: I 3! I 5. I 6% 0 Obs er vamosqueca dacor r i ent eder amaapa r ec ee xac t ament edosvec esenl asec uac i one sant er i or es ,unavezcons i gnop opos i t i vo oy yot r ac on ns s i gno on nega t i vo,l oqueer adees per ar yaquecomounar amauneadosnudos ,s il ac or r i ent ee spos i t i var es pe c t odeun nn nudo,s e t or nanega t i var es pec t ode lot r o.Sepuedecompr obarpore l l oqueca daunadel asec uac i o-

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   37

ne ss eobt i e nec omol as um ma adel a sr e s t a nt e sc a mbi a dades i gno.Porej e mpl o,als uma rl a s e c ua c i one sdel osnud osA,By ByDr es ul t a :  I 1. I 4. I 6% 0

quec omo moyas ehai ndi c a do,esl ae c uac i ón nd de lnudoCc a mbi a dades i gno.Porco ns i gui en onesr es t ant es t el aec uac i ón nd de lnudonési mo,es t ár eal ment ei ncl ui dae aenl asn . 1ecuaci ( esdec i resl i nea l ment edependi ent e) ,ye yesporel l or edundant e.Dees t emodo op par aapl i ca r elpr i merl emadeKi r c hhof fycons egui runconj unt odee cua ci onesi ndepe ndi en t e ss ede bene nel egi rn . 1nudosdel osn t ot al esdi s poni bl es .Des deun np punt odevi s t at opol ógi col o ant e r i ors eexpr es adi c i endo oq queelnúm me er odenudosi ndependi ent esesi gualalnúmero de ramas del del árbol del grafo de la red ,ve re cu ac i ón( n( 1. 44) .Ene lca s odel aFi gur a1. 37,s e t i e n en % 4yporc ons i gui e nt eha yn . 1% 3e c ua ci one sde en nud o,al al a sques ea pl i c ae l pr i me rl emadeKi r chhof f . Ahor abi e n,c omo moe xi s t e nr  i n c óg ni t a s( r  r amas ) ,s enecesi t ar án:r . ( n . 1)ec uaci onesadi ci onal esques es eobt endr ánapl i ca ndoe oels egundol ol emadeKi r chhof falci r cui t o.Par a l ar e ddel aFi gur a1. 37s upon e n6. ( 4. 1)% 3ec uac i onesnuevas ,queesen nd def i ni t i va, s egún nl l aec uaci ón n( ( 1. 47) ,el número de eslabones del grafo or amasdeenl ac edelci r cui t o. A h o r ac b i e n , e l s e g u n d o l e m ep K i r c h h f f s e a p i c a a l o sp l a z o s d e l ap r e d , q uq eu s onl n l o s d i f e r e n t e s i r c u i t o s c e r r a d os q ua ed s e u e d e no f o r m a r .l E l l e c t or u e d e c o m r o b a r e en e l c a s o del aFi gu r a1. 37e xi s t ens i e t el a zos ,as a be r :ABCEA;AFDBA;CBDGHC;EAFDBCE; EAB ABDGHCE;AFDGHCBAyEAFDGHCE.Es t ác l ar oquedee s t oss i e t el a z os ,s ol a me nt e debehabe rt r e si ndepe ndi ent es¿pe r ocómoe l egi r l os ?Lar e s pues t aesf ác i lyaque el l omás s i mpl eest omaraque l l osl az osquecoi nci da nco nl a smallas ( vent ana s )que et t i enel ar ed dy y ques eha ns e ña l a do oe enl aFi gur a1. 37 7p pora,b,yc ( yques ec or r e s ponde ncon nl l ost r es pr i mer osl az osenumer adosant er i or ment e) .Ell ec t orpuedecompr obarquel osdemásl az os s oncombi nac i ónl nl i nea ldees t asmal l as .As íelc uar t ol az oesl as um ma adel asmal l asa yb,el qui nt odel as umadea yc,e ls ex t odeb yc,ye yels épt i modea,b yc.Sepue de nbus ca r ot r ascom mb bi naci ones ,per oes t aesl amáss i mpl e.( Enr edeses paci al es ,nop opl a nas ,l osl az os máss i mpl es ,s on nl l oscor r es pondi ent esal osci r cui t osce r r adosques es ef or man na alce r r arl a s r a ma sde lár bolporl ose s l a bone s ,det a lmo modoquec a dal a zoques ef or mec ont e ngauns ol o es l abón,esporel l oque es s eobt i ene nt ant os sl l az osi ndependi ent escomoes l abonest i ene el l a r ed,esdeci r :r . n ! 1) .Porcons i gui ent el ar es pues t adelci r cui t ode el l aFi gur a1. 37,s e obt i enedel ass ol uci onesdel asec uaci ones: Nudos( Pr i merLe ma )

Ma l l a s( Segund oLe ma )

A) I 1. I 2. I 3% 0 B) I 2. I 4. I 5% 0 C) I 4! I 6. I 1% 0 a) R1 I 1! R2 I 2! R4 I 4. U   ss1% 0 b) R3 I 3! U  s2. R5 I 5. R2 I 2% 0 c). R4 I 4! R5 I 5! R6 I 6. U  s3% 0

dondes ehaapl i ca doe oels egundol emadeKi r chhof f( 1. 53)al ast r esmal l asdelci r cui t o.De cual qui ermodo,elpr ocedi mi ent oapl i ca doa oaquíespoco oe ef i ci ent epor que eu ut i l i zaun ng gr an núme r ode ee e c ua c i one sei nc ógni t a s .Mása de l ant es eof r ec e r á nmét odosquee mpl e a nun núme me r omí ni modei ncógni t a syec uac i ones ,y yq que,porcons i gui ent e,s on nm másef i ca ce s .

 

3 8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.2

Enelci r cui t ode el l aFi gur a1. 38,cal cul ar :a)cor r i ent es  I 1,  I 2e I 3;b )pot enci asel éct r i cassumi ni st r adaspor l osgener ador es ;c)pot enci asel éct r i casdi s i padasenl asr es i s t enci as .Com mp pr uébeseelbal ancedepot enci as de lc i r c ui t o.

Figura 1.38   Ejemplo de aplica aplicación ción 1.2

So l uc i ón

a )Lar edt i enet r e sr a ma syencons e cue nc i aexi s t ent r e si nc ógni t a s .Haydosnud osAyB.Comos eha i ndi ca do oe en ne elEpí gr af e1. 8. 3,elpr i me rl emade eK Ki r chhof fs edebeapl i ca ran . 1nudos ,esde c i raun nudo,ye ye ls egundol emas eapl i ca r áal asdosmal l asquet i enel ar ed.Lasec uac i onescor r es pondi ent ess on: NudoA: I 1! I 3. I 2% 0 Ma l l aa: 1  I 1! 2  I 2. 8% 0  I 3! 13% 0 Ma l l ab: !2  I 2! 3 dedondes ededuc enl osval or es :  I 1% 6A; I 2% 1A; I 3%.5A

quei ndi caquel acor r i ent er ealdeci r cul aci ón I 3escont r ar i aal as eña l adaenelgr áf i codel aFi gur a1. 38. b)L )Laspot enci asel éct r i ca ss um mi i ni s t r adasporgener ador es ,deac uer do oc con( 1. 6)s on:  P 1% 8· 6% 48W  I 1% 8· .5  I 3%.13·(  P 2%.13· )% ! 65W els i gnome noscol oca doenl aexpr es i ónde  P 2pr ocededequel acor r i ent e I 3consi der adaenl aFi gur a1. 38 ent r aporelt er mi nalpos i t i vodelgener adoryqueas uvezval e.5A( r ec uér des equel apot enc i as um mi i ni s t r adaporungener adordet ens i óneselpr oduct odel au s porl acor r i ent eque  sale po relt er mi nalpos i t i vo) . Laspot enci ass um mi i ni s t r adasporl osdosgener ador ess on np porcons i gui ent e:

 P gen% P 1! P 2% 48! 65% 113W

c)L )Laspot enci asdi s i padasenl asr es i s t enci ass on: 2  P ( .5 %7 1L)% RI 2% 1· 62% 36W W; ;  P ( 2L)% 2· 12% 2W; P ( 3L)% 3· ( ) 5W

quer epr es ent aunapot enci aabsor bi dat ot al :  P abs% 36! 2! 75% 113W

s eobs e r vaques ecumpl eelbalance de potencia en el circuito ,esdeci r : ; P gen% ; P abs

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   39

Come ment ari ospr áct i cos

1. El puente de Wheatstone:  Los circuitos tipo puente  se utilizan ampliamente para la medida de las magnitudes de los componentes pasivos: resist resistencia, encia, inductancia y capacid capacidad. ad. Estos circuitos determinan determinan el valor valor del parámetro parámetro buscado por comparación con patrones regulables y se emplean cuando se requiere una medida con alta precisión. Se basan en la obtención del cero por un medidor al equilibrar el puente (método de cero). La gran precisión obtenida se debe a que el equi equilibra librado do no es af afectad ectado o por los los err errores ores d de e cali calibraci bración ón del instrum instrumento ento de medida, medida, su exacti exactitud tud depende únicamente de la sensibilidad del instrumento (y por supuesto de la precisión de los componentes del puente). Un puente es una red con cuatro terminal terminales es de entrada/salida (que también se llama llama cuadripolo), en la cual se ha conectado la fuente a un par de bornes y el indicador de equilibrio, equilibrio, que suele ser un galvanó galvanómetro, metro, al otro par. Según el tipo de alimentación los puentes se dividen en puentes de c.c. y puentes de c.a. Los puentes de c.c. más importantes son el de Wheatstone que se emplea para la medida de resistencias medianas y el de Lord Kelvin o Thomson especialmente diseñado para mediciones de resistencias muy pequeñas. Entre los puentes de c.a. destacan los siguien siguientes: tes: a) puente de Maxwell Maxwell que se utiliz utiliza a para medir una induc inductanc tancia ia desconoci desconocida da en compa comparació ración n con un condensador patrón, b) puente de Hay que es una modificación del anterior, c) puente de Schering que se emplea para medir la capacidad de condensadores, d) puente de Wien, que mide también capacidades e incluso frecuencias. El puente de Wheatstone es el primer tipo de puente que se utilizó y que fue introducido en 1843 por C. Wheatstone (realmente el inventor fue Christie, quien lo inventó en 1833) y es el origen de los demás puentes. El puente de Wheatsto Whe atstone, ne, está form formado ado por cuatro resi resisten stencias cias dispuesta dispuestas s en forma de cuadrilát cuadrilátero ero (Figura (Figura 1.39), cuyas diagona diagona-les están formadas respectivamente por un generador o fuente de f.e.m.  U s  y un galvánometro;  R 1,  R 3 y  R 4  son tres resistencias de valor conocido y  R 2  es la resistencia incógnita cuyo valor se desea determinar. La corriente a través del galvanómetro (que es un miliamperímetro o milivoltímetro en algunos casos) depende de la diferencia de potencial entre los nudos A y B a los que está conectado. Se dice que el puente está equilibrado cuando la d.d.p. en bornes del galvanómetro es de cero voltios de tal forma que no circula corriente por él. Esta condició con dición n ocurre cuando cuando la d.d.p. en entre tre los nudos A y D es igual a la que existe existe entre entre B y D. Al tomar el nudo D como referencia, y suponer que no está con conectado ectado el galvanómetro, galvanómetro, las tension tensiones es de los nudos A y B respecto del nudo D, son respectivame respectivamente: nte: U  A % U s

R 2 R 1 ! R 2

;   U B % U s

R 4

(1)

R 3 ! R 4

Figura 1.39   Puente de Wheatstone y al igualar ambas tensiones se obtiene: R 2 R 1 ! R 2

%

R 4 R 3 ! R 4

ú

  R 1R 4 % R 2R 3

 

(2)

que es la condición de equilibrio del puente de Wheatstone y que es fácil de recordar, porque deben coincidir el producto prod ucto de las resis resistenci tencias as enfrentada enfrentadas s de un lado del puente puente con las del otro lado. lado. Si  R 2 es la resisten resistencia cia desconodesconocida, de acuerdo con la expresión anterior, se deduce: R 2 % R 4

R 1 R 3

(3)

 

4 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

denominan n la resistencia  R 4 constituye el el brazo patrón del pu puente ente o lado de comp comparación aración y las resistencias R 1,  R 3  se denomina brazos de relación. La medida se efectúa colocando la resistencia desconocida   R 2  en el puente y regulando los brazos y el lado de comparación, constituidos por resistencias variables, hasta que el galvanómetro central marque cero. La resistencia  R 4  suele ser de variación continua (potenciómetro de alta precisión), mientras que las  R 1  y  R 2 son resistencias cuyos valores son potencias de 10, quedando la fórmula (3) de la siguiente forma: R 2 % R   x x  % R 4 · 10(n

.

n

ñ

)

(4)

ya que  R 1 % 10n;  R 3 % 10n . La condición de mayor sensibilidad del puente se obtiene haciendo que  R 1  y  R  x  que es igual a  R 2  sean iguales entre sí y que tambien  R 3  y  R 4, tengan aproximadamente el mismo valor; la condición ideal sería que las cuatro resistencias fuesen de igual valor o al menos muy parecido. La tensión de alimentación   U s oscila entre 2 y 20 voltios. 2. Medida de deformaciones con el puente de Wheatstone:  El circuito de medida básico empleado en la medida de deformaciones es el puente de Wheatstone cuya disposición se muestra en la Figura 1.40, donde existe una banda extensométrica  R 2  que se ha colocado sobre una probeta para medir la deformación cuando se somete esta probeta a tracción. Generalmente las cuatro resistencias del puente tienen la misma resistencia, (cuando la probeta no está sometida a deformación), si denominamos esta resistencia común   R 0, es evidente que el puente práctica, debido a las tolerancias tolerancias está inici inicialme almente nte equilibra equilibrado do y la tensió tensión n que se mide entre entre A y B es  U m % 0 (en la práctica, de las resistencias, el puente se debe equilibrar con potenciómetros externos). ñ

deformaciones eformaciones con el puente de Whea Wheatstone tstone Figura 1.40   Medida de d  Al aplicar una fuerza de tracción a la probeta, la banda extensométrica  R 2  sufre un aumento de resistencia y  R 0  a  R 0 ! BR , lo que provoca una tensión en el medidor que es la d.d.p. entre A y B. Si se tienen en pasa de valer  R  cuenta las expresiones (1), esta tensión vale:

U m % U  A . U B % U s

C

R 2

R 1 ! R 2

.

R 4 R 3 ! R 4

R 0 ! BR 

DC % U s

.

R 0 ! R 0 ! BR 

R 0 R 0 ! R 0

D

] U s

BR  4R 0

(5)

donde la última aproximación es válida siempre que BR @ R 0. El montaje anterior se conoce en instrumentación como circuito en 1/4 de puente, ya que solamente una de las cuatro resistencias del puente es activa (la banda extensométrica). Como quiera, que según se explicó en los comentarios prácticos incluidos a continuación del Epígrafe 1.5.1, la deformación deformació n de una banda y por lo tanto de la probeta probeta a la que está adherida en función del del cambio en la resistencia es igual a:

e a%

1

BR 

K  R 

%

1

BR 

K  R 0

(6)

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   41

al sustituir el valor del incremento de resistencia unitario de la banda, en función de la tensión de medida (5), se obtiene finalmente finalmente::

e a%

1

BR 

K  R 0

%

1 4U m

(7)

K  U s

6 tensión  U m . de es la deformación axial la probeta es proporcional a la Si por ejemplonominal consideramos  E  % 2.10 unadecir probeta de acero con un de módulo de elasticidad kp/cm2, de conmedida una banda resistencia 120 L y factor de galga  K  % 2, que es parte de un puente de Wheatstone alimentado por una fuente de 2 V, y se supone una tensión de medida de 0,5 mV, la deformación medida es:

e a%

1 4U m K  U s

3

.

%

1 4·0,5·10 2

6

.

% 500·10

2

m/m

(8)

y los ingenieros civiles suelen decir que la deformación producida es de 500 microdeformaciones. Si se tiene en cuenta ademá además s la ley de Hooke, que relaciona el módu módulo lo de elasticidad E  con  con la tensión mecánica unitaria p% T/S y la deformació def ormación ne a , es decir:  

Ley de Hooke:

E %

p e a

(9)

la tensión mecánica correspondiente es: 6 p% E e a % 2·10 ·500·10

6

.

% 1.000

kp/cm2

(10)

Si la probeta fuera de sección uniforme, se podría determinar posteriormente la fuerza de tracción a la que está sometida la misma, constituyendo de este modo una  célula de carga  (que es en definitiva el método de pesaje electrónico que se encuentra en cualquier tienda de ultramarinos). NOTA ADICIONAL: ADICIONAL: Debe señalarse que para evitar variaciones de resistencia con la temperatura (que provocaría falsas lecturas en las deformaciones), las bandas extensométricas se construyen con constantán, que tiene un factor de variación de la resistencia con la temperatura muy reducido). Aún así, para evitar errores por variaciones de temperatura, en el circuito de m medida edida de la Figura 1.40, la resistencia resistencia R 1  no es fija, sino que es una banda inactidummy  va ( ) que se sitúa físicamente al lado de la banda activa  R 2  (pero sin pegar a la estructura) para que varíe solamente su resistencia con la temperatura y no con la deformación, por lo que al tener en cuenta la ecuación (5) de la tensión de medida del puente, las variaciones de la resistencia con la temperatura de  R 1  y  R 2  son iguales y además tienen signos contrarios, por lo que se compensan entre sí.¡Es verdaderamente difícil medir deformaciones con buena precisión y se requiere una gran experiencia!

1.9.   Elemen Elementos tos activos reales reales EnelEpí gr af e1. 3s eexpl i ca r on nl l osel e ment osac t i vos si i dea l es ,que es s on ng gene r ador e sque mant i enenconst ant es ut ens i ón n( ( gener ador esdet ens i ón)os ucor r i ent e( gener ador esdecor r i ent e) ,i ndependi ent ement edel aca r gaques econect aens ust er mi nal es .Si nembar go,l os el ement osact i vosr eal esno op puedenm nmant eneres t acons t anci adet ens i ón no ocor r i ent edebi do al aspér di dasenl asi mpedanc i asi nt er nasqueo eof r ec enl osmi s mos .Losgener ador esr ea l es i ndependi ent espuedens erde et t ens i ón ny ydecor r i ent e. Un e sa que le l e me nt oac t i vodelc i r c ui t oquepr opor c i ot )quede naener gí ael éct r i caconunadet er mi nada at t ens i ónu( pe ndedel ac or r i en t equepa s a porél .Lar el aci ónu-i enes t osgener ador esesunal í near ec t a,dependi ent enegat i va,com mo o s emues t r aenl aFi gur a1. 41a;es t oesdebi doaqueelgener adorr ea ldet ens i ónpr es ent ae n gener alunaci er t ai mpedanci a( queenelcas odec. c.seconvi er t eenunar es i s t enci a) ,enl nl a

 

4 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

ques epr oduceunaca í dadepot enc i al .Pore l l oels í mbol odeun ng gene r adorr ea ldet e ns i ón e s t ár e pr e s ent a do,c omos emue s t r aenl aFi gur a1. 41b,porung nge ne r a dori de a lmá suna i mpedanci aen ns s er i e. Dea cue r doc ocone nels e gundol e madeKi r c hhof f ,l aec ua ci ón nq quee xpr es al at ens i ónd nde l ge ne r ad ore nf unc i ón nd de el l aco r r i e nt ee sde el l af or ma:u( t )% U  s . Zi( t ) .Lat ens i ónU   ss c or r e s p o nd e a l p u n t o ed ne e l qu l a r c t ac a r a c t er í s t i cp aa c o r t a a ls e j eb d el os r d e na d a s , s e d e n o. m i n a t e n s i ó n nd d e ev v a c í o , es c i r ce on i( t e ) . S i s e c o m r a n l o s í m o o d e l a s F i g ur a s 1 7a y %0 1. 41b,s eobs er vaqueun generador ideal de tensión tiene una impedancia Z en serie igual  a cero.

Figura 1.41   Generador de tensión tensión real

Unac umu mul a dordeuncoc heesun ng gene r adorr ea ldet et ens i óndecor r i ent econt i nua( uni di r e c c i ona l ) .Lat e ns i ónU  s esi guala12 2V Vys is um mi i ni s t r apequeñascor r i ent e s( alconec t ar unaca r ga ae ent r et er mi nal es ) ,l at ens i ón ne enbor ness er ás ens i bl ement ei guala12 2V V,esdec i r t r a baj ar í acomoung ngene r adori dea ldet ens i ón.Ahor abi en,sil aca r gaconec t adacons um me e muchacor r i ent e,l at ensi ón ne enbor nesdi s mi nui r ádebi doal ar es i s t enci ai nt er naquet i eneel a c umu mul a dor .Ell e ct orl opue de ec c om mp pr oba rf á ci l me nt emi di e ndo ol l at e ns i óne ne nbor ne sde l a c umul adorc ua ndocone ct aelmot ordea r r a nqued edes ucoc he e( ( quee ne s emome nt ot a n br e vepuedeas ce nderaunac or r i ent es uper i ora200a 0amper i os ) .Seda r ácue nt aquel at en3

 suministrada s i ó n a j ae a o 9 v l t i o st . Ls a p o t en ci a e l é c t r i ca p o r u ng n g e ne r adordet e ns i ón r e a l ,b c o n ne l8 co nv e no i o d e et en i o n e s y c or r i e n t e s d el aFi gur a1. 4 1 b , s er á :  p( t )% u( t ) i( t )

Un e sune l ement oa ct i voquepr opor c i onae ne r gí a el éct r i cacon nu unadet er mi nadai( t )quede pen dedel at en s i ón ne e nbor ne s .Lar e l ac i ónu-i e n es t osgene r ador e se suna al l í near ec t ade ep pendi ent enega t i va,comos emues t r ae nl aFi gur a 1. 42a;es t oesdebi do oa aqueelgener adorr ea ldecor r i ent epr es ent aengener aluna aa admi t anci aenpa r al el o( queenelca s odec. c.s ec onvi er t eenunaconduc t anc i a) ,enl aques epr oduc euna ad der i vaci ónde ec cor r i ent ei1( ve rFi gur a1. 42b) .Dea cue r doc ocone ne lpr i me rl e made Ki r chhof f ,l aec uac i ónq nque ee expr es al at ens i ón nd delgener adorde ec cor r i ent eenf nf unci ón nd del el a 3

Elenvej eci mi ent odeunacumul adorhac equedi s mi nuyanos ol ament es uf uer zael ec t r omo mot r i zot ens i ónenvací o, s i nos obr et odoqueaument es ur es i s t enc i ai nt er na,porl oquel aca í dadet ens i ónp npar aunm nmi s mocons umodecor r i ent e esmásel eva da.¡ Esporel l oungr aveer r orcompr obareles t adodel abat er í ami di endoúni ca ment el at ens i óne nenvac í o ent r esust er mi nal es !

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   43

t e ns i óne ne sde el l af or ma :i( t )% I  s . Yu( t ) .Lacor r i ent e I  s c or r e s pondea lpunt oe ne lquel a r ect aca r act er í s t i cacor t aalej ede ea abs ci s asys edenom mi i nac acor r i ent edevací o,esdeci rcon u( t )% 0.Sis eco mpa r a nl oss í mbol osdel a sFi gur a s1. 8ay1. 42b,s eobs er vaqueunge ne r adori dealde ec cor r i ent et i eneunaadm mi i t anci aY enpa r al e l oqueesi gua la ac c er o( oi mpe dan c i ai nf i ni t a ) .Lapot e nc i ae l é c t r i c a suministrada porun ng gener adordecor r i ent er ea l ,conl nl os s ent i dosde et t ens i onesycor r i ent esmost r adosenl aFi gur a1. 42be bes :  p( t )% u( t ) i( t )

Figura 1.42   Generador de corriente corriente real

Ha yque ed de s t a ca raquíquee eelconc ep t ode eg ge ne r a dorde ec cor r i e nt er e a loi de a l ,e sun t ér mi no ot t eór i coq oque es s ei nt r oduceent eor í adeci r cui t ospar aexpl i carelcompor t ami ent ode ci er t asr edes.Ungener adorel éct r i co:acumu mul ador ,pi l a,et c. ,esund ndi s pos i t i vo of f í s i cament e r e al ,que ee e qui va l eaung nge ne r ado rr ea ldet e ns i ón;l oques uc edeesquee s t ege ne r a dore n ci er t ascondi ci onesdef unci onam mi i ent opuedee ees t ars um mi i ni s t r andou ouna ac cor r i ent eque en no od depe ndadel at ens i ón np porl oqueequi val eaun ng gene r adordecor r i ent e.

1.10.  Asociación y transformación de fuentes Losel ement osac t i vosogener ador es ,s ea ni dea l esor ea l es ,s epuedenconec t a rent r es íen s er i eyenp npar al el o.Cuando os s et i ene nes t asconexi onesen nu un nc c i r cui t oel éc t r i co,esconveni ent es i mpl i f i carl ar ed da abas ede es s ust i t ui res t ascomb mbi naci onesdee eel ement osac t i vos sp por gener ador esequi val ent es .Porot r ol ado,dependi endodelt i po od deanál i s i sut i l i zado op par aes t udi arunc nci r cui t o,esavece sconveni ent eempl ea rúni ca ment egener ador esdet ens i ón ny yen ot r osca s oss ol ament egener ador esdecor r i ent e,porl oques ien nu unadet er mi nadar ed,exi s t e nambost i posdegene r ador es ,convi eneconoce rl asr egl asdet r ans f or mac i ónd ndeun nt t i po degener ador esalot r o.Elobj et i vod odees t eepí gr af eesdem mo ost r ares t asr egl asdet r ansf or maci ón nd deel ement osac t i vos.

a) Fue Fuentes ntes de tensión ideales ideales en serie Sis et i en en ng ge ner a dor e si de a l esd sdet et en s i ón nc c one ct ad ose se ns e r i e ,c omoi ndi c al aFi gur a 1. 43a,puede ns us t i t ui r s eapl i ca ndoe oelse gundo ol l emadeKi r chhof fporot r ogene r adorcuya t ens i ón nt t ot alesi gualal a suma algebraica det et odos se el l os ,esdec i ru sT  % ; u si t a lcomo s eñal al aFi gur a1. 43b.

 

4 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

conectadas ctadas en serie Figura 1.43   Fuentes de tensión cone

b) Fuentes de corriente ideales en paralelo Sis edi s poned edevar i asf uent esi deal esdecor r i ent econect adasenpar al el o,comoi ndi cal a Fi gur a1. 44a,s epueden ns s us t i t ui r ,t eni endo oe en nc cue nt aelpr i merl emadeKi r chhof fporot r a f ue nt ei de alde ec c or r i e nt e ,c uyov ova l or re es sl l as umaa l ge br a i ca ad det et odos sl l osg sge ner a dor es : i sT  % ; i si t a lc om mo os emue s t r ae nl aFi gur a1. 44b.

Figura 1.44   Fuentes de corriente conecta conectadas das en paralelo paralelo

c) Combi Combinac naciones iones no válidas La sf ue nt e si dea l esdet e ns i ónn nnop opuede nc onec t ar s eenpar a l e l o,denos os erquet e ngans us t e ns i onesi gual esyde ef f or maanál oga a( ( dual ) ,l asf uent esi dea l esde ec cor r i ent eno os s epueden conec t arens ns er i e,a am menosque es s ea ni dént i ca s ,l ocont r ar i oconduci r í aauna ai i ndet er mi naci ón ne enl ar ed.Enl apr áct i ca,s iseconect anenpar al el ogener ador esr ea l esdet ens i ón,con magni t udesdi s t i nt as ,s epueden np pr oduci rf uer t escor r i ent esde ec ci r cul aci óni nt er nas ,s obr e t odot r abaj andoenvac í o,esdec i rs i na l i ment a runaca r gaext er na,det alm mo odo oq quel af uent edemayorf . e. m.s edes c ar ga r í as obr el asdemá s .

d) Fuente Fuente de tens tensión ión ideal en paralelo paralelo con un eleme elemento nto Enl aFi gur a1. 45as emue s t r aunaf ue nt ei de a lde et t e ns i ónq nquet i ene eu unai mpe da nc i ae n par al el o.Lacor r i ent equeci r cul aporl ai mpedanci adependeúni ca ment edel at ens i óndel a f u e n t eu s( t )queesl aqueende f i ni t i vae s t áf i j andol ad. d. p.ent r el ost e r mi na l e sAyB.En l oquer es pec t aal oscálculos en el resto de la red ( e sde c i r ,ae f e c t o se xt e r no s )l ap r e s e nc i a ono od de el l ai mpe da nc i ae npa r al e l oesi ndi f e r ent eypore l l opue deo eomi t i r s e ,comoas ís e i ndi caenl aFi gur a1. 45b.Ambosci r cui t osent r ega nal ar edext er naquepuedaconec t ar s e t )ent t )( e nt r eAyB,t an t ol ami s mat e ns i ónu( r et er mi nal escomol ami s macor r i ent ei( e s t a depe nder ápors upues t ode el l ar ed) .Es t aequi val enc i aper mi t eamenudo os s i mpl i f i ca rr ede s queapr i mer avi s t apar ec encompl i ca das .Téngas epr ec auci ón ne enes t aequi val enc i a,quees vál i da as s ol ament eaef ect osext er nosde ee es t eci r cui t o.

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   45

Figura 1.45   Fuente de tensión en paralelo con una impedancia

Obs ér ves equeambasr e de se nt r e ga nl ami s mau s( t )ei( t )yporl ot a nt ol ami s mapot e nc i aalci r c ui t oque es s eco ne ct ee nt r eA yB.Si ne mbar gos os is es ol i c i t aun nv va l ori nt er nod ode e s t ar e d,debe v ol v erse al circuito original  ( Fi gur a1. 45a) .Par acompr obares t oenunej empl os i mpl e,s upóngas equee eelci r cui t ode el l aFi gur a1. 45a at t i ene el l oss i gui ent espar áme t r os : u s( t )% 10V;  Z % 10Lyques es econect aext er name ment eunar es i s t enci a R % 2L( nod odi buj adae nl af i gur a) .Ambosci r c ui t osda nunat e ns i óne ne nt r et e r mi na l e si gua la10 0V V,con nu una c o r r i e n t ei( t )% u s /  R % 5A,l oquer e pr e s ent aunapot e nc i ade50W 0W.Si ne mba r gos os is e i1 t % s o l i c i t ao el va l o rn d el e l a co r i ent e ( )y a, p o t e n c i a q u e es s u m i n i s t r a er lg e r d ord et et e ns i ón, t e n i e n d oe en c u e t aq ue i z r 0 /1 0 1l A l a c o r r i e n t e d e l g e n e r a do ee sn i1 ( t a ) %1 %5 !1 % 6A porl oques um mi i ni s t r aalci r cui t ounapot enci a pi( t )% 60W.Elel e me nt oe npa r al e l opodr í a i nc l us os erun ng ge ne r a dordec or r i e nt ei de alcomoe lques emue s t r aenl aFi gur a1. 46a .En es t eca s oocur r euna ae equi val enci aanál oga.Par aelci r cui t oext er i orquep epuedaconect ar s e e nt r eA yBesi ndi f e r e nt el ac ol oc ac i ón nd de lge ne r a dorde ec c or r i e nt e.Amba sr ede sda nal ext er i orl ami s mat ensi ónu s( t ) ,yl ami s mapot enc i a  p( t )% u s( t ) i( t ) .Si nembar gol ol acor r i ent einterna  y  yl l apot enc i ainterna   de lgener adordet et ens i ón ns s er í an nr r es pect i vam me ent e:i1( t )y u s( t ) i1( t ) . i1(t )

 

i(t )

 

i(t )

A

A



u s(t )

 

i g   g 

  

 

u s(t )





B

a)

B

b)

Figura 1.46   Fuente de tensión ideal en paralelo con un generador de de corriente

e) Fue Fuente nte de corriente ideal en serie con un elemento elemento Enl aFi gur a1. 47a as s emue s t r auna af f ue nt edec ec or r i en t ei de ale ns e r i ec on nu unai mpe dan c i a quee suncaso dual  als eña l adoenl aFi gur a1. 46a( dondeant ess ecol oca baunaf ue nt ede t e ns i ón,ahor as epone eu unaf af uent edecor r i ent e,dondeant e ss econe c t a ba au una ai i mpeda nci a enpar al el oahor as econect aens er i e) .Enl oquer es pect aal resto de la red ,elci r cui t odel a Fi gur a1. 47a as s epue de es s us t i t ui rpore lde el l aFi gur a1. 47b.Ambosc i r c ui t osd sda nl ami s ma c o r r i e n t ei s( t )quei mponeelgene r adordecor r i en t e,c onl ami s mat ens i ón ne ext er nau( t )(que ve ndr áde t er mi na daporl ar e dques eco ne c t ee nt r eAyB) .Si ne mba r gol aeq ui va l e nc i ano

 

4 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

esvál i daaef ec t osi nt er nos.Obsé r ves eque el l at ens i ónu s( t )quet e ndr áe lge ner a dordec or r i ent edepender ádelval orde el l ai mpedanc i a Z ,yaq aquee nes t as epr oduc eunat e ns i ónd nde  Zi s( t ) .Par averes t eef ec t omáscl ar ament e,supónga s equei s( t )% 2A,  Z % 1L yques e c one ct ae nt r eAyBunar es i s t e nc i ade10L.Sef or madee s t emodounamal l aporl ac ua l ci r cul aunacor r i ent ei s( t )% 2A,dee s t emodol ad. d. p.e nl osbor nesA yBe si guala B %1 U A i sr uu( t t ) · 2 2 0 V ,c o m mu un i c á n do s e a l a r e s i s t e n c i ae xt er naunapo t e n c i a d e ( )% i s % 40% W Rpa a a m0 b o s% c i r c u i t os d e l a F i g u r a 1 . 47 . S i n e m b a r g o internamente e l g e n er a dorde ec cor r i ent et i ene eu unat at ens i ónu s( t )i gua lau( t )! Z  Zii s( t )% 20! 1· 2% 22V,l oque r epr es ent aunapot enc i ade22· 2% 44W.Ende f i ni t i val oques uc e dee squee lge ne r ad or decor r i ent r eent r egaa lci r cui t oext er nou ounapot enc i ade40 0W W ys edi s i paenl ar es i s t enc i a 2 i nt er nade e1 1Lunap apot enci a Ri % 4W.

Figura 1.47   Generado Generadorr de corriente en serie c con on una impedancia

f) Equivalencia generador generador de tensión real-generador de corriente real Ungener adorr ea ldet ens i ón ns s epuedes us t i t ui raefectos externos porung nge ner adorr e alde cor r i ent e.Par adem mo ost r arl asr egl asdeequi val enci a,consi der emosl osci r cui t osdel aFi gur a1. 48ayb,quemues t r anr e s pec t i vament eungene r adordet ens i ón nr r ea lyu yungene r adorde cor r i ent er ea lque es s um mi i ni s t r an na alci r cui t oext er no,que es s econec t ar áent r eAyB,l ami s ma t )ent t ) t e n s i ó nu( r et er mi nal esyl ami s macor r i ent edeca r gai( .I mponi endol ol ai gual dadde u( t )ei( t )haci aelci r cui t oext er no,seobs er vaquepar aelgener adordet ensi ón,alapl i carel s e gundo ol l e madeKi r c hhof f ,s ecu mpl e : u s( t )% u( t )! Zi( t )

dedonder er es ul t a: i( t )%

t ) u s( t ) u(  .  Z   Z 

Figura 1.48   Equivalenc Equivalencia ia generador generador de tensión real-generador de corriente real

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   47

s ideunaf or madualseapl i caelpr i merl emadeKi r chhof falgene r adordecor r i ent er ea l ,s e t i en ee ne lnudoAñ : u( t ) i( t )% i s( t ). i1( t )% i s( t ).  Z 1 l asec uaci ones( 1. 64)y( 1. 65)coi nci den nc c uandos os ecum mp pl el adobl ei gual dad ds s i gui ent e: u s( t )   ;   Z 1% Z  i s( t )%  Z  l a sec uac i ones( 1. 66)r epr es ent an nd dees t emodo ol l asr egl asdet et r a ns f or mac i óne nei ndi ca n,en es t ecas o,l osval or esdel ospar ámet r osdelgener adordecor r i ent eenf unci óndel osval or es delgener adordet ens i ón.I nver s ament e,sisepar t edeun ng gener adordecor r i ent er ea l ,del a ec uaci ón n( ( 1. 66)s ededuce: u s( t )% Z 1i s( t ) ;   Z % Z 1 quenosda nl osva l or e sdel el ospa r á me t r osde lge ner a dordet e ns i óne ne qui val en t ea lde ec c or r i ent e.Debeadver t i r s eall ec t oralhaceres t osca mbi os ,decuál esdebens erl oss ent i dosy pol ar i dadesdel osgener ador es .Sielgener adordet ens i ón nt t i eneelpol o! all ado od delt er m i n a l A , e l e ne r a d oa r d e c o r r i e n t e bq o mb m b e a r á c or r i e n t e h ac i a e s t e b or ne eA A y vi c e v e r s a . S e vu e l v e t a m bg i é na n a r ec l c a r q u e ee e s t ae u i v a l e n c i a e s v á l i d a s o l a m e n t e a ef ect os e x t e r n o s , e s dec i rpar aanal i zarelcom mp por t ami ent odelci r cui t oques econect eent r eAyB.Sises ol i ci t a enu nunp npr obl e maes pec í f i co,unp npar á met r oi nt er i orde el l osci r cu i t osde el l aFi gur a1. 48 8d debe vol ver s eales quem ma aor i gi nal .Ot r oas pect oaconsi der aresl ai mposi bi l i dad dd de es s ust i t ui run generadorideal de tensión porot r odecorriente ideal  oal ai nve r s a .Rec uér de s equee nun gener adordet ens i ón ni i deal ,l ai mpedanci a Z esi gualace r o,porl oques is ei nt ent ar at r ans f or mar l oengener adorde ec cor r i ent e,de ea ac uer doc oconl asr egl asdeequi val enci ai ndi ca dasen ( 1. 66) ,dar í al ugaraunacor r i ent ei s deva l ori nf i ni t oya demásc on Z 1% Z % 0,e sdec i r conl nl ost er mi nal esencor t oci r cui t o,l oquen eno ot t i enes ent i dof of í s i co.A An nál ogam me ent es epuede demost r arl ar el aci óni nver s a,queconducear es ul t adoss i mi l ar es .

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.3

Sus t i t ui rl ar eddel aFi gur a1. 49 9p porun ng gene r adorr ea ldet ens i ón no odecor r i ent e.

Figura 1.49   Ejemplo de aplica aplicación ción 1.3

 

4 8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

So l uc i ón

Pas ando ol l osgener ador esr eal esdet ensi ón na acor r i ent e,apl i cando ol l asequi val enci asdadasen( 1. 66)s eobt i enee ee lc i r c ui t ode el l aFi gur a1. 50aq aqueas uve zs ec onvi e r t ee ne lde el l aFi gur a1. 50b,alt r a ns f or marl os gener ador esde ec cor r i e nt epors usequi val ent esyhabi endo os s ust i t ui do ot t ambi én nl l asr es i s t enci asen np par al el o p ors u sr e s u l t a n t e s .

Figura 1.50   Circui Circuito to equivalente de la Figura Figura 1.49

Elci r cui t oúl t i mopuede es s i mpl i f i ca r s emás ,pas ando ol l os sg gener ador esde ec cor r i ent eat ens i ón n( ( Fi gur a 1. 51a ) ,queas uve za lsuma rl osel eme nt ose ns er i edane lci r cui t odel aFi gur a1. 51b,enf or madegene r adorr ea ldet ens i ón no oeldel aFi gur a1. 51cenf or madegene r adordecor r i ent er ea l .

Figura 1.51   Circui Circuito to equivalente de la Figura Figura 1.50

1.11.  Asociación de elementos pasivos Losel ement ospas i vos ,ali gualque el l osac t i vos ,pueden nc conec t ar s eent r es í ,de et t alf or ma queu eunac acombi naci ón nd de ee el l ospuede es s us t i t ui r s eporunv nval orequi val ent e.Laspr i nci pal es combi nac i onesques er ea l i za ns on nl l asque ee expl i ca mosacont i nuac i ón.

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   49

 1.11.1.

Conexión en serie

Var i osel ement ospas i voss edi cequee ees t ánconec t adosens er i ecua ndo oc ci r cul aporel l osl a mi s macor r i ent eel éc t r i ca .Cons i der emos sl l osel ement os sp pas i voscone ct adosen ns s er i ede el l a Fi gur a1. 52ar epr es ent adospors usi mpedanci asoper aci onal es  Z 1(   D D) ,  Z 2(   D D) ,et c.Sil l amamosu ,u ,. . . ,u al ad. d. p.e nl osbor ne sdec a dai ai mpe da nc i ayu al at ens i ón nt t ot al ,de 1 1 n T  a c ue r doc oc on ne e ls e gundol e madeKi r c hhof fs ecumpl e : n

uT  % ; ui % Z 1i ! Z 2i !

ñ

 Z ni % (   Z  Z 1! Z 2!

!

ñ

 Z n) i

!

  j%1

esdeci r : uT  % Z TT  i

Figura 1.52   Impedancias en serie y su impedancia equivalente equivalente

Loquei ndi caquel ar el ac i ónent r euT  ei nos emodi f i c a,s ielgr upodel osn el ement os s es us t i t uye ep poruno os s ol odei mpeda nci at ot al  Z TT   i guala: n

 Z T T  % Z 1! Z 2!

ñ

 Z 

 Z n % ;  Z   j

!   j ! ñ !

  j%1

quedaelval orr es ul t ant edel aas oci ac i ónd ndei mpe danc i a sens er i e.Enl aFi gur a1. 52b bs s e m u s t r a el ci r c u i t o q u i v a l e nt c or r es p o n d i e n t e . Sil at ens i ón ne enunai mpedanci ai nt er medi ae  Z  del e l a F i g u r ae 1 . 5 2 a , e s ue e p u e d ee e e s c r i b i r :   j,   j s u  j % Z   j i; uT  % Z T T i

 

ú

 Z    u  j %   j uT   Z TT  

ques ede nomi naregla del div isor de tensión.Laap l i c a ci ón nd del el ae xpr es i ón n( ( 1. 70)al os di f er ent esel ement ospasi vos ,s is et i enen ne en nc cuent al asexpr es i ones( 1. 41) ,nosda: Ene s t ec as os ec umpl e : uT  % (   R R1! R2!

ñ

 Rn) i % RT i

!

l oquei ei ndi caquel ar es i s t enci aequi val ent eaunc nconj unt oder es i s t enci asens er i eesi guala l ass um ma asde el l asr es i s t enci as : n

 RT  % R1! R2!

ñ

 R

 Rn % ;  R  j

!   j ! ñ !

  j%1

 

5 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Laapl i ca ci ón nd de( 1. 68)conduceal os i gui ent e: uT  % (  L  L1! L2!

ñ

 Ln)  Di  Di

!

ai nduct anci aequi val ent er es ul t a: quel l amando LT  al uT  % LT  Di esdeci r : n

 LT  % L1! L2!

ñ

 L

 Ln % ;  L  j

!   j ! ñ !

  j%1

quei ndi caque el l ai nduct anci adevar i asbobi nasens er i eesl as uma madel asi nduct anc i as . Enes t eca s o( 1. 68)da: uT  %

1 1 C 1! C 2!

A

ñ

1 1 1 ! C   D  i % C TT  D  D i    i n  D i

B

porl oquel acapa ci dad de equi val ent ecumpl el as i gui ent eexpr es i ón: 1 1 1 ! ! % C T T  C 1 C 2

ñ

1 n 1 % ; ! C n   j 1C   j %

Esdec i r ,l ai nver s adel aca pac i dadt ot alesi guala al l as um ma adel asi nver s asdel asca pac i dade si ndi vi dua l e s .  1.11.2.

Conexión en paralelo

S e ds i c el q um ei v a r i os e l e m e n t o s p a s i v o s t á n c o n e c t a d osc eo nn p a r al e l o cn ua n d o oe es t á n s o m me e t i d o s t o do a a s m a t e n s i ón . C o n s i d e r es me o l o s e l e m e n t e c t d o se p a r al l o d e l a F i g u r a 1. 53ar epr es ent adospors usadmitancias:Y 1(   D D) ,Y 2(   D D) ,. . . ,Y n(   D D) .Ca dauno od deel l osder i va c o r r i e n t e si1,i2,. . . ,in,det alf or maquet e ni e ndoe nc ue nt ae lpr i me rl e madeKi r c hhof fyl a r el ac i ón( 1. 43)s ecumpl e: n

iT  % ; i  j  j % Y 1u ! Y 2u !

ñ

!

Y nu % ( Y 1! Y 2!

ñ

!

Y n) u

  j%1

esdeci r : iT  % Y T u

cuyoe oequi va l e nt eeselmos t r a do oe enl aFi gur a1. 53b.Y TT   r epr es ent al aadm mi i t anci at ot alque et odasl asadmi mi t anci asconect adasenpar al el o,r ec o n s u m me eq l ae m s macor r i ent et ot aliT  quet s u l t a n do u :i n

Y T T  % Y 1! Y 2!

ñ

Y 

!   j ! ñ !

Y n % ; Y   j   j%1

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   51

Figura 1.53   Admitancias en paralelo y su valor equivalente

Sil acor r i ent een nl l aadm mi i t anci aY   j i nt er medi adel aFi gur a1. 53a,esi   j j s et i e n e: i  j  j % Y   j u; iT  % Y T T u

 

ú

  i   j j %

Y   j i Y TT   T 

ques ede nomi naregla del di v isor de corriente .Laap l i c a c i ón nd de( e( 1. 81)a lc á l c ul ode el l a admi mi t a nci at ot aldeunaconexi ón nd deel ement ospas i vos,s is et i enenencuent al asexpr es i ones( 1. 44) ,conducenal osr es ul t adoss i gui ent es : Ene s t eca s ol aa dm mi i t an ci ade eu unar es i s t en c i ae ss uc onduc t a nc i a( G % 1/   R R)det et a lf or ma ques ec umpl edea c ue r docon( n( 1. 81) n

GT  % G1! G2!

ñ

!

G  j !

ñ

!

Gn % ; G  j   j%1

oenf unci óndel el asr es i s t enci as : 1 1 1 ! ! %  RT   R1  R2

ñ

1 n 1 % ; !  Rn   j 1 R  j %

Esdeci r ,l ai nver s adel ar es i s t enci at ot alesi gualal as um ma adel asi nver s asdel asr es i s t enc i asi ndi vi dual es .Enelca s omáss i mpl e,deques econect en ns s ol ament edosr es i s t enci as enp npar al el o,l aexpr es i ón na ant er i ornosda: 1 1 1 ! %  RT   R1  R2

ú

 R  R   RT  % 1 2  R1! R2

Esdeci r ,l ar es i s t enci at ot aleselpr oduct odel el asr es i s t enci asdi vi di dop opors us um ma a.Y l a scor r i ent esques eder i vanporca dar amaenf unci óndel acor r i ent et ot al ,de ea ac uer doc ocon l ar egl adeldi vi s ordecor r i ent e( 1. 82)apl i cadaaconduct anci as ,s on: % 1

G1

%

1/  R  R1

%

 R2

 R  R1)! (   R R2)iT   R1! R2iT  ( 1/ 1/

i

GT  iT 

i2%

G2  R  R2  R1 1/ iT  % iT  % i GT  ( 1/  R  R1)! ( 1/   R R2)  R1! R2 T 

 

5 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Loques eña l aque ec cua ndo os s ol a ment es et i enendosr es i s t enc i as ,elval ordel acor r i ent e quepas aporuna ad dee ee l l asesi gualal aco r r i en t et ot almul t i pl i ca dap apore lval ordel el aot r a r es i s t enci aydi vi di dop oporl as uma madel asr es i s t enci as .

Def or maanál oga aa al asr es i s t enc i ass eobt i ene : 1 1 1 ! ! %  LT   L1  L2

ñ

1 n 1 % ; !  Ln   j 1 L  j %

Que ei i ndi caquel ai nve r s ade el l ai nduc t a nc i at ot a le si gua lal as umadel a si nve r s asdel a s i nduc t a n ci a si ndi v i d ua l e s .

Ene s t eca s ol aa dmi t an c i adeunc onde ns ad ore sC i D;l l amandoC TT  D al aadm mi i t anci at ot al ,   s et i e n e : i%( C 1! C 2!

ñ

!

C n)  Du   ;   i % C TT  Du  

dedon de : n

C T T  % C 1! C 2!

ñ

C 

!   j ! ñ !

C n % ; C   j   j%1

Loquei ndi caquel aca pac i dadequi val ent eavar i oscondens ador esconec t adosenpar al el o esi gualal as um ma adel asca pac i dadesdel oscondens ador esi ndi vi dual es .  1.11.3.

Equivalencia estrella-triángulo. Teorema de Kennelly

H ay c i e r t a s a s o c i ac i o e sp d e e l e m e nt o s p a s i v o s q u em a p at r ec e n nf f r ec u en t e m e n t e e n l a I n g e nl i e r í a El é c t r i c a y q u e n on s e u ed e n s i m p l i f i c a r d i r e c t a e n e y a q u e n o c o r r e s p o n d en a s i m p e s as oci ac i onesde ei i mpeda nci asen ns s er i eopar al el o.Es t asr ede sgener al ment er equi er enu nuna t r ans f or mac i ónd nde eu una ar r edestrella aunar e dtriángulo ovi ce ve r s a.Enl aFi gur a1. 54s 4s e mues t r a nes t asr ede spas i vas ,cuyost er mi nal esdeac ce s oext er i ors ehandenom mi i nado1,2 2y y 3yquet i e ne nl ami s mas i t ua ci ón ng ge om mé é t r i caenambosmont a j es .

Figura 1.54   Equivalen Equivalencia cia estrella-triá estrella-triángulo. ngulo. Teorema Teorema de Kennelly

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   53

Laconexi óne nes t r el l aes t áf or madaport r esi mpedanc i as  Z 1,  Z 2y Z 3,quepa r t e nde el l os t r e st er mi na l e sdea cce s oe xt e r no o1 1,2y3yques eune ne nunpunt oc omún.Lac one xi ón t r i á ngul os ecompone ed det et r esi mpeda nc i a s Z A,  Z B y Z C,uni dasal ost r est er mi nal esext er nos ,dandol ol aapar i enci ageomé mét r i cadeun nt t r i ángul o. Espr e ci s oah or abus c a rl a sl e ye sdet r an s f or ma ci ón nd deunar e de nl aot r a,det almo modo q e a m b o sy c3 i r c ui t o s s e nq e q ui v a l e n t e s es d e u n np u n t o d e ev v i s t a e x t e r n o , e s de c i r d e s d e el o nu uea do s 1 , 2y 2 . E s t á c l aa r o u e s i l a s d o sd r e d e ss o np e q u i va l en t e s , d e b e n c o n s umi m i r l a s m i s ml as s cor r i ent escuandos os eapl i ca nl asmi s mast ens i onesext er nas ,l oqueequi val eadeci r ,ent ér mi nosdei mpedanc i a,quel asi mpedanc i asque es s eobs er vanent r el osdi f er ent est er mi nal es 12,23y31debe ns eri dént i ca spar aambosmont aj es ,y yp porco ns i gui en t es edebe ns at i s f a c e rl a ss i g ui e nt e si g ua l da d e s :

 Z  (   Z  Z  ! Z B)  Z   Z A! Z B)% C A  Z 1! Z 2% Z C(  Z A! Z B! Z C

 Z  (   Z  Z  ! Z C)  Z 2! Z 3% Z A(  Z   Z B! Z C)% A B  Z A! Z B! Z C

 Z  (   Z  Z  ! Z A)  Z 3! Z 1% Z B(  Z   Z C! Z A)% B C  Z A! Z B! Z C

Elsí mbol oenl asexpr es i onesant er i or ess i gni f i cal aconexi ón ne enpar al el odel ai mpedanci aquet i ened edel ant econ nl l aquet i ene ed det r ás .Par aes cr i bi rl asi gual dadesant er i or es ,s e hat eni do oe encuent aque,enl aconexi ónenes t r el l adel aFi gur a1. 54a,l ai mpeda nci aques e obs e r vades dec adapardet er mi nal es ,esl acone xi óne nens er i edel a sdosi mpe danc i ase xi s t e nt ese nt r ee s os sd dosn snudos ;mi en t r a sque ep pa r al adi s pos i ci ón ne ent nt r i á ngul ode el l aFi gur a 1. 54b,l ai mpedanc i aequi val ent evi s t ades de ec ca da ap parde et t er mi nal es ,esl aas oci ac i óne nen pa r a l e l ode el l ai mpe da nc i aúni caqueunee s osnudoscon nl l ac ombi na c i óne nens er i ede el l a s ot r asdos .Lasecuac i onesant er i or ess epuedenr nr es ol verpar aobt enerl osval or esde Z 1,  Z 2,  Z 3e nf unc i ón nd de Z A,  Z B,  Z C oal ai nver s a.Res ul t ando:

Ene s t eca s os ec onoc e nl osva l or e sde Z A,  Z B y Z C delt r i ángul oys edes ean nc ca l cul arl os e q u i v a l e n t e s Z 1,  Z 2,  Z 3 del el aes t r e l l a.Elpr oce s oder er es ol uci ón ne ess i mpl eapar t i rde el l a s ec uaci ones( 1. 90) ,( 1. 91)y( 1. 92) .Obsé r ves eporej empl oque Z 1s epue deobt en e rs uman dol aec uac i ón( 1. 90)con( 1. 92)yr es t andol a( 1. 91)ydeunmodoaná l ogos eca l cul an Z 2y  Z 3dandol ugaral oss i gui ent esr es ul t ados:  Z 1%  Z 

 Z B Z C  Z C Z A  Z A Z B ; Z 2% ; Z 3%  Z  ! Z  ! Z   Z  ! Z  ! Z  ! Z  ! Z 

A

B

C

A

B

C

A

B

C

 

5 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Ca daunadel a se cua ci onesant e r i or esr es pondeal af or ma:  Z i %

pr oduct ode el l asdosi mpe danc i asdelt r i ángul ocone ct ada salnudoi s um ma ade el l ast r esi mpedanc i asdelt r i ángul o

quenosdaunar egl amnem mo ot écni cas i mpl epar ar ecor darl aequi val enci at r i ángul oes t r el l a. Ene s t eca s os econoc e nl osval or esdel asi mpeda nci a s Z 1,  Z 2,  Z 3del aes t r el l ays edes ea n cal cul arl osval or esequi val ent esde Z A,  Z B,  Z C delt r i ángul o.Elpr oces oder es ol uci ón nc cons i s t eendi vi di rdosadosl asec uac i ones( 1. 93)l oquedal ugara :  Z 2  Z A %  Z 1  Z B

;

  Z 3  Z A %  Z 1  Z C

;

  Z 3  Z B %  Z 2  Z C

yals us t i t ui renl at er cer aec uaci ón n( ( 1. 93)nosda:  Z A Z B  Z A  Z A  Z 3% % %  Z C  Z 2  Z 2  Z A! Z B! Z C  Z A !1 ! !1 !  Z B  Z B  Z 1  Z 3

dedondes ede duceya Z A:  Z  Z  ! Z  Z  ! Z  Z   Z A% 1 2 2 3 3 1  Z 1

ydeunmod oa ná l ogopa r a Z B y Z C:  Z 1 Z 2! Z 2 Z 3! Z 3 Z 1  Z 2  Z B%

 Z 1 Z 2! Z 2 Z 3! Z 3 Z 1  Z 2 ;   Z C%

ca dauna ad del asec uaci onesant er i or esr es pondenal aexpr es i ón:  Z i %

s uma madel el ospr oduct osbi nar i osde et t odasl asi mpeda nci asde el l aes t r el l a i mpeda nci adel aes t r el l acone ct adaalnudo oo opues t oa Z i

Last r ansf or maci onesant er i or es ,queconst i t uyen ne elTeore Teorema ma de Kennelly Kennelly,s eut i l i z a n cong ngr anf r ecuenci aenelanál i s i sdeci r cui t os,yaquep eper mi t en ns s i mpl i f i carci er t asr edesen l a squel asi mpeda nci asnoe oes t á ncone ct ada sdef or mas i mpl e:ens ns er i eoenpar a l e l o.

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.4

Ca l cul arl ar es i s t enci aent r el ost er mi nal esAyBdel ar eddel aFi gur a1. 55,dondet odasl asci f r asi ndi ca n elval ordel asr es i s t enci asenohm mi i os.

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   55

Figura 1.55   Ejemplo de aplica aplicación ción 1.4

So l uc i ón

Tr ans f or mando ol l aconexi ón ne es t r el l ade el l asr es i s t enci asde e1 1L cone ct ada sent r el ost er mi nal e sDFH al a conexi ón nt t r i ángul o( verzona as s om mb br eadadel aFi gur a1. 55) ,s eobt i eneelsi gui ent eval orde el l ast r esr es i s t e n c i a sd elt r i á ngu l o :  R

B%

1· 1! 1· 1! 1· 1   %3 L 1

l oquedal ugaralci r cui t odel aFi gur a1. 56.Exi s t enahor adost r i ángul osCDFyDEHquepuede nt r ans f or ma r s een ne es t r el l a( verzonass om mb br ea dasde el l aFi gur a1. 56) .Elval orde ec cadar es i s t enc i ade el l ases t r el l as e q ui v al e n t e se s : 3· 3 % 1L  RY  % 3! 3! 3

Figura 1.56   Circuito transformado 1

Loque ed da al l uga ra lc i r c ui t ode el l aFi gur a1. 57.Enes t ar e dpue de ns uma r s el asr e s i s t en c i ase ns e r i e comp mpr endi dasent r el ost er mi nal es : 4 1 L !1 % 3 3

ACyCM:

 

R%

BEyEN:

 

R % 1! 1% 4L 3 3

MDyD MD yDN:

 

R % 1! 1% 2L

 

5 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Figura 1.57   Circuito transformado 2

Yporot r apar t el asr es i s t enci asde3Ly6Lcone ct ada sdi r ec t ame nt eal osnudosFyHe s t á nenpar a l el o, r es ul t ando ou un nv val orequi val ent e,deacue r do oc con nl l aexpr es i ón n( ( 1. 85) :  R %

3· 6 % 2L 3! 6

yl ar e ddel aFi gur a1. 57s 7s et r a ns f or mae nl ar e ddel aFi gur a1. 58.Ene s t ar eds et i ene nens e r i el a s r es i s t enc i ascompr endi dasent r eMF,FHyHN,r e s ul t andoun nv val orequi val ent e:  R % 1! 2! 1% 4L

Figura 1.58   Circuito transformado 3

quee ees t áen np par al e l ocon nl l ar es i s t enc i ade e2 2L c ompr e ndi da ae e nt r el osnu do sM yN,da ndol uga rauna r e s i s t e nc i ae qui va l e nt e :  R %

2· 4 4 L % 2! 4 3

yas ís eobt i ene ee elc i r cui t ode el l aFi gur a1. 59,donde es s eobs er va aq que el l ast r esr es i s t enc i ases t án ne en ns s er i e, r es ul t ando ou unar es i s t enci at ot alent r el ost er mi nal esAyB:  RAB% 4! 4! 4% 4L 3 3 3

queeselval ors ol i ci t adoenelpr obl ema .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   57

Figura 1.59   Circuito transformado 4

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.5: Red en escalera

LaFi gur a1. 60m 0mues t r auna ar r edel éct r i caque ea apar eceenci er t asapl i cac i onesdel asl í neasdet r ans mi s i ón, yques ede nomi na .Lasr ama shor i z on t a l e ss eha nexpr e s adoenf or madei mpe da nc i as , mi ent r asque el l asr amasver t i cal ess eexpr es anenadmi t anci as .Cal cul ar :a)expr es i ón nd del al eyder ecur r enc i a ue es s ev o b t i e n e p a r a d e t e r m i n a r l as i m pt e d a n c i a e q u i v a l e n t e d e ee e n t r a da ad d e el l ay r e d ; )m s i l a r e d de s i nd f i n t aq y l o s a l o r e s d e el l a s i m p e da n c i a s o n nt o d o s r e s i s t i v o s e i gu a l e s a 1 oh m i o l a sb a d i t a nc i a se s on nd e  Nota histórica: Lar 1s i emens ,det er mi narelval orde Z eq.( ed de enes ca l er af uees t udi adacon np pr of undi dad porA.C.Bar l et t ) .

Figura 1.60   Red en escalera So l uc i ón

a)Par adet er mi narl a Z eqdel ar e d,comen z ar emosporl ade r ec ha( f i na lde el l ar e d)ys ei r áde ea a t r á saad e l ant e.Enl as ecci ónaañs et i enel aconexi ón ne ens er i ede Z 7conY 8quedal uga raunva l or :  Z aa aa % Z 7! ñ

1 Y 8!

ñ

Ahor abi enl aadmi t anc i aY 6es t áenpar al el ocon Z aa orconsi gui ent el aadm mi i t anci at ot alent r ebbñe s aa yp iguala: 1 Y  % Y  ! Y  % Y  ! 6 6 aa bb  Z 7! 1 Y 8! ñ

ñ

ñ

ñ

Acont i nuaci ón Z 5es t áens er i econ Z bb orel l ol ai mpeda nci aques et i eneent r ec ycñes : bb yp ñ

 

5 8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

1

 Z cccc % Z 5! Z bb bb % Z 5! ñ

ñ

Y 6!  Z 7!

1 1 Y 8!

ñ

cont i nuandodees t emodos eobt i en eunai mpeda nci aequi val ent edel ar ed: 1  Z eq% Z 1! 1 Y 2! 1  Z 3! 1 Y 4!  Z 5! l aexpr es i ón na ant er i ors econoc econelnom mb br ede fracc  fracción ión continua.Conoci endol osval or esnum mé ér i cosde l a si mpeda nci asya dm mi i t anc i ass epuedeca l cul arl ai mpeda nci aequi val ent edel ar edde eu unm nmodo os s i mpl e. Pore j empl os il ar edt i en e6el eme nt osdeva l or1ohmi oy1s i e men sr e s ul t a: ñ

1 1

 Z eq% 1!

1!

%

13 %1 , 6 2 5L 8

1!

1 1 1! 1 1! 1 b)Enelc a s odeques et en gaunar e di nf i ni t at a lc omos emue s t r ae nl aFi gur a1. 61a ,par ac al cu l arl a i mpedanci aequi val ent es edebedet er mi narenpr i nci pi oell í mi t eaquet i endel af r acci ón nc cont i nuacal cul adoe nela par t adoant er i or .Si nembar goelpr obl emaesmáss i mpl e ,s is ec aeenl acue nt adequeala ñadi ra l ar eddel aFi gur a1. 61a,l acélula ques er epi t e,seobt i enel ar eddel aFi gur a1. 61b,dondel ar es i s t enci a ques eobs er vaent r eaañde bes e rl ami s maquel aques eobs er vae nt r eb ybñ ,esdeci r  Req.Enl nl ar eddel a Fi gur a1. 61b bs s edebecumpl i rporl ot ant ol os i gui ent e:  Rbb % 1! 1  Raa ñ

ñ

Figura 1.61   Cálculo de lla a resistencia equiva equivalente lente de una red en escalera escalera

esdeci r :  Req% 1!

1·  Req 1! Req

quedal ugaral as i gui ent eecua ci óny nyr es ul t ado of f i nal :  R2 %0 e q. Re q. 1

  ú

  Req%

1! ∂ 5   ]1 , 6 1 8L 2

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   59

Ampl í esusconoci mi ent os

Last r ansf or maci oneses t r el l at r i ángul odef i ni dasporl asecuaci ones( 1. 97)y( 1. 98) s onpar al ai mpedanc i a Z A del af or ma :  Z 2! Z 2 Z 3! Z 3 Z 1  Z A% Z 1  Z 1

l oquecor r es pondeaunaadmi t anc i a : 1  Z 1 1/ Y 1 Y A% % %  Z A  Z 1  Z 2! Z 2 Z 3! Z 3 Z 1 ( 1/ Y 1Y 2)! ( 1/ Y 2Y 3)! ( 1/ Y 3Y 1) esdeci r : Y A%

Y 2Y 3 Y 2Y 3 1 % Y 2Y 3)! ( 1/ Y 3)Y 2Y 3 Y 1! Y 2! Y 3 ( 1/ Y 2)! ( Y 1/

quee sunaex pr e s i ón ne e qui va l e nt eal a( a)per oex pr e s a da ae e nf or madea dm mi i t a nc i as .Deun nm modo oa a ná l ogo, l asecuaci ones( 1. 98)s epueden ne es cr i bi ras í : Y B%

Y 3Y 1 Y 1! Y 2! Y 3

;   Y C%

Y 1Y 2 Y 1! Y 2! Y 3

Seobser vaquel asecua ci one s( b)y( c)s ondual esal as( 1. 93)quedef i nenl at r ans f or maci ón nt t r i ángul oes t r el l a.SedebeaRose nunaampl i ac i ón nd delt eor emadeKennel l ypar at r ans f or marunar edenes t r el l aden n.1) / r ama sporun nc co nt or no op pol i gona lden l a dos,i ncl uyendo oa at odass usdi agonal es ,esdec i rconn( 2 el ement os.Enl aFi gur a1. 62s 2s emues t r anl asr edeses pecí f i caspar an % 5.

Figura 1.62   Teorema de R Rosen osen

Sis ede nomi na nY 1,Y 2,Y 3,. . . ,Y n,l asadm mi i t anci asde el l ar ed de en ne es t r el l a,l asadmi t anci asY ijij ent r el os nudosi y j de lpol í gonos ondel af or ma : Y Y  Y ijij % i   j ; donde   ; Y % Y 1! Y 2! Y 3! ; Y 

ñ

!

Y n

 

6 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

quepar an % 3coi nci deobvi ament econ nl l asecuac i ones( c)y( d)ca l cul adasant er i or ment e.Debes eñal ar s e quees t aequi val enci ano oe esr ec í pr oca,esdeci r ,unes quem ma apol i gonal( i ncl uyendos usdi agonal es )no op puedet r ans f or mar s eenunaes t r e l l aequi val ent e,yaquee lnúmer odea dm mi i t a nci asdelpol í gonoesmayorque elde ea admi t anci asde el l aes t r el l a,porl oque er r es ul t ar í aun ns s i s t emai ncompat i bl e.Laúni ca ap pos i bi l i dad dd de poderr eal i zares t at r ansf or maci ón,esi mponerci er t asr es t r i cci onesenl osval or esdel asadm mi i t anci asdel a r edpol i gonal ,par aobt enerunas ol uci ón nú úni ca .

1.12.  Análisis de circuitos por el método de las mallas Enl oe xpl i ca doh oha s t aah or as eha nf or mul ad ol ost e or e masymé t odosf unda ment a l esque s eut i l i za nen nt t eor í ade ec ci r cui t os .Enes t ee pí gr af eyen ne els i gui ent es evan na ades cr i bi rdos mét odoss i s t emát i co s :m mé ét odo od del ascor r i en t e sdemal l a( os i mpl ement emé t odo od del asmal l as )ymé t odod odel a st e ns i one sdenudo o( ( os i mpl e me nt emét ododel osnudos ) ,quepe r mi t enr es ol verl osci r cui t osdeun nm modoor denado,es cr i bi endol ol asecuac i onesi ndependi ent es d e l a e d e n f u n c i ó n nd d em un np p e q u e ñ o on n ú m e r o e v a r i a b l e s ( e l m í n i m o n e c e s ar i o ) , l o qc u e d a l u ga rr a pr o ce d i m i e n t o s et ó d i c o s , f á c i l es d ed a pl i c a r , y yt t am b i é n r á pi do s , q u e u t i l i z an o m o ba s el osl emasdeKi r chhof f .  1.12.1.

Método de las mallas. Formulación general

Elmét odo od de el l a sma l l a s( e nge ne r a l ,mét odo od del el a sc or r i en t e sde el l a z opa r ac i r c ui t os sn no pl a nos )c ons i s t een na apl i ca rels egundo ol l emadeK eKi r chhof fal asmal l a sdelci r c ui t o,det a l f or maqueelpr i merl e madeKi r c hhof fquedaapl i ca doi oi mpl í ci t ament e.Ant esdeempez ara r es ol verun nc ci r cui t oporelmét odo od del asmal l as ,sedebei ei nt ent ar ,s i empr eques eaposi bl e, s ust i t ui rl osgener ador esdec ecor r i ent eexi s t ent esenl nl ar ed dp porgener ador esdet ensi ón ne equi val ent es ,conl nl ast écni ca sanal i zada senelapar t ado of f )delEpí gr af e1. 10.Es t os i empr es er á f ac t i bl eene nelcas odequel osgene r a dor esdecor r i ent epr es ent esenl nl ar eds ea nreales ( e s de c i rt e nga nunai mpe da nc i ae npa r a l el o)pe r ono oe e ne lc as ode eq quel osge ne r a dor esde c or r i e nt es e a nideales,ye yes t as i t uaci ón ns s eanal i za r ámást ar deenelEpí gr af e1. 12. 2.Consi der ar emosporcons i gui ent equeenl ar ed,s ehan np podi dos os us t i t ui rt odosl osgener ador esde c or r i en t eport e ns i ón.Re c or demost ambi énq nquee lnúmer ode em mal l asm quet i e neunar e d pl anaess egúnl oes t udi adoen ne elEpí gr af e1. 8. 3i guala: m % r . n ! 1

s i e n d or elnúme r oder a masyn e lnúm me er odenudosde lci r c ui t o.Sab e most a mbi énqueal o apl i carel2 l e madeKi r c hhof fae s t a sm ma l l a ss eobt i eneun nc conj unt ode ee ec uac i onesl i neal ment ei ndependi ent es .Porot r ol ado,l asmal l asdeun nc ci r cui t opl ano,s ei dent i f i cancomol asv entanas quet i enel ar ed.Pa r ac ompr e nde rl af or maenques eapl i c aelmé t odod ode l a smal l as ,vamosaco ns i der arelci r cui t odel aFi gur a1. 63,f or mado op porl asdosmal l as , queyat at i en en ng ge ner ad or e sdet et en s i ón.Elmé t odo od del a sma l l a sco ns i s t ee na s i gna rac a da ma l l aunac or r i en t ede s c onoc i da,que ee en nl l aFi gur a1. 63 3s s eha nde nomi na doi1ei2,det a l

f or maquet e nga ntodas e lmi s mos e nt i do,porej e mpl oe ldemovi mi e nt odel a sa guj a sde l

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   61

r el oj .Lael ec ci ón ni i dént i cadels ent i do od de ee es t ascor r i ent esper mi t i r áobt enerun ns s i s t emade e c ua c i one sc uyade s c r i pc i ón ne e smuy ym me t ódi c ays i mpl e.Lasi nt e ns i da de sder a maque dan f áci l ment ei dent i f i ca das ,enf nf unci ón nd del ascor r i ent esdemal l a,yaque es s ecumpl e: Lasr a ma se xt e r na spe r t e ne ce nauna as s ol amal l a ,porl oque el l ai nt e ns i da dde er r ama s er ái gualau l ai nt ens i da ddel amal l aal aqueper t ene c e;s et omar áels i gnomáss i coi nci den nl l asr ef er enc i asdep epol ar i dad dd del el asi nt ens i dade sder er amaymal l ays i gno me nosenca s ocont r a r i o. Todal ar amai nt er naper t ene ceadosmal l as ,det alf or maques it odasl ascor r i ent es demal l at i enenelmi mi s mos ent i do,l ai nt ens i dad dd dees ar amaesl adi f er enci aent r el as cor r i ent esdedi chasmal l as ,elr es ul t ado ov vendr áaf ect adod odes i gno! o. s e gúnque s ur e f er e nci adepol ar i da dc oi nci daono oc c on nl l ader a ma .

Figura 1.63   Aplic Aplicación ación del método método de las corrientes de m malla alla

Deac ue r doc oc on nl l oan t e r i or ,l a sc or r i e nt e sde er r a maia,ib eic del el aFi gur a1. 63 3e es t án r el aci onadascon nl l ascor r i ent esdemal l ai1ei2porl asecuaci ones : ia % i1 ib % i2 ic % i1. i2

s is ea pl i c aa hor ae ls e gundol ol e made eK Ki r c hhof fac a dau aunade el l a sma l l a s ,s i gui e ndo oe e l s ent i dod odext r ógi r os eobt i ene: Ma l l a1: .u s1! Z 1ia ! Z 3ic % 0 Ma l l a2: !u s2! Z 2ib . Z 3ic % 0 Sil a sf ue nt e sdet e ns i óns ns ec ol oca ne nun nm mi e mbr ode el l a se c ua c i one sa nt e r i or e syl a s t e ns i onesenl asi mpedanc i asenelot r omi embr o,elconj unt o( 1. 102)s et r ans f or maen: u s1% Z 1ia ! Z 3ic .u s2% Z 2ib . Z 3ic

es t asec uaci oness ehubi er anp npodi doe oes cr i bi rdi r ect ament epuesexpr es an nu unaf af or maal t er na t i vade ls e gundol e madeKi r c hhof fquei ndi c aquel as umadel ase l e vac i one sdepot e nc i alde el l osge ne r a dor e se nuna am ma l l ae si gua lal asc aí da sdep epot e nc i alpr oduc i da se nl a s i mpeda nci as .Hayq yquedes t ac arpar al aa pl i c ac i ónc ncor r ec t ade e( ( 1. 103)quee eels i gno oq ques es e apl i caauna fuente o generador  e s positiv o( n e g a t i v o ) , c u a n d o su polaridad de refere referencia ncia

 supone una elev ación ( c a í d a )de potencial  enels ent i do od der ec or r i do od del acor r i ent edema-

 

6 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

l l ac o r r e s p ond i e n t e .( Conv iene que el lector asimile bien estos signos) .Sust i t uyendo ol l as ecuaci ones( 1. 101)en( n( 1. 103)r es ul t a: u s1% Z 1i1! Z 3( i1. i2) u s2% Z 2i2. Z 3( i1. i2)

quer educ i endoa oat é r mi noss emej ant esdal ugara: i1. Z 3i2   Z  Z 1! Z 3) Ma l l a1: u s1% (   Z  Z 2! Z 3) i2 Ma l l a2: u s2%. Z 3i1! (

l a sec uaci onesant er i or espuedenes cr i bi r s eenf or mamáscompac t adels i gui ent emodo:

;( u s) 1i1! Z 1 2i2 1% Z 1 ;( u s) 2% Z 2 1i1! Z 2 2i2 queadmi t el af or mamat r i ci als i gui ent e: 1 u s) [ u s]% ; ( ;( u s) 2

 Z 11   Z 12 i1  Z 21   Z 22 i2

CD C DC D %

%

[   Z  Z ][ i]

donde; ( u s) u s) epr es ent an nl l as um ma adel ast ens i onesgener ador as( el evac i onesde 1y; ( 2r pot e nci alel éct r i co)ques eobt i enenalr ec or r erl asmal l as1y2enelse nt i do od del ascor r i ent e squeci r cul anporel l as .Obs ér ves eenl asec uaci ones( 1. 105)yenl aFi gur a1. 62queenl a mal l a1s ol ohayunat ens i ón ng gener ador au s1yapa r ec econs i gnop opos i t i voyaquer es pec t oal s e n t i dod e ec c o r r i e n t ei1r epr es ent aunael evaci óndepot enci al( l acor r i ent ei1r ecor r ealgeneradoru s1de. a!) ,mi mi en t r a squee nl ama l l a2s ol oe xi s t eun ng ge ne r ado ru s2quea eapa r ec e cons ns i gnon onega t i vo oy yaq aquer er es pec t oals ent i dod odel el acor r i en t ei2 r epr es ent auna ac ca í da ad de pot e nc i a l( l ac or r i e nt ei2atrav iesa elgeneradoru s2de! a.) . Porot r apar t ealcomp mpar arl asec uac i ones( 1. 106)o( 1. 107)con( 1. 105)s eobse r vaque:  Z 11% Z 1! Z 3  Z 12% Z 21%. Z 3  Z 22% Z 2! Z 3

Lasi mpeda nci as  Z 11y Z 22( yenge ne r a l  Z iiii)s ec onoc e nc one lnombr edeautoimpedancias de las mallas 1 ,2( enge ner ali)ys onl as umadel a si mpe da nc i asdel a sr ama sque f or man nl l asmal l as1,2,. . . ,i.Lasi mpe danc i as  Z 12% Z 21ye nge ne r a l  Z ijij s ec ono ce nconel nombr edeimpedancias mutuas e nt r el asmal l a sdelpr i mer oys egundos ubí ndi ce sys on, con signo negativ o,l as umadel a si mpe da nc i a sdel ar a macomúnaamba sma l l a s .Lama t r i zdei mpedanci asi ndi cadaen( 1. 107)esenconse cuenci auna am mat r i zs i mét r i ca ,cont nt odos l ost ér mi nosdel adi agonalpr i nci palposi t i vosei gual esal asaut oi mpedanci asdeca damal l a.Losdemást ér mi noss onn nnegat i vosyr epr es ent anl asi mpeda nci asmut uasent r emal l as . Est aspr opi edadesper mi t en np porel l oes cr i bi rdi r ect ament el asecuaci ones( 1. 105)s egún nl l as r egl asmenci onadas . Enelcas odeexi s t i renelci r cui t ogener ador esdependi ent esocont r ol ados,se r ápr eci s o

i nt r oduci recuaci onesadi ci onal esal asant er i or esquer el aci onenl at ensi ón no ocor r i ent edel a

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   63

f uent econt r ol adaconl ascor r i ent esdel asmal l as ;enes t eca s oelconj unt ot ot aldar ál ugar aunama t r i zdei mpe dan c i a squeyano os s e r ás i mét r i c a .Dec ua l qui e rmodo,s eobs er vaque elmét odo od del asmal l asut i l i zam % r . n ! 1ec uac i ones ,queesunnúme mer oi nf er i oralde r amasr ,queer aelnúm me er odeec uaci onesnece s ar i asalapl i ca rl osl emasdeKi r chhof f( mal l a synudos ) .Elmét odod odel el a sma l l a sr e pr e s ent apore l l ouna ao opt i mi z ac i ónr nr e s pec t oal n úm e r oe d e ei i n óg n i t a s yc e c u a ci o ne s p ue s t a s e n nj j u e g o ,. c on nl l a v e n t a j as a d i c i o n a l dd e eq q ues e s e pu e d e ne n s cr i bc i r l a s e c ua i o n e s d e u n nm m o d o os s i s t em á t i co C al c ul a d a s l a c o r r i e n t es em e m al l a del el a sec ua ci one s( 1. 105) ,s epodr án nd de t e r mi narl asc or r i en t esde er r a made ea a cu er doc oc on ( 1 . 1 0 1 ) . EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.6

Enelci r c ui t ode el l aFi gur a1. 64,ca l c ul arporelmét odo od de el l a sma l l as :a )d. d. p.ent r el osnudo sA yC; b)pot enci adi s i padaenl ar es i s t enci ade e3 3L.

Figura 1.64   Ejemplo de aplica aplicación ción 1.6

So l uc i ón

a )Pr i me r a me nt e ,va mos sa as us t i t ui re lge ne r ad orde ec c or r i e nt er ea lporuno od de et t e ns i ón ne e qui va l e nt e .De acuer do oc con( n( 1. 67)l osval or escor r es pondi ent ess on: u s % Z · i % 3·10% 30V

;   Z % 3L

de bet ener s eencue nt aalhac eres t eca mbi oque,deac uer do oc conels ent i dodelgener adordecor r i ent edel a Fi gur a1. 64,elgene r a dordet ens i ón nd de30Vt endr ál apol ar i dadmos t r adaenl aFi gur a1. 65,cone lt er mi na l! al ader ec hap apar ai mpul s arca r gasen ne es t es ent i do.( Els ent i do od del ael evac i ón nd de ep pot enc i alde ee es t e gener adordebecoi nci di rcon ne eldel acor r i ent edelgener adordei nt ens i dad da alques ust i t uye) . As i gnandoalci r cui t odel aFi gur a1. 65l 5l oss ent i dosdel ascor r i ent esdemal l ai ndi ca dosyt eni endo oe en cuent a( 1. 106)s epodr áes cr i bi rdi r ect ament e: Ma l l a1: 7% ( 2! 1! 2) i1. 2i2 i2 Ma l l a2: 30%.2i1! ( 2! 3! 4)

dedonder es ul t a: i1% 3A

;   i2% 4A

 

6 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Figura 1.65   Circui Circuito to equivalente de la Figura Figura 1.64

yl ad. d. p.ent r eAyCpuedeobt ene r s edi r ec t ament ecomot ens i ón ne e nl ar es i s t enc i ade2Lr e s u l t a n dos e r : ( i1. i2)% 2( 3. 4)%.2V U AC% Ri % 2· e lmi s mova l orpuedeobt ene r s eporcua l qui erot r oc a mi no oq queunae lnudo oA Ac on nC C.Pore j e mpl os is e L L s i guel ar ut aABCquecont i enedosr e s i s t enc i asde3 y4 yun ng ge ne r a dordet e ns i ónde30V,l ad. d. p. ent r eAyCs er ái gualal as um ma aal gebr ai cadel ast ens i onespr oduci dasport odosl osel ement osexi s t ent es enes t eca mi no oy ya s ís epuedee s cr i bi r : U AC% 3i2. 30! 4i2% 7i2. 30% 7· 4. 30%.2V

quec oi nci deconelr es ul t adoa nt er i or .Esi mpor t ant equeell ec t ors edécue nt adequeenl aúl t i maec uac i ón,l at en s i ón nd de30Vde lge ne r a dorl l ev as i gnone ga t i vo,es t oesde bi doaquea ls eg ui rl ar ut aABCl a ación de potencial de 30V( f ue nt edet e ns i óns evec omoune l eme nt oa ct i voq oquepr ovocaunaelev e nel s e nt i doABC) ,o od deot r omodo,elgene r a dori nt r oduc eenl ar ut aABCuna caída de potencial de .30V. Al gunosaut or esexpr es anes t ai deadi ci endo oq quel ad. d. p.ent r edospunt osesi guala:  R i . ; U  s U AC% ; Ri

dondee lpr i me rt ér mi no od de ls eg undo om mi e mbr oex pr es al as umadel a sc aí da sdepot e nc i alpr ovoc ad asen l osel eme nt ospa s i vose xi s t e nt ese ne lcami no oq queuneA con nC Cye ls egundo ot t é r mi no oe e xpr es ac ons i gno me nosl as um ma adel asel eva ci onesdepot enc i alquei nt r oducenl osgener ador esexi s t ent esenl ar ut aqueune AconC.Es t eúl t i mos i gnome nos( .) pr oce deevi dent ement edel aconver s i óndeunael evac i óndepot enci alenuna ac ca í dadepot enc i alen nl l osgene r ador es . b)P )Par aca l cul arl apot enci aenl ar es i s t enci ade3Lespr eci s odet er mi narpr evi ament el ai nt ensi dadde l acor r i ent equepasaporel l a,enelci r cui t oor i gi naldel aFi gur a1. 64.Téngaseencuent aquees t ar es i s t enc i ade3L es t áen np par al el ocone nelge ner a dorde ec c or r i ent e,porl oques ei nt ent aca l cul a relval orde eu una var i abl ei nt er na,enl at r ansf or maci óngener adordecor r i ent er ealagener adordet ensi ón nr r eal ,y ye esporel l o queunavezca l cul ado oe elci r cui t ode el l aFi gur a1. 65,debevol ver s ealor i gi naldel aFi gur a1. 64.Teni endo ac or r i ent equevaporl ar a maBC de( BaC) ,a l e nc ue nt as e gún nl l aFi gur a1. 65 5q quei2% 4A,queesl apl i ca relpr i merl emadeKi r chhof fa lnudoBdel aFi gur a1. 64r 4r e s ul t a: 10% iBA! iBC% iBA! 4 i gui ent el apot enc i adi s i pa da ae esi guala: porl oqueiBA% 6Ayporcons · 62% 108W  P ( 3L)% Ri  R i 2 BA% 3 deb eobs eo er varell ec t or ,que el l apot enci adi s i pada ae en nl l ar es i s t enc i ade e3 3L del aFi gur a1. 64 4e esi gua la · 42% 48W 8W,que en no oc coi nc i de ec con nl l aant er i or .Laequi val enc i ade el l at r ans f or mac i ón ne esvá l i da 3· i2 2% 3 s ol ament epar ahacercál cul osext er i or esalgener adorde ec cor r i ent e.Cuando se solicitan v ariables internas debe vol v erse al circuito cir cuito original .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   65

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.7

Cal cul arl apot enci adi si padaenl ar es i st enci a9Lde lci r cui t odel aFi gur a1. 66 6q quet i eneun ng gener adorde cor r i ent edependi ent ede el l at ensi ón ne en nl l ar es i s t enci acent r alde1 e1L.

Figura 1.66   Ejemplo de aplica aplicación ción 1.7

So l uc i ón

Exi s t euna af f uent edecor r i ent edependi ent e,quealt r ans f or maraf uent edet ens i ón nd da: U  s % 5· , 5 0U 1   ;   R % 5L 0, 5U 1% 2

ydee s t emodoe lc i r cu i t odel aFi gur a1. 66s 6s ec onvi e r t ee ne ldel aFi gur a1. 67.

Figura 1.67   Circui Circuito to equivalente de la Figura Figura 1.66

Lasec uac i onesdemal l adelci r c ui t odel aFi gur a1. 67s 7s on: 55% ( 9! 1)  I 1. 1·  I 2 .2 , 5 0U 1%.1  I 1! ( 1! 5! 3)  I 2 Lar el aci óne nent r el as eñaldecont r oldelgener adorU 1yl ascor r i ent esdemal l a I 1e I 2e s : (  I   I 1. I 2) U 1% 1· Queals ust i t ui renl asec uaci onesdemal l a,est asset r ans f or manen:  I 1. I 2 55% 10 5  I 2 0% 1, 5  I 1! 6,

 

6 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

l oquedal ugaral oss i gui ent esr es ul t ados: 38A  I 1% 5,

24A ;   I 2%.1,

porconsi gui ent e,l apot enci adi s i padae aenl ar es i s t enci ade e9 9Lesi guala: 11W ·5, 382% 260,  P % RI   R I 2 1% 9

 1.12.2.

Método de las mallas con generadores de corriente

Cua ndos edi s pon ede eu unar e dques ede s eaana l i z arpore lmét odo od del el a sc or r i e nt e sde mal l ayexi s t engener ador esdecor r i ent ei deal es ,es t osnos epuedent r ans f or marengener ador esdet ens i ón,porl oquepar ec eapr i mer avi s t aquel apr es enci adees t osgener ador esva acompl i ca reles t udi odelci r cui t o,yaques ustensiones nos onc ono ci da s .Vamosae xa mi na re ne s t ee pí gr af equet a l esr ede ss ees t udi andemodo os s e me j a nt eyquenos os upone npor el l ounamayorcompl ej i dad;esmás ,i ncl us oenal gunosca s osl apr es enc i adegener ador es decor r i ent ef aci l i t adet er mi nados sc cá l cul os .Loi mpor t ant eesas i gnaral osgener ador esde cor r i ent epr es ent esenl ar ed,unat ens i óngener ador ades conoci daquecomos abe mosvi ene det er mi nadaporelr es t odelci r cui t o.Consi dér es eporej empl oelci r cui t odel aFi gur a1. 68 quecont i enedosgene r ador esdecor r i ent eque en no os s epuedent r ans f or marent ens i ón.

Figura 1.68   Aplicació Aplicación n de las corrientes de malla con generadores generadores de corriente

Pr i mer ament es eas i gnanl osval or esu s2yu s3al ast ens i onesdeambosgener ador es ,con l a spol ar i dadesi ndi ca dase sen nl l aFi gur a1. 68.Sedef i nen na acont i nuaci ónl nl asc or r i ent es sd de ci r cul aci óndem emal l as :i1,i2ei3ys ees cr i ben nl l asec uaci onesdemal l acor r es pondi ent esde ac uer doc oconl nl oexpl i ca do oe enelepí gr af eant er i or ,l oquedal ugara: Ma l l a1: 28! u s2% 1i1. 1i3 Ma l l a2: .u s2   %!( 2! 3) i2. 2i3

Ma l l a3: .u s3

1i1. 2i2! ( 1! 2) i3

  %.

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   67

Seobs er vaquedi s ponemo mosdet r esec uac i onescon nc ci ncoi ncógni t as :i1,i2,i3,u s2,yu s3. Ser equi er enent oncesdosecuaci onesadi ci onal esque es s eobt i enen nr r el aci onando ol l asi nt ens i dadesdel osgener ador esdecor r i ent e,con nl l ascor r i ent esdel asmal l asal asqueaf ec t a.As í enelci r cui t odel aFi gur a1. 68 8s s et i ene : %.

3 5 1% i1i. i2

s eobs er vadel asec uac i onesant er i or es ,quel acor r i ent edel amal l a3yas econoce ,por que es t ádet er mi nadaporelgener adordecor r i ent eexi s t ent eenes amal l a,esdeci r :i3%.5A. Dee s t emodo oe e lpr obl e mas el i mi t aa lc á l cu l odel a sc or r i e nt e sdel a smal l as1y2úni c a me nt e .Enpr i nci pi opa r ec equeelpr obl emas ehar educ i doauns i s t emadecua t r oe cua ci one sco ncua t r oi nc ógni t as ,s i nembar gol ol ar ea l i dad de e sa ún nm máss i mpl e.Obs ér ves eques is e s uma nl asec ua c i one sde el l a smal l a s1y2de( e( 1. 109) ,s ee l i mi na al l av ariable de paso u s2, da ndol ol ugara: 28% 1i1! 5i2. 3i3 yt e ni e ndo oe e nc ue nt aquei3%.5As ec onvi e r t ee n: 13% 1i1! 5i2 l aec uaci ón na a nt er i orj unt ocon nl l ab)de e( ( 1. 110)dal al ugaradosec uaci onescon nd dosi nc ó g n i t a s : 13% 1i1! 5i2 1% i1. i2 cuyosr es ul t adoss on: i1% 3A; i2% 2A quej unt oconi3%.5Adanl osval or esdel ascor r i ent esdema l l a,ques edes ea bandet er mi nar .Ell ec t orhabr áobs er vadoq oquel asvar i abl esi nt er medi asu s2yu s3quehi ci er onf nf al t a par aes cr i bi r( 1. 109)nos os onn nneces ar i aspar ar es ol verelci r cui t o.Dehecho oe elpr obl emar equi e r eúni ca ment ef or mul arl asecuac i ones( 1. 110)y( 1. 111) : 5%.i3 1% i1. i2 28% 1i1! 5i2. 3i3 l asdospr i mer asecuaci onesr epr es ent anl ascor r i ent esf i j adasporl osgener ador esdei nt ens i dad .Lat er c e r ae cua ci ón n( ( 1. 115)queesc opi ade( 1. 111)pr oce dí adel as um ma adel asec uac i one sdel asma l l a s1y2de( 1. 109)yr ep r es e nt al aa pl i c a ci ón nd de ls eg undol e madeKi r c hhof fa ll az oABCEFG Gs s umadel a sma l l a s1y2.Es t el az ode t er mi nae nde f i ni t i va au un ci r cui t ocer r ado oq ques ol ocont i enegener ador esdet ens i ón ne ei mpedanci as ,evi t ando ol l osgene r ador esde ec cor r i ent ecuyat ens i ón ns s edes c onoce .Lamayor í ade el l ose s t udi ant esenc uent r an nm má ss i mpl eys i s t emát i cop opl ant ea rl asec uac i ones( 1. 109)y( 1. 110)yr es ol ver l ass i gui e ndo oe e lpr oc e s oquea ea quís eha ad da do oq que ee e s cr i bi rdi r e ct a me nt eels i s t e ma( 1. 115 ) f or mando op porl ascondi ci onesi mpues t asporl osgener ador esdecor r i ent eyporl asecua ci onesdel asmal l as( yens uca s ol az os )quenocont engangener ador esdecor r i ent enec es ar i as

par acompl et art ant asec uaci onescomo moi ncógni t as .

 

6 8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.8

Ca l cul arl ai nt ens i dad dq que ec ci r cul aporl ar es i s t enci ade20 0o ohmi osdelci r cui t odel aFi gur a1. 69a 9apl i cando elmé mé t odo od del asmal l as .

Figura 1.69   Ejemplo de aplica aplicación ción 1.8

So l uc i ón

a)P )Pr ocedi mi ent odi r ect o: Ma l l a1 : 16% ( 1! 2) i1. 2i2. 1i3 Ge ne r ador rd de ec c or r i e nt e : 5%.i2! i3 más ss s i mpl e ) La zoABCDEFG: 16% 1i2! 20i3 ( quedal ugaral ossi gui ent esval or es : i1% 3A; i2%.4A; i3% 1A

b)P )Pr ocedi mi ent os i s t emát i co: Ma l l a1: 16% 3i1. 2i2. i3 Ma l l a2:   .u s %.2 i1! 3i2 Ma l l a3:   u s %.i1! 21i3 Ge ne r adorde ec c or r i e nt e : 5%.i2! i3 Als uma rl asmal l as2y3s eel i mi nal ava r i abl edepa s ou s: %.

0

!

!

3i1 3i2 21i3

quej unt oconl asot r asdosec uac i ones( mal l a1ei mpos i ci ón nd delgene r ador )conduc enal osmi s mosr e s ul t a d osa nt e r i or e s .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   69

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.9

Ca l cul arporelmét odo od de el l asmal l asl acor r i ent eenl ar es i s t enc i ade4Ldelci r cui t ode el l aFi gur a1. 70 0y y L t a mbi énl ad. d. p.enbor nesdel ar es i s t enc i ade2 .

Figura 1.70   Ejemplo de aplica aplicación ción 1.9

So l uc i ón

Elgene r a dordecor r i ent ede3Apuedet r ans f or mar s eenun ng gene r a dordet ens i ón nc conl osval or es :  R % 3L

 

u s % 3· 3% 9V

Elgener adorde4Anopuedepas a r s eaf uent edet ens i ón np por queno ot t i en er e s i s t enc i ae npar al el o,es t e ge ner adordar áyaelval ordel acor r i ent edees amal l a.Elci r cui t odel aFi gur a1. 70s econvi er t eeneldel a Fi gur a1. 71.

Figura 1.71   Circui Circuito to equivalente de la Figura Figura 1.70

Apl i ca ndo om mal l ass eobt i ene: 10% ( 5! 6! 4)  I 1. 4  I 2  I 1! (  I 2. 2  I 3 9%.4 4! 3! 2)  I 3% 4 Yaloper arr es ul t an nl l ass i gui ent esecuaci ones : 10% 15  I 1. 4  I 2  I  17%.4  I  ! 9

1

2

 

7 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

dedon des ede duc e : 328A  I 1% 1,

479A ;   I 2% 2,

Lacor r i ent eenl ar es i s t enci ade e4 4Lesi guala:  I a % I 1. I 2%.1, 151A

esdeci rl acor r i ent e I a va l e1, 151 1A A yt i enes ent i do oc c ont r ar i oals e ñal ado oe enl aFi gur a1. 70.Lad. d. p.en bor nesdel ar es i s t enci ade2Lesporl ot ant o (  I   I 2. I 3)%.3, 042V U MN MN% 2 elt e r mi nalN Nt t i eneencons ec uenc i amayorpot enc i alqueelt er mi nalM M. .

Ampl í esusconoci mi ent os

E n ei l E p í gs r a f e 1. 12. 2s ehaapl i cadoelm mé ét ododel asmal l asal osci r cui t osquet i enengener ador esdecor r i e n t e d e a l e e n unar ama,l ocua ls ehal ogr adoas i gnandounat ens i ón nd des c onoci daaes t osge ner ador esyapl i ca ndoa oac ont i nuac i ón ne elm mé ét odod odel asmal l as ,i ncl uyendo ol l asec uac i onesdel ascor r i ent esder amaque ei i mponen ne e s t os gener ador esenelci r cui t o.Exi s t eot r opr ocedi mi ent oder es ol veres t et i po od der edes ,queconsi s t eendespl azarl osgener ador esdecor r i ent ei deal esaf ect ados,al asot r asr amasqueunenl osnudosenl osquei nyect an cor r i ent ees t osgener ador es ,l oqueper mi t econsegui rgener ador esr eal esdecor r i ent eques epuedent r ansf or marengener ador esr ea l esdet ens i ón,quedandoe oelci r cui t opr epa r adopar aapl i ca relm mé ét odo od del ascor r i ent esdemal l aenl af or macl ás i cat a lcomos ehae s t udi adoe nelEpí gr af e1. 12. 1.Par ac om mp pr ende rl o ant er i or ,enl aFi gur a1. 72as emues t r aunapar t edeunar ed,enl aqueexi s t eunaf uent ei dealdecor r i ent ei s e ns er i ec on nl l ar ama7,compr endi daent r el osnudo sM yN,l oc ua ls i gni f i c aquel ac or r i e nt ei7ene nes t a r amacoi nci de ec conl nl acor r i ent ei s de lgene r ador ,con ni i ndepe ndenc i adelr es t ode el l ar ed,por quevi enei mpues t apores t af uent e. Enes t ascondi c i ones ,sepuedes upr i mi r( abr i r )e s t ar a maymodi f i ca rl ar eddet alm mo odo oq quee s t acor r i e nt ei s s a l gadelnudoM yl l eguehas t aelnudoN,l oques econs i guecol oca ndounaf uent edec or r i ent ei s e npar a l e l oc onl asr ama squeune nl osnu dosM yN por del osc ami nospos i bl e s ,t a lcomos e s e ñal aenl aFi gur a1. 72b.Ell ec t orpuedecompr obarquel aapl i ca ci óndelpr i merl emadeKi r chhof fal os nudosM yN dea mba sFi gur as1. 72aybda nl uga ral asmi s ma secua c i one s .Ambosc i r c ui t oss onporl o t a nt oequi val ent es .Losgener ador esr eal esdecor r i ent edel aFi gur a1. 72b bs s epueden nt t r ans f or marengener ador esr eal esdet ens i ón,dej ando ol l ar edpr epar adapar aapl i carelmét odo oc cl ás i codel asmal l as . Par avercómos edes ar r ol l anes t asi dea s ,vamosar es ol verelEj empl odeApl i ca ci ón n1 1. 8ut i l i zandol a movi l i daddegener ador esdecor r i ent e,Seobse r vaenl aFi gur a1. 69,queexi s t eun ng gener adordecor r i ent e i de alde5Aen t r el osnudosD Dy yH.Enl aFi gur a1. 73as ehar e al i z ad ol at r as l a ci óndee s t ege ne r a dor ,que hadadol ugaradosgener ador esi dea l esdecor r i ent ede5A,quees t ánenpar al el oconl asr es i s t enc i asde2 ohmi osy5ohm mi i os ,r es pec t i vament e( esi mpor t ant ecompr obarque ee else nt i do od de el l asc or r i ent esde ee es t os gener ador es ,sedi r i gedes deelnudo oD Dhat aelnudoH) .Alt r ans f or mares t osgener ador esr ea l esdecor r i ent eengener ador esr ea l esdet ens i ón,s eobt i eneelci r cui t odel aFi gur a1. 72b,quealapl i carelmét ododel as mal l asdal ugaral ass i gui ent esecuaci ones : 16. 10% ( 1! 2) ia . ( ib 1! 2) 1! 2! 1! 20) i 10! 5%.( 1! 2) i !(

a

b

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   71

Figura 1.72   Traslación de g generadores eneradores de corriente ideal ideales es

Figura 1.73   Ejemplo de aplicación 1.8 utilizando traslación de generadores de corriente

ques i mpl i f i cando os s econvi er t enen: 6% 3ia . 3ib 15%.3ia ! 24ib cuyosr es ul t adoss on:ia % 3A;ib % 1A.Esde c i r ,l aco r r i en t ee nl ar es i s t en c i ade20 0o ohmi os( quee sl a pr egunt ade lpr obl e ma)e sde1a mpe r i oyvadeBaC,quec oi nc i deconelr e s ul t adoobt e ni doenelej empl odeapl i cac i ón1. 8.

1.13.  Análisis de circuitos por el método de los nudos  1.13.1.

Formulación general

Elm mé é t odod odel osnudos( odel a st e ns i one sdenudo)esunpr oc e di mi e nt odea nál i s i sques e ut i l i zaen nt t eor í adec eci r cui t ospar acal cul ars ur es puest a.Consi s t een na apl i carexpl í ci t ament e elpr i merl emadeK eKi r chhof fal osnudosi ndependi ent esdelci r cui t o( t odosmenosuno) ,de

t a lf or maquee ls e gundo ol l e made eK Ki r c hhof fr e s ul t aa pl i c adodeunm nmodo oi i mpl í c i t o.A An nt e s

 

7 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

dec om me en za rar es ol ve run nc c i r c ui t opore lmé t odo od del osnudos ,s ede be ei i nt e nt a r ,s i empr e ques eaposi bl e,s us t i t ui rl osgener ador esr ea l esde et t ens i ón np porgener ador esr ea l esdec ecor r i ent eequi val ent es ,con nl l ast écni casanal i zadasenelEpí gr af e1. 9.Es t os i empr es er ár eal i za bl eenelca s odequel osge ner ad or esdet ens i ónpr e s ent esenl ar eds ea nreales ( esdeci r t e nga nunai mpe dan c i ae ns e r i e )pe r onoe oe nelc a s odequel osge ne r a dor e sdet e ns i óns ns e an i deal es .Es t asi t uaci óns eanal i zar áen ne elEpí gr af e1. 13. 2. Suponemos ,porcons i gui ent e,queenl ar e dques evaaes t udi ars ehanpodi dos us t i t ui r t odosl osgene r ador esdet en s i ónporcor r i ent e.Hemosder ec or da rqueelnúm me er odenudos i ndepe ndi ent esdeunar edden nudosesi gualan . 1,l oquei ndi c aques is et omaunnudo comopot enci alde er r ef er enci as epodr án nc ca l cul arl ast ens i onesdel el osot r osnudosr es pec t o dea quel ,apl i ca ndoe oelpr i merl emadeKi r chhof fal osn . 1nudosr es t ant es ,dandol ugara unc nconj unt odeec uaci onesl i neal ment ei ndependi ent es .Lael ec ci óndelnudoder er ef er enci a est ot al ment el i br e,pe r ol omáspr ác t i coesel egi raque lnudoq oquet engamásr amasconec t adasaél .Muchos sc ci r cui t osel éc t r i cosr ea l eses t án nc cons t r ui doss ss obr eunab abas emet ál i ca ao o c ha s i salques ec one c t a na l guno se l ement osde lc i r cui t o,porl oqueescómodot ot omarel cha s i sc omo monudoder ef er enc i a,queenes t eca s os edenomi namasa.Enot r osca s os ,ques e encue nt r an ne en nl l ai ngeni er í ael éct r i ca ad dep epot enci a,elcha s i sesl ami s mat i er r aypores t a tierra r a z ó n l n ud od d e r e f e r n c i a s e o n on c e f r e c u e n t e mF e n t e c o n ne e l n o m r e e q u e s et s i m b o l i z ae c o nu n uo n nr r a y a d o oe e s p e c i a lc ( v e r ud o o3 3 d e el l a i g u r a 1 . 7 4 ) . E lb n u dd o od d er e f er e n c i a i e ne porconsi gui ent eelpot enci aldet i er r aopot enci alcer oyl ast ens i onesdel osot r osnudoss e r ef er i r ánr es pect odel at ensi ón nd det i er r a( 0V)l oqueper mi t eobt enerpot enci al esabs ol ut os ynod odi f er enci adepot enci al es .

Figura 1.74   Aplicació Aplicación n del método método de los nudos nudos

Par ave rc ómos eapl i c ae lmét odod odel osnudo s ,va mosacons i de r a re lci r c ui t odel a Fi gur a1. 74,f or madoport r esnudos,dondes ol oexi s t engener ador esdecor r i ent e.Elnudo 3s ehat oma do oc co mor e f er e nc i aonudoda t oques ec one ct aat i e r r a :0vol t i os ,( s eobs e r va queelnudo o3 3est odal ar amai nf er i ordel aFi gur a1. 74) .Last en s i onesdel osot r osnudos , r es pec t oalnudo od der ef er enc i a ,s ehandenomi na do oe enl aFi gur a1. 74s i mpl eme nt ecomou1 yu2.Sis ede nomi na nal ospot en c i a l esde el l osnudos :v ,v ,yv es pect i vam me ent e,s e 1 2 3% 0r c um mp pl e u1% v %v 1. v 3% v 1. 0 1 %v u2% v 2 2. 0 3% v 2. v

Esdec i r ,a lt om ma are lnudo o3 3comor ef er enc i a,l ast ens i onesenl osnudoscoi nci dencon

s uspot enc i al es .Enelca s oder ef er i r nosaunad. d. p.ent r edosnudos,donde en ni ngunos os eael

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   73

der ef er enci a,com mo oeselca s odel at ens i ónu12del aFi gur a1. 74,es t at ens i ón ne esl adi f er enci aent r el ast ens i ones( opot enc i al es )delnudo1 o1ydelnudo2 o2,esdec i r : u12% u1. u2

t r o as p e ct o a co n s i de r a ri e n l a r e d d e l a F i g u r a 1 . 7 4 squel o se e l em e nt o sp as i v oa s e s t á n e xpO r e s a do s e n f o r m a d e ea a d m t a n c i a s ( q ue s e m i d e n e ne  siemens ) n ve z d ei e i m p e d n c i a s . Es t os ehahe choapr opós i t oaf i ndevercl a r ament el adual i dadexi s t e nt eent r eelm mé ét odo del osnudosye lmé t ododel a smal l a s ,comomá st a r des ec ompr oba r á.De ber e c or da r s e s egún( 1. 43)quel ar el aci ónexi s t ent eent r el acor r i ent ei queci r cul aporunaadm mi i t anci aY y s ut e ns i ónu esi guala: i % Yu

expr es i ón nq que es s eut i l i za r ádes puésenelanál i s i s .Unavezt om ma adoe oelnudod oder ef er enc i a,y s e ñal ada sl ast ens i onesdel osde má snudos ,s edebeapl i ca relpr i me rl emadeKi r c hhof fa l osnudos1y2r e s ul t a ndo: Nudo 1: i . i . i % 0 1 2 1 3  s1 Nudo 2: i12. i23. i s2% 0 yt eni endoencue nt a( 1. 118)s epuedeponer : i12% Y 2( u1. u2) i13% Y 1u1 i23% Y 3u2

va l or esquel el l eva dosa( 1. 119)yc ol oca ndol ol ascor r i ent esdel el osgene r a dor esene ne lpr i mer mi embr oyl ascor r i ent e sdel a sadmi t anc i asene ls e gundo,nosda : Nudo1: i s1% Y 2( u1. u2)! Y 1u1 u1. u2)! Y 3u2 Nudo2: .i s2%.Y 2( quer educ i endoa oat é r mi noss emej ant esnosda : u1. Y 2u2 Nudo1: i s1% ( Y 1! Y 2) Nudo2: .i s2%.Y 2u1! ( Y 2! Y 3) u2

l a sec uaci onesant er i or espuedenes cr i bi r s eenf or mamáscompac t adels i gui ent emodo: i s) u1! Y 12u2 ;( 1% Y 1 1 u1! Y 22u2 ;( i s) 1 2% Y 2

queadmi t el af or mamat r i ci al : [ i ]%

;( i s) 1

%

Y 11   Y 12 u1

%

[ Y] [ u]

[ i s]

CD C DC D Y 21   Y 22 u2

i s) ;( 2

[ Y ] [ u]

 

7 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

donde;( i s) is g ) epr es ent anl as uma made el l ascor r i ent esdel osgener ador esdei nt ens i 1y;( 2r da dquellegan al osnudos1y2r es pec t i va me nt e .Obs ér ve s een nl l ase cu a ci one s( 1. 122)y Fi gur a1. 74quee nelnudo1,entra l acor r i ent edelgener ador1yporel l oi s1a par ec ec omo cor r i ent epos i t i va.Enelnudo o2 2,s et i eneunar amac onu nung ngene r adordec or r i e nt ei s2,cuya i n t e n s i d a d sale delnudoyporel l oes t acor r i ent eapa r ec econs i gnon onegat i vo oe enels i s t ema ( 1 . 1 2 2 ) . i s e c o m p a r anl nl asec uac i ones( 1. 123)o( 1. 124)c on( n( 1. 122)s eobs er vanl nl ass i g u i e n t e sS i d e n t i d a d e s : Y 11% Y 1! Y 2 Y 12% Y 21%.Y 2 Y 22% Y 2! Y 3 Lasadmi t anci asY 11,Y 22,. . . ,Y iiii s econo c enconelnombr edeautoadmitancias de nudo yr epr es ent anl as um ma adel asadmi t anc i asquel l eganal osnudos1,2,. . . ,i.Lasadm mi i t anci as . . ,Y ijij % Y   ji s ec onoc e nc one ne lnombr edeadmitancias mutuas ent r el osnudos Y 12% Y 21,. de lpr i me r oys e gundo os s ubí ndi ce syr ep r es e nt a nc on signo menos meno s ( verr el aci ón1 n1. 125)l a admi t anc i at ot a lc om mú únaa mbosnudos .Lamat r i zdeadmi t an ci asi ndi ca daen( 1. 124)esen cons ecuenci aunamat r i zs i mét r i ca,con nt t odosl ost ér mi nosdel adi agonalpr i nci palposi t i vosei gua lal a saut oadmi t anc i asdeca danudo.Losdemást ér mi noss onnega t i vosyr epr es ent anl asadmi t anc i asmut uasent r enudos.Es t aspr opi eda des ,def or maanál ogaa aal aes t udi adae aenelanál i s i spormal l as ,per mi t en ne es cr i bi rdi r ect ament el asec uaci ones( 1. 122)con ar r egl oal oi ndi cado oe en nl l ospár r af osant er i or es . Enelcas odeexi s t i renelci r cui t ogener ador esdependi ent es ,espr ec i s oi ncl ui recuaci onesadi ci onal esal asant er i or es ,quer el aci onanl at ensi ón no ol acor r i ent edel af uent econt r ol a da ,c onl nl a st e ns i one sde el l osnudos ;e nes t ec a s oe lc onj unt oda r ál uga rauna am ma t r i zde admi t a nci asqueyano ot t endr ál apr opi eda ddes ers i mét r i ca .Ell ec t orcompr obar ál aanal ogí aent r el aexpr es i ón n( ( 1. 107)obt eni daenelmét odo od del asmal l asyl a( 1. 124)obt eni daen elmé mét odo od del osnudos .Es t aana l ogí as edenomi nae nt eor í adeci r cui t os :dualidad ,yp ype r mi t ees cr i bi r( 1. 124)conoci endo o( ( 1. 107)oal ai nver s a,ut i l i zandol ass i gui ent esdual i dades : Mal l a   Nudo Gene r adorde et t ens i ón   Gener adordec ecor r i ent e  

T

  T

I mpedanci a Tens i ón Cor r i ent emal l a

 

T

 

T  

T

  Admi mi t anci a   Cor r i e nt e   Ten s i ón nn nudo

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.10

Re s ol ve re lEj e mpl odeApl i ca ci ón n1 1. 6pore lmé t ododel osnudos . So l uc i ón

Enl aFi gur a1. 75as ehar epr es ent adonuevament eelci r cui t odel aFi gur a1. 64.Elgener adordet ens i ón nd de 7V e s t áens er i econ nd dosr e s i s t e nc i a sde e2 2 y1 ,que er r epr es e nt an nu una ar r es i s t enc i at ot alde e3 3 .Al t r ansf or mares t egener adordet ensi ón nr r ealen nc cor r i ent e,r es ul t a: L L L 7   ;   Z % 3L i s1  s1%

3

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   75

Figura 1.75   Ejemplo de apli aplicación cación 1.10

e nl aFi gur a1. 75bs emue s t r aelc i r c ui t ot r ans f or ma do.Sehat oma do oe e lnudoCc omor ef er enc i ayal os nudosAyBs el e sha na s i gna do ol l a st ens i one sU 1yU 2.Apl i ca ndo oe elm mé ét odo od del osnudosr es ul t a: Nudo1( A) : 7. 10% 1! 1! 1 U 1. 1U 2 3 3 2 3 3 Nudo2( B) : 10%.

A B 1 1 1 U  U  3 4B 3 A 1!

!

 

( a )

2

cuyosr es ul t adoss on: U 1%.2V

;   U 2% 16V

1)D )Dea cue r do oc c on nl l osr es ul t adosant er i or e s ,l ad. d. p.ent r el osnudosAyCesi guala: U AC% U 1. U 3% U 1%.2V

2 ) )P P o r l ar es i s t enc i ade3L enp npar al el ocon ne elgene r adorde ec cor r i ent edel aFi gur a1. 75a,ci r cul auna i n t e n s i d a d : 18 1 16. ( .2 ) ]% % 6A iBA% Y ( U 2. U 1)% [ 3 3 yporconsi gui ent e,l apot enci adi s i padaen ne es t ar es i s t enci aes : 62% 108W  P ( 3L)% Ric2% 3· va l or esquecoi nci denconl osca l cul adosenelEj empl odeApl i ca c i ón n1 1. 6porelm mé ét odo od del asmal l as .

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.11

Cal cul arl apot enci adi s i padaenl ar es i s t enci ade5Ldelci r cui t odel aFi gur a1. 76q 6quet i eneun ng gener ador

decor r i ent edependi ent e,porelm mé ét odo od del osnudos.

 

7 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Figura 1.76   Ejemplo de apli aplicación cación 1.11

So l uc i ón

Toma ndoe lnudoC,c omonudoder ef er e nc i ayl l amandoU A yU Bal ospot en c i al e sdel osnudosAyB,s e t i e n e : 1 1 1  I b % 2! 2 U A. 2U B NudoA: 10! 2, 5 1 1 1 NudoB: 9. 2, 5  I b %. U A! ! U B 2 5 2 l ac or r i e nt e I b ( var i abl edecont r oldelgener adordependi ent e)val e:

CD CD

1  I b % U B 5 porl oquel asecuac i onesant er i or es ,seconvi er t en ne en: 10% U A. U B 2U  9%.0, 5U A! 1, ot ant ol acor r i ent ee nl ar e s i s t enc i ade5Lesi guala: dedondes ede duc eU B% 20Vyporl  I b %

20 % 4A 5

ydees t emodo ol l apot enc i adi s i padaval e:  P % 5· 42% 80W  1.13.2.

Método de los nudos con generadores de tensión

Cua ndos edi s ponedeunar e dques ede s e aa nal i z arporelm mé é t ododel a st en s i one sdenudo yexi s t engener ador esdet ens i ón ni i deal es ,es t osnos epueden nt t r ans f or marengener ador esde cor r i ent e,porl oquepar ec eapr i mer avi s t aquel apr es enc i adees t osgener ador esvaacompl i ca reles t udi odelci r cui t o,ya aq ques es uscorrientes nos os on nc c onoc i da s ,pue sde pe nde nde l

ci r cui t oext er i or .Vamosaexa mi na renes t eepí gr af equet al esr ede ss ees t udi andeunm nmo-

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   77

dos emej a nt ea lexpu es t oe nelEpí gr a f e1. 13. 1yquenos upone nporel l ounama yorcompl ej i dad;esmás ,i ncl us oelpr obl emas uel es ermáss i mpl e,yaqueelgener adordet ens i ón, f i j adi r ec t ament el at ens i ón ne ent r el osnudosal oscual eses t áconect ado.Elanál i s i sdees t e t i po od dec eci r cui t os ss s i gue ee eldes ar r ol l oconvenci onal ,t r at ando oa al os sg gener ador esde et t ens i ón comogener ador esdecor r i ent e,cuyasi nt ens i dadess on nd des conoci das .Deun nm modo oa aná l ogo alexpuest oenelEpí gr af e1. 12. 2,es t asi nt ens i dadess on nv var i abl esde ep pas oque ep pueden ne el i mi na r s es umandod odosadosl a se c ua c i one s .A l a se c uac i one sr es ul t a nt e sde ben na a ña di r s e ent once sl ast ens i onesent r enudos,quef i j anl asf uent esdet ensi ón;l as ol uci ón ns s eobt endr á r es ol vi endoelsi st emade ee ecuaci onesr es ul t ant es . Cons i dér es eporej empl oelci r cui t odel aFi gur a1. 77,enelques et i enendosgener ador esdet ens i ón nq quenopuedent r ans f or mar s eengene r ador esdecor r i ent e.As i gnamosaes t os gener ador esdoscor r i ent esdesconoci dasi s1ei s2enels ent i do oc cons i der ado.

Figura 1.77   Aplicació Aplicación n del método método de los nudos con gene generadores radores de tensión

Sis et omae lnudo4co mor ef e r e nc i a ,ala pl i c a re lmét odo od del osnudosr e s ul t a : Nudo1: i s1. 10%

1 1 1 1 2! 5 U 1. 2U 2. 5U 3

A B1 1 1 U  U  2 A 2 2B 1 1 1 U  U  5 A 4 5B

Nudo2: 6. i s2%.

Nudo3: 10! i s2%.

1!

1!

!

!

2

3

l a se cua ci onesquei mponenl osgene r a dor ess on: U 1% 10V .

% 2

U  U  6V l ae c uac i ón nd d)nosdayaelval ordel at e ns i ónd nde lnudo1( r es pe ct oat i e r r a ) ,porl oqueno hac ef al t aut i l i zarl aec uaci ón na a)cor r es pondi ent eaes t enudo.Als um ma arl asec uaci onesb)y 3

c)s eel i mi nal avar i abl edepas oi s2r es ul t ando oe els i gui ent es i s t emade ee ec uaci ones :

 

7 8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Nudo2! Nudo3: 16%.

1 1 1 1 1 1 U 1! ! U 2! ! U 3 ! 4 5 2 2 12 5

A B AB AB

Condi ci ones : U 1% 10 ;   U 3. U 2% 6

dedondes eobt i e ne: U 1% 10V

;   U 2% 14V

;   U 3% 20V

queesl as ol uci óndelpr obl ema.Conoci dases t ast ens i onesdel osnudoss epodr ánca l cul ar f áci l ment el ascor r i ent e senl asdi ver s asr amasdel ar ed.Aunquel asec uaci ones( 1. 129)s e pue dene nes cr i bi rdi r ec t ament e,elpr ocedi mi ent os i s t emát i co oq ques es eaca ba ad deexponerevi t a muchoser r or es .

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.12

Ca l cul arl apot enci adi s i padae aen nl l ar es i s t enci ade6L de lc i r c ui t odel aFi gur a1. 78 8p pore lmé t odo od del os nudos.

Figura 1.78   Ejemplo de apli aplicación cación 1.12

So l uc i ón

Pr i mer ament e,s edebe nt r ans f or marl osgener ador esdet ens i ón ne en nc cor r i ent e.Elgener adorde et t ens i ón nd de 4Vs ec onvi e r t ee n: 4 i2% % 2A ;   R % 2L 2 elgener adorde28Vesi dea l( not i enei mpeda nci aens er i e)porl oquenos epuedet r ans f or mar .Elci r cui t o e qui va l e nt er e s ul t an t eese lmos t r a do oe enl aFi gur a1. 79.Exi s t e ncu a t r onudos :A,B,CyD.Tomamosel nudoDc omor ef e r e nc i a .Lospot e nc i al e sdel osnudosA,B By yCr es pe ct oa lnudoder ef e r e nc i a,s ede nomi na nU A,U B yU C r es pect i vament e.Elnudo oA At i eneun np pot enci alcl ar ament ees peci f i cadoporelgener ador det ens i ón nd del ai zqui er daesdeci rU A%.28V 8V( obsé r ves el apol ar i dad) ,s ol ohar áf al t aapl i carelm mé ét odo

del osnudo saByC,r e s ul t ando :

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   79

NudoA: U A%.28V 1 1 1 1 1 NudoB: .2%. U A! ! ! U B. U C 5 2 2 5 6

A B

1 1 1 B NudoC: 6%. 5U  ! 5! 1 U C

AB

Figura 1.79   Circui Circuito to equivalente de la Figura Figura 1.78

dedonder es ul t a: U A%.28V

;   U B%.18V

;   U C% 2V

enc ncons ec uenci a,l acor r i ent eque ec ci r cul aporl ar es i s t enci ade e6 6L i r áde lnudoD a lnudoByt i eneun v a l o r : 18  I DB% % 3A 6 yl apot enci adi s i pada ae es : 2

2

 P % RI   R I  % 6· 3% 54W Ell ect orobs er var áqueelpr obl emas ehar es uel t os i nneces i daddei ncl ui renl asecuaci onesl ar es i s t enc i ade4L ens ns er i ec on ne elge ne r a dorde ec co r r i e nt ede e6 6A.Es t ar e s i s t e nc i aen ns s er i ec on ne e lge ne r ad orde cor r i ent es uel es ermot i vo od deconf us i ónp npar al oses t udi ant esyaque es s uel eni ncl ui r l acomounaadmi t anc i a quei nt r oduc e nene lnudo oC Cdee s t amane r a :

1 1 1 1 NudoC: 6%. U B! ! ! U C 5 1 4 5

A B

l aec ua ci ónan t er i ore s ,yc ons t i t uyeunamal aa pl i c ac i ón nd de lm mé é t ododel osnudos .Obs é r ve s eque e nelnudoCdel aFi gur a1. 79,l aa pl i ca c i ón nd de lpr i me rl emadeKi r c hhof fnosda : 6% I CB! I CD dondel ascor r i ent esval en:  I CB%

U C. U B  

;   I CD%

U C. U D

  %

U C

5

1

1

 

8 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

dee s t emodos ec umpl ee ne lnudoC: 6%

U C. U B U C   ! 5 1

  ú

1 1 1   6%. U B! ! U C 1 5 5

AB

qo ur ed e sl a c un a c i ó n nc c os r r e t a . Té ga s e e n c u e n t a qu e a o r i e n t e q u e l l e g a a l n ud o oC C p r o c e d e n t e d e l g e n er a d e c oe r r i e t e s er á i ec m p r e 6n A i n d e pe n d i e n t e d el l ac r er s i s t e n c i a q u e l l e v e e n s er i e. C o m mo o y a s e i n d i c ó e n elapa r t ado oe e )delEpí gr af e1. 10e 0es t ar es i s t e nci aen ns s e r i ec on nu un ng gene r adorde ec c or r i ent es epodr í ahabe r el i mi nadoyl osval or esdel ast ens i onesde en nudon ono os s ehubi er an nm modi f i ca do.Elef ect odees t ar es i s t enc i a s e r ác a mbi arl at e ns i ón ne e nbor ne sde lge ne r a dorde ec co r r i e nt eque ee e s t áe ns er i eyque es s emodi f i c ar áen f unci ón nd delval ordeaquel l a.

Ampl í esusconoci mi ent os

enelEpí gr af e 1. 13. 2s eha aa apl i ca do oe elmét odod ode el l osnudose nl osci r cui t osen nl l osqueexi s t en ng ge ner ador e sdet e ns i ón i d e a l e s e nt r e d o s nu ud o s , l o cm ua l s e ha ea l i za d oa o a s i g n a n d o u n al c o r r i e na t e d e s c o n oc i d a a e s t o s g e ne r a d o r e s a p l i c a nd oa o a c o n t i n ac i ó n ne el mé é t o do od dr e el l o s n u do s , i n c l u y en d o ol a s e c u ci o n e s d e l a s d . d . p . e n t r e n u d o s q uy e i mponenes t osgener ador esenelci r cui t o.Exi s t eot r opr ocedi mi ent oder es ol uci ón nd dees t et i po od deci r cui t os quecons i s t een nd des pl az arl osgene r ador esde et t ens i ón ni i dea l esaf ec t ados ,al asr amasquet oca nuno od del os nudosal osque el l l ega nes t osgene r ador es ,l oque ep per mi t econs egui rgene r a dor esr ea l esdet et ens i ón nq ques e puedent nt r ans f or marengener ador esdecor r i ent e,quedando oe elci r cui t opr epar ado op par aapl i carelm mé ét odo od de l a st ens i onesdenudoenl af or macl ás i ca ,t alcom mo os ehaes t udi adoenelEpí gr af e1. 13. 1.Par acompr ender l oa nt er i or ,enl aFi gur a1. 80as emues t r aunapar t edeunar edenl aquee xi s t eunaf uent ei dea ldet e ns i ón u s enpar al el oconl ai mpedanc i a Z 6( r a ma6) ,compr e ndi daen t r el osnudosM yN,l ocu a lsi gni f i caquel a d. d. p.e nt r el osnu dosM yN e su s,c on ni i nde pe nde nc i ade lr e s t ode el l ar e dpor quevi en ei mpue s t aporel gener adori dealdet ensi ón. Enes t ascondi ci ones ,s epuedes upr i mi r( cor t oci r cui t ar )es t ar amaymodi f i carelci r cui t o,det alm mo odo quel el at ens i ónu s s eapl i quealnud oM z N de el l ar ed,l oques ec ons i gue et t r as l a da ndo oe es t eva l orde el l a t e ns i ónal asr amasquel l eguenaél ,t alcomos es eña l aenl aFi gur a1. 80b.Enelci r cui t odel aFi gur a1. 80a l ad. d. p.ques et i e ne ,pore j empl o,ent r el osnudosAyCes : uAC% uAM ! uMN! uNC% uAM ! u s ! uNC

es t ar el ac i ón ns s es i gue ec c um mp pl i e ndo oe en ne e lci r cui t ot r ans f or mado od de el l aFi gur a1. 80b,que ee ese qui va l ent eal ci r cui t odel aFi gur a1. 80a.Elpas odeun nc ci r cui t oa lot r os econs i gue ed des pl az andol ol af uent eu s, at odasl a sr amasquel l ega nalt er mi nalN Nd delgene r adoru s,esde c i ral asr a ma s NC,NDyNE.Seobt i e nee lm mi i s mor e s ul t a do os s is ec ol oc aunge ne r a doru s e nl asr a ma sAM yBM pe r o debedes t aca r s eques ol ament edebei ncl ui r s eelgener adoru s e ns er i ec on nt t oda sl asr a ma squel l e ga naun cone ct adopores t egene r adore nl ar e dpr i mi t i va.Nót es equel ar a maenl aquees t abacol oca do u s debecor t oci r cui t ar s eenl at r ans f or maci ón.Losgener ador esr ea l esdet ens i ón nd del el aFi gur a1. 80b,als er r eal es ,pueden nt t r ans f or mar s een ng gener ador esdec ecor r i ent er ea l es ,dej ando ol l ar ed dp pr epar adapar aapl i carel mé t odocl ás i c odel osnudos . Par ave rcó mos ea pl i c an ne es t asi de as ,va mosar e s ol ve re lEj e mpl ode eA Apl i c a ci ón n1 1. 12 2u ut i l i z a ndo ol l a movi l i daddegene r a dor es .Se eo obs er vaenl aFi gur a1. 78q 8queexi s t eun ng gene r adordet ens i ón ni i dea lde28 8V V ent r el osnudosAyD.Enl aFi gur a1. 81a, l at r a s l ac i ón nd dees t egene r a dorhada dol ugaral osdosge ner ador esdet e ns i ónde28Ve ns e r i ec onl asr a ma sACyABquel l e ga na lnud oA,t alco mos emue s t r ae nl a

Fi gur a1. 81a .Enl ar amaABque da ndee s t emododosge ne r a dor e sdet ens i óne ns e r i ede28Vy4Vque

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   81

Figura 1.80   Traslación de g generadores eneradores ideales de tensión

puedens ust i t ui r s eporun ng gener adorequi val ent edet ens i ónde32 2V V,queales t arens er i econl ar es i s t enci a de2ohmi os ,s et r ans f or maenungene r a dordecor r i ent edeval ori % 3 2 / 2%16At a lcomos emue s t r aen  s l aFi gur a1. 81b.Alapl i ca relmé mét odod odel osnudosaes t eci r cui t o,t omandoelnudo oi i nf er i orAz Dc omo r ef er enci adet ensi ones ,dal ugaral ass i gui ent esecuaci ones :

NudoC: 6%.

1 1 1 1 U B. U C ! ! 5 2 6 5

A B 1 1 1 U  U  5 A 1 5B

NudoB: .16%

B!

!

C

Figura 1.81   Ejempl Ejemplo o de aplicación 1.12 uti utilizando lizando la traslación traslación de generadores de tensión

ques i mpl i f i cando os s econvi er t enen: 13 1 B .1 6 15U  . 5U C 6 1 6%. U B! U C %

5

B

5

C

 

8 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

cuyosr es ul t adoss on:U B%.18V;U C% 2V.Porconsi gui ent e,l acor r i ent equeci r cul aporl ar es i s t enci a de6ohmi osdel aFi gur a1. 81,vade lnudoi nf er i ora ls upe r i oryva l e( U D. U B) / 6% 1 8 / 3% 6A,porl o 2 2  P % RI  % 6· quel apot enci adi s i padaenes t ar es i s t enci a( queesl apr egunt adelpr obl ema)es 3% 54W W, , quecoi nci deconelr es ul t adoobt eni do oe enelEj empl odeApl i ca ci ón n1 1. 12.

1.14.  Principio de superposición Es t epr i nci pi oque es s eapl i caar ede sl i neal est i ene ep porobj et oca l cul arl ar es pues t aen nu un el ement odeun nc ci r cui t o,cuando oe exi s t envar i asf uent esydi cel os i gui ent e:  La respuesta de un circuito lineal, a varias fuentes de excitación actuando simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas que se obtendrían cuando actuase cada una de ellas por separado.

Lapr ueba ad dees t et eor emapuedees t abl ec er s edi r ec t ament eporun na aná l i s i spormal l as ( ot ambi énnudos )deunc i r cu i t oypar aver l omáscl ar ament es evaacons i de r arl ar eddel a Fi gur a1. 82.Lasec uaci onesdel asmal l ass on:  Z   Z 1! Z 3) u s1% ( i1. Z 3i2% Z 11i1! Z 12i2 u s2%. Z 3i1! (  Z   Z 2! Z 3) i2% Z 21i1! Z 22i2

dedondes ededuc eque,porej empl o,l acor r i ent ei1v a l e : i1%

B11 B21  s1! B B  s2 v

v

Figura 1.82   Aplicació Aplicación n del principio principio de superposición superposición

dondeB11yB21i ndi ca nl osmenor esa dj unt osdel ama t r i zdei mpeda nc i asyBeldet er mi na nt edel ami s ma,t odosel l oss onf nf unci onesdel asi mpeda nci asdel ar ed.Enge ner alpar a unar edden mal l as ,l acor r i ent eenuna am mal l agenér i ca j t i ene el l af or mas i gui ent e: i  j  j %

B2  j B  j1  s1! B B v

v  s2! ñ

!

Bnj B

v  sn

i der ar s e,comol as um ma al i nea lden component esdecor r i ent e, e on se cu e nci ai  j puedecons dn ec l a f o r m a : n

B

i  j  j % ; k %1

kj

B u sk 

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   83

ques onde bi da sac a dage ner a dordet e ns i óndema l l au sk  ac t uandoi oi ndependi ent ement ede l a sot r a sf uent es .Debehac er s enot arquepa r aquedej edeac t uarun generador de tensión , debeanul ar s es ut ens i ón( u s % 0 ) ,esdeci r  se debe cortocircuitar ;mi ent r asquepar aanul ar  se debe dejar abierto . un generador de corriente ( i s % 0) Ot r oas pec t oat ene renc ncue nt at ambi éne ne sque,alapl i c ars uper pos i ci ón,l apot enc i a di s i padaenunar es i s t enc i anop opuedeca l cul ar s es um ma andol a spot en ci asdebi da sal oscomponent esi ndi vi dual esdec ecor r i ent e,s i noq oquedebec ecal cul ar s epr evi ament el acor r i ent et ot al ypr ocede rdes puésalcá l cul ode  P .Pore j empl os ii ñei ñ s onl ascom mp ponent esi ndi vi dual es , ñ l ac or r i e nt et ot a le si % i ñ ! iñ ñ ( s um ma aal gebr ai ca)yl apot enci adi s i padaval e: 2  P % R( iñ ! iñ ñ )

yesuner r orponerl aexpr es i ón nd del apot en ci aas í : 2 2  P ñ % R( iñ ) ! R( iñ ñ )

l aj us t i f i ca ci óndel aant er i oress i mpl e,yaq aque el l apot enci aesuna af f unci ón nc cua dr át i cayno unaf af unci ón nl l i neal .Engener al ,l ar es ol uci ón nd deu eun nc ci r cui t oel éct r i co op porelpr i nci pi ode s upe r pos i ci ón ne esun np pr oce di mi ent opes i mi s t a,yaque ee esbas t a nt el ent ocompar adoc ocon ne e l anál i s i sdemal l asonudos.Sin embargo cuando se tiene una red excitada con generadores de diferentes frecuencias,constituye el único procedimiento v álido para determinar la res puesta del circuito.

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.13

Ca l c u l a rl ac o r r i e n t ei quec eci r cul aporl ar es i s t enc i ade e3 30L delci r cui t ode el l aFi gur a1. 83a 3apl i ca ndoe oel t e or emades uper posi ci ón.

Figura 1.83   Ejemplo de apli aplicación cación 1.13

So l uc i ón

Elci r cui t odel aFi gur a1. 83e 3esequi val ent eal as um ma adel osci r cui t osa,b yc del aFi gur a1. 84;en nc ca da unod ode ee es t osci r cui t oss ol oapar eceun ng gener ador ,habi endo os s ust i t ui do ol l asot r asf uent espors us«impedancias internas»( esdeci rcor t oci r cui t opar aelgener adorde et t ens i ón ny yci r cui t oabi er t opar aelgener adorde

cor r i ent e) .Vamosar es ol verca dauno od dees t osci r cui t osdel aFi gur a1. 84.

 

8 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Figura 1.84   Circuitos equiv equivalentes alentes para aplicar aplicar el teorema de superposició superposición n

Lasr es i s t enci asde2 e20Ly30Les t án ne en np par al el or es ul t ando ou un nv val orequi val ent e: 30·20 %1 2L 30! 20 l ue go ol l ac or r i ent eques um mi i ni s t r aelgene r adorde32 2V Ves :  R %

32 % i 20! 12 1A Teni endo oe encuent al ar egl adeldi vi s orde ec cor r i ent e( 1. 82) ,l ai nt ensi dadia esi guala: 1 30 2   20 Y  A % %1 ·   ia % 1· ii % iT  i 1 1 20! 30 5 Y TT   ! 30 20 Def or maaná l oga aa alca s oant er i or ,l asr es i s t enc i asde20L yde30Les t án ne enpar al el o, da ndo ol l ugarauna ar r es i s t enc i aequi val ent ede12L,porl oquel acor r i ent eques um mi i ni s t r aelgene r adorde 64Ve s : 64 % % 2A i s2  s2 20! 12 %  s1  s1

ú

Lacorr i ent eib delci r cui t oesporl ot ant o:

1 30 4   20 % %2 A ib % 2· · 1 1 20! 30 5 ! 30 20 Last r esr es i s t enci ases t án ne enpar al el oyl acor r i ent et ot alval e4Aques um mi i ni s t r aelgener adordecor r i ent e.Deac uer do oc con nl l ar egl agener aldeldi vi s ordecor r i ent e( 1. 82)s et i ene: 1 30 1 Y  % 4 % 1A   ic % 4 ii % iT  i 1 1 1 Y TT   4 ! ! 30 20 20 ú

Enconsec uenci a,l acor r i ent et ot ali delci r cui t odel aFi gur a1. 83esi guala: 2 4 i % i ! i ! i % ! ! 1% 2, 2A

a

b

c

5 5

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   85

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.14: Superposición con fuentes dependientes

Cal cul arl apot enci ael éct r i cadi s i pada ae en nl l ar es i s t enci ade e3 3Ldelci r cui t odel aFi gur a1. 85a 5apl i ca ndoe oel pr i nci pi ode es s uper posi ci ón.

Figura 1.85   Ejemplo de apli aplicación cación 1.14

So l uc i ón

Cua ndos et i e ne nr e de sc onf ue nt esde pe ndi e nt e s ,

de bi endof i gur a ren

c adauno od del osci r cui t ose nl osques edes dobl al ar e d.Lar az ónd ndeel l oesquel asf ue nt esdepe ndi ent e s , pors upr opi anat ur al eza,dependen nd del at ensi ón no ocor r i ent edeal gunapar t edelci r cui t o.Porconsi gui ent e, l ar es ol uci ón nd delci r cui t odel aFi gur a1. 85 5p pors uper pos i ci ón nr r equi er ecal cul arl osdosci r cui t osdel aFi gur a1. 86.Enambosci r cui t oss i empr es ei ncl uyel af uent edepe ndi e nt eyúni ca ment eun ng gener adori ndependi e nt e.Par aelci r cui t odel aFi gur a1. 86as et i enel as i gui ent eecua ci ón nd demal l a: 3! 1) i1 12. 2i1% (

  ú

  i1% 2A

Par aelci r cui t ode el l aFi gur a1. 86b,l aec uac i ón nd del amal l adel ai zqui er daes : i2! 6) .2 i2% 1i2! 3(

ú

  i2%.3A

Figura 1.86   Circuitos eq equivalentes uivalentes de la Figura 1.85 1.85

Encons ec uenci a,l acor r i ent eque ec ci r cul aporl ar es i s t enc i ade e3 3L del aFi gur a1. 85d 5deac ue r do oc c on nl l a Fi gur a1. 86 6v val e: .3! 6 )% 5A ia % i1! ( i2! 6)% 2! (

yporconsi gui ent el apot enci adi s i padae aen ne es t ar es i st enci aes :

 P % 3i 2% 3· 52% 75W

 

8 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

1.15.  Teoremas de Thévenin y Norton Cua ndoe li nt e r ése neles t udi odeunar e ds ef i j aenunapa r t edel ami s ma,po re j e mpl oe n unar ama,esi nt er es ant epoders epa r ares t ar amadelr es t odel ar edpar anot ene rquer es ol ve re lci r cui t ocompl et oca dav avezque es s emodi f i ca nl ospa r áme t r osdeaque l l a.Lost eor emasdeThéveni nyNor t oncons t i t uyendospr ocedi mi ent ospar as us t i t ui relr es t odel ar edy ha ce rmáss i mpl eelcál cul odet ens i onesycor r i en t es ,en nl l ar amaques edes eaes t udi arde unm nmodo oe es pec í f i co. Cons i dé r e s epore j e mpl ol ar ed dd de el l aFi gur a1. 87a ,e nl aque es s ede s e ac al c ul a rúni c ament el acor r i ent ei R   que ep pas aporl rl ar es i s t enc i a R,pa r adi ve r s os sv va l or e sde el l ami s ma . Tr an s f or mando oe elgener adordecor r i en t er ea lat e ns i óns ns eobt i eneunar ed dc condosmal l as ( Fi gur a1. 87b)ques epueder es ol verporelm mé ét odo od del ascor r i ent esdemal l a,da ndol ol ugar al asecuaci oness i gui ent es : 10% 8i1. 4i R 6! R) i R 6%.4i1! ( .1

Figura 1.87   Deducció Deducción n del Teorema Teorema de Thévenin Thévenin

Yc a l c ul andoe lva l ordei R apl i ca ndo ol l ar egl adeCr amer ,seobt i ene :

i R %

G G 88  R 32 8 G G 8 10 6 .4 1 8   .4 .4 6! R

%

.

!

%

1 .1 4! R

l aec uaci ón na ant er i ornosdauna ae expr es i ón ns s i mpl epar aca l cul arelval ordel acor r i ent eque a t r a vi e s a al l ar e s i s t e nc i a R pa r acua l qui erval ordel ami s ma.Enl aFi gur a1. 87cs ehar epr es ent adoun nc ci r cui t oel éct r i coac t i vo oq queobedec eal aec uac i ón( n( 1. 137)yqueesmáss i mpl e quee eelc i r c ui t oor i gi na lde el l aFi gur a1. 87a .Ambosci r c ui t osda ne lmi s mova l orpa r al a c o r r i e n t ei R.Lapar t er ec uadr adadelci r cui t odel aFi gur a1. 87c cc cons t i t ui dap aporun ng gener a-

dordet ens i ón nm másunar e s i s t enc i a( enge ner alunai mpeda nci a)e ns er i es edenomi naequiv alente de Thé v enin del ar eddel aFi gur a1. 87a,excl uyendo ol l ar es i s t enc i adeca r ga R.

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   87

León nT Théveni n,un ni i ngeni er odet el égr af osf r anc és ,expr es ól oant er i oren1883 3e en nf f or madet e or e ma( Te or emadeThé ve ni n)da ndoe len unc i a dos os i gui e nt e : Cualquier red lineal, compuesta de elementos pasivos y activos (independientes o de pendientes)  pendiente s) (Figura 1.88a) se puede sustituir (desde el punto de vista de sus terminales externos AB) por un generador de tensión   Th  denominado generador de Thévenin, más una impedancia en serie   Th .

Figura 1.88   Sustitució Sustitución n de una red lineal por el el teorema de Thévenin

Enl aFi gur a1. 88b bs s emue s t r ae lc i r c ui t oeq ui val e nt ede eT Thé ve ni ndel ared dipolo del a F g ur ac 1 . 8 8 a .t S iam bas r e d e s h a n d ee s e r e q u i v al e n t e s d e e n d ar l o s i s m o s v a l or e s d e t e n si ó n ny y o r r i e n e un i m p d a n c i a d c a r g a  Z  E s t á c l ab r o qu e ep p a r am ca l c u l a r l o s v a l o r es d e  L. U Thy Z Ths enece s i t af i j ardoscondi ci oneses pecí f i ca senelval orde Z  L,l asmá ss i mpl e s s on ne el egi r  Z   LL % ä y Z  L % 0.Elhacer  Z  L % ä s i gni f i caf í si cament edesconect arl ai mpedanc i adeca r gadelci r cui t o.Enes t as i t uac i óne nelci r cui t odel aFi gur a1. 88ada al l ugarauna t ens i ón ne en nv vací ooenc nci r cui t oabi er t oU 0coni % 0,quedebes eri dént i caal adelci r cui t o equi val ent ede el l aFi gur a1. 88b;en ne es t eci r cui t os ii % 0,s eobt i e ne eu una at t e ns i óne nent r el os t e r mi na l e sABi gua laU Th,yaquel at ens i óne ne nl ai mpe da nc i a Z Thc oni % 0esnul a .Por c o n s i g u i e n t e :  El valor de   Th de la red equivalente es igual a la magnitud    0  de la red lineal que se obtien obt ienee entre entre los term termina inales les de sa salida lida AB al desco descone necta ctarr la carga carga y dejar dejar el circui circuito to abierto.

Siahor as eel i ge Z  L % 0,quer epr es ent auncor t oci r cui t oent r el ost er mi nal esext er nosy de nomi na mosicortol acor r i ent equeci r cul apores t ecor t oci r cui t or eal i zado oe ent r el ost er mi nal esext er nosABdelci r cui t odel aFi gur a1. 88a,sedebeobt ene rl ami s macor r i ent eicort o pa r aelci r cui t odel aFi gur a1. 88b,cuandos et oma Z  L % 0,porl oquer es ul t a: U Th icort % o  Z Th

dedondes eobt i e nee lva l orde Z Th:  Z Th%

U Th icorto

esdec i r:  

Th

 El valor de   se obtiene como cociente entre la tensión que da la red en vacío 0 %   Th  y la corriente de cortocircuito   corto .

Sil osgener ador esdel el ar ed dl l i neal( Fi gur a1. 88a)s on nt t odosi ndependi ent es ,elcál cul o

de Z The smá ss i mpl equee le xpr e s adoen( 1. 139)yrepresenta el  v alor de la imped impedancia ancia que se obser v a entre los terminales A y B de salida cuando se anulan los generadores

 

8 8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

internos de la red  ( internos esdeci rs ecor t oci r cui t an nl l osgene r ador esdet et ens i ón ny ys eabr e nl osde cor r i ent e) .Téngas eencuent aques is eanul anl osgener ador esdel ar ed,alno oe exi s t i rf uent e sdeexc i t ac i ón,l at ens i ónequi val ent edeThéveni ndebes eri gualace r o,ys egún ne e lci r cui t odel aFi gur a1. 88b,alanul arU Thl ai mpedanc i aques eobs er vaent r el ost er mi nal esA yB( qui t andopors upues t ol aca r ga)coi nc i decon Z Th.Cuandol ar edl i nea lcont i enegener ador esdepe ndi en t eses t osnos os epuede nanul aryaques usampl i t udesdepe ndendeal guna var i abl edet ens i ón no ocor r i ent edel ar edyporel l ol adet er mi naci ón Z Thdeber eal i zar s ede acuer do oc conl adef i ni ci óngener al( 1. 139) .Enes t ecas oesf r ecuent eencont r arval or esnegat i vospar al ai mpedanc i adeThéveni n,que en no ot t i enes ent i do of f í s i co op per os ímat emát i co. Elt eor e made eT Thé ve ni nt i e neunave r s i ón nd dua lquee se lt e or e madeNor t on.Enes t e ca s ol ar edl i nea ldel aFi gur a1. 89as epuedes us t i t ui rporun ng gener adordecor r i ent ei N  e n par al el ocon nu una ai i mpeda nci a Z  N  ( Fi gur a1. 89b) . Endef i ni t i va ae es t aequi val enci ar epr es ent a,alcompar arl asFi gur as1. 88b by y1. 89b,l a s us t i t uci ón nd deung ngene r adordet ens i ón np porot r odec ecor r i ent e.As íobs er vamosques edebe c u mp mp l i r : U  i N  % Th% icorto   ; Z  N  % Z Th  Z Th

Figura 1.89   Sustitución de un una a red lineal por el teorema de Norton

quenosi ndi caqueelgene r adordec or r i e nt edeNor t on ne esi gualal acor r i ent edecor t oci r cui t oque es s eobt i eneen nl l ar edl i nea lalj unt ars ust er mi nal es(   Z  Z  L % 0)yq yquel ai mpe da nc i a d e eN N o r t o ne e sl e l c o c i e n t e e nt r eT l a e n s i ó n ne e n nv v a c í o y a or r i e n t e d e ec c o r t o c i r c u i t oa d e el a r e d ( a l i g u a ln qu el e a i m p e d a n c i a d e ht é v e n i n ) . E l t r a b a j ol d ec N o r t o n nf f u e p u b l i c a d o5 o 5 0 0a ñ ol s d e s pué squee ldeThé ve ni n.Tambi é ns edi c equee lgr anf í s i c oa l e mánH.S.F.He l mhol t z ( 17821894)de mos t r óunc a s oe s pe ci a lde lt e or e madeThé ve ni ne n1853. EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.15

Demos t r arqueelci r cui t odel aFi gur a1. 87cr epr es ent aelci r cui t oequi val ent edeThéveni ndel ar eddel a Fi gur a1. 87a. So l uc i ón

Enl aFi gur a1. 90a as s emues t r aelci r c ui t opa r ac al cul a rl aU Th.Seha ad des conec t ado ol l ar es i s t enc i a R que t ando os s i ncar gaelci r cui t o.Enl ar eddel aFi gur a1. 90a, h a b í a e n t r eAyB,yde be mosc al cul a rU AB% U 0es s e t i e n e : 10

i1

4! 4

1, 25A

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   89

Figura 1.90   Ejemplo de apli aplicación cación 1.15

yl at e ns i ón ne e nva c í oent r eAyB,s i gui endoe lca mi noACDEFB Bs s er á: U AB% U 0% U Th% 4i1. 2· 8% 5. 16%.11V

quei ndi caquee lbor neBeselt e r mi na lpos i t i vode lgene r ad ordeThé ve ni n,comoas ís ec ompr ue bae nl a Fi gur a1. 87c.Par acal cul arl ai mpedanci a( enes t eca s or es i s t enci a)de eT Théveni n,s edeben nc cor t oci r cui t ar l osgene r ador esde et t ens i ón ny yabr i rl osde ec cor r i ent e( esdec i rdebe ed dej ar s el ared desexcitada,l oques i gni f i caanul arl osgener ador es ) ;elci r cui t or es ul t ant es emuest r aenl aFi gur a1. 90b.Lai mpedanci aval e:  Z % 4  4! 2%

4· 4 !2 % 4L 4! 4

va l orques econf i r maenl aFi gur a1. 87c.

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.16

Ca l c u l a rl ac or r i e nt ei delci r c ui t odel aFi gur a1. 91a 1apl i cando oe e lt eor emade eT Théve ni n.

Figura 1.91   Circuito del ejem ejemplo plo de aplica aplicación ción 1.16 So l uc i ón

U 

Dej ando oe elci r cui t oabi er t o,s eobt i enel ar eddel aFi gur a1. 92,dondes edebedet er mi narU AB.Apl i cando elt eor emadel asmal l as ,re s ul t a:

64. 32% ( 20! 20)  I 1. 20  I 2   ;con I 2% 4A

 

9 0   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

dedondes eobt i ene : 32% 40  I 1. 80 %

  ú

  I 1%

112 %2 , 8A 40

%

a l e : porl oqueU AB U 0 U Thv

U AB% 20  I 1. ( .3 2)% 88V

Figura 1.92   Circuito equivalente de la la Figura 1.91 para el cál cálculo culo de U Th  Z 

 Primer procedimiento: procedimiento:

Alcor t oci r cui t arl ost er mi nal esABs eobt i eneelci r cui t odel aFi gur a1. 93,que er r es ol vi endo op pormal l asda l ugaral assi gui ent esecuaci ones : 32% 20  I 1 .6 4% 20  I 2. 20  I 3

 I 3%.4

2A,dedondes ede duc e : 6A;  I 2%.7, Ys eobt i enen nl l oss i gui ent esr es ul t ados :  I 1% 1,  I AB% I corto% I 1. I 2% 8, 8A

enconse cuenci a,l ai mpedanci a Z Thv a l e : U  88  Z Th% 0 % % 10L  I cort 8, 8 o

Figura 1.93   Circuito equiva equivalente lente de la Figura 1.91 para el cálcu cálculo lo de la Z Th

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   91

Segundo procedimiento: Alno oe exi s t i rf uent esdependi ent es ,sepuedens ust i t ui rl osgener ador espors usi mpedanci asi nt er nas,l oque dal ugaralci r cui t odel aFi gur a1. 94,enelques eobs er vaque el l asr es i s t enc i asde20Les t án ne en np par al el o, r e s u l t a ndounar e s i s t e nc i at ot a l :  R1  R2 20·20 %

1!

 R  R quecoi nci de ec con ne elval orcal cul ado oa ant es . T 

 R

%

2

!

%

20 20 10L

Figura 1.94   Circuito e equivalente quivalente de la Figura 1.91 para el cálcu cálculo lo directo de Z Th i 

Elci r cu i t oar e s ol ve rese li ndi c ad oen nl l aFi gur a1. 95,en ne e lques ehas eña l a do oc c on nu un nr r e cu a dr ol ar e d equi val ent edeThéveni n.Lacor r i ent ei,t i ene ee elsi gui ent eval or: 88 %2 , 2A i% 10! 30

Figura 1.95   Circuito equiv equivalente alente de Thévenin Thévenin de la Figura 1.91

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.17: Thévenin con fuentes dependientes

Enelci r cui t ode el l aFi gur a1. 96,cal cul arl acor r i ent ei R queci r cul aporl ar es i s t enci adecar ga R a p l i c a n d o a )elm mé ét odo od del asmal l as ,b)t eo r emadeThé ve ni n.

Figura 1.96   Circuito del ejem ejemplo plo de aplica aplicación ción 1.17

 

9 2   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

So l uc i ón

a )De nomi na ndoia % i1eib % i R al ascor r i ent esdemal l ayu s l at ens i ón ne enl osbor nesdelgene r adorde cor r i ent ede el l aFi gur a1. 96,s epuedenes cr i bi rl ass i gui ent esecuaci ones : %

  .u s i1 M l a 1 Ma al l l aab: :   u s ! 3i1 % Ri R Condi ci ón ng gene r adordecor r i ent e: 6% i R . i1

dedon des ede duc e : i R %

.1 2 .2! R

b)E )Enl aFi gur a1. 97a,semues t r aelci r cui t opar acal cul arl aU Th.Seobs e r vaquei1%.6A,porl oqu e l ad. d. p.envac í oent r el ost er mi nal esAyBval e: U AB% U Th% 3i1. 1· i1% 2i1%.12V

Figura 1.97   Circuitos eq equivalentes uivalentes de la Figura 1.96 1.96

Enl aFi gur a1. 97bs bs ehaef ec t uadoun nc c or t oc i r cui t oe nt r eAyB.Alr es ol verpormal l asr es ul t a : Ma l l a1:   .u s % 1i1 Ma l l a2:   u s ! 3i1% 0 Cond i ci ón: 6% icorto. i1 i gui e nt e,deac uer doc ocon( 1. 139)s et i en eunai mpeda nci a dedondes ede ducei1% 0;icorto% 6A,porcons deThév eni n:  Z Th%

U Th .12   %.2L % icort 6 o

es t ácl ar oqueelval orant er i ort i enemáss ent i do om mat emát i coquef í s i co.Debequedarcl ar oquealcal cul ar es ecoc i ent es ede bet om ma arU Thent r eAyB,y yl l ai nt ens i da ddec or t oc omoc or r i e nt equevadeAaB.De es t emodo oe elval ordel acor r i ent eenl ar es i s t enci a R s e r í ai gua l : U Th

.1 2

% i R %  Z Th! R .2! R

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   93

quecoi nci deconelva l orca l cul adoporelmé mét ododel asmal l as .Convi e nequeell e ct ors edéc uent aqueal exi s t i rgener ador esdependi ent esno op puedecal cul arl a Z Thcomoi mpeda nc i aques eobs e r vae nt r et er mi nal e salanul arl osgener ador esi nt er nos.Uncál cul os i mpl epar al ar eddel aFi gur a1. 96,l el l evar áaunval or ( enca s odepr oce derer r ónea ment e)de Z Th% 1L,quenoeselcor r ec t o.Ot r oas pec t oacons i der aresque c uando ol l ar ed dl l i ne alcont i e ne eg gene r a dor esdepe ndi ent esde el l ai nt e ns i dad dd de el l aca r ga a( ( pore j empl o,en ne el os s epuedeca l cul arelci r cui t o c as odel aFi gur a1. 96q 6quee lge ne r adordet e ns i ón ns s e adel af or ma:3i R)no equi val ent ede eT Théve ni n,por que el l aca r ga ae es t áí nt i mament el i gada aa algener ador ,yaldej ar l ae nci r cui t o abi er t ooc or t oc i r cui t oes t ámodi f i ca ndoe oelval orde ea aque l .Esdec i r ,par aque ee exi s t aun ne equi val ent ede Théve ni n,l aca r ganopuedei nt er ac ci onar«directamente »conl osgener ador esdependi ent es .

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.18: Transferencia máxima de potencia

Enl aFi gur a1. 98s 8s emues t r aelci r c ui t oequi val ent edeThéveni ndeunar edl i nea l .Cal cul arelval ordel a r e s i s t e nc i adec a r g a R L enf unci óndel ospar ámet r osdel ar ed,pa r aques et r ans f i er al amáxi mapot enc i aa es t acar ga.

Figura 1.98   Circuito del ejem ejemplo plo de aplica aplicación ción 1.18

So l uc i ón

Lacorr i ent e I queci r cul aporl ac ar gadel aFi gur a1. 98 8v val e: U Th  I %  RTh! R L

quecor r es pondeaunapot e nci acons umi daen R L:  P  L % R  I 

U 2 Th  R L 2 (  R  RTh! R L)

2 %  L

l acondi c i ón nd demáxi mos eobt i eneali gual arace r ol ader i vadade P  L r es pect ode R L ,l oquedal uga ra : dP  L

%

U 

2 .2  R L(  R  RTh! R L) (  R  RTh! R L)

2 Th

! Th

4

 

%

U 2 Th

 RTh. R L ! Th

3%

 R  R  R  R  R L)  R L) dR L ( ( dedon des ede duc equede becumpl i r s epa r aunai mpe da nc i adec ar gadeva l or :

0

 R L % RTh

 

9 4   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

ell e ct orpuedecompr obarquee lval ordel as e gundader i vadapar a R L % RTh es : d 2  P  L dR L2

U 2 Th a0 %. 8  R3 Th  RTh

CD  R L%

 L % Th  R  Rl en s d e c i r c ua n d o ol l a r e s i s t e c i a el l a q u e c o n f i r m a q u e e l e x t r e m a l e s u n nm m á x i m o a b s o l u t o p a r a car gacoi nci deconl ar es i s t enci adelequi val ent edeThéveni n.En as, co d i c i o ne s a n t e r i o r e s s e dn i c e qd ue el a r edl i ne a l( al ac ua lsu s t i t uyee lequ i va l ent edeThé ve ni n)y yl l ac ar gaes t á n .Lapot e nc i amá xi ma des ar r ol l adaen nl l acar ga ae enes t ascondi ci onesval e:

U 2 Th (   P  P  L ) ma x%  RTh 4

aunosval or espr ef i j adosde RThyU Th. Sedebeadve r t i ra ll ec t orques ehadet er mi nadoelval orde R L par Nodebeconf undi r s ees t epr obl e maconeli nver s o,ene lques et i eneungene r ado rU Thconu nunar es i st enci a  R ens nser i e Thcuyov oval ors edes eadet er mi narpar as um mi i ni s t r arl amáxi mapot e nci aaunaca r gadeval orya i rcua ndo ol l a d e f i n i d o RL.Esobvi oquee ne s t as i t ua ci ón nl l apot e nc i as er ámá xi mac ua ndo RTh% 0,esdec r esi st enci aequi val ent ede eT Théveni nt engaunar es i st enci adespr eci abl e.

1.16.  Otros teoremas de circuitos Como mocompl ement oal at e or í adec eci r cui t ose se s t udi a da ae en ne es t eca pí t ul o,acont i nuac i óns ns e e xpone ndeunm nmodo os s i mpl i f i c ad ounas er i edet e or e ma s ,a l gunosdeel l osmuy yg ge né r i co s yot r os sq quet et i ene na pl i c ac i onesm smás se e s pec í f i ca s ,yque ef f ac i l i t an ne ele s t udi ode el l asr sr ede s e l é c t r i c a s .  1.16.1.

Teorema de sustitución

Supónga s eunar e da ct i va ,c omol aques emue s t r ae nl aFi gur a1. 99a,e nl aquee nuna r amacua l qui er adei mpeda nci a Z ,s et i eneuna ad d. d. p.u % Zi.Es t et e or emas eña l aques e puedes es us t i t ui res t ar amaporung ngener adori dea ldet et ens i ónu s i gua lenca dai ai ns t ant eal a d . d . p .u % Zi.LaFi gur a1. 99m 9mues t r adeun nm modo og gr áf i coes t aequi val enc i a.

Figura 1.99   Teorema de sustitución

Enpar t i cul ar ,sil ost er mi nal esAyBdel ar e des t ánabi er t os(   Z  Z i nf i ni t o) ,e xi s t eunad. d. p.

u0e nt r eAyB,y yn no oc c a mbi ae le s t a do od del ar e da ls us t i t ui rl at en s i ónu0porung nge ne r a dor u s % u0ydel ami s mapol a r i da d.

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   95

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.19

Enelci r cui t odel aFi gur a1. 100,es t ando oe eli nt er r upt orS a bi er t o,l ad. d. p.e nt r eAyBe sde270V.Ca l cu l a rapl i ca ndo oe elt eor emades us t i t uci ón ny yeldes uper pos i ci ón,elcambi oqueexper i ment al ad. d. p.enbor ne sdel ar es i s t enc i ade120L,a lc e r r a re li n t e r r u pt o rS .

Figura 1.100   Ejemplo de aplicació aplicación n 1.19

So l uc i ón

Deac uer do oc conelt eor emades ust i t uci ón,eli nt er r upt orabi er t odel aFi gur a1. 100s 0s epueder ee mpl aza rpor ungene r a dori dea ldet ens i ón nt t alcomos emues t r aenl aFi gur a1. 101a,s i nques emodi f i queelf unci onami ent odel ar ed.Lapol ar i daddees t egene r adorsehat omadoenc ons ona nci aconl apol ar i daddelgene r adoru s delci r cui t o.Lar es i s t enci ade e1 120L esr e c or r i da ap poruna ac c or r i en t eques ehade nomi na do I 1.Al c e r r a re li nt e r r upt orS ,l at ens i ón ne ent r es ust er mi nal esdebes ernul a.Par ar epr es ent ares t ehechoesneces ar i oi nc l ui runa af f ue nt ede e2 270 0V V en ns s e nt i do oc c ont r a r i o,l oquedal uga ra lc i r c ui t odel aFi gur a1. 101b.La nue vat at e ns i ónd nde2 e270 0V Vs es upe r pon eal osge ne r a dor esant er i or e sque et t i ene el l ar e d.Lac or r i e nt ee nl a r esi st enci ade120Ls ehade nomi na do oa a hor a I 2% I 1! i.

aplicación n 1.19 Figura 1.101   Ejemplo de aplicació

Elci r cui t odel aFi gur a1. 101b bs s epuedeobt ene rcomos uper posi ci ón nd delci r cui t oa)yelci r cui t oc) ;de es t emodo oe e nl aFi gur a1. 101cs eha as s e ña l a do ol l ac or r i ent ei quec eci r cul aporl ar es i s t enci ade120Lyque

 

9 6   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

r epr es ent aelca mbi oen nl l acor r i ent eque ev va aa aci r cul arpores t ar es i s t enc i a.Enes t eci r cui t oesi nm me edi at o o bt e n e rl ac o r r i e n t ei,cal cul andoprevi ament el acor r i ent ei1dee s t emodo: i1%.

270 %2 , 2A 90! 40/ / 180

  ú

40 40 %.2 4A , 2 %.0,   i %.i1 220 40! 180

porl oquel ad. d. p.ent r el ost er mi nal esCDdel aFi gur a1. 101cquee selca mbi oenl at ens i ónques uf r el a r esi st enci ade120Lcuandos eci er r aeli nt er r upt orS ,esi guala: U CD% 120· i % 120· .0 ( , 4 )%.48V

NOTA:Ell e c t orpue dec ompr oba rqueu s % 330V 0V,ydees t emodos eobt i ene nl ascor r i ent es :  I 1% 1, 5A; 4·120%.48V.En 1A porl oquel ac or r i e nt ei  va l e :i %!1, 1. 1, 5%.0, 4A yU CD%.0,  I 2% 1, de f i ni t i va al l oque es s uce de ee esque ec cua ndo oe eli nt er upt ores t áabi er t o,l ad. d. p.enbor nesde el l ar es i s t enc i ade 120Lesde180Vyc ua ndos eci e r r aS ,l ad. d. p.pas aava l er132 2V V,porl oques epr oduc eunar ed uc c i ón det e ns i ónde48V.

 1.16.2.

Teorema de reciprocidad

Sis et i eneunar edpas i va( s i ngene r ador es )comos ei ndi caenl aFi gur a1. 102ays eapl i ca e nunar a maABungener a doru s ys emi del acor r i ent e I e not r ar a maCD,e lr e s ul t a doe se l mi s mos is ei nt er cambi al aexci t ac i óny nyl ar es pues t a,esdeci r ,alapl i carung ngener adoru s a l ar amaCDpr oduci r áunacor r i ent e I  e nl ar a maAB.Enl aFi gur a1. 102s emue s t r adeun modogr áf i coelsi gni f i ca do od dees t et eor ema,queescons ecuenci anat ur aldel as i met r í adel det er mi nant edei mpedanci asdeunar ed dp pasi va,l i neal ,i nvar i ant eybi l at er al .

Figura 1.102   Teorema de reciprocidad reciprocidad

Sie nl aFi gur a1. 102,s es e ña l an nl l a sva r i ab l e sde ll a do oA AB de el l aen t r adaa aalci r c ui t o pa s i voconels ubí ndi ce1yl asvar i abl esdell adoCDdes a l i daporels ubí ndi ce2,elt eor emader e ci pr oci dads eexpr e s aengene r aldel af or mas i gui ent e: u1 u2 i2% i1

l oques ec um mp pl ees pe c í f i c ament ee ne le s que madel aFi gur a1. 102,als eru1% u2% u s e i1% i2% I .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   97

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.20

Enelci r cui t ode el l aFi gur a1. 103a,demos t r arquel acor r i ent e I CD del ar a maCD,de bi do oa a lgene r a dorde t e ns i ónu s % 300V,s i t ua doenl ar a maAB,esl ami s maquel ac or r i e nt e I AB e nl ar amaABdel aFi gur a 1. 103b,cua ndo oe elgene r adoru s % 300Vs ec ol oc ae ns e r i econl ar a maCD.

Figura 1.103   Ejemplo de aplicació aplicación n 1.20

So l uc i ón

a)Enelci r cui t odel aFi gur a1. 103a,siser es uel ve ep pormal l as ,dal ugaral asec uac i oness i gui ent es : 300% 130  I 1. 90  I 2  I 2 0%.90  I 1! 270 i rl acor r i ent e I CD% 1A.  I 2% 1A;esdec cuyosr es ul t adoss on:  I 1% 3A; b)Enelci r cui t odel aFi gur a1. 103b,s is er es uel ve ep pormal l as ,dal ugaral asecua ci oness i gui ent es : 0% 130  I a . 90  I b .3 00%.90  I a ! 270  I b cuyosr es ul t adoss on:  I a %.1A; 9A;esdec i rl acor r i ent e I AB%. I a % 1A,quec oi nc i decon  I 2%.13/ %

 I CD

1A,delci r cui t odel aFi gur a1. 103a,comoes t abl ec eelt eor emader ec i pr oci dad.

1.16.3. .3.  1.16

Teorema Teorema de Millman Millman

Es t et eo r e mape r mi t ec a l c ul arl ad. d. p.ent r edosnudosAyBde eu unar e d,c onoc i e ndol ol a s a dmi t a nc i asquel l eg a na lnudoA yl a st e ns i one sent r ee lnudo oB Byl osot r ose xt r e mosde l a sa dmi t a nc i a s .Sis econs i de r ae lci r c ui t odel el aFi gur a1. 104 ,e ne lqueA yBs on nd dos nud osdeu eunar e de ne lque ec c onf l uye nl a sa dmi t a nc i as ;Y 1,Y 2,Y 3,. . . ,Y n,ye ns usot r os ext r emoss et i enenr es pect i vament el osnudos1,2,3,. . . ,n,ys es uponeques ec ono ce nl a s t e n s i o n e s :U 1B,U 2B,U 3B, . . . ,U nB,e nt r ec adanudos e ña l a doye lnudo oB B,e nt onc e ss epue de n e s c r i bi rl a ss i gu i e nt e sr e l a c i one sdec or r i e nt e s : i1% Y 1( U AB. U 1B) ; i2% Y 2( U AB. U nB) U AB. U 2B) ; . . . ,in % Y n( ycomoqui e r aquee ne lnud oAs ec umpl ee lpr i me rl emadeKi r chh of f :

i1! i2! i3!

ñ

i

! n%

0

 

9 8   CI RCUI T OSEL ÉCT RI COS

Figura 1.104   Teorema de Millman Millman

alsus t i t ui r( 1. 147)en n( ( 1. 148)s eobt i ene: ( Y 1! Y 2! Y 3!

ñ

!

Y n) U AB. Y 1U 1B. Y 2U 2B. Y 3U 3B.

ñ

. Y nU nB% 0

dedon des ede duc e : n

; Y iU iB U AB% Y 1U 1B! Y 2U 2B! Y 3U 3B! ! Y nU nB% i Y 1! Y 2! Y 3! ! Y n ñ

ñ

%1

n

; Y i i%1

EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.21

Enelc i r c ui t ode el l aFi gur a1. 105,cal c ul a rl ad. d. p.ent r el os sn nudosA yB,a pl i ca ndo oe e lt eor e made Mi l l man.

Figura 1.105   Ejemplo de aplicació aplicación n 1.21

So l uc i ón

Par aapl i ca relt eor e madeMi l l ma nalci r cui t oant er i or ,s edebeobs er varquel asdosr amasdel ade r ec ha not i ene ngener adorens er i e,l oques i gni f i caquel at ens i ón nd del osmi s mosesce r o,dees t emodoalapl i ca r alci r cui t oant er i orl aexpr es i ón n( ( 1. 150)seobt i ene: 1 1 1 1 ! ! ! ; Y U  90·30 100· 30 60 0· 20 0· i 1 %7 % 0vol 0v t i os U AB% n 1 1 1 1 n

i

%

iB

; Y i i%1

!

!

!

30 20 60 70

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCT RI COS   99

 1.16.4.

Teorema de Tellegen

Esunt eor emagene r alder e des ,y ys s ui mpor t a nci as edebeaqueesvál i dop opar aci r cui t osque i nc l uya nt ant oel e ment os sa ac t i voscomopas i vos ,l i nea l esyno ol l i nea l esycon nf f ue nt esque var í enono oc conr es pec t oalt i empo.Es t agener al i dadesf r ut odeque,l aúni caexi genci adel t e or e mae sques ecu mpl anl osdosl e ma sdeKi r ch hof f .Par ae xpl i c a rs us i gni f i c ad odeun modos i mpl e,s upóngas eelci r c ui t odel aFi gur a1. 106,enelques ehans el ec ci onadounos s ent i dosder ef er enci asar bi t r ar i ospar at odasl ascor r i ent esder ama.Last ens i onesder ama cor r es pondi ent ess et oma mans ns i gui endoelcr i t er i or ecept or( esdeci r ,l ascor r i ent essedi r i gen de lt e r mi na lpos i t i vo oa a lne ga t i vo oe e nc adar a ma ) .Se es s e l ec c i ona ae e nt onc e sun nc co nj unt ode t e ns i one sder a mauk ,s i endol ol aúni caexi genci aque ee es t ast ens i oness at i s f agan ne els egundo l e madeKi r chhof f .Ac ont i nuac i ón ns s es el ec ci onaunc nconj unt odecor r i en t esder a maik  que s a t i s f aga nelpr i merl emadeKi r chhof f .Elt eor e madeTel l ege naf i r maquee nes t ascondi ci oness ecumpl e: r 

; uk ( t ) ik ( t )% 0 k %1

d n d e r e p r e s e n t a e l n ú m r o e er r a mt a s . S u p ó n s epore j empl oquee ee ne lc i r c ui t ode el l a Fo i g u r ar  1. 1 0 6 , e l e g i m o s l a se s i g ud i e nt e s e n s i o n e s :ga u1% 5V;u2% 3V;u3% 2V;u4% 4V;u5%.2V;u6%.7V

Figura 1.106   Aplicació Aplicación n del teorema de Tellegen Tellegen

quec umpl e ne ls egun do ol l e madeKi r chhof fe nl a smal l asa,b yc,comos ec ompr ue baa c o n t i n u a c i ó n : Mal l aa: .u1! u2. u3% 0 Mal l ab: .u3! u4! u5% 0 Mal l ac: ! u2!u4! u6% 0 Seel i genacont i nuaci ónunosval or esar bi t r ar i osdel ascor r i ent esder amaques at i s f ace nel pr i me rl emadeKi r chhof f ,porej empl o: i1% 2A;i2% 3A;i3% 1A;i4% 2A;i5%.3A;i6% 5A

quec umpl e ne lpr i me rl e madeKi r chhof fenl osnudosA,B By yC,comos ec ompr ue baa c o n t i n u a c i ó n :

 

1 0 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

NudoA: .i1. i2! i6% 0 NudoB: i2. i3. i4% 0 NudoC: i4. i5. i6% 0 Vea mosqueent once ss eve r i f i caelt e or emadeTel l ege n: 6

; uk ik  % 5· 2! 3· 3! 2· 1! 4· 2! ( )·( )! ( )·5% 0 .2 .3 .7 k %1

ell ect orpuedeel egi rdi ver s osval or esdet ens i onesycor r i ent es( s i empr equever i f i quenl os l e ma sdeKi r c hhof f )pa r ac ompr oba rques i empr es ec um mp pl ee lt e or e madeTe l l e ge n.Deb e des t ac ar s epar acompr enderl apr of undi dadd ddees t et eor ema,quel ael ec ci ón nd del ast ens i one syco r r i e nt e sder a mae stotalmente arbitraria,elúni cor or equi s i t oexi gi bl eesquever i f i que nl osl emasdeKi r ch hof f . Sis econs i der aahor auna ar r edel éct r i caar bi t r ar i acomp mpuest ade ee el ement osact i vosypas i voscon nv val or escual es qui er ays eresuel v el ar ed( pormal l as ,pornudosoporcua l qui er ot r opr ocedi mi ent o) ,par aobt enerf i nal ment el osv alores v erdaderos d el ast ensi onesuk ( t )y cor r i ent esder amaik ( t ) ,ent onceselpr oduct ouk ( t ) ik ( t )%   pk ( t ) ,esl a potencia instantánea instantá nea desarrollada e n c a d a ar r a m a e l c i r c u i t o yp aq ao q u e s e h a au t i l i z a d oe o e l c on v n i o d es e s i gnosde e l ement ospas i vo s , e sd e c i rd e r e c e p t o r )( y r e lt o r e mu a d e T e l l ge n s ee c u mp l e: r 

r 

t ) i k ( t )% ;  pk ( t )% 0 ; uk ( k %1

k %1

quer ef l ej aelpr i nci pi odeconse r vaci ónd ndel apot enc i a( endef i ni t i va ad deconse r vaci ónd ndel a ener gí a)enelci r cui t o.Sil ar eds edi vi deenel ement osgener ador esyenel ement osr ec ept or es ,l aecuac i ón na ant er i ors eñal aquel as uma madel el aspot enci asques um mi i ni s t r anl asf uent es esi guala al l as um ma adel aspot enc i asquea eabs or benl osr ec ept or es ,esdec i rque se cumple el  balance de potencias en el circuito . EJEMPLO DE APLICACIÓN  1.22

Elci r cui t ode el l aFi gur a1. 107,ese lmi s moquee lde el l aFi gur a1. 106,pe r oa quíya as s eha nas i gna dol ol os va l or esdel ospar ámet r osdelgener adorydel osel ement ospas i vos.Res ol veres t ar edporelm mé ét odo od del as cor r i ent esdemal l aycal cul arl osval or esr ea l esdel ast ens i onesycor r i ent esde er r amas eñal ados,com mp pr oba ndo oa ac ont i nua c i ón nq ques ec um mp pl ee lt e or e madeTe l l ege n.

Figura 1.107   Ejemplo de aplicació aplicación n 1.22

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   101 So l uc i ón

Alr es ol verl ar edporelm mé ét odo od del ascor r i ent esdemal l ai ndi ca dasenl aFi gur a1. 107,s eobt i ene : Ma l l aa: 100% 70  I a . 60  I b . 10  I c  I  ! 76  I  . 10  I  Ma l l ab: 0%.60 a b c Ma l l ac: 0%.10  I a . 10  I b ! 55  I c  I a % 6A;  I b % 5A;  I c % 2A. Cuyass ol uci oness on: Esporel l oquel ascor r es pondi ent escor r i ent esder amas eña l ada senl aFi gur a1. 107,s on:  I 6%. I c %.2A  I 5% I b % 5A;  I 4% I b . I c % 3A;  I 3% I a . I b % 1A;  I 2% I a . I c % 4A;  I 1%. I a %.6A;

yl ast ens i onesder amacor r es pondi ent es ,t e ni e ndo oe en nc cue nt aque ee e nl asr es i s t enc i ass ecumpl el al ey yd de Ohm,s on : 5% 30V; U 1% 100V;U 2% 10·4% 40V;U 3% 60·1% 60V;U 4% 10·3% 30V;U 5% 6· .2 )%.70V U 6% 35·( ydee s t emodos ec umpl e: 6

; uk ik  % 100·( .6 )! 40·4! 60·1! 30·3! 30·5! ( .7 0)·( .2 )% 0 k %1

quever i f i caelt eor emadeTel l egen.

í esusconoci mi ent os Ampl

t i eneapl i ca ci onesmásgener al esquel asqueaquíseha ns eña l ado.Siporej empl o s ec ons i de r an nd dosci r cu i t osco nelm mi i s mogr a f oyco nl osmi s moss en t i dosde er r e f er en c i aa s i gna dosal a s t e nsi onesycor r i ent esdeca dar ama,per ocondi f er ent esel ement osypar ámet r oscor r es pondi ent esencada c r c u i t o ( i n c l u s oc u n o op p ue d e et t en e r f ue n t e s sd de ec c o r r i e nt e c o n t i n u a ay e l ot r o f u e nt s sd dec ec or r i et n t es a l t e r na , oi t a m b i é n nc c a d a ac i r c u i t o p u e d e et t e ne r a m b os t i p o s d e ef f ue n t e s ) . S iy de n om i n a m o s ue a s e n i o n e s sy y 1 k  ei 1 k  l a st ens i onesycor r i ent e sde er r a madels e gundo,de et t al cor r i ent esde er r amadelpr i merci r cui t oyu2k  ei2k  l modoques at i s f aga nt odases t asvar i abl esl osl e ma sdeKi r chh of f ,ent once sdea cue r do oc cone lt eor e made Tel l egen,secumpl e: r 

r 

; u1k i2k  % 0 ; ; u2k i1k  % 0 k %1

k %1

l oc ua le ss or pr e nde nt e,por que el l os st t ér mi nosde el l a ss uma spue de ns e rmuy yd di s t i nt os ,a de má sa hor al os s um ma at or i osant er i or es( alt r at ar s edelpr oduct odel at ens i ón nd deuna ar r amadelpr i mer oporl acor r i ent edel a mi s mar amadelse gundo) ,yano ot t i enenelsi gni f i ca do oc conc r et odecons er vac i ón nd del apot enc i ai ns t ant áne a deun nc ci r cui t o.I ncl usos il asf uent esvar í ancon nr r es pec t oalt i empo os s ever i f i ca: r 

; uk ( t 2)% 0 ik ( t 1)

k %1

l oque es s i gni f i caque es s il ost i emposde eo obs er vac i ón n( ( mues t r eo)de el l ast ens i onesycor r i ent e sde er r amas on di s t i nt oss es i guever i f i cando oe elt eor emade eT Tel l egen.

 

1 0 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

1.17.   Cuadripolos Unc ua dr i pol oesun nc co nj unt odee ee l emen t ose l é c t r i c osque et t i e ne ec c ua t r obor ne sde ea ac ce s o ext er no( o( esdeci rdospuer t asopuer t os) .Losc scuadr i pol oss eusa npar at r ans mi t i ryf i l t r ar s e ña l e s ,c omoenl at é c ni c adel a scomuni ca c i one syt ambi é ncomomode l odel í ne a sde t r ans por t ede ee ener gí aenl nl at écni cade el l ael ec t r ot ecni a.Loscuadr i pol oss er epr es ent an np por unr e ct á ngul o,t alcomos emues t r aenl aFi gur a1. 108,enelquenoe sne ce s ar i oc onoce rs u e s t r uc t ur ai nt e r na .

Figura 1.108   Cuadripolo

Sielcuadr i pol ono ot t i enegener ador esens ui nt er i or ,s edi ceque ee esun nc cua dr i pol opas i vo,enc nca s ocont r a r i os ede nom mi i nacua dr i pol oa ct i vo.Lost er mi nal esdeent r adas ehans eña l a do oe e nl aFi gur a1. 108por1,1ñyl osdes al i dapor2,2ñ ;t ambi éns ns ei ndi canl asr ef er enci asdel ast ensi onesycor r i ent esu1,i1,u2ei2. Exi s t endi ver sa sf or masde er r el aci onarl asvar i abl esant er i or es ,s is eexpr es anl ast ensi onesapl i cadasenf nf unci ón nd del ascor r i ent es ,s et i enen nl l ass i gui ent esecuaci ones : u1% Z 11i1! Z 12i2 u2% Z 21i1! Z 22i2

donde Z 11,  Z 12,  Z 21 y Z 22 s on ne en ng gener ali mpedanc i asoper ac i onal es s( ( f unci ón nd deloper ador  D) ,yqueenelcas opar t i cul ardequel asvar i abl esnodependa ndelt i empo,set r ans f or manenr es i s t enc i as .Lasec uac i ones( 1. 160)s epuedenexpr es arenf or mamat r i ci al :

D   [u] [  Z Z ]·[i] C CDC D u1 u2

%

 Z 11   Z 12 i1  Z 21   Z 22 i2

ú

%

dond e[  Z   Z ]r e p r e s e nt al amatriz de impedancias del cuadripolo yqueene lc a s odes eña l e s queno ov var í enr es pect odelt i empo os s et r ans f or man ne enr es i s t enci as . Sienun nc cuadr i pol o,s eexpr es anl ascor r i ent esenf unci ón nd del ast ens i ones ,l asec uaci onescor r es pondi ent ess on: i1% Y 11u1! Y 12u2 i2% Y 21u1! Y 22u2 yquee nf or mama t r i ci a ls epue de npone r :

CD   [i] [Y ]·[u] DC D C i1 i2

%

Y 11   Y 12 u1 Y 21   Y 22 u2

%

ú

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   103

dond e[ Y ]r epr es ent al amatriz de admitancias del cuadripolo yquee ne lca s odes e ña l e s quenov ova r í e nr es pe c t ode lt i e mpo os s et r a ns f or man ne e nco nduc t a nc i a s .Se ep pue de ed de mos t r ar f áci l ment equel amat r i zdeadm mi i t anci asesl ai nver s adel amat r i zdei mpedanci as ,esdeci r : [ Y ]% [   Z  Z ]1 .

La sma t r i c es[  Z   Z ]e[ Y ]son simétricas para un cuadripolo pasi v o,yes t as i met r í aesl ae xpr es i ón nd del  principio de reciprocidad ,co mos ec ompr oba r áde s pué s . La sec uac i onesde eu unc ncua dr i pol opuede nr el a ci onart ambi énl nl at en s i ón ny ycor r i ent ede ent r ada,con nl l at ensi ón ny ycor r i ent ede es s al i da,medi ant el ass i gui ent esexpr es i ones : u1% Au2! B( .i2) .i2) i1% Cu2! D(

oenf or mamat r i ci al : u1 i1

%

 A B

u2

C D

.i2

ú

CDC D CD

%

T ]   [

 A B C D

CD

dondel ama t r i z[ T ]s ede nomi namatriz de transmisión del cuadripolo.Lar a zóndels i gno menosenl acor r i ent ei2eshi s t ór i cays edebe ea alse nt i do oq qued edebet eneres t acor r i ent epar a ques et r ans f i er aener gí adel aent r adaal as al i da.Endef i ni t i vaqui er edeci rquel acor r i ent e r ea lt i enes ent i do oc cont r ar i oalques es emues t r aenl aFi gur a1. 108. Lasr el aci onesi nver s asal asant er i or ess on:

CD CDC D u2 .i2

%

 Añ  B ñ u1 C ñ D ñ i1

ú

  [ T ñ ]%

CD  Añ  B ñ C ñ D ñ

dond e[ T ñ ]e sl ama t r i zi nve r s ade[ T ] . Todosl ost ér mi noscont eni dosenl asmat r i ce sdei mpedanci a,admi t anci ayt r ans mi s i ón de pende ndel osel eme nt osi nt er nosquecons t i t uyen ne elcuadr i pol oys epuede ndet er mi nar ef ec t uandom omedi dasenelmi s moat r avé sdes ust er mi nal esext er nos .Par ael l os er ea l i za n dosens ayos:vací oycor t oci r cui t o.

a) Ensayo de vacío Sis eal i ment aelcua dr i pol oporuna af f uent edet et ens i ón ne ext er naa aapl i ca daa aal ost er mi nal es 1y1ñys ede j anl ost er mi na l e s2y2ñenc nci r cui t oabi er t o( l oqueequi val eahac eri2% 0) , almedi rcond ndosvol t í met r osl ast ens i onesu1yu2r e s pect i vament e,y yc con nu un na amper í met r o l acor r i ent ede ee ent r adai1,t alc omos emue s t r ae ne le s que madel aFi gur a1. 109,a ls us t i t ui res t asmedi dasen nl l asec uaci ones( 1. 160) ,( 1. 162)y( 1. 166) ,s eobt i enen nl l oss i gui ent es r e s u l t a d o s :

u1 i1 i2

CD

 Z 11   ;

% %0

u1 u2 i2

CD

 A   ;

% %0

u2 i1 i 2

CD

 Z 21   ;

% %0

i1 u2 i2

CD

% %0

1 C %  Z 21

 

1 0 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Figura 1.109   Ensayo en vacío de un cuadripolo cuadripolo

Sielens ayodevací os ehacealcont r ar i o,esdec i ral i ment andoporl ost er mi nal es2y2ñ de j a ndo1y1ñenci r cui t oabi er t o,deun nm modos i mi l aralant er i or ,s eobt i enenl oss i gui ent es r e s u l t a d o s : u 1 i2 u1 % Z  ; 2 % % Z 1 2 ; i2 i1 0 22 u1 i1 0  Z 12 i2 i1 0

CD

CD

CD

%

%

%

s is ecompar anl asexpr es i onest e r c er ade( 1. 168)ypr i mer ade( 1. 169)s eobs er vaque : u2 i1 i

CD

 Z 21   ;

% %0

u1 i2 i

CD  Z 

2

%

1 2

%0

1

s is ecumpl eque Z 21e si guala Z 12,s i gni f i caquel asexpr es i ones( 1. 170)quedef i nen ne es t os pa r áme t r oss on ni i gual es ,que ee esen nd def i ni t i va al l oque ep pr ocl amae lt e or emade er r ec i pr oci dad def i ni doe oen nl l asecuaci ones( 1. 146) .

b) Ensayo Ensayo de cortocircui cortocircuito to Siseal i ment aelcuadr i pol oporunaf uent edet ens i ónext er naapl i ca daal ost er mi nal es1y 1ñys eune nent r es íl ost er mi na l e s2y2ñ ,esdeci rs eef ect úau aunc ncor t oci r cui t oenl as al i da, ( l oquee qui va l eaha c eru2% 0) ,almedi rcon nu unv nvol t í met r ol at ens i ón na apl i ca dau1,yc yc on dosamper í met r osl ascor r i ent esdeent r adai1ydes al i dai2,t a lc omos emue s t r ae nl aFi gur a1. 110,als us t i t ui res t asmedi dasenl a secuac i ones( 1. 163)y( 1. 166) ,s eobt i enenl nl oss i gui e n t e sr e s u l t a dos : i1 u1 u2

CD

% %0

Y 11   ;

u1 i2 u2

CD

 B %

%. %0

i 1 ; 2 Y 21 u1 u2

CD

% %0

Y 21   ;

i1 i2 u2

C D

 D

%.

%0

Figura 1.110   Ensayo de ccortocircuito ortocircuito de un cuadripolo

Sielensayodecor t oci r cui t os ehacealcont r ar i o,esdeci ral i ment ando op porl ost er mi na1% ñ ñ u l e s 2 y 2 y c o r t o c i r c u i t a n d o ol l o s t e r m i n a l e s 1 y 1 ( l o q u es e s i g n i f i c ah a h a c e r 0) ,deun modos i mi l aralant er i ors eobt i enenl nl oss i gui ent esr es ul t ados :

i2 u2 u1

CD

% %0

Y 22   ;

i1 u 2 u1

CD

% %0

Y 12   ;

u2 i 1 u1

CD

% %0

1 Y 22

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   105

a li gualquee ee ne lc as ode el l a si mpe da nc i a s ,s is ec ompa r anl ase xpr e s i one st e r ce r ade ( 1. 171)ys egundade( 1. 172)s eobs er vaque: i2 u1 u

CD

% %0

Y 21   ;

i1 u2 u

CD

2

%

Y 12

%0

1

s is ecumpl equeY 21e si gualaY 12,s i gni f i caquel asexpr es i ones( 1. 173)quedef i nen ne es t os pa r áme t r oss on ni i gual es ,que ee esen nd def i ni t i va al l oque ep pr ocl amae lt e or emade er r ec i pr oci dad def i ni doe oenl aec uaci ón n( ( 1. 146) . Los sc c uat r oe ns a yos sq que es s eha nex pl i ca do os s on ns s uf i ci e nt e spa r ade t e r mi na rt odos sl l os pa r áme t r osdel osdi ver s osmodel osde ec cua dr i pol os .Almi s mot i empo op per mi t ei de nt i f i ca r ca dauno od del ost ér mi nosdel asmat r i ce scor r es pondi ent e s ,yas ís et i ene : i1]  Z 11% [ u1/ i2  Z 22% [ u2/ i2] i1 u1/ i2]  Z 12% [ i 1 i1] u2/  Z 21% [ i2

: Esl ai mpeda nci adeen t r adaconl as al i daenc i r cui t oabi e r t o. : Esl ai mpeda nci ades al i daconl aent r adaenc i r cui t oabi e r t o. 0 : Esl ai mpedanc i adet r ans f er enc i aconl aent r adaen nc ci r cui t oabi er t o. 0 : Esl ai mpedanc i adet r ans f er enc i aconl as al i daenci r cui t oabi er t o. 0

u1] Y 11% [ i1/ u2 Y 22% [ i2/ u2] u1 Y 12% [ i1/ u2] u1 Y 21% [ i2/ u1] u2

: Esl aadmi t anc i adeent r adacon nl l as al i daen nc cor t oci r cui t o. : Esl aadmi t anc i ades al i dacon nl l aent r adaen nc cor t oci r cui t o. 0 : Esl aadmi mi t anci adet r ans f er enci acon nl l aent r adaen nc cor t oci r cui t o. 0 : Esl aadmi mi t anci adet r ans f er enci acon nl l as al i daencor t oci r cui t o. 0

%0

%

%

%

%0

%

%

%

 A % [ u1/ u2] : Funci ón nd det r ans f er enc i adet ens i ón nc conl as al i daenci r cui t oabi er t o. i2 0 %

u2 0 .i2]  B % [ u1/ :I mpedanci adet r ans f er enci a,con nl l as al i daen nc cor t oci r cui t o. u2] C % [ i1/ : A d m mi i t a n c i a d e t r a n s f e r e n c i a c o n nl l a e n t r a d a e n c i r c u i t o a b i er t o. i2 0  D % [ i1/ :Func i ón nd det et r ans f er enci adecor r i ent econ nl l as al i daencor t oci r cui t o. .i2] u2 0 De bes es e ña l ar s equee xi s t e ndosmode l osmásdec ua dr i pol osques ea ña denal osan t e r i or esyques eut i l i za nf undament al ment eene les t udi odecomponent e sac t i voscomos on l ost r ans i s t or es .Elpr i mer odee eel l osr el ac i onal al at ens i ón nd de ee ent r adayl acor r i ent edes es al i dac aco nl ac or r i e nt edee ee nt r ada ay yl at e ns i ónd nde es s a l i da ,r e s pondi end oal af or mama t r i c i a l s i g u i e n t e : h  h h11   h12 i1 u1  [ h]% 11 12 % h21   h22 h21   h22 u2 i2 %

%

%

CD CDC D

ú

C D

matriz de parámetros híbridos del cuadripolo .Lar hn e n l a u e ] r e p r e s e n t al l af el ac i óni ni nv e r s aq a l a[ a t e r i o r e s d e a or ma:

CD CDC D u2 i1

%

 g 11   g 12 u1  g 21   g 22 i2

ú

 [  g ]%

C D  g 11   g 12  g 21   g 22

 

1 0 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

e nl aque[  g ]r e pr e s e n t al amatriz  de parámetros híbridos inversos del cuadripolo yquee s i nver s adel amat r i z[ h] . Loscua dr i pol oss epuede ncone ct arens er i e,en np par al el oyt ambi énenca s ca da.Pors u conf i gur ac i óni ni nt er nas as ecl as i f i can ne en nc cua dr i pol osenL,en`ye nT,enc e l os í a( e nf or ma deX) ,en nT Tpue nt ea da .Ca dat i po ot t i e nes uspr opi e da de se s pe cí f i ca syde pen dedequet e nganono os s i met r í a.Cuandos eut i l i za ncuadr i pol osenca s ca da( esdec i rcomos if uer anes l abone sdeunac ade na ) ,yl yl as e ñalques epr opa gaat r a vésdee l l ose sdepoc ae ne r gí a ,c omo s uc ed eenl nl at é cn i cadel a sco muni c ac i one s ,e si mpor t an t e,de ea a c ue r doc oc on ne e lt e or emade máxi mat r ans f er enc i adepot enc i a,e xpl i ca doe oenelEj empl odeA eApl i ca ci ón n1 1. 18,que ec c ada c uad r i pol os ea co pl eos ead a pt ealquel epr ec e de ey yalquel es i gue ,par ae l l os ei nc l uye n c onc ep t os sd dei ei mpe da nc i a si ma ge nyc ons t a nt ede ep pr opa ga ci ón.Dec ua l qui e rmodo oe e s t os t e mass one nes pecí f i cosdeot r asár ea sdei ngeni er í ays es a l endelcont eni do od dees t aobr a. Ampl í esusconoci mi ent os

Elgi rador ry yelm me em mr r i st or

esun nc cua dr i pol opos t ul adot eór i ca ment eporB.Tel l egenenelaño1948.Ser epr es ent apor eles quemas i mpl i f i ca do om mos t r adoenl aFi gur a1. 111 1y yque es s edes cr i beporl asec uac i oness i gui ent es :  

u1%.ri2   ; u2%!ri1 Donder  s edenom mi i nar es i s t enci adegi r o.

( 1)

Figura 1.111   Símbolo del girador  girador 

Obsér veseque,deacuer do oc conl asecuaci onesant er i or es ,elgi r adornos at i s f aceelt eor emader eci pr oci dad yaques ec umpl e : u2 u1 u2 u1 Ç %!r    ; %.r  ( 2) i1 i2 i1 i2  

ú

Si nembar go oe es t ecua dr i pol ot i enepr opi eda de scur i os asques evanacome nt ar .Sielgi r adordel aFi gur a1. 111s 1s eca r gaens us al i dacon nu unar es i s t enc i a R L,enl ost er mi nal esdel aent r adas eobt i e ne: u u1%.ri2%.r  . 2  R L

r 2 r  ri % i %  R L 1  R L 1

AB

 

( 3)

esdeci r ,l ar es i s t enci ade ec car ga R L cone ct adaal as al i da as s evedes de el l aent r a da ac comouna ar r es i s t enc i a R1 deval or : 2

 R1% ui

1%

1

% r 2 r  G L  R L

 

( 4)

e nl aqueG L r epr es ent al aconduct anci adel acar ga,i nver s ade R L.Endef i ni t i va( 4)s eñal aquel ar es i s t enc i aques evede s del ae nt r a dade lgi r ad ore spr opor c i ona lal ac onduc t a nc i adel ac ar ga ,odeot r omodo,

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   107

l ar es i s t enci adel aca r gades al i das evedes del aent r ada girada,por ques ehat r ans f or madoenconduc t anci a( deahípr oce del adenomi nac i ón nd de girador ) . Deunaf or maaná l oga¿quéocur r i r ás is econe ct aal as al i dadelgi r adorunconde ns adordeca pac i dad C ?,¿cómos ever ádes del aent r ada?Enes t eca s o,s ecumpl enl ass i gui ent esec uac i ones : u1%.ri2   ; i2%.C  du2  ; u2%!ri1 dt 

 

( 5)

 

( 6)

esdeci r : du2 dt 

 d di rC  ( ri1)% ( r 2C ) 1 dt  dt 

A B

u1%.r 

.C 

%

expr es i ón nq ques epuedees cr i bi rdees t emodo: u1% L

di1   ,c on L % r 2C  dt 

 

( 7)

l oques i gni f i caqueunconde ns a dorcone ct adoal as al i dadelgi r adors evedes del ae nt r adac om mo os if uer a unai nduct anci a.¡ Ess or pr endent e!Es t eext r aor di nar i or es ul t ado op pos t ul ado ot t eór i cament eporTel l egen ns se hi z or ea l i dad dc cuando oa añosmást ar de es s econst r uyer on ng gi r ador esempl eando oa ampl i f i ca dor esoper aci onal es . Elgr anca bal l odebat al l aquer epr es ent abanl asi nduct anci aseneldi s eñoel ect r óni co,debi do oa as uel evado pr ec i o,pes oyvol umenyt ambi énas ucompor t ami ent onol i nea l ,que dabar e s uel t o.Elgi r adorhaca mbi adol ol af i l osof í adeldi s eño oe el ect r óni co,per mi t i endo oc cr eari nduct anci asmedi ant econdensa dor es .¡Todo un hallazgo!

esunar es i s t enc i ael éct r i caconmemor i ayquef uepos t ul adat eór i ca ment een1971 1p por LeonOng gC Chua,ca t edr át i co od del aUni ve r s i daddeCal i f or ni a,Ber keke l y,comoe lc uar t oel eme nt of unda me nt alpas i vo o( ( elel ement oper di do)quedebí aencont r ar s epar acompl et arl ar el aci ón nd de el l ost r escl ás i cos : r es i s t enci a,i nduct anci aycapaci dad.Elmemr i st orpr ocede ed de el l acont r acci ón nd del aspal abr asi ngl es asmemory resistor  ( r es i s t enc i acon nm me mor i a) .Enelaño o2 2008,unosi nves t i gador esde el l aempr es aamer i ca na Hewl et tPackar d( HP) ,es peci al i s t asen nn nanot ecnol ogí a,di r i gi dos sp porSt anl ey yW Wi l l i ams ,anunci ar on ne en nl l a r evi s t aNat ur e,elpr i mermemr i s t orques econs t r uyó óe e nelm mu undo. Chuadeduj ol aexi s t enc i adel osmemr i s t or esdel asr el ac i onesmat emát i ca sent r el osel ement osdel os ci r cui t os.Lascuat r omagni t udesbási cas :car ga,cor r i ent e,t ensi ón ny yf l uj omagnét i cos epueden nr r el aci onar ent r es ídes ei sf or masdi s t i nt as .Dosmagni t udeses t ánl i gadasmedi ant el eyesf í s i casyt r esmáss er ef l ej an medi ant el asecuaci onescl ási casdel osci r cui t osapl i cadasal ar es i st enci a,i nduct anci aycapaci dad dr r espect i vament e.Locualdej auna ar r el ac i ónp npar acompl et ares t asecua ci ones .Par acompr enderes t as i t uaci ón,en l aFi gur a1. 112s 2s eha ad di buj ad oun ng gr áf i c oque em mue s t r al a smag ni t ude syel e ment osbá s i co s .La sc ua t r o t ) t ) t )yK( t )ys ma gni t udesbás i ca ss on:q( ,u( ,i( er epr es ent an nd dent r ode es s e ndoscí r cul os .Enl oscua t r o cua dr ant ess ecol oca nl osdi ver s osc om mp ponent espas i vosyas íen ne e lpr i mercua dr ant es es i t úa ae elpr i mer el ement odes cubi er t oenelaño1745,elcondensa dor ,enelques ecumpl el as i gui ent eecuac i ón nd di f er enci al bás i caque er r el aci ona al l aca r gaq( t )c on ne elpot enci alel éct r i cou( t ) : dq( t )% Cu( t )

( 8)

Enels eg undo oc c ua dr an t es es i t úa al l ar es i s t en c i ae l éc t r i c a,de s c ubi er t ae n1827,e nl aque es s ec umpl el a r e l a c i ó n : du( t )% Ri( t ) ( 9) Enelt er cercuadr ant es eencuent r al abobi naoi nduct anci ael éct r i ca,des cubi er t aen1831,quer el aci onael f l uj omagnét i cocon nl l acor r i ent edels i gui ent emodo:

dK( t )% L di( t )

( 10)

 

1 0 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Figura 1.112   Magnitudes y elementos pasivos bás básicos icos con sus relaciones matemáticas matemáticas

Debedes t ac ar s equeelf l uj omagné t i coconca t ena do op porl abobi naK( t )esunagener al i zac i ón nd del acar ac t er í s t i cadelci r cui t odeunai nduct anci a.Nor epr es ent aaquíun nf f l uj omagnét i co,s i mpl ement eesl ai nt egr al del at ensi ónu( t ) . Dea cu e r do oc c on ne e le s que madel aFi gur a1. 112,e nelc ua r t oc ua dr a nt es ec ol oc ae lme mr i s t orques e de f i nec omoun ne e l eme nt odedost e r mi na l e se nelquee lf l uj oma gnét i coK( t )( r eal ment el ai nt egr aldel a t e ns i ón ne e l éct r i ca )ent r es usbor nese suna af f unci ón nd de el l aca nt i dad dd de ec ca r ga ae e l éct r i caq( t )quepa s apo re l q)ques di s posi t i vo.Deacue r do oc conel l o,elm me emr i s t ors eca r ac t er i zaporunamemr i st anci a M ( ede f i nepor e lc oc i e n t e :  M ( q)%

t ) dK( dq( t )

 

( 11)

Ques epue dee s cr i bi rdeun nm modoe qui va l e nt ede ls i gui e nt emodo: dK( t ) u( t ) dt  %  M ( q)% dq( t ) i( t ) dt 

 

( 12)

Del aec uac i ón na ant er i ors ededuc eque el l amemr i s t anc i ae sunar e s i s t enc i a( yporel l ot ambi é ns emi de ee e n ohmi mi os) ,per oadi f er enci adel ar es i s t enci acl ás i caqueof r eces i empr eelm mi i s moni veldedi f i cul t adalpas o del acor r i ent eel éct r i ca ,enelm me emr i s t orno oe esas í ,yaquevar í as egún ns s eal aca nt i daddeel ect r i ci dadquel o a t r a v i e s a . Par acons egui rl oant er i or ,l osi nves t i gador esdeHPconst r uyer on nu un np pr ot ot i po od dememr i s t or( aes cal a na nomét r i c a)que ee e s enc i a l me nt et i en el af or mamos t r a da ae en nl l aFi gur a1. 113.Cons t ade eu unape l í c ul ade  D deunos50nm,col óxi do od det i t ani o( Ti O2)deunal ongi t udt ot al oca daent r edosel ec t r odosdepl at i no od de 5nm md dee s pe s or ;unl adodel ape l í cu l adeTi O2e s t ádopa dadet a lm mo odoquet i en eunaes ca s e zdeoxí ge no

dende0, 05,cor r es pondeal azonadopadadel ai zqui e r da yques i guel af ór mul aTi O2  x donde x esdelor de lmode l odel aFi gur a1. 113ys ua nc hur ae sw,l aot r apar t edelTi O2t i eneuna aa anc hur a D . w. .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   109

Figura 1.113   Composic Composicion ion interna de de un memristo memristor  r 

Laz onadopa dadeTi O2  x t i eneunabaj ar es i s t enci adebi do oa as us«vacanci as »deoxí geno,m mi i ent r asquel a z onanod odopa dadeTi O2t i ene eu unaal t ar es i s t enci a.Cuandow % D,l ar es i s t enci adelconj unt oes RON y .Esevi dent eque el l ar es i s t enci ade cuandow % 0l ar es i s t enci adelconj unt oes  ROFF( s i e n d o RON@ ROFF) e s t edi s p os i t i vo M ( q)s er ál aas oci aci ón ne en ns s er i ede el l asdosr es i s t enci as Rdopaday Rnodopada,cuyosval or es s e r ánpr opor ci onal esas usanc hur asr el at i vas ,dando ol l ugaraunae xpr es i ón nd del af or ma: .

w w  M ( q)%  RON! 1.  ROFF  D  D

AB

 

( 13)

q)e Laec uac i ón na ant er i ori ndi ca aq que M ( sf unc i ón nl l i ne a lde el l aanc hur ade el l az ona ad dopa daw,l oqueque qui er edeci rques iser egul aw s epuedemodi f i carelval ordel amemr i s t anc i a.Porot r ol ados edemues t r a4 quel ave l oc i da ddeca mbi odel aa nc hur aw e nf unc i ón nd del ac or r i ent eesdel af or ma:

dw k  D RON %   i( t ) dt   D

( 14)

Enl aexpr es i ón na ant er i ork epr es ent al amovi l i dad dd de el l os sp por t ador esde ec car ga.Ali nt egr arl aec uac i ón  D r eobt i eneun ne expr es i ón np par al a ant er i oryl l eva relr es ul t ado oa a( 13)yt eni e ndo oe enc uent aque RON@ ROFF,s memr i st anci a: k R  M ( q)% ROFF 1.  D 2ON  q( t )   ( 15)  D

C

D

Dondeq( t )esl aca r gat ot alqueat r avi es aelm me emr i s t or .Laecua ci ón na ant er i ordemues t r aquel amemr i s t anci aesf unci ón nd del aca r gaqueat r avi es aeldi s posi t i vo,ydeahísui mpor t anc i a,yaqueelm me emr i s t orpuede me mor i za rl amagni t ud dd de el l ac ar ga ,c ons er vando oe es t eval ordur ant el ar go ot t i empo.Esdec i r ,elm me emr i s t or s ol ament eneces i t aener gí apar aaj ust ars ur es i s t enci a,per odespuésconser var ás uval ordur ant el ar go ot t i empos os i nni ngún nc cons um mo oel éc t r i co. Esporel l oquee lm me emr i s t orr ec or dar ál aúl t i mat ens i ón nq ques ehaapl i ca do oa alm mi i s mo,y ye es t ai nf or mac i óns epue det omarcomounada t oamododecer osyunose nl ógi c abi na r i a .Dea híqueal osme mr i s t or e s s el esa ugur eun ng gr an nf f ut ur oc omos us t i t ut osde el l a sme mor i asvol á t i l e sRAM quepe r mi t e ne lf unc i ona mi e nt odeunor de na dor .Ténga s ee nc ue nt aquel ai nf or maci ónques ea l mace nae nl a sme mor i a sRAM e s t e mpor al ,l oques i gni f i caques ebor r aodes apa r ec ecua ndo os s eapa gaelequi po;espores t o,porl oqueca da ve zques een c i en de ee e lor de na dor ,e ls i s t e mas er e i ni c i ayha yque ee e s pe r arun nc c i er t ot i empo op pa r aquel a s me mor i asRAM delor dena dorca r gue nl osdat osdels i st e maoper a t i vo.Losmemr i s t or espuede ndej arobs ol e t a sl asmemor i asf l as hol osdi s cosdur os ,mu mul t i pl i ca ndop oporci en nl l adens i daddeal mac ena mi ent oyl a vel oci dad dd delor denador .Tambi én ns s ees t án ne es t udi ando oa apl i cac i onesdel osmemr i s t or esendi s posi t i vosde l ógi capr ogr amabl e,pr oces adodes eñal ,r edesneur onal esyens i s t emasdecont r ol .¡ Bi enveni doelm me emr i s t orpor que ep puedet ene run ng gr anf ut ur o!

4

Verar t í cul o«The missing memristor found »deSt r ukov,Sni der ,St ewar tyWi l l i ams ,  Nature,453,8083,may o2008 .

 

1 1 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

1.18.  El amplificador operacional Elampl i f i ca doroper ac i onal( AO)esunc nci r cui t oel ec t r óni coi oi nt egr ado oq que ee encue nt r amucha sapl i ca ci onesen nl l ael ec t r óni ca .Enl aFi gur a1. 114a as s emues t r al af or maext er naq aque t i en es uen ca ps ul adop opa r ae lmode l oc om me e r ci a lde eo oc ho op pa t i l l a s .Enl aFi gur a1. 114b bs s e muest r an nl l aspr i nci pal esconexi onesi nt er nas.

Figura 1.114   Encapsula Encapsulado do del amplificad amplificador or operacional y circuito simplific simplificado ado interno

Elt ér mi no oa ampl i f i ca doroper ac i onalf ue ea a cuñado op poreli ngeni er oamer ci ano oJ J ohn nR R. Raga zz i nien1947 7y yer aen na aquel l aépocaunc nci r cui t oel ec t r óni co oc cons t r ui doc oconv nvál vul as devací oqueper mi t í ar eal i zardi f er ent esoper aci onesmat emát i cas ,como mo:s uma ma,r es t a,m mu ul t i pl i cac i ón,di vi s i ón,i nt egr aci ón,et c.yde ea ahíelnombr ede eo oper aci onal .Eldi s pos i t i vo oe es unacom mb bi naci óncom mp pl ej adet r ansi s t or es ,re s i s t enci as ,di odosycondensador es ,fa br i cados enun nc chi pdes i l i ci o.Si ne mbar gon onoe oesne ce s ar i oc onoce rs ues t r uc t ur ai nt e r napar ac om mp r e n de rs u si n t e r e s a nt e sa p l i c a c i o ne sal o sc i r c u i t os . Enl aFi gur a1. 115a as s emues t r aelsí mbol odelam mp pl i f i ca doroper ac i onal ,quet i enedos ersora ys ent r adas,unapos i t i va( !) de nomi na daentrada no in v eña l adaporuPyot r anega .) ersora uN.Las t i va( yde yd nomi na daentrada inv al i dau0s al edelvér t i cedelt r i ángul oque s i mbol i zae aelAO.Ademást i enet er mi nal espar aapl i ca runa at t ens i ón np posi t i va!U ccyot r a n e g a t i v a.U ccpar al aal i ment aci óndes uci r cui t oel ect r óni coi nt er noy oydi s ponet ambi énde o t r a spa t i l l a sc o mp mpl e m me e n t a r i a sp a r adi ve r s o sa j u s t e s .

Figura 1.115   Símbol Símbolo o del amplificador operaciona operacionall y modelo de circuito circuito

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   111

Elci r cui t oequi val ent edelampl i f i cadoroper aci onaleselm mo os t r adoenl aFi gur a1. 115b yes t áf or mado op poruna ar r es i s t enc i ade ee ent r ada Ri,ot r ar es i s t enci ade es sa l i da R0yporuna f uent ede et t ens i ón nd dependi ent e,deg egananci a A ( que ee esend ndef i ni t i va ae elf ac t ordea eampl i f i ca ci ón) .Lascar act er í st i cast í pi casde eu una nampl i f i cadoroper aci onals onl nl ass i gui ent es :1)al t a r e s i s t e n c i ad ee ee nt r a da Ri queesde lor de nde10M ,2)baj ar es i s t enci ades esa l i da R0yque os c i l aent r e10y100L,3)unagananci ar ea lext r ao r di nar i ament eel evadayquevar í aent r e L 4 8 10 y10. Enl aFi gur a1. 116 6s s emues t r al adenomi nadaca r ac t er í s t i cadet r ans f er enc i aocur vade r es pues t adelampl i f i cadoroper aci onal .

Figura 1.116   Respuesta del ampl amplificador ificador operacional operacional

Enl ar es puest adel aFi gur a1. 116s edi s t i nguent r esr egi onesdi s t i nt as ,as aber :des at ur aci ónp npos i t i va,de es s at ur aci ónn nnegat i va ay yl i neal .Last ensi onesde es s at ur aci ónc ncoi nci den nc con l osval or esdel at ens i onesdeal i ment aci óndelampl i f i cadoruU cc.Lape ndi en t eenl azo na l i nealesl agananci ade et t ens i ón A de lampl i f i c ador ,yen ne es t azonal i nea ls ec um mp pl el as i gui e n t er e l a c i ón: u0% A( uP. uN)% Aud  % Aud  Lat ens i ónud  s edenomi nat ens i ón nd di f er enci alyesl adi f er enci aent r el ast ensi onesapl i cadas( r es pec t oamas a)alt er mi nalnoi oi nver s oruPyali nver s oruN.Dea c ue r doconl aec ua  A mu ci ónant er i or ,yals erelf act or yel evado( pr áct i cament ei nf i ni t o) ,cuandol adi f er enci a oncesl as al i dapr es ent aun nv val ordes at uspos i t i va,esdeci rs et i ene:uPb uN ent uP. uN e r a c i ónpos i t i vo :!U satyquec oi nc i dec onU cc;s i l adi f e r e nc i auP. uN esnegat i va,esdeci r uNb uP,s eobt i eneunas al i da.U satyquec oi nc i dec on.U cc. Endef i ni t i va al l at ens i ón nd des al i daes t áac ot adaen ne elr ango os s i gui ent e: .U ccm u0m!U cc

Porl oquedea c ue r doc on n( ( 1. 176)s ecumpl e : . U    m A ( uP. uN)m! U  c c

 A

c c

 A

Teni e ndoe oencue nt aqueunval ort í pi copar aU cce sde15V,mi e nt r a sque  A e smuye l e va do 5 ys e gúns ehai nd i ca dod ode lor de nde10 oma yor ,e se vi de nt eque ee e ne lf unc i ona mi ent o

 

1 1 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

l i neall adi f er enci ade ep pot enci aluP. uN e spr á ct i c ament enul a,ol oque ee e sl omi s mol a t ensi ón nd di f er enci alescer o,esdeci rud  % 0.Ot Ot r oas pec t oas eñal aresquel el ar es i s t enc i ade ent r adadelAOesmuy ye el evadaypr ác t i ca ment ei nf i ni t a,l oque ee endef i ni t i vas i gni f i caque l a sc or r i e nt e siPeiN quepe ne t r a nene lAOpr áct i c a ment es onnul a s .Dee s t emodos epue deconc l ui rquel ascondi c i onesquei mponeun na ampl i f i ca dori de alson: ud  % 0 ; iP% iN% 0

La si mpl i c a ci one sde ee e s t a se c ua ci one ss es e ña l a ne nelmode l ode ec c i r cui t ode el l aFi gur a1. 117.

Características cas del AO AO idea ideall Figura 1.117   Característi

Enl apr ác t i caelampl i f i cadoroper ac i onals eut i l i zas i empr econ nu una ar r eal i ment aci óne nent r e l as al i da ay yl aent r ada.Es t ar ea l i ment aci ónp nper mi t econse gui runa as s er i eder el ac i oneses peci al esent r el ast ens i onesde es s al i day ayent r ada,pudi e ndoobt eneruna av var i edad dd dec eci r cui t os como mos um ma ador ,i nt egr ador ,et c.Enl asapl i cac i onesques eof r ec enacont i nuaci óns ns econsi de r a r áquee lAOesi de a l .

a) Amplificador inversor  Enl aFi gur a1. 118 8s s er epr es ent aun nc ci r cui t oampl i f i ca dori nver s orr ea l i za doc ocon nu un nA AOen elques ei ncl uyen nd dosr es i s t enci asext er nas R1y R  f  .Enes t eci r cui t o,l at ensi ón nd deent r ada ( r es pect oamas a)ui s eapl i caalt er mi nalnegat i vo od delAO,at r avésdeunar es i s t e nci as er i e 1  R . E lt e r m na l os i t i v o os s e o n e c t a a m a s a( t e nsi ón nc ce r o) .Lat ens i ón nd de es s al i dau0s er e a l i me n t a a l t ei r m i np a l n e g a t i v op oc p o r m e d i o d e  R .   f  

Figura 1.118   Amplifi Amplificador cador inversor 

Dea c ue r doc oc on nl l a scondi ci one si de al e ses t abl e ci da sa nt e s ,e lt er mi na lB de lAO e n es t eci r cui t oe s t áac er ovol t i osyc omo moud  % 0,l at e ns i ónd nde lnud oA ( r es pe c t oama s a )

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   113

s er át ambi énd nde ec ce r ovol t i os ,e sdec i ruA% 0.Porot r ol ado oa a la pl i ca re lpr i merl e made Ki r c hhof fe nelnudoAs ec umpl e: i1! i  f     f  % ii

 

ú

  i1! i   f    f  % 0

d o n d e es s e h a at t e n i d o oe e n ue nt aA q ue el l a c r r i e nc t e d ee e e n t r a d a ad d e l a m mp l i f i c d o r od p r a c i o n a l es s i e m p r e ce r o, e s d ec i ric . l s c r i bo i r l a s or r i e nt e s a n t e r i o r e sp e nf n f ua n c i ó n nd e el l a s t e n s i o i%0 ne sr e s u l t a : u . uA ui u0. uA u0 i1% i % ; i   f   % %  f    R1  R1  R  f    R  f   Yals ust i t ui res t osr es ul t adosen n( ( 1. 180)s eobt i ene: ui u0 %.  R1  R  f  

ú

 R   u0%.   f   ui  R1

Esde ci rl at en s i ón nd des a l i dade lAOe sdes i gnoc oc ont r a r i oal ae nt r a da( ydea híe lnomb mbr e deampl i f i ca dori nver s or )yconu nunf nf ac t ordeampl i f i ca ci ónque ee eselcoci ent ede el l asr es i s t e n c i a s  R  f   /  R  R1.Sies t ecoc i ent eesmayorqueuno,l as al i dadelampl i f i ca dors er ámásel eva daquel ae nt r a days ie sme norqueuno,s er e duc i r ál ae nt r ad a .

b) Amplificado Amplificadorr no inversor  Ele s que maco r r e s pondi e nt eeselques emue s t r ae nl aFi gur a1. 119 9d donde ,pors i mpl i c i da dycomoeshabi t ualales t udi arl osa mpl i f i ca dor esoper ac i onal es ,nos os ehadi buj adoe oel es que mael éct r i coi nt er i or .Seobse r vaque el l at ens i ón nd deent r adas eapl i caahor aalt er mi nal noi oi nve r s orde lAOyelt e r mi na li nve r s ors ec one ct aama s aat r av é sdel ar e s i s t e nc i ae n s e r i e R1.

Figura 1.119   Amplifica Amplificador dor no inversor  inversor 

Ali gualque ee e nelca s oant e r i ors edi s poned edeu euna ar r es i s t enc i ade er r e al i ment ac i ónent r el a s al i dayl aent r adadeval or  R  f  .Seobs er vadei nm me edi at oquel at ens i óndelnudoA( r es pec t o i us dg e t i e r r a ) e sa i g u a l a l a d e l n u d oB o B y p o r t a n t o i g ua l al l a t e n s i ó n y ao db em á s l acor r i ent ei  f  e s i1 i u a l a , y ya l p o n e r e s t a s c o r r i en t e s e n f u n ci ó n nd d el e a s t e n s i o ne s e t i e n e :

i  f     f  %

u0. uA u0. ui ui % % i1%  R  f    R  f    R1

 

1 1 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

ydes pej andou0r e s u l t a : u0%

 R  f   ! 1 ui  R1

AB

quedemues t r aquees t eci r cui t oesun na ampl i f i ca dornoi nver s or ,yaquel at ens i ón nd des al i da t i en eelmi s mos i gno oq quel el at e ns i ónd nde ee e nt r a dac aconu nun nf f a c t orde ea a mpl i f i c a ci ónq nquee sl a cant i dad de encer r ada ae enelpar ént es i sde e( ( 1. 184) .

c) Amplificador diferencial Eles quemacor r es pondi ent eeseli ndi ca do oe enl aFi gur a1. 120,dondes eapl i ca ndost e ns i oes pect i vament eat r avésdeunasr es i s nesal asent r adasnoi oi nver s or aei nver s or aui1yui2r t e n c i a s R1y R2.Enes t eci r cui t os ecumpl e: i  f  %

u0. uA uA. ui1  R3 ; uB% ui2 % i1%  R  f    R1  R2! R3

Figura 1.120   Amplificad Amplificador or diferencial

esdeci r : u u 1 1 0! i1% A  R  f    R1 u  R1! R  f  

 R

; uB% ui2 R2!3 R3

A B

n( 1. 186)r es ul t a: i g u a l a n d ouA% uB en( ycomoqui er aqueud  % 0% uA. uB,  R 1!   f    R  R  R1 u0% 3 ui2.   f   ui1  R  R2  R1 1! 3  R2   R R1% R3 /   R R2,s Esporel l oques is ee l i ge nl asr es i s t e nc i asdet alf or maques ecu mpl a R  f   / e o b t i e n e :  R  f   %

.

ui1 ui2) u0  R1(

l oquei ndi caquel at ens i ón ns s al i daespr opor ci onalal adi f er enci aent r el asent r adasei ncl us os is ehacen ni i gual esl asr es i s t enci as R  f  % R1e nt once sl as al i daesj us t ament el as um ma ade l a se nt r ada sydeahíelnomb mbr edelci r cui t odeamplificador diferencial .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   115

d) Amplificador sumador  Enal gunasapl i cac i onesdel ae l e ct r óni cas edebenañadi rl ass eñal espr oduci dasporvar i as f uent es( porej e mpl odedi ver s ost r ans duct or esdemedi da)par aobt enerunas eñaldes al i da queespr opor ci ona lal as umadel a ss eña l e sdee eent r a dao aoaun as umapo nde r a da ad de el l a s m i s m as . E l c i r c u i t o c or r en s p o n d i e n t e p ar a r e a l i z a r e s t ae m i s i ó n ne e s e l q u e es s e u e s t r a e n l a Fi g u r a 1 . 1 2 1 , d o n d es e h a c o n s i d e r ad o t r e s s e ñ a l es d e n t r a d a . T e n i e n d o oe e nm cu e n t a q u el a t e ns i ónene lnudoA oA( r es pe ct odet i er r a )co i nc i deco nl ade lnudo oB Bquea de má ses t áuni do ne lnudoAs et i ene : at i er r a,secumpl equeuA% 0,a de másc omoii % 0,e i1! i2! i3! i   f    f  % 0  R1 i1 ui1



 R2

i2 ui2



 R3





 R f 



i3 ui3

i f 

A 



ii =0

ud  =0  B

 

u0

 

Figura 1.121   Amplificad Amplificador or sumador 

Porl oquealexpr es arl ascor r i ent esen nf f unci ón nd del ast ens i onesr es ul t a: ui1 ui2 ui3 u0 ! ! ! %0  R1  R2  R3  R  f  

quealdes pej aru0nosda : u0%. R  f   ui1! ui2! ui3  R1  R2  R3

C

 R  f   u ! R  f   u ! R  f   u  R1 i1  R2 i2  R3 i3

DC %.

D

Esdec i rl at e ns i ónd ndes al i daesunas um ma aponder a dadel ast ens i onesdeent r ada .Enelc as o once s( 1. 191)s econvi er t een: par t i cul arenque es s ecumpl a R1% R2% R3% R  f  ,ent u0%.( ui1! ui2! ui3)

Esde ci rl at e ns i ónd ndes a l i da ae e si gua lal as umade el l a st e ns i one sdee ee nt r ada ac c a mbi ada ad de s i gno.Elci r cui t odel el aFi gur a1. 119s 9s epuede em modi f i c arpa r acons e gui run na ampl i f i c ador s um ma ador r es t ador ,con nt t aldei ncl ui rent r adasen ne elt er mi nalposi t i vo od delAO.

e) Amplificador integrador  Elampl i f i cadori nt egr adorut i l i zaun nc ci r cui t oanál ogoalampl i f i cadori nver sordel el aFi gu-

r a1. 118enelques es ust i t uyel ar es i s t enci a  R  f   der ea l i ment ac i ónporuncondens adorC .En l aFi gur a1. 122 2s s emues t r aelc i r cui t oc or r es pondi ent e.D De ees t ees quemas ededuc ei nm me edi at ament equel at ens i ón nd delnudo oA A( r es pec t odet i er r a)esnul a,yaquee eelt er mi nalBes t a

 

1 1 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

uni doa oat i er r ayambast ens i onescoi nci den na alcum mp pl i r s equeud  % 0.Ade má sene lnudoA s ec um mp pl e : ui 0 i1! i  f   % ! i f  % 0   f    R    f     ú

Figura 1.122   Amplifica Amplificador dor integrador 

eobt i ene: yt e ni e ndo oe e nc ue nt aqueC % q ,s u t  q 1 .1 u dt ! u0( 0) i  f  dt % u0( t )% % CR 0 i C  C    f  

I

I

dondeu0( 0)eselval ordel as al i daent % 0,quedependedelval ordel aca r gai ni ci alal mace nadaenelcondens ador .Laec uaci ón( n( 1. 194)i ndi caquel at ens i óndes al i daespr opor ci ona lal ai nt e gr aldel ae nt r a da a( ( yde ea a hís unombr e )c onu nun nf f a c t ordep epr opor ci ona l i da dde v a l o r.1/  RC ,l  RC  asdi mens i onesdelpr oduct o RC  esde es s e gundo sys ede nomi nac ons t ant e det i e mpo. Elci r cui t odes cr i t os edenom mi i nai nt egr adordepr ec i s i ón nd debi do oa alal t ogr ado od deexact i t u dc d c o n ne e l q u e es s e i m p l e m e n t a ( 1 . 1 9 4 ) . S e t i l i z a ap p a r a c o ns t r u i r g e n ea r a d o r e s d e ef f u n c i o n e s t i p o ot t r i an g u l ar y di e n t e d es e s i e r r a , e nf n f i l t r o su a c t i v os , e n nc co n v e r t i do r e s n a l ó g i c o d i g i t a l e s y ens ns i s t emasde ec cont r olanal ógi cos .

1.19.  Bobinas con acoplamiento magnético EnelEpí gr af e1. 7. 2s ees t udi óelef ect odel ai nduct anci a,en nl l aqueunacor r i ent evar i abl e quer e cor r í aunabobi napr oduc í aunca mbi odef l uj oma gné t i c o,l oqueas uve zpr ovoc a ba unat ens i ón ni i nduci daenl abobi na.Rec or demosqueelcoef i ci ent edeaut oi nducci ónd ndeuna bobi na( ypar aunc nci r cui t ol i neal )s edef i ní aporl ar el aci ón: t )% N  J( t )  L % K( i( t ) i( t )

Donde N e selnúm me e r odees pi r asdel abobi na,K( t )elf l uj oconca t ena do ot t ot alporl ami s ma yJ( t )elf l uj omagnét i coque ea at r avi es aunades uses pi r as .

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   117

Ademásl ar el ac i ónd ndel at ens i ónu( t )con ne elfl uj oJ( t )yl acor r i ent ei( t )e sdel af or ma: u( t )% N   1.19.1.

di dJ % L dt  dt 

Análisis de los flujos magnéticos en bobinas acopladas

Vamosaext ende re les t udi odeunabobi naúni c aalc a s oe nquee xi s t enmá sbobi na s( por ej empl odos)enelci r cui t o,yque et t i enenf l uj oscomunes ,esdeci rque ei i nt er ac ci onan ne ent r e s í .Se ed di c ee nt onc e sque el l a sdosbobi na st i e ne nac opl ami e nt oma gnét i c o.Ene s t ec as os e gener an nt t ens i onesi nduci dasno os s ol ament eporl osf l uj osmagnét i cosdel apr opi asbobi nas , s i no ot t ambi énporelf l uj opr oduci do op porunabobi naquel l egaal aot r a .Cons i der emospar a nues t r oes t udi oeles quemade el l aFi gur a1. 123,enelque es s et i enendosbobi nasi dea l es( s i n r es i s t enci a)con na acopl ami ent omagnét i co.Sis eapl i can nt t ens i ones se ext er nasu1( t )yu2( t )a ca daunadel asbobi nasapar ec er ánu nunascor r i ent esi1( t )ei2( t )e nl asmi s ma s .Sis es upon e queelnúcl eo om magnét i co oe esl i neal ,s epr oducenu nunosf l uj ospr opor ci onal esal ascor r i ent es quecumpl enelt eor e mades uper pos i ci ón. Φ Φ   Φ2 =  +  m  1 2 1 Φ 2 1

 

Φ 1 2 Φ2   Φ   Φ2 =  +  2 1 2

Φ   Φ1   Φ =  +  1 1 12

i 1 

u ( t ) 1



i 2 A

N1

Φ d 1

  Φd 2

a N2



u ( t ) 2



Φ1   Φd   Φ =  +  1 1 2 1

i 1 A

u ( t ) 1

L1

a  

i 2

L2



u ( t ) 2

b

b B

M 

 





B



Φ   =  Φd   +  Φ1 2 2 2 2

a )Bobi na sc o na c op l a mi e nt oma g né t i c o

b) Re pr e s e nt a c i óns i mpl i f i c a da

Figura 1.123   Flujos conca concatenados tenados por dos bobinas con flujos flujos del mismo sentido

Losf l uj oss eñal adosenl aFi gur a1. 123a as s epuedencl as i f i ca rencua t r ogr upos,as abe r : s on nl l osf l uj osJ11,J12,J21yJ22,quet i enen doss ubí ndi c e snum mé é r i co s ,e lpr i me rdí gi t oi ndi c aelnúmer ode el l abobi naq aquerecibe   e l f l uj oye ls egundo,e lnúmer odel abobi naque produce es ef l uj o.Ej empl o:elf l uj oJ11es elf l uj oquepr oducel abobi na1debi do oa al acor r i ent edel apr opi abobi na1;elf l uj oJ12es e lf l uj oquer e c i bel abobi na1yquepr oc ed edepa r t ede lf l uj ode bi doa oal ac or r i e nt edel a

bobi na2,et c. ) . s onl osf l uj osJd 1yJd 2que solamente a t r a v i e s a n l abobi nai ndi c adaene ldí gi t oques ei nc l uyeenels ubí ndi c e,ys unombr es ede beaquee l

 

1 1 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

f l uj os edi s per s aporelai r es i nl l ega ral aot r abobi na.Ej empl oJd 1( oJd 2)ese lf l uj ode di s pe r s i óndel abobi na1( o2)ques eci e r r aporl azonadelai r edees t abobi nas i nl l ega ra at r avesaral aot r a. e se lf l uj oc om mú únJm quea t r a vi e s aa mbasbobi na syquee s i gua lal al as umadeJ12yJ21,esdeci r : Jm % J1 2 1 2! J

sonl osf l uj osmagnét i cost ot al esJ1yJ2queat r avi es an nl l asbobi nas 1y2r e s pec t i vament e,y yq ques edebe nt ant oal osf l uj osquepr oduce ns uspr opi ascor r i ent e s ,com mo oalf l uj oque el l esl l egade el l abobi nacont r ar i a. Del adef i ni ci ón nd dees t osf l uj oss epueden ne es cr i bi rdi ver s asr el aci onesyque ep par amayor cl ar i dad dd di dáct i cas emues t r an ne en nl l aFi gur a1. 123a,as aber : Elf l u j oJ11 es t abl e ci doe oen nl l abobi na1 a1debi dos os ol ament eas upr opi ac or r i e nt ei1. Est ef l uj oconst adedoscomp mponent es :a)elf l uj odedi s per s i ónJd 1queenl azas ol ame nt el a se s pi r asdel abobi na1yb)e lf l uj oJ21quel l e gaal abobi na2pe r oque pr oc ededel abobi na1ya s ís ec umpl e : J1 1% Jd 1! J 2 1

Elf l u j oJ22 es t abl e ci doe oen nl l abobi na2 a2debi dos os ol ament eas upr opi ac or r i e nt ei2. Est ef l uj oconst adedoscomp mponent es :a)elf l uj odedi s per s i ónJd 2queenl azas ol ame nt el a ses pi r asdel abobi na2yb)e lf l uj oJ12queat r avi es al abobi na1per oque pr oc ed edel abobi na2,e sde c i r : J2 2% Jd 2! J 1 2

Siset i ene nencuent al oss ent i dosdel ascor r i ent esmos t r a dasenl aFi gur a1. 123,y els ent i do od de el l osar r ol l ami ent os ,compr obamosquel osf l uj ospr oduci doss on nc concor dant esys i guen ne els ent i doq oques ei ndi ca.Par ademo mos t r ar l os ol ament es enece s i t a a p l i c a r a l ey d e eA A m p e ` r e . D e a c u e r d oc o c on ne e l l a , s i s e t o m l a b b i ne a c o nl n l a m a n o d e r e c h al , det e t al m mo o d o oq q u e l o s d e d o s s i ga n ne el s e n t i d od o de l aa co r r i eo nt e , l d e do p ul g a r s e ñal ar áels e nt i dodelc ampo om magné t i copr oduci do op pores abobi na,ydeahíl oss ent i dosdel osf l uj osmos t r adosenl aFi gur a1. 123,queconvi eneque er r az oneell ec t or . Dees t emodol os flujos totales quel l eganal asbobi nass on nr r es pect i vament e: J1% J1 1! J1 2 J2% J2 1! J2 2

porcons i gui ent eydeacuer do oc con n( ( 1. 196) ,l ast ens i onesapl i cadass er el ac i ona r án nc conl nl os f l uj osdea eacuer doc oconl nl asec uaci oness i gui ent es : % 1

u

dJ1

 %

 N 1 dt 

dJ11

 N 1 dt 

  !

dJ12

 N 1 dt 

dJ2 dJ21 dJ22   % N 2   ! N 2 dt  dt  dt  Sedef i nen na ahor al oss i gui ent escoef i ci ent esde ei i nduct anci aques eut i l i zar án nd después: u2% N 2

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   119

de nomi mi nad o L11os i mpl eme nt e L1,y queesl ar el ac i óne nent r eelf l uj omagné t i coconc at ena dop oporl abobi na1debi do oa as upr opi a cor r i ent eyelval ordees t ai1,esdeci r :  L

% 1 1

K1 1

i1

%

J1 1

 N 1 i1

[ H]

denomi nado  L12,yq yqueesl ar el ac i óne nent r eelf l uj omagnét i coquer ec i bel abobi na1debi doal acor r i ent equec eci r cul aporl abobi na2,yelval ordees t acor r i ent ei2.Suexpr es i ón ne es :  L12%

K1 2

i2

J1 2

 N 1

%

i2

[ H]

denomi nado  L21,yq yqueesl ar el ac i óne nent r eelf l uj omagnét i coquer ec i bel abobi na2debi doal acor r i ent equec eci r cul aporl abobi na1,yelval ordees t acor r i ent ei1.Suexpr es i ón ne es :  L

% 2 1

K2 1

i1

%

J2 1

 N 1 i1

[ H] de nomi mi nad o L22os i mpl eme nt e L2,y queesl ar el ac i óne nent r eelf l uj omagné t i coconc at ena dop oporl abobi na2debi do oa as upr opi a cor r i ent eyelval ordees t ai2,esdeci r :  L22%

K2 2

i2

J2 2

 N 2

%

i2

[ H]

Todases t asi nduct a nci ass emi den nl l ógi ca ment eenhenrios .De Deac uer doc oconl asde f i ni ci onesant er i or es( 1. 202)a( 1. 205) ,l asecuaci ones( 1. 201)que er r el aci onan nl l ast ensi onescon l osf l uj oss epuedent nt r ans f or marene nec uaci onesent r et ens i onesycor r i ent es ,que es s on nm más út i l esenl at eor í adeci r cui t osyque es s on: di1 di2 ! L1 2 dt  dt  di di u2% L21 1! L22 2 dt  dt  Enelca s ode eq que ee elme medi os eal i nea l ,l osc oef i ci ent es  L12y L21s on ni i gual esent r es íys e r epr es ent an np porl al et r acomún M ,porl oque el l asec uac i ones( 1. 206)admi t enl nl aes cr i t ur a s i g u i e n t e : di   di u1% L1 1! M  2 dt  dt    di di u2% M  1! L2 2 dt  dt  Sede nomi nacoeficiente de acoplamiento deambasbobi nasalcoc i ent e: u1% L11

k %

  M   M  ∂  L1 L2

 

1 2 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Enge ne r a lk  e smeno rqu el auni da d.Cua ndok % 1t odosl osf sf l uj ose nl a za na mba s di bob i na sys edi cequee ees t ast i e ne nun na a c opl a mi e nt ope r f e c t o.Lost st é r mi nos L1 1  y dt  di2 asec uaci ones( 1. 207)s onl ast ens i onesdebi dasal osef ect osdel aaut oi nducci ón,  L2   del dt  di di mi ent r asque M  1  y M  2 r epr es ent anl ast ens i onesdebi dasal ai nducci ónm nmut ua. dt  dt  Segúns ns eobs er vaen nl l asec ua c i one s( 1. 206)a mba st en s i one ss es uman,pue s t oquel os f l uj osma gnét i cosenes t eca s os onconc or dant e s ,comoyas ehacoment ado.Enl apr á ct i ca , par aevi t areldi buj ode el l os ss s ent i dos sd de el l osar r ol l ami ent os sq ques es on nq qui ene send ndef i ni t i va det er mi nanels ent i dodel ast ens i onesi nduci dasporef ec t odel ai nducc i ón nm mut ua,s eac ost umbr aa señalar con un un punto los terminales de las bobin bobinas as por los que hay que introducir  corrientes para que den flujos del mismo sentido .Dees t emodounac or r i e nt equee nt r epor di elt er mi nalconpunt o( s i npunt o)del abobi na1,i nduci r áunat ens i ón M  1 conpol ar i dad dt  pos i t i vae ne lt e r mi na lse ña l a doc oco nunpunt o( s i npunt o)del abobi na2.Almi s mot i empo unac or r i ent equeent r eporelt er mi nalconp npunt o( s i npunt o)del abobi na2,i nduci r áuna di t e n s i ó n M  2  conpol ar i dadpos i t i vaenelt er mi nalse ñal ado oc conun np punt o( s i npunt o)del a dt  bobi na1.Lost er mi nal esconpunt o( s i npunt o)s edenomi na nbor neshomólogos .Ene lcas o del aFi gur a1. 123a ,eles que madel a sbobi na sc on ne e lconve ni odepunt oeselmos t r a do oe e n l aFi gur a1. 123b,enelques edi buj a nl asdosbobi nas ,s e ñal andoconunpunt ol ost er mi nal e ss uper i or es( por que es s on nl l osbor nesporl osque es s edeben ni i nt r oduci rcor r i ent espar aque denf nf l uj osconcor dant es ) ,t ambi éns ns ei ndi canl nl osval or esdel oscoef i ci ent esdeaut oi nducc i ón nd dec a dabobi na L1y L2,yd ydei nduc c i ón nm mut ua M .Lasec uaci onesquer er el ac i onanl nl as t ens i one scon nl l ascor r i ent esen ne es t eci r cui t os on nl l asyaexpr es adasen( 1. 207) . Par acompr endermej ores t econveni o,cons i dér es eelci r cui t ocon na ac opl ami ent omagné t i c odel aFi gur a1. 124a ,quet i en eunabobi na1,con N 1es pi r asar r ol l adasen ne elmi s mo s e nt i doquel abobi na1del aFi gur a1. 123yc onunabobi na2,de  N 2e s p i r a spe r oa r r ol l a da s ahor aens ent i do oc cont r ar i oaldel aFi gur a1. 123.

Figura 1.124   Flujos cconcatenados oncatenados p por or dos bobinas con fl flujos ujos opuestos

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   121

Seobse r vaque,par aquel asbobi nasdenf l uj osconcor dant esenels ent i dodel asaguj as delr el oj ,habr í aquei nt r oduci rcor r i ent eporelt er mi nal  A del abobi na1yporelt e r mi na lb del abobi na2.Si nembar go,comoqui er aqueene le s quemadel aFi gur a1. 124a,l acor r i e nt e quec i r c ul aporl abobi na2ent r ar e al ment eporelt er mi nala,l oss ent i dosdel osf l uj osmagnét i coss onl oss eñal adosenes t af i gur a,e nl aques eobse r vaqueelf l uj omagnét i coJ ys us 2 2 i enens ent i doscont r ar i osal oscor r es pondi ent esdel aFi gur a1. 123a. component esJd 2yJ12t Ene le s que madel aFi gur a1. 124bs eha ns eña l a doc oconu nun np punt oes t ost e r mi na l eshomól ogos ,yen nc cons ec uenci al asr el ac i onesu.i enc nc adab abobi nac aconl nl asc or r i ent esr ea l es most r adass er áns i mi l ar esal as( 1. 207)per oconl nl ost ér mi noscor r es pondi ent esal ast ensi onesi nduci dasmut uascons i gno on negat i vo,l oque ed dal ugarals i gui ent er es ul t ado:   di di u1% L1 1! M  2 dt  dt    di di u2%. M  1! L2 2 dt  dt  nót es eque el l ast ens i onesi nduci dasdebi dasalac opl ami ent omut uot ot i ene ns i gno on nega t i vo, yaq aquel ascor r i ent esr ea l esi1 ei2 pr oducenf nf l uj osq squet et i enden na acont r ar r es t ar s emut uament e . La se cua ci ones( 1. 207)y( 1. 209)s on nl l asec ua ci onesdel a sbobi nascona nac opl a mi e nt o magné t i co,enambosca s ospar af l uj osconc or dant esono,esdec i rpar aac opl ami ent oposi t i vo oo onegat i vo or r es pect i vam me ent e. Lasdi s t r i buci onesant er i or esdef l uj osmagnét i coss eut i l i zangener al ment eent eor í ade ci r cui t osel éc t r i coscuando ol l asbobi nasvan na alai r eoes t ánar r ol l adasenunnúcl eono of f er r oma gné t i co .Ene s t osca s ose lf a c t orde ea ac opl a mi en t os e ñal a do oe e n( 1. 208)s ue l es e rmuy ba j o,nor mal ment ei nf er i ora0, 3.Si nembar goc ocua ndo ol l asbobi nass ecol oca nenunnúcl eo f er r oma magnét i co,elac opl ami ent oesel evadoys uel es ers uper i ora0, 95.Es t aesl as i t uaci ón ques epr oduceen nl l ost r ans f or mador esus adosenl asi nst al aci onesel éct r i ca s ,en nl l osquel a bobi naode va na do1s ede nomi na primario yl abobi naode va na do2s ede nomi na secundario.Par aqueeles t udi odees t asapl i ca ci oness ef ac i l i t eenor mement es eus anunasec uac i oi n e s d e f l u j oe d i s t i n t as a l a s s e ñ al a d a s e n n( 1. 2 0 u e s u n i en d of o f l u j o sa c: oncor dant esy t e n e n d oe o e n c u n t a l a s ec u a c i o n e s ( 1 . 1 97 ) ,( 1 90 8)yq ( 1 . 19 9p )o s o n nd d e l a f o r m (

)

( ) )% Jd 2! Jm J2 )% Jd 2! ( Jd 2! J1 J2% J2 2 1! J1 2 1! ( 2% J2 1! J2

J1% J1 1! J1 2% Jd 1! J 2 1 ! J1 2% Jd 1! J2 1! J1 2%J d 1! Jm

Enl asecua ci ones sa ant er i or esJd 1yJd 2r epr es ent an nr r es pect i vam me ent el os flujos de disperel ede nomi na flujo mutuo o común .  sión del a sbobi na s1y2.Alf l uj oJm % J12! J21s Deac uer doc ocon( n( 1. 210) ,l asec uaci ones( 1. 201)s et r ans f or manahor aen: dJm dJd 1 dJ   ! N 1 u1% N 1 1  % N 1 dt  dt  dt  dJ dJ dJm u2% N 2 2  % N 2 d 2   ! N 2 dt  dt  dt  ydeunmodos os i mi l aral asdef i ni ci ones( 1. 202)a( 1. 205) ,sis edenom mi i nan ni i nduct anc i asde di s per si ónd ndep epr i mar i o L ys ecundar i o L r e s p e c t i va me me nt e ,al a se x pr e s i o ne ss i g ui e nt e s :

d 1

d 2

Jd 1

 Ld 1% N 1

i1

Jd 2

; Ld 2% N 2

i2

 

1 2 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

l asec uaci ones( 1. 211)s et r ans f or man ne en: dJ di u1% Ld 1 1! N 1 m dt  dt  di2 dJ 2% d 2 2 ! u  L dt   N  dt m ques on ne ec uac i onesmása decua daspar aelanál i s i sdel ost r ans f or mador esdepot enc i aque s ees t udi ane nenl nl oscu r s osde em máqui nasel éc t r i ca s .Loss egundoss umandosdees t a sexpr es i onesr epr es ent an,r es pect i vament e,l ast ens i onesi nduci dasenl nl os sd devanados sp pr i mar i oy s ec undar i odebi dasalf l uj ocomún.  1.19.2.

Energía magnética almacenada con bobinas acopladas

Re c or de mosde lEpí gr a f e1. 5. 2quel ae ner gí amag né t i caa l ma ce na da ae e nunabobi naene l t i em mp pot  es : w( t )% 1 Li 2( t ) 2

Vamosac a l c ul arah or al ae ne r gí aa l ma c en ad ae nun np pa rdebobi na sa c opl a da sma gné t i ca me nt e ,c omol a smos t r ad ase nl asFi gur as1. 123 3y y1. 124,que et t i en e nunosc oe f i c i e nt e sde a u t o i n d u c c i ó n L1y L2r es pect i vament eyun nc coef i ci ent edei nducc i ónm nmut ua L12% L21% M . Sis eco ns i der ae nc onc r et oele s quemade el l aFi gur a1. 123 3( ( c on nf f l uj osc onc or dan t e s ) ,e s evi dent equel aene r gí aal mac e nadas er ál as um ma adel asene r gí asques es umi ni s t r anaca da bobi na.Teni endo oe en nc cue nt al asr el ac i onese sent r et ens i ones sy ycor r i ent es ss s eñal ada sen nl l as ecuaci ones( 1. 207) ,l aspot enci asi nst ant áneasquer eci benl nl asbobi nass onr es pect i vam me ent e:

 p2% u2i2%

di1   di2 i ! M  dt  dt  1

C  M   di Cdt 

 p1% u1i1%  L1

1 !

 L2

D di i dt D 2

2

Yporcons i gui ent el apot enci ael éct r i cat ot als er ál as um ma ade el l osval or esant er i or es : di di di di  p( t )% u1i1! u2i2%  L1 1! M  2 i1!  L2 2! M  1 i2 dt  dt  dt  dt 

C

DC

D

Sis es uponequee nt %0l aener gí ai ni ci alescer o,l oques i gni f i caquei1( 0) % i2 ( 0) %0 , l aener gí ar ec i bi dad ade el l aa l i ment a ci ón np par acual qui ert i empot b 0s e r ál ai nt egr alde p( t ) , esdeci r : t  t  di di d( i !i ) w( t )%  p( t ) dt %  L1i1 1! L2i2 2! Mi2 1 2 dt  dt  dt  dt  .

0

0

.

I 1I C1

 D

Loqued edal ugaral as i gui ent eexpr es i ón nf f i nal : ( t )! Mi1( t ) i2( t ) ( t )!  L2i2 w( t )%  L1i2 1 2 2 2

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   123

Quer ep r es e nt a npores t eor den :l ae ne r gí aa l ma ce na da ae e nl abobi na1,má má sl ae ne r gí a al ma ce nadaenl abobi na2,másunt ér mi no oa adi ci onalques edebeala copl ami en t omagné t i com omut uoe oent r eambasbobi na.Es t ácl ar oquel osdospr i mer ost ér mi noss onpos i t i vos ,s i n embar goe oelúl t i mot ér mi no op puedes erpos i t i vo oo onega t i vo,dependi en do od dequel ai nduct a nc i a m u t u as a e a o s i t i v a o e g a t i v a ; d eh e e c h o op pa r a e s q ue m at d a g u r a 1 . 1 2 4 4e e l ú l t i m s u m ma an d o ds e ( 1p . 2 1 7 ) s er í an n e g a t i v o , l oh c u a l s e d e bel a q ue l os ée r ml i nF oi s d e t e n s i ó n ni i nd u c i do a mut uas on nn negat i vos,t alcom mo os es eña l abaenl asec uac i ones( 1. 209) .Lógi ca ment el as um ma a t ot al( 1. 218)debe es s erpos i t i va,por queencas ocont r ar i odosbobi nasacopl adasmagnét i cament eent r egar í an ne ener gí aalci r cui t oext er no( o( ¡ s ehabr í ades cubi er t oelmóvi lper pet uo! ) . Lac ondi c i ón nd de eq que el l ae ner gí at i e ne eq que es s e rpos i t i va ,( enr nr e a l i da dde be es s e rma yoro i gua lque ec ce r o) ,nosva aa aper mi t i rac ot arelva l ordelf ac t orde ea a copl ami en t odef i ni doe oen ( 1. 208) .Cons i der emosenpr i merl ugarquei2( t )% 0,yquew( t )n 0,ent oncesde ea ac uer do conl aecuaci ón( 1. 218)l ai nduct anci a  L1d ebes ese rpos i t i va,esdeci r  L1b 0.Ac Acont i nuaci ón s ii1( t )% 0,yt e ni e nd oe nc ue nt aquew( t )n 0,e nt onc e sdea ea c ue r doc ocon nl l aec ua c i ón  L2b 0.Fi t )como ( 1 . 21 8)l ai nd uc t a nc i a L2debes es erpos i t i va,esdeci r nal ment es it ant oi1( 2 i2( t )s ond ndi s t i nt osdece r o,ent oncesaldi vi di rl aexpr es i ón n( ( 1. 218)pori 2( t )s eobt i ene: 2 1 1 2 2

w2( t )% 1 L i ( t )! 1 L2! M   ii1( t ) i 2( t ) 2 i ( t ) 2 t ) i2(

Yde nomi na ndo x % i1( t ) / i2( t ) ,l aecuac i ón na ant er i ors et r ans f or maen: 1 2 1 w( t )  L  x !  L2! Mx n 0  f  (  x   x ) % % 2 21 ( t ) i2 2 Elva l ormí ni model af unc i ón f (  x  x)s et i enecua ndo: d  f (  x  x )   %0 d  x

  ú

d f (   xx)  x ! M % 0   % L1 d  x

mi n%. 1  L E s d e c i r c u an d  / ( y e s u nm n m í n i m o r q u e l a s e g u n d a d e r i v a d ae a e s e g a t i v a co m mo o p u e d e c oo m xpr obar s e M  f á c i l me nt e ) . S us t i t uy en dp oo e l v a l o ra n t e r i o r e n ( 1 . 2 2 0 ) s en o b t i e n e :

 M 2 1 1  M 2 1  f (  x  xmin)%  L1 2!  L2. %  L1 2 2  L1 2

 M 2 . ! L2  L1

C

D0 n

Dedondes ede duc eque :  L1  L2n M 2

ú

  k %

 M  m1 ∂  L1 L2

Lades i gual dadant er i ors i gni f i caqueelf act ordeacopl ami ent ok puedevar i arent r e0y 1.Si  M % 0,entoncesk % 0yno oe e xi s t eac opl a mi e nt oma gnét i coent r el a sbobi nas .Pore l % 1i k g c o n t r a r i ou l aa c o n d i c i ón nd c a u n a c o pl a m e n t on pi e r f e c t o , e n l q u e t o d o oe e l f l u j o p r o d u c i d o op p o r n b o b i n a l l e aal a oi t r a . E s u n a c o ni d i c i ó d e a l , p e r oe e n e l c a s o d e l o s t r a n s f o r -

ma dor esdepot enc i a,ycomoyas ehas e ñal adoant es ,s epuede ncons e gui rf ac t or esdeac opl ami ent ode0, 99.¡ Ci er t ament eelt r ans f or madoresl amej ormáqui naquehacons t r ui doel hombr e !

 

1 2 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Pr obl ema mas

Cal cul arl asr es i s t enci asent r el ost er mi nal esAyBdel osci r cui t osdel aFi gur aP. 1. 1. [ Re s . 6, 75L; 1L]

Figura P.1.1

Det er mi narl asr es i s t enci asequi val ent esent r el ost er mi nal esAyBdel osci r cui t osdel aFi gur aP. 1. 2, dondet odosl osva l or e ss eda ne nohmi os .LaFi gur aP. 1. 2del ade r ec har e pr e s en t aun nc c ubo oe e ne lque t odasl asar i st assonr es i st enci asde e1 1L. [ Res .

 5   20 L; L] 6 3

Figura P.1.2

Cal cul arl acor r i ent es um mi i ni s t r adaporelgener adorde10 0V Vdelci r cui t ode el l aFi gur aP. 1. 3,r educi endo

pr evi ament el ar edpas i va. [ Re s .4 4A A]

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   125

Enl ar eddel aFi gur aP. 1. 4ca l cul arl osval or esdel at ens i ónu yl acorr i ent ei,port éc ni ca sder educ ci ón nd del ar ed . [ Res .i % 8A;u % 112V]

Figura P.1.3

Figura P.1.4

Cal cul arl apot enci aconsumi daenl ar es i s t enci ade3Ldelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 5r educi e ndopr evi a ment el ar ed. [ Re s .3W]

Figura P.1.5

Ca l c ul arl ad. d. p.e nt r el osnudosM yNdel ar e ddel aFi gur aP. 1. 6. [ Res .U MN% 2V]

Figura P.1.6

 

1 2 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Enelci r cui t ode el l aFi gur aP. 1. 7,cal cul arl ascor r i ent esi1ei2,si mpl i f i cando op pr evi ament el ar ed. [ Res .i1% 9A;i2% 1A] Ca l c ul arl ad. d. p.ent r el osnudosAyBdelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 8,porelm mé ét odo od del asmal l as . [ Res ..3, 18V]

Fi gura P.1.7

Figur a P.1.8

Cal cul arl apot enci aabs or bi daporl ar es i s t enci ade3Ldelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 9porelm mé ét odo del asmal l as . [ Re s .27W] Cal cul arelval orde el l ar es i s t enci a R de lci r cui t omos t r ado oe enl aFi gur aP. 1. 10p 0par aque el l acor r i ent ei s e ace r o( Not a:Apl i ca relm mé ét odo od del asmal l as ) . [ Res .1, 923L]

Figur a P.1.9

Figur a P.1.10

Ca l c u l a rl ai nt e n s i da di delci r cui t odel aFi gur aP. 1. 11p 1porelm mé ét odod odel asmal l as . [ Re s .0, 577 7A A]

Ca l cul arporelm mé ét ododel asmal l asl ad. d. p.enbor nesdelgener adordecor r i ent edel aFi gur aP. 1. 12. [ Re s .9 9V V]

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   127

Figura P.1.11

 

Figura P.1.12

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 13,ca l cul ara)l ad. d. p.ent r el osnudosAyD;b)¿quépot enci as um mi i ni s t r aelgener adordecor r i ent ealci r cui t o? [ Res .a)U AD%.4V;b)  P %.3W]

Cal cul arl ad. d. p.enbor nesdelgener adordecor r i ent edel aFi gur aP. 1. 14. [ Re s .15V]

Figura P.1.13

 

Figura P.1.14

Ca l cul arl ad. d. p.enbor nesdelgener adordecor r i ent edelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 15 5p porelmét odo del osnudos . 5V] [ Res .U AB% 1,

Ca l c ul arl ad. d. p.ent r el osnudosAyBdelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 16porelmét odod odel osnudos . [ Res .U AB% 0, 806V]

 

1 2 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Figura P.1.15

 

Figura P.1.16

Cal cul arporelm mé ét odo od del osnudosl apot enci as um mi i ni s t r adaporelgener adordecor r i ent edelci r cui t o del aFi gur aP. 1. 17.  P % 48W [ Res . W] ]

Enelci r cui t ode el l aFi gur aP. 1. 18,det er mi narl aspot enci asel éct r i cass um mi i ni s t r adasporl osgener ador esdet ens i ón ny ydecor r i ent e,porelm mé ét odo od del osnudos .  P (  P (  P ( [ Res . 12V)%.36W W; ; 22V)% 110W; 1A)%.12W W] ]

Figura P.1.17

 

Figura P.1.18

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 19,l apot enci as um mi i ni s t r adaporelgener adordet ens i ón ne esnul a.Cal cul a r :a )c or r i e nt e I  s;b)d. d. p.U AC. [ Res .a)  I   ss % 3A;b)U AC%.1V] Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 20,cal cul arl aspot enci asel éct r i cass um mi i ni s t r adasporcadauno od del os

g e ne r a do r e sa lc i r c ui t o .  P (  P (  P ( [ Res . 3A)% 9W; 1A)% 0, 5W; 1V)% 0, 5W]

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   129

Figura P.1.19

 

Figura P.1.20

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 21,cal cul ar :a)pot enci adi s i pada ae en R1;b)pot enci as um mi i ni s t r adaporel gener adordet ensi ónU  s2 lc i r c ui t o.  s2a [ Res .a)  P (  R1)% 0W;b)  R  P ( U  s2 )% 40W W] ]  s2

Figura P.1.21

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 22,cal cul ar :a)pot enci aent r egadaporelgener adordecor r i ent ede2A; b)pot enci adi s i padaenl ar es i s t enci ade e3 3L. [ Res .a)  P ( 2A)% 36W;b)  P ( 3L)% 12W W] ]

Figura P.1.22

 

1 3 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 23,cal cul ar :a)pot enci ass um mi i ni s t r adasporl osgener ador esalci r cui t o; b)pot enc i a sdi s i pada sen nl l asr es i s t enc i as .Com mp pr obarque es s ecumpl eelbal anc ede ep pot e nci asen ne el c i r c ui t o,e sde c i r; P gen% ; P disip. [ Re s .a)  P  ( 5V)% 10W W; ;  P ( 3, 5A)% 31, 5W;  P ( 1A)% 4W;b)  P ( 1L)% 9W;  P ( 2L)% 2W; %1 % 4W; % 5W; %1  P (  P (  P (  P ( 1 , 5! 4% 45, 5W; 3) 2W W; ; 4L) 5L) 6L) 3, 5W.; P gen% 10! 3 % ! ! ! ! ! % ; P L 9 2 1 2 4 5 1 3 , 5 4 5 , 5 W ] d i s i p Enelci r cui t ode el l aFi gur aP. 1. 24,cal cul ar :a)cor r i ent eel éct r i ca as s um mi i ni s t r ada ap porelgener adorde t e ns i ón nd de2 e20V 0V;b)di f er enc i adepot enc i alen nb bor nesdelgene r a dordecor r i ent ede5A;c )pot e nci a el éct r i cas um mi i ni s t r adaporelgener adorde ec cor r i ent ede2Aalci r cui t o. [ Res .a)  I   xx % 5,  P ( 2A)% 12W W] ] 5A;b)U AD% 3V;c)

Figura P.1.23

 

Figura P.1.24

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 25,cal cul ar :a)pot enci ass um mi i ni s t r adasporl osgener ador es ;b)pot enci asdi s i padasenl asr es i s t e nci as .Com mp pr uébeseques ecumpl eelbal ancedepot enci asenelci r cui t o. %

%

%

%

 P   P (  P 1  P ( [ R e s . )) ( 1 0 V ) 2 , 5 5 V )W; 1 7, 5 W) ; ( 55A 62 , 5 W5 ;W; 2 , 5 5 . % % b ) P  ( 2a 7 8, 1 2 5W6 ;  P  ( 2W )% 3 , 12 5  P  ( 5L 2 W) ;  P 1 ( 5 )%  P  ( 4A )%2 2 5W; L L; L L)  P (  P ( 1L)% 6, 25W; 1L)% 25W W; ;; P  g  % ; P d d  % 267, 5W]

Figura P.1.25

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   131

Enelci r cui t odel aFi gur a,P. 1. 26,l apot enci ael éct r i cas um mi i ni s t r adaporelgener adordecor r i ent eal ci r cui t oesde54 4W W,cal cul ar :a)t ens i ónU  s de lgene r adordet ens i ónexi s t ent eent r el osnudosAyB; b)pot enci asel éct r i caspr oduci dasporl osgener ador es ;c)pot enci asdi si padasenl asr es i st enci as .Com mpr obarelbal anc edepot enc i asenl ar ed. [ Re s .a)U  s % 2V;b) P ( 2V)%.4W 4W; ; P ( 7V)% 14W; P ( 3A)% 54W;c) P ( 1L)% 1W; % ! ! L % L % L % L % W; ;  P ( 2 ) 2W;  P ( 3 ) 12W W; ;  P ( 4 ) 4W;  P ( 5 ) 45W W. .; P  g  .4 14 54% 64W ; P dd   % 1! 2! 12! 4! 45]

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 27,elgener adorde25 5V Vabsorbe unapot enci ade875 5W W.Cal cul ar : a)i nt ensi dad I  s s delgener adordecor r i ent e;b)pot enci agener adaporl af uent edecor r i ent edepend i e n t e . [ Res .a)  I   ss % 10A;b )  P % 1. 250W]

Figura P.1.26

 

Figura P.1.27

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 28,cal cul arelval orent er ode el l ar es i s t enci a R,s ielgene r adordependi e nt eent r e gaunapot enc i ade168 8W W alci r cui t o. [ Res .  R % 4L]

Figura P.1.28

 

1 3 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 29,l apot enc i ael éct r i cagener adaporl af uent edepe ndi ent eesde230 0W W, c a l c ul a rl at e ns i ónU  s del af uent edel ai zqui er dadel af i gur a.( Not a:Del osdosval or esques eobt i ene n,t óm me es eelques ecor r es ponde ec conl apol ar i dadmost r adaenl af i gur a) . [ Res .U  s % 30V] Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 30,cal cul arelval ordel at ens i ónU  s s il ac or r i e nt eib % 1A. [ Res .U  s % 15V]

Figura P.1.29

 

Figura P.1.30

r adordecor r i ent edel aFi gur aP. 1. 31s il apot enci aent r egadaporélal Cal cul arl amagni t udi s delgene c i r cu i t oe sde18 8W W.( Not a:Del asdoss ol uc i one spos i bl es ,t óm me e s el aquedél uga raun nv va l oren t er o . dei s) [ Re s .9 9A A]

 R s E n el c i r c i t o e l a F i g u r a P. 1. 3 2,cal cul arelval ordel ar es i st enci a ielge ner a dordet ens i ónde6V a b s o r b e uu n a pd o t e n c i a d e 48 W .

[ Res .  R % 4L]

Figura P.1.31

 

Figura P.1.32

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   133

Enl aFi gur aP. 1. 33e 3elgener adordecor r i ent et i eneuna am magni t ud dp pr opor ci onalal at ens i ónu x .Sil a pot e nci aent r ega da ap pores t egener adoralci r cui t oesde4W,det er mi narelval ordel acons t ant ek  de pr opor ci ona l i dad,sa bi endo oq queesunnúm me er oent er o. %

[ Res .k  4]

Figura P.1.33

Cal cul arapl i candoelpr i nci pi odesuper pos i ci ón,l acor r i ent ei queci r cul aporl ar es i s t enci ade4Lde l ci r cui t odel aFi gur aP. 1. 34. [ Res .i % 5A]

Figura P.1.34

Ca l c u l a rl ac or r i e nt eia delci r cui t ode el l aFi gur aP. 1. 35,apl i cando oe elpr i nci pi odes uper pos i ci ón. [ Res .ia % 4A]

Figura P.1.35

 

1 3 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Ca l cul arelci r cui t oequi val ent edeThéve ni nent r el ost er mi nal esAyBdel ar eddel aFi gur aP. 1. 36.  RTh% 20L] [ Res .U Th% 25V;

Figura P.1.36

Enelci r cui t ode el l aFi gur aP. 1. 37,cal cul arl acor r i ent ei apl i ca ndoe oelt eor emadeThéve ni n. [ Res .i % 0, 4A] Enelc i r c ui t ode el l aFi gur aP. 1. 38,de t e r mi na r :a )equi val ent edeThéve ni nent r eA yB;b)pot enc i a di s i padae aenunar es i s t enci ade4, 5Lcol oc adaent r eAyB.  RTh% 0, [ Res .a)U Th% U AB%.10V; 5L;b)18W]

Figura P.1.37

 

Figura P.1.38

Enelci r cui t odel aFi gur aP. 1. 39,s epi de:a)ci r cui t oequi val ent edeThéveni nent r eAyB,alext r ae r l ar e s i s t e nc i a R   de lci r cui t o;b)¿c uáldebe es s erelval orde R   pa r aque el l apot enc i adi s i padae ae nes t a r es i s t enci as eamáxi ma? [ Res .a)U Th% U AB%.115V;  RTh% 6L;b)6L]

Figura P.1.39

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   135

Ca l c ul are lci r c ui t oequi val ent edeThé veni nent r el ost er mi nal esA yBdel ar ed dd del aFi gur aP. 1. 40 ( aldesconect arl ar esi st enci ade4L) .Det er mi nar,apar t i rdelr esul t ado oa ant er i or,l apot enci adi si pada enl ar es i s t enci ade4L.  RTh% 1L;  P % 16W [ Res .U Th% 10V; W] ]

Figura P.1.40

Bi ogr af í as ( 17751836) .Mat emát i coy oyf í s i cof of r anc és .Ampe ` r enac i óene nels enod odeu eunaf af ami l i aac omodad ade cl as emed i a ,quedur an t eva r i asge ne r ac i one ss eha bí ade di c ad oal ave nt ades es ed a s .A muyc yco r t ae da ds eaf i c i onap aporl os es t udi osdebot áni caehi st or i anat ur al ,al oss i et eañossupr i nci pall ec t ur aso nl osvei nt i ocho ot t omo mosdel el aEnci cl opedi ade Di der ot ,l asobr asdeRous s ea uyVol t ai r e.Al Al ost r ec eañoscomi enz aai nt er es ar s eporl asmat emát i casyalcompr obarquel as obr asdeE eEul eryBer noui l l ies t án ne es cr i t asenl nl at í napr endees t ei di omacong ngr anr nr api dez .Sue ueduc ac i ónf nf uee eemi nent ement e r el i gi osa ,enc ncua nt oas uvi daf af ami l i arf uebas t ant et r i s t e:s upadr ef uee eej ec ut adoe oen1 n1793p 3porl osr evol uci onar i os ,l oquel el e ca us ópr of undapenayapat í apors uses t udi osf avor i t os ,en1799s eca s aconJ ul i eCar r on,quef al l ec een1804,j us t oelmi mi s mo añoenquel enombr anpr of es ordelLi ce odeLyon,e s t amuer t ef uet andol or os apar aAmpe ` r equenol ogr ócon s ol ar s eent oda s uvi da.Ene nelaño1806l enomb mbr anpr of es ordeAnál i s i sdel aPol i t éc ni caymást ar deocupaelca r godeI ns pec t orGene r aldel a Uni ver s i dadd ddePar í s.Sust r aba j oscomomat emát i cos os eext i endend ndes deelcál cul odep epr obabi l i dadeshas t al ai nt egr ac i ónd nde ecuaci onesdi f er enci al esender i vadaspar ci al es .Si nembar gol ol osest udi osmási mpor t ant esdeAmpe `r eser ef i er enal ael ect r i ci da d.A l as emanadec econoc er s eenF nFr anc i al osexp er i me nt osdeO eOer s t edd ddes ar r ol l ól ael ec t r odi námi caapl i ca ndoe oelcá l cul o  si una corriente lineal dispuesta paralelai nf i ni t es i malal ael ect r i ci dad.Ampe `r edi ol ar egl aquel el l evas unomb mbr e,as aber : mente a una aguja imantada es tal que circula aquella por el conductor entrando por los pies y saliendo por la cabeza de un  supesto obser v ador tendido a lo largo de la corriente y mirando a la aguja imantada,el polo de la aguja que se dirije al Norte  se desv ía por la acción de la corriente hacia la izquierda del obser v ador .Compr obóq óqueuncon j unt odees pi r aspar al el asque élde nomi nós ol enoi des eco mpor t abai gualqueuni mán. LaMemor i apr es en t adaen1827den omi nada :«Teoría matemática de los fenómenos electrodinámicos exclusi v amente deducidas de la experiencia »esunaadmi r abl econs t r ucci ónl ógi caydepr ec i s i ónmar avi l l osa .Enopi ni ónd ndeMaxwel l ,l aobr adeAmpe ` r eesunadel asmásbr i l l ant esquer egi st r al ahi s t or i adel aCi enci a, t a nt ol at eor í acomol aexp er i me nt ac i ónbr ot ar ondeunmodoas ombr os odel ament edelquef uer aapo dadoporMa Maxwel lcomo elNe Newt ond ndel aEl ect r i ci dad. ( 17071783) .Ma Mat emát i coal emándeor i gens ui zo.Supadr eer aunp npas t orca l vi ni s t aquequer í aques uhi j o es t udi as et eol ogí a.Si nembar goes t udi ómat emát i casbaj ol asens eña nzasdeJ uanBer noui l l i ,yf uecompañer odel oshi j osde es t e,Ni col ás( 16951726)yDani el( 17001782) .Al Al osdi ec i nueveañosganóunpr emi odel aAca demi aFr anc es aporunt nt r aba  j os obr ear bol adur adebuques .Gr a ci asal osher ma nosBe r noui l l icons i gui óunpues t oe nl aAca demi adeCi enc i a sdeSan Pet er s bur go,enRus i a,comenz andocomoayudant edeDani elBer noui l l iys ys uce di éndol emá st ar decomopr of es or( 17331741) .

En1741,i nvi t adop oporFede r i coe oelGr and e,s et r as l adóa óaBer l í ncomoca t edr át i cod odem emat emát i ca s ,dondep eper man ec i óhas t a 1766.A l ol ar god ode ee es t eper i odo,Eul e ri mpar t i ól ec ci onesal apr i nces adeA eAnhal t Des s au,sobr i nad adelr ey yd deP ePr us i a;es t as l ecc i ones ,sobr edi ver sost emas :ast r onomí a,f í si ca,f i l osof í ayr el i gi ón,f uer onp npubl i cadasmást ar dec ecomo mol asCartas a una  princesa alemana yt odav í as el ee nconpl ac er .En1766,ap apet i ci ónd ndeCat al i nal aGr an de,r egr es óaRus i a,aunq uet emi endo l osef ec t osdelr i gur osocl i mas obr es udebi l i t adavi s t a( habí aper di dol ol avi s i ónd ndeunoj oen1735);enef ect o,sevol vi óci egoal

 

1 3 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

poc odel l ega raRus i a,pe r mane ci endol ol osúl t i mosdi ec i s i et eaño sdes uvi dapr i vadodel avi s i ón.Nof uer onp nporel l omenos f r uct í f er osquel el ospr ece dent es ;Eul ert ení aunamemor i apr odi gi osa ;r ecor dabal asf ór mul asdel at r i gonomet r í aydeanál i s i s as ícomol aspot e nci as ,has t al as ext a,del osci enpr i mer osnúmer ospr i mos ,pornoh ohabl ardei nnumer a bl espoemascomol a Enei da,delpoet ar oma manoV oVi r gi l i o,ent er a.Su um memor i aer at ani ni mpr es i onant equep epodí ar ea l i za rment al ment ecá l cul osque ot r osmat emát i coscompet ent esr ea l i za ban nc condi f i cul t ads obr eelpapel .Fueu eunod odel osmat emát i cosmáspr ol í f i cosdet odos l ost i empospueses cr i bi ót r at adoss obr et odasl asr amasdedi chaci enci a.Ap Apl i cól ól asmat emát i casal aas t r onom mí í as i endop opr ecur s ordel asi deasdeLapl aceyLagr ange.Cr eadordel at opol ogí aquet i eneapl i cac i oneseneles t udi odel asr edesel éct r i casy t ambi éndel amec áni caanal í t i cayl amec áni cadel oscue r posr í gi dos.Cont r i buyóenor mement eal adi f us i óndel asmat emát i casporsuse nci l l ezycl ar i dad dd deexposi ci ón.Esc r i bi ónume mer ososl i br osdet ext ossobr emecáni ca,ál gebra ,anál i si smat emát i co,geome met r í aanal í t i caydi f er enc i alys ys obr ecá l cul odev evar i ac i ones .Sel el eat r i buyent nt ambi énm nmásdeu eunm nmi l l ardeM eMemor i as , dosc i ent asdel ascual ess edes cubr i er onc ncuar ent aañosdes puésdes umuer t e. ( 1737-1798).Mé Médi coyf í si coi t al i ano.Est udi ól acar r er ademedi ci naensuci udadn dnat al .Cat edr át i codeanat omí apr áct i cae nl aUni ver s i dadd ddeB eBol oni a( 1775) .Enes et i empo oe en nl l osl abor at or i osdel el asf ac ul t ade sdem emedi ci nae aexi s t í an apa r at osel éct r i coscomol abot el l adeLeyden n( ( pr i mi t i voc ocondens ador )ques eseempl eaba npar ai nves t i garl osef ec t osdes es us de s ca r gasenelcue r pohumano.Gal vaninot óquel osmús cul osdel asanc asdeunar anadi s ec adaexp er i ment aba ncon vul s i onescuandol esl l ega baunades ca r gael éct r i ca .Susobse r vac i onesl aspubl i cóen1791e 1ens umemor i a«  De v iribus electricitatis in motu musculari »( Sobr el osef ec t osdel el ael ec t r i ci dade dene nelmovi mi ent omus cul ar ) .Gal vaniadmi t í al aexi st enci adeu euna el ec t r i ci dada dani malpar t i cul aryas i mi l abal osmús cul osdel ar anaaunaes pec i edecondens ador( anál ogoa oal abot el l adeLeyden) .Al exandr oVol t a,queporaquelent onceser acat edr át i codeFí si caenl aUni ver s i daddePaví a,s i gui ódecer cal osexper i ment osdeGal vaniys epl ant eóelprobl emadesil acor r i ent eel éct r i caqueapar ecí aalest abl ec erelcont act odel asdospi ez as met ál i ca sconelmú mús cul o,t ení as uor i genenelmú mús cul ooenl aspi ez asmet ál i ca s .Par acompr obar l odec i di óen1794hace rus o del osmet al ess i ni nt er venci ónd ndelmú mús cul oyvi oquealmo moment os ees t abl ec í aunacor r i ent eel éct r i ca ,porl oquededuj oque not ot ení anadaquev everconl nl ost ej i dosmus c ul ar es .Es t aexpl i ca ci ónp npr oduj ounav avi vap apol émi caent r eGal vaniyVol t a,par a demost r ar l oes t eúl t i modes ar r ol l óyconst r uyól ól api l aquel el l evas unomb mbr e.Gal vanimur i ódi s gust adop oporl ai deadelf r aca so. Enl osúl t i mosdi ezañosdes uvi da,si nembar go,t r i unf óalconver t i rs unombr eenun nv voca bl ocomún:l ael ec t r i ci dadper manent epr oduci dap apordosmet al esen nc cont ac t os el l amóel ec t r i ci dadg dgal váni ca ,eno nopos i ci óna nal ael ec t r i ci dade des t át i caques ese pr oducí aalf r ot arámbars obr evi dr i o.Ampe ` r een1820,t ambi éns ugi r i óquee eeli nst r ume ment opar adet ec t arelpas odel acor r i ent e el éct r i casedenom mi i nar agal vanóme met r oenhonoraGal vani .Enl aac t ual i dadl apal abr agal vanóme met r or epr es ent aunapar at opar a medi rpequeñascor r i ent esel éct r i cas ,mi ent r asques ies t ass one nel evadas ,sedenomi mi naamper í met r o. ( 18211894) .Fi s i ól ogoy oyf í s i coa oal emán.Es t udi ómedi ci nae aenB nBer l í n.Fue pr of es ordef i s i ol ogí aenKo ¨ni gsber g( 1849) ,má mást ar deenBonn ny ypost er i or ment eens eñóf í s i caenBer l í n( 1871) .Di f í ci lser í a enc ont r arot r os abi odel ost i emposmoder nosquehayaej er ci dot ot ant oi nf l uj oenmuchost er r enosdel aci enc i a;ye yel l of ues ol o pos i bl eaques es usgeni al esdot esdei nves t i gadorys uhabi l i dadd ddeexpe r i ment adori bandi r i gi dasygui adasporunapr of unda penet r aci ónf nf i l osófi caquel el l evabaal ascues t i onesf undament al es.Enmedi ci nahi zogr andeses t udi ossobr el osór ganosdel a vi s t ayeloí do.En1850i 0i nvent óelof t al mos copi o.Enf í s i car ar ea l i zót ót r abaj osen ne el ec t r odi námi ca ,per os ucont r i buci ónm nmás i mpor t ant ees t ár el aci onadac aconelpri nci pi odeconser vaci ónd ndel aener gí a,alquel el l egópores t udi osenl aacc i ónm nmusc ul aren e lt a ñ o o1 4 7u ;n Ma Mm ay e r a b í ae e n u c i a d o e l r i nc i pr i o d ec e cg o n e r v a c i ó nd n da e el l a e n e r g í a e n1 n 18 4 2 , ps e r o H e l m h o l t z l o h i z o c o n á s de a l l e1 y8 d e nm o d om oh m á s s p en cí f i c o ,a s íp qu ep e p o r e g l a es n e r a l , s e l e t r i bu y e e l ho n or d e l de c ub r i m i e n t o , au nq u ea e ah o r am ha y unat endenc i aacompar t i r l oent r eHel mhol t z ,Ma Maye ryJ oul e.Sei nt er es óporl ost r aba j osdeMaxwel lyp ypl ant eóelpr obl emade s i t uarl ar ad i ac i óne nel ec t r omagnét i caf uer adeles pec t r ovi s i bl eas udi s cí pul oHer t z,qui enl nl opr obóm ómást ar ded edeu eunm nmodo rotundo. ( 18241887) .Fí s i coal emán.Es t udi ómat emát i casenKo ¨ni gsber g.En1845s 5si endoaúnes t udi ant e, ampl i ól al eyd ydeO eOhm aconduc t or esde ed dosdi me ns i onesyde mos t r ól a sl ey esquel l e va ns unombr eyquer el aci ona nl as cor r i ent es ,t ens i onesyr es i st enci asenl osci r cui t osel éct r i cos .En1848y 8ybasá ndosecomoOhme m enl aobr adeFour i er(t eor í adel ca l or )es t abl ec i ól at eor í agener aldelpas odel el ael ec t r i ci dade denl nl osconduct or esdet et r esdi mens i ones .En1847l 7l enomb mbr ar on  Priv atdozent ( pr of es ors i ns al ar i o)del aUni ver s i daddeBer l í nyt r esañosmást ar deace pt óelpues t odecat edr át i cod odeFí s i ca del aUni ver s i daddeBr es l au.En1854l enomb mbr ar onCat edr át i codeFí s i caenHei l der ber g.Enes t auni ver s i daden1859demos t r ól al eyf undament aldel ar adi aci óne nel ect r oma magnét i ca:  para todos los cuerpos cuerpos materiales,la relación entre el poder emisi v oy el de absorción absorción para cada radiación es una función univ ersal que depende únicamente de la temperatura y la longitud de onda.Ki chhof fhi zoes t edes cubr i mi ent ot r abaj andoconBunse nycua ndo oe es t udi aba neles pect r oópt i codel osel ement osquí mi cos ,l oqued edar í al ugaral oques es eden omi nar í ades pué saná l i s i ses pec t r al( 1860) ,demos t r ar onq nquec ecua ndo ou un ne el ement o qu í m i c ou s e a l i e n t a h al s t a l a i n c a n d es c e n c i ar e m i t e u n a l u ze c o n nc nt co or c a a c t e r í s t i co ; a l h a c e ri p a a r e s t al u z p o r np n p r i s m ar , s e p r o du e np nc p a t r ó n nd d e o ng i t u d e s d e o n d ap a p o pi o d e c a d a l e mu e o .l A pl i cr a n d o e s t a t éc n i c a , Ki K r cs h h o f f y B u n s e nu i de n t i f i c o n

el emen t osc omoelces i o( 1860)yelr ubi di o( 1861 ) .En1874o 4obt uvo ol l ac át ed r adef ef í s i camat e mát i c ae nl aUni ve r s i da dde Ber l í n.Hi zot ambi éni ni mport ant esaport aci onesene nel ast i ci dad,t eor í amecáni cadelcal oryópt i ca. ( 1898-1983) .I ngeni er oel éct r i coamer i cano.Est uvod odes t i nadoe oenl aar madaamer i ca nadur ant el aPr i mer aGuer r aMundi al .Alf i nal i za rl aguer r aes t udi óenl aUni ver s i daddeMai neymást ar deenelMI MI Tdondef i nal i zós uses t udi os

 

I NT RODUCCI ÓN AL AT EORÍ ADEL EL OSCI RCUI T OSEL ÉCTR I COS   137

dei ngeni er oel éc t r i coen1922.I ngr es óenes emi s moañoenl aWes t er nEl ec t r i c,ymást ar deen1925,cuandol osl abor at or i os dei nves t i gac i óndees t aempr es as euni er onal osdel aATTpar af or marl osLabor at or i osdel aBel lTel ephone ,Nor t onpas óa es t enuevacompañí a,dondep eper manece r í aelre s t odes uvi da.Susár easdet r abaj of uer on:t eor í ader edes ,r el és ,re desac úst i ca s ,di r ec c i onesdet et i r o( dur ant el aSegundaGuer r aMundi al ) ,mi s i l esgui ado s .Pos e í amásde20p 0pat ent esenl osca mposde i nvest i gaci óna nant er i or es( unadeel l ast ení ar el aci ónc nconelsi st emadegui adodel osmi si l est i poNi ke) .Nor t ons nsehi zomundi al me nt eco noc i doporelt eo r emaquel l ev as unombr equepubl i cóen1926;e sunt eo r emadua ldeldeThév e ni n,ei ndi caque se  puede sustituir una red cualquiera por un generador de corriente en paralelo con una admitancia. ( 18341889) .Fí s i cof r ancés .Es t udi óenelConser vat or i odeAr t setMe Met i er sdePar í s .Algr aduar s e,supr i mer t r aba j of uecomoayud ant edeBec quer el .De s pué sent r óat r aba j a rcomoquí mi coenl aempr es aChr i s t of l eyCompañ í a,donde r eal i zói nvest i gaci oness obr el anat ur al ezadel apol ar i zac i ón,queyahabí acomenzadoaes t udi arconBecquer elyq yques er í ael i ni ci odel oquel el l eva r í amást ar deai nvent aren1859elac umu mul adorel éc t r i codepl omoquel l evas unombr e,c onst i t uí dopor pl ac asdepl omo mos ume r gi dasenác i dos os ul f úr i co,que ee eses enc i al ment eelmi mi s mot i poq oquel l eva nhoyd ydí al osaut omóvi l es .La vent aj adelacumul adorf r ent eal api l adeVol t aess upos i bi l i dadder ec ar ga,l oqueper mi t eunamayordur ac i ónr nr es pec t oal as pi l as .Elpr i merusocomer ci aldelac umu mul adordePl ant éf ueenelal umbr adodet r enesenl al í neadef er r ocar r i lent r eBr i ght on yl aCos t aSureno noc t ubr ede1881.Ene s emi s moañoP oPl a nt ér eci bi óunDi pl omadeho nore nl aExpos i ci óndePar í syf ue nombr adoCabal l er odel aLegi ónd ndeH eHonor .Ens usút i mosañosPl ant ér eal i zóes t udi oss obr el ael ec t r i ci dada dat mos f ér i caque publ i cóenunpequeñol i br oconelt í t ul o:  Phénome`nes `nes Électriques É lectriques de l’Atmosphe`re `re .En1 n1879l aAca de mi af r an ce s adeCi en Recherches sur L’Electricité.Enes ci asr ecopi l ót odossust r abaj osenunt í t ul oúni co: t evol umens edes cr i bengr ancant i dadde exp er i ment osydondes epr es ent as ucé l ebr emáqui na ar r eos t át i caqueu eut i l i za ba au unc nconj unt ode8 e800a 0ac umul ador esconl nl aque conseguí aobt energr andest ensi onesycor r i ent es. ( 1 90 0 1 9 90 . I n g e n i e r od h ol a n d é s . S e g r ad u óe ó eni n i n g e n i e r í au el é c t r i c a e nl n a U n i ve r s i da d D e l f t n 1 9 2 3 . Alañosi gui ent ei ngr e s ó e n l o s L) a b o r a t o r i o s e I n v e s t i g a ci ó nd n d e l a co m p a ñ í a m t i n a c i on a ll P h i l i p s e n E i n dd he ov e n( n ( He o l a n d a ) Suspr i mer asi nvest i gaci onesf uer ons ns obr et ubosdevací oovál vul asel ect r óni cas .Como moconse cuenci ades usi nves t i gaci ones, en1926 6i i nvent óelpent odo,unavál vul adeci ncoel ect r odos:ánodo,cát odoy oyt r esr ej i l l as .Ac A cont i nuaci ónT nTel l egens ededi cóa l osci r cui t osel éct r i cos,es t andoi oi nt er es adoe oenl ospr obl emasf undament al esder edescomo modual i dad,t eor í adegr af osysí nt esi s der ede s .En1948,es t udi andol asr ede scl ás i ca sconel ement ospas i vos,l l egóal aconcl usi ón,dequeer anece s ar i oañadi run nuevoe oel ement ot eór i coal oscomponent escl ás i cos :r es i s t enci a,i nduct anci a,capa ci dady dyt r ans f or madoryqueb ebaut i zócone nel no mbr ede girador .Dur ant eal gunosañospubl i cómuchosar t í cul oss obr ees t enuevoc ocomponent equenocumpl í al asr el aci onesder eci proci dadd ddeci r cui t osyqueer aant i si mét r i co.Añ Añosdespuésseapl i car onsusi deaspar aconst r ui rung ngi r adorpr áct i co, ques eut i l i zóenelcampodel asmi cr oondasyquee eempl eabaf er r i t aspr emagnet i zada s.Ali nvent ar s eelampl i f i cadoroper aci onal ,s eut i l i zóu óunc nci r cui t oes peci alpar ai mpl ement arelgi r ador ;obser vándoseque,t alcom mo opr edecí aTel l egen,alcar garel gi r adorconuncondensa dor ,seobt ení aunaconf i gur aci ónc nconpr opi edadesdei nduct anci a.Es t osr es ul t adosf uer onmuyi yi mpor t ant eseneldi s eñoel ect r óni co,yaq aquesepodí apr es ci ndi rdel aconst r ucci ónd ndebobi nas ,queer anel ement oscar os,pesa dosy conunc ncompor t ami ent onol ol i nea ldebi do oa al as at ur ac i ónm nmagné t i ca .O Ot t r odel ost r aba j osmási mpor t ant esdeTel l ege nf uel a publ i ca ci óne nen1952d 2deun nt t eo r emage ne r alde er r ed e squel l ev as unombr e,yq yqueagr an desr as gosesunage ne r al i z ac i ónd nde l pr i nci pi odeconse r vaci ónd ndel apot enci aenun nc ci r cui t oel éc t r i co.Ent r el osaños1946y 6y1966,Tel l egenf uepr of es orext r aor di ni a r i o d e c i r c u i t oc si ei l é t r i c o sv e n l a U n i ve es r s i d a d e l f t . D e s d e 1 9 4 2 2a a 5 2f 2 u e r e s i d e n t ed de el l a S o c i e da du h o l a n d e s a d eI e l e c t r ó n c a y r a d i o . R e b óc e n s u i da g r a n d p r ed mi o sD ye c o n d e c o r ac i o n es :1 m9 i e mf b r op h o n o r a r i o I n s t i t u t o A s t r a l i a n od o d e n g e n i e r osdeRadi oen1953,Pr emi odeI nves t i gaci óndelI ns t i t ut oRea lHol andésdeI ngeni er osen1954,Me Meda l l aEdi s ondelI EEEen 1973,porsuscont r i buci onessi gni f i cant esal at eor í adel el osci r cui t osel éct r i cos,i ncl uyendol ol ai nvenci ónd ndelgi r ador .En1960 i ngr es óc omoa cadé mi coe nl aRea lAca de mi adeCi en ci asHol a nde s aye n1970f uenombr a doD oDoc t orHo Hono r i sCaus aporl a Uni ver s i dad dd deDel f t . ( 18571926) .I ngeni er of r anc és .Es t udi óenl nl aPol i t éc ni ca .En1878i 8i ngr es ócomoi ngeni er oenel Cuer pod odeTel égr af os ,pues t oenelquep eper manec i óhas t as uj ubi l ac i óne nen1914.Dur ant ees t eper i odon onor mal i zól acons t r ucci ónd ndel í neasaér east el egr áf i casenFra nci a.En1896f 6f uenomb mbr adoDi r ect ordel aEs cuel aProf es i onalSuper i ordondeens eñó mat emát i ca sei ngeni er í ael éc t r i ca.Sucél ebr et eor emas epubl i cóen1883e 3en Annales Telegraphiques ymást ar des epr es e nt ó enl aAc ad emi adeCi en ci as( Comptes Rendus de l’Academie des Sciencies ,di ci embr ede1883,pág.159) .Rea l ment eelt eor emadeThé ve ni nf uepub l i ca doe oen1853porH.He l mhol t zenel  Analen der Physik und Chimie dePoggendor f( pág.211) . ( 19211997) .I ngeni er oel éct r i coamer i ca no.Segr aduóenl aUni ver s i daddeUt ahen1943,en pl en aSegundaG aGuer r aMundi al ,porl oquef ef uer er ec l ut adoi oi nmedi a t ament epar at r aba j arene nelLabor at or i odeR eRadi ac i ónd ndel I nst i t ut oTecnol ógi codeMass achuss et s( MI T) ,eneldi se ñoder adar es ,baj ol adi r ecci ónd ndelgr anpr of es ordeci r cui t osel éct r i cos :Er ns tGui l l emi n.En1946obt uvoelMá Más t erenelMI MI Tyvol vi óal aUni ver s i daddeUt a h,comopr of es ordelDepa r t ament o

deI ngeni er í aEl éct r i ca.En1949set r as l adóal aUni ver si daddeSt anf or d,par ar eal i zarsusest udi osdedoct or ado,r eci bi endoe oel gr adodedoct oreni ngeni er í ael éct r i caen1952.En1955f uecont r at adocomocat edr át i coporl aFacul t addeI ngeni er í aEl éct r i cade el l aUni ver s i dadd ddeI eI l l i noi senU nUr ban aChampai gn,per mane ci endoa oal l íhas t a1966.Ent r e1966y 6y1974f 4f ued edi r ec t ordel depar t ament odei ei ngeni er í ael éct r i cadel aUni ver s i dadd ddeP ePr i ncet on.En1974vol vi óal aUni ver s i dadd ddeI l l i noi s ,cont r at ado comocat edr át i codeci r cui t osel éct r i cosyen1984 4f f uenom mb br adod odi r ect ordel aEsc uel adeI ngeni er í a,car goq oquee eej er ci óhas t a

 

1 3 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

suj ubi l aci óne nen1988.Ma Magní f i copr ofe s ordeci r cui t osel éct r i cos;sa bí acont agi aral osal umn mnossuent usi amoporl aasi gnat ura , des ar r ol l andos osuscl as esenunambi ent egr at oydi st endi do,auxi l i ados osi empr edes ust i zasdecol or espar adest acarenl nl api zar r a l osconcept osmási mport ant edel asr edesel éct r i cas .Susgr andesdot espedagógi cashi ci er onq nquel el oses t udi ant esl ebaut i zar an co nels obr e nombr ede  gurú de los circuitos eléctricos.En1955publ i cól apr i mer aedi ci ónd ndes ul i br o Network Analysis ,que ens egui daf ueadopt adocomol i br odet ext oendi ver s asuni ver s i dadespors ucl ar i dadd ddeexposi ci óny nyt r aduci doa oavar i osi di omas ,ent r eel l oseles pañol .En1960esc r i bi ósuse gundol ol i broquet et r at abasobr el así nt esi sder edesel éct r i cas .Ent ot alpubl i có t r esl i br osyenot r oscuat r omási nt er vi noc ocomocoaut or .Di r i gi ócer cadeci ncuent at es i sdoct or al es .Mi Mi embr odel aAcademi a Nac i ona ldeI ngen i er í adeEE. UU,Me Meda l l adeEduca c i óndelI EEE,Me Meda l l adelCent ena r i odelI EEEen1984.Pr emi oGui l l emi n.Edi t ordePr oc e e di ngsde lI EEEyt ambi éndel asTransactions on Circuit Theory delIEEE. ( 17451827) .Fí s i coi oi t al i ano.Es t udi óens ns uci udadn dnat alys obr eelaño o1 1765s 5s es i nt i óat r aí dop oporl os exper i ment osel éc t r i cos .En1774r 4r eci bi ós upr i merdest i noa oac adé mi cocomopr of es ordelI ns t i t ut odeComo.Al Alaños os i gui ent e des cubr i óelel ec t r ófor o;es t eapar at oconsi s t í aenun nd di s com omet ál i cor or ecubi er t odee eeboni t ayot r odi s cot ambi énm nmet ál i coq oque di s poní adeu euna nas aai s l adael éc t r i ca ment e;alf r ot areldi s cod odee eebon i t a( porej empl ocon nu unag agamuza )adqui er eunac aca r ga el éct r i canegat i va;sisecol ocaenci maeldi sc omet ál i co,apar eceenl asuper f i ci ei nf er i ordeest eunacar gael éct r i caposi t i vay enl as uper i ornegat i va;es t aca r ganegat i vadear r i bapuede el l l evar s eat i er r ayper der s eyr epi t i endoe oelpr oces opodemoscr ear unagr anca r gaeneldi s coques os t enemosconelas adelsuper i or .Es t eapar at oac umul adordecar ga,s us t i t uyóa óal abot el l ade Leydencomodi s posi t i vo oa acumul adordec eca r ga ae el éc t r i caye self undament odel el osconde ns ador esel éc t r i cos .Ca t edr át i cod ode f í s i c aapl i ca dad adel el aUni ver s i daddeP ePaví a( 1779) .En1781c 1con s t r uyóu óune nel ec t r óme met r omej or andoe oelapa r at ode eD DuFay.En 1792compr endi ól ai mpor t anc i adeldes c ubr i mi ent odeGal van iyac ept óenpr i nci pi os ut eor í a.Des puésdem emuc hosexpe r i ment ose ns ul abor at or i o,r ec hazócompl et ament een1793 3l l at eor í adel ael ect r i ci dadani maldeGal vani ,dem mo os t r andoquel os mús c ul osdel el ar ananos os econ t r ae ns iel«ar co»queci er r aelci r cui t oes t áf or madoporunú núni comet al .En1800,ut i l i za ndo di sc osdecobr e,ci ncycar bón ni i mpr egnadoenunas ol uci ónsa l i na,i nvent ós uf amosapi l aqueper mi t í apr oduci runf l uj ocont i nuodec ecorr i ent eel éct r i ca. ( 18021875) .Fí s i coi oi ngl és .Er ahi j odeu eunv nvendedordei ns t r ume ment osmus i cal es .Loeduc ar one nen nu una es cuel apr i vadap aper onot ot uvou ouna af f or mac i ónu nuni ver s i t ar i aof i ci al .Ens uspr i mer osañoss ededi có óa al aac úst i ca ,f abr i ca ndo di ver s osi nst r ume ment osmusi cal es ,porej empl oen1821 1h habí ademost r adoelf unci onami mi ent odeunalira encantada,queer auna apl i ca ci ónc ncur i os adel at r ans mi s i ónd ndelsoni dop opormedi odebar r asmet ál i ca s .Lades cr i pci ón nd dees t ei ns t r ume ment ol ahi zoe oen 1831ant el aRoyalI ns t i t ut i ondeLondr es ,comp mpr obandoquel avel oci daddepr opagac i óndelsoni doenunabar r as ól i daer a16 vec esl adepr opagac i óne nene nelai r e.En1833s 3s ei nt er es óporl ael ect r i ci dady dypubl i cóenl aRoyalSoci et yun na ar t í cul os obr el a vel oci da ddel ael ec t r i ci dadb dbas adoe oenune nequi po od di se ñadop oporélmi s moquec econs i s t í aenunc nci r cui t oabi er t oport r espunt os di s t i nt osenl osques epr oducí andes ca r gasochi s pasys er egi s t r abanes t asmedi ant eune nes pej ogi r at or i oqueper mi t í a,deu eun modocur i os o,ca l cu l a rl avel oci dad dd depr opaga ci ónd ndel achi s payquel l egóa óadet er mi narconune ner r ori nf e r i oral3% 3%.Es t e t r aba j ol eac r e di t óant el aco muni dadc dci en t í f i caporl oquel el econt r at ar one nen n1 1834c 4comoca t edr át i cod odef ef í s i cae ae nelKi ng’ s Col l egedeLondr es ,pues t oenelqueper mane ce r í aelr es t odes uvi da.Má Mást ar dej unt oconWi l l i amF m Fot her gi l lCookei ei nvent ó elt el ég r af oen1837( 7( Webe ryGa us sha bí anf abr i cadoo oot r oenGot i ngaen183 4yeldeMor s ee sde1 e1840) .Real ment eel t el égr af odi s eñadoer amuyp ypr i mi t i voy oydi s poní adeci ncoh ohi l osyci ncoaguj asmagnét i ca s ,det et almo modoq oquealdes vi ar s ees t as p o r ac c i ó nd n de l a s c o r i e n t e s s e co n s e g uí ar n b t e ne r i v e r s a s l e t r a s d lm al f a b e t o. En 1 84 1t 1 t a m i é n o n s t r u yoe óu óu ng n e n e r a d or e l éc t r i c o e h i zoa o ap o r t a cr i o n e s e ne n el d i s e ñ o p áo c t i c od o d ed ed d e v a n a d o s . S i ne e b a r g os o s u no m b r e e sb m á sc c o n o c i d o e ng r e l a c i ó nc n co n e l de nomi na do op pue nt edeWhe at s t one ,quee eesun ne eq ui pop opa r amed i rl ar es i s t e nc i adeu eunc nci r c ui t omed i an t eune neq ui l i br ad ode cor r i ent es ;c ur i os ament ees t epue nt edemedi daquel l evas unombr eno of f uei nvent adoporélys ys edeb eenr ea l i dadalt ambi én i ngl é sSamu muelHu Hunt erChr i s t i equel oi nvent óen1833.

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  Capí t ul o2 Ci r cui t osdecor r i ent eal t er na si nus oi dal I nt r oduc ci ón  2 . 2 On das i nus oi dal :gener ac i ónyv al or es as oc i ados  2 . 3 R epr es ent ac i ónc omp  j l ea deunam ma agni t uds i nus oi dal  2 . 4 De r i vadaei nt egr aldeunamagni t ud s i nus o i da l  2 . 5 E ldomi ni odelt i empoyeldomi ni o del af r ec uenc i a  2 . 6 R es pues t as i nus oi daldel osel ement os pasi vos  2 . 7 I mpedanci ayadmi t anc i acomp  j l eas  2 . 8 An ál i s i sdec i r cui t osenr égi men per manent esi nusoi dal  2 . 9 P ot enci aenunci r cui t oel éct r i coen r égi mendecor r i ent eal t ernas i nusoi dal   2 . 1 0P ot enc i acomp  j l ea   2 . 1 1 F act ordepot enc i a:s ui mpor t anci a pr ác t i c a   2 . 1 2 Co r r ecc i óndelf ac t ordepot enci a   2 . 1 3 Me di dadel apot enc i aenc. a.   2 . 1 4 T r ans f er enci amáxi madepot enc i a   2 . 1 5R es onanc i aenc . a.   2 . 1 6 L osfil t r osel éct r i cos   2 . 1 7 Ci r c ui t osel éct r i coscons eñal es nos i nu s oi da l e s  2 . 1

 

1 4 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Ene lc a p í t u l oa n t e r i o r ,s eh a nd nd e s a r r o l l a d ol ol a st é c n i c a se mp l e a d a se nt e o r í ad ec i r c u i t o s , r e s o l v i e n d oe oe j e mp l o sc o ne x c i t a c i o n e sd ec . c .p a r ah a c e rmá ss i mp l el aa p l i c a c i ó nd nd el o s t e o r e ma se s t u d i a d o s . Ala n a l i z a rl a sr e d e sd ec o r r i e n t ea l t e r n a ,s u r g eap r i me r av i s t au n a d i f i c u l t a dp a r ar e s o l v e rd i r e c t a me n t el a se c u a c i o n e sd ec o mp o r t a mi e n t od el o sc i r c u i t o s , y a q u eo b e d e c e ne ng e n e r a lae x p r e s i o n e si n t e g r o d i f e r e n c i a l e s .S i ne mb a r g oy oyc o mos ev e r á e ne s t ec a p í t u l os is eu t i l i z au n at at r a n s f o r ma c i ó nf nf a s o r i a l ,l a se c u a c i o n e ss ec o n v i e r t e ne ne n e x p r e s i o n e sa l g e b r a i c a sd e f i n i d a sp o rn ú me r o sc o mp l e j o s ,o b s e r v á n d o s ee n t o n c e sq u es es u e s t u d i oe sb a s t a n t es i s t e má t i c o ,g u a r d a n d og r a na n a l o g í ac o ne l d e s a r r o l l ov i s t oe ne l c a p í t u l oa n t e r i o r . Lai d e ad ee mp l e a rl o sn ú me r o sc o mp l e j o se ne l e s t u d i od el ac o r r i e n t ea l t e r n ad a t ad e la ñ o1 o1 8 9 6y 6ys ed e b eaC.P .S t e i n me t z( u ni n s i g n ei n g e n i e r od el aCo mp a ñ í a Ge n e r a lEl e c t r i c ) ,q u ed e n o mi n óae s t ep r o c e s o : yq u es i mp l i f i c a r í ae l e s t u d i od el ac . a . Alh a b l a rd ec o r r i e n t ea l t e r n a ,s es o b r e e n t i e n d eq u es er e f i e r eal ac . a .d et i p os os i n u s o i d a l , f u n d a me n t a l me n t ee s t oe sa s í , p o r q u el ao n d as e n oe sl aq u es eo b t i e n ee nl o sg e n e r a d o r e sd ec . a .( a l t e r n a d o r e s )d el el a sc e n t r a l e se l é c t r i c a syc o n s t i t u y ea ea d e má sl ab a s ed el a p r o d u c c i ó n , t r a n s p o r t eyd i s t r i b uc i ó nd el ae n e r g í ae l é c t r i c a , d e b i d oa oaq uel ac o r r i e n t ea l t e r n ap u e d ea d a p t a rs ut e n s i ó nal o sv a l o r e sr e q u e r i d o sp o rme d i od et r a n s f o r ma d o r e s , c o nl o q u es el o g r au ng r a nr e n d i mi e n t oe ns uu t i l i z a c i ó n . Deh e c h ol ac o r r i e n t ea l t e r n as ei n t r o d u c ee nl ai n g e n i e r í ae l é c t r i c ac u a n d oL oLu c i e nGa u l a r dyJ o h n Di x o nG nGi b b sd e s c u b r e ne n 1 8 8 4l oq u ee l l o sd e n o mi n a r o ng e n e r a d o rs e c u n d a r i oyq u emá st a r d e , t r a sa l g u n a smo d i f i c a c i o n e sr e a l i z a d a sp o rDe r i , Bl a t h yyZy p e r n o ws k yd el aCo mp a ñ í aGa n zd eBu d a p e s t , s e c o n v e r t i r í ae ne lt r a n s f o r ma d o r . Elt r a n s f o r ma d o rs e r í al ab a s ep a r ae ld e s a r r o l l od el a sr e d e sd et r a n s p o r t eyd i s t r i b u c i ó nc o nc . a . q u ec o me n z óe ne l a ñ o1 8 8 5 . Co mos eh as e ñ a l a d oe ne l Ep í g r a f e1 . 4 , u n ad el a sc a r a c t e r í s t i c a sd el a ss e ñ a l e sp e r i ó d i c a se sl af r e c u e n c i a ,q u ee se ln ú me r od ec i c l o sp o rs e g u n d o( Hz ) ;c u a n d os ed e c i d i óe l e mp l e od el ac . a . h u b o oq q u ee l e g i re l v a l o rd ee s t af r e c u e n c i a ; p a r av a l o r e sd e1 5 2 0Hz , l a c a í d a d e e n s i ó n e n l a s l í n e a s d e t r a n s p o r t e d e e n e r g í a ( d e b i d o a l a r e s i s t e n c i a y a l a r e a c t a n c i a d et l a l í n e a ) e s r e d u c i d a , p e r o l a s l á m p a r a s p a r p a d e a n y l o s m o t o r e s d e c . a . t i e n e n u n a v i b r a c i ó nm nmo l e s t a ;a1 3 3H 3Hz , l o st r a n s f o r ma d o r e sya l g u n a smá q u i n a se l é c t r i c a s ,p u e d e n s e rmá sp e q u e ñ o sp a r al ami s map o t e n c i a ,s i ne mb a r g ol ol a sc a í d a sd et e n s i ó ns ns o nm nmá s e l e v a d a syl at r a c c i ó ne l é c t r i c ae sd i f í c i l ( e nEs p a ñ al at r a c c i ó ne l é c t r i c as eh a c ee nc . c . a 3 . 0 0 0V, s ee x c e p t ú ae lt r e nd ea l t av e l o c i d a dAVEq u ef u n c i o n aa2 5 . 0 0 0V d ec . a . a 5 0Hz ) .Po re l l of i n a l me n t es ee s t a b l e c i óu nc nc o n v e n c i o n a l i s moyEu r o p at o móu nv nv a l o r d e5 0HzyE E. UU. yg yg r a np a r t ed es uc o n t i n e n t ee l i g i ó6 0Hz , q u es o nl o sd o sv a l o r e s e x i s t e n t e sa c t u a l me n t ee ne l mu nd op a r ag e ne r a c i ó nd ee n e r g í ae l é c t r i c a . S eu t i l i z a ne ne l c a mp od od el aEl e c t r o t e c n i af r e c u e n c i a smá sa l t a s ,q u es o nc nc o mu n e sp o re j e mp l oe nl o s a v i o n e s ,d o n d el a sl í n e a sd et r a n s p or t es o nc o r t a sye sv i t a l l al i g e r e z ad el a smá q u i n a sy p o rl og e n e r a l u s a nf r e c u e n c i a sd e4 0 0Hz . Ene lc a mp od el aEl e c t r ó n i c ayCo mu n i c a c i o n e ss ee mp l e a nf r e c u e n c i a smá se l e v a d a sq u ep ep u e d e nl nl l e g a rh a s t al o sGi g a h e r c i o s 9H ( 1GHz% 1 0 z )d i s t r i b u i d a ss e g ú ni ni n d i c al aTa b l a2 . 1 .P ore j e mp l ol a se mi s o r a sd e

r a d i oc o me r c i a l e se mi t e ne nAM e ne l r a n g od e5 5 0a1 . 6 5 0k Hz , mi e n t r a sq u el ab a n d a d eFM s ee x t i e n d ed e s d e8 8a1 08MHz . De s d ee l p u n t od ev i s t ad el at e o r í ad ec i r c u i t o sl ao n das i n u s o i d a l p r e s e n t al a sv e n t a j a s s i g u i e n t e s :

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   143

3 3 0k Hz( Ba n d a4 )

Mu yb a j af r e c u e n c i a( VLF)

3 0 3 0 0k Hz( Ba n d a5 ) 3 0 0k Hz 3MHz( Ba n d a6 )

Ba j af r e c u e n c i a( LF) Me d i af r e c u e n c i a( MF)

3 3 0MHz( Ba n d a7 )

Al t af r e c u e n c i a( HF)

3 0 3 0 0MHz( Ba n d a8 )

Mu ya l t af r e c u e n c i a( VHF)

3 0 0MHz 3GHz( Ba n d a9 )

Ul t r aa l t af r e c u e n c i a( UHF)

3 3 0GHz( Ba n d a1 0 )

Su p e ra l t af r e c u e n c i a( SHF)

3 0 3 0 0GHz( Ba n d a1 1 )

Ext r aa l t af r e c u e n c i a( EHF)

N N Lab a n d aNs ee x t i e n d ed e s d e0 , 3· 1 0 Hzh a s t a3· 1 0 Hz .

S ep u e d ed i f e r e n c i a rei n t e g r a rr e p e t i d a me n t eys e g u i rs i e n d ou ou n as as i n u s o i d ed el a mi s maf r e c u e n c i a . 1

L a s u m a d es o n d a s s i n u s o i d a l e s e i g u a l f r e c u e n c i a , p e r oi d e a m p l i t u d y f a s e a r b i t r a r i a s e su n as a e n o i d e d e l a m i s md a f r e c u e n c i a , l o c u a l e s n t e r e s a n t e p a r a a p l i c a r l a s l e y e sd eKi r c h h o f f . Ad mi t eu n ar e p r e s e n t a c i ó nd nd e lt i p oe oe x p o n e n c i a l ,l oc u a ld e s t a c aa ú nm nmá sl o sd o s p u n t o sa n t e r i o r e s ,y aq u ep e r mi t eo p e r a rc o nv e c t o r e sg i r a t o r i o sd e n o mi n a d o s q u ea d mi t e nu n ar e p r e s e n t a c i ó ne ne l p l a n oc o mp l e j o . P ore l l ol o sp r o b l e ma sd ec i r c u i t o sd ec . a .u t i l i z a nc o mob a s eo p e r a t i v al al o sn ú me r o s c o mp l e j o s . Esc o n v e n i e n t eq u ee l l e c t o rr e p a s ee l á l g e b r ac o mp l e j ad eu nc u r s od eAn á l i s i s Ma t e má t i c oa n t e sd ec o me n z a re s t ec a p í t u l o .Ad e má ss eh ad ed e s t a c a rq u e ,d ea c u e r d o c o ne ne ld e s a r r o l l oe ns e r i ed eF o u r i e r ,c u a l q u i e rf u n c i ó np np e r i ó d i c ap u e d er er e p r e s e n t a r s ep o r u n as u mad eo n d a ss i n u s o i d a l e sd ed i f e r e n t e sf r e c u e n c i a s ,e la n á l i s i sp u e d ee x t e n d e r s ei n c l u s oas e ñ a l e sn op e r i ó d i c a syd i s c r e t a se mp l e a n d ol ol ai n t e g r a l d eF o u r i e r . To d a se s t a sp r o p i e d a d e sd e s t a c a nl a sg r a n d e sv e n t a j a sd el a so n d a ss i n u s o i d a l e se nc u a l q u i e rc a mp od el a F í s i c a . Co n v i e n et e n e re nc u e n t a , s i ne mb a r g o , q u ed e b i d oa l c a mb i od ep o l a r i d a dc o ne l t i e mp o ,l a sc o r r i e n t e sa l t e r n a sn op op u e d e ne ne mp l e a r s ee nl ae l e c t r ó l i s i s ,n it a mp o c oe oe nb a ñ o sy c u b a se l e c t r o l í t i c a s( g a l v a n o p l a s t i a ) .Ot r ot a n t oo c u r r ec o nl ac a r g ad ea c u mu l a d o r e sob a t e r í a se l é c t r i c a syt a mb i é ne ne nl at r a c c i ó ne ne l é c t r i c ac o nm nmo t o r e sd ec ec . c .q u en e c e s i t a ne s t e t i p od ec o r r i e n t ep a r as uf u n c i o n a mi e n t oys i mi l a r me n t ee nl o st r e n e sd el a mi n a c i ó nr e q u e r i d o se na c e r í a sei n d u s t r i a sp a p e l e r a s . Ene s t o sc a s o se sp r e c i s oi n c o r p o r a ral a si n s t a l a c i o n e s q u et r a n s f o r me nl ac . a . d el ar e de nc . c . An t i g u a me n t es ee mp l e a b a np a r ae s t ami s i ó nr e c t i f i c a d o r e sd ev a p o rd eme r c u r i o ,má s t a r d es eu t i l i z a r o np np l a c a sd es e l e n i oye nl aa c t u a l i d a ds et r a b a j ac o nr e c t i f i c a d o r e sd es i l i c i o( c o n s t i t u i d o sp o rd i o d o ss e mi c o n d u c t o r e sc o nd o st e r mi n a l e sd ea c c e s oe x t e r n od od e n o mi n a d o s : á n o d oyc á t o d o ;e s t o sd i o d o ss o ne l e me n t o sn ol i n e a l e sq u eú n i c a me n t ec o n d u c e n e ne ls e n t i d oá oá n o d o c á t o d o ,d ee s t emo d oa oa li n c l u i r l o se nu nc nc i r c u i t oa l i me n t a d op o rc . a .

e ne ls e n t i d oá oá n o d oc oc á t o d o ,d ee s t emo d oa oa li n c l u i r l o se nu nc nc i r c u i t oa l i me n t a d op o rc . a . e s t as et r a n s f o r mae nc o r r i e n t eu n i d i r e c c i o n a l ,q u emá st a r d es ef i l t r ap a r aq u ed él u g a ra u n ac . c . l i b r ed er i z a d o , e sd e c i re x e n t ad ec o mp o n e n t e sa l t e r n a s ) . 1

Elc o n c e p t od ef a s es ee x p l i c ae ne l Ep í g r a f e2 . 2 .

 

1 4 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

P a r ac o n t r o l a rl at e n s i ó nr nr e c t i f i c a d as ee mp l e ac o mú n me n t ee lr e c t i f i c a d o rc o n t r o l a d o d es i l i c i oo ( q u ee su nd i s p o s i t i v oe l e c t r ó n i c oq u et i e n et r e su n i o n e ss e mi c o n d u c t o r a syq u ed i s p o n ed et r e st e r mi n a l e sd ea c c e s oe x t e r n o :á n o d o ,c á t o d oy oyp u e r t a ;e s t ee l e me n t os o l a me n t ec o n d u c ee ne ls e n t i d oá oá n o d o c á t o d oy oyap a r t i rd e li n s t a n t ee nq u es ed a u n as e ñ a loi mp u l s od ec o n t r o lal ap u e r t a , l oq u ep e r mi t ev a r i a rl ama g n i t u dd el ac . c . d e s a l i d a ) . De s d ee lp u n t od ev ev i s t af i s i o l ó g i c ol ol a st e n s i o n e sa l t e r n a sd eb eb a j af r e c u e n c i as o nm nmá s p e l i g r o s a sq u el a sc o n t i n u a sc o r r e s p o n d i e n t e s . S ep u e d ea f i r ma rq u eu n at e n s i ó na l t e r n ad e 1 2 7V, 5 0Hze st a np e l i g r o s ac o mou n ac . c . a2 2 0V; p o re l c o n t r a r i ol a st e n s i o n e sa l t e r n a s d ea l t af r e c u e n c i as o ni ni n o f e n s i v a se nv i r t u dd dd es up e q u e ñ ap r o f u n d i d a dd ep e n e t r a c i ó ny ny p o re l l os eu t i l i z a ne nf i s i o t e r a p i ame d i a n t ed e t e r mi n a d osa p a r a t o sd ed i a t e r mi a( p o re j e mp l oe ne l t r a t a mi e n t od e lr e u ma t i s moye nl ar e h a b i l i t a c i ó nd ea l g u n a se n f e r me d a d e só s e a s ymu s c u l a r e s ) .

Ele s q u e mab á s i c od eg e n e r a c i ó nd eu n ao n d as i n u s o i d a l e se l mo s t r a d oe nl aF i g u r a2 . 1y c o n s t i t u y el av e r s i ó nm nmá ss i mp l ed eu na na l t e r n a d o r( g e n e r a d o rd ec . a . ) .Set i e n eu n ae s p i r a 2 d es u p e r f i c i e ( m )g i r a n d os o b r es ue j eau n av e l o c i d a da n g u l a rc o n s t a n t ed eu r a d / s e g , d e n t r od eu n p r o d u c i d op o ru ni má noe ng e n e r a le l e c t r o i má n , d ev a l o r t e s l a s( T) .( Elmo v i mi e n t od el ae s p i r as ed e b eau nme d i ome c á n i c oe x t e r i o r , q u ee ne l c a s od eu n ac e n t r a l e l é c t r i c ae su n at u r b i n a ) .

 S 

 B

N

S

Elf l u j oma g n é t i c oq u ea t r a v i e s al ae s p i r ac u a n d ol ol o sv e c t o r e s ( Su p e r f i c i e )y ( i n %

d u c c i ó n )f o r ma nu ná ná n g u l oh u,t e n i e n d oe oe nc u e n t aq u el ai n d u c c i ó ne ne su n i f o r mee n t o d osl o sp u n t o sd el as u p e r f i c i ed el ae s p i r a , e s : J

I

· d%   · %   c o s u

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   145

c o moq u i e r aq u ee lf l u j oa n t e r i o rv a r í ac o ne l t i e mp o , d ea c u e r d oc o nl al e yd eF a r a d a ys e p r o d u c i r áu n af . e . m. i n d u c i d ad ev a l o r : %.

J d

%.

d q u er e s p o n d eal af o r mag e n e r a l :

d ( c o su) %

  us e nu

d () %

u

e n ms

d o n d es eh ad e n o mi n a d o ma lp r o d u c t o   u. Lae x p r e s i ó n( 2 . 3 )r e p r e s e n t al af . e . m.i n s t a n t á n e a( )e n g e n d r a d ae nl ab o b i n ayc u y ae v o l u c i ó nc o ne lt i e mp o e sd ef o r mas i n u s o i d a l( Fi g u r a2 . 2 ) .Elv a l o ri n s t a n t á n e od e p e n d i e n t ed e lt i e mp os er e p r e s e n t ap o rl al e t r a mi n ú s c u l a ;me sl aa mp l i t u dd el ao n d a , q u et a mb i é nr e c i b ee ln o mb r e d ev   , v   ov   ;us ec o n o c ec o ne ln o mb r ed ep u l s a c i ó n of r e c u e n c i aa n g u l a rys emi d ee nr a d / s .

S i s ed e n o mi n a ( s e g u n d o s )e l p e r i o d od el ao n d a , e sd e c i r e l t i e mp od ed u r a c i ó nd eu n c i c l o ,l ar e l a c i ó nc o nl nl ap ul s a c i ó nue s :

u   % 2n   ; u%

n 2

l af r e c u e n c i ad el ao n d ae se ln ú me r od ec i c l o sp o rs e g u n d oye sl ai n v e r s ad e l p e r i o d o: %

1

[ Hz ]

c u y au n i d a de se lh e r c i o . Del a se c u a c i o n e s( 2 . 4 )y( 2 . 5 )s ed e d u c e : %

2 n

%

u

2 n

 

[ r a d / s ]

p o re j e mp l ol ap u l s a c i ó nd nd el el ao n d as as i n u s o i d a lp a r au n as e ñ a ld ec ec . a .e nEs p a ñ ad ad o n d e %5 0Hz , t i e n eu nv a l o ru% 2 n50% 314r a d / syc o r r e s p o n d eau np e r i o d o   %1 / 5 0% 2 0 mi l i s e g u n do s .

 

1 4 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

EnI n g e n i e r í aEl é c t r i c a , c u a n d os ea n a l i z a nc i r c u i t o sd ec . a . ,e nl o sq u ee s t á ni mp l i c a d a so n d a ss e n oyo n d a sc o s e n o , r e s u l t amu yc o n v e n i e n t et r a b a j a rc o nu ns o l ot i p od eo n d a s ( b i e ns e as e n oob i e nc o s e n o ) .La sv e n t a j a sd ee l l os ec o mp r o b a r á nmá sa d e l a n t e .Ene s t e t e x t o ,s eh ae l e g i d oc o mof u n c i ó nd et r a b a j ol af o r mac o s e n o ,d ee s t emo d o ,s is et i e n e n s e ñ a l e st i p os e n o , s et r a n s f e r i r á nal af o r mac o s e n o , b a s á n d o s ee nl ai d e n t i d a dt r i g o n o mé t r i c a :

AB

s e na% c o s a.

n

2

d ee s t emo d ol as e ñ a ld ef . e . m.( 2 . 3 )s ee x p r e s ac o moc o s e n o : () %

AB

o s   mc

u.

n

2

Laf o r mad eo n d amá sg e n e r a lr e s p o n d eal ae x p r e s i ó ns i g u i e n t e : %

  () %

u

o s ( !   mc

r)

()r e p r e s e n t ae l v a l o ri n s t a n t á n e od el as e ñ a l , q u ep u e d es e ru n af . e . m. , t e n s i ó nc o r r i e n t e , . . . ,m e x p r e s al aa mp l i t u dm dmá x i mad el as e ñ a l ;r s ed e n o mi n a i n i c i a lo s i mp l e me n t e . Enl aF i g u r a2 . 3s eh ad i b u j a d ol as e ñ a l ( 2 . 9 ) , d o n d es eh as u p u e s t oq u e respos i t i v o . El á n g u l od ef a s ere se l a r g u me n t od el ao n d ae ne l t i e mp o%0 . Si s et i e n e e nc u e n t a( 2 . 9 ) , a le x p r e s a rue nr a d / sy e ns e g u n d o s , e l p r o d u c t ou s emi d ee nr a d i a n e s , p o r l oq u erd e b ee x p r e s a r s et a mb i é ne nr a d i a n e s .

Enl ap r á c t i c ad el ai n g e n i e r í ar e s u l t as i ne mb a r g om omá sú t i lt r a b a j a rc o nre ng r a d o s ( s e x a g e s i ma l e s ) ,p o rl oq u el a se x p r e s i o n e sd et e n s i ó ny nyc o r r i e n t es i g u i e n t e s :

u ! 30o) o s ( u ! ru)% mcos( () % mc u . 45o) u ! ri)%   mcos( () %   mc o s ( a u n q u es o n

,s e r á nv á l i d a sp a r an o s o t r o s .( Laj u s t i f i c a c i ó n

d ee s t ad e c i s i ó ns ns eb a s ae nq u er e s u l t amá si n t u i t i v op op a r ac u a l q u i e rp e r s o n ai ma g i n a rl a p o s i c i ó na na n g u l a re x p r e s a d ae ng r a d o s ,q u eme d i d ae nr a d i a n e s ) .Enl aF i g u r a2 . 4s eh a n d i b u j a d ol a ss e ñ a l e si n d i c a d a se n( 2 . 1 0 ) . Ob s é r v e s eq u el af a s ed ec a d ao n d ai n d i c ae l á n g u l oq u ef o r mae l p i c od el ao n d ac o n e le j ed eo r d e n a d a s( u % 0) .Elá n g u l oe sp o s i t i v oc oc u a n d oe lp i c oq u e d aal ai z q u i e r d a

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   147

d e l e j ed eo r d e n a d a syn e g a t i v oc u a n d oe l p i c oe s t áal ad e r e c h a . S ed e n o mi n a o e n t r ed o so n d a ss i n u s o i d a l e sd el ami s maf r e c u e n c i a ,al ad i f e r e n c i a e n t r es u sf a s e sr e s p e c t i v a s . As í p a r ae le j e mp l od el aF i g u r a2 . 4e n t r el a so n d a s ()e() e x i s t eu nd nd e s f a s ed e : o o r% ru. ri% 30o. ( .4 5 ) %7 5

Cu a n d oe l d e s f a s ee sp o s i t i v o , q ui e r ed e c i rq u el ao n d ap r i me r as ea d e l a n t aal as e g u n d a ,oa l c o n t r a r i o ,q u el as e g u n d ao n d as er e t r a s ar e s p e c t od el ap r i me r a . As íe nl aF i g u r a o o 2 . 4 ,l as e ñ a ld et e n s i ó ne ne s t áa d e l a n t a d a7 a7 5r e s p e c t oal ac o r r i e n t e ,oe s t as er e t r a s a7 5 r e s p e c t oal at e n s i ó n .

u

Ob s é r v e s ee nl aF i g u r a2 . 4q u ea lmo d i f i c a re lo r i g e nd ef a s e s( o r i g e nd e t i e mp o s )s emo d i f i c a nl a sf a s e sd el a ss e ñ a l e s ,s i ne mb a r g ol ad i f e r e n c i ad ef a s eod e s f a s e e n t r ee l l a sp e r ma n e c ec o n s t a n t e ,p o re l l oe ld e s f a s ee n t r el a so n d a se si n d e p e n d i e n t ed e l o r i g e n . Co moy as ei n d i c óe ne l c a p í t u l oa n t e r i o ra le s t u d i a rl a so n d a sp e r i ó d i c a s , e x i s t e nd o s v a l o r e si mp o r t a n t e sq u es ee mp l e a ne ne l a n á l i s i sd ee s t et i p od eo n d a s : e l v a l o rme d i oye l v a l o re f i c a z . Dea c u e r d oc oc o n( 1 . 1 0 ) ,e lv a l o rme d i od el ao n d as i n u s o i d a l( 2 . 9 )e si g u a la :

me d%

I

1

() d%

0

I

1

u

o s ( ! mc

r)d% 0

0

e si n me d i a t oc o mp r o b a rq u el ai n t e g r a la n t e r i o re si g u a lac e r o ,y aq u ee lá r e ac o r r e s p o n d i e n t eal ap a r t ep o s i t i v ad el ao n d ae si g u a lyd es i g n oc oc o n t r a r i oal ae x i s t e n t ee nl ap a r t e n e g a t i v a .Cu a l q u i e ro n d ac o ns i me t r í ai mp a rt e n d r áe s t ap r o p i e d a d . Elv a l o re f i c a zd eu n a

s e ñ a ls i n u s o i d a ls ep u e d ec a l c u l a rme d i a n t el ae x p r e s i ó n( 1 . 1 1 ) :

%

JI 1

2

() d

0

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   149

S ed e b ed e s t a c a rl as i mb o l o g í ad ee s t o sv a l o r e s . v   , p o re j e mp l ol a se x p r e s i o n e s( 2 . 8 ) , ( 2 . 9 ) ,( 2 . 1 0 )y( 2 . 1 7 )r e p r e s e n t a nm nma g n i t u d e si n s t a n t á n e a s .   v ys i ns u b í n d i c e sa l f a b é t i c o s ,p o re j e mp l ol ama g n i t u d e n( 2 . 1 2 )o e n( 2 . 2 1 )i n d i c a nv a l o r e se f i c a c e s . La sc a n t i d a d e smá x i ma ss er e p r e s e n t a nc o nma y ú s c u l aye l s u b í n d i c e« m» : m, m, . . . Te n i e n d oe oe nc u e n t a( 2 . 9 )y( 2 . 1 6 ) ,s ep o d r áe s c r i b i re lv a l o ri n s t a n t á n e o ()p o rl a m, e x p r e s i ó n : %

∂ 2 cos( u ! r)

oe ne lc a s od el ac o r r i e n t ee l é c t r i c a( 2 . 1 7 ) ,t e n i e n d oe oe nc u e n t a( 2 . 2 1 )r e s u l t a r á : () % ∂ 2 c o su o b s é r v e s et a n t oe n( 2 . 2 2 )y( 2 . 2 3 )q u ee l v a l o re f i c a z( o )s ei n t r o d u c ee nl ae x p r e s i ó n i n s t a n t á n e ad eu nmo d omá se x p l í c i t oq u ee n( 2 . 9 )o( 2 . 1 7 ) . Ge n e r a l me n t ea l d e f i n i ru n a s e ñ a la l t e r n a( a( s i n u s o i d a l )s ef i j a ne lv a l o re f i c a zyl af r e c u e n c i a .P o re j e mp l ol at e n s i ó n d i s p o n i b l ee nu ne n c h u f ed eu nd o mi c i l i od o mé s t i c oe nEs p a ñ ae sd e2 3 0V( e f i c a c e s )y 5 0Hz( u% 314r a d / s ) ,p o rc o n s i g u i e n t el ae x p r e s i ó ni ni n s t a n t á n e as e r ád el af o r ma : () · 2 3 0· c o s ( 3 1 4! ru)v o l t i o s % ∂ 2 d o n d erue se lá n g u l od er e f e r e n c i ai n i c i a l of a s e .

La sf u nc i o n e ss i n u s o i d a l e s : () % ∂ 2 c o s( u ! r) ;   ()% ∂ 2 s e n( u ! r) s ep u e d e nc o n s i d e r a rq u ep r o c e d e nd el ap r o y e c c i ó nd eu nv e c t o rg i r a t o r i os o b r el o se j e sd e u ns ns i s t e mad ec o o r d e n a d a sc a r t e s i a n a s( ome j o rc o o r d e n a d a sr e a lei ma g i n a r i ad e lp l a n o c o mp l e j o ) .P a r ad e mo s t r a rl oa n t e r i o re nl aF i g u r a2 . 5s eh ad i b u j a d ou ou nv nv e c t o rOM0d e mó d u l o ∂ 2q u ef o r mac o ne le j er e a l u ná n g u l or, e ne l t i e mp o%0 .Comos a b e mosde á l g e b r ac o mp l e j a , e lv e c t o rOM0s ep u e d er e p r e s e n t a re nf o r mae x p o n e n c i a l po rl ae x p r e s i ó n : OM0% ∂ 2

  j h

a h o r ab i e ns ie s t ev e c t o rg i r ae ns e n t i d oc oc o n t r a r i oal a sa g u j a sd e lr e l o j ,au n av e l o c i d a d a n g u l a ru( r a d / s ) ; e nu ni n s t a n t e me d i d oap a r t i rd el ap o s i c i ó ni n i c i a l OM0, h a b r ár e c o r r i d ou ná n g u l ou,q u eu n i d oa li n i c i a l r,s u p o n d r áu na r g u me n t oht o t a l :

h% u ! r

 

1 5 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

l ap o s i c i ó nc nc o r r e s p o n d i e n t es es e ñ a l ae nl aF i g u r a2 . 5p o re lv e c t o rOM0,q u ea d mi t el a s i g u i e n t ee x pr e s i ó ne x po n e n c i a l : OM % ∂ 2

u!r   j ( )

a h o r ab i e n , t e n i e n d oe nc u e n t al ai d e n t i d a dd eEu l e r , l ae x p r e s i ó na n t e r i o rs ep u e d ee s c r i b i r d eu n af o r mae q u i v a l e n t e : OM % ∂ 2 c o s( u ! r)! j∂ 2 s e n( u ! r) l ap a r t er e a ld el ae x p r e s i ó na n t e r i o re si g u a la : Re [ ∂ 2

] % ∂ 2 c o s( u ! r)

  j ( ) u!r

∂ 2 ) q u er e p r e s e n t al ap r o y e c c i ó ne ne ne le j er e a l( e j e )d e lv e c t o rg i r a t o r i o( .Lap a r t e i ma g i n a r i ad e( 2 . 2 9 )e s :

I m[ ∂ 2

] e n( u ! r) % ∂ 2 s

  j ( ) u!r

q u er e p r e s e n t al ap r o y e c c i ó ns o b r ee l e j ei ma g i n a r i o( e j e )d e l v e c t o rg i r a t o r i o( ∂ 2 ) . En l aF i g u r a2 . 5s emu e s t r a na mb a sc o mp o n e n t e s ,r e a lei ma g i n a r i a ,q u ec o r r e s p o n d e nal a s

 

1 5 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

d el o sf a s o r e sd el aF i g u r a2 . 6 ae s :r% ru. ri ,l oq u ei n d i c aq u el at e n s i ó ns ns e a d e l a n t aal ac o r r i e n t e( ol ac o r r i e n t es er e t r a s aal at e n s i ó n ) .

Enmu c h o sc a s o se sc o n v e n i e n t et o ma ru n ad el a ss e ñ a l e sc o mor e f e r e n c i ad ef a s e s , l o q u es i mp l i f i c ae l c á l c u l oc o nl o sn ú me r o sc o mp l e j o s . Po re j e mp l oe nl aFi g u r a2 . 6 b , s eh a r e p e t i d ol aF i g u r a2 . 6 at o ma n d ol ac o r r i e n t ec o mor e f e r e n c i a , e l d e s f a s ee n t r ea mb o sv e c t o r e sg i r a t o r i o ss i g u es i e n d or, p e r oe l i n s t a n t ee nq u es eh a nd i b u j a d ol o sf a s o r e sy an oe se n %0 ,s i n oo oo t r od i f e r e n t e .

o o Ca l c u l a rl as u mad el el a st e n s i o n e si n s t a n t á n e a s : 1() %2 0c o s ( 1 0 0! 3 0 ) , 2() %3 0c o s ( 1 0 0! 6 0 ) ; u t i l i z a n d of of a s o r e se q u i v a l e n t e smá x i mo s . Re p r e s e n t a r :a )d i a g r a maf a s o r i a l ,b )d i a g r a mae ne l t i e mp o .

So l uc i ón

Lo sf a s o r e smá x i mo ss o n : 0 1% 2

o 3 0 ;

0   2% 3

o 6 0

c u y as u mae s : T%

1!

0 2% 2

o o 3 0 !3 0 6 0 %( 1 7 , 3 2! j 1 0 ) !( 1 5! j 2 5 , 9 8 ) %3 2 , 3 2! j 3 5 , 9 8

e sd e c i r : 8 , 4 T% 4

o

o 4 8 , 1 %4 4 8 , 1 8 , 4  j

e nl aFi g u r a2 . 7s emu e s t r al as u maf a s o r i a l c o r r e s p o n d i e n t eyl ar e p r e s e n t a c i ó nd nd el a so n d a se ne l t i e mp o . Lae x p r e s i ó ni ni n s t a n t á n e ad el at e n s i ó n nt t o t a l e sp o rl ot a n t o : o  j 4 8 , 1 u o ) %R e [ 4 8 , 4 j ] %4 8 , 4c o s( 1 0 0! 4 8 , 1 ) T(

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   153

o o % ∂ 2 % ∂ 2 Ca l c u l a rl as u mad el a ss i g u i e n t e sc o r r i e n t e s :1() 1 0c o s ( 3! 3 0 ) ;2() 2 0c o s ( 3. 6 0 ) , e n

l af o r ma () % T

2c o s( 3! )u t i l i z a n d of of a s o r e se q ui v a l e n t e s( e f i c a c e s ) .

∂ 

r

So l uc i ón

Lo sf a s o r e se f i c a c e sd ea mb a sc o r r i e n t e ss o n : 0 1% 1

o 3 0 ;

o 0   .6 0   2% 2

Las u mad ea mb a sc o r r i e n t e sc o mp l e j a se si g u a l a : 0 T% 1

o o 3 0 !2 0 .6 0 ]( 8 , 7! j 5 ) !( 1 0. j 1 7 , 3 ) ]1 8 , 7. j 1 2 , 3

e sd e c i r : o

T% 2 2 , 4   .3 3 , 4

c u y od i a g r a maf a s o r i a l s emu e s t r ae nl aFi g u r a2 . 8 . P o rc o n s i g u i e n t ee l v a l o ri n s t a n t á n e od el ac o r r i e n t ee s : o

3 3 , 4  j 3 o ∂ 222, 4. j ] % ∂ 22 2 , 4c o s ( 3. 3 3 , 4 )

) %R e [ T(

 

1 5 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

El l e c t o rp u e d ec o n s i d e r a rmu y ya a r t i f i c i o s ot r a b a j a rc o nf a s o r e se f i c a c e s ,y aq u el a se x p r e s i o n e si n s t a n t á n e a sf i n a l e su t i l i z a nv nv a l o r e smá x i mo sa s íq u e Ef e c t i v a me n t ee ne s t ep r o b l e mas e r í amá ss i mp l eu t i l i z a rf a s o r e smá x i mo s , p e r oe sc o n v e n i e n t eq u ee l l e c t o rs ea c o s t u mb r eat r a b a j a rc o nf a s o r e se f i c a c e s , p o r q u ec o mos ev e r ámá s a d e l a n t ee smá sú t i l e ne le s t u di od el o sc i r c u i t o se l é c t r i c o s .

o o % ∂ 21 %2 Ca l c u l a rl as u mad el a ss i g u i e n t e st e n s i o n e s : 1() 0 s e n( 1 0! 4 5 ) ; 2() 0c o s ( 1 0! 6 0 )e n

l af o r ma : T() % ∂ 2 c o s( 1 0! r)u t i l i z a n d of a s o r e se q u i v a l e n t e s( e f i c a c e s ) .

So l uc i ón

An t e sd ec o me n z a re l pr o b l e mah a nd er e f e r i r s ea mb a ss e ñ a l e sal ae x p r e s i ó nc o s e n oi d e n t i f i c a n d oc oc l a r a me n t el o sv a l o r e se f i c a c e s .As í r e s u l t a : () % 1

o o o o ∂ 210sen( 1 0! 4 5 ) % ∂ 21 0c o s ( 1 0! 4 5 .9 0 ) % ∂ 21 0c o s ( 1 0. 4 5 )

o () %2 0c o s ( 1 0! 6 0 ) % 2

2 0

∂ 2 cos(10! 60o) ∂ 2

d ee s t emo d os ei d e n t i f i c a nf á c i l me n t el o sf a s o r e se f i c a c e s : o 0   .4 5 1% 1

;

  2%

2 0

∂ 2

o 6 0

q u es ep u e d e nr e p r e s e n t a re nu nd i a g r a maf a s o r i a l .Las u mad ea mb a st e n s i o n e sc o mp l e j a se s : o ! 0   .4 5 T%   1!   2% 1

e sd e c i r :

2 0

∂ 2

o %( !( 7 , 0 7. j 7 , 0 7 ) 7 , 0 7! j 1 2 , 2 5 ) 6 0

1 4 , 1 4! j 5 , 1 8 ) 5 , 1 ]1 T% (

o 2 0 , 1

q u ec o r r e s p o n d eau nv nv a l o ri n s t a n t á n e o : ) % T(

o ∂ 215, 1c o s ( 1 0! 2 0 , 1 )

   

1 5 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

e l l e c t o rp u e d ec o mp r o b a rq u ea l t o ma r l ap a r t er e a ld e( 2 . 4 6 )y( 2 . 4 7 )s eo b t i e n e nl a smi s ma se x p r e s i o n e si n s t a n t á n e a ss i n u s o i d a l e sc a l c u l a d a sd i r e c t a me n t ee n( 2 . 4 0 )y( 2 . 4 1 ) . Pa r a v e re l s i g n i f i c a d og e o mé mé t r i c od el a se x p r e s i o n e sa n t e r i o r e s ,s ed e d uc eq u el o sf a s o r e se q u i v a l e n t e sa : ()o e

() ;

 

e

 ;

1 e

s o n : e

 

e

ú

ú

 

%

  u  j(

 / 2 ) r !n

1 eú

  j r %

u

  r

%

 j (  / 2 ) .n r %

 u ( r!n/ u 2 ) % j

u

 ( r. n/ 2 ) %  j u

e nl aF i g u r a2 . 9s eh a nr e p r e s e n t a d ol o st r e sf a s o r e ss i mu l t á n e a me n t e . Seo b s e r v aq u e :

u

n

Va mo sad e mo s t r a re ne s t ee p í g r a f el au t i l i d a dd el af u n c i ó ne x p o n e n c i a l ( e nd e f i n i t i v ad e l o sf a s o r e s ) , e ne la n á l i s i sd el o sc i r c u i t o sd ec o r r i e n t ea l t e r n a .Co n s i d e r e mo se l c i r c u i t od e l aF i g u r a2 . 1 0 ,f o r ma d op o ru n ar e s i s t e n c i a e ns e r i ec o nu n ai n d u c t a n c i a ,a l i me n t a d a s p o ru ng e n e r a d o rd et e n s i ó ns i n u s o i d a l , c u y ae x p r e s i ó ni n s t a n t á n e ae s :

% () u ! r) ∂ 2 cos(

e l p r o b l e mac o n s i s t ee nc a l c u l a rl ae x p r e s i ó ni n s t a n t á n e ad el ac o r r i e n t e()q u ec i r c u l ap o r l ama l l ad e l c i r c u i t o .La sp o l a r i d a d e ss e ñ a l a d a se nl aFi g u r a2 . 1 0r e p r e s e n t a nl o ss i g n o sd e l a st e n s i o n e se ne l mo me n t oc o n s i d e r a d o .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   159

e ne l c a s od eq u ee x i s t a nf u e n t e se x p r e s a d a se nt é r mi n o sd e l s e n o , t r a n s f o r ma r l a se n c o s e n od ea c u e r d oc oc o nl ai d e n t i d a dt r i g o no mé t r i c a : s e n( u ! r)% cos u ! r.

A

n 2

B

Tr a n s f o r ma rl a se c u a c i o n e sd i f e r e n c i a l e s( oi n t e g r o d i f e r e n c i a l e s )d el ar e de ne l d o mi n i od e lt i e mp oa ld o mi n i od el af r e c u e n c i a ,p a r ae l l os u s t i t u i re l o p e r a d o r p o r  j u ye lop e r a d or1/ p o r1 / j u,ex p r e s a n d ot a mb i é nl o sv a l o r e sd et e n s i o n e syc o r r i e n t e se nl af o r maf a s o r i a l . Re s o l v e rl a se c u a c i o n e sf a s o r i a l e sr e s u l t a n t e s , u t i l i z a n d op r o c e d i mi e n t o sd e l á l g e b r a c o mp l e j a , d e t e r mi n a n d od od ee s t emo d ol a sc o r r i e n t e sd el ar e d . Lo sf a s o r e sd el a sc o r r i e n t e sp r o p o r c i o n a nl o sd a t o sd ema g n i t u dyf a s e . Ap Ap a r t i rd e e l l o s , e s c r i b i rl a se x p r e s i o n e si n s t a n t á n e a sd el a sc o r r i e n t e s .

Lame t o d o l o g í aa q u íd e s c r i t a ,a u n q u ee sv e n t a j o s a ,s ep u e d eo p t i mi z a rt o d a v í amá s .

Cu a n d os os ee s t u d i e nl a sr e s p u e s t a ss i n u s o i d a l e sd el o se l e me n t o sp a s i v o se ne l e p í g r a f es i g u i e n t eys ed e f i n ae l c o n c e p t od ei mp e d a n c i ac o mp l e j as e r e mo sc a p a c e sd ee s c r i b i rd i r e c t a me n t el a se c u a c i o n e sf a s o r i a l e sd eu nc nc i r c u i t o ,s i nn e c e s i d a dd ep r e p a r a rl a se c u a c i o n e s i n t e g r o d i f e r e n c i a l e sq u el el od e f i n e n .Co ne ne l l os ea h o r r a r áu n ag ag r a nc a n t i d a dd dd et i e mp oy oy e s f u e r z o ,e v i t a n d omu c h o sd el o sp a s o sma t e má t i c o sq u ea q u ís eh a ns e g u i d o .

 

1 6 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

s et r a t ad ec a l c u l a rl at e n s i ó nt nt e r mi n a le x i s t e n t ee nc a d au n od od ee l l o sq u er e s p o n de r áal a f o r mag e n e r a l : () % ∂ 2 c o s( u ! ru) l as o l u c i ó nd e l p r o b l e mas e r áe n c o n t r a r l o sv a l o r e sd e yrue nf u n c i ó nd e yriydel o s p a r á me t r o s, y . La se x p r e s i o n e sf a s o r i a l e sd el at e n s i ó nyd el ac o r r i e n t es o n : %

 

j r u %

  ru   ;   %

  j r i %

  ri

Ap a r t i rd ee s t a se x p r e s i o n e syc o n o c i e n d ol a sr e l a c i o n e se n t r e ()e()p a r ac a d ae l e me n t op a s i v o ,p o d r e mo sd e t e r mi n a rs ur e s p u e s t as i n u s o i d a l ;ya s ís et i e n e :

Enl aF i g u r a2 . 1 2 as eh ar e p r e s e n t a d ou n ar e s i s t e n c i ae ne l d o mi n i od e l t i e mp o . Dea c u e r d o c o nl al e yd eOh m, s ec u mp l e : () %   ( )

l ar e l a c i ó na na n t e r i o re ne ld o mi n i od el af r e c u e n c i a( c a mp oc oc o mp l e j o )d ea c u e r d oc oc o nl a s r e g l a se s t a b l e c i d a se ne l a p a r t a d oa oa n t e r i o re s : %   · Enl aFi g u r a2 . 1 2 bs emu e s t r ae l c i r c u i t oe q u i v a l e n t ec o r r e s p o n d i e n t eal ae c u a c i ó nf nf a s o r i a l( 2 . 6 5 ) ,q u er er e p r e s e n t ae nd nd e f i n i t i v au au nc nc i r c u i t oe ne ld o mi n i od el af r e c u e n c i a .El l e c t o rp u e d eo b s e r v a rl aa n a l o g í ae n t r e( 2 . 6 4 )y( 2 . 6 5 ) . Si s et i e n ee nc u e n t a( 2 . 6 3 )y( 2 . 6 5 ) r e s u l t a :

ru%   ri d ed o n d es ed e d u c e : %

 

;

ru% ri

p o r c o n s i g u i e n t el o sv a l o r e ss i n u s o i d a l e sd el ac o r r i e n t eyl at e n s i ó ne nu n ar e s i s t e n c i as o n :

() o s( u ! ri) ; ()% ∂ 2 c o s( u ! ri) % ∂ 2 c e nl aF i g u r a2 . 1 3 as emu e s t r a ne s t a ss e ñ a l e ss i n u s o i d a l e st a l c o mos ev e r í a ne nu no s c i l o s c o p i o , q u ev a ne nf a s e( ru% ri)ycuyosval o r e se f i c a c e se s t á nr e l a c i o n a d o ss e g ú nd nd e t e r -

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   163

mi n al al e yd eOh md md ea c u e r d oc o n( 2 . 6 7 ) . Enl aF i g u r a2 . 1 3 bs eh ar e p r e s e n t a d oe l d i a g r a maf a s o r i a l c o r r e s p o n d i e n t e . Amb o sf a s o r e se s t á na l i n e a d o sy aq u el a sd o ss i n u s o i d e se s t á n e nf a s e .

Enl aF i g u r a2 . 1 4 as eh ar e p r e s e n t a d ou n ab o b i n ae ne ld o mi n i od e lt i e mp o . Sa b e mo sq u e l ar e l a c i ó ne n t r el at e n s i ó na p l i c a d a ()yl ac o r r i e n t e()e si g u a la : () %

d() d

l ar e l a c i ó na na n t e r i o re ne ld o mi n i od el af r e c u e n c i a( s u s t i t u y e n d oe oe lo p e r a d o rd e r i v a d ap ap o r u)es  j :

u

% j

c u y oc i r c u i t oe q u i v a l e n t es emu e s t r ae nl aF i g u r a2 . 1 4 b . Ob s e r v a mo se n( 2 . 7 0 ) ,u n ae c u a c i ó na n á l o g aal al e yd eOh m, e nl aq u el at e n s i ó nc o mp l e j ae sp r o p o r c i o n a lal ac o r r i e n t e u. c o mp l e j ap o rme d i od eu nf a c t o rd ep r o p o r c i o n a l i d a dq u ev a l ej S is et i e n ee nc u e n t a( 2 . 6 3 )y( 2 . 7 0 )r e s u l t a :

ru% j u

ri% u   ( ri! 90o)

e sd e c i r : %

u   ; ru% ri! 90o

 

 

1 6 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

d ee s t emo d ol o sv a l o r e si n s t a n t á n e o s ()e()e nu n ai n d u c t a n c i as o n : () % ∂ 2 u c o s( u ! ri! 90o) ;   ()% ∂ 2 c o s( u ! ri) e nl aFi g u r a2 . 1 5s eh a nr e p r e s e n t a d oe s t a sd o ss e ñ a l e st a l c o mos ev e r í a ne nu no s c i l o s c o o p i o . Seo b s e r v aq u el at e n s i ó ne s t áa d e l a n t a d ar e s p e c t od el ac o r r i e n t eu ná n g u l od e9 0 . El mó d u l oe f i c a zd el at e n s i ó n e si g u a lau   .Enl aF i g u r a2 . 1 5 bs eh a nr e p r e s e n t a d ol ol o s o f a s o r e sc o r r e s p o n d i e n t e s ,ys eo b s e r v aq u e e s t áa d e l a n t a d o9 o9 0r e s p e c t od e ,e sd e c i r e s t á ne nc u a d r a t u r a .

Enl aF i g u r a2 . 1 6 as eh ar e p r e s e n t a d ou nc o n d e n s a d o re ne ld o mi n i od e l t i e mp o . Sa b e mo s q u el ar e l a c i ó ne n t r el at e n s i ó n ()yl ac o r r i e n t e()e sd el af o r ma : () %

1

I

() d

l ar e l a c i ó na na n t e r i o re ne ld o mi n i od el el af r e c u e n c i a( s u s t i t u y e n d oe oe lo p e r a d o ri n t e g r a lp o r 1 / j u)es : 1

%

 j u

  %. j

1

u

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   165

c u y oc i r c u i t oe q u i v a l e n t es eh ar e p r e s e n t a d oe nl aF i g u r a2 . 1 6 b .Lat e n s i ó nc o mp l e j a e s p r o p o r c i o n a lal ac o r r i e n t ec o mp l e j a ,me d i a n t ee lf a c t o r1 / j u   ol oq u ee se q u i v a l e n t e . j ( 1 / u) .S is et i e n ee nc u e n t a( 2 . 6 3 )y( 2 . 7 5 )r e s u l t a :

ru%. j1   ri% 1   ( ri. 90o) u u e sd e c i r : %

1

u

 

o ; ru% ri. 9 0

d ee s t emo d ol o sv a l o r e si n s t a n t á n e o s ()e()e nu n ac a p a c i d a ds o n : () % ∂ 2

1

u

o s( u ! ri)   c o s ( u ! ri. 90o) ; ()% ∂ 2 c

e nl aF i g u r a2 . 1 7 as eh a nr e p r e s e n t a d ol a sd o ss e ñ a l e st a l c o mos ev e r í a ne nu no s c i l o s c o o p i o .Lat e n s i ó ne ne s t ár e t r a s a d aal ac o r r i e n t eu ná ná n g u l od e9 0 . Enl aF i g u r a2 . 1 7 bs eh a n r e p r e s e n t a d ol ol o sf a s o r e sc o r r e s p o n d i e n t e s ,q uee s t á ne nc u a d r a t u r a .

La sr e l a c i o ne sf a s o r i a l e s   %   ()d el o se l e me n t o sp a s i v o ss i mp l e sc a l c u l a d a se ne l e p í g r a f ea n t e r i o rs o nd el af o r ma : Re s i s t e n c i a :

 

%

I n d u c t a n c i a : Ca p a c i d a d :

 

 

u

% j

%

1

  %. j

1

u

 j u

 

1 6 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

l a se c u a c i o n e sa n t e r i o r e si n d i c a nq u ee lf a s o rt e n s i ó np np u e d ee x p r e s a r s ec o moe lp r o d u c t o d eu n ac i e r t ae x p r e s i ó nc o mp l e j a ,q u ee ne l c a s od eu n ar e s i s t e n c i as er e d u c eau n ac o n s t a n t ep o re lf a s o rc o r r i e n t e .Deu nmo d oa oa n á l o g oa oa le s t u d i a d oe ne l e p í g r a f ed e lc a p í t u l o a n t e r i o r ,l ae x p r e s i ó nc nc o mp l e j aa n t e r i o rc o c i e n t ee n t r ee lf a s o rt e n s i ó ny nye lf a s o rc o r r i e n t e s ed e n o mi n a ( j .Enl aF i g u r a2 . 1 8s 8s emu e s t r ae ls í mb o l od el a u) i mp e d a n c i ac o mp l e j a( q u ee su nr e c t á n g u l o ) , d et a l f o r maq u es ec u mp l el ad e n o mi n a d a : %

Lar e l a c i ó n( 2 . 8 0 )e n g l o b al a st r e se c u a c i o n e s( 2 . 7 9 ) . Esi mp o r t a n t eh a c e r n o t a rq u e o ( j u)esunnúme r oc o mp l e j o ,p e r o ,y aq u en os ec o r r e s p o n d ec o nn i n g u n a f u n c i ó ns i n u s o i d a l e ne ld o mi n i od e lt i e mp oc o mol eo c u r r eal o sf a s o r e sd et e n s i ó nyc o r r i e n t e .Co mp a r a n d o( 2 . 8 0 )c o n( 2 . 7 9 )v e mo sq u es ec u mp l e : Re s i s t e n c i a :

 

%

I n d u c t a n c i a :

 

% j

Ca p a c i d a d :

 

u

%

1

u  j

  %. j

1

u

e ne s t a se c u a c i o n e s ,c a d at é r mi n oe oe se lc o c i e n t ee n t r eu nf nf a s o rd et e n s i ó ny nyu nf nf a s o rd e c o r r i e n t e , e nc o n s e c u e n c i a, j u ,. j ( 1 u )ye ng e n e r a l s eme d i r á ne n . Pa r al a / r e s i s t e n c i a , l ai mp e d a n c i ae su nn ú me r or e a l ; p a r al ai n d u c t a n c i a , e su nn ú me r oi ma g i n a r i o p u r oc o na r g u me n t on  / 2yp a r al ac a p a c i d a d ,e su nn ú me r oi ma g i n a r i op u r oc o na r g u me n t o .n  / 2 .Co moo c u r r ec o nc u a l q u i e rn ú me r oc o mp l e j o ,l ai mp e d a n c i as ep u e d ee x p r e s a re n f o r mab i n ó mi c aor e c t a n g u l a rd e l s i g u i e n t emo d o : %

! j

l ap a r t er e a ld e e sl ac o mp o n e n t er e s i s t i v aos i mp l e me n t e , l ap a r t ei ma g i n a r i a e sl ac o mp o n e n t er e a c t i v aos i mp l e me n t e .Ta n t o , c o mo yc o mo s eme d i r á ne no h mi o s .Co mp a r a n d o( 2 . 8 2 )c o n( n( 2 . 8 1 )v e mo sq u eu n ai n d u c t a n c i ap r e s e n t au n a r e a c t a n c i ap os i t i v a( a( b 0 )mi e n t r a sq u eu eu n ac ac a p a c i d a ds u p o n eu eu n ar ar e a c t a n c i an e g a t i v a

(a 0 ) . Enl aFi g u r a2 . 1 9s eh ar e p r e s e n t a d ol ar e l a c i ó n( 2 . 8 2 ) , e l mó d u l oya r g u me n t od e l ai mp e d a n c i as o nr e s p e c t i v a me n t e :  %

%

∂   2!   2

;

h% a r c t g

 

1 6 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

So l uc i ón

Lo sf a s o r e sd et e n s i ó ne ne f i c a zyd ec o r r i e n t es o nr e s p e c t i v a me n t e : 1 0

2 0 %1 0

o! 0

∂ 2

o o. 9 %2 0 ) 0. j 1 0 ( 4 5

;

  %

∂ 2

o% 5 ! j 4 5 5

p o rc o n s i g u i e n t el ai mp e d a n c i ac o mp l e j ae q u i v a l e n t ed e l di p o l oe si g u a la : %

%

2 0. j 1 0 5! j 5

L

%1 . j 3

q u er e p r e s e n t au n ar e s i s t e n c i ad e1Le ns e r i ec o nu nc o n d e n s a d o rd ec a p a c i d a d : 3%

1

u

  ú

 

%

1

%0 , 0 3 3 3F 3Fa r a d i o s

3· 1 0



Ela n á l i s i sd ec i r c u i t o se x c i t a d o sp o rc . a . s i n u s o i d a lp u e d eh a c e r s ee ne ld o mi n i od el af r e c u e n c i au t i l i z a n d ol ol ar e p r e s e n t a c i ó nf a s o r i a l ,b i e ne nf o r mag r á f i c aoa n a l í t i c a . Ene lEp í g r a f e2 . 5s ed e s a r r o l l óu np r o c e d i mi e n t oa n a l í t i c oq u ep e r mi t í ap a s a rd e l d o mi n i od e l t i e mp oa oa ld o mi n i od el el af r e c u e n c i a ,p a r ae l l os es u s t i t u í a nl nl a se x c i t a c i o n e ss i n u s o i d a l e sp o r e x c i t a c i o n e se x p o n e n c i a l e s ,s ee s c r i b í a nac o nt i n ua c i ó nl nl a se c u a c i o n e si n t e g r o d i f e r e n c i a l e sq u ed e s c r i b í a ne lc o mp o r t a mi e n t od e lc i r c u i t o ,s u s t i t u y e n d ol ol o so p e r a d o r e sd e r i v a d ae  j u i n t e g r a lp o rj u y1/ j ur e s p e c t i v a me n t e ,ya ld i v i d i re ls i s t e mad ee ee c u a c i o n e sp o r s e o b t e n í a ne s t a se c u a c i o n e sf a s o r i a l e sc o r r e s p o n d i e n t e s .Un av e zr e s u e l t a se s t a se c u a c i o n e s u yt o ma n d ol a p o rp r o c e d i mi e n t o sa l g e b r a i c o ss emu l t i p l i c a b a nl nl a ss o l u c i ó n e sp o r∂ 2  j p a r t er e a ls ev o l v í aa l do mi n i od e l t i e mp o . Elp r o c e s od ec á l c u l oa n t e r i o rs ep u e d eo eo p t i mi z a rt e n i e n d oe oe nc u e n t ae lc o n c e p t od e i mp e d a n c i ac o mp l e j ad e s a r r o l l a d oe ne l Ep í g r a f e2 . 7 . Lai d e ac o n s i s t ee ns u s t i t u i rl ar e de n e ld o mi n i od e lt i e mp op op o ru n ar e df a s o r i a le ne ld o mi n i od el af r e c u e n c i a ,al ac u a ls e a p l i c a r á nl o sl e ma sd eKi r c h h o f fd i r e c t a me n t ee nf o r maf a s o r i a l .Lar e df a s o r i a ls ed e r i v a d i r e c t a me n t ed el ar e de ne l d o mi n i od e l t i e mp o , s u s t i t u y e n d ol a st e n s i o n e syc o r r i e n t e sp o r s u sf a s o r e sc o r r e s p o n d i e n t e syc a mb i a n d ol ol o se l e me n t o sd el el ar e dp dp o rl a si mp e d a n c i a s c o mp l e j a s( v e rTa b l a2 . 2 ) . Ac o n t i n u a c i ó ns ns ep u e d er er e s o l v e rl ar e da p l i c a n d ol ol o sl e ma sd eKi r c h h o f fe nf o r ma c o mp l e j a ,q u es ee n u n c i a r í a na s í :

Enu nn nn u d o ,l as u mad el o sf a s o r e sd ec o r r i e n t e( c o r r i e n t e sc o mp l e j a s )e si g u a lac e r o ,e s d e c i r :

;   %0

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   169

Enu nl nl a z ooma l l a , l as u mad el a se l e v a c i o n e sd ep o t e n c i a ld el o sg e n e r a d o r e se x p r e s a d a e nf o r mac o mp l e j ae si g u a l al as u mad el a sc a í d a sd ep o t e n c i a l e nl a si mp e d a n c i a sc o mp l e  j a s , e sd e c i r :

;

  g%

; ·

To d o sl o st e o r e ma sd ec i r c u i t o sd e s a r r o l l a d o se ne lc a p í t u l oa n t e r i o rs o na na p l i c a b l e sa l r é g i me ns i n u s o i d a l , e x p r e s a n d ol a st e n s i o n e syc o r r i e n t e se nf o r maf a s o r i a l ys u s t i t u y e n d o l a si mp e d a n c i a so p e r a c i o n a l e sp o ri mp e d a n c i a sc o mp l e j a s .

 

1 7 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Co n s i d e r e mo se lc i r c u i t od el aFi g u r a2 . 1 0r e s u e l t oe ne l Ep í g r a f e2 . 5yq u es ed i b u j a e nl aF i g u r a2 . 2 0 a . El c i r c u i t oe q u i v a l e n t ee ne l d o mi mi n i od el af r e c u e n c i ae se l i n d i c a d oe oe n l aFi g u r a2 . 2 0 b . Al a p l i c a re l s e g u n d ol e mad eKi r c h h o f fe nf o r maf a s o r i a l ae s t ar e dr e s u l t a : %

  ru%

u

! j

q u ec o i n c i d ec o nl ae c u a c i ó n( 2 . 5 8 )p e r oe s c r i t aa q u í d eu nmo d omá sd i r e c t o . Del ae c u a c i ó na na n t e r i o rs ed e d u c e : %

ru ( r . r)  % u ∂   2! u2 2 u ! j

d o n d er% a r c t g (u/) . Lai n t e n s i d a di n s t a n t á n e ae sp o rc o n s i g u i e n t ei g u a l a : () % ∂ 2

c o s ( u ! ru. r)

∂   2! u2 2

S i s e c o m p a r a e l p r o c e d i m i e n t o e s a r r o l l a d o a q u í , c o ne n e l a n a l i z a d oe o ne l Ep í g r a f e 2 . 5 , s ec o n f i r m a l a g r a n e f i c a c i a d e e s t ed m é t o d o , c o n s i s t e n t e e n r e p r e s e n t a re e l c i r c u i t o f a s o r i a l ,yt r a b a j a rc o né ld i r e c t a me n t e .Esmá s , e sh a b i t u a le nl aTe o r í ad eCi r c u i t o s , p r e s e n t a rl o se j e r c i c i o syp r o b l e ma se nf o r maf a s o r i a ld e s d es ui n i c i o ,d á n d o s ep o re n t e n d i d o q u ep r o c e d e nd eu nd o mi n i od e lt i e mp os i n u s o i d a l . Enmu c h o sp r o b l e ma se si n s t r u c t i v ot a mb i é nt r a b a j a rc o nd i a g r a ma sf a s o r i a l e s ,q u es e p u e d e nd i b u j a rc o n o c i e n d ol ol a sr e l a c i o n e se n t r el o sf a s o r e sd et et e n s i ó ny nyc o r r i e n t ed el el o s e l e me n t o sp a s i v o ss i mp l e sq u es ee x p l i c a r o ne ne ne lEp í g r a f e2 . 6 .P a r ai l u s t r a re s t ep r o c e d i mi e n t oc o n s i d e r e mo se l e s q u e mad el aF i g u r a2 . 2 0 b . Al t r a t a r s ed eu n .Enn u e s t r oc a s o r e s ul t a : o

  0 l o sf a s o r e sc o r r e s p on d i e n t e sal a st e n s i o n e sd e lc i r c u i t os o n: %

o 0 o 0 %u   9

 

%

u

% j

 

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   171

l oq u ec o n f i r mal oe x p l i c a d oe ne l Ep í g r a f e2 . 6 , d eq u el at e n s i ó ne nu n ar e s i s t e n c i ae s t áe n o f a s ec o nl ac o r r i e n t e , mi e n t r a sq u el at e n s i ó ne nu n ai n d u c t a n c i as ea d e l a n t a9 0r e s p e c t od e l ac o r r i e n t e . Lat e n s i ó nd e l g e n e r a d o re sl as u mad ea mb a st e n s i o n e s : %

!

%

u

! j

  %

d o n d e :

r% a r c t g

∂   2! u2 2 r

u

Enl aF i g u r a2 . 2 1 as emu e s t r ae ld i a g r a maf a s o r i a lc o r r e s p o n d i e n t e ,q u er e p r e s e n t al a s u mac o mp l e j a( 2 . 9 6 ) .Co moq u i e r aq u ee ne s t ep r o b l e mas ef i j óe lf a s o rd et e n s i ó nc nc o n u n af a s ed erug r a d o s ,s eo b s e r v ae nl aF i g u r a2 . 2 1 aq u el at e n s i ó na na p l i c a d a f o r mar g r a d o sc o nl ar e f e r e n c i ad e le j er e a l . P o rc o n s i g u i e n t ep a r ao b t e n e re l d i a g r a mar e a l s ed e b eh a c e r g i r a rl aF i g u r a2 . 2 1 ah a s t a r a d o s .Enl aF i g u r a2 . 2 1 bs bs eh ad ad i b u j a d oe oe ld i a g r a ma q uel af a s ed e s e ai g u a laru g c o r r e s p o n d i e n t e .Dea q u ís ed e d u c ee lá n g u l ori% ru. r yd e( 2 . 96 )e lmó du l od el a c o r r i e n t e ,r e s u l t a n d o : %

∂   2! u2 2

  ; ri% ru. r

v a l o rq u ec o i n c i d ec o ne lo b t e n i d oe n( 2 . 9 2 ) . Cu a n d os os et i e n e nc i r c u i t o st i p os e r i e , l on o r ma l e sc o n s t r u i rl o sd i a g r a ma sf a s o r i a l e st o ma n d ol ac o r r i e n t ec o mor e f e r e n c i ay aq u ee se l f a s o rc o mú nat o d o sl o se l e me n t o sd el ar e d .S i ne mb a r g oc oc u a n d os et i e n e nc i r c u i t o sc o n r a ma se np a r a l e l o ,s ep r e f i e r et o ma rl at e n s i ó na p l i c a d ac o mor e f e r e n c i ay aq u ee l l ar e p r e s e n t ae lf a s o rc o mú nat o d a sl a sr a ma s .

Enl ar e dd el aF i g u r a2 . 2 2 , e lg e n e r a d o rt i e n eu n af r e c u e n c i ad e5 0Hz . La sl e c t u r a sd el o sa p a r a t o sd e me d i d as o n :   %3 0V;   % 7 0V;   % 1 0 0V; % 1 0A.Di 0A b u j a re ld i a g r a maf a s o r i a ld e lc i r c u i t o ,y d e d u c i rap a r t i rd eé l :a )t e n s i ó nd e lg e n e r a d o r s;b )v a l o r e sd e, y . Lo sv o l t í me t r o sya mp e r í me t r o smi d e nl o smó d u l o sd el o sv a l o r e se f i c a c e sd et e n s i o n e syc o r r i e n t e sr e s p e c t i v a me me n t e ,yp o rc o n s i g u i e n t es u sl e c t u r a ss o nc a n t i d a d e se s c a l a r e s .

 

1 7 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

So l uc i ón

a )Enl aFi g u r a2 . 2 3s eh ad i b u j a d oe l d i a g r a maf a s o r i a l c o r r e s p o n d i e n t e . El d i b u j od e l d i a g r a mac o mi e n z a o r e p r e s e n t a d oa oae s c a l ae lv e c t o rOQ% % 1 0 0,q u es et o mac o mof a s o rd er e f e r e n c i a .Lat e n s i ó n e s t a r áe nf a s ec o n, n, y aq u el at e n s i ó ne nu n ar e s i s t e n c i ae s t áe nf a s ec o nl ac o r r i e n t e , s ue x p r e s i ó nf a s o r i a l oyc e s :   %3 0 0 o r r e s p o n d ea l v e c t o rOM d el aF i g u r a2 . 2 3 . Ac Ac o n t i n u a c i ó ns ed i b u j ae l v e c t o rMNq u e o c o r r e s p o n d eal at e n s i ó ne nb o r n e sd el ai n d u c t a n c i aq u es e g ú ns a b e mo ss ea d e l a n t a9 0 al ac o r r i e n t e .La o e x pr e s i ó nf nf a s o r i a lc o r r e s p o nd i e n t ee s   %7 0 9 0. De s p u é ss ed i b u j ae l v e c t o rNPq u ec o r r e s p o n d eal a o t e n s i ó ne nb o r n e sd e l c o n d e n s a d o rq u es er e t r a s a9 0r e s p e c t od el ac o r r i e n t e( r e p a s a rEp í g r a f e2 . 6 ) . Es t a o t e n s i ó ns ee s c r i b ee ee nf o r maf a s o r i a l :   %1 0 0   .9 0.

E lv a l o rd el ama g n i t u dd dd e   ss eo b t i e n e ,s e g ú n np p r e c o n i z ae ls e g u n d ol ol e mad eK eKi r c h h o f f ,c o mol a s u ma : s%

!

!

q u ec o r r e s p o n d ea lv e c t o rOPd el aF i g u r a2 . 2 3 . Sis eh ad i b u j a d oe oe s t af i g u r aae s c a l a ,s ep u e d eme d i r

d i r e c t a me n t ec o nu n ar e g l al ama g n i t u dOPq u en o sd ae l mó d u l od el at e n s i ó nd e l g e n e r a d o r . Es t at e n s i ó n s ep u e d eo b t e n e rd ef ef o r maa n a l í t i c a ,r e s o l v i e n d o ol l ae c u a c i ó n( n( 2 . 9 8 )y aq aq u es ec o n o c e nl a se x p r e s i o n e s f a s o r i a l e sd el a st e n s i o n e s .Ya s í r e s u l t a : 0 s% 3

o o o 0 !7 0   !9 0 !1 0 0   .9 0 %3 0. j 3 0% 3 0 ∂ 2   .45o

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   173

P o rc o n s i g u i e n t ee lmó d u l od e   se si g u a la3 0 ∂ 2esdeci r4 2 , 4 3v 3v o l t i o s ,s i e n d oe oe lá n g u l or d el a o F i g u r a2 . 2 3d 3d e4 5.Esu n ,e lr e a l i z a rl as u ma( 2 . 9 8 )e nf o r ma a r i t mé t i c a ,yd e c i rq u el at e n s i ó nd el af u e n t ee si g u a la3 0! 7 0! 1 0 0% 2 0 0V. El e r r o rp r o v i e n ed en o t e n e re nc u e n t aq u es ee s t áo p e r a n d o oc c o nf a s o r e s .Lar e l a c i ó n( n( 2 . 9 8 )e sl ac o r r e c t a , ye ye x p r e s au n as u ma v e c t o r i a l ,q u ea lt r a d u c i rama g n i t u d e ss et r a n s f o r mae n :  s %

  !

!

   Ç  !  ! 

e sd e c i re lmó d u l od el at e n s i ó n nd d e lg e n e r a d o re si g u a la l mó mó d u l od el as u mav e c t o r i a ld el a st e n s i o n e s p a r c i a l e s ,q u ee sd i f e r e n t eal as u mad el o smó d u l o sd ec a d at e n s i ó n .S u e l es o r p r e n d e rt a mb i é ne l h e c h o ( q u ea ea q u ís u c e d e )d eq u ee x i s t a n nt t e n s i o n e si n t e r n a se ne lc i r c u i t o ,s u p e r i o r e si n c l u s oal ad e lg e n e r a d o r , c o moe ne s t ec a s oa p a r e c e ne nl ai n d u c t a n c i a( 7 0V)ye lc o n d e n s a d o r( 1 0 0V)q u es o nma y o r e sq u el o s 4 2 , 4 3Vd el af u e n t ed el aa l i me n t a c i ó n . Loa n t e r i o rs ed e b ea l c a r á c t e rf a s o r i a l ( v e c t o r i a l )d el a st e n s i o n e s . b )Lo sv a l o r e sd el o sp a r á me t r o sd e lc i r c u i t os eo b t i e n e nd i r e c t a me n t ed el a sr e l a c i o n e se n t r el a sma g n i t u d e sd el a st e n s i o n e sl e í d a sc o nl o sv o l t í me t r o syl ac o r r i e n t ed e la mp e r í me t r o ,ya s ír e s u l t a : %

%

3 0

L   ;   u%

%3

1 0

n   yque yt e n i e n d oe nc u e n t aq u eu% 2

L ;

%3

  %

7

%

7 0

1

L   ; u%

%7

1 0

%

1 0 0

L

%1 0

1 0

%5 0Hz , d al u g a ra :

%2 2 , 2 8mH

2 n50

;

  %

I

]F

%3 1 8, 3

1 0· 2 n50

Ene l c i r c u i t od el aF i g u r a2 . 2 4 , s eh a nr e g i s t r a d ol a sl e c t u r a sd el o ss i g u i e n t e sa p a r a t o sd eme d i d a( q u ep o r s i mp l i c i d a dn os os eh a nmo s t r a d oe oe nl aF i g u r a ) :2 % 5A ;   2 %3 5V;   2 %1 2 0V;3 % 3A ; %7    3 5V. De t e r mi n a r :a )Le c t u r a sd ed o sv o l t í me t r o sc o l o c a d o sd et a l ma n e r aq u emi d a nr e s p e c t i v a me n t el at e n s i ó n   gd e lg e n e r a d o ry   3d el ai n d u c t a n c i a 3. b )Le c t u r ad eu na mp e r í me t r oq u emi d al a c o r r i e n t et o t a l1s u mi n i s t r a d ap ore l ge n e r a d o r .

So l uc i ón

a )S eo eo b s e r v aq u es ed i s p o n ed et o d o sl o sd a t o sd el ar a ma2 .S is ee l i g el ac o r r i e n t e 2c o mof a s o rd e r e f e r e n c i a ,p od e mo mo se s c r i b i r : 2% 5

o 0

 

1 7 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

yp o rc o n s i g u i e n t el a st e n s i o n e s

e s p o nd e nal a se x p r e s i o n e s :   2y   2r 5 2% 3

o 0 ;

2 0 2% 1

 

o

0 .9

or y aq u el at e n s i ó ne n   2v ae nf a s ec o n 2yl ad e   2s er e t r a s a9 0 e s p e c t od e 2. Dee s t emo d ol ad . d . p . e n t r eM yNq u er e p r e s e n t al at e n s i ó nd e lg e n e r a d o r   gt i e n ee ls i g u i e n t ev a l o r : g%

 

2!

 

5 2% 3

o o o 0 !1 2 0 .9 0 %1 2 5 .7 3 , 7 4 v o l t i o s

e nl aFi g u r a2 . 2 5s 5s emu e s t r ae ld i a g r a maf a s o r i a lc o r r e s p o n d i e n t e . Elv o l t í me t r oq u emi d el el at e n s i ó nd nd e l g e n e r a d o rma r c a r á1 2 5V. El á n g u l or2d el aF i g u r a2 . 2 5q u er e p r e s e n t ae ld e s f a s ee n t r el at e n s i ó na p l i c a o d ayl ay ac o r r i e n t e 2s e r ád e7 3 , 7 4.Lac o r r i e n t e 3q u el el l e v al ar a mai n d u c t i v a ,i r ár e t r a s a d au ná ná n g u l o ( d e s c o n o c i d oa oap r i o r i )q u es eh ad e n o mi n a d or3e nl aF i g u r a2 . 2 5 .Lat e n s i ó n   3i r ár e t r a s a d au ná ná n g ul o ( d e s c o n o c i d oa oap r i o r i )q u es eh ad e n o mi n a d or3e nl aF i g u r a2 . 2 5 .Lat e n s i ó n   3i r áe nf a s ec o n 3yl a o t e n s i ó n   3i r á9 0a d e l a n t a d ar e s p e c t od e 3, d et a l mo d oq u el as u mad ea mb a st e n s i o n e sd e b es e ri g u a l a l at e n s i ó nd nd ea l i me n t a c i ó n   g. De l t r i á n g u l oOP Qd Qd el aF i g u r a2 . 2 5s ed e d u c e : % 3

2 %

2

∂ 125. 75

1 0 0v ol t i o s

s i e n d oe lá n g u l or3: c o sr3%

 

3 % g

7 5

%0 , 6

1 2 5

  ú

3, 1 3o   r3% 5

u nv o l t í me t r oc o l o c a d oe np a r a l e l oc o n   3d ap o r e l l ou n al e c t u r ad e1 0 0V. b )Lac o r r i e n t et o t a l 1e si gu a lal as umade 2má s 3.Enl aF i g u r a2 . 2 5s 5s ei n d i c al as u maf a s o r i a l c o r r e s p o nd i e n t eyq u ee nf o r maa n a l í t i c ae s : 1%

2! 3% 5

o o o o o o % 4 .3 !3 ( % 5 0! 3 .1 6 , 8 7 A 2 6 , 8 7 .7 3 , 7 4 .5 3 , 1 3 ) 0

p o rc o n s i g u i e n t e ,e l a mp e r í me t r os e ñ a l au n ac o r r i e n t ed e4A,q u ee se l va l o re f i c a zd el ac o r r i e n t e 1. El l e c t o rh a b r ác o mp r o b a d ol ag r a na y u d aq u ep r o p o r c i o n a nl o sd i a g r a ma sf a s o r i a l e s ,s o b r et o d oe na q u e l l o s c a s o se nq u es ep l a n t e a nl o sd a t o se nf o r mad ev a l o r e smo d u l a r e s .Es t ac o n s t r u c c i ó ng ng e o mé t r i c ar e s u l t a b a s t a n t eú t i l ,p u e sp e r mi t ev e rc o ns ns e n c i l l e zl ap o s i c i ó n nq q u ed ed e b e nt e n e rl o sf a s o r e s ,q u ee ee ne ne s t o sc a s o s r e s u l t amá ss i mp l eq u eo p e r a rc o nn ú me r o sc o mp l e j o sc u y oa r g u me n t os ed e s c o n o c e .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   175



La sr e g l a sp a r ad e t e r mi n a rl a si mp e d a n c i a se q u i v a l e n t e sd ec o mb i n a c i o n e sd ee l e me n t o s p a s i v o se nr é g i me ns i n u s o i d a l , s o ni d é n t i c a sal a se s t u d i a d a se ne l Ep í g r a f e1 . 9d e l c a p í t u l o a n t e r i o r ,s u s t i t u y e n d o l a s i m p e d a n c i a s o p e r a c i o n a l e s a l l í d e f i n i d a s p o r i m p e d a n c i a s c o my p l e j a s e n e l c a s o s i n u s o i d a l . I g u a l m e n t e s e a p l i c a r á n l a s c o n v e r s i o n e s e s t r e l l a a t r i á n g u l o v i c e v e r s a . Ve a mo su ne j e mp l od ea p l i c a c i ó n .

Ca l c u l a rl ai mp e d a n c i at o t a l e n t r el o st e r mi n a l e sAyBd el ar e dd el aF i g u r a2 . 2 6yl ac o r r i e n t es u mi n i s os 10 0 vo l t r a d ap o re l ge n e r a d o rs ie s t et i e n eu n at e n s i ó n ne e nb o r n e sd a d ap o rl ae x p r e s i ó n : s% ∂ 210c t i o s .

So l uc i ón

Elg e n e r a d o rd et e n s i ó n nt t i e n eu n ap u l s a c i ó nu% 1 0 0r a d / syu nv a l o rf a s o r i a l e s c r i t oe nf o r map o l a r : 0 s% 1

o 0

La si mp e d a n c i a sd el ar e ds o n :

u   ycomos o nt o da sd e0, 01Hda nu nv a l o r % ! j 1 0 0· 0 , 0 1% j 1L.

% ! j

%. j

1  . P a r ae lc o n d e n s a d o r d e0 , 0 1Fn o sd a   %. j 1L, yp a r ae l c o n d e n s a d o rd e

u

0, 02Fda   %. j 0 , 5L. %   , s o nt o d a sd e1L. Elc i r c u i t od el aF i g u r a2 . 2 6 6e e ne ld o mi n i od el af r e c u e n c i ae se l i n d i c a d oe nl aF i g u r a2 . 2 7 . Ene s t e c i r c u i t o ,s ev aat r a n s f o r ma re lt r i á n g ul od ei mp e d a n c i a s1L,j 1L y. j 0 , 5L ( i n t e r i o r e sal az o n as o mb r e a d a )e nu n ae s t r e l l a , dea c u e r d oa oal a sf ó r mu l a sd ec o n v e r s i ó n( 1 . 9 3 ) , l oq u ed al u g a ra :

1%

1 ( j 1 ) %  j 1 %0 , 4! j 0 , 8L   ; 1! j 1. j 0 , 5 1! j 0 , 5 3%

1 ( . j 0 , 5 )

%

  2%

. j 0 , 5

 j 1 ( 0 , 5 )% 0 , 5 %0 . j , 4. j 0 , 2L 1! j 1. j 0 , 5 1! j 0 , 5

L

%.0 , 2. j 0 , 4

0 , 5 1! j 1. j 0 , 5 1! j

 

1 7 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

s eo b s e r v aq u el ai mp e d a n c i a   3n oe oe sf í s i c a me n t er e a l i z a b l ey aq u ea p a r e c eu n ar e s i s t e n c i an e g a t i v a ,s i n 3 e mb a r g on on o sd e b ei mp o r t a ry aq u ee su n ar e de q u i v a l e n t e.Elc i r c u i t od el aFi g u r a2 . 2 7s 7s ec o n v i e r t e e n t o n c e se ne l d el aF i g u r a2 . 2 8 , d o n d es eo b s e r v a nd o sr a ma se np a r a l e l o( c o n t e n i e n d oas uv e zd o si mp e d a n c i a se ns ns e r i eq u es ed e s t a c a ne ne nl a sá r e a ss o mb r e a d a s )c o no no t r ar a mae ns e r i e .La si mp e d a n c i a se n p a r a l e l os o n : !( %0 .0 , 2. j 0 , 4 ) 1! j 1 ) , 8! j 0 , 6% 1 A% (

o 36 , 8 7

0 , 4. j 0 , 2 ) !( 1. j 1 ) %1 , 4. j 1 , 2% 1 , 8 4 B% (

.4 0 , 6

o

q u ed a nu n ai mp e d a n c i ae q u i v a l e n t e : 1

% p

1

! A

1 ú

p%

B

  A· B A!

B

c u y or e s u l t a d on u mé r i c oe s : p%

( 0 , 8! j 0 , 6 ) ( 1 , 4. j 1 , 2 )

%0 , 81

!( ( 0 , 8! j 0 , 6 ) 1 , 4. j 1 , 2 )

11 , 5% 0 , 7 9! j 0 , 1 6L

d ea c u e r d oc o nl aF i g u r a2 . 2 8 , e s t ai mp e d a n c i ae s t áe ns e r i ec o n0 , 4! j 0 , 8L, l oq u ed al u g a rau n ai mp e d a n c i at o t a le n t r eAyB: 0 , 4! j 0 , 8 ) !( 0 , 7 9! j 0 , 1 6 ) %1 , 1! j 0 , 9 6% 1 , 5 3 AB% ( e nc o n s e c u e n c i al ac o r r i e n t es u mi mi n i s t r a d ap o re lg e n e r a d o rs e r á :   s % %

o 1 0 0

, 5 4 o% 6

1 , 5 3 3 8 , 9

o

.3 8 , 9a mp e r i o s

c u y ae x p r e s i ó ni ni n s t a n t á n e ae s : o () % ∂ 2 6 , 5 4c o s ( 1 0 0. 3 8 , 9 )

o L 3 8 , 9

3

Lae q u i v a l e n c i ae n t r er e d e se s t r e l l ayt r i á n g u l os i e mp r ee sp o s i b l eae f e c t o sd ec á l c u l od e l c i r c u i t o .Ot r oa s p e c t oa c o n s i d e r a re sq u es es e ap o s i b l el ar e a l i z a c i ó nf nf í s i c ad e el l ar e d de e q u i v a l e n t e .Ese v i d e n t eq u e en n o os s ep u e d ec o n s t r u i ru n a r e s i s t e n c i an e g a t i v a , s i ne mb a r g o ,e ne l c a s oq u en o so c u p al ar e de ne s t r e l l ae q u i v a l e n t ed al u g a ral o smi s mo sr e p a r t o s d ec o r r i e n t eyt e n s i ó n nq q u el ar e de nt r i á n g u l o , p e s eae x i s t i ru n a ar r e s i s t e n c i an e g a t i v a .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   177



Elmé t o d od od el a sma l l a sp a r ac i r c u i t o ss i n u s o i d a l e se sa n á l o g oa oa l e s t u d i a d oe ne l Ep í g r a f e 1 . 1 2d 2d e lc a p í t u l oa n t e r i o r ,r e p r e s e n t a n d oa oa h o r al o sg e n e r a d o r e sp o rs u sf a s o r e sc o r r e s p o n d i e n t e sys u s t i t u y e n d ol ol a si mp e d a n c i a so p e r a c i o n a l e sp o rs u si mp e d a n c i a sc o mp l e j a s .S i e x i s t e ng e n e r a d o r e sd ec o r r i e n t es ed e b e nt r a n s f o r ma rp r e v i a me n t eag e n e r a d o r e sd et e n s i ó ne q u i v a l e n t e . Ene l c a s od eq u ee x i s t a ng e n e r a d o r e sd ec o r r i e n t ei d e a l e sq u en os ep u e d a nt r a n s f o r ma r ,s ed e b e r ás e g u i re l mé t o d oi n d i c a d oe oe ne lEp í g r a f e1 . 1 2 . 2 .Ve a mo su n o s e j e mp l o sd ea p l i c a c i ó nd nd ee s t at e o r í a .

Ca l c u l a rl ac o r r i e n t ei n s t a n t á n e a d e lc i r c u i t od el aF i g ur a2 . 2 9 .

So l uc i ón

Lat e n s i ó ng ng e n e r a d o r ad el af u e n t e bs ee x p r e s ae nf o r maf a s o r i a l : b%

o 1 0 0

Elg e n e r a d o rd ec o r r i e n t es u mi mi n i s t r au n ai n t e n s i d a d : a%

∂ 210sen100% ∂ 210cos(100. 90o)

ys uf o r maf a s o r i a l e s : 0 a% 1

o

.9 0

P a s a n d oe l ge n e r a d o rd ec o r r i e n t eag e n e r a d o rd et e n s i ó n ,d ea c u e r d oc oc o n( 1 . 6 7 )s et i e n e : a%   a%

o 1· 1 0 .9 0 ,yaqu e   % 1L

La sb o b i n a sd e0 , 0 1Ht i e n e nu n a si mp e d a n c i a s :! j 1 0 0· 0 , 0 1% ! j 1L. u   % ! j El c o n d e n s a d o rd e0 , 0 1Ft i e n eu n ai mp e d a n c i a : . j

1

L

%. j 1

u

 

1 7 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Enc o n s e c u e n c i a , e l c i r c u i t od el aFi g u r a2 . 2 9e ne l d o m mi i n i od e l t i e mp od al u g a ra l c i r c u i t od el aF i g u r a 2 . 3 0e ne l do mi n i od el af r e c u e n c i a , d o nd ey as eh ar e a l i z a d ol at r a n s f o r ma c i ó nd nd e l g e n e r a d o rd ec o r r i e n t e ag e n e r a d o rd et e n s i ó n. Ala p l i c a re l t e o r e mad el a sma l l a sae s t ar e ds eo b t i e n e : o% ( 1 )2 1 0 .9 0 1! j 1. j 1 )1. ( . j o 0 0 %.( 1 )1! ( 1! j 1. j 1 )2 .1 . j

c u y osr e s u l t a d o ss o n : 1% 0

;

0   2%.1

o o 0 %1 0 1 8 0

yl ac o r r i e n t e e ne l c o n d e n s a d o re si g u a l a : % 1.   2% 1 0

o 0

p o rl oq u el ae x p r e s i ó ni n s t a n t á n e ad ee s : % ∂ 2 () 1 0 c o s 1 0 0

o Ene l c i r c u i t od el aF i g u r a2 . 3 1 al o sv a l o r e si n s t a n t á n e o sd el o sg e n e r a d o r e ss o n : a%2 0c o s ( 1 0. 4 5 )v o l t i o s ; b% ∂ 21 0c o s 1 0v 0v o l t i o s ;c% ∂ 21 0s e n1 0a 0a mp e r i o s . Ca l c u l a r : a ) c o r r i e n t e si n s t a n t á n e a ss u mi n i s t r a d a sp o rl o sg e n e r a d o r e sd et e n s i ó n ;b )t e n s i ó n ne e nb o r n e sd el af u e n t ed ec o r r i e n t e .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   179

So l uc i ón

a )La se x p r e s i o n e sf a s o r i a l e sd el o sg e n e r a d o r e ss o n : 2 0 a%

o

∂ 2 .45

;

  b% 1 0

o ; 0

  c% 1 0

o 0 .9

c o moq u i e r aa d e má s q u eu% 1 0r a d / s , l a si mp e d a n c i a sc o mp l e j a ss o nl a smo s t r a d a se nl aFi g u r a2 . 3 1 b . Al a p l i c a rl a se c u a c i o ne sd ema l l ar e s u l t a : o 1 0 0 %( 1! j 1. j 1 )1. ( . j 1 )2. j 13

2 0

∂ 2

o

o

.4 5. 1 0 0%.( . j 1 )1! ( 1! j 1. j 1 )2. j 13

0 3%.1

o

.9 0

e sd e c i r : o 1 0 0 % 11! j 12. j 13

1 0% j 11! 12. j 13 . j % j 1 0 3

q u er e s o l v i e n d od al u g a ra : ! j 5% 1%.5

5 ∂ 2 125o ;

∂ 2 .135o

. j 5% 5   2%.5

;

o 1 0% 1 0 !9 0   3%! j

Lac o r r i e n t es u mi n i s t r a d ap o re lg e n e r a d o r as e r ái g ua l a 2, qu ec o r r e s p o n d eau nv a l o ri n s t a n t á n e o : 2%

o ∂ 2( 5 ∂ 2)cos(10. 135o)% 10cos( 1 0. 1 3 5 )

Lac o r r i e n t es u mi n i s t r a d ap o re lg e n e r a d o r b( d e l n u d oAa l n u d oB)e si g u a l a b: 1 0% 1 0 b%   1.   2% j

o 9 0

q u ec o r r e s p o n d eau nv nv a l o ri n s t a n t á n e o : b%

o ∂ 210cos( 1 0! 9 0 )

b )Lad . d . p . e nb o r n e sd e lg e n e r a d o rd ec o r r i e n t ee si g u a l al at e n s i ó n   CD: 1 (2.   3) ! j 1 (1.   3) %2 0. j 1 0% 2 2, 3 6 CD% j q u ec o r r e s p o n d eau nv nv a l o ri n s t a n t á n e o : CD%

∂ 222, 3 6c o s ( 1 0. 2 6, 5 6o)

o

.2 6, 5 6



Elmé t o d od od el o sn u d o sp a r ac i r c u i t o ss i n u s o i d a l e se sa n á l o g oa oa l e s t u d i a d oe ne lEp í g r a f e 1 . 1 3d 3d e lc a p í t u l oa n t e r i o r ,r e p r e s e n t a n d oa oa h o r al o sg e n e r a d o r e sp o rs u sf a s o r e sc o r r e s p o n d i e n t e sys u s t i t u y e n d ol ol a si mp e d a n c i a soa d mi t a n c i a so p e r a c i o n a l e sp o rs u sv a l o r e sc o mp l e j o s . S ie x i s t e ng e n e r a d o r e sd et e n s i ó nd e b e nt r a n s f o r ma r s ep r e v i a me n t eaf u e n t e sd ec o -

 

1 8 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

r r i e n t ee q u i v a l e n t e .Ene lc a s od eq eq u ee ee x i s t a ng e n e r a d o r e sd et et e n s i ó ni ni d e a l e sq u en en os os e p u e d a nt r a n s f o r ma r , s ed e b e r ás e g u i re l p r o c e d i mi e n t oi n d i c a d oe ne l Ep í g r a f e1 . 1 3 . 2 . Ve a mo sd o se j e mp l o sd ea p l i c a c i ó nd ee s t at e o r í a .

Re s o l v e re lEj e mp l od eAp l i c a c i ó n2 . 8p o re lmé t o d od el o sn u d o s .

So l uc i ón

Elg e n e r a d o rd et e n s i ó nt i e n ee ns e r i eu n ai mp e d a n c i ad e1! j 1L, t r a n s f o r má n d o l oe ng e n e r a d o rd ec o r r i e n t es eo b t i e n e : o 1 0 1 0 0   b o .4 5 ;   % 1! j 1 % % % b 1! j 1 ∂ 2 y e l c i r c u i t o e l aa F i g u r a 2 . 2 9 s e c o n v i e r t e e n e l d e l a F i g u r a 2 . 3 2 . A p l i c a n d oe l t e o r e mad el o sn u d o sal o s n u d o s A y Bd , t o m n d o e l n u d o C c o m o d a t o o r e f e r e n c i a , s e o b t i e n e : o 1 0 .9 0 %

1 0

∂ 2

o

CD C 1

!

1

1  j 1

.4 5%.

1

 j 1

A.

1

 j 1

  A!

 j

!

  B

1

!

1

q u ea l o p e r a r d al u g a r a : o %( 1 0 .9 0 1 1. j 1 ) A! j

1 0

∂ 2 d ed o n d es ed e d u c eu nv a l o rd e   B:

o

.4 5% j 1

D

 j 1 . j 1 1! j 1

B

0 , 5. j 0 , 5 )B A! (

B

B% 1 0

o 0 .9

p o rl ot a n t ol ac o r r i e n t e s e r á : o 1 0 .9 0

%

%1 0

1 . j

o 0

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   181

q u ec o r r e s p o n d eau nv nv a l o ri n s t a n t á n e o : () % ∂ 2 1 0 c o s 1 0 0 q u ec o i n c i d ec o ne l r e s u l t a d od e lEj e mp l od eAp l i c a c i ó n n2 2 . 8r e a l i z a d oa oa l l íp o re l mé mé t o d od el a sma l l a s .

o Ene l c i r c u i t od el aF i g u r a2 . 3 3 al o sv a l o r e si n s t a n t á n e o sd el o sg e n e r a d o r e ss o n : a%1 0c o s (! 4 5 )v o l t i o s ; o %4 c o s (. 4 5)v o l t i o s . Ca l c u l a rl ac o r r i e n t ei n s t a n t á n e aq u ec i r c u l ap o rl ai n d u c t a n c i ad e1h e n r i o . b

So l uc i ón

Lo sv a l o r e sf a s o r i a l e sd el a st e n s i o n e sd el o sg e n e r a d o r e ss o n : a%

1 0

∂ 2

a lt r a n s f o r ma re lg e n e r a d o rd et e n s i ó n r e s u l t a :

o 4 5 ;

  b%

4

∂ 2

o

.4 5

L)eng ng e n e r a d o rd ec o r r i e n t e

e n ns s e r i ec o n nl l ar e s i s t e n c i ad e1 a( 1 0 a%

∂ 2

o 4 5

0 , 5

%

2 0

∂ 2

o 4 5

Co moq u i e r aa d e má sq u eu% 1r a d / s , l a si mp e d a n c i a sc o mp l e j a sye l c i r c u i t oe q u i v a l e n t ee ne ld o mi n i od el af r e c u e n c i as e r áe l i n d i c a d oe oe nl aF i g u r a2 . 3 3 b . Al t o ma r e l nu d oDc o mor e f e r e n c i a , ya p l i c a rl a s e c u a c i o n e sd en u d os eo b t i e n e :

1 ! 1! 1 0 4 o % A). 2 5 0 , 5 0 , 5 . j 0 , 5 ∂ 2

C

B)   B%

4

∂ 2

o

.4 5

D

A.

1 1   B.   C . j 0 , 5 0 , 5

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   183

!

u

  !

u%

u u

 

%

%

%

 

u

%

u

%

u

u u % %

%

%

%

u %   u u%

u %

%

  L %   Lu%

%

  ]   u%

. %

%

%

u

 

%

 

.

%



Elp r i n c i p i od es u p e r p o s i c i ó np a r ac i r c u i t o ss i n u s o i d a l e se sa n á l o g oa oa l e s t u d i a d oe oe ne l e p í g r a f ed e l c a p í t u l oa n t e r i o r . Cu a n d os ee s t u d i a nr e d e sl i n e a l e sq u ei n c l u y e ng e n e r a d o r e sc o n d i f e r e n t e sf r e c u e n c i a s , e l mé t o d od es u p e r p o s i c i ó nc o n s t i t u y ee l ú n i c op r o c e d i mi e n t ov á l i d op op a r aa n a l i z a re lc o mp o r t a mi e n t od e lc i r c u i t o ,e x p r e s a n d oe oe lr e s u l t a d oc oc o mos u mad e v a l o r e si n s t a n t á n e o s ,y aq u en os ep u e d eo p e r a rs i mu l t á n e a me n t ec o nf a s o r e sd ef r e c u e n c i a sd i f e r e n t e s .Ve a mo su n o se j e mp l o s :

Re s o l v e re l Ej e mp l od eAp l i c a c i ó n n2 2 . 8p o re lp r i n c i p i od es u p e r p o s i c i ó n .

So l uc i ón

El c i r c u i t od el aF i g u r a2 . 2 9e ne l d o mi n i od el af r e c u e n c i ae se l i n d i c a d oe nl aF i g u r a2 . 3 4 . Cu a n d oa c t ú a e lg e n e r a d o rd ec ec o r r i e n t e ,e lo t r og e n e r a d o rd e b e es s u s t i t u i r s ep o rs ui mp e d a n c i ai n t e r n a ,r e s u l t a n d ou ou n c o r t o c i r c u i t op o rs e ru ng e n e r a d o rd et e n s i ó n nc c o momu e s t r al aF i g u r a2 . 3 5 ,d o n d ed e b ec a l c u l a r s el ac o r r i e n t eñ .

 

1 8 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

La si mp e d a n c i a s1! j 1y. j 1e s t á ne np a r a l e l od a n d ol u g a rau n ai mp e d a n c i at o t a l :

p%

( 1! j 1 ) ( 1 ) . j 1! j 1. j 1

%1 . j 1

r e s u l t a n d oe l c i r c u i t od el aF i g u r a2 . 3 6 , do n d es eo b s e r v aq u el ai mp e d a n c i a1. j 1e s t áe ns e r i ec o nj 1l o o

q u ed al u g a rau n ai mp e d a n c i at o t a ld e1L.Enc o n s e c u e n c i al ac o r r i e n t ed e l g e n e r a d o rd e1 0 .9 0s e d i s t r i b u y ep o ri g u a le n t r el a sd o sr a ma sr e s u l t a n t e s ,y aq u ea mb a st i e n e nl a smi s ma si mp e d a n c i a s ,l ac o r r i e n t e at i e n eu nv nv a l o r : a%

o 1 0 .9 0

%5

2

o

.9 0

q u el l e v a n d oa oal aF i g u r a2 . 3 5y 5yt e n i e n d oe nc u e n t al ar e g l ad e ld i v i s o rd ec o r r i e n t e( 1 . 8 2 ) ,d al u g a ra : 1 ñ %   a%

  i %5 T

. j 1

o

.9 0

1

!

. j 1

1

∂ 2 .45o

%5

1! j 1

Cu a n d oa c t ú as o l oe lg e n e r a d o rd e et t e n s i ó n ,e lg e n e r a d o rd ec o r r i e n t ed e b ed e j a r s ee nc i r c u i t oa b i e r t o ,

c o moi n d i c al aF i g u r a2 . 3 7 . Ene s t ec i r c u i t ol ai mp e d a n c i a1! j 1L d el ai z q u i e r d ae s t áe np a r a l e l oc o n 1L,r e s u l t a n d o ou u n ai mp e d a n c i ae q u i v a l e n t e : . j p%

( 1! j 1 ) ( . j 1 ) 1! j 1. j 1

%1 . j 1

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   185

ys eo b t i e n ee lc i r c u i t oe q u i v a l e n t ed el aFi g u r a2 . 3 8 .Ene s t ec i r c u i t ol ac o r r i e n t e bq u es es u mi n i s t r ae l g e n e r a d o re s : o 1 0 0 o %5 0 b% 1! j 1! 1. j 1 q u el l e v a d oa l c i r c u i t od el aF i g u r a2 . 3 7 , yt yt e n i e n d o oe e nc u e n t al ar e g l ad e ld i v i s o rd ec o r r i e n t e , s eo b t i e n e p a r añ ñ e lv a l o r : 1 / ( . j 1 ) 1! j 1 %5 ∂ 2 45o % b % b% ñ ñ 1 / ( 1 ) !1 / ( 1! j 1 ) ( 1! j 1 ) !( 1 ) . j . j

Lac o r r i e n t ed el aF i g u r a2 . 3 4e sl as u mad el a sc o r r i e n t e sñ ( Fi g ur a2 . 3 5)e ñ ñ ( Fi g u r a2 . 3 7 ) , r e s u l t a n d ou nv a l o rt o t a l : % ñ ! ñ %5 ∂ 2 .45o! 5∂ 2 45o% 10 0o ñ q u ec o i n c i d e ec c o nl nl o sv a l o r e so b t e n i d o sp o re lmé t o d o od d e el l a sma l l a syn u d o s .Lae x p r e s i ó ni ni n s t a n t á n e a c o r r e s p o n d i e n t ee s : () % ∂ 2 1 0 c o s 1 0 0

Ca l c u l a rl ac o r r i e n t ei n s t a n t á n e ae ne l c i r c u i t od el aFi g u r a2 . 3 9a 9a p l i c a n d oe lp r i n c i p i od es u p e r p o s i c i ó n . Elg e n e r a d o rd et e n s i ó ne sd ec . a . d e ev v a l o ri n s t a n t á n e o g1() % ∂ 2 1 0c o s 1 0v o l t i o s , e lg e n e r a d o rd ei n t e n s i d a de sd ec o r r i e n t ec o n t i n u ad ev a l o rg2% g2% 5A.

So l uc i ón

Lo sc i r c u i t o se q u i v a l e n t e se ne l do mi n i od el af r e c u e n c i aa la p l i c a rs u p e r p o s i c i ó ns ns o nl o smo s t r a d o se nl a F i g u r a2 . 4 0 . Ene l c a s od el aF i g u r a2 . 4 0 aa c t ú as o l a me n t ee l g e n e r a d o rd et e n s i ó nd ec . a . c o nu n ap u l s a -

 

1 8 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

c i ó nu% 1 0r a d / s .Elg e n e r a d o rd ec o r r i e n t e g2%   g2s eh ad e j a d oa b i e r t o . Ene l c a s od el aF i g u r a2 . 4 0 b a c t ú aú n i c a me n t ee lg e n e r a d o rd ec o r r i e n t ec o n t i n u aq u et i e n eu n af r e c u e n c i au% 0 , yp yp o r e l l ol ai mp e d a n c i ad el ab o b i n ae sn u l a(u% 0 ) , e sd e c i ra c t ú ac o mou nc o r t o c i r c u i t o ,yl ai mp e d a n c i ad e l c o n d e n s a d o re si n f i n i t a( 1 /u% 8 )q u er e p r e s e n t au n nc c i r c u i t oa b i e r t o .Elg e n e r a d o rd et e n s i ó ne ne ne s t ec a s os eh a c o r t o c i r c u i t a d o .

Ene lc i r c u i t od el el aF i g u r a2 . 4 0 a ,l ai mp e d a n c i a1! j 1d el ar a mad e r e c h ae s t áe np a r a l e l oc o ne l c o n d e n s a d o r. j 1 ,l oq u ed al u g a rau n ai mp e d a n c i ae q u i v a l e n t e1. j 1 ,q u eas uv e ze s t áe ns e r i ec o n 1! j 1d el ar a maAB,p o rc o n s i g u i e n t el ac o r r i e n t e 1e si g u a la : 1%

o 1 0 0

%5

1! j 1! 1. j 1

o 0

q u ec o r r e s p o n d eau n ac o r r i e n t ei n s t a n t á n e a : % ∂ 2 () 5c o s 1 0a mp e r i o s

p o ro t r ol a d o ,e lc i r c u i t od el aF i g u r a2 . 4 0 br br e p r e s e n t ad o sr e s i s t e n c i a sd e1Le np a r a l e l o ,al a sc u a l e sl e s l l e g au n ac o r r i e n t ed e5A.P ore l l ol ac o r r i e n t e 2v a l e : 2%

5

%2 , 5A

2

d ee s t emo d ol ac o r r i e n t ei n s t a n t á n e ad el aF i g u r a2 . 3 9e si g u a l a : () % ∂ 2 5c os 10. 2 , 5a mp e r i o s t é n g a s ee nc u e n t aq u el ac o r r i e n t e 2v ad eBaAe ne l c i r c u i t od el aF i g u r a2 . 4 0 byp o r e s os eh ar e s t a d oa . Deu nmo d oa n á l o g os eh u bi e r ar e s u e l t oe l p r o b l e mas i e l g e n e r a d o rd ec o r r i e n t et u v i e r ao t r af r e c u e n c i a . 1 Ene s t ec a s os ec a l c u l a r í a nl a si mp e d a n c i a sd e lc i r c u i t oae s t af r e c u e n c i an u e v ap a r ar e s o l v e rl ar e dd el a

F i g u r a2 . 4 0 bc a l c u l a n d of i n a l me n t el ac o r r i e n t e()e nl ar a maABc o mos u maa l g e b r a i c ad el a sc o r r i e n t e s q u es eo b t i e n e ne ne s t ar a ma , d ec a d au n od od el o sc i r c u i t o sd el aF i g u r a2 . 4 0 .I n d u d a b l e me n t el as o l u c i ó n i n c l u i r ác o r r i e n t e sd ed o sf r e c u e n c i a sd i f e r e n t e sq u es ed e b e r á ns u ma re nf o r mai n s t a n t á n e ay aq u ec o r r e s p o n d e naf a s o r e sd ev e l o c i d a d e sd i s t i n t a s .   v , .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   187



Lo st e o r e ma sd eTh é v e n i nyNo r t o ne s t u d i a d o se ne l e p í g r a f ed e l c a p í t u l oa n t e r i o r , s ea p l i c a nd eu nm nmo d oa oa n á l o g oc oc u a n d ol ol o sg e n e r a d o r e ss o ns ns i n u s o i d a l e s ,e mp l e a n d of of a s o r e se i mp e d a n c i a sc o mp l e j a s . Ve a mo ss uf o r mad ea p l i c a c i ó n .

Re s o l v e re l Ej e mp l od eAp l i c a c i ó n n2 2 . 8 ,a p l i c a n d oe l t e o r e mad eTh é v e n i n .

So l uc i ón

P a r ao b t e n e re l c i r c u i t oe q u i v a l e n t ed eTh é v e n i nd el aF i g u r a2 . 3 0e n t r el o st e r mi n a l e sAyB, s ed e b ed e q u i t a r l ai mp e d a n c i ad ec a r g ad e. j 1Lyc a l c u l a rl ad . d . p .e n t r ee s o st e r mi n a l e s , dea c u e r d oc o ne l e s q u e mad el aF i g u r a2 . 4 1 a ,q u es et r a d u c ee ne le s q u e mad el aF i g u r a2 . 4 1 b , d o n d es eh at r a n s f o r ma d oe oe l g e n e r a d o rd ec o r r i e n t ee nt e n s i ó n .Ap l i c a n d oe oe l s e g u n d o ol l e mad eKi r c h h o f fal ama l l a , s eo b t i e n e : o o 1! j 1! 1! j 1 )1 1 0 .9 0. 1 0 0% (

q u ed au nv a l o r : 1%

.1 0. j 1 0

2! j 2

%5

o o %.5 0 1 8 0

Enc o n s e c u e n c i al ad . d . p . e n t r el o st e r mi n a l e sByCs i g u i e n d oe lc a mi n oBDCe s : 1! j 1 ) ( .5 BC%   BD!   DC% (

o o %5 !1 . j 5 0 ) 0 0

q u es e r áe l v a l o rd el at e n s i ó ng e n e r a d o r ad eTh é v e n i n ,e sd e c i r : Th%

∂ 2 .45o

. j 5% 5 BC% 5

Lai mp e d a n c i a The sl ai mp e d a n c i aq u es eo b t i e n ee n t r el o st e r mi n a l e sByC, a la n u l a rl a sf u e n t e si n t e r n a s . To ma n d op o re j e mp l oe lc i r c u i t od el aF i g u r a2 . 4 1 as eo b t i e n ee le s q u e mad el aF i g u r a2 . 4 2 a ,e ne l q u es et i e n e nd o si mp e d a n c i a sd e1! j 1Lp u e s t a se np a r a l e l o ,q u ed a nl u g a ra : BC%   Th%

1! j 1 2

L

%0 , 5! j 0 , 5

 

1 8 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Enc o n s e c u e n c i ae l c i r c u i t oe q u i v a l e n t ed eTh é v e n i ne se l i n d i c a d oe nl aFi g u r a2 . 4 2 b , q uea l a p l i c a re l s e g u n d ol e mad eKi r c h h o f fd a : o 5 2 .4 5

o 5 2 .4 5

%

%

%1 0

∂  ∂  0 , 5 ! j 0 , 5. j 1 0 , 5 ∂ 2 .45o

o 0

q u ec o i n c i d ec o nl nl o sr e s u l t a d o sa n t e r i o r e s .

í esusconoci mi ent os Ampl

Camp mpos sc cuasi est aci onari os sy yci r cui t os sc con np par ám me et r os sd di st ri bui dos Co moy as eh ac o me n t a d oe ne l Ca p í t u l o1 , e l e s t u d i od el o s c i r c u i t o se l é c t r i c o si mp l i c ae lc a r á c t e rc u a s i e s t a c i o n a r i od e el l a st e n s i o ne syc o r r i e n t e sq uer e c o r r e ne ne lc i r c u i t o . Pa r aq u es ee n t i e n d ae s t ec o n c e p t oq u es eme n c i o n a b ad eu nmo d oi n c i p i e n t ee ne l c a p í t u l oa n t e r i o r , s u p ó n g a s eq u es ed e s e ae s t u d i a r l ap r o p a g a c i ó nd el ac o r r i e n t e( e n e r g í ae l e c t r o ma g n é t i c a )al ol a r g od eu n a l í n e al a r g a( q u en ot i e n ed e r i v a c i o n e soc o n s u mo sd ec a r g ai n t e r me d i o s ) .Va mo sac o n s i d e r a rd o ss e c c i o n e s1y2d el al í n e aa n t e r i o rs e p a r a d a su n ad i s t a n c i a yp o rl a sq u ec i r c u l a nu n a sc o r r i e n t e sv a r i a b l e s1() e2()r e s p e c t i v a me n t e , t a l c o mos emu e s t r ae nl aFi g u r a2 . 4 3 . Se g ú nl aTe o r í ad eCi r c u i t o sa mb a sc o r r i e n t e sd e b e r í a ns ns e ri d é n t i c a s ,e sd e c i rs ed e b ec u mp l i rl ai g u a l d a d 1() % 2 () .S i ne mb a r g o ,a n a l i z a n d oc oc o n d e t a l l el as i t u a c i ó n ,s ed e mu e s t r aq u ee s t ai g u a l d a dn oe sc o r r e c t ae ng e n e r a l ,p u e s t oq u ed e b et e n e r s ee n c u e n t aq u el ap r o p a g a c i ó n nd d e lf e n ó me n oe l e c t r o ma g n é t i c on oe oe si n s t a n t á n e a .

S is ec o n s i d e r ap o re j e mp l oq u el ac o r r i e n t e 1()e sa l t e r n as as i n u s o i d a lq u eo eo b e d e c eal ae x p r e s i ó n () %   mc o s u,dondeue sl ap u l s a c i ó nd el as e ñ a le nr a d / syq u ee si g u a la2 n   donde r e p r e s e n t al a 1 f r e c u e n c i ad el ao n d a ;l ae x p r e s i ó n nd d el ac o r r i e n t e 2()e nl nl as e c c i ó na na l e j a d a ae e s t a r ár e t r a s a d ar e s p e c t oa

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   189

()e l t i e mp or e q u e r i d op a r aq u el ac o r r i e n t el l e g u eal as e c c i ó n2yq u es i s ed e n o mi n a 1

al av e l o c i d a dd e % / p r o p a g a c i ó nd el as e ñ a le ne lc o n d u c t o r( v e l o c i d a dd el al u ze ne lme d i o )c o r r e s p o n d e r áau nt i e mp oq , p o rl oq u el ac o r r i e n t e2()o b e d e c e r áau n ae x p r e s i ó nd el af o r ma :2() %   mc o s u(. q ) %   mc o s ( u . r) , d o n d er% uqr e p r e s e n t al ad i f e r e n c i ad ef a s ee n t r el a sc o r r i e n t e s1()e2() . Pu e d er e s u l t a ri n c l u s oq u es e t e n g a2% 0c u a n d o1% m. Te n i e n d o oe e nc u e n t al ar e l a c i ó ne x i s t e n t ee n t r el av e l o c i d a d ,l o n gi t u dd eo n d a yf r e c u e n c i as ep u e d ee s c r i b i r : %

  j   ; u% 2n

 

ú

  r% uq% 2n

  %

2 n

 

j

( a )

d ea c u e r d oc oc o nl ae c u a c i ó na n t e r i o r ,e l r e t a r d od ef a s ee sd e s p r e c i a b l e me n t ep e q u e ñ os is ec u mp l e : @

j

 

( b )

e s t ad e s i g u a l d a ds ed e n o mi n a .Po rc o n s i g u i e n t e s is ec u mp l e( b ) ,l a sc o r r i e n t e s1()e 2()s e r á ni g u a l e sys ec u mp l i r áe lp r i n c i p i od el ac o n s t a n c i ad el a c o r r i e n t ei n s t a n t á n e ae nt o d a sl a ss e c c i o n e sd e l c o nd u c t o r . Po re j e mp l oe ne l c a mp od od el aEl e c t r o t e c n i as e ma n e j a ns e ñ a l e ss i n u s o i d a l e sd eu n af r e c u e n c i ad e5 0Hz( e nEu r o p a ) , q u ec o r r e s p o n d e nau n al o n g i t u dd e o n d aj :

j%

%

8 3· 1 0

5 0

6 %6 · 1 0 m% 6 . 0 0 0k m

e nl ae c u a c i ó na na n t e r i o r r e p r e s e n t al av e l o c i d a dd ep r o p a g a c i ó nd nd el al u z .Es t ác l a r oq u eu n amá q u i n a e l é c t r i c at i e n eu n a sd i me n s i o n e smu c h ome n o r e sq u e6 . 0 0 0k my myq u ep o rc o n s i g u i e n t es ue s t u d i os ep u e d e r e a l i z a rc o mos is et r a t a r ad eu nc nc a mp oc oc u a s i e s t a c i o n a r i o .LaTe o r í ad eCi r c u i t o sp e r t e n e c eae s t ec a mp o c u a s i e s t a c i on a r i o .Ene ne s t a sc o n d i c i on e ss ep u e d eh a bl a rd eu nc i r c u i t oc o n , d o n d es o na p l i c a b l e sl o sl e ma sd eKi r c h h o f fye nl o sq u er e s u l t amá sc o n v e n i e n t ema n e j a rl a sma g n i t u d e s d et e n s i ó nyc o r r i e n t eq u el o sc o n c e p t o sd ec a mp o se l e c t r o ma g n é t i c o s . Ha yq u et e n e re nc u e n t as i ne mb a r g o , q uec u a n d os os ee s t u d i ae l c o mp o r t a mi e n t od eu n al í n e ae l é c t r i c ad ea l t at e n s i ó n ,c u y a sd i me n s i o n e ss o n s u p e r i o r e sa3 0 0k 0k me n t o n c e sl at e o r í ad ec ec i r c u i t o sd eKi r c h h o f fd ep a r á me t r o sc o n c e n t r a d o sy an an oe oe s a p l i c a b l e , p u e s t oq u el ad i me n s i ó nd e l c i r c u i t oe se nc i e r t omo d oc o mp a r a b l eal al o n g i t u dd dd eo n d ad el a s e ñ a l q uet r a n s p o r t al al í n e a( má sd e1 / 2 0d el al o n g i t u dd eo n d a ) . Ene s t ec a s os ed e b eu t i l i z a rl at e o r í ad e al ol a r g od et o d al al í n e a , a u n qu es i g u e ns u b s i s t i e n d ol o sc o n c e p t o sd et e n s i ó ny c o r r i e n t emá sq u el o sd ec a mp o s .Ene lc a s omá sg e n e r a ld ec a mp o se l e c t r o ma g n é t i c o sc o nv nv a r i a c i o n e s r á p i d a s ,l a sd i me n s i o n e sd e lc i r c u i t or e s u l t a nc o mp a r a b l e sal al o n g i t u dd dd eo n d ad ad el a ss e ñ a l e s .Ene s t e c a s on ot i e n es e n t i d oh a b l a rd et e n s i ó nyc o r r i e n t es i n od ec a mp oe l e c t r o ma g n é t i c o( ) .Es t as i t u a c i ó ns ep r e s e n t ad eu nmo d oc l a r oe nl at é c n i c ad el a st e l e c o mu n i c a c i o n e s ,d o n d es ee mp l e a ns e ñ a l e sc o nf r e c u e n c i a sd e l o r d e nd e 9 k i l o h e r c i o s , me me g a h e r c i o sei n c l u s og i g a h e r c i o s( 1GHz% 1 0 Hz ) .S is ec o n s i d e r ap o re j e mp l ou n as e ñ a l d e1g i g a h e r c i o ,l al o n g i t u d dd d eo n dac o r r e s p o nd i e n t ee s :

j%

%

8 3· 1 0 9 1 0

%0 , 3 0m

l o se q u i p o sd er a d a rq u ee mp l e a ns e ñ a l e sae s t a sf r e c u e n c i a st i e n e ny ad i me n s i o n e sc o mp a r a b l e sal al o n -

g i t u dd eo n d aa n t e r i o ryp o re l l on ot i e n es e n t i d oh a b l a re ne s t ec a s od eTe o r í ad eCi r c u i t o ss i n od eTe o r í a d e lCa mp oEl e c t r o ma g n é t i c o .

La sl í n e a sd et r a n s p o r t ed ea l t at e n s i ó nc o n s t i t u y e nl a sa r t e r i a sd eu ns i s t e mae l é c t r i c od ep o t e n c i a . So nu n e j e mp l oc l á s i c od ec i r c u i t oc o np a r á me t r o sd i s t r i b u i d o s . Es t a sl í n e a ss ec a r a c t e r i z a np o rc u a t r op a r á me t r o s

 

1 9 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

b á s i c o s , q u ep o ro r d e nd ei mp o r t a n c i as o n :1 )l ai n d u c t a n c i a d el al í n e ae x p r e s a d ae nh e n r i o sp o rme t r oy q u es ed e b eal o sc a mp o sma g n é t i c o sc o n c a t e n a d o sp o rl al í n e a ;2 )l ac a p a c i d a dd e r i v a c i ó n d el al í n e a e x p r e s a d ae nf a r a d i o sp o rme t r oyq u es ed e b ea l e f e c t od er e p a r t od ec a r g ae l é c t r i c ae nl o sc o n d u c t o r e sd e l al í n e aq u ea c t u á nc o moa r ma d u r a sd eu nc o n d e n s a d o r ; 3 )l ar e s i s t e n c i ae l é c t r i c ad el al í n e a e no h mi o s p o rme t r oyq u es ed e b eal ar e s i s t e n c i ae l é c t r i c ad el o sc o n d u c t o r e sy4 )l ac o n d u c t a n c i ap a r a l e l o e x p r e s a d ae ns i e me n sp o rme t r o , q ues ed e b eal aa p a r i c i ó nd ec o r r i e n t e sd ed i s p e r s i ó ne n t r el o sc o n d u c t o r e sy t i e r r aat r a v é sd el a sc a d e n a sd ea i s l a d o r e sd el ar e dd et r a n s p o r t e ; s o nc o r r i e n t e sq u ev a r í a nmu c h oc o nl a s c o n d i c i o n e sc l i ma t o l ó g i c a sye ne l c o n t e n i d od eh u me d a dys a l e ne l a mb i e n t e ; e s t a sc o r r i e n t e ss u e l e ns e r r e d u c i d a sp o rl oq u el ac o n d u c t a n c i as u e l ed e s p r e c i a r s e . Co mos ea c a b ad es e ñ a l a re ne la p a r t a d op r e c e d e n t e ,s il al í n e ae sl a r g a( s u p e r i o ra3 0 0k 0k md md el o n g i t u d ) ,e le s t u d i oe l é c t r i c od od e el l al í n e an os os ep u e d e eh h a c e ru t i l i z a n d ol ol at e o r í ad ep ep a r á me t r o sc o n c e n t r a d o s e s t u d i a d ae ne s t ec a p í t u l o , y aq uee s t o sp a r á me t r o se s t á nr e a l me n t ed i s t r i b ui d o sal ol a r g od el al o n g i t u dd e t o d al al í n e a .Esp o re l l oq u ee le s t u d i oe l é c t r i c o od d eu n al al í n e ad et r a n s p o r t es ed e b er e a l i z a ru t i l i z a n d oe oe l c i r c u i t oc o np a r á me t r o sd i s t r i b ui d o smo s t r a d oe nl aF i g ur a2 . 4 4 , q u ee sv á l i d op op a r au n al í n e ab i f i l a r , s i l o s p a r á me t r o ss e ñ a l a d o st i e n e ne nc u e n t al ai d amá sl av u e l t a( l o sd o sc o n d u c t o r e sd el al í n e a ) ,os ep u e d e n c o n c e n t r a rs u sv a l o r e se ne lc o n d u c t o rs u p e r i o r ,s u p u e s t oq u ee ee li n f e r i o re su nc nc o n d u c t o rd er e t o r n op op o r t i e r r a( yq u et a mb i é n ne e ne s t ec a s oe sv á l i d o op p a r al ar e p r e s e n t a c i ó nd nd eu n af af a s ed eu ns ns i s t e mat r i f á s i c o , s e g ú ns ev e r áe ne l Ca p í t u l o3 ) .

Enl aFi g u r a2 . 4 4 , l a sd i s t a n c i a ss emi d e nap a r t i rd e l e x t r e moe mi s o rog e n e r a d o r , s i t u a d oe nl ap a r t e i z q u i e r d ae ae ne lq u el at e n s i ó n nc c o mp l e j at i e n eu n nv v a l o r ( 0 )yl ac o r r i e n t ee s( 0 ) .Ene le x t r e mod el a d e r e c h as es i t ú ae l r e c e p t o roc a r g a , s i e n d ol al o n g i t u dt o t a l d el al í n e a . P a r amo d e l a rl al í n e an o sv a mo sa c o n c e n t r a re ne l t r a mod i f e r e n c i a l r e c u a d r a d oe nl aFi g u r a2 . 4 4 .Ene s t as e c c i ó nd i f e r e n c i a l l ai mp e d a n c i a s e r i ee nr é g i me ne s t a c i o n a r i os i n u s o i d a lt i e n eu nv nv a l o r :

d

u )d %   d

% ( ! j

( 1 )

d o n d e   % ! j u e sl ai mp e d a n c i ap o rme t r od el al í n e a( L / m) .Deu nmo d os i mi l a rl aa d mi t a n c i ae n p a r l a l e l od e lt r a mod i f e r e n c i a lt i e n eu n ae x p r e s i ó n: d

u )d %   d

% ( ! j

( 2 )

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   193

Esd e c i rl ai mp e d a n c i ac a r a c t e r í s t i c ad el al í n e ae su nn ú me r or e a l( u n ar e s i s t e n c i a c)ys uv a l o rp a r a u n al í n e ad ea l t at e n s i ó ne sd e lo r d e nd e4 0 0L.Po ro t r ap a r t e ,l ac o n s t a n t ed ep r o p a g a c i ó ne ne si ma g i n a r i a p u r a , l oq u es i g n i f i c aq u en oh a ya t e n u a c i ó nn i del at e n s i ó nn id el ac o r r i e n t eal ol a r g od et o d al al í n e a . Al l l e v a re s t o sv a l o r e sa( 1 7 )s eo b t i e n ef i n a l me n t e : %   ( % ( () 0 )c o sb . j c ( 0 ) s e nb   ; () 0 )c o s b . j

( 0 ) s e nb

 

( 1 9 )

c

Loq u es i g n i f i c aq u ee nu n al í n e as i np é r d i d a s , l at e n s i ó ny nyl ac o r r i e n t ev a r í a na r mó n i c a me n t ee nf u n c i ó nd nd el ap o s i c i ó no noc o o r d e n a d a .An a l i z a n d oe oe s t ep r o b l e mad el al í n e al a r g a ,p u e d ed a r s ec u e n t ae l l e c t o rd el ad i f i c u l t a dq ues u po n ee l e s t u d i od ec i r c u i t o sc o np a r á me t r o sd i s t r i b u i d o s . Af o r t u n a d a me n t ee n e l c a s od el aEl e c t r o t e c n i ae s t ee s t u di op r á c t i c a me n t es el i mi t aa l e s t u d i od el a sl í n e a sl a r g a soal o se f e c t o s d el ap r o p a g a c i ó nd nd es o b r e t e n s i o n e se ne s t a sl í n e a s . Si ne mb a r g oe nl at é c n i c ad el a st e l e c o mu n i c a c i o n e s e la n á l i s i sa n t e r i o rc o n s t i t u y ee l p r e l u d i od e le s t u d i od el a sl í n e a sd et r a n s mi s i ó n ,b i e ns ns e a , c o nl nl í n e a sd e c o n d u c t o r e ss e p a r a d o s ,c o a x i a l e s ,r e d e sd emi c r o o n da s ,f i b r aó p t i c a ,e t c . ,e nd nd o n des u e l es e rmu yi yi mp o r t a n t ed i s e ñ a rl al í n e ac o nl o sp a r á me t r o sa d e c u a d o sp a r ar e d u c i ra t e n u a c i o n e s ,q u es ee l i mi n e nl nl a sd i s t o r s i o n e sd el el a ss e ñ a l e st r a n s mi t i d a s ,s ee v i t e n no o n d a se s t a c i o n a r i a sor e f l e x i o n e sd eo eo n d a ,e t c . ,y aq aq u el el a s s e ñ a l e sc o r r e s p o n d i e n t e st i e n e nmu yp o c ae n e r g í a , p e r ou n ag r a nc a n t i d a dd ei n f o r ma c i ó n ,p o rl oq u ed e b e nt r a n s mi t i r s ee nc o n d i c i o ne só p t i ma s .

Co n s i d e r e mo se l d i p o l oe l é c t r i c omo s t r a d oe nl aFi g u r a2 . 4 5 , e ne l q ues es e ñ a l a nl o ss e n t i d osd er e f e r e n c i ad el at e n s i ó na p l i c a d ayl ac o r r i e n t ee l é c t r i c aa b s o r b i d a( r e p a s a r c o n v e n i o d es i g n osp a r al ap o t e n c i a , e ne l Ep í g r a f e1 . 2 . 3 ) . Su p ó n g a s eq u el o sv a l o r e si n s t a n t á n e o sd e a mb a sma g n i t u d e ss e a nd el af o r ma : () % ∂ 2 c o su   ; () % ∂ 2 c o s( u . r) s eh at o ma d ol at e n s i ó nc o moo r i g e nd ef a s e s , d et a lmo d oq u el ac o r r i e n t es e g ú n( 2 . 1 0 0 ) e s t á d el at e n s i ó nu ná n g u l od erg r a d os . Po rd e f i n i c i ó ne s t ed e s f a s es ec o n s i d e r a p o s i t i v oc u a n d ol ac o r r i e n t es er e t r a s ar e s p e c t od el at e n s i ó n( e sd e c i rp a r ac a r g a si n d u c t i v a sd o n d ee l a r g u me n t od el ai mp e d a n c i at i e n eu ná n g u l op o s i t i v o ) , ys ec o n s i d e r an e g a t i v o c u a n d ol ac o r r i e n t es ea d e l a n t aal at e n s i ó n( e sd e c i rp a r ac a r g a sc a p a c i t i v a se nl a sq u ee l a r g u me n t od el ai mp e d a n c i ar e p r e s e n t au ná n g u l on e g a t i v o ) .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   201

La sp o t e n c i a sa c t i v a ,r e a c t i v aya p a r e n t es eo b t i e n e na p l i c a n d o( o( 2 . 1 1 0 ) : %

o   c o sr%   c o s( .9 0 ) %0

1

o

% %

[ W] 2

%. C   s e nr%   s e n( 0) .9 u  

 

2

%.

[ VAr ] [ VA]

e nc o n s e c u e n c i a , e nu nc o n d e n s a d o rc o i n c i d e nl a sp o t e n c i a sr e a c t i v aya p a r e n t e . Lap o t e n c i aa c t i v ae sn u l a . Po rc o n s i g u i e n t eu nc o n d e n s a d o rn oc oc o n s u mep o t e n c i aa c t i v ap e r o v v: %.

1

2

u

oe no t r a sp a l a b r a se lc o n d e n s a d o re su n f u e n t e :

 

v

q u ee n t r e g aal a

1 %!

u

2

Lap o t e n c i ar e a c t i v ad eu nc o n d e n s a d o rs ep u e d ee x p r e s a rc o moe l p r o d u c t od el ap u l s a c i ó nup o re l v a l o rmá x i mod el ae n e r g í aa l ma c e n a d ap o re l c a mp oe l é c t r i c o . Té n g a s ee n c u e n t aq u es id e n o mi n a mo s   m% ∂ 2 al at e n s i ó nmá x i ma ,l ae n e r g í ae l é c t r i c aq u es e a l ma c e n ap e r i ó d i c a me n t et i e n eu nv a l o r : e l e c má má x%

1 2

2 m%

 

2

yp o rc o n s i g u i e n t es ec u mp l i r á : %.

1

u

2 %.

u

  2 %.

u   elecm má á x

Come ment ari ospr áct i cos

u

%

!

 u   . u

%

%

Cu !

 .

u

D

 

2 0 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

%

!

%

%

!

%

!

u

  .

  %

!

u

 

.

u

Ç

EnTe o r í ad eCi r c u i t o s , c u a n d os os er e a l i z a nc á l c u l o sc o np o t e n c i a se l é c t r i c a s ,e same n u d o mu yú t i lc o mb i n a rl a sp o t e n c i a sa c t i v ayr e a c t i v ad eu ne l e me n t oe nu n aú n i c ama g n i t u d c o mp l e j a ,q u es ed e n o mi n a . Si s ec o ns i d e r au nd i p ol or e c e p t o rc o moe l mo s t r a d oe nl aFi g u r a2 . 4 5 ,a l i me n t a d op o ru n at e n s i ó n ()( t o ma d ac o mor e f e r e n c i a ) : () o su % ∂ 2 c yq u ea b s o r b eu n ac o r r i e n t e() : () o s ( u . r) % ∂ 2 c

l o sv a l o r e sf a s o r i a l e sd el a sma g n i t u d e sa n t e r i o r e ss o n : %

o   0 ;

  .r

  %

S ed e f i n ec o mop o t e n c i ac o mp l e j a a b s o r b i d ap o re l d i p o l or e c e p t o ra : %

o   · %   0

r%   r

!

 

2 0 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

q u ei n d i c aq u el ap o t e n c i aa c t i v as u mi n i s t r a d ap o re lg e n e r a d o re si g u a lal as u mad el a s p o t e n c i a sa c t i v a sd el a sc a r g a syl omi s moc o nl a sp o t e n c i a sr e a c t i v a s( t e n i e n d oe nc u e n t a e ne s t ec a s ol o ss i g n osc o r r e s p o n d i e n t e s ) . Laú l t i mar e l a c i ó nd e( 2 . 1 3 8 )mu e s t r ac ó moc a l c u l a re lmó d u l od el ap o t e n c i aa p a r e n t ed e lg e n e r a d o rq u ee nn i n g ú nc nc a s os e r ál as u ma mo d u l a rd el a sp o t e n c i a sa p a r e n t e sd el a sc a r g a s( an os e rq u et e n g a ni g u a lf . d . p . ) .

I 1

I 



U

 

Z1

I 2  

Z2

Ampl í esusconoci mi ent os

Teor em ma ade ec conservaci ón nd de el l apot enci a An i v e lh i s t ó r i c o ,e lp r i n c i p i od ec o n s e r v a c i ó nd el ap o t e n c i aa c t i v ae s t ái mp l í c i t oe ne l p r i n c i p i od ec o n s e r v a c i ó nd el ae n e r g í ae n u n c i a d op o rHe l mh o l t z . Ap Ap r i n c i p i o sd e l s i g l oXX, e l i n g e n i e r of r a n c é sPa u l Bo u c h e r o te n u n c i óe lp r i n c i p i od el el ac o n s e r v a c i ó n nd d e el l ap o t e n c i ar e a c t i v ay aye sp o re l l oq u ee ee lp r i n c i p i od e c o n s e r v a c i ó nd nd el ap o t e n c i ac o mp l e j a ,s e ñ a l a d oe nl ae c u a c i ó n( n( 2 . 1 3 7 ) ,s ed e n o mi n ap o ra l g u n o sa u t o r e s c o moTe o r e mad eBo u c h e r o t . El i n g e n i e r oh o l a n d é sB. Te l l e g e ne n u n c i óe n1 9 5 2u nt e o r e maq u el l e v as u n o mb r e , qu ee su n ag e n e r a l i z a c i ó n nd d e lp r i n c i p i od ec o n s e r v a c i ó nd nd el ap o t e n c i ae nl o sc i r c u i t o se l é c t r i c o s ( v e rEp í g r a f e1 . 1 6 . 4 ) .Dea c u e r d oc oc o ne lt e o r e mad eT eTe l l e g e na p l i c a d o oa al o sc i r c u i t o sd ec . a .u t i l i z a n d o ma g n i t u d e sf a s o r i a l e s ,s is et i e n eu nc nc i r c u i t od e r a ma s ,e ne lq u el el a st e n s i o n e sf a s o r i a l e sc u mp l e ne ne l s e g u n d o ol l e mad eKi r c h h o f fyl a sc o r r i e n t e sf a s o r i a l e sc u mp l e ne l p r i me rl e ma , e n t o n c e ss ec u mp l el as i g u i e n t ei g u a l d a d :

;

%

 ;

%1

%0

( 1 )

%1

q u ea ea ls e p a r a rl ar e de de ne l e me n t o sg e n e r a d o r e s( a c t i v o s )yr e c e p t o r e s( p a s i v o s ) ,l ae c u a c i ó na na n t e r i o rs e t r a n s f o r mae n : g%

yt e n i e n d oe nc u e n t aq u e

g%

; r% g! jg

r

 

! jr , l ae c u a c i ó n( n( 2 )s et r a n s f o r mae n : r

( 2 )

g%

r 

;

  g%

 

r

( 3 )

e sd e c i r , l ap o t e n c i aa c t i v a( r e a c t i v a )e n t r e g a d ap o rl o sg e n e r a d o r e se si g ua l al ap o t e n c i aa c t i v a( r e a c t i v a ) q u ea b s o r b e nl o sr e c e p t o r e s ,q u ee su n ad e mo s t r a c i ó nd nd eq u es ec u mp l ee lb a l a n c ed ep o t e n c i a se nl o s c i r c u i t o sd ec o r r i e n t ea l t e r n a .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   205

Ene l c i r c u i t os e r i ed el aF i g u r a2 . 5 2 , e lg e n e r a d o rd et e n s i ó nt i e n eu nv a l o ri n s t a n t á n e od a d op o rl ae x p r e s i ó n :( :( )% ∂ 25 0c o s1 0 0v o l t i o s . Ca l c u l a r :a )i n t e n s i d a di n s t a n t á n e a ;b )p o t e n c i ai n s t a n t á n e ad e s a r r o l l a d ap o re l ge n e r a d o r ;c )p o t e n c i ac o mp l e j ae n t r e g a d ap o re lg e n e r a d o r ;d )p o t e n c i ac o mp l e j ad ec a d ae l e me n t op a s i v o ;e ) ap a r t i rd el o sr e s u l t a d o sd el o sa p a r t a d o sc ) yd yd ) , c o mp r u é b e s ee l b a l a n c ed ep o t e n c i a se n e l c i r c u i t o , e sd e c i rq u el ap o t e n c i ac o mp l e j as u mi n i s t r a d ap o re l g e n e r a d o re si g u a l al as u mad el a sp o t e n c i a sc o mp l e j a sd e s a r r o l l a d a se nl o sr e c e p t o r e s .

So l uc i ón

a )Elf a s o rd et e n s i ó nd e l g e n e r a d o re s : %5 0

o 0

yl a si mp e d a n c i a sc o mp l e j a s ,t e n i e n d oe nc u e n t aq u eu% 1 0 0r a d / s e g , s o n :

L ;

%3

 

u%! j 9L   ;

%! j

 

%. j

1

L

%. j 5

u

p o rc o n s i g u i e n t el ac o r r i e n t ec o mp l e j ae nl ama l l at i e n eu nv a l o r : o 5 0 9 0

%

o 5 0 0 o

o% 1 0 .5 3 , 1 3a mp e r i o s 3! j 9. j 5% 5 53 , 1 3

q u ec o r r e s p o n d eau nv nv a l o ri n s t a n t á n e o : o () % ∂ 2 1 0c o s ( 1 0 0. 5 3, 1 3 )

b )Lap o t e n c i ai n s t a n t á n e ad e s a r r o l l a d ap o re lg e n e r a d o re sp o rc o n s i g u i e n t e : o %   ( %1 () )() . 0 0 0c o s 1 0 0c 0c o s ( 1 0 0. 5 3 , 1 3 )

e sd e c i r : o o o () %5 0 0c o s 5 3, 1 3 !5 0 0c o s ( 2 0 0. 5 3 , 1 3 ) %3 0 0! 5 0 0c o s ( 2 0 0. 5 3 , 1 3 )

q u ec o r r e s p o n d eau n ap o t e n c i ame d i ad e3 0 0W yau n ap o t e n c i af l u c t u a n t e : o 5 0 0· c o s( 2 0 0. 5 3, 1 3 )

c )Lap o t e n c i ac o mp l e j as u mi n i s t r a d ap o re l g e n e r a d o rv a l e : g%

o o o   · %5 0 0 · 1 0 5 3 , 1 3 %5 0 0 53 , 13 %3 0 0! j 4 0 0

 

2 0 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

e sd e c i r : g%

3 0 0W

0 0VAr   g%!4

;

;

  g%

5 0 0VA

d )Enl ar e s i s t e n c i as ed i s i p aú n i c a me n t ep o t e n c i aa c t i v a :   2 2 % %3 · 1 0 %3 0 0W e nl ai n d u c t a n c i as ea b s o r b ep o t e n c i ar e a c t i v ap os i t i v a : %!

  2 2 %9 · 1 0 %9 0 0Va r

ye ne lc o n d e n s a d o rs ea b s o r b ep o t e n c i ar e a c t i v an e g a t i v a : %.

 

2 2 %.5 %.5 0 0VAr · 1 0

oe nf o r mac o mp l e j a : %3 0 0! j 0

;

 

%0 ! j 9 0 0

;

 

%0 . j 5 0 0

e )Se g ú ne l a p a r t a d oc ) , l ap o t e n c i ac o mp l e j as u mi n i s t r a d ap o re l ge n e r a d o re s : g%

3 0 0! j 4 0 0

yd ea c u e r d oc o ne la p a r t a d od ) , l ap o t e n c i ac o mp l e j aa b s o r b i d ap o re l c o n j u n t od ee l e me n t o sp a s i v o se s : 0 0! j 9 0 0. j 5 0 0% 3 0 0! j 4 0 0 a b s% 3

a b s%

  ú

∂ 3002! 4002% 500VA

d ee s t emo d os ec u mp l ee l b a l a n c ed ep o t e n c i a s : b s g%   a

  ú

0 0W g%   a b s% 3

;

00VAr   g%   a b s% 4

Unt a l l e ra l i me n t a d op o ru n ar e dd ec . a . d e2 2 0Vt i e n ec o n e c t a d a sl a ss i g u i e n t e sc a r g a s : a )2 . 5 0 0VAc o n f . d . p .0 , 8i n d u c t i v o( o( e nr e t r a s o ) ;b )3 . 0 0 0VArc o nf . d . p .0 , 6c a p a c i t i v o( e na d e l a n t o ) ;c )5 0 0W 0W c o nf . d . p . u n i d a d .Ca l c u l a r :a )p o t e n c i a sa c t i v a ,r e a c t i v a ay ya p a r e n t ed ec ec a d ac a r g a ;b )p o t e n c i a sa c t i v a ,r e a c t i v ay ay a p a r e n t et o t a l e sd e lt a l l e r ;c )c o r r i e n t ea b s o r b i d ap o re l t a l l e rd el ar e dd ea l i me n t a c i ó nys uf . d . p .

So l uc i ón

a ) . 5 0 0VA; a% a% 2

 c o sra% 2 . 5 0 0· 0 , 8% 2 . 00 0W;

a%

 s e nra% 2 . 5 00· 0 , 6% 1. 5 0 0VAr

Po t e n c i ac o mp l e j a : a% a! ja% 2 . 0 0 0! j 1 . 5 0 0 . Lap o t e n c i ar e a c t i v as eh at o ma d oc o mop o s i t i v a , p o r q u el ac a r g ae si n d u c t i v a , od eo t r omo d op o r q u e

e lf . d . p .v ae nr e t r a s o .

. 0 0 0VAr( s i g n o. c a r g ac a p a c i t i v a ) ; b% b%.3

r

 / s e n b% 3 . 0 0 0 / 0 , 8% 3. 7 50VA; b

r

o s b% 3 . 7 50· 0 , 6% 2 . 2 5 0W bc

b%

Po t e n c i ac o mp l e j a : b% 2 . 2 5 0. j 3 . 0 0 0 .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   207

r

0 0W;c o s c% 1 ; c% 0 ; c% 5 0 0VA c% 5 %

!

c Po t e n c i a c o m p l e j a : 5 0 0t  j 0 . b ) L a p o t e n c i a c o mp l e j a o t a l a b s o r b i d ap o re l t a l l e r :

% t o t a l

a!

2 . 0 0 0! j 1 . 5 0 0 ) !( 2 . 2 5 0. j 3 . 0 0 0 ) !( 5 0 0! j 0 ) c% (

b!

e sd e c i r : %( 2 . 0 0 0! 2 . 2 50! 5 0 0 ) ! j ( 1 . 5 0 0. 3 . 0 0 0! 0 ) %4 . 7 5 0. j 1 . 5 0 0 t o t a l

q u ec o r r e s p o n d ea : %4 . 7 5 0W; t %.1 . 5 0 0VArc a p a c i t i v o s t o t a l o t a l % t o t a l

∂ 4.7502! 1. 5 0 02% 4 . 9 8 1 , 2 1VA

Ob s e r v e ee e ll e c t o rq u el el ap o t e n c i aa c t i v a at t o t a le sl as u mad el el a sp o t e n c i a sa c t i v a sp a r c i a l e sd ec ec a d a c a r g a ;l ap o t e n c i ar e a c t i v a ae e sl as u maa l g e b r a i c a( c o n ns s us i g n o )d el a sp o t e n c i a sr e a c t i v a sp a r c i a l e s .S i n e mb a r g ol ol ap o t e n c i aa p a r e n t et o t a l ( 4 . 9 8 1 , 2 1VA)n oe sl as u maa r i t mé t i c ad el a sp o t e n c i a sa p a r e n t e sp a r c i a l e s( 2 . 5 0 0VA; 3 . 7 5 0VA; 5 0 0VA) . Es t oe sd e b i d oaq u ee l f . d . p . e sd i s t i n t op a r ac a d ac a r g a . Loq u es í e sc i e r t oe sq u el ap o t e n c i ac o mp l e j at o t a le sl as u mad el a sp o t e n c i a sc o mp l e j a sd ec a d ac a r g a .Enl a F i g u r a2 . 5 3s 3s emu e s t r au nd nd i a g r a mai l u s t r a t i v o ,e ne l q u e es s ea p r e c i ac ó mos ee f e c t ú al at r a n s f e r e n c i ad e p o t e n c i at a n t oa c t i v ac o mor e a c t i v a ,d e s d el ar e d( g e n e r a d o r )h a s t ae l t a l l e r( r e c e p t o r ) . La sf l e c h a sb l a n c a s r e p r e s e n t a nl ap o t e n c i aa c t i v a .La sf l e c h a ss o mb r e a d a sr e p r e s e n t a nl ap o t e n c i ar e a c t i v a .

RED









Taller



CARGA 



CARGA 





CARGA





 

2 0 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

c )Lac o r r i e n t et o t a la b s o r b i d ap o re lt a l l e rs ep u e d eo b t e n e rd el ae c u a c i ó n : t o t a l%

t o t a l

d ed o n d es ed e d u c e : % t o t a l

4 . 9 8 1 , 2 1 2 2 0

%2 2 , 6 4A

e lf . d . p .d el ai n s t a l a c i ó n ns s eo b t i e n ea s í : % t o t a l

r

c o s T% t o t a l

r

c o sT t o t a l

q u ea l s u s t i t u i rv a l o r e sd a : c o srT%

4 . 7 50

%0 , 9 5 4

4 . 9 8 1 , 2 1

e s t ef . d . p .e sc a p a c i t i v o ,y aq u e t sn e g a t i v a ,l oq u ei n d i c aq u el ac o r r i e n t et o t a ls ea d e l a n t aal at e n o t a le s i ó n .Ene le s q u e mad el aF i g u r a2 . 5 3 3s s eo b s e r v aq u el ap o t e n c i aa c t i v at o t a le si g u a lal as u mad el a s p o t e n c i a sa c t i v a sc o n s u mi d a sp o rl o sr e c e p t o r e soc a r g a s . La sf l e c h a ss o mb mb r e a d a sr e p r e s e n t a ne l s e n t i d oe n q u es ep r o d u c el at r a n s f e r e n c i ad ep ep o t e n c i ar e a c t i v a .Ob s é r v e s eq u el ac a r g ab ab )c o n s u meu n ap ap o t e n c i a r e a c t i v a( r e dac a r g a )d e.3 . 0 0 0VAr , e ls i g n o on n e g a t i v o oe e sd e b i d oa oa l c a r á c t e rc a p a c i t i v od od ee s t er e c e p t o r . Loa n t e r i o re se q u i v a l e n t eac o n s i d e r a rq u el ac a r g a e n v í aal ar e du n ap o t e n c i ar e a c t i v ad e3 . 0 0 0VAr , y a s í s eh as e ñ a l a d ot r a z a n d ou n af l e c h ae ns e n t i d oc o n t r a r i o . Su ma n d ol o sv   d el a sp o t e n % . 1 . 5 0 0 V A r ( e n e l s e n t i d or o r e d t a l l e r ) , l o q u e c i a sr e a c t i v a s , s eo b t i e n eu nap o t e n c i ar e a c t i v at o t a lt o t a l e q u i v a l ear e p r e s e n t a ral ar e dc o mou n d ep o t e n c i ar e a c t i v ad e!1 . 5 0 0VAr( ou n d e p o t e n c i ar e a c t i v ad ad e.1 . 5 0 0k VAr ) . Enl aFi g u r a2 . 5 3s eh a ns e ñ a l a d ot a mb i é nl o sc i r c u i t o se q u i v a l e n t e s d ec a d ac a r g a .

Sed e s e ame d i rl ap o t e n c i aa b s o r b i d ap o ru nr e c e p t o ri n d u c t i v od ei mp e d a n c i a u t i l i z a n d ot r e sa mp e r í me t r o sc o mos ei n d i c ae nl aF i g u r a2 . 5 4 . El a mp e r í me t r o 1mi d el ac o r r i e n t et o t a l a b s o r b i d ad el ar e d . Ca l c u l a r : a )p o t e n c i aa c t i v aa b s o r b i d ap o rl ai mp e d a n c i ad ec a r g a s i l a sl e c t u r a sd el o sa mp e r í me t r o sh a ns i d o : 0A; 2% 2 2A; 3% 3 0A;b )v a l o rd el ai mp e d a n c i ac o mp l e j a   r. 1% 4

So l uc i ón o a )S is et o mal at e n s i ó n nd d el ar e dc o mor e f e r e n c i a ,e sd e c i r %   0 ,l ac o r r i e n t e 2i r áe nf a s ec o nl nl a t e n s i ó n , y aq u el ar a mae nl ac u a l e s t ác o n e c t a d o   2e sr e s i s t i v ap u r a ;p o rc o n s i g u i e n t el ae x p r e s i ó nc nc o mp l e j ad el ac o r r i e n t e 2e s : o 0

2 2% 2

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   209

p o rl ao t r ar a mad e l pa r a l e l o , d o nd ee s t ál ai mp e d a n c i a   r, l ac o r r i e n t es e ( c a r g ai n d u c t i v a ) d e l at e n s i ó nu ná n g u l or, c o moe l mó d u l od ee s t ac o r r i e n t eme d i d oc o ne l a mp e r í me t r o 3e sd e3 0A, t e n d r á u n ar e p r e s e n t a c i ó nc o mp l e j a : 3% 3 0

.r

l ac o r r i e n t et o t a l1s e r ál as u mav e c t o r i a l ( c o m mp p l e j aof a s o r i a l )d el a sc o r r i e n t e s 2e 3c o moa s í l or e q u i e r e l aa p l i c a c i ó nd nd e l p r i me rl e mad eKi r c h h o f fe ne l n u d o oM M. Si s ec o n s i d e r aq u el ac o r r i e n t e 1s er e t r a s au n á n g u l oar e s p e c t oal at e n s i ó n ,s ur e p r e s e n t a c i ó nc o mp l e j ae sd el af o r ma : 0 1% 4

.a

ya d e má ss ec u mp l e : 1%

2! 3

o !3 0 .r  4 0 .a% 2 2 0

q u ee nf o r mab i n ó mi c an o sd a :

a. j !( r) 4 0c o s 4 0s e na% ( 2 2! j 0 ) 3 0c o s q u ea l i g u a l a rp a r t e sr e a l e sei ma g i n a r i a sd ec a d ami e mb r os eo b t i e n e : 4 0c o sa% 2 2! 3 0c o s r   ; 40s e na% 3 0s e nr d ed o n d es ed e d u c e : c o sa] 0 , 6 7 2 ;c o sr] 0 , 1 6 3 l at e n s i ó nd nd el ar e ds ep u e d eo b t e n e rd i r e c t a me n t ed el ar a mar e s i s t i v a : r e d%

· 2 2 2% 5

MN%

o o 0 %1 1 0 0 v o l t i o s

yp o rc o n s i g u i e n t el ap o t e n c i aa c t i v aa b s o r b i d ap o rl ai mp e d a n c i a s e r á :

r

o s %1 1 0· 3 0· 0 , 1 6 3] 5 3 8W 3c

%

b )L ai mp e d a n c i a t i e n eu nv a l o r : %

o 1 1 0 0

% 3 0 3

%3 , 6 6 7

0, 6 2 .8

o 8 0 , 6 2 %0 , 6! j 3 , 6 2L

Co mos eh av av i s t oe ne le p í g r a f ea n t e r i o r ,e lf a c t o rd ep o t e n c i ar e p r e s e n t ae lc o s e n od e l

á n g u l oq u ef o r ma nl at e n s i ó nyl ac o r r i e n t ed eu nc i r c u i t o .Ta mb i é ne se l c o c i e n t ee n t r el a p o t e n c i aa c t i v aya p a r e n t ed el ar e d : c o sr% Hi s t ó r i c a me n t el ai n t r o d u c c i ó nt é c n i c ad el o sd i v e r s o st i p o sd ep o t e n c i a :a c t i v a ,r e a c t i v aya p a r e n t e , yd yd e l f a c t o rd ep o t e n c i a( f . d . p . )s ed e b eal a sCo mp a ñ í a sEl é c t r i c a sq u et i e -

 

2 1 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

n e nas uc a r g ol ae x p l o t a c i ó nd el a sc e n t r a l e sq u en e c e s i t a nt r a n s p o r t a rg r a n d e sc a n t i d a d e s d ee n e r g í ad eu np u n t oao t r o . Ese v i d e n t eq u el ae f i c a c i ac o nq u es er e a l i c ee s t et r a n s p o r t e e j e r c eu n aa c c i ó nd i r e c t as o b r ee l c o s t ed el ae n e r g í ae l é c t r i c a , e lc u a le nd e f i n i t i v al op a g a e l c l i e n t e .Unu s u a r i oq u ea p o r t au n ac a r g aq u ed ao r i g e nau nr e n d i mi e n t or e l a t i v a me n t e p o b r ed el ar e dd et r a n s p o r t e , d e b ep a g a ru np np r e c i oma y o rp o rc a d ak i l o v a t i o h o r a( k Wh Wh ) d ee n e r g í aa c t i v a ,q u er e a l me n t er e c i b eyu t i l i z a .As ími s mo ,u nc o n s u mi d o rq u er e q u i e r e d el el aCo mp a ñ í aEl é c t r i c au n ai ai n s t a l a c i ó nm nmá sc o s t o s ap a r ae lt r a n s p o r t eyd i s t r i b u c i ó n , t a mb i é nd e b e r áp a g a rmá sc a d ak Wh Wh .Lap o t e n c i aa c t i v ar e p r e s e n t ar e a l me n t el ap o t e n c i a me d i aq u es ec o n s u me , mi e n t r a sq u el ap o t e n c i ar e a c t i v ar e p r e s e n t au n ao s c i l a c i ó nd ee n e r g í ae n t r ee lg e n e r a d o rye lr e c e p t o r ,s uf u n c i ó nc nc o n s i s t ee ns ns u mi n i s t r a re n e r g í ap a r al o s c a mp o sma g n é t i c o syc a r g ad ec o n d e n s a d o r e syt r a n s f e r i re s t ae n e r g í ad ev u e l t aal af u e n t e , c u a n d os ea n u l ae l c a mp oma g n é t i c ooc u a n d os ed e s c a r g a nl o sc o n d e n s a d o r e s . Au n q u el o s v o l t i o a mp e r i o sr e a c t i v o s ,c o mot a l e s ,n or or e q u i e r e nu nu na na p o r t ed ee n e r g í ap o rp a r t ed el o s g e n e r a d o r e s , s í q u en e c e s i t a nu n ap r o d u c c i ó nd ev o l t i o a mp e r i o sp o rp a r t ed el o smi s mo sy p o rt a n t ol i mi t a ns uc a p a c i d a dd es u mi n i s t r o . Té n g a s ee nc u e n t aq u el at e n s i ó nd eu ng e n e r a d o re su n ama g n i t u de s e n c i a l me n t ec o n s t a n t e , yq u el ac o r r i e n t ee s t ál i mi t a d ap o rl as e c c i ó n d e l o s c o n d u c t o r e s d e s u s d e v a n a d o s p a r a q u e l a p o t e n c i a d i s i p a d a p o re f e c t o J o u l e n o d é l u g a r a c a l e n t a m i e n t o s i n a d m i s i b l e s , e s p o re s t o , p o r l o c u a l , l a p o t e n c i a n o m i n a l d e l o s g e n e r a d o r e s( yt r a n s f o r ma d o r e s )s ed e f i n ee nk VA yn oe nk W. W.P a r au n ac i e r t ap o t e n c i a a p a r e n t ed eu ng e n e r a d o r , l ap o t e n c i aa c t i v aq u es u mi n i s t r ad e p e n d ed e lf . d . p .d el a q u ec o l o c ae lu s u a r i o .Lo smo t o r e se l é c t r i c o s ,p o re j e mp l o ,r e p r e s e n t a nu n ac a r g ad et i p o i n d uc t i v o ,s up o t e n c i aa c t i v ae ae s t ár e l a c i o n a d ac ac o ne ne lt r a b a j ome c á n i c oú oú t i lq u er er e a l i z a n , p e r or e q u i e r e na d e má su n ap o t e n c i ar e a c t i v ap a r ama n t e n e rl o sc a mp o sma g n é t i c o se nl o s q u es eb a s as uf u n c i o n a mi e n t o .Es t ap o t e n c i ar e a c t i v an e c e s a r i ae nl o smo t o r e sp r e c i s ad e   2 u n ama y o r c o r r i e n t ee nl ar e d , l oq u ep r o v o c au n a sma y o r e sp é r d i d a s e nl a sl í n e a s , c o n l ac o n s i g u i e n t ep é r d i d ad er e n d i mi e n t od el ai n s t a l a c i ó n , l oq u en oe oe sa c o n s e j a b l e . P a r aq u ee ll e c t o rc o mp r e n d ame j o rl ai n t e r r e l a c i ó ne ne n t r el a sp o t e n c i a s , y ys u e f e c t oe ne l r e n d i mi e n t od eu ns u mi n i s t r od ee n e r g í a , s ev aac o n s i d e r a re l e j e mp l oq u es e s e ñ a l ae nl aF i g u r a2 . 5 5 , e ne lq u es emu e s t r au nmo t o re l é c t r i c oq u ee s t áa l i me n t a d op op o r u ng e n e r a d o r gat r a v é sd eu n al í n e ae l é c t r i c ad er e s i s t e n c i at o t a l. Sec o n s i d e r aq u el a t e n s i ó n e ne l e x t r e mor e c e p t o re sc o n s t a n t eyq u el ap o t e n c i ad e s a r r o l l a d ap o re l mo t o re s c o n s t a n t e( mu e v eu np a rr e s i s t e n t ef i j o ) , l oq u ee q u i v a l eac o n s i d e r a rq u el ap o t e n c i aa c t i v a q u ea b s o r b e ee e lmo t o rd el ar e de sc o n s t a n t e .S u p ó n g a s ep o re j e mp l oq u e   %0 , 2L, %1 1k W y   %2 2 0V. Va mo saa n a l i z a rd o sc a s o s : 1 )q u ee l f . d . p . c o ne l q u et r a b a j ae l mo t o re sl au n i d a d ;2 )q u ee l f . d . p .e s0 , 5i n d u c t i v o .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   211

r% Ene s t ec a s ol ac o r r i e n t eq u ea b s o r b ee l mo t o rd el ar e d , s e g ú ne l e s q u e mad el aF i g u r a2 . 5 5 yt e n i e n d oe nc u e n t a( 2 . 1 1 0 )e si g u a la : %

%

c o sr

1 1 . 0 0 0

%5 0A

2 2 0· 1

Lap o t e n c i ar e a c t i v ad e lmo t o re sp o rc o n s i g u i e n t e : %

  s e nr% 2 2 0· 5 0· 0% 0VAr

y aqu ep a r ac os r% 1,s et i e n es e nr% 0 .Lap o t e n c i ap e r d i d ae nl nl al í n e ad et r a n s p o r t e d e b i d oa l f u n c i o n a mi e n t od e lmo t o rs e r á : p%

  2 2 %0 , 2· 5 0 %5 0 0W

yp o rc o n s i g u i e n t ee l g e n e r a d o rd el ac o mp a ñ í ae l é c t r i c ad e b ee n t r e g a ru n ap o t e n c i aa c t i v a t o t a l : g%

1. 0 0 0! 5 0 0% 1 1 . 5 0 0W !   p% 1

l at e n s i ó n   gn e c e s a r i ae ne l g e n e r a d o rs eo b t i e n ea p l i c a n d oe l s e g u n dol e mad eKi r c h h o f f e nl ama l l ad el aF i g u r a2 . 5 5 , q u es i s ee l i g el at e n s i ó n c o mor e f e r e n c i a , d al u g a ra : g%

!

 

ú

2 0 g% 2

o o o 0 !0 , 2· 5 0 0 %2 3 0 0

l oq u es u p o n eu n ap o t e n c i aa p a r e n t ed e l g e n e r a d o r : 3 0· 5 0% 1 1 . 5 0 0VA g%   g g% 2 c o m q u i e r au q u ef l a e n e r g í a h a y q u e m e d i r l a e n l l o c a ld e l c l i e n t e ( d o n d e e s t á l m o t o r ) , e s t eo r e c i b i r á n a a c t u r a c i ó n p o r e l 9 5 , 6 % d e l ae e n e r g í a q u e r e a l m e n t e p r o d u c ee l a c o m p a ñ í ae l é c t r i c ac o ns ug e n e r a d o r , y aq u es ec u mp l e : 1 1. 0 00

%9 5 , 6% % 1 1. 5 00 g

c o c i e n t eq u ee x p r e s ae nd e f i n i t i v ae l r e n d i mi e n t od el ai n s t a l a c i ó n .

r% r% 0, Co n s i d e r e mo sa h o r ae l c a s oe nq u es ec o n s u me nt a mb i é n1 1k Wp e r oc o nc o s 5i n -

d u c t i v o( e nr e t r a s o ) . Lac o r r i e n t en e c e s a r i aa h o r ae si g u a la : %

%

c o sr

1 1 . 0 0 0% 1 0 0A 2 2 0· 0 , 5

q u ee sd o b l eq u ee nl as i t u a c i ó na n t e r i o r .Lap o t e n c i ar e a c t i v ad el ac a r g ae sp o rl ot a n t o : %

  s e nr% 2 2 0· 1 0 0· 0 , 8 6 6% 1 9 . 0 5 2 , 5 6VAr

 

2 1 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

y aq u ec u a n doc oc o sr% 0 , 5 ,s et i e n es es e nr% 0 , 8 6 6 .Lap o t e n c i ap e r d i d ae ae nl al í n e ad e t r a n s p o r t ev a l d r áa h or a : p%

 

2 2 , 2· 1 0 0 . 0 0 0W %0 %2

yp o rc o n s i g u i e n t ee l g e n e r a d o rd el ac o mp a ñ í ae l é c t r i c ad e b e r áe n t r e g a ru n ap o t e n c i aa c t i v at o t a l : g%

!   p% 1 1 . 0 0 0! 2 . 0 0 0% 1 3 . 0 0 0W

l an u e v at e n s i ó n   gd e l g e n e r a d o rs eo b t i e n ea l a p l i c a re l s e g u n d ol e mad eKi r c h h o f f . Té n o g a s ee nc u e n t at a mb i é nq u es is et o mal at e n s i ó nr e c e p t o r ac o mor e f e r e n c i a : %2 2 0 0, o l ac o r r i e n t es er e t r a s au ná n g u l or% a r c o s0 , 5% 6 0d el at e n s i ó n, e sd e c i re l v a l o rf a s o r i a l o e s%1 0 0 .6 0, d ee s t emo d os ec u mp l i r á : 2 0 g% 2

o o o 3 0. j 1 7 , 3 2% 2 30 , 6 5 .4 , 3 , 2· 1 0 0 .6 0 0 %2 !0

l oq u es u p o n eu n ap o t e n c i aa p a r e n t ed e l g e n e r a d o r : 3 0 , 6 5· 1 0 0% 2 3 . 0 6 5VA g%   g % 2 c o moq u i e r aa d e má sq u el ae n e r g í ah a yq u eme d i r l ae ne lr e c e p t o r ,l ac o mp a ñ í ae l é c t r i c a d e b ep r o d u c i r1 3k W, W, d el o sc u a l e ss o l a me n t es ef a c t u r a n1 1k W, W, q u es u p o n ee nt a n t op o r c i e n t o : 1 1. 0 00

%8 4 , 6% % 1 3. 0 00 g

Enl aF i g u r a2 . 5 6s emu e s t r au nc u a d r oc o mp a r a t i v oe ne lq u es emu e s t r a nl o sv a l o r e s má ss i g n i f i c a t i v o sd el o sd o sc a s o se s t u d i a d o s .

r% %5 0A

r%

%1 0 0A

 

% 0VAr

%1 9 . 0 5 2 , 5 6VAr

 

0 0W p% 5

. 0 0 0W p% 2

 

1 . 5 0 0W g% 1

3 . 0 0 0W g% 1

 

3 0V g% 2

3 0 , 6 5V g% 2

 

1 . 5 0 0VA g% 1

g% 95, 6%

 

 

 

3 . 0 6 5VA g% 2

g% 84, 6%

Ob s e r v a mo sq u ec u a n t oma y o re se l f . d . p . d el ac a r g a( e sd e c i rc u a n t ome n o re se l d e s f a s ere n t r el at e n s i ó ny nyl ac o r r i e n t e )s et i e n e : Me n ori n t e n s i d a dd ec o r r i e n t ee nl al í n e ad ea l i me n t a c i ó n . P ot e n c i ar e a c t i v ame n o r( q u ee sn u l ap a r ac o s r% 1) . Me n o r e sp é r d i d a se nl al í n e a .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   213

Me n o r e st e n s i o n e sn e c e s a r i a se ng e n e r a c i ó n. Me n o rp o t e n c i aa p a r e n t ed e l g e n e r a d o r . Me j o rr e n d i mi e n t o . Al av i s t ad ee s t o sr e s u l t a d o s ,r e s u l t ao b v i oq u el a sc o mp a ñ í a se l é c t r i c a se s t i mu l e ne l t r a b a j oc o nf nf . d . p .e l e v a d o s ,g e n e r a l me n t es u p e r i o r e sa0 , 8 5 0 , 9 ,o f r e c i e n d ou ou n ab o n i f i c a c i ó ne ns u st a r i f a sei n t e n t e nd i s u a d i ral o su s u a r i o sat r a b a j a rc o nf . d . p . má sb a j o s , a p l i c a n d ot a r i f a si n c r e me n t a d a s .EnEs p a ñ ah a s t ah a c ep o c o sa ñ o ss ea p l i c a b au n v c u y ov ov a l o re nt nt a n t op o rc i e n t oe r af u n c i ó nd nd e lf . d . p .ye s t a b a d e f i n i d op o rl ae x p r e s i ó n : e n%) % r(

1 7

.2 1

2 c o s r

e s t ec o e f i c i e n t e( q u ep o d í ap e n a l i z a rh a s t au n4 7% ei n c l u s ob o n i f i c a rh a s t au n4%,s i e l f . d . p . e r al au n i d a d ) s ea p l i c a b as o b r ee l p r e c i ome d i od e l k Wh Whl oq u es u p o n í ag r a v e sp e n a l i z a c i o n e s . De b es e ñ a l a r s eq u ep a r ame d i re l f . d . p . me d i oc o ne l q u eh at r a b a j a d ou n ai n s t a l a c i ó nd u r a n t eu nme s( e na l g u n o sc a s o ss ec o n s i d e r a nd o sme s e s , p o r q u el af a c t u r a c i ó ne s b i me s t r a l ) ,s o np r e c i s o sd o sc o n t a d o r e s ,u nc nc o n t a d o rd ee n e r g í aa c t i v ak ak Wh Wh( q u el ó g i c a me n t es i r v ef u n d a me n t a l me n t ep a r ame d i rl ae n e r g í ac o n s u mi d a ) yu nc o n t a d o rd er e a c t i v a p a r ame d i rl o sk VAr hd u r a n t eu np e r i o d od ef a c t u r a c i ó n . Dee s t emo d os eo b t i e n el at gr me d i ae ne l pe r i o d od ef a c t u r a c i ó nme d i a n t el ae x p r e s i ó n : t gr%

e n e r g í ar e a c t i v a

·

e n e r g í aa c t i v a

·

%

%

d o n d e r e p r e s e n t ae l t i e mp ot ot r a n s c u r r i d od e s d eu n af a c t u r a c i ó na nal as i g u i e n t e . Ap Ap a r t i rd e ( 2 . 1 4 1 )s ep u e d ed e t e r mi n a re lf . d . p .ya p l i c a n d o( 2 . 1 4 0 )s ep o d í ac a l c u l a rl ap e n a l i z a c i ó n ( ob o n i f i c a c i ó ne ns uc a s o )c o r r e s p o n d i e n t e . Enl aa c t u a l i d a de nEs p a ñ ay an os os ea p l i c al a f ó r mu l a( 2 . 1 4 0 )p e r ol ó g i c a me n t es es i g u eg r a v a n d oe l c o n s u mod ee n e r g í ar e a c t i v a .

Co mos ea c a b ad ei n d i c a re ne l e p í g r a f ea n t e r i o r ,c o no b j e t od eme j o r a re l r e n d i mi e n t od e l a si n s t a l a c i o n e se l é c t r i c a sye v i t a re lp a g od ec a n t i d a d e ss u pl e me n t a r i a se nl af a c t u r a c i ó n , e sc o n v e n i e n t et r a b a j a rc o nf a c t o r e sd ep o t e n c i ae l e v a d o s . No r ma l me n t el o sc o n s u mi d o r e s r e q u i e r e ne n e r g í ar e a c t i v ad el ar e dd et i p oi n d uc t i v o ,y aq u el ama y o rp a r t ed el ai n d u s t r i a u t i l i z amá q u i n a se l é c t r i c a se ns up r o c e s op r o d u c t i v oq u en e c e s i t a ne s t et i p od ee n e r g í ap a r a d e s a r r o l l a rl o sc a mp o sma g n é t i c o se s e n c i a l e sp a r as uf u n c i o n a mi e n t o .Elf . d . p .i n d u c t i v o

d ee s t a sc a r g a se sp o rc o n s i g u i e n t ei n h e r e n t eal a smi s ma syn os ep u e d emo d i f i c a rmá sq u e p o ru nm nme j o rd i s e ñ oyu t i l i z a c i ó n .Ah o r ab i e n ,c o moq u i e r aq u el oq u ei n t e r e s ae sq u el a r e dv   u nme j o rf . d . p . e nc o n j u n t o , s ep u e d emo d i f i c a re l mi s mo , u t i l i z a n d or e c e p t o r e sq u e c o n s u ma np o t e n c i ar e a c t i v ad ed i f e r e n t es i g n oal ad el o smo t o r e s , l oq u es el o g r as a t i s f a c t o r i a me n t ec o n e c t a n d oc oc o n d e n s a d o r e se nl ai n s t a l a c i ó n ,d ee s t emo d os os ep u e d er e d u c i rl a p o t e n c i ar e a c t i v ai n d uc t i v a( ei n c l u s oa n u l a r l a )o b t e n i e n d ou ou nb nb u e nf nf . d . p .f i n a l .An t e sd e i n d i c a rc ó mos ec o r r i g ee l f . d . p . d eu n ai n s t a l a c i ó nc o nc o n d e n s a d o r e s , v a mo sai n d i c a r u n a

 

2 1 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

s e r i ed ep r o c e d i mi e n t o sp r á c t i c o sq u ee v i t a nl o sb a j o sf . d . p . h a c i e n d ou nme j o ru s od el o s e q u i p o si n s t a l a d o s . As í s et i e n e : c o n v i e n ee np r i me rl u g a rs u s t i t u i rl o s mo t o r e sq u ef u n c i o n a nc o np o c ac a r g a , p o rmo t o r e sd eme n o rp o t e n c i aq u et r a b a j e n e nc o n d i c i o n e sn o mi n a l e s( c o np o t e n c i a sa n á l o g a sal a sq u es en e c e s i t e n ) , c u y or e n d i mi e n t oyf . d . pe ne s a sc o n d i c i o n e ss o nme j o r e s . e l e g i re lt i p oa oa d e c u a d oa oa le mp l e oq u es ed e s t i n e ,c o n p o c a sp é r d i d a se nv a c í o .Ev i t a re lf u n c i o n a mi e n t oc o np o c ac a r g a .De s c o n e c t a re l t r a n s f o r ma d o rc o nu ni n t e r r u p t o ra u t o má t i c o( d i s y u n t o r )e nc a s od ep a r a d ad el ai n s t a l a c i ó n . c o mp r o b a rq u et o d a se l l a sl l e v a ns up r o p i oc o n d e n s a d o r . La sl á mp a r a sd ei n c a n d e s c e n c i a( d e n o mi n a d a sv u l g a r me n t eb o mb i l l a s )s o np np r á c t i c a me n t ec a r g a sr e s i s t i v a sy p o rt a n t on op e r j u d i c a ne lf . d . p .( e sd e c i rp a r ae l l a se lc o sre si g u a la1 ) . Un av e zq u es eh a nh e c h ol a sc o n s i d e r a c i o n e sa n t e r i o r e sq u es u p o n e nu nu s omá sr a c i o n a l d e o s e q u i p o s , v a m o s v e r c ó m o s e e f e c t ú a a c o r r e c c i ó n e l f . d . p . c o nm c o n d e n s a d o r e s . E nl l a F i g u r a 2 . 5 7s 7 s e ma u e s t r a u n a i n s t a l a c i ó nl r e c e p t o r a s i md u l a d a p o r u nm n o t o r q u e a b s o r b ed el ar e d( a c o me t i d ag e n e r a l )u n ap o t e n c i aa c t i v a c o nu nf . d . p . i n d u c t i v od ev a l o r : c o sr. Seh aa ñ a d i d oa l c o n j u n t or e c e p t o ru n ab a t e r í ad ec o n d e n s a d o r e sp a r ac o n s e g u i r q u ee l f . d . p .d el ai n s t a l a c i ó nt nt e n g au nv a l o rf i n a lp r e v i a me n t ep r e f i j a d oc o srñ .

No si n t e r e s ad e t e r mi n a rl ac a p a c i d a d d ee s t o sc o n d e n s a d o r e sys up o t e n c i ar e a c t i v a p a r ac o n s e g u i rme j o r a re l f . d . p .d e s d ec o srac o s rñ . El p r o c e s od ec á l c u l oe se lq u es e

s i g u eac o n t i n u a c i ó n . Elmó d u l ooma g n i t u dd el ac o r r i e n t ea b s o r b i d ap o rl o sr e c e p t o r e sL e si g u a la : L%

c o sr

c o r r i e n t eq u ev ar e t r a s a d a( c a r g ai ai n d u c t i v a )u ná ná n g u l orr e s p e c t od el at e n s i ó nd el ar e d q u e ,p o rc o mo d i d a d ,s et o mac o mor e f e r e n c i at a lc o mos emu e s t r ae nl aF i g u r a2 . 5 8 , l a

 

2 1 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

S is ed e s e ac a l c u l a rl ap o t e n c i ar e a c t i v ad el o sc o n d e n s a d o r e ss et e n d r á : %I m[

·] %I m[

o o 0 ·   .9 0 ] %.

q u ec o moe r ad ee s p e r a re sn e g a t i v a ,d ea c u e r d oc o ne lc o n v e n i od es i g n o sd el ap o t e n c i a r e a c t i v a . Si s et i e n ea h o r ae nc u e n t ae l v a l o rd e c a l c u l a d oe n( 2 . 1 4 8 ) , a l l l e v a r l oa( 2 . 1 4 6) s eo b t i e n eu n d e : %

r( t gr. t grñ )

%   Lc o s

q u et e n i e n d oe nc u e n t a( 2 . 1 4 2 )s ep u e d ee s c r i b i r : %

 ( t gr. t grñ )

I d e a l me n t e , p a r e c eq u ei n t e r e s a r í ac o n s e g u i rq u ee l f . d . p .f i n a lf u e r ai g u a la1( e sd e c i r q u erñf u e r ai g u a lac e r o ) ,s i ne mb a r g oe oe nl ap r á c t i c ap a r aq u en os os en e c e s i t eu n ag r a n i n v e r s i ó ne nc o n de n s a d o r e s , e ss u f i c i e n t eq u ec o srñ s e ad e l o r d e nd e0 , 8 5a0 , 9( o b s é r v e s e ñ %

e n l a e c u a c i ó n( 2 . 1 4 0 )q u ep a r ac o s 8 5e l c o e f i c i e n t ed ep e n a l i z a c i ó np orr e a c t i v ae s r 0, i g u a l a 1 ) . P u e d et a mb i é nd e d u c i r s el ae x p r e s i ó n( n( 2 . 1 4 8)s i g u i e n d ou ou nc nc r i t e r i od ep o t e n c i a s . Pa r a e l l o , c o n s i d é r e s ee l t r i á n g u l od ep o t e n c i a sOABd el aF i g u r a2 . 5 9 ,d o n d eOAi n d i c al ap o t e n c i aa c t i v aa b s o r b i d ap o rl ai n s t a l a c i ó ny nyABe sl ap o t e n c i ai n d u c t i v aa aa b s o r b i d ap o re l r e c e p t o r ,d et a l f o r maq u e : t gr%

AB

%

OA

Cu a n d os ei n s t a l a nc o n d e n s a d o r e s ,e lp u n t oBp a s aa lp u n t oC,me r c e dal ai n t r o d u c -

c i ó nd nd el ap o t e n c i ar e a c t i v a Dee s t af i g u r as ed e d u c e :

,s i e n d oe lt r i á n g u l oOAC,e lt r i á n g u l of i n a ld ep o t e n c i a s .

% BC % AB . AC %

  t gr.   t grñ %   ( t gr. t grñ )

e x p r e s i ó nq u ec o i n c i d ec o nl a( 2 . 1 5 2 )d e d u c i d ap o ru nd i a g r a mad ec o r r i e n t e s . Ex i s t e nt a b l a sq u ed a nd i r e c t a me n t ee lf a c t o r( t gr. t grñ )p o re lq u eh a yq u emu l t i p l i c a r l ap o t e n c i aa c t i v ad el ai n s t a l a c i ó np a r ao b t e n e r l ap o t e n c i a d i r e c t a me n t e( v e rTa b l a2 . 3 ) .

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   217

P o re j e mp l o ,s u p ó n ga s eq u es ed e s e ac o r r e g i re l f . d . p .d eu n ai n s t a l a c i ó nq nq u ec o n s u me

1 0 0k 0k Wc o nu nu nf nf . d . p .i n i c i a ld e0 , 6 2h 2h a s t ao b t e n e ru nf nf . d . p .f i n a ld e0 , 9 .Elv a l o rd el a p o t e n c i ar e a c t i v ad el o sc o n d e n s a d o r e ss e r ád ea c u e r d oc o n( 2 . 1 5 2 ) : %

 ( t gr. t grñ )

Elf a c t o r( t gr. t grñ )s ed e d u c ed el el at a b l aa n t e r i o r ,c o moi n t e r s e c c i ó nd nd el el af i l a c o sr% 0 , 6 2 , c o nl nl ac o l u mn ac o s r% 0, 9 ,d a n d ou nv nv a l o rd e0 , 7 8 1l oq u ei mp l i c au n a p ot e n c i ar e a c t i v ad e :   %1 0 0· 0 , 7 8 1% 7 8 , 1k VAr .

 

2 1 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Enl ap r á c t i c ae x i s t e nb a t e r í a sd ec o n d e n s a d o r e sn o r ma l i z a d a sau n a sd e t e r mi n a d a sp o t e n c i a sr e a c t i v a sys u e l e ns e rf r e c u e n t e sl a ss i g u i e n t e s : 0 , 5 1 1 , 5 2 2 , 5 3 4 5 6 8 1 01 2 1 5 2 0 2 5k VAr d et a l f o r maq u el ap o t e n c i ar e a c t i v ac a l c u l a d ad e b e r áf o r ma r s ec o nd i v e r s a sc o mb i n a c i o n e sd el o st i p o sa n t e r i o r e s ;p a r ae l e j e mp l oa n t e r i o rd e7 8 , 1k VArh a r á nf a l t a :

2Gr u p od e2 5k VAr

5 0k VAr

1Gr u p od e2 0k VAr

2 0k VAr

1Gr u p od e 8k VAr

8k VAr

To t a l

7 8KVAr

P a r ah a c e re l p e d i d oal ae mp r e s af a b r i c a n t ed el a sb a t e r í a sd ec o n d e n s a d o r e s , e sn e c e s a r i oi n d i c a ra d e má s , l at e n s i ó nd el ar e dal aq u es ev a nac o n e c t a r l o sc o n d e n s a d o r e s , ( u n a t e n s i ó nd nd ea ea l i me n t a c i ó ns ns u p e r i o ral ad ed ed i s e ñ od od el o sc o n d e n s a d o r e sp o d r í as u p o n e rs u p e r f o r a c i ó n ) . Una s p e c t op r á c t i c oat e n e re nc u e n t ae sq u e , c u a n d os ed e s mo n t al ab a t e r í ad ec o n d e n s a d o r e sd eu n ai n s t a l a c i ó n ,s ed e b et e n e rl ap r e c a u c i ó nd en ot o c a r s u st e r mi n a l e sy aq u el a p o s i b l ec a r g aa l ma c e n a d ap ap o d r í as e rp e l i g r o s aa ld e s c a r g a r s es o b r ee lc u e r p o ;p a r ae v i t a r e s t ep e l i g r o ,l ag r a nm nma y o r í ad el el o sc o n d e n s a d o r e st i e n e np e r ma n e n t e me n t ec o n e c t a d a s u n a sr e s i s t e n c i a se np a r a l e l o ,d et et a lf o r maq u ea ea ld e s c o n e c t a r l o sd el el ar e d ,s ed e s c a r g a n s o b r ee s t a sr e s i s t e n c i a ss i g u i e n d ou n al e ye x p o n e n c i a l( v e rCa p í t u l o4 ) . No r ma l me n t ed e s p u é sd eu nm nmi n u t od el ad e s c o n e x i ó n , l at e n s i ó nr nr e s i d u a ln os u e l es u p e r a re l2 5% 5% d el a t e n s i ó nn o mi n a l d el ar e d . P a r ac o mp e n s a re lf . d . p .d el el o smo t o r e se l é c t r i c o se nc a s od en en oc oc o n o c e rs u sd a t o s i n t e r n o s( c o s nt o ma r s el o sv a l o r e sa p r o x i ma d o s , q u es emu e s t r a ne nl aTa b l a2 . 4 . r)puede El mo t o rd i me n s i o n a d os e g ú ne s t at a b l a , a l c a n z au nc o s r%0, 9 5e nv a c í oyu nc o s r%0 , 9 0 ap l e n ac a r g a .

1a 3k W

5 0% p o t e n c i an o mi n a ld e lmo t o r

4a 1 0k W

4 5%

’ ’

’ ’

’ ’ ’ ’

1 1a 2 0k W

5 0%

’ ’

’ ’

’ ’ ’ ’

2 1a1 0 0k W

3 5%

’ ’

’ ’

’ ’ ’ ’

Lo st r a n s f o r ma d o r e sd ed i s t r i b u c i ó nn nn e c e s i t a ne ng e n e r a ld e l3a l5 %d es up o t e n c i a n o mi n a le np o t e n c i ad ema g n e t i z a c i ó n .P a r al ac o mp e n s a c i ó ni n d i v i d u a l s et o mac o mob a s ee lc o n s u moe nv a c í o . S ep u e d ea d mi t i ru n ap o t e n c i ad ec o n d e n s a d o r e sd e l 5a 5a l 1 0% d e l ap o t e n c i ad e l t r a n s f o r ma d o r ,s i nq u eh a y aq u et e me rc o ne l l oe l e v a c i o n e sd et e n s i ó n .En l o se q u i p o sd es o l d a d u r as ep r e c i s a nc o n d e n s a d o r e sc o nu n ap o t e n c i ad e l 5 0% 0% d el an o mi -

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   219

n a l d e lt r a n s f o r ma d o r( s o l d a d u r ae nc . a )yc u a n d os ee mp l e a nr e c t i f i c a d o r e s( s o l d a d u r ae n c . c . ) , s o ns u f i c i e n t e sc o n d e n s a d o r e sc o nu n ap o t e n c i ae q u i v a l e n t ea l 1 0% d el an o mi n a l . La sl á mp a r a sd ed e s c a r g an e c e s i t a nt a mb i é nc o n d e n s a d o r e sp a r ac o mp e n s a rl ae n e r g í a r e a c t i v ad el el a sr e a c t a n c i a sot r a n s f o r ma d o r e sd ed i s p e r s i ó nq nq u er e q u i e r e ne s t a sl á mp a r a s . As í e ne lc a s od el á mp a r a sf l u o r e s c e n t e sa2 2 0Vs ep r e c i s au nc o n d e n s a d o rd e4 , 5]Fp a r a u nt u b od e2 0W;6]Fp a r a4 0W h a s t a1 8]Fp a r a1 4 0W. P a r al a sl á mp a r a sd ev a p o rd e me r c u r i oa2 2 0V, l a sc a p a c i d a d e sn e c e s a r i a sv a r í a ne n t r e7]Fp a r au n al á mp a r ad e5 0W, 1 8]Fp a r a2 5 0W y4 0]Fp a r a1 . 0 0 0W 0W.P a r al a sl á mp a r a sd eh a l o g e n u r o sme t á l i c o s l a sc a p a c i d a d e sn e c e s a r i a so s c i l a ne n t r e2 0]Fp a r au n ap o t e n c i ad e1 5 0W a8 5]Fp a r a 1 . 0 0 0W. Ene l c a s od el á mp a r a sd ev a p o rd es o d i od eb a j ap r e s i ó ns er e q u i e r e nc a p a c i d a d e sd e5]Fp a r a1 8W a4 0]Fp a r a1 8 0W. P a r al a sl á mp a r a sd ev a p o rd es o d i oaa l t a p r e s i ó ns eu t i l i z a nc o n d e n s a d o r e sd e1 0] Fp a r a5 0W h a s t a1 2 0]Fp a r a1 . 00 0W. S e g ú ns e a nl a sc o n d i c i o n e sd es e r v i c i o , l o sr e c e p t o r e ss ec o mp e n s a np o rs e p a r a d o , p o r g r u p o soc e n t r a l me n t e .Es t a sc l a s e sd ec o mp e n s a c i ó nt nt a mb i é ns ep u e d e nc o mb i n a r .No r ma l me n t e , e nl a si n s t a l a c i o n e sg r a n d e s : f á b r i c a sd ec e me n t o ,i n d u s t r i a sd ep a p e l ,me t a l ú r g i c a s , e t c ; l o sc o nd e n s a d o r e ss ec o n e c t a nal a sb a r r a sc o l e c t o r a sd el ad i s t r i b u c i ó np r i n c i p a l d eb a j at e n s i ó ny nyal o sp u n t o sd ec o n c e n t r a c i ó nd nd ec a r g ad e n t r od el ai n s t a l a c i ó n .Enl a a c t u a l i d a ds ed i s p o n e ne ne lme r c a d od e q u e p e r mi t e nu nu ne ne s c a l o n a mi e n t oa u t o má t i c od el o sc o n d e n s a d o r e se nf u n c i ó nd nd el el ap o t e n c i a r e a c t i v ar e q u e r i d ap o rl ai n s t a l a c i ó np a r ac o n s e g ui ru nf . d . p . d ec o n s i g na( p r e v i a me n t ef i j a d o ) .Lo se s c a l o n e sp u e d e ns e rd ei g u a lod i f e r e n t ep o t e n c i a . Ot r oa s p e c t op r á c t i c oat e n e r e nc u e n t ae sq u ed e b i d oal a se l e v a d a sc o r r i e n t e sd ec i e r r eya p e r t u r aq u es ep r o d u c e np o r l ai n c l u s i ó nd nd ec o n d e n s a d o r e se nu n ai n s t a l a c i ó n ,e sq u el o sf u s i b l e sd ep r o t e c c i ó nd nd el o s c o n d e n s a d o r e ss ed e b e np r e v e rp a r au nv a l o rd e1 , 5a1 , 8v e c e sl ai n t e n s i d a dn o mi n a ld e l o smi s mo s . Co n v i e n ea s i mi s mop r o c e d e rau np e r f e c t oa p r i e t ed el a sc o n e x i o n e sp a r ae v i t a rp o s i b l e sc a l e n t a mi e n t o s . Enl aF i g u r a2 . 6 0s emu e s t r ad eu n af o r mag r á f i c ae l e f e c t od eu n ab a t e r í ad ec o n d e n s a d o r e s ,s o b r el a sme d i d a sd el el o sc o n t a d o r e sd ea c t i v ay ayr e a c t i v ad el ai n s t a l a c i ó nd nd eu n a f á b r i c aq u er e c i b e e n e r g í a a m e d i a t e n s i ó n . O b s é r v e s e q u e l o se c o n d e n s a d o r e s d e b e n c o n e c t a r s e d e l o s c o n t a d o r e s , c o n s i g u i é n d o s e u n a r e d u c c i ó ne n n l a l e c t u r a d e l c o n t a d o r d e r e a c t i v ap ap e r on os os o b r ee ld ea c t i v a ,c o moy as ei n d i c a b ae ae ne ld i a g r a mav e c t o r i a ld el a F i g u r a2 . 5 9 .

Fábrica

 

2 2 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

Un ao b r aa l i me n t a d ap o ru n ar e da2 2 0V,5 0Hz ,t i e n el a ss i g u i e n t e sc a r g a s :1 )g r ú a ,c o nu nu n ap o t e n c i a t o t a li n s t a l a d ad e1 0k 0k W, W,c o sr% 0 , 8i n d u c t i v o o( ( e nr e t r a s o ) ,r e n d i mi e n t o9 0% 0%;2 )d o sh o r mi g o n e r a sd e 5CV c a d au n a ,c o s 7 5i 5i n d u c t i v o ,g% 8 8%;3)ungr u p odes o l d a d u r ad e5kW, W,g% 9 7%,f . d . p . r% 0, u n i d a d .Ca l c u l a r :a )c o r r i e n t e sp a r c i a l e sa b s o r b i d a sp o rc a d ac a r g a ; b )c o r r i e n t et o t a lys uf . d . p . ; c )p o t e n c i a r e a c t i v ad ad el el o sc o n d e n s a d o r e sn e c e s a r i ap a r ae l e v a re lf . d . p .d el ai n s t a l a c i ó na na0 , 9e nr nr e t r a s o ;d )n u e v a c o r r i e n t eq u ec i r c u l a r áp o rl al í n e ac o nl o sc o n d e n s a d o r e sc o n e c t a d o s . De b ea d v e r t i r s ea l l e c t o rq u ee nl ai n d u s t r i an o os s ef a b r i c a nmo t o r e smo n o f á s i c o sc o np o t e n c i a s s u p e r i o r e sa1k W ya u n q u es ei n c l u y a ne ne s t ee j e mp l omo t o r e smo n o f á s i c o sc o np o t e n c i a ss u p e r i o r e sa e s t en ú me r o , e sp a r aq u ee l e s t u d i a n t ec o mp r e n d al af o r mae nq u es er e a l i z al ac o r r e c c i ó nd e l f . d . p . d eu n a i n s t a l a c i ó nmo n o f á s i c a .

So l uc i ón

Ele s q u e mad el ai n s t a l a c i ó ne ne se l i n d i c a d oe nl aF i g u r a2 . 6 1 .

1)Gr úa : Po t e n c i ame c á n i c ad e s a r r o l l a d a : 1 0k W. W. Po t e n c i ae l é c t r i c aa c t i v aa b s o r b i d ad el ar e d : 1%

1 0

%

1 0

%1 1 , 1 1k W

g 0, 9

I n t e n s i d a dc o n s u mi d ap o rl ag r ú a : 1%

 

1

%

c o sr1

1 1. 1 10% 6 3 , 1 3A 2 2 0· 0 , 8

o To ma n d ol at e n s i ó nc o mor e f e r e n c i a ,  %   0 , l ac o r r i e n t ea n t e r i o re nf o r maf a s o r i a l e s :

3, 1 3 1% 6

o

6, 8 7 .3

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   221

o y aq u ee l a r c o s 0 , 8% 3 6 , 8 7 . Ob s é r v e s eq u ee l a r g u me n t od el ac o r r i e n t e( f a s e )e sn e g a t i v oy aq u el ac a r g a e si n d u c t i v a , p o rl oq u el ac o r r i e n t es er e t r a s aal at e n s i ó n.

2 )Ho r mi g o n e r a s : Ca d ah o r mi g o n e r ad e s a r r o l l au n ap o t e n c i ame c á n i c ad e5CV% 5· 7 3 6% 3 . 6 8 0W.Lap o t e n c i ae l é c t r i c a a c t i v aa b s o r b i d ad el ar e de s : 2%

. 6 80 3 . 6 8 0 3

g

 %

%4 . 1 8 1 , 8 1W

0 , 8 8

yl ai n t e n s i d a da b s o r b i d ap o rc a d ah o r mi g o n e r as e r á : 2%

 

2

4 . 1 8 1 , 8 1

% %2 5 , 3 4A 2 2 0· 0 , 7 5 2

c o sr

  ú

5 , 3 4 2% 2

o

o

.4 1 , 4 1( y aq u ee l a r c o s 0 , 7 5% 4 1 , 4 1)

3 )Gr u p od es o l d a d u r a : Po t e n c i ame c á n i c ad e s a r r o l l a d a : 5k W. W. Po t e n c i aa c t i v aa b s o r b i d ad el ar e d : 3%

5 . 0 00

%5 . 1 5 4 , 6 4W

0 , 9 7

I n t e n s i d a da b s o r b i d a : 3%

5 . 1 5 4 , 6 4 2 2 0· 1

%2 3 , 4 3A

  ú

3 , 4 3 3% 2

o 0

o y aq u ee l a r c o s 1% 0 .

Lac o r r i e n t et o t a l a b s o r b i d ap o rl ao b r a , d ea c u e r d oc o nl aFi g u r a2 . 6 1e 1e s : T% 1!

22!

3

q u es u s t i t u y e n d ov a l o r e sn o sd a : 3, 1 3 T% 6

o o o .3 6, 8 7 !2 · 2 5 , 3 4 .4 1, 4 1o! 23 , 4 3 0 %1 3 2 , 7 6 .3 2 , 5 3

q u ec o r r e s p o n d eau n ac o r r i e n t et o t a lyau n nf f . d . p .t o t a l : 3 2 , 7 6A T% 1

o ;c o sr% c o s3 2 , 5 3 %0 , 8 4 3

Lap o t e n c i aa c t i v at o t a ld el ai n s t a l a c i ó n ne e s : T%

  c o s r% 220·132, 7 6· 0 , 8 4 3% 2 4 , 6 2k W

yl ap o t e n c i ar e a c t i v ad el o sc o n d e n s a d o r e se si g u a la : %

T( t g

grñ ) r. t

l o sv a l o r e sd el a st a n g e n t e ss o n : o o r% 3 2, 5 3 ;t g3 2 , 5 3 %0 , 6 3 8

c o srñ %0 , 9;

o rñ %2 5, 8 4o ; t g2 5, 8 4 %0 , 4 8 4

 

2 2 2   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

e nc o n s e c u e n c i as et i e n e : %

2 4 , 6 2( 0 , 6 3 8. 0 , 4 8 4 )% 3, 7 8k VAr

Lan u e v ac o r r i e n t ed el í n e ap u e d eo b t e n e r s ed eu nd i a g r a mav e c t o r i a ld ec o r r i e n t e s ,ot e n i e n d oe nc u e n t a q u el ap o t e n c i aa c t i v at o t a l pe r ma n e c ec o n s t a n t eyq u ec o srñ %0 , 9 ,s et e n d r á : L%

%

2 4. 6 2 0

%1 2 4 , 3 4A

2 0· 0 , 9 c o srñ 2

o q u ee nv a l o rc o mp l e j oe s   %1 2 4 , 3 4 .2 5 , 8 4 . Co moe r ad ee ee s p e r a r ,l ac o r r i e n t ed el el í n e as eh a ar r e d u c i d oy oyh ap ap a s a d od od ev a l e r T% 1 3 2 , 7 6A a 2 4 , 3 4A. L% 1

Come ment ari ospr áct i cos

El ecci ónd nde el l apot enci aaparent ede eu un ng gr upo oe el ect r ógeno

%

%

g

%

 %

%

%

r

%

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   223

g

r%

%

Lo si n s t r u me n t o sq u es eu t i l i z a np a r ame d i rl ap o t e n c i aa c t i v as ed e n o mi n a nv   . La ma y o rp a r t ed el o sv a t í me t r o ss o nd e lt i p oe oe l e c t r o d i n á mi c o .Lo si n s t r u me n t o sd ee s t et i p o c o n s i s t e n ,e ne s e n c i a ,d eu n ab o b i n af i j a1( F i g u r a2 . 6 2 ) ,d e v a n a d ae nd o ss e c c i o n e syd e u n ab o b i n amó v i l2 , q u ee ee s t ás u j e t aa le j ed eg i r op o r t a d o rd el aa g u j ai n d i c a d o r a .Un o s mu e l l e sa n t a g o n i s t a se s t á nf i j o sp o ru ne x t r e moal ac a j ad e l i n s t r u me n t oyp o re l o t r oa l e j e d e le q u i p omó v i l . Un ad el a sb o b i n a ss ed e n o mi n a ,e s t áf o r ma d ap o ru nh i l og r u e s o( v e rd e v a n a d o1 o1e nl aF i g u r a2 . 6 2 )yt i e n ep o c a r e s i s t e n c i a ; l ao t r ab o b i n a , l l a ma d a , e s t áf o r ma d ap o ru ng r a nn ú me r od e e s p i r a sd eh i l od e l g a d oyt i e n eg r a nr e s i s t e n c i aq u eav e c e ss el aa u me n t ap o rme d i od eu n a r e s i s t e n c i aa d i c i o n a l( v e rd e v a n a d o2yr e s i s t e n c i a e nl aFi g u r a2 . 6 2 ) . Alp a s a rc o r r i e n t ep o rl a sb o b i n a sa p a r e c eu np a rmo t o rq u ea c t ú as o b r ee l s i s t e mamó v i l , yq u ee sp r o p o r c i o n a la l p r o d u c t od el a sc o r r i e n t e si n s t a n t á n e a sq u ec i r c u l a np o r l o sd o s d e v a n a d o s , e x i s t et a mb i é nu np a ra n t a g o n i s t ai n t r o d u c i d op o rl o smu e l l e syq u es o np r o p o r -





 

2 2 4   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

c i o n a l e sal ad e s v i a c i ó nd nd el aa g u j a ,d et a lf o r maq u ec u a n d os os ee q u i l i b r a na mb o sp a r e s p u e d el e e r s ep o rl ad e f l e x i ó nd e ls i s t e mamó v i le l v a l o rd el ap o t e n c i a . S i s ed i s p o n ed eu nv a t í me t r oq u et i e n ec o n e c t a d as ub o b i n av o l t i mé t r i c aau n at e n s i ó n i n s t a n t á n e a ()yc i r c u l ap o rs ub o b i n aa mp e r i mé t r i c au n ac o r r i e n t ei n s t a n t á n e a ()ys e x y s u p o n eq u ee ld e s f a s ee n t r ea mb a sma g n i t u d e se sag r a d o s , l al e c t u r ac o r r e s p o n d i e n t ed e l v a t í me t r os e r á : %

I

1

a

()y() d%   x yc o s x

0

Do n d e   xe yr e p r e s e n t a nr e s p e c t i v a me n t el o sv a l o r e se f i c a c e sd el at e n s i ó nyl ac o r r i e n t e . Cu a n d os eo p e r ac o nv a l o r e sf a s o r i a l e s , e same n u d omá sc o n v e n i e n t eo b t e n e re l v a l o ra n t e r i o rc o mol ap a r t er e a ld e lp r o d u c t od el at e n s i ó np np o re lc o n j u g a d od od el el ac o r r i e n t e ,e s d e c i r : e[ x·y * ] %R S is ed e s e ame d i rc o nu nv a t í me t r ol ap o t e n c i aa b s o r b i d ap o ru n ac a r g ac o n e c t a d aal a r e d , e n t o n c e sl ab o b i n ad ei n t e n s i d a ds ec o n e c t a r ád et a lf o r maq u ec i r c u l ep o re l l al ac o r r i e n t eq u ea b s o r b el ac a r g a , mi e n t r a sq u el ab o b i n ad et e n s i ó ns ed e b ec o n e c t a re np a r a l e l o c o nl ar e d . Lal e c t u r ad e l v a t í me t r oc o n e c t a d od ee s t af o r mas i e s l at e n s i ó n ,l ac o r r i e n t e a b s o r b i d a ,yc o s relf . d . p .d el ac a r g as e r á : %

I

1

()()d%   c o sr   [ W]

0

q u er e p r e s e n t al ap o t e n c i aa b s o r b i d ap o re l r e c e p t o r .Ene l c a s od e lv d e f l e x i ó ns ns e ad el af o r ma : %

 

,p a r aq u el a

  s e nr   [ VAr ]

or e s n e c e s a r i o a ñ a d i r a l a b o b i n ae m ó v i l ( v o l t i ma é t r i c au o d e t e n s i ó n ) n a e a c t a n c i a p a r a q u e s u c i r c u i t o s e a m u y i n d u c t i v o ( d e s t a f o r m a s e ñ a d e n d e s f a s e d eu 9 0 p a r a c o n v e r t i r e l c o s e n oe ns e n o ) . Enl aFi g u r a2 . 6 3s eh ar e p r e s e n t a d oe l s í mb o l od e l v a t í me t r o( od e l v a r í me t r o )c o n e c t a d op a r ame d i rl ap o t e n c i aa c t i v a( or e a c t i v ae ns uc a s o )d el ac a r g ar e c e p t o r a . Lo st e r mi n a l e s r e p r e s e n t a nl nl ab o b i n ad ei n t e n s i d a dq u es ec o l o c ae ns e r i ec o ne lc i r c u i t o .Lo s t e r mi n a l e s r e p r e s e n t a nl ab o b i n av o l t i mé t r i c aod et e n s i ó nq u es ec o l o c ae np a r a l e l o c o nl ar e d . Elv a t í me t r oe l e c t r o d i n á mi c oe su na p a r a t oc o n , l oq u es i g n i f i c a q u ee l s e n t i d od el ad e s v i a c i ó nd el aa g u j ad e p e n d ed el ao r i e n t a c i ó nq u et i e n e ne n t r es í l a s c o r r i e n t e sq u ec i r c u l a np np o rl a sb o b i n a s .Pa r aq u ee ls e n t i d od od el ad e s v i a c i ó nd nd el el ap a r t e mó v i ls e al ac o r r e c t a ,l o st e r mi n a l e sq u er er e p r e s e n t a ne ne lo r i g e nd nd el a sb o b i n a ss es e ñ a l a n

c o nu nu na na s t e r i s c o( v e rF i g u r a s2 . 6 1y 1y2 . 6 2 ) ,d e b i e n d oc oc o n e c t a r s ea mb o sb o r n e sa lmi s mo p un t od e lc i r c u i t o . Lame d i d ad el ap o t e n c i aa p a r e n t ee nu nc i r c u i t od ec . a . s er e a l i z au t i l i z a n d ou ou nv o l t í me t r op a r ame d i rl at e n s i ó nd el ar e d( c o n e c t a d oe np a r a l e l o )yu na mp e r í me t r op a r ame d i r l ac o r r i e n t ea b s o r b i d ap o rl ac a r g a( v e rF i g u r a2 . 6 3 )q u es es ec o n e c t ae ns e r i e . Lap o t e n c i a a p a r e n t es eo b t e n d r ác o mop r o d u c t od ea mb a sl e c t u r a s : %

  ·

[ VA]

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   225





Co n s i d é r e s ee l e s q u e mad el aF i g u r a2 . 6 3 . La sl e c t u r a sd el o sa p a r a t o sd eme d i d ah a ns i d o : %2 2 0v o l t i o s ; % 5a mp e r i o s ; %8 8 0v 0v a t i o s .S a b i e n d o oq q u el el ac a r g ae ae sd e lt i p oi oi n d u c t i v o ,c a l c u l a r :a )p o t e n c i a a p a r e n t ea b s o r b i d ap o rl ac a r g a ;b )f a c t o rd ep o t e n c i a ;c )p o t e n c i ar e a c t i v a ;d )i mp e d a n c i ac o mp l e j a .

So l uc i ón

a )Lap o t e n c i aa p a r e n t ee s : %

  ·% 2 2 0· 5% 1 . 1 0 0VA

b )Elf . d . p . d el ac a r g av i e n ee x p r e s a d op o r : c o s r%

%

8 8 0

%0 , 8

1 . 1 0 0

c )Sis ec o n s i d e r aq u el ac a r g ae si n d u c t i v a ,l ap o t e n c i ar e a c t i v av a l e : %

  s e nr% 1 . 1 0 0· 0 , 6% 66 0VAr( y aqu ec ua nd oc os r% 0, 8 ,s et i e n es e nr% 0 , 6 )

o d )S is et o mal at e n s i ó nc o moo r i g e nd ef a s e s , s et e n d r á :  % 2 2 0 0 ,yl ac o r r i e n t ee s t a r ár e t r a s a d a o o ( c a r g ai ai n d u c t i v a )u ná ná n g u l or% a r c o s 0 , 8% 3 6, 8 7d el el at e n s i ó ne ne sd e c i r : % 5 .3 6 , 8 7,p o rc o n s i g u i e n t el ai mp e d a n c i ae q u i v a l e n t ed el ac a r g as e r á :

%

%

o 2 2 0 0

L

o 4 !3 6 , 8 7 %3 5 , 2! j 2 6 , 4 o% 4

5 .3 6 , 8 7

El l e c t o rp o d r ác o mp r o b a rq u es i n os ec o n o c e

l an a t u r a l e z ad el ac a r g a , n oe sp o s i b l ep r e c i s a r

c o nl o sa p a r a t o sd eme d i d ai n d i c a d o ss il ac a r g ae si n d u c t i v aoc a p a c i t i v a . Pa r ad e t e r mi n a re l t i p od ec a r g a d e b e r ái n c o r p o r a r s eu nv a r í me t r o , yaq u ep o rme d i od eé l p od r áa v e r i g u a r s ee l s i g n od el ap o t e n c i ar e a c t i v a , s i e s t a e s p o s i t i v a l a c a r g a e si n d u c t i v a , p e r o s i e s n e g a t i v a l a c a r g a s e r á c a p a c i t i v a . E n l a p r á c t i c a p a r a p o d e r r e a l i z a r l e c t u r a s n e g a t i v a s c o n u n v a t í m e t r o o u n v a r í m e t r o , e s p r e c i s o i n v e r t i r u n a s o l a d e l a s b o b i n a sd e la p a r a t od eme d i d a :b i e ns e al aa mp e r i mé t r i c aol av o l t i mé t r i c a .Ge n e r a l me n t es ep r e f i e r ei n v e r t i r e s t aú l t i may aq aq u ed ed ee s t emo d o on n o oe e sn e c e s a r i oa b r i re lc i r c u i t op r i n c i p a l( q u ee sl oq u es u c e d e r í aa l c a mb i a re ld e v a n a d o oa a mp e r i mé t r i c o ) ,p o rl oq u es es ep u e d e nh nh a c e rl e c t u r a ss i nd e s c o n e c t a rl ac a r g ad el a r e d .

 

2 2 6   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

El c i r c u i t od el aF i g u r a2 . 6 4s ea l i me n t ap o ru ng e n e r a d o rmo n o f á s i c o( r e d )d ec . a . d e3 7 5V. La sl e c t u r a s 00v o l t i o s . a )Ca l c u l a rl a . 20 0W; b% 3 d el o sa p a r a t o sd eme d i d ah a ns i d o :a% 36A;b% 30A; 2% 7 l e c t u r ad e la mp e r í me t r o T. b )S i e l v o l t í me t r o 1s e ñ a l a1 80V, c a l c u l a rl a sl e c t u r a sd e lv o l t í me t r o 2yde l v a t í me t r o   1.









 



So l uc i ón

a )S is et o mal at e n s i ó n   bc o mor e f e r e n c i ad ef a s e s , l ac o r r i e n t e bs er e t r a s a r áu ná ná n g ul orbr e s p e c t od e o n du c t i v a )yl ac o r r i e n t e as ea d e l a n t a r á9 0r e s p e c t od e   b, y aq u el ac o r r i e n t e a l s e rl ac a r g a b! jbi b( o q u ec i r c u l ap o ru nc o n d e n s a d o rs ea d e l a n t a9 0 as ut e n s i ó n . Dee s t emo d os eo b t i e n ee l d i a g r a maf a s o r i a l q u es emu e s t r ae nl aF i g u r a2 . 6 5 a . Co moq u i e r aa d e má s , q u el ar a map a r a l e l of o r ma d ap o re l c o n d e n s a d o r ai mp e d a n c i a b! jba b s o r b eu n ap o t e n c i a 2% 7 . 2 0 0W, s ep u e d ee s c r i b i r : . jayl 2%



r

o s bTc

  ú

  7 . 2 0 0% 3 0 0 ·Tc o sr

  ú

r

o s % Tc

  ∠ 

  ∠

 

 



  ∠

  

  ∠

7 . 2 00 3 0 0

%2 4

( 1 )

Las u maf a s o r i a ld el aFi g u r a2 . 6 5 ae sl as i g u i e n t e : 6 T% a! b% 3

o 9 0 !3 0 .rb%

T

 r

 

CI RCUI T OSDEC ECORRI ENT EAL T ERNASI NUSOI OI DAL   227

q u ea l pa s a rl a se x p r e s i o n e sp o l a r e sab i n ó mi c a s , s eo b t i e n e :

r

r

r

r

o s ! jTs e n % j 3 6! ( 3 0c o s b. j 3 0s e n b) Tc yq u ea l i g u a l a rp a r t e sr e a l e sei ma g i n a r i a sd al u g a ra :

r

r   ;   Ts e nr% 3 6. 3 0s e nrb

o s %3 0 c o sb Tc

 

( 2 )

yc o moq u i e r aq u ed ea c u e r d o( 1 )s et i e n e :Tc o sr% 2 4 , d el ap r i me r ae c u a c i ó na na n t e r i o rr e s u l t a : c o s rb%

2 4

%0 , 8

3 0

o 8 7 i n d u c t i v o   rb% 36,

  ú

ya l s u s t i t u i re s t ev a l o re nl as e g u n d ae c u a c i ó n( 2 )d al u g a ra : o e n %3 6! 3 0s e n b% 3 6. 3 0· s e n3 6 , 8 7 %1 8A Ts

r

r

( 3 )

yd el a se c u a c i o n e s( 1 )y( 3 )s el l e g aa : t gr%

1 8

%0 , 7 5

2 4

  ú

o   r% 3 6 , 8 7 c a p a c i t i v o

ya l l l e v a re s t ev a l o ra( 1 ) , o ot t a mb i é na( 3 ) ,r e s u l t a :

r

o s %2 4 Tc

T%

  ú

2 4

%3 0A

o c o s3 6 , 8 7

Esd e c i re l a mp e r í me t r o Tq u es e ñ a l al ac o r r i e n t et o t a l a b s o r b i d ap o rl ai n s t a l a c i ó nd a r áu n al e c t u r ad e 3 0a mp e r i o s . La se x p r e s i o n e sf a s o r i a l e sd el a sc o r r i e n t e s( h a b i e n d oe l e g i d ol ol at e n s i ó n   bc o mor e f e r e n c i a d ef a s e s )s e r á np o rc o n s i g u i e n t e : 6 a% 3

oA ; 9 0

0   b% 3

6 , 8 7oA ; .3

oA 0 !3 6, 8 7   T% 3

b )Ala p l i c a re l s e g u n d ol e mad eKi r c h h o f fal ama l l ad e lc i r c u i t oq u ei n c l u y ee l g e n e r a d o rs ep u e d e e s c r i b i r : g%

b!

2 T! j1 T

 

( 4 )

c u y ac o mp o s i c i ó nf a s o r i a ls emu e s t r ae nl aF i g u r a2 . 6 5 b . La se x p r e s i o n e sf a s o r i a l e sd el a st e n s i o n e sa n t e r i o r e ss o nr e s p e c t i v a me n t e : b%

o 3 0 0 0 V ;

o 6 , 8 7 V   2 T%   2   !3

; j 1T%

  1

o o  ( 3 6 , 8 7 !9 0 ) %

  1 

o 1 2 6 , 8 7 V

v a l o r e sq u ea ls u s t i t u i re n( 4 ) , dal u g a ra : o g% 3 0 0

0!

o 2

 

3 6, 8 7!

o 1

 1 26 , 8 7

( 5 )

8 0V, a ls u s t i t u i re s t ev a l o re nl ae c u a c i ó na n t e r i o ryt r a n s f o r ma rl a sma g yt e n i e n d oe nc u e n t aq u e   1% 1 n i t u d e sp o l a r e sab i n ómi c a sr e s u l t a : 3 0 0! 0 , 8 2) ! j ( 1 4 4! 0 , 6 2) g% (

( 6 )

 

2 2 8   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

yd ea c u e r d oc o ne l e n u n c i a d o , l at e n s i ó nd el ar e de si g u a l a3 7 5v o l t i o s , q u ee se l mó d u l od el ae x p r e s i ó n a n t e r i o r .Po rl oq u es ep u e d ep o n e r : 2

2

3 0 0! 0 , 8 2)! ( 3 7 5% ∂ ( 1 4 4! 0 , 6 2)

( 7 )

d ed o n d es ed e d u c e   2% 1 3 5v 5v o l t i o s ,q u e ee e sl at e n s i ó n nq q u e es s e ñ a l a r áe lv o l t í me t r o   2.Lap o t e n c i aq u e ma r c a r áe lv a t í me t r o   1,s e r ál as u mad el aq u e ei i n d i c ae lv a t í me t r o   2 má sl ap o t e n c i ad i s i p a d ae ae nl a 2 3 5· 3 0% 4 . 0 5 0W, yd yd ee s t emo d os eo b t i e n ed i r e c t a me n t e : r e s i s t e n c i a 2, c u y ov a l o re s 2 T% 2T% 1 1%   2!

  2 . 2 00! T% 7

4 . 0 50% 1 1 . 2 5 0W

q u es e r ál al e c t u r ad e lv a t í me t r o   1. El l e c t o rp u e d ec o mp r o b a re s t er e s u l t a d od eu nmo d omá sl e n t o , ye s s u s t i t u i re lv a l o rd e   2% 1 3 5v o l t i o sd e lr e s u l t a d oa n t e r i o r ,e nl ae c u a c i ó n( 6 ) ,p a r ao b t e n e rl ae x p r e s i ó n f a s o r i a l del at e n s i ó nd nd el ar e dd ea l i me n t a c i ó n, l oq u ed al u g a ra : 0 0! j 2 2 5% 3 7 5 g% 3

o 3 6 , 8 7

( 8 )

yp o rl ot a n t ol ap o t e n c i ad e lv a t í me t r o   1e si g u a la : %R e [ 3 7 5 e[ g T] 1% R

o o 3 6 , 8 7 · 3 0 .3 6 , 8 7 ] %1 1 . 2 5 0W

Un ad el a sc a r a c t e r í s t i c a sd i s t i n t i v a sd eu eu ni n g e n i e r oe ss up r e o c u p a c i ó np o rl ao p t i mi z a c i ó n . Enl o sc i r c u i t o se l e c t r ó n i c o se sf r e c u e n t et e n e r q u ea d a p t a ru ne l e me n t od eu ns i s t e ma ao t r oy ae x i s t e n t ec o ne l f i nd eo b t e n e rl o sme j o r e sr e s u l t a d o s , e np a r t i c u l a rb u s c a n d ou n a t r a n s f e r e n c i amá x i mad ep ep o t e n c i a .Ene lc a p í t u l oa n t e r i o r ,e ne ne lEj e mp l od eAp l i c a c i ó n 1 . 1 8 ,s ea n a l i z a r o nl nl a sc o n d i c i o n e sq u ed e b e r í ar e u n i ru n ac a r g ap a r ae x t r a e rl amá x i ma p o t e n c i ad eu n ar e dc o nf u e n t e sd ec . c . , v a mo sav e ra h o r au n ad e mo s t r a c i ó nmá sg e n e r a l p a r ae l c a s od eq u es et e n g a ne x c i t a c i o n e sd ec . a . Enl aF i g u r a2 . 6 6 as eh ar e p r e s e n t a d ou n a r e dc o n t e n i e n d oe l e me n t o sa c t i v o syp a s i v o se ns ui n t e r i o r , yq u ed i s p o n ed ed o st e r mi n a l e s d es a l i d aAyB, al o sq u es ec o n e c t au n ai mp e d a n c i ad ec a r g a L. Enl aF i g u r a2 . 6 6 bs eh a r e p r e s e n t a d oe lc i r c u i t oe q u i v a l e n t ed eTh é v e n i nd el ar e da l i me n t a n d o   L. Elp r o b l e maa r e s o l v e rs e r í a : ¿ q u év a l o r e sd e b e nt e n e r Ly   Lp a r aq u es et r a n s f i e r al amá x i mae n e r g í aa e s t ai mp e d a n c i a ?

 

2 3 0   CI RCUI T OSEL ÉCTRI COS

d ad ep ep o t e n c i ayp a r au nm nma y o rr e n d i mi e n t oyme n o rc a í d ad et e n s i ó ne ne nl a sl í n e a s ,l a i mp e d a n c i ad el af u e n t es eh a c eq u es e at a nb a j ac o mop u e d al o g r a r s ee c o n ó mi c a me n t e . Ob s é r v e s eq u el ai mp e d a n c i ad el ac a r g an os eh a c ei g u a l al ai mp e d a n c i ac o n j u g a d ad el a f u e n t e .e S i n mb a r g oe ne l e c t r ó n i c a , c o mu n i c a c i o n e syc o n t r o l , l a ss e ñ a l e ss o nd eb a j ap o t e n c i a ys ep r o c u r ac o n s e g u i ru n amá x i mat r a n s f e r e n c i ad ep o t e n c i a , y aq u ee n t o n c e sl ae n e r g í a t r a n s f e r i d ae ae sn o r ma l me n t ed e s p r e c i a b l e .Lac o n d i c i ó n( n( 2 . 1 6 2 )s )s ed e n o mi n ae ae n t o n c e s e n t r el af u e n t eyl ac a r g ayr e q u i e r eav e c e sl ai n c l u s i ó nd eu n t r a n s f o r ma d o re ne lc i r c u i t o .

Ene lc i r c u i t od el aFi g u r a2 . 6 7 ,d e t e r mi n a re lv a l o rd e i mp e d a n c i a .Ca l c u l a ra d e má se l va l o rd ee s t ap o t e n c i a . Ω

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Ω

∠

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a r aq u et r a n s f i e r al amá x i map o t e n c i aae s t a Lp

 

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So l uc i ón

Ell e c t o rp u e d ed e mo s t r a rf á c i l me n t eq u ee lc i r c u i t oe q u i v a l e n t ed eTh é v e n i nd el ar e d , c u y o st e r mi n a l e s d es a l i d as o nAyB, e s t ác o n s t i t u i d op o ru ng e n e r a d o r : Th%

o 1 0 0

o  j 2% 1 0 9 0 v o l t i o s 2. j 2! j 2

yu n ai mp e d a n c i a :

L

2. j 2 )   j 2% 2! j 2 Th% (