Circuitos de Corriente Continua

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

CAPITULO VII CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

I.

INTRODUCCIÓN Llamase circuito eléctrico a la conexión de fuentes generadoras de potencia eléctrica con elementos tales como: resistencias, motores, calentadores, lámparas, condensadores, bobinas, etc. La conexión entre la fuente y la carga es hecha mediante soldaduras de alambres con las correspondientes cargas o con dispositivos diseñados 1

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 previamente llamados terminales. La energía liberada por la fuente es aprovechada por los consumidores de carga. En algunos casos, muchos elementos de circuitos son conectados a la misma carga, la cual es llamada carga común para aquellos elementos. Varias partes del circuito son llamadas elementos del circuito, los cuales  pueden estar instalados en serie o en paralelo análogamente análogamente como hemos visto en el capítulo sobre capacitores. capacitores. Decimos que un elemento se encuentra conectado en paralelo cuando aquellos son conectados a la misma diferencia de potencial como se muestra en la figura 7.1a. Por otro lado, cuando los elementos son conectados uno después de otros, tal que la corriente que pasa a través de cada uno de elementos es la misma, se dice que los elementos se encuentran en serie, como se muestra en la figura 7.1b

Figura 7.1.

El ementos ementos de un cir cuito conectados: conectados: ( a) en paral elo y (b) en en ser ser ie 

Debe indicarse que con la finalidad de simplificar los esquemas de los elementos, en circuitos existen símbolos de representación de dichos elementos como los mostrados en la figura 7.2

Figura 7.2.

Representación Representación de elementos elementos de un cir cuit o 

En general los circuitos presentan interruptores, los mismos que cuando se encuentran abiertos no permiten el flujo de corriente, mientras que cuando se encuentran cerrados fluye corriente a través del circuito al cual conectan. Por lo tanto podemos tener circuitos cerrados, a través de los cuales hay flujo de corriente, o circuitos abiertos a través de los cuales no fluye corriente. A veces en forma accidental se une dos cables, ocasionando un cortocircuito. Esta situación a veces no es deseable por la liberación de energía durante su ocurrencia llegando a veces a producir incendios en los circuitos correspondientes. Con la finalidad de evitar esto se usan los fusibles, dispositivos que cuando se eleva la temperatura automáticamente se interrumpe el flujo eléctrico. En circuitos eléctricos, algún punto del circuito es conectado a tierra. Este punto es asignado arbitrariamente con un voltaje nulo o cero, y el voltaje de cualquier otro punto del circuito es definido con respecto a este punto es decir como la diferencia entre el potencial del punto del circuito menos el potencial de tierra.

II.

CALCULO DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO Consideremos un circuito eléctrico como el mostrado en la figura7.3. En un tiempo dt aparece dt aparece en R una cantidad de energía en forma de calor dada por 

dW R  V .dq  IRdq dW R  IR ( Idt )  I 2 Rdt  

2

(7.1)

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Figura 7.3.

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Represent Representación ación de un cir cui to sim ple par a determi nar la cor r iente ient e que f lu ye a tr avé s de é l 

Durante este mismo tiempo la fuente hace hace un trabajo para mover una carga ( dq = Idt ) dado por 

dW    dq   ( Idt )   Idt  

(7.2)

Según la ley de conservación de la energía se tiene

dW   dW R   Idt  I 2 Rdt    I  

 

(7.3)

 R

La corriente también puede determinarse usando el criterio: alrededor del circuito completo debe ser nulo” 

“La suma algebraica de los cambios de potencial 

Va     IR  Va    I  

 

 R

Para determinar el signo de las diferencias de potencial en las resistencias y en las fuentes cuando la dirección de la corriente son las mostradas, se usan las r eglas mostradas en la figura 7.4,

Figura 7.4.

Reglas para determ determ in ar l a dif erencia de potencial en elementos elementos de un ci r cuit o 

Por otro lado, si la fuente tiene una resistencia interna apreciable como se muestra en la figura 7.5, la corriente que fluye a través del circuito se determina en la forma

Va     rI  RI  Va      (r  R ) I 

 I  

3

 

rR

(7.4)

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(a)

Figura 7.5.

III.

(b)

Cir cuit o elé ctri co con un a f em qu e pose pose una r esiste esistencia ncia in terna r y un a r esiste esistencia ncia de carga carga R, (b)  cambi o en el el potencial pot encial elé ctr ico al r ededor ededor de un ci r cui to 

RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO Decimos que dos resistores R 1 y R 2 se encuentran conectados en serie con una fuente cuando son instalados como se muestra en la figura 7.6a. En este caso la corriente que fluye a través del circuito es la misma en cualquiera de los elementos.

Figura 7.6.

(a) Cir cuit o con con resistencias resistencias en serie, (b) cir cuit o equival equival ente 

En este circuito, se observa que, la intensidad de corriente que fluye a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la intensidad de corriente en el resistor equivalente. Es decir 

 I1  I 2  I 3  I eq

(7.5)

La diferencia de potencial total entre los puntos a y c es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial a través de cada uno de los resistores, esto es ,

V  I eq Req  I1R1  I 2 R2  I 2R3

(7.6)

Al remplazar la ecuación (7.5) en la ecuación (7.6) se obtiene un resistor equivalente R  eq como se muestra en la figura 7.3b

 Req  R1  R2  R2

(7.7)

El argumento anterior puede ser extendido para N resistores que se encuentran conectados en serie. En este caso la resistencia equivalente se escribe.

 Req  R1  R2  ...  Ri  ...  RN 

 N 

R i 1

i

(7.8)

Debe observarse que si una resistencia R 1 es mucho mayor que la otra resistencia R i, entonces la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia mayor R 1. En las figuras 7.7, se observa la forma como se instala las resistencias en serie en las prácticas de un laboratorio. 4

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(a)

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(b)

(c)

Figura 7.7.

(a) I nstalación de resiste resistencias ncias en en ser ser ie uti li zando un protoboar d, (b) I nstalación de resistencias  resistencias  uti li zando cables y un ion es y (c) I nstalación de r esiste esistencias ncias en serie u sando t ermin ales metá metáli cos 

En seguida consideremos dos resistencias R 1 y R 2 que son conectados en paralelos a una fuente de voltaje como se muestra en la figura 7.8a.

Figura 7.8.

V,

(a) Cir cuito con resiste resistencias ncias en en paral elo, (b) cir cuito equi equi valente  valente 

Por conservación de la corriente I, que pasa a través de la fuente de tensión puede dividirse en una corriente I 1, la cual fluye a través de la resistencia R 1 y una corriente I 2 que fluye a través de la resistencia R 2. Por otro lado, cada una de las resistencias satisface a la ley de OHM, es decir, V1= I1R 1 y V2 = I2R 2. Sin embargo la diferencia de potencial a través de cada uno de los resistores es la misma e igual a la diferencia diferencia de potencial en el resistor equivalente. La conservación de la corriente implica que

 I  I1  I 2  I 3 

V  R1



V R2



1 1 1   V      R3  R1 R2 R3 

V 

(7.9)

Los dos resistores en paralelo pueden ser remplazados por un resistor equivalente con V = IR eq eq como se muestra en la figura 7.3b. Comparando estos resultados, la resistencia equivalente para dos resistencias conectadas en paralelo está dada por la ecuación

1  Req



1 R1



1 R2



1 R3

Este resultado puede generalizarse para N resistores en paralelo, obteniéndose 5

(7.10)

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1  Req



1 R1



1 R2

 ..... 

1 Ri

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 ... 

1 RN

 N 

 i 1

1 Ri

(7.11)

Cuando una resistencia R1 es mucho más pequeña que otra resistencia  R ,i entonces, la resistencia equivalente es aproximadamente igual a la resistencia más pequeña R 1. En el caso de dos resistencias se tiene.

 Req 

 R1R2  R1  R2



R1R 2 R2

 R1

(7.12)

Es decir, en un circuito la corriente fluirá mayoritariamente por aquella resistencia cuyo valor s ea más pequeño y  por la resistencia grande fluirá una pequeña fracción fracción de corrienteEn la figura 7.9, se muestra la instalación instalación de resistencia en el laboratorio

(a)

(b)

(c) resistencias ncias en en par alelo ut il izando un protoboar d, (b) I nstalación de resiste resistencias ncias en  Figura 7.9. (a) I nstalación de resiste paral elo util izando cables cables y un iones y (c) I nstalación de resiste resistencias ncias en paralelo u sando termi nal es 

IV.

TRANSFORMACIONES TRÍANGULO ESTRELLA A veces los elementos pasivos no están conectados en serie o paralelo, resultando más complicada la resolución del circuito. Las otras dos formas estudiadas de conectar elementos son la conexión en estrella y la conexión en triángulo, las mismas que se muestran en la figura 7.10 .

F igu r a 7.10.

Cir cuit o para tr ansform ar r esistencias esistencias de estr estr ella a tr iángul os 

Si intentamos buscar una posibilidad de transformar una red en la otra, veremos que la resistencia vista entre los  puntos 1 y 2 debe ser la misma en ambas redes. De De tal forma que se cumplen las siguientes igualdades: 6

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Resistencia entre los nudos 1 y 2:

 R1  R2  RC //( RA  RB ) 

 RC ( RA  RB )

(7.13)

 R A  RB  RC 

Resistencia entre los nudos 2 y 3:

 R2  R3  R A //( RB  RC  ) 

 RA ( RB  RC  )

(7.14)

 R A  RB  RC 

Resistencia entre los nudos 1 y 3:

 R1  R3  R B //( RA  RC  ) 

 RB ( RA  RC  )

(7.15)

 R A  RB  RC  Si la transformación que queremos hacer es de triángulo a estrella, conoceremos el valor de R A, R B y R C, y deseamos calcular los valores de R 1, R 2 y R 3 de la estrella equivalente. A partir de las ecuaciones ecuaciones anteriores obtendremos:

 R1 

 R B RC  R A  RB  RC

;

R2 

RA RC  R A  RB  RC

R3 

;

RA RB R A  RB  RC 

(7.16)

Que responden a la forma genérica de

 Ri 

Producto de las resistencias conectadas al nudo i Suma de las resistencias del triángulo

(7.17)

Si la transformación que queremos hacer es de estrella a triángulo, conoceremos el valor de R 1,R 2 y R 3, y queremos calcular los valores de R A, R B y R C del triángulo equivalente. A partir de las ecuaciones de resistencias entre nudos tendremos:

 R2  R1



R A R B

;

 R3 R1



RA RC

;

R3 R2



RB

(7.18)

RC 

Sustituyendo aquí las expresiones anteriores de la transformación triángulo a estrella, obtendremos:

 R A 

 R1R2  R2 R3  R3R1  R1

;

RB 

R1R 2  R 2R 3  R 3R 1 R2

;

RC  

R 1R 2  R 2R 3  R 3R 1 R3

(7.19)

Que responden a la forma genérica de

 Ri 

V.

Suma de los productos de las resitencias resit encias de la estrella tomadas por parejas Resistencia de la estrella conetada al nudo nudo opuesto a R i

(7.20)

LEYES DE KIRCHHOFF Con una o mas  fem’s unidas mediante conductores ideales a una o más resistencias eléctricas se forma un circuito eléctrico. La solución del circuito eléctrico implica determinar todas las corrientes que circulan, los voltajes en cada uno de los elementos eléctricos conectados, y las potencias eléctricas suministradas y consumidas. Para simplificar la lectura del circuito se definen algunos conceptos como rama eléctrica, nudo eléctrico y malla eléctrica. 7

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Rama eléctrica: Es cualquier segmento del circuito, que contiene  fem’s y/o resistencias eléctricas, y que es recorrida por una única corriente (la rama eléctrica tiene en cada uno de sus extremos u n nudo eléctrico).

Nudo eléctrico: Es todo punto de unión de tres o más ramas eléctricas, y a la cual confluyen distintas corrientes eléctricas.

Malla eléctrica es cualquier unión de ramas eléctricas formando una trayectoria cerrada. Las ecuaciones básicas  para resolver un circuito eléctrico se derivan de la aplicación de las leyes de Kirchhoff , las cuales a su vez, se infieren de la validez de la conservación de la energía y de la conservación de la carga eléctrica. Se conocen como la ley de las mallas y la ley de los nudos, respectivamente.

5.1. PRIMERA LEY DE KIRCHOFF o La ley de nudos: Establece que: “La suma al gebr gebr aica ai ca de las corr i entes en todo n udo elé ctr i co debe ser ser siempre siempr e igual igu al a  cero  ”  ”,  es decir,

Figura 7.11.

Apli cación cación de la pri mera mera l ey de Ki rchhof f 

Matemáticamente esta ley se expresa en la forma

 I ingreasan   I salen  I  I1  I 2

(7.21) (7.22)

5.2. SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF o llamada ley de mallas. Establece que: “La suma al gebrai ca de las l as dif erenci as de potenci potenci al a tr avé s de cada cada un o de los elementos  de un cir cuito que for man un ci rcui to cerr cerr ado es nul o ” . Esto es



V i  0

(7.23)

circuito cerrado

Para aplicar la segunda ley de Kirchhoff se usa la regla de las diferencias de potencial tomadas en la sección anterior, obteniéndose

 R1I 1  E1  R4I 4  E 4  E 3  R 3I 3  E 2  R 2I 2  0

cación de la pr imera ley de Ki rchh off  Figura 7.12. Apli cación 8

(7.24)

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VI.

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CIRCUITOS RC. 6.1

Proceso de carga de un capacitor

Consideremos el circuito eléctrico formado por una fuente de f em ε, una resistencia  R,  R, un condensador  C y C  y un interruptor S, conectado como se muestra en la figura 7.13a.

(a)

Figura 7.13.

(b)

(a) diagrama del del cir cuito RC para t < 0 y (b) diagrama de un circui to RC para t > 0 

Cuando el interruptor  S se S  se encuentra abierto la corriente a través del circuito es nula y el capacitor se encuentra completamente descargado, es decir [ q(t = 0) =0]. =0 ]. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S  interruptor  S , comenzará a fluir corriente a través del circuito como se muestra en la figura 7.13b. Esta corriente no es constante sino que depende del tiempo. En particular la corriente instantánea en el circuito inmediatamente después de cerrado el circuito es

 

 I 0 

(7.25)

 R

En este instante, la diferencia de potencial entre los terminales de la batería es la misma que en los extremos del resistor. Conforme transcurre el tiempo el capacitor comienza a cargarse y la diferencia de potencial entre sus  bornes comienza a aumentar aumentar progresivamente. Siendo el voltaje a su través en cualquier tiempo tiempo

VC  (t ) 

q(t )

(7.26)

C 

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se obtiene

   I (t ) R      R

dq dt



q(t ) C  q C 

0 (7.27)

Donde se considera que la corriente en el circuito es I = +dq/dt  . Debido a que la corriente I debe ser la misma en +dq/dt  todas las partes del circuito, la corriente a través de la resistencia R es igual a la razón de cambio de la carga en las placas del capacitor. El flujo de corriente en el circuito será continuo e irá decreciendo a medida que el capacitor vaya incrementando su carga. El flujo de corriente finalizará cuando el capacitor se haya cargado completamente, adquiriendo una carga total Q. Ello se vuelve evidente cuando escribimos la ecuación en la forma.

 R

dq dt

   

q C 

(7.28)

Para determinar la carga en cualquier instante sobre el capacitor la ecuación diferencial se escribe en la forma

dq dt



1 R

(  

q

) C  

(7.29)

Esta ecuación puede ser resuelta usando el método de separación de variables. El primer paso es separar los términos que involucran a la carga y al tiempo. Es decir  9

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dq dt dq 1    dt  q    R q C R C   (   ) C 

(7.30)

Ahora se procede a integrar ambos lados de la ecuación y teniendo en cuanta los límites c orrespondientes. q

dq

0

q  C 





1

t 

 dt 

(7.31)

RC  0

De donde se obtiene

t   q  C      RC   C  

ln 

(7.32)

Despejando la carga se tiene

q(t )  C  1  e t / RC   Q 1  et / RC  

(7.33)

Donde Q = Cε es la máxima carga almacenada en las placas d el capacitor. La carga en función del tiempo puede graficarse como se muestra en la figura 7.14

Figura 7.14.

Car ga en en f un ción del del t iempo dur ante el proceso proceso de carga carga de un capacitor 

Una vez conocida la carga sobre el capacitor también se puede determinar la diferencia de potencial entre sus  placas en cualquier instante esto es

VC  (t ) 

q(t ) C



C  1  et / RC   C 

   1  et / RC  

(7.34)

La grafica del voltaje como función del tiempo tiene la misma forma que la gráfica de la carga en función del tiempo. De la figura se observa que después de un tiempo s uficientemente largo, la carga sobre el capacitor será

q(t  )  Q 1  e / RC    Q

(7.35)

En el mismo tiempo el voltaje entre sus placas será igual al voltaje aplicado por la fuente y la corriente a través del circuito será nula

V C  

q (t  ) C



C   C 

  

(7.36)

La corriente que fluye a través del circuito en función del tiempo se obtiene derivando la ecuación de la carga obteniéndose

 I (t ) 

dq(t ) dt



d 

C  1  e t / RC      e t / RC  R dt 

10

 

(7.37)

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 I (t )  I 0 e  t / RC 

(7.38)

El coeficiente que antecede al exponencial no es sino la corriente inicial I 0. La gráfica corriente en función del tiempo se observa en la figura

Figura 7.15.

I ntensidad ntensidad de corr corr iente en iente en fu nci ón del ti empo dur ante el el proceso proceso de carga carga de un capacitor 

De la gráfica se observa que la corriente en el circuito disminuye exponencialmente y la cantidad τ = RC , se denomina constante de tiempo capacitiva y es el tiempo necesario para que el capacitor alcance aproximadamente el 63% de su carga total. En forma similar se puede expresar la diferencia de potencial en las  placas del capacitor (figura 7.16), esto es

VC  (t )    1  e t /  

Figura 7.16.

6.2.

(7.39)

Vol taje en fu nción del del ti empo dur ante el el pr oces oceso de carga de un capacitor 

Proceso de descarga de un capacitor.

Supongamos que el interruptor S del circuito se encontraba cerrado durante un tiempo muy grande, es decir  t >>> RC  . Entonces el capacitor se ha cargado completamente para todos los fines prácticos alcanzando una carga Q  , siendo la diferencia de potencial entre sus placas V = Q/C  . Por otro lado, la diferencia de potencial en el resistor es nula debido a que no existe corriente fluyendo en el circuito I = 0  . Ahora supongamos que el interruptor S se cierra como se muestra en la figura 7.17b.

Figura 7.17.

Cir cuit o uti li zado zado duran te el el pr oces oceso de des descarga carga de un capacitor  capacitor 

En estas condiciones el capacitor comienza a descargarse fluyendo una corriente que decae exponencialmente a través del circuito. Es decir el capacitor actúa como una fuente que entrega corriente al circuito. El flujo de corriente se mantendrá hasta que el capacitor se haya descargado completamente. Se puede calcular la dependencia de la carga y de la corriente en función del tiempo después del cierre del interruptor S, aplicando la segunda ley de Kirchhoff, como se muestra

VC  VR  0  11

q(t ) C 

 RI  0 

(7.40)

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La corriente que fluye desde la placa positiva es proporcional a la carga sobre dicha placa y de signo opuesto

 I   

dq

(7.41)

dt 

El signo negativo en la ecuación es una indicación de que la razón de cambio de la carga es proporcional al negativo de la carga en el capacitor. Esto se debe a que la carga en la placa positiva del capacitor se encuentra disminuyendo conforma la carga positiva abandona la placa positiva. Así, el cambio satisface la ecuación diferencial de primer orden

q

dq

 R

C

dt 

0

(7.42)

Esta ecuación se puede resolver utilizando el método de separación de variables, es decir,

dq q

1



RC 

dt 

(7.43)

La misma que se integra teniendo en cuenta los límites correspondientes, obteniéndose q

dq

Q

q





1 RC



t 

0

q t      RC   Q

dt   ln 

(7.44)

O también

q(t )  Qe  t / RC 

(7.45)

El voltaje a través del capacitor será

VC  (t ) 

q(t ) C



Q C 

e  t / RC 

(7.46)

Una grafica del voltaje en función del tiempo se muestra en la figura 7.18

Figura 7.18.

Di ferenci a de potenci potenci al en l as placas de de un capacit or en f un ción del del ti empo para para el pr oces oceso  de descarga descarga del capaci tor 

La intensidad de corriente que fluye en el circuito durante el proceso de descarga del capacitor también decae exponencialmente y se encuentra que

 I (t )  

dq dt



d

Qe   dt

t / RC

Q

  ( RC )e  

t / RC  

(7.47)

La gráfica de la intensidad de corriente que fluye a través del circuito tiene la misma forma que el voltaje, en la figura 7.19 se muestra esta situación.

12

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Figura 7.19. VII.

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I ntensidad de corr corr iente en fu nci ón del tie ti empo para el proceso proceso de des descarga del capacitor 

MEDICIONES ELECTRICAS 7.1. Medición de corrientes. Consideremos un circuito simple formado por una fuente de tensión, un interruptor y una resistencia instalados en serie como se muestra en la figura 7.20a. Si se quiere determinar la corriente que fluye por el circuito se abre el circuito como se muestra en la figura 7.20b y se instala en serie con los demás elementos un amperímetro como se muestra en la figura 7.20c.

Figura 7.20.

I nstalación de un amperímetro par a medir medir la i ntensidad de corr iente que fl uye en en un cir cui to 

7.2. Medición de diferencias de potencial

Supongamos ahora que se quiere determinar la diferencia de potencial en un elemento de un circuito eléctrico mostrado en la figura 7.21a. Para ello se instala el voltímetro en paralelo con dicho elemento como se muestra en la figura 7.21b.

Figura 7.21.

I nstalación de un vol tímetro par a medir medir la di ferenci a de pote potenci nci al en u n elemento elemento de un  circuito 

7.3. Medición de resistencias

13

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En algunas situaciones es necesario medir resistencias de los elementos que componen el circuito, para ello se utiliza los multimetros, en la escala de Ohmios y se procede como se muestra en la figura

Figura 7.22.

I nstalación de un mul tímetro par a medir la resiste resistenci nci a de elemento. elemento. Debe indicarse además que en circuitos se puede utilizar la ley de Ohm para determinar resistencias de elementos, instalando el circuito como se muestra en la figura

Figura 7.23.

VIII.

(a)Cir cuito para medir l a resiste resistencia ncia de una bombil bombil la, (b) diagrama del del cir cuito y (c) cir cuito uti lizado  par a medir la r esistenci esistenci a de un elemento de cer cer ámi ca.

MEDIDORES ELÉCTRICOS. 8.1. El galvanómetro. Los instrumentos más comunes para medir corrientes, diferencias de potencial y resistencia se basan en el funcionamiento del galvanómetro de bobina móvil. Este dispositivo está formado por una bobina montada en un cilindro de aluminio el cual se encuentra sostenido en el interior de un campo magnético. Cuando a través de la bobina pasa una intensidad de corriente I g, la bobina sufre una desviación angular que es  proporcional a la intensidad de corriente. Si ahora a hora unimos a la bobina una aguja indicadora larga que está  provista de una escala calibrada especialmente es pecialmente para medir corrientes, se obtendrá el valor correspondiente de la intensidad de corriente que fluye por el circuito. En la figura 7,24 se muestra la forma como es el diseño básico de un galvanómetro.

14

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Figura 7.24.

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Gal vanómetro van ómetro de d e bobina bobi na m óvil uti ut i l i zado como base ba se en el di d i señ señ o de medidor medi dor es elé ctr i cos.

8.2. El amperímetro El amperímetro es un aparato que permite medir intensidades de corriente en la rama donde se instale. Debe ser conectado en serie al elemento cuya cuya corriente se va a medir como se muestra en la figura 7.25. Debe instalarse de tal manera que las cargas ingresen por la terminal positiva y salgan por la terminal negativa. Idealmente el amperímetro debe tener una resistencia cero para que la corriente medida no se altere.

Figura 7.25.

(a) I nstalación de un amperímetro en un cir cui to y (b) i nstalación de un  galvanómetr galvanómetro o para medir medir corr ientes. ientes.

El galvanómetro al ser sensible al paso de corriente se usa como amperímetro, pero debido a su resistencia  pequeña se coloca en paralelo con este una resistencia pequeña R P llamada SHUNT como se muestra en la figura 7.25b. Si la resistencia del galvanómetro es R g y la intensidad de corriente que pasa por el es I g, la corriente en la resistencia en derivación será I sh. Entonces la aplicación de la primera ley de kirchhoff nos da

 I  I g  I sh

(7.48)

Como a resistencia en derivación “shunt” y el galvanómetro están en paralelo, entonces las deferencias de  potenciales en estos elementos serás

V g  I g Rg 

(7.49)

V sh  I sh Rsh

(7.50)

15

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Figura 7.26.

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I ntensidades nt ensidades de cor cor r i ente en en l os elementos del del am perímetro metr o constru i do.

Igualando estas diferencias de potencial se obtiene

 I sh 

 R g   R sh

I g 

(7.51)

Al remplazar esta ecuación en la intensidad de corriente total se tiene

 I  I g 

 R g   R sh

 Rsh   Rsh  Rg    

I g  I g   I  

(7.52)

De esta ecuación se deduce que cuanto menor es la resistencia del shunt tanto menor será la fracción de intensidad de corriente I que pase por el galvanómetro. Para que la intensidad de corriente Ig del instrumento G sea 1/n parte de la intensidad de corriente I se tiene

 I g   I / n 

  Rsh   I   n  R sh  R6 

 I 

 R sh 

 R g  n 1

(7.53)

8.3. El voltímetro Permite medir diferencias de potencial de los elementos. Se instala en paralelo con el elemento cuya diferencia de potencial se desea medir como se muestra en la figura 7.27a. También es necesario tener en cuenta la polaridad del instrumento. El voltímetro ideal tiene una resistencia infinita que impida que sobre el pase una corriente muy pequeña de tal manera que no influya en la medida de la ddp. Cuando se usa un galvanómetro como voltímetro es necesario necesario colocarle una resistencia grande en serie a fin de disminuir el  paso de la corriente (véase la figura 7.27b).

Figura 7.27.

(a) I nstalación de un voltímetro en un ci rcu ito y (b) in stalación stalación de un galvanómetro para  medir medir voltajes voltajes en en u n cir cuito.

Cuando se mide con este instrumento una ddp, por ejemplo la ddp en los extremos de R de la resistencia mostrada en la figura 7.28, tenemos

16

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

V  V2  V 1

(7.54)

Si se quiere una sensibilidad tal que la ddp en R produzca desviación completa de la escala

V R  ( Rs  Rg ) I g   

(7.54)

Debido a que la resistencia de protección es mucho mayor que la del galvanómetro (  Rs >> Rg ), ), se tiene

 R s 

V R  I mas

 Rg  

V R I mas

(7.55)

La resistencia equivalente del voltímetro será

 Re 

 R( R s  Rg  )  R  R s  Rg



RRs R  Rs

(7.56)

Cuando la resistencia del elemento cuya diferencia de potencial va a ser medida es mucho menor que la resistencia del voltímetro construido, se tiene

 Req  R

(7.57)

8.4. El puente de Wheatstone. Es un circuito especial representado en la figura 7.28, utilizado para medir resistencias desconocidas usando resistencias patrones o calibradas. Para ello se aplica las leyes de kirchooff o las ecuaciones de mallas circulantes para hallar las corrientes. Cuando el puente esta en equilibrio no fluye corriente por el galvanómetro en este caso se obtiene la resistencia desconocida Rx

Figura 7.28.

(a) i nstalación de un vol tímetro constru ido u sando un galvanómetr galvanómetr o para medir la  dif erenci erenci a de potenci potenci al entr e los extr extr emos de una resistencia. resistencia.

Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes se tiene

   R2  I a  I b   Rx  I a  I c   rI a  0

 R1I b  Rg  I b  I c   R2  I b  I a   0  R3 I c  Rx  I c  I a   Rg  I c  I b   0

17

(7.58)

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

Agrupando las ecuaciones para resolverlas se tiene

 r  R2  R x  Ia  R2 Ib  Rg Ic       R2 I a  ( R1  R2  Rg ) Ib  Rx I c  0

(7.59)

 R x I a  Rg Ib  ( R3  Rx  Rg ) I c  0 Resolviendo dichas ecuaciones se tiene

 I b 

 R2 R3   R2 R x   R2Rg   R x R  g 

  R2 R g   R1R x   R x R2   R x R  g   I c  

(7.60)

La intensidad de corriente que pasa por el galvanómetro será

 I g  I b  I c 

 



 R2 R3  R1Rx 

(7.61)

Cuando el puente se encuentra en equilibrio la corriente que fluye a través de dicho instrumento es nula. Por lo tanto

 R2 R3  R1R x  0  R x 

 R2  R1

R3

(7.62)

(7.63)

8.5. El potenciómetro El potenciómetro es un circuito que permite determinar fuerzas electromotrices de baterías, pilas, etc, comparándolas con fems patrones. La batería E 1cuya fem es ε1 es mayor que la fem εx .

Figura 7.29.

Cir cui to denomi denomi nado potenci potenci ómetro uti li zado para determi determi nar fems de desconocidas. sconocidas.

Para determinar la fem desconocida εx se procede de la s iguiente manera: Se conecta el conmutador S a la f em ε0 y se ajustan los terminales deslizantes T y T’ hasta que no flu ya corriente a través del galvanómetro. Si en esta posición la resistencia entre T y T’ es R 1, entonces la diferencia de potencial entre T y T’ será

VTT '  R1I 1 18

Física General III



CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

Aplicando la ley de Kirchhoff a la malla I, se obtiene

 I1R ' 1  I1R ''  0  ( R ' R '') I 1   1 

(a)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla II, nos permite obtener 

 R2 I 2  R1 ( I 2  I 1 )   0  0 

Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula ( I 2 = 0  ), la ecuación se reduce a ),

 R1I 1   0 

(b)

Combinando las ecuaciones (a) y (b) se obtiene

  1     0   R ´ R ''  

 R1  

(c)

A continuación se pasa el conmutador S a la posición (2) y se repite el procedimiento, es decir, se ajusta el terminal deslizante hasta que no fluya corriente por el galvanómetro. Si en esta posición la resistencia la resistencia entre T y T’ es R 2, la diferencia de potencial es

VTT '  R2 I 1 

La aplicación de la ley de Kirchhoff a la malla I y II nos da

 I1 R ' 1  I1R ''  0  ( R ' R '') I 1   1  R g I 2  R2 ( I 2  I 1 )   x  0 

Debido a que la corriente en el galvanómetro es nula (I 2 = 0), la ecuación se reduce a

 R2 I 1   x 

(d)

(e)

Combinando las ecuaciones (d) y (e), resulta

  1     x   R´ R '' 

 R2  

De las ecuaciones (c) y (f) se tiene

  x  0

19



R2  R1

(7.64)

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

20

Optaciano Vásquez García

Física General III

I X.

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

R  1  1 = 1  y R  2  2 = 2  entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A . Cuando entre los terminales se conectan las dos resistencias en  paralelo circula a través de la pila una corriente de de la pila y su 6 A . Determine la fem correspondiente resistencia interna r .

PROBLEM PROBLEM AS RESUEL RESUEL TOS 

Probl ema 01  Una pila de fem = 1,06 V y resistencia interna r = 1,8  tiene una resistencia R = 6  conectada entre sus terminales. Determine: (a) la diferencia de potencial existente entre los terminales de la  pila, (b) la corriente en el circuito y (c) la potencia disipada en la pila.

Solución  En la figura se muestra el circuito cuando se instalan las dos resistencias en serie con la pila.

Solución  En la figura se muestra el diagrama del circuito.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene

V   Vr  VR  VR   0 1

   rI1  R1I1  R2 I 1   0    r (2 A)  1(2 ( 2 A)  2(2 A)

Parte (b) Primero se determina la intensidad de corriente en el circuito, para esto se aplica la segunda ley de Kirchhoff. Es decir,

   2 r   6

V   V R  V r   0    RI  rI   0  I  

 

 R  r 



2

(1)

En la figura se muestra el circuito cuando las dos resistencias son conectadas a los extremos de la  pila pero ahora la conexión es es en paralelo.

1,06 V  6   1, 8 

 I  0,136 A Parte (a)  Diferencia de potencial en los extremos de la pila

Va  rI     Vb   Vb  Va     rI  1, 06 06 V  1, 8 (0,136 A) Vb  Va  0,815 V 

Las resistencias R 1 y R 2 se encuentran en paralelo  por tanto su resistencia equivalente será

Parte (c). Potencia disipada por la pila. Esta  potencia se disipa en la resistencia interna (calentamiento de la pila).

 Re 

 P  rI 2  1,8 (0,136 A) 2

 R1R2  R1  R2



1(2 ) 1  2

2

  3

(2)

En la figura se muestra el circuito equivalente en donde se indica las polaridades en cada uno de los elementos.

 P  33,29 W  Probl ema 02  Una pila de fem tiene una resistencia interna r . Cuando se conectan en serie dos resistencias de 21

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

En el nudo b, la corriente se divide en I be e I bd. Esto es

 I ab  I be  I bd  I  2

e

 I 

   Re I 2  rI 2  0 3

2

(6 A)  r (6 A)  0    6 r   4

(2)

 I ac  I cd  I ce

V   V R  V r   0 2

  I be  I bd  

En forma análoga la corriente I ac en el nudo c se divide en dos corrientes

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se tiene

  

 

  I cd  I ce

(3)

Por razones de simetría se tiene

(3)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (3) resulta

 I bd  I cd  

(4)

 I be  I ce

(5)

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d, se tiene.

r   0,5 0, 5     7 V 

 I de  I bd  I cd

Probl ema 02 

(6)

 

Remplazando la ecuación (4) en (6) resulta

En la red indicada todas las resistencias tienen el mismo valor  R  . La corriente I entra en el nudo a y sale por el nudo e  . Halle las corrientes en las ramas . ab, bd y be 

 I de  I bd  I bd  2 I bd

 

(7)

La diferencia de potencial entre los punto be se  puede calcular por la rama be o por la rama bde  , es decir.

Vbe  RI be

(8)

Vbe  Vbd  V de Vbe  RI bd  RI de  RI bd  2I bd    Vbe  RI Vbe  3I bd  

Solución 

Igualando las ecuaciones (8) y (9), resulta

El circuito presenta una simetría respecto a la línea . ade 

 I be  3I bd

La corriente que entra en el nudo a se reparte por  igual por las ramas ab y ac  . Es decir por cada una de estas ramas pasa una corriente

 I ab  I ac 

 I  2

(9)

(10)

 

Remplazando la ecuación (10) en (2)

 I 2

(1)

  I bd  3I bd  I bd  

I  8

(11)

La sustitución de la ecuación (11) en la ecuación (10) nos da 22

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

V6V  V3  V R  0 6V  3 ( I1 )  Lecturavoltimetro  0 6 V  3 ( I1 )  5 V   0

3  I    I    I be  3    I be  8 8 Probl ema 03 

 I1 

Para el circuito mostrado en la figura. Las lecturas del voltímetro indica 5,00 V  mientras que el amperímetro indica 2,00 A y la corriente fluye en la dirección indicada. Determine: (a) El valor de la resistencia R y (b) el valor de la  fem .

1 3

A

(3)

Remplazando la ecuación (3) en (1) resulta

2 A 

1 3

A  I2  I2 

7 3

A

(4)

Cálculo de R. De la lectura del voltímetro se tiene

V R  I 2 R 7 5 V  [ A]( R )  R  2,14  3 Problema Pr oblema 04  04  Para el circuito mostrado en la figura. (a) Encuentre la diferencia de potencial entre los puntos a y b. (b) si laos puntos a y b están conectados p or un cable con resistencia despreciable, encuentre la corriente en la batería de 12 V

Solución  En la figura se muestra el sentido de las corrientes escogidas y las polaridades en las resistencias.

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo d se tiene

Solución

 I A  I1  I 2

2 A  I1  I 2

Part e a. a. En la figura se muestra el sentido de la corriente y las polaridades en las resistencias. Observe que como los puntos a y b no se encuentran en contacto por esa línea no habrá flujo de corriente

(1)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcefga se tiene

V   V10  V2  V R   0    10( I A )  2 I A  LecV   0    10 (2 A)  2( 2(2 A)  5 V   0    29 V 

(2)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla defgh se tiene Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla cdefc se tiene 23

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

 I1  0,465 A

V12V  V1  V2  V2  V1  V8V    V2    V1   0

 I 2  0,430 A

12V  1 I  2 I  2 I 1 I  8V  2 I 1 I  0

 I 3  0,020 A

4 V  9( I )

 I  0,44 A

Es decir la corriente que pasa a través de la batería de 12 V es I 1 = 465 mA.

(1)

Aplicando el Teorema de la tr ayectoria se tiene

Problema Pr oblema 05  05 

Va  2 I  1I  8V  2I  3(0)  10V  1(0)  Vb   44)  2V Va  Vb  5I  2V  5(0, 44

Optaciano Vásquez García

 

Va  Vb  0,22 V 

En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las corrientes I 1, I2 e I3; (b) la diferencia de potencial entre los puntos A y B y (c) la potencia disipada en la resistencia de 5 . Desprecie las resistencias internas de las baterías.

Part e B . Cuando los puntos a y b se encuentran conectados por un alambre se tiene el circuito siguiente.

Solución  Parte (a). Para resolver el problema se usa las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell. Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo a se tiene

Malla I.

24V  6 I1  5( I1  I 2 )  13(I1  I 3 )   0

 I1  I 2  I 3

24  24 I1  5I 2  13I 3  0

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcda se tiene

24 I1  5I 2  13I 3  24

12V  1I1  2I1  1I 3  10V  3I 3  1I1   0

Malla II.

2V  4 I1  4 I 3

10V  3I 2  5( I 2  I1 )  2(I 2  I 3 )   0

2 I1  2I 3  1

10  5 I1  10I 2  2I 3  0 5 I1  10 I 2  2I 3  10

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla abcda se tiene Malla III.

10V  1I 3  2 I 2  1I 2  8V  2 I2  3I 3   0

30V  2( I 3  I 2 )  13( I 3  I1 )  20I 3   0

5 I 2  4 I 3  2

30  13 I1  2I 2  35I 3  0 13 I1  2 I 2  35I 3  30

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene

Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta

24

Física General III

 I1 

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

24 5

13

10 10

2

30

 2 35

24 5 5 10

 I 2 

 2 35

24

24 24

13

5

10

2

13 30

25

24 5

13

13

 0,382 A

 0,963 A Solución 

2

Parte (a). Corriente inicial. En este caso el capacitor  se comporta como un conductor pues no tiene resistencia. El circuito entonces queda en la forma

 2 35

24 5

13

5

10

10

13

 2 30

24 5 5 10 13

cerrado el interruptor. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente después de un largo tiempo del cierre del interruptor S. (c) Si el interruptor ha estado cerrado durante un tiempo largo y luego se abre, determine la corriente en función del tiempo que pasa a través del resistor de 600 k 

2

13

5 10

 I 3 

13

Optaciano Vásquez García

13

 0,770 A

2

 2 35 Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, se tiene

Parte (b). Determinación de la diferencia de  potencial entre A y B. para eso se usa el teorema de la trayectoria. Esto es

50V  1, 2.106 I 0  0  I 0  4,17.105 A

V A  20 I 3  30V  VB  

Parte (b) Cálculo de la corriente en régimen estacionario. El capacitor después de un tiempo largo se carga completamente y por la rama donde se ubica no fluye corriente. Entonces el circuito se dibuja en la forma

V B  VA  30V  20(0 (0, 77 77 A) V B  VA  15,4 V  Parte (c). Para determinar la potencia disipada en R = 5, se determina primero la intensidad de corriente en dicho resistor.

 I 5  I1  I 2  0,38 ,382 A  0,96 ,963 A  I 5  1.345 A  P5  I 52 R5  (1.34 .345 A) 2 (5 (5)  P5  9,05 W  Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene

50V  1, 2. 2.10 6 ( I  )  0, 0, 6.10 6 ( I  )  0

Probl ema 06 

50V  1, 8.10 6 ( I  )

En el circuito eléctrico mostrado en la figura. ¿Cuál es la corriente eléctrica inicial suministrada por la fuente inmediatamente inmediatamente después de

 I   2,78.105 A 25

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Se procede a determinar el voltaje y la carga en el capacitor 

Optaciano Vásquez García

si el amperímetro marca 6 A ?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R 2 = 30 Ω.

VC  V R 600k  VC   I  ( R )  2, 78 78.10 5 A(600.10 3 ) VC   16,68 V  Qmax  VC (Cc )  16, 68 68V (2, 5. 5.106 F )   Qmax  41,70 F  Parte (c). Al abrir el interruptor S el condensador  cargado completamente se descarga a través del resistor R = 600 k . Por tanto se tiene

Solución  En la figura se muestran las corrientes y las  polaridades en las resistencias.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se tiene

VC  VR  0  q C

 R(

dq dt



Qmax

q



 RI   0

C  dq

) 0

dq

q

q



q

1 RC 

dt dt   RC  

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo se tiene

t 

 dt  0

 I A  I1  I 2

 q  t   RC   Qmax  q  Qmax e  t / RC 

6 A  I1  I 2

ln 

Las resistencias R 1 y R 2 se encuentran en paralelo  por lo que sus diferencias de potenciales entre sus extremos serán iguales. Es decir 

q  [ 41, 70 70e  t /1,5 ] F 

V R  VR  R2 I 2  R1I 1   2

30 I 2  60 I 1

La intensidad de corriente será

 I  

dq dt



d 

[41, 70e dt  

1

 t /1,5

 I 2  2 I 1

] F 

Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se tiene

   I  2,78.10 5 e t /1,5 A

6 A  I1  2 I 1  I1  2 A

Probl ema 07  La potencia eléctrica disipada en la espiral R 1 es

El calorímetro K tiene una espiral de resistencia R 1 = 60 Ω. La espiral R 1 se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se calentarán 480 g  de agua con que se llena el calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente,

 P1  I12 R1  (2 A) 2 (60)  P1  240 W  26

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

200V  R1 ( I a  I b )  R2 ( I a  I b )  rI a    0

La energía disipada en la espiral será

200  ( R1  R2  r ) I a  ( R1  R2 )  0

 E p  240 t  (240 J / s )(300 s )

5015 I a  5000I b  200

 E P   720 7200 J  0, 24(72 (7200) 00) cal   E P   17280 J 

Malla b.

 R3 I b  R2 ( I b  I a )  R1 (I b  I a )  R4I b  0 ( R1  R2 ) I a  (R1  R2  R3  R 4 )I b  0 5000 I a  10000 I b  I a  2 I b

En el caso de que se deprecien las pérdidas de energía, esta energía es utilizada en el calentamiento del agua. Es decir,

Q  E  P  mwce , w T  17280 J  

Resolviendo simultáneamente anteriores resulta

480 g (1cal / g .C ) T  17280 J 

T  36C 

las

ecuaciones

5015(2 I b )  5000 I b  200  I b  0,039 A

Probl ema 08  En la figura se muestran dos voltímetros V 1 y V2 cuyas resistencias son R 1 = 3 k  y R 2 = 2 k , respectivamente, Sabiendo que R 3 = 3 k ; R 4 = 2 k ;  = 200 V y r = 15 . Determine las lecturas las lecturas de los voltímetros así como del amperímetro de resistencia despreciable cuando: (a) el interruptor S se encuentra abierto y (b) el interruptor S se encuentra cerrado.

 I a  0,079 A La lectura del voltímetro V 1 será

V1  ( I a  Ib ) R1  [0, 07 079 A  0, 039 A](3000) V1  120 V  La lectura del voltímetro V 2 será

V2  ( I a  Ib ) R1  [0, 07 079 A  0, 03 039 A](2000) V1  80 V  Parte (b) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra cerrado. Es decir, el circuito se grafica en la forma mostrada en la figura

Solución  Parte (a) Determinación de las lecturas de los medidores cuando S se encuentra abierto. Note que los voltímetros tienen resistencias considerables comparadas con las dos resistencias R 3 y R 4.

Uniendo los puntos de igual potencial se observa que R 1 se encuentra en paralelo con R 4 de igual forma los resistores R 2 y R 3 están en paralelo. Entonces sus resistencias equivalentes serán Aplicando las ecuaciones de mallas circulantes de Maxwell, se tiene 27

Física General III

 Re ,1   Re ,2 

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

 R1R4  R1  R4  R2 R3  R2  R3

 

3000(2000) 3000 3000  2000 2000 2000(3000) 2000 2000  3000 3000

 1200   1200 

Aplicando las leyes de Kirchhoff 

200V  (1200 120 1200 15) 15) I  A  I A  0,083 A Las lecturas de los voltímetros serán

V1  Re.1I A  1200(0,08 (0,083 3 A)  99,6 V

 

V2  Re.2 I A  1200(0,08 (0,083 3 A)  99,6 V

 

Probl ema 08 

28

Optaciano Vásquez García

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CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

1. Una batería de fem ε = 9 V  y resistencia interna

Optaciano Vásquez García

6. El amperímetro que se muestra en la figura da una

r = 1,8 Ω tiene una resistencia  R = 60 Ω conectada entre sus terminales. (a) Hallar la diferencia de  potencial existente entre las terminales de la  batería, (b) la corriente que fluye en el circuito y (c) la potencia disipada e la batería.

lectura de 2 A. A. Determine I 1, I2 y ε.

2. Una pila de fem ε tiene una resistencia interna r . Cuando se conecta en serie dos resistencias de 1 Ω y 2 Ω entre los terminales de la pila circula una corriente de 2 A. Cuando entre los terminales se conecta las dos resistencias en paralelo circula a través de la pila una corriente de 6 A. Halle la fuerza electromotriz ele ctromotriz ε y la resistencia interna de la  pila.

7. Una batería de 6 V  suministra corriente al circuito que se muestra en la figura. Cuando el interruptor  de doble posición S está abierto como se muestra, la corriente en la batería es de 1 mA. mA. Cuando el interruptor  S  se cierra a la posición 1, la corriente en la batería es 1,2 mA. mA. Cuando el interruptor se cierra a la posición 2 la corriente en la batería es 2 mA. mA. Determine las resistencias R 1, R 2 y R 3

3. Tres pilas cada una de fem ε = 1,5 V  y una resistencia interna r = 1,4 Ω se conectan en serie entre los terminales de una batería desconocida de fem ε2 y resistencia interna r 2. Sabiendo que la resistencia total de los conductores es de 0,3 Ω. La corriente observada en el circuito es 1,17A. 1,17A. Cuando se invierten las conexiones a los terminales de la  batería, se observa que la corriente es 0,26 A en sentido opuesto. (a) ¿Cuál es la fem de la batería?, (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería con las conexiones originales?, (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los terminales de la batería después de invertir  las conexiones?.

4. Considere el circuito que se muestra en la figura.

8. Una

tetera eléctrica tiene un interruptor  multiposición y dos bobinas calefactoras. Cuando sólo una de las bobinas está conectada, la tetera,  bien aislada, hierve toda su capacidad de agua en un intervalo de tiempo Δt  Δ t . Cuando sólo se encuentra conectada la segunda bobina, es necesario un intervalo de tiempo 2Δ t , para hervir la misma cantidad de agua. Determine el tiempo que se requiere para hervir el líquido cuando ambas  bobinas están conectadas: (a) en serie, (b) en  paralelo.

Determine: (a) la corriente en el resistor de 20Ω 20Ω y (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b  .

9. En la figura se muestra una red infinita de 5. Tres resistores de 100 Ω están conectados como se

resistores. Cuál es la resistencia equivalente entre los bornes a y b.

muestra en la figura. La potencia máxima que  puede ser entregada sin riesgo a cualquiera de los resistores es de 25 W . (a) ¿Cuál es el voltaje máximo que se puede aplicar a los terminales a y ?. (b) para el voltaje determinado en el inciso (a), ?. b  ¿Cuál es la potencia entregada a cada resistor?, ¿Cuál es la potencia total entregada?.

10. Sabiendo que la intensidad de corriente en la resistencia de 13,8 Ω. Determine las intensidades de corriente en las demás resistencias 29

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

14. En el circuito mostrado determine la corriente I 1, I2 e I3

15. En cada una de las disposiciones mostradas en la

11. En el circuito indicado en la figura la lectura del

figura, encuentre la resistencia equivalente.

amperímetro es la misma cuando ambos interruptores están abiertos o ambos están cerrados. Determine el valor de la resistencia R.

16. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye a través de cada una de las fuentes, (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b.

12. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) las intensidades de corriente en R 1, R 2, R 3; (b) la potencia liberada en la resistencia R 6. R1

R2

2

700Ω

900Ω

3

1 V1 125 V

R3

R4

1.1kΩ

1.4kΩ

V2 150 V

6

4 R5

5

400Ω

R6 200Ω

17. En el circuito eléctrico mostrado en la figura.

13. En el circuito eléctrico mostrado en la figura.

Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye a través de las resistencias de 4 Ω y 6Ω, (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) la potencia disipada en cada resistor.

Determine: (a) las intensidades de corriente en cada una de las resistencias, (b) la potencia liberada en la resistencias R 4 y R 2 y (c) el potencial eléctrico del nodo 4 R1

R2

4

400Ω

300Ω

3

R3

5

150Ω

1 17 V

V2

115 V

V1

V3

6

R4

600Ω

R6

95 V

800Ω

18. En el circuito eléctrico mostrado en la figura.

0

Determine la resistencia equivalente.

30

Física General III

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

Optaciano Vásquez García

23. En el circuito mostrado en la figura, determine el valor de R de  R para que por ella pase una corriente de 2  A.  A.

19. Determine la caída de tensión y la potencia

24. Determine la potencia disipada en la resistencia  R

disipada en el resistor de 20Ω del circuito mostrado.

de la figura si ésta toma los valores de: 3, 5, 7, 15 y 20 Ω.

20. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a)

25. En el circuito mostrado determine: (a) La potencia

La caída de tensión y la potencia disipada en el resistor de 5 Ω y (b) la potencia entregada por la fuente de tensión.

entregada por la fuente, equivalente del circuito.

(b)

la

resistencia

26. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la  potencia suministrada por la cada fem y (c) la  potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos.

21. Determine el valor de R para que la batería entregue una potencia de 50W .

27. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la  potencia suministrada por la cada fem y (c) la  potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) la diferencia de potencial entre los  puntos a y b

22. Determine la intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito mostrado en la figura.

31

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CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

28. El amperímetro instalado en el circuito indica

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mostrada en la figura. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente en cada resistencia si  R es 10 Ω y una diferencia de potencial se aplica entre los bornes a  y b  ?. ?.

300 mA. mA. Determine: (a) la resistencia interna r de la fuente, (b) la lectura del voltímetro y (c) la intensidad de corriente en la resistencia de 4 Ω.

32. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente en cada una de las resistencias, (b) la diferencia de potencial entre los  puntos A y B y (c) ¿Cuál de los puntos se encuentra a mayor potencial A o B?.

29. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la  potencia suministrada por la cada fem, (c) la  potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los  puntos indicados si el punto a está conectado a tierra.

33. En el circuito eléctrico determine las intensidades de corriente I 1, I2 e I3.

30. En el circuito mostrado en la figura, determine: (a) la corriente en cada una de las resistencias, (b) la  potencia suministrada por la cada fem, (c) la  potencia disipada en cada uno de los elementos resistivos y (d) los potenciales en cada uno de los  puntos indicados si el punto a está conectado a tierra.

34. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye a través de las batería, (b) la diferencia de potencial entre las terminales de las baterías de 1,5 Ω y 2Ω, respectivamente y (b) las intensidades de corriente que fluyen en las resistencias R 3, R 4 y R 6. R6 150Ω

R4 100Ω

5

6

R3 50Ω

R7

80Ω

1

r1 1.5Ω

31. (a) Utilizar los argumentos de simetría para determinar la resistencia equivalente de la red 32

V1 3

2 25 V

r2 2Ω

V2 4 50 V

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35.  Nueve resistencias de 10 Ω cada una se conectan

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conectaran los bornes A y C?. La temperatura inicial del agua es la misma en ambos casos. Desprecie las pérdidas térmicas.

como se muestra en la figura y se aplica una diferencia de potencial de 50 V entre V  entre los puntos a y  b. Determine: (a) la resistencia equivalente de esta red, (b) la intensidad de corriente en cada una de las nueve resistencias.

40. El calorímetro K tiene una espiral de resistencia  R1 = 60 Ω. La espiral se conecta a la red como se muestra en la figura. ¿A cuántos grados se calentarán 480 g de agua con que se llena el calorímetro, durante 5 minutos de fluir la corriente, si el el amperímetro marca marca 6 A?. Desprecie la resistencia del generador y del amperímetro y considere que R que R2 = 30 Ω.

36. En el circuito determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B

37. En el circuito mostrado determine la lectura de los amperímetros ideales.

41. En la figura ε es una batería de 120 V de V  de fem, R fem,  R2 = 10 Ω, B es una tetera eléctrica. El amperímetro marca 2 A. ¿Cuánto tiempo tarda en hervir  0,5 litros de agua en la tetera, hallándose a la temperatura inicial de 4°C ?. ?. Se desprecian las resistencias de la batería y del amperímetro. El rendimiento del hornillo de la tetera es de 76%.

38. En el circuito mostrado la resistencia interna de la fuente de tensión es 1Ω. Determine las indicaciones del amperímetro y el voltímetro ideales.

42. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. 39. En un hornillo eléctrico las resistencias están

Determine: (a) el valor de la resistencia R, (b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b y (c) la potencia liberada en el resistor R.

conectadas según el circuito mostrado. Cuando se conectan los bornes A y B a una red, hierven 500 g  de agua luego de cierto tiempo. ¿Qué cantidad de agua se puede puede hervir durante el mismo tiempo si se 33

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CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA

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46. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) La intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito y (b) los potenciales de cada uno de los  puntos indicados

43. En la figura ε es una batería con una fem de 110 V , K es un calorímetro con 500 g  de kerosene. El amperímetro marca 2 A y el voltímetro 10,8 V . (a) ¿A qué es igual la resistencia de la espiral?. (b) ¿Cuál es el calor especifico del kerosene, si a los 5 min de fluir la corriente por la espiral R 1 el kerosene a calentado 5°C ?. ?. Considere que en el calentamiento del kerosene se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. (c) ¿Cuál es el valor de la resistencia en el reóstato R?. Desprecie la resistencia del la fuente y del amperímetro y el voltímetro tiene una resistencia infinita.

47. El amperímetro instalado en el circuito indica una intensidad de corriente de 1 A. determine el valor  de la fem ε y la intensidad de corriente que fluye en los demás resistores.

48. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, se desprecian las resistencias internas de las baterías. Determine: (a) las intensidades de corriente en cada una de las resistencias y (b) la potencia disipada e la resistencia de 4 Ω.

44. En el circuito ele´ctrico mostrado en la figura. Determine las lecturas del amperímetro y del voltímetro. voltímetro. Cada una de las resistencias son de 2 Ω

49. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura está inicialmente descargado. Si en el instante t = 0 el interruptor S es cerrado, encuentre: (a) la carga sobre el capacitor y (b) la corriente en el circuito circuito un tiempo (τ = RC ) después de ser conectada la  batería.

45. El interruptor S del circuito RC mostrado en la figura se cierra en el instante t = 0 s. Encuentre la carga sobre el capacitor en el tiempo t = 4,2 ms.

S 1

S 2

V

Key = A

R1 1.5kΩ

1

Key = A

3 E

C1

12 V

2

4

34

120Ω

3 C

9V

25uF

4

R

45uF

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50. En el circuito mostrado en la figura. Determine: (a)

54. La figura muestra un circuito simplificado para una

la intensidad de corriente proporcionada por la  batería, (b) la diferencia de potencial entre los extremos del capacitor y (c) la carga almacenada en el capacitor.

unidad fotográfica con flash. El circuito consiste de una batería de 9,00 V, un resistor de 50 kΩ, un capacitor de 140 μF, un bulbo flash y dos interruptores. Inicialmente el capacitor se encuentra descargado y los dos interruptores están abiertos. Para cargar la unidad, el interruptor S 1 es cerrado;  para encender el flash, el Interruptor S 2 (El cual es conectado a la cámara) es cerrado. ¿Cuánto tiempo le toma a la carga alcanzar 5 V en el capacitor?.

51. Si ε = 40 V, R 1 = 80 Ω, R 2 = 60 Ω, R 3 = 40 Ω y el capacitor C = 4 μF está inicialmente descargado. Si en t = 0 se cierra el interruptor. Determine: (a) la intensidad de corriente en cada resistor  inmediatamente después de cerrar el interruptor y (b) la carga final en el capacitor.

55. En el circuito mostrado en la figura, suponga que el interruptor se encuentra abierto por un período de tiempo muy grande. Considerando que ε = 10 V, R 1 = 50 kΩ, R 2 = 100 kΩ y C = 10 μF. Si en el instante t = 0 dicho interruptor es súbitamente cerrado. Determine: (a) la constante de tiempo capacitiva antes de cerrar el interruptor, (b) la conste de tiempo capacitiva después de cerrar el interruptor y (c) la corriente que fluye por el interruptor como función del tiempo después de que el interruptor es cerrado.

52. Considere el circuito RC mostrado en la figura. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. Encuentre: (a) La constante de tiempo para el circuito, (b) la máxima carga sobre el capacitor y (c) la corriente inicial en el circuito.

56. Considere el circuito RC mostrado en la figura. Determine: (a) La constante de tiempo y (b) la corriente inicial para este circuito (c) se desea incrementar la constante de tiempo de este circuito mediante el ajuste del valor de la resistencia de 6,5 Ω. Podría la resistencia de éste resistor  incrementarse o disminuirse para lograr el objetivo trazado. Explique

53. En el circuito mostrado en la figura. Determine la intensidad de corriente en cada resistor y la carga en cada uno de los capacitores después de un tiempo largo de que el interruptor S ha sido: (a) abierto y (b) cerrado.

57. El circuito mostrado en la figura inicialmente se encuentra con ambos interruptores abiertos y los 35

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60. Suponga que la batería del circuito mostrado en la

capacitores se encuentran completamente descargados. Asumiendo que la resistencia interna de la fuente de 50 V  es despreciable. (a) ¿Cuál es la corriente de la batería inmediatamente después de cerrar S 1 manteniendo S 2 abierto?. (b) ¿Cuál es la corriente después de un tiempo largo de cerrar el interruptor S 1 y mantener S 2 abierto?. (c) ¿Cuál será las cargas en los capacitores M y N en estas condiciones?. (d) Si ahora se cierra el interruptor S 2, ¿Cuál será las cargas sobre los capacitores M y N en régimen estacionario?.

figura tiene una resistencia interna de 0,75 Ω. (a) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los extremos de la batería cuando el interruptor se encuentra abierto?, (b) ¿Cuando el interruptor es cerrado la diferencia de potencial en la batería incrementará o disminuirá?. Explique. (c) Encuentre la diferencia de potencial en los extremos de la batería después de un tiempo largo después de haber sido cerrado el interruptor. S 2

3 Key = A

R1

11Ω

45uF

C

R2

5.6Ω

E 1

9V

4

58. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura

61. Un circuito está formado por un dínamo de 500 V

se encuentra inicialmente descargado. Determine: (a) la corriente inicial de la batería inmediatamente después de cerrar el interruptor S; (b) La corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo y (c) el voltaje máximo a través del capacitor.

de fem y 0,75 Ω de resistencia interna , la línea de 1000 m de longitud, 4 mm de diámetro y 1, 75 μΩ cm de resistividad; Además hay n  lámparas de incandescencia instaladas en derivación de 60W y 240 Ω cada una. Determine: (a) el número de lámparas; (b) la caída de tensión en la línea y (c) el rendimiento del generador.

S 2 1

E

Key = A 120 V

3

R1

62. El capacitor del circuito RC mostrado en la figura

1.2MΩ

R2

600kΩ

C

inicialmente se encuentra descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor S. (a) Determine la corriente estacionaria a través de la batería después de transcurrido un largo tiempo, (b) determine la diferencia de potencial entre los bornes del capacitor, (c) si la batería se desconecta del circuito abriendo nuevamente el interruptor S, determine la corriente en función del tiempo, (d) ¿Cuánto tiempo tardará el capacitor en descargarse hasta que la diferencia de potencial a su través sea de 1,00 V.

470uF

4

59. En el circuito mostrado en la figura, el interruptor  K es inicialmente cerrado y S está abierto. (a) Encuentre la diferencia de potencial entre los  puntos a y b; (b) Posteriormente S es también cerrado, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los  puntos a y b?; (c) Si ahora K es abierto y S sigue cerrado, ¿cuál es la constante de tiempo para la descarga del capacitor?, ¿Cuál es la corriente y la carga en función del tiempo?. Considere que la  batería tiene un resistencia interna 1 Ω

63. El capacitor del circuito mostrado en la figura se encuentra inicialmente descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la corriente inicial en la batería inmediatamente después de cerrar el interruptor S?. (b) ¿Cuál es la 36

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corriente de la batería un tiempo largo después de cerrar el interruptor S?. (c) ¿Cómo varía la intensidad de corriente en la resistencia de 600 Ω en función del tiempo, después de abrir el interruptor S?.

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S?. (c) si después de haber mantenido el interruptor  cerrado por un tiempo grande, se abre éste determine la intensidad de corriente en función del tiempo que pasa a través de la resistencia de 60 kΩ.

67. En el circuito mostrado en la figura, el interruptor  es cerrado en el instante t = 0. Determine los valores numéricos de las siguientes cantidades: (a) la diferencia de potencial potenci al en el capacitor en t = ∞; (b) la diferencia de potencial en el capacitor en t = 2τ; (c) la i ntensidad de corriente que pasa por R 2 en t = 0 y (d) la constante de tiempo capacitiva.

64. En el circuito de la figura el capacitor tiene una capacitancia de 2,5 μF y la resistencia es de 0,5 MΩ. Antes de cerrar el interruptor, la caída de  potencial a través del capacitor es 12 V, como se indica. Si el interruptor S se cierra en t = 0. (a) ¿Cuál es la corriente en R inmediatamente después de cerrar S?. (b) ¿Para qué tiempo el voltaje a través del capacitor es de 24 V?.

J1A 2 Key = A

R1

R2

3

150Ω

50Ω

1

6 R3 150Ω

V1 150 V

R4 50Ω

4 C1 3mF 5

65. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, el

68. En el circuito mostrado en la figura el interruptor 

interruptor es cerrado en t = 0. (a) determine la carga en el capacitor en t = ∞, (b) la diferencia de  potencial en el capacitor cuando t = 1,5τ, (c) la corriente en R 1 en t = 0 y (d) la constante del tiempo capacitiva del circuito.

ha estado abierto por mucho tiempo. Si en el instante t = 0 es cerrado. Determine: (a) la corriente en R 3 después de un tiempo t = 1,25 τ después de cerrado el interruptor; (b) la intensidad de corriente en R 2 en t = ∞; (c) usando las leyes de kirchhoff  encuentre la constante de tiempo capacitiva para cargar el capacitor.

1 R1

J1A

150Ω

J1A

3 Key = A

V1 55 V

5 R1

7

Key = A

R3 125Ω

R2 175Ω

R3

2

1.5kΩ

750Ω

3

1 V1 375 V

4 C1 250pF

2

R2 2.5kΩ

C1 1.5uF

0

66. En el circuito RC mostrado en la figura el capacitor 

69. Para el circuito mostrado en la figura. En el instante

de 62 μF se encuentra inicialmente descargado cuando el interruptor S se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la intensidad de corriente inicial suministrada por la batería inmediatamente después de cerrado el interruptor S?, (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la batería después de un tiempo muy largo de haber cerrado

t = 0 s el interruptor S está cerrado y en el instante t  = 2 s está abierto. (a) Represente gráficamente el voltaje a través de C y la corriente a través de la resistencia de 5 MΩ entre t = 0 s y t = 10 s. (b) Determine el voltaje a través del capacitor en los tiempos t = 2 s y t = 8 s. 37

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73. En el circuito mostrado en la figura determine: (a) La intensidad de corriente en cada una de las ramas del circuito, (b) La carga en cada uno de los capacitores cuando se cargan completamente.

70. Los capacitores del circuito mostrado en la figura están inicialmente descargados cuando el interruptor S se encuentra abierto. Determine: (a) el valor de la corriente inicialmente suministrada por  la batería inmediatamente después de cerrado el circuito, (b) la intensidad de corriente a través de la  batería después de un tiempo muy grande de haber  cerrado S y (c) las cargas finales sobre cada uno de los capacitores.

74. En el circuito mostrado, determine: (a) la intensidad de corriente a través de cada una de las resistencias, (b) la carga sobre cada uno de los capacitores.

71. En el circuito RC mostrado en la figura los capacitores están inicialmente descargados cuando el interruptor K se encuentra abierto. (a) ¿Cuál es la corriente a través de cada una de las resistencias inmediatamente después de cerrado el interruptor  S?. ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de cada resistencia después de un tiempo muy grande de haber cerrado el interruptor?. (c) Cuál es la carga final sobre cada uno de los capacitores?.

75. En el circuito mostrado en la figura la batería tiene una fem de 100 V. ¿Cuál es la lectura del voltímetro si su resistencia interna es de 2 kΩ?. Desprecie la resistencia interna de la batería.

72. En el circuito mostrado en la figura el capacitor  está inicialmente descargado y el interruptor  abierto. Determine: (a) la corriente que pasa a través del resistor de 1000 Ω, justo después de cerrar el interruptor y (b) la corriente en el resitor  de 1000 Ω, 1 hora después de cerrar el interruptor.

76. En el circuito mostrado en la figura la fem de la  batería es de 110 V y V  y su resistencia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro.

38

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81. En el circuito mostrado en la figura, determine la 77. En el circuito mostrado en la figura la fem de la

lectura del amperímetro. Se desprecian resistencias internas de las baterías y amperímetro,

 batería es de 110 V y su resist encia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro.

las del

78. En el circuito mostrado en la figura la fem de la

82. ¡Qué intensidad de corriente marca el amperímetro

 batería es de 110 V y su resist encia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 1 kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro.

de la figura si su resistencia es de 200 Ω. Desprecie la resistencia interna de las baterías.

83. En el circuito mostrado en la figura, determine la lectura del amperímetro. Se desprecian resistencias internas de las baterías y amperímetro.

79. En el circuito mostrado en la figura la fem de la  batería es de 120 V y su resist encia es despreciable. Si la resistencia del voltímetro es de 2 kΩ. Determine la lectura del amperímetro ideal y del voltímetro.

las del

84. En la figura V 1 y V2 son dos voltímetros cuyas

80. Si el voltímetro tiene una resistencia interna de

resistencias internas son R 1 = 3000Ω y R 2 = 2000Ω, respectivamente. Determine las lecturas de los voltímetros y de los amperímetros en los siguientes casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b) el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la resistencia interna de la batería y de los amperímetros

1000 Ω. Determine la indicación de este instrumento cuando se le instala en el circuito tal como se muestra en la figura.

39

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88. Considere que los medidores del circuito mostrado en la figura son perfectos. Determine: (a) La resistencia equivalente, (b) La intensidad de corriente I 1, (c) Las lecturas del amperímetro y del voltímetro y (d) la potencia disipada por la resistencia de 2 Ω.

85. En la figura V 1 y V2 son dos voltímetros cuyas resistencias internas son R 1 = 3000Ω y R 2 = 2000Ω, respectivamente. Determine las lecturas de los voltímetros en los siguientes casos: (a) el interruptor K se mantiene abierto y (b) el interruptor K se encuentra cerrado. Se desprecia la resistencia interna de la batería.

89. En el circuito mostrado en a figura cuando el interruptor K se abre el amperímetro marca 100 mA. Determine: (a) e valor de la resistencia desconocida R (b) la intensidad de corriente en cada una de las resistencias y c) la diferencia de  potencial entre los puntos B y C.

86. En el estado estacionario la carga sobre el capacitor  de 5 μF del circuito mostrado en la figura es de 1000 μC. Determine: (a) la corriente a través de la  batería y (b) los valores de las resistencias R 1, R 2 y R 3.

90. En el circuito RC mostrado  R = 540 MΩ y C = 120  μF . El interruptor es cerrado en t = 0. (a) ¿En qué tiempo alcanzarán el 36% de su máximo valor las siguientes cantidades: (a) la energía almacenada y (b) la potencia liberada en R?.

87. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) la corriente que fluye a través de cada una de las fuentes, (b) la potencia liberada en cada resistor y (c) la energía liberada en el resistor  de 3 Ω en un intervalo de tie mpo de 5 minutos.

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91. En el circuito RC mostrado en la figura, la batería

95. En el circuito mostrado cada uno de los resistores

tiene una fem de 4 V y una resistencia interna de 1Ω. Sabiendo que R 1 = 3Ω y R 2 = 2Ω, C 1 = 2 μF; C2 = 8 μF; C3 = 4 μF; y C 4 = 6 μF. Determine: (a) La intensidad de corriente a través de la resistencia R 1, (b) Las cargas en las armaduras de cada uno de los capacitores después de un tiempo muy grande y (c) la potencia entregada al circuito por la batería.

tienen el mismo valor R = 6 Ω Y la baterí a de resistencia interna despreciable tiene una fem  = 6 . Determine: (a) la resistencia equivalente del sistema, Las corrientes I 1, I2 e I3.

96. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) Las corrientes en cada una de las ramas, (b) La diferencia de potencial entre los  puntos a  y b  y (c) La potencia disipada en la resistencia de 5 Ω.

92. En el circuito mostrado en la figura, determine la diferencia de potencial entre los puntos a y b  .

93. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. la  batería tiene una fem  = 5  y una resistencia interna de  = 1. Las resistencias son R 1 = 3 Ω, R 2 = 4 Ω y R 3 = 2 Ω. Determine las cargas en cada una de las placas de cada uno de los capacitores

97. En el circuito mostrado en la figura el amperímetro ideal indica el paso de una intensidad de corriente de 3A dirigida de a hacia b. Encuentre: (a) la intensidad de corriente que pasa a través de los resistores de 8 Ω y 3 Ω y (b) la lectura del voltímetro ideal.

94. En el circuito RC de la figura se coloca el interruptor  K en  K en la posición A en el instante t = 0 s y después de una constante de tiempo (1τ) se pasa a la posición B. Determine: (a) el régimen transitorio completo de corriente y (b) el régimen transitorio de carga. Desprecie las resistencias internas de las  baterías.

98. Los condensadores del circuito mostrado en la figura están inicialmente descargados. El interruptor S se cierra primero y después se cierra el interruptor K. (a) ¿Cuál es la corriente en la  batería inmediatamente después de cerrar S?. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente de la batería un tiempo largo después de cerrar ambos interruptores?. (c) ¿Cuáles son los voltajes finales a través los condensadores? Y (d) Después de un tiempo prolongado se abre el interruptor K. ¿Cuál sería la corriente en el resistor de 150 Ω en función del tiempo?.

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99. Para el circuito mostrado en la figura. Determine: (a) La lectura del amperímetro y del voltímetro considerando a estos instrumentos ideales, (b) la  potencia disipada e n las resistencias de 100 Ω y 50 Ω, respectivamente y (c) la potencia entregada por  las baterías.

103. Un tetraedro regular es una pirámide con su base triangular. Si en cada una de sus aristas se encuentran instaladas resistencias iguales de R = 20 Ω con uniones en su cuatro vértices. Una batería de 24 V es instalada a dos de sus vértices de la base del tetraedro. (a) ¿Cuál sería la resistencia equivalente entre dos vértices del tetraedro?. (b) ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la  batería?.

104. En el circuito mostrado en la figura, suponga que el interruptor ha estado cerrado durante un tiempo suficientemente largo para que el capacitor se cargue por completo. Determine: (a) la intensidad de corriente en estado estacionario en cada uno de los resistores y (b) la carga Q del capacitor. (c) Ahora el interruptor se abre en t = 0. Escriba una ecuación para la intensidad de corriente a través de la resistencia de 15 Ω como función d el tiempo y (d) determine el intervalo de tiempo necesario para que la carga del capacitor se reduzca a un quinto de su valor inicial.

100. En el circuito eléctrico mostrado en la figura. Determine: (a) Las corrientes en cada una de las ramas, (b) La diferencia de potencial entre los  puntos a  y b  y (c) La potencia disipada en la resistencia de 15 Ω.

101. En el circuito mostrado en la figura, determine la

105. El circuito mostrado en la figura contiene dos

intensidad de corriente a través de la fuente de tensión.

resistencias R 1 = 2 kΩ y R 2 = 3 kΩ, si como dos capacitores, C 1 = 2 μF y C2 = 3 μF, conectados a una batería cuya fem es  = 120 . Antes de cerrar  el interruptor S los capacitores se encuentran completamente descargados. Determine la carga q 1 q2, en cada uno de los capacitores después de cerrar  los interruptores en función del tiempo.

102. Halle la resistencia equivalente entre los bornes x e y de la red mostrada en la figura.

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106. El interruptor S ha estado cerrado durante mucho

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que la resistencia equivalente entre los bornes a y b  es R eq eq = (5/6)R.

tiempo de tal manera que el circuito eléctrico mostrado en la figura lleva una corriente constante. Considerando que C 1 = 3 μF, C 2 = 6 μF, R 1 = 4 kΩ y R 2 = 7 kΩ y la potencia entregada a R 2 es de 2,4 W. (a) Determine la carga en cada uno de los capacitores, (b) Suponga que ahora se abre el interruptor. Después de varios milisegundos, ¿Cuánto ha cambiado la carga en C 2?.

110. Un galvanómetro, el cual requiere de una intensidad de corriente de 1 mA para una deflexión de la escala completa, que tiene una resistencia interna de 60 Ω, puede ser utilizado para medir  intensidades de corriente mucho mayores. Para  permitir que un operador pueda medir corrientes elevadas sin dañar el galvanómetro, se conecta a éste una resistencia muy pequeña (resistencia Shunt) en paralelo como se muestra muestra en la figura  permitiendo de esta forma que la mayoría de corriente fluya por la resistencia Shunt. Determine el valor de la resistencia Shunt a utilizar si se quiere medir corrientes de 10 A para una deflexión completa de la escala.

107. El circuito muestra el modelo de un circuito para la transmisión de señal eléctrica, como por ejemplo televisión por cable, a un gran número de usuarios. Cada usuario conecta una resistencia de carga R L entre la línea de transmisión y la tierra. Supuestamente la tierra se encuentra a potencial cero y es capaza de conducir corriente de cualquier  tamaño entre cualquier conexión a tierra con una resistencia despreciable. Determine la resistencia equivalente entre los terminales del origen de la señal.

111. El galvanómetro descrito en el problema anterior   puede ser utilizado para medir voltajes. En este caso se conecta en serie con el galvanómetro un resistor grande R  p como se muestra en la figura. El efecto es limitar la corriente que pase por el galvanómetro cuando se apliquen voltajes elevados. La mayor parte de caída de potencial ocurre en el resistor en serie R P. Determine el valor de R P que  permita medir al galvanómetro medir un voltaje aplicado de 100 V con una deflexión de escala completa.

108. Tres bombillas de 60 W, 120 V, están conectadas a una fuente de potencia de 220, como se muestra en la figura. Determine: (a) la potencia total entregada a las tres bombillas y (b) el voltaje aplicado a cada una de las bombillas. Suponer que la resistencia de cada bombilla es constante (aun cuando la resistencia varía considerablemente con la temperatura).

112. Un galvanómetro con una sensibilidad a escala completa de 1 mA requiere de un resistor de 900 Ω en serie para construir un voltímetro cuya lectura a escala completa sea de 1,00 V cuando sus terminales son conectados. ¿Qué resistencia es requerida para convertir al galvanómetro en un voltímetro que permita leer un voltaje de 50,0 V?.

109. (a) Usando argumentos de simetría muestre que la intensidad de corriente a través d cualquier resistor  del circuito mostrado es I/3 o I/6. (b) Si cada uno de los resistores tienen una resistencia R, muestre

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113. Suponiendo que un galvanómetro tiene una

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cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 1 mA.

resistencia interna de 60 Ω y requiere una intensidad de corriente de 0,5 mA para producir una deflexión de la escala completa. ¿Qué resistencia R sh debería conectarse en paralelo con el sh galvanómetro si la combinación debería utilizarse como un amperímetro el cual permite leer una intensidad de corriente de 100 mA para una deflexión de la escala completa?.

114. Diseñe un voltímetro multirango capaz de obtener  una deflexión de la aguja a escala completa para 1 V ; 10 V  y 50 V , utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 50 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 1 mA. mA.

118. En el circuito mostrado en la figura, encuentre: (a) la corriente inicial que fluye a través de cada uno de los resistores cuando el interruptor es cerrado, (b) la corriente de régimen estacionario en cada resistor y (c) la energía final almacenada en capacitor y (d) la constante de tiempo capacitiva cuando el interruptor es abierto.

115. Diseñe un voltímetro multirango capaz de obtener  una deflexión de la aguja a escala completa para 200 mV, 2 V ; 20 V  y 600 V , utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 10 Ω el cual permite una deflexión de la aguja a escala completa para 0,5 mA. mA.

119. El puente de Wheatstone mostrado en la figura es utilizado para hacer medidas precisas de resistencias de alambres de conexión. Si  R3 = 1 kΩ y el puente se encuentra balanceado mediante el ajuste de R de  R1 tal que R que  R1 = 2,5 R 2. Determine el valor  de la resistencia desconocida  R x.

116. El galvanómetro galvanómetro tiene tiene una resistencia resistencia interna interna de 20 Ω y requiere de 2 mA para una deflexión de la escala completa. ¿Cuáles serán los valores de las resistencias shunt necesarias para los tres rangos indicados.

120. Suponga que el puente de Wheatstone mostrado en la figura del problema anterior se encuentra no  balanceado. Determine la intensidad de corriente que pasa a través del galvanómetro cuando R x = R 3 = 7 Ω, R 2 = 21 Ω y R 1 = 14 Ω. Suponga que la  batería de resistencia interna despreciable  proporciona una fem de 70 V y que la resistencia interna del galvanómetro es despreciable.

117. Diseñe un un amperímetro amperímetro rango múltiple capaz de obtener una deflexión de la aguja a escala completa  para 20 mA, 200 mA y 10A, utilizando un galvanómetro cuya resistencia interna es de 1 0 Ω el

121. El circuito mostrado en la figura corresponde a un  potenciómetro. Cuando se utiliza una batería 44

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estándar con una fem de 1,0186 V en el circuito y la resistencia entre a  y d  es de 36 Ω, el galvanómetro marca cero. Si la batería estándar es remplazada por una batería cuya fem es desconocida, el galvanómetro no registra el paso de corriente alguna cuando la resistencia entre a y d es ajustada a 48 Ω. Determine el valor de la f em f em  .

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resistencia infinitamente grande y que por lo tanto no introduce distorsión alguna en el circuito.

125. Cada una de las celdas del circuito mostrado tiene una fem de 0,6 V una resistencia interna de r = 0,6. (a) ¿Cuál es la fem neta del circuito?, (b) ¿Cuál es la resistencia interna total de las baterías del circuito?. (c) ¿Cuál es la resistencia neta de carga del circuito?, (d) ¿Cuál es el voltaje V5 a través del resistor R5?, (e) ¿Cuál es la potencia disipada en el resistor R7?.

122. En el circuito mostrado en la figura, la resistencia interna del voltímetro y del amperímetro so  ;  R A = 0,1  . El resistor R tiene una  RV  = 1 k   resistencia de 10 . (a) ¿Cuáles son los valores de la corriente y la diferencia de potencial a través del resistor?. (b) cuales son la corriente y la diferencia de potencial medidas por el los medidores?.

123. En el circuito mostrado en la figura, la resistencia interna del voltímetro y del amperímetro so  Rv =  ; R A = 0,1  . El resistor R tiene una resistencia 1k   de 10  . (a) ¿Cuáles son los valores de la corriente y la diferencia de potencial a través del resistor?. (b) cuales son la corriente y la diferencia de  potencial medidas por el los medidores?.

126. ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente en el galvanómetro del puente de Wheatstone no  balanceado, mostrado en la figura?. Considere que la resistencia de la fuente de fem es despreciable y la resistencia interna del galvanómetro es 20Ω. 20Ω.

124. Sea el circuito eléctrico mostrado en la figura. Se conocen: r = 1 Ω, R = 10Ω 10 Ω, la resistencia del voltímetro es Rv = 200 Ω. Calcular el error relativo de las indicaciones del voltímetro, el cual se obtiene al suponer que el voltímetro tiene una

127. En la figura ε es una batería con una f em de 120 V ;  R1 = 10 Ω, R Ω,  R2 es la espiral del calentador eléctrico y  R3 es una lámpara de iluminación la cual disipara 45

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una potencia de 1200 W . Si al cerrar el interruptor S  interruptor  S  el amperímetro indica 12 A. (a) ¿Cuáles son las intensidades de corriente que fluyen por la lámpara y por la espiral del calentador?. (b) ¿Cuáles es el valor de la resistencia de la lámpara de iluminación (c) ¿Cuál es el valor la resistencia de la espiral?. (d) ¿Cuánto tiempo demorará en hervir  500 g  de agua en el calentador  K  calentador  K si si su temperatura inicial es 20°C . Considere que en el calentamiento del agua se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. Desprecie la resistencia del la fuente y del amperímetro. (c ( ce,w = 4186 J/kg.°C )

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calorímetro con 500 g de g  de kerosene. El amperímetro marca 2A, 2A, y el voltímetro, 10,8 V . (a) ¿A qué es igual la resistencia de la espiral?. (b) ¿A qué es igual el calor específico del kerosene, si a los 5 minutos de fluir la corriente por la espiral R 1 el kerosene se ha calentado 5ºC?. Considere que en el calentamiento del keroseno se invierte el 80% del calor emitido por la espiral. (c) ¿A qué es igual la resistencia del reóstato R?. El voltímetro voltímetro y el el amperímetro son ideales.

131. Complete la tabla de valores para el circuito mostrado en la figura

128. ¿Cuáles son las lecturas del amperímetro y del voltímetro ideales cuando: (a) el interruptor está abierto, (b) el interruptor está cerrado?.

129. En el circuito mostrado en la figura V 1 = 20 V y V 2 = 15 V y las resistencias toman los valores siguientes: R 1 = R 2 = 10 ; R 3 = 15  y R 4 = R 5 = 20 . Determine: (a) la corriente en cada una de las  partes del circuito, (b) la potencia en el resistor R 1.

132. Complete la tabla de valores en el circuito mostrado

130. En la figura ε es una batería con una f.e.m. de 110 V  y una resistencia interna de 5 Ω, K es un 46

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corriente de 2 A a través de la batería de 5 V , como se muestra?. Es correcta la polaridad de la batería que se indica?. (b) ¿cuánto tiempo toma producir  60 J de energía térmica en el resistor de 10 ?.

133. Complete la tabla de valores en el circuito mostrado. Si el voltímetro indica 2,233 V.

136. En el circuito mostrado. (a) Determine el voltaje a través del condensador. (b) Si la batería se desconecta, exprese la corriente del condensador en función del tiempo. (c) ¿Cuánto tiempo tardará en descargarse el condensador hasta que la diferencia de potencial a su través sea de un voltio?. (d) Si el condensador se reemplaza por una resistencia de 30 Ω ¿Cuáles son las intensidades de corriente que fluyen por las resistencias.

137. En el circuito eléctrico mostrado en la figura y bajo las condiciones de régimen estable. Determine: (a) las intensidades de corriente I 1, I 2 e I 3, (b) la carga en el capacitor 

134.

En el circuito mostrado en la figura, obtenga la carga en cada uno de los capacitores cuando se ha alcanzada el régimen permanente . C1

C2

1uF  1

1uF 

2

C3

R1

4

500Ω R2 200Ω

3uF 

V1 10 V 3

C6

2uF  V2 20 V

5 R3

7

800Ω C4

C5 6

2uF 

1uF 

135. En el circuito mostrado en la figura: (a) ¿Cuál debe ser la fem

de la batería para que fluya una 47