Circuitos 1 Problemas Resueltos
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PROBLEMAS DE CIRCUITOS 1 Resolución de Circuitos por Leyes de Kirchoff Prof. Oscar Barría 4.1 Para Para el circuito mostrado en la figura figura P4.1, P4.1, indique indique el valor numérico del número de: (a) ramas, (b) ramas en las que no se conoce la corriente, (c) ramas esenciales, (d) ramas esenciales esenciales en los que que no se conocen la corriente, (e) (e) nodos, (f) nodos esenciales esenciales y (g) mallas. NLIs1 4ix
R4 1k
R5 1k
R6 1k
Is1 8A
R1 1k
R7 1k
R2 1k
R8 1k
R3 1k
+ Vs1 10V -
R/ a) El circuito contiene 1l ramas, b) La corriente es desconocida en diez ramas, solo se conoce en la contiene la fuente de 8 amperios.
rama que
c) Existen Existen 9 ramas esenciales. d) En 8 ramas esenciales no se conoce la corriente, solo se conoce en la rama que contiene la fuente fuente de corriente. e) Existen seis nodos. f) Existen Existen cuatro nodos esenciales. g) Existen seis mallas.
4.2)
a. b. c. d.
¿Cuántas partes separadas tiene el circuito de la figura P4.2? ¿Cuantos nodos hay? ¿Cuántas ramas hay? Suponga que el nodo inferior de cada parte del circuito se une mediante un conductor. Repita los cálculos de los apartados (a)-(c).
Figura 4.2
R: a. En el circuito de la figura P4.2, hay dos partes, el circuito de la derecha y el circuito de la izquierda. b. En total son 5 nodos. En el circuito de la izquierda, los nodos corresponden al punto de unión entre R2, R3; el punto de unión de Vs, R2, R3; y el punto de unión entre Vs y R1. En la parte de la derecha corresponden el punto punto de unión superior e inferior de R4, R5 y βib. c. Entre ambas partes hay un total de 6 ramas. d. Al unir los dos nodos inferiores, el conductor forma una parte más del circuito, ambos nodos inferiores resultan ser el mismo, y las ramas siguen siendo 6.
4.3
a) Si solo se identifican las ramas y nodos esenciales en el circuito de la figura. ¿Cuántas ecuaciones son necesarias para describir el circuito?
a) Se pueden realizar 7 ecuaciones., 3 con mallas y 4 con nodos. b) ¿Cuántas de estas ecuaciones pueden determinarse utilizando la ley de Kirchhoff de las corrientes?.
Mediante nodos se pueden hacer 3 ecuaciones. c) ¿Cuántas ecuaciones deben determinarse utilizando la ley de Kirchhoff de las tensiones?
Mediante mallas se pueden hacer 4 ecuaciones. d)¿Qué dos mallas deben evitarse para aplicar la ley de las tensiones?
La de arriba y la de la izquierda pues tienen fuentes fuentes de corriente. 4.5 Definimos las corrientes salientes de los nodos como positivas. a) Sume las corrientes en cada nodo del circuito mostrado en la figura P4.5. b) Demuestre que cualquiera de las ecuaciones del apartado (a) puede deducirse a partir de las dos ecuaciones restantes.
R/
A) Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3:
-ig+i1 +i2=0 -12+i3+i4=0 ig-i1 -R-i4=0
B) Resolver la ecuación del nodo 1 para ig : ig = i1 + 12 Substituir esta ecuación en ig para la ecuación en el nodo 3: (i1 + i2) - i1 - i3 - i4= 0 i2 – i3 - i4= 0 Multiplicar esta última ecuación por -1 para obtener la ecuación en el nodo 2: -(i2 –i3 - i4)= 0 -i2 + i3 + i4 = 0 4.6 Utilice el método de las tensiones de nodo para calcular Vo en el circuito de la figura P4.6.
El método de las tenciones de nodo para encontrar Vo en el Escribiendo la ecuación del nodo:
1205 25 25 0.040 5 2550 6 30 5 *Multiplico por 125:
Figura 4.6
Despejando V o:
4.7 Del circuito siguiente: a) Calcule la potencia generada por la fuente de corriente de 40mA. b) Calcule la potencia generada por la fuente de tensión de 25 V. c) Verifique que la potencia total generada es igual a la potencia total disipada. Utilizando el método de nodos se obtiene la ecuación:
−− + Is1
−− 40mA
De donde se obtiene que V O = -5 V. a) Sabiendo que el voltaje V O =-5, y que este está en paralelo con la fuete de PIs = 200 mW. corriente, entonces P Is=(Is1)(VO) = (40mA)(-5)
0.16
b) La corriente que pasa por la fuente de tensión es igual a
−− +
. La potencia generada por esta fuente es igual a PVs = (Vs)(I v) = PVs = 4 W . (25)(0.16) c) PVs + PIs = PR1 + PR2 + PR3 donde PR = I2R y Io = VO/25 4 W + 200mW = (0.16)2(120) + (0.16)2(5) + (0.2)2(25) 4.2 = 4.2
4.8. Se conecta en serie una resistencia de 100 Ohm con la fuente de corriente de 40 mA del circuito de la figura P4.6. a) calcule Vo. b) Calcule la potencia generada por la fuente de corriente de 40 mA' c) Calcule la potencia generada por la fuente de tensión de 25 V. d) Verifique que la potencia total generada es igual a la potencia total disipada. e)¿Qué efecto tendrá sobre el valor de Vo una resistencia finita conectada en serie con la fuente de 40 mA.
Ω
Ω
D f
+
Ω
Fdddfgdfg
a) Vo + 25 + Vo + 0.04 = 0 125
25
Vo + 25 + 5Vo + 5 = 0 6Vo = -30 Vo = -5V
b) Vx = Vo – (100)(0.04) = -5 -4 = -9 V P = VI = (-9) (0.04) = -360 mW
c) I1 = Vo + 25 = -5 + 25 = 160 mA 125
125
P= VI = (-25)(0.160) = -4 W
d) P5Ω = (0.160)2(5) = 128 mW P120Ω = (0.160)2(120) = 3.072 W P25Ω = (-5)2 / 25 = 1 W P100Ω = (0.04)2(100) = 160 mW
∑Pgen = 4 + 0.360 = 4.36 W ∑Pdis = 0.128 + 3.072 + 1 + 0.160 = 4.36 W
e) El Vo es independiente de cualquier resistencia finita conectada en serie con la fuente de corriente de 40 mA. 4.9 Utilice el método de las tensiones de nodo para calcular V1 y V2 en el circuito mostrado
6= -1=
− −
6=
POR CALCULADORA: V1= 120 volts V2= 96 volts
-1=
4.11 El circuito mostrado en la figura P4.11 es un modelo en continua de un circuito de distribución de energía domestico. a) Utilice el método de las tensiones de nodo para calcular las corrientes de nodo i1 – i6 b) Compruebe la solución obtenida para las corrientes de rama demostrando que la potencia total disipada es igual a la potencia total generada.
− − − 0 ≫ 11 2 880 − − 0 ≫ 3 12 0 + − − 0 ≫ 3 2 29 2640 Para el nodo 1: Para el nodo 2: Para el nodo 3:
V1= 74.64 V V2= 11.79 V V3= -82.5 V
− 17.68 −− 7.86 +3.13. 93 75 − 3.9.9832 ∑∑ 2110 3 110 2 3457. 4 8 24 16 3457.4 Calculando las corrientes:
Comprobando la solución mediante las potencias generadas y consumidas
4-12 Utilice el método de las tensiones de nodo para calcular V1 y V2 en el circuito de la figura 4.12.
V o = 0V Nodo 1
150- V1 + V2 – V1 = V1 – Vo 20 40 80 V1
1+ 1+1 80 40 20
– V2 = 150 40 20
Nodo 2
11.25 = V2 – Vo + V2 – V1 4 40 V2
1+ 1 4 40
Respuestas V1 : 100V V2 : 50V
– V1 = 11.25 40
4.13 Utilice el método de las tensiones de nodo para calcular cuanta potencia extrae la fuente de 2A del circuito de la figura P4.13.
P=VI P=(50)(2) P=100 w
2 455 050 29501 15 110.22 50
4.14 Utilice el método de las tensiones de nodo para calcular V 1, V2, V3 en el circuito de la figura P4.14.
Nodo ‘a’:
− − 0
(14 12 401 ) 2 100 0.775 0.5 10 [1]
Nodo ‘b’:
− − 28
2 (14 12) 4 28 0.5 0.75 0.25 28 Nodo ‘c’:
− 28 4 (14 12) 28
0.25 0.75 28
[3]
[2]
Las ecuaciones son:
0.775 0.5 0 10 0.5 0.75 0.25 28 0 0.25 0.75 28 Resolviendo las ecuaciones:
Va = 60V; Vb= 73V; Vc= –13V
V1 = Va V2 = Vb – Vc V3 = Vc
V1 = 60V V2 = 73 – (–13) = 86V V3 = 13V
[1] [2] [3]
4.15
5A
12 Ω
20 Ω
+
40V
7.5A
25 Ω
40 Ω
-Utilice el método de las tensiones de nodo para calcular la potencia total disipada en el circuito *Buscando las ecuaciones tenemos que: V1+40 + v1 + 5 + V1- V2 = 0 12
25
20
V2- V1 + V2- V3 - 7.5 – 5 = 0 20
40
V3 + V3- V2 + 7.5 =0 40
40
V1 (1/12 + 1/25 + 1/20) + V2 (-1/20) + V3 (0) = -40 – 5
12 V1 (-1/20) + 21 (1/20 + 1/40) + V3 (-1/40) = 12.5
V1 (0) + V2 (-1/40) + V3 (1/40 + 1/40) = -7.5 *Resolviendo el sistema de ecuaciones por la calculadora: V1= -10 V V2= 132 V V3= -84 V *Calculando la potencia disipada: I (40V) = (-10+40) / 12 =2.5 A P (40V) = -2.5 (40) = -100 W P (5A) = 5 (-10-132) = -710W P (7.5A) = 7.5 (-84-132) = -1620 W P (12 ohm) = (-10+40)² / 12 = 75 W P (25 ohm) = (-10)² / 25 = 4 W P (20 ohm) = (132+10)² / 20 = 1008.2 W P (40 ohm) = (132+84)² / 40 = 1166.4 W P (40 ohm) = (-84)² / 40 = 176.4 W
P(disipada) = 75 – 4 + 1008.2+ 1166.4 + 176.4 = 2430 W
4.17 Utilice el método de las tensiones de nodo para calcular V0 en el circuito de la Figura P4.17. Calcule la potencia absorbida por la fuente dependiente. Calcule la potencia total generada por las fuentes independientes. R2 25
ia +
R5 10k
Vs1 90V
R1 89 k
R2 40k
-
b
FDC=19Ia Por ecuaciones de nodo
− − − − − − + −−− (
)+
) +(
)=0
) +(
)+
)+(
) + (19 ia) = 0
− − −
ia =(
)=0
)
Sustituimos ia en la ecuación V1 (
+
+
V1 ( V1 (
) + V2(
) + V2(
V1=33.75 V
−
) + V2(
+
+
) + V3(0) =(
+
) + V3 (
V2=30.58 V
+
+
V2= 19.81 V
)
) + V3(
) =0
)=0
Por calculadora
4.83. ¿Qué porcentaje de la potencia total generada en el siguiente circuito entrega Ro? Sabiendo que: Ro = 6.4Ω, VRo = 24V, iΔ = -0.3A, 124iΔ = -37.2A
Utilizando el método de los voltajes de nodos, calculamos V1, V2: 4.05 + (24 - V1)/4 + (24 - V 2)/8 = 0 2V1 + V2 = 104.4 V1 + 37.2 = V2 Resolviendo el sistema de ecuaciones: V 1 = 22.4V; V2 = 59.6V Igenerada1 = (22.4 – 100)/16 = -4.85A Igenerada2 = (59.6 – 50)/12 = 0.8A I2 = (59.6 – 24)/8 = 4.45A Ids = -4.45 – 0.8 = -5.25A P100V = 100 Igenerada1 = -485W P50V = 50 Igenerada2 = 40W
Pds = 37.2 Ids = -195.3W
Por lo tanto: ∑Pgenerada = 485 + 1945.3 = 680.3W
Es decir que el porcentaje generado será: %generado = (90/680.3) (100) = 13.23% 4.84 La resistencia Variable (Ro) del circuito de la figura P4.84 se ajusta hasta que absorbe una potencia máxima del circuito. a) Calcule el valor de Ro. b) Calcule la potencia máxima.
Hacemos las ecuaciones
1602 14 12 0 5 4 214 20
Desarrollando las ecuaciones
−
V = 60 – V1 I
1(12 15 14)2 (14)(45)030 1 14 2 14 0 2 0 11200160 1121400 120 ; 2 300 ; 80 ;40 Al Resolver tenemos que
Buscando la resistencia y la corriente en el circuito tenemos que Buscando la ecuación
12 60 14 1 0 5 4 /4 (12 15 14)(45)30 (14)10 40 ; 10 604020 21040 30 ℎ 30300 10 ῼ 1 50 10 2250
Resolviendo la resistencia y la corriente tenemos
Buscando la Potencia Maxima
4.92 Utilice el principio de superposición para calcular la corriente I 0 que pasa por la resistencia de 1Ω en el circuito.
Circuito 1
Esto se reduce a: Entonces I’0 = 120 V/ 25 Ω
1
I’0 = 4.8 A 20 4 + 120V -
Circuito 2
Esto se reduce a: Entonces I’’0= 40 V/ 25 Ω
1
I’’0= 1.6 A
40V + 20 4
Circuito 3
Esto se reduce a:
1
5 60 20
30
+ 75V -
Utilizando mallas y un sentido horario las ecuaciones para I’’’0 (primera malla), I2 (segunda malla) e I 3 (tercera malla) son: 0 = 81 I’’’0 – 60 I2 -75 = -60 I’’’0 + 65 I2 – 5 I3 75 = -5 I2 + 35 I3 Entonces I’’’0 = -2.4 A El resultado final de I 0 (corriente que pasa por la resistencia de 1 Ω) es:
I0 = I’0 + I’’0 + I’’’0 I0 = 4.8 A + 1.6 A – 2.4 A I0 = 4 A
4.98 Calcule V1, V2, V3 en el circuito de la figura P4.98.
Ecuaciones: Malla a:
125v = (0.15 Ω + 18.4 Ω + 0.25 Ω)*ia – 0.25 Ω*ib – 18.4 Ω*ic 125v = 18.8 Ω*ia – 0.25 Ω*ib – 18.4 Ω*ic Malla b:
125v = (0.25 Ω + 0.15 Ω + 38.4 Ω)*ib – 0.25 Ω*ia – 38.4 Ω*id 125v = 38.8 Ω*ib – 0.25 Ω*ia – 38.4 Ω*id
Malla c:
0 = (18.4 Ω + 0.15 Ω + 0.25 Ω + 18.4 Ω)*ic – 18.4 Ω*ia - 0.25 Ω*id – 18.4 Ω*ie 0 = 37.2 Ω*ic– 18.4*ia
- 0.25 Ω*id – 18.4 Ω*ie
Malla d:
0= (0.25 Ω + 38.4 Ω + 38.4 Ω + 0.15 Ω)*id – 38.4 Ω*ib - 0.25 Ω*ic – 38.4 Ω*ie 0 = 77.2 Ω*id – 38.4 Ω*ib
- 0.25 Ω*ic – 38.4 Ω*ie
Malla e:
0 = (18.4 Ω + 11.6 Ω 38.4 Ω)*ie – 18.4 Ω*ic – 38.4 Ω*id 0 = 68.4 Ω*ie – 18.4 Ω*ic – 38.4 Ω*id
Corrientes: ia = 32.7694 A
ic = 26.3287 A
ib = 26.4597 A
id = 23.2666 A
Voltajes: V1 = 18.4 Ω*(ic - ie) = 113.787 volts V2 = 38.4 Ω*(id - ie) = 119.885 volts V3 = 11.6 Ω*ie
= 233.677 volts
4.99 Calcule ir en el circuito de la FiguraP4.99
ie = 20.1446 A
1
1
ohm
1
ohm
3
ohm
ohm
8
2
ohm
ohm
+ 4
ohm
100V -
3 2
ohm
ohm
8 2
1
ohm
ohm 1
Al buscar las ecuaciones obtenemos 100V = 6ia - 1ib – 2id – 2ie – 1ig 0 = -1ia + 4ib – 2ic 0 = -2ib + 13ic – 3id 0 = -2ia – 3ic + 9id – 4ie 0 = -2ia – 4id + 9ie - 3if 0 = -3if + 13if – 2ig 0 = -1ia – 2if + 4ig Resolviendo ia = 30A ib = 10A
ohm
ohm
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