Circuito Magnético

CAPÍTULO 1 Campos Magnéticos Los campos magnéticos son el mecanismo fundamental por la cual la energía es convertida de una forma en otra en motores, generadores (en el proceso de Conversión Electromecánica de Energía que implica cambiar de Energía Mecánica a Energía Eléctrica y viceversa, o transferida como es el caso de los transformadores. Por ello la capacidad capacidad de analizar y describir las cantidades magnéticas es una herramienta esencial para la comprensión de dichos dispositivos. El estudio de las máquinas eléctricas, electroimanes y otros dispositivos electromagnéticos plantea el problema de canalizar y concentrar altas densidades de flujo magnético en las regiones donde se necesita, esto se logra por medio de materiales ferromagnéticos. Un circuito magnético está formado generalmente por una estructura de hierro, sobre la que se arrollan una o más bobinas por las que circulan corrientes, que dan lugar a los flujos que aparecen en el sistema. El cálculo riguroso de los flujos producidos es generalmente muy difícil y para una determinación precisa sería necesario emplear las ecuaciones de Maxwell; sin embargo, las reglas de los circuitos magnéticos que se estudian en este capítulo  permiten resolver el problema de una manera aproximada suficiente para las aplicaciones aplicaciones en ingeniería. El  campo magnético  se designa por  B, aunque para ser más rigurosos,  B representa la densidad de campo magnético cuya unidad es el tesla (T). 1

 = 1 /2

 Requerimientos básicos básicos de las máquinas eléctricas eléctricas y transformadores transformadores

1. Presencia de un campo magnético, el cual puede ser producido por:  Imanes permanentes.  Electroimanes. 2. Movimiento para producir corriente eléctrica (Generador). 3. Corriente eléctrica para producir movimiento (Motor). 4. Presencia de un campo magnético variable en el tiempo (Transformador).

1

Leyes fundamentales de los sistemas magnéticos Las tres leyes fundamentales que gobiernan el diseño y operación de los sistemas magnéticos son: 1. Ley Circuital de Ampère

Cualquier corriente que circule por un conductor producirá un campo magnético alrededor de sí mismo. La ley circuital de Ampère establece que la integral de línea de la intensidad de campo magnético  H  sobre cualquier trayectoria cerrada  L es igual a la corriente constante encerrada  I por dicha trayectoria.

∙ = 

(1)

El campo magnético alrededor del conductor se determina por medio de la regla de la mano derecha de Ampère: El pulgar apunta en la dirección por donde fluye la corriente mientras que los dedos restantes envueltos alrededor del conductor indican la dirección del flujo / campo magnético.

(a)

(b)

(c)

Figura 2. (a) Regla de la mano derecha. (b) y (c) Representación de la ley de Ampère. En el sistema mks la corriente está dada en amperios (A) y la trayectoria cerrada se mide en metros (m), así que la intensidad de campo magnético está en amperios  por metro (A/m). Cuando la trayectoria cerrada es atravesada  N veces por la corriente, como en la Figura 3, se convierte en

∙ =  = ℱ

(2)

ℱ

en que  (o NI ) se conoce como  fuerza magnetomotriz (abreviada fmm). Tiene las mismas unidades, amperios, que  I . Sin embargo, la convención común es mencionar   en amperios-vuelta (A-v); esto es, se considera que  N   es una unidad adimensional o sea la vuelta.

ℱ

2

Figura 3. Trayectoria cerrada atravesada N veces por la corriente.  2. Ley de Gauss

 Ninguna fuente ha sido descubierta para las líneas de flujo magnético. Las líneas de flujo magnético son cerradas y no terminan en una carga magnética. Así que la ley de Gauss establece que el flujo magnético en cualquier superficie cerrada es cero. Esto es equivalente a decir que no existen fuentes de cargas de monopolos, de campos magnéticos).

 ∙  = 0

(8)

Si la integración es para un área y no para una superficie cerrada obtenemos el flujo magnético  que cruza una superficie  A  es la integral de superficie de la componente normal de  B; o sea



 = �  ∙  En unidades del SI, la unidad de ϕ es el weber (Wb).

(6)

En el caso de que  B sea constante en magnitud y perpendicular en cualquier punto a la superficie

 = 

(7)

Densidad de flujo magnético En el espacio libre, la densidad de flujo magnético  B se define como

 = 0

(solo espacio libre)

(3)

⁄

2) o en el SI, el tesla (T). donde  B se mide en webers por metro cuadrado ( Una unidad más antigua que frecuentemente se utiliza para la densidad de flujo 3

⁄

2  es lo mismo que 10 000G. La magnético es el gauss (G), donde 1T o constante 0  no es adimensional y tiene un valor específico para el espacio libre, dado en henrios por metro (H/m), de



0 = 4 × 10−7 / (4) El nombre dado a 0  es el de  permeabilidad  del espacio libre. La permeabilidad es una medida de la facilidad con la que un campo magnético  puede ser establecido en un material dado. Para cualquier material isotrópico la  permeabilidad se define como



 =  0

(5)



El valor de   varía dependiendo del tipo de material,    es la permeabilidad relativa, no tiene dimensiones, no es constante sino que varía con la densidad de flujo del material.  3. Ley de Faraday

Un campo magnético que varía con el tiempo produce una  fuerza electromotriz (fem) que puede producir una corriente en un circuito adecuadamente cerrado. Una fuerza electromotriz es un voltaje procedente de los conductores que se mueven en un campo magnético o de campos magnéticos variantes. La ley de Faraday se expresa como

  =    

(9)

La ecuación anterior implica una trayectoria cerrada, aunque no necesariamente conductora. Un valor diferente de cero de siguientes situaciones. 

 

⁄ puede ser el resultado de cualquiera de las

 estable y trayectoria móvil (conductor moviéndose dentro de un flujo estable) () y trayectoria estable () y trayectoria móvil

El signo menos indica que la fem tiene una dirección tal, que produce una corriente, cuyo flujo, si se suma al flujo original, reduciría la magnitud de la fem. Este enunciado que establece que el voltaje inducido actúa para producir un flujo opuesto es conocido como la ley de Lenz. Si la trayectoria cerrada es un filamento conductor enrollado de  N   vueltas, generalmente es suficientemente preciso considerar las vueltas como coincidentes y hacer 4



  =     

(10)

donde   se interpreta como el flujo que pasa a través de cualquiera de las  N  trayectorias coincidentes.

  =  

Las concatenaciones de flujo  (flujo que abraza a las N espiras) se definen como

Con lo que

(11)

  =    

(12)

 4. Ley de fuerza de Lorentz

La fuerza  F  sobre una partícula q en movimiento a una velocidad v  debido a campos eléctricos  E y magnéticos  B combinados se relacionan a través de:

 = ( +  × ) Considerando únicamente los efectos provocados por el campo magnético la ecuación se reduce a

 =  × 

Puesto que el flujo de una carga en un conductor constituye la corriente en ese conductor, la ecuación anterior también puede expresarse en términos de la corriente en un conductor, es decir (conocido como ley de la fuerza de Ampere)

 = �  ×  

Donde I es la corriente en el conductor,  dl  es la longitud elemental del conductor y  B es el campo magnético externo en la región. Esta ecuación se usa para calcular el par desarrollado en todos los motores eléctricos. Puesto que la fuerza que actúa en un conductor es máxima cuando el campo magnético es perpendicular al conductor que porta la corriente, todas las máquinas rotativas se diseñan para alojar conductores que portan corriente en forma perpendicular al campo magnético.

 = ( × )

5

RESUMEN RELACIONES BÁSICAS

 =    =   ℱ =  =    =    =    = ( × )   = ( × ) ∙ 

[T] [Wb] [A-v] [V] [Wb-v] [N] [V]

En conclusión El campo magnético es el medio que permite la conversión o transferencia de energía para las máquinas eléctricas 1) Generador, 2) Motor, y 3) Transformador. Un conductor por el cuál circula una corriente produce un campo magnético cuyas líneas de flujo forman anillos cerrados alrededor del conductor. Un campo magnético “variable en el tiempo” que atraviesa una bobina, induce un voltaje  en ella (PRINCIPIO DEL TRANSFORMADOR) Un conductor por el que circula una corriente y se mueva dentro de un campo magnético experimenta una fuerza sobre él (PRINCIPIO DEL MOTOR) Un conductor eléctrico que se mueve dentro de un campo magnético, INDUCE un voltaje en él (PRINCIPIO DEL GENERADOR)

6

CIRCUITOS MAGNÉTICOS Un circuito magnético consta de una estructura compuesta en su mayor parte de material magnético de alta permeabilidad. La presencia de este material hace que el flujo magnético esté confinado a las trayectorias definidas por la estructura, de modo semejante a como las corrientes están confinadas a los conductores de un circuito eléctrico. En la Figura 7 se muestra un ejemplo sencillo de un circuito magnético. Se supone que el núcleo está compuesto de material magnético cuya permeabilidad es mucho mayor que la del aire que lo rodea ( 0). El núcleo tiene sección transversal uniforme y está excitado por un devanado de  N   vueltas que conduce una corriente variable de i  amperios (A). Este devanado produce un campo magnético en el núcleo, como se muestra en la figura.

≫

Debido a la alta permeabilidad del núcleo magnético, el flujo magnético está confinado casi enteramente al núcleo; las líneas de campo siguen la trayectoria que define el núcleo, y la densidad de flujo es esencialmente uniforme a través de una sección transversal, debido a que la superficie de dicha sección es uniforme. El campo magnético se puede visualizar en términos de las líneas de flujo, las cuales forman circuitos cerrados ligados con el devanado.

Figura 7. Circuito magnético simple

   se calcula con la ecuación (6), aquí es conveniente establecer la suposición de que  es uniforme a través de la sección

 El flujo magnético en el núcleo

 transversal del núcleo. En este caso

 =    

(15)

que concuerda con lo que se introdujo en la ecuación (7).  Las dimensiones del núcleo son tales que la longitud de la trayectoria para  cualquier línea de flujo se acerca a la longitud media del núcleo,  .  Como

resultado de ello la ecuación (2) se transforma en



7

ℱ =  =  

(16)

  es la magnitud promedio de  en el núcleo. La dirección de    en el núcleo se determina mediante la regla de la mano en la cual derecha.

Los transformadores se devanan sobre núcleos cerrados como el de la Figura 7. Los dispositivos de conversión de energía que incorporan un elemento móvil deben tener espacios de aire, o entrehierros (gap),  en sus circuitos magnéticos. En la Figura 8 se muestra un circuito magnético con entrehierro. Cuando la longitud del entrehierro g  es mucho menor que las dimensiones de las caras adyacentes del núcleo, el flujo magnético  está restringido a restringido a residir esencialmente dentro del núcleo y el entrehierro, y es continuo a través del circuito magnético.



Así, la configuración de la Figura 8 se puede analizar como un circuito magnético con dos componentes en serie: un núcleo magnético de permeabilidad y longitud media  , y un entrehierro de permeabilidad 0 , de área de sección transversal  , y longitud . En el núcleo, la densidad de flujo es uniforme, y el área de la sección transversal es  ; por lo tanto, en dicho núcleo,

 



y en el entrehierro







 

 =     =   

(17)

(18)

en las cuales

Figura 8. Circuito magnético con entrehierro Las líneas del campo magnético se curvan algo hacia fuera cuando cruzan el entrehierro, como se ve en la Figura 9. El efecto de los campos de abombamiento es aumentar el área efectiva de la sección transversal   del entrehierro. Se puede

 

8

hacer una corrección debido a esos campos de abombamiento de entrehierros cortos, sumando la longitud del entrehierro a cada una de las dos dimensiones que forman el contorno de su sección transversal. Puede despreciarse el abombamiento con lo que  =  , y

    =  =   

(19)

Figura 9. Campos de abombamiento del entrehierro Ahora bien, la fuerza magnetomotriz viene dada por

ℱ =  =  +   ℱ =   + 0  

(20) (21)



Aquí,   es el total de Av aplicados al circuito magnético. Con ello se puede notar que se necesita de la fmm para excitar al campo magnético en el núcleo, mientras que el resto excita el campo magnético del entrehierro. Se puede reformular la ecuación (21) en términos del flujo total

ℱ =    +  0   

(22)

Los términos que multiplican al flujo se llaman reluctancia núcleo y del entrehierro respectivamente,

ℛ =    

 ℛ  [A-v/Wb] del

(23)

9

ℛ =   

(24)

La reluctancia es la oposición a la circulación del flujo magnético.



La permeancia  es el inverso de la reluctancia.

INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA La inductancia   (o inductancia propia) se define como la concatenaciones de flujo entre la corriente a la cual concatenan.

 =   

razón de las

(13)



La corriente  I   que fluye en la espiral de  N   vueltas que produce el flujo total y una concatenación de flujo , donde se supondrá por el momento que el mismo flujo  concatena cada vuelta. Esta definición se aplica sólo a medios magnéticos lineales, de manera que el flujo es proporcional a la corriente. Si están presentes los materiales ferromagnéticos, no existe una definición particular de inductancia que sea útil en todos los casos.





La unidad de la inductancia es el henrio  H , que equivale a un weber – vuelta por amperio.

12 entre los circuitos 1 y 2, en términos de las

Se define la inductancia mutua concatenaciones mutuas del flujo

12 = 21 12   

(14)



donde 12  significa el flujo producido por 1  el cual concatena la trayectoria de la corriente 2 , y 2  es el número de vueltas del circuito 2. La inductancia mutua,  por tanto, depende de la interacción magnética entre dos corrientes.

 

ANALOGÍA ENTRE CORRIENTE ELÉCTRICA Y EL FLUJO MAGNÉTICO

    ℱ ℛ

FLUJO MAGNÉTICO Magnetización Flujo magnético [Wb] Intensidad de campo magnético [A/m] Densidad de campo magnético [ / 2 ] Permeabilidad [ / ] Fuerza magnetomotriz fmm [A] Reluctancia [A-v/Wb]



 

I

    V R

CORRIENTE ELÉCTRICA Conducción Corriente eléctrica [A] Intensidad de campo eléctrico [V/m] Densidad de corriente [ / 2 ] Conductividad [S/ ] Voltaje, fuerza electromotriz fem [V] Resistencia [V/A]= [ ]

 Ω

  

10