Circuito de Corriente Alterna Reparado

Universidad Técnica Estatal “Quevedo” Facultad ciencias de la ingeniería Escuela de ingeniería eléctrica

Curso: Segundo eléctrica Docente: Ing. Víctor Nasimba Medina Año lectivo: 2011-2012

Quevedo-Los Ríos-Ecuador

INDICE PORTADA INDICE INTRODUCCION.............................................................................................. 5 TEMA 1: ANALISIS DE REDES DE C.A EN ESTADO PERMANENTE..................................7

Relación entre los elementos activos y pasivos en los circuitos eléctricos................10 Potencia:........................................................................................................ 11 Potencia media: (P)......................................................................................... 12 Valor medio / valor eficaz.................................................................................. 14 Ciclo.............................................................................................................. 15 Periodo.......................................................................................................... 15 Frecuencia..................................................................................................... 15 Amplitud......................................................................................................... 15 Valor instantáneo............................................................................................. 15 Valor medio o valor DC de onda (Vdc).................................................................16 Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz “VRMS”“VDC”..............................16 Valor eficaz o VRMS: “Root Mean square”.............................................................17 Análisis en el tiempo (R.L.C)............................................................................. 20 Circuito lineal.................................................................................................. 20 Circuito no-lineal............................................................................................. 20 Régimen permanente....................................................................................... 20 Régimen transitorio.......................................................................................... 22 Comportamiento.............................................................................................. 22 Caso I:........................................................................................................... 22 Caso II........................................................................................................... 22 Inductancia..................................................................................................... 24 Impedancia (Z)................................................................................................ 25 Angulo de fase (θ)........................................................................................... 25 Caso resistencia.............................................................................................. 25 Caso inductivo................................................................................................ 26 Caso capacitivo............................................................................................... 27 Caso RL......................................................................................................... 27 Caso RC........................................................................................................ 27 Análisis de circuitos......................................................................................... 28 Circuito resistivo.............................................................................................. 29 Circuito resistivo-inductivo (serie) si V=i*R..........................................................30 Circuito resistivo-capacitivo (serie).....................................................................31 Dominio del tiempo (paralelo)............................................................................34 Notación fasorial............................................................................................. 35 Diagrama de impedancia................................................................................. 36 Consideraciones para resolver circuitos mediante el dominio de la frecuencia “fasores”37 Admitancia (y)................................................................................................. 38 Cirucito serie-paralelo admitancia (y).................................................................43 2

Diagrama de admitancia...................................................................................44 Diagrama de voltaje......................................................................................... 44 Diagrama fasorial de (V vs I)............................................................................. 45 Diagrama fasorial de la intensidad.....................................................................46 Análisis de circuito........................................................................................... 47 Análisis de corrientes por mallas........................................................................47 Sistema de ecuaciones de mallas......................................................................48 Forma matricial............................................................................................... 48 Método de matrices y determinantes..................................................................48 Impedancia de entrada..................................................................................... 51 Impedancia de trasferencia............................................................................... 52 POTENCIA ELÉCTRICA.................................................................................. 54 Potencia activa................................................................................................ 54 Potencia aparente........................................................................................... 55 Potencia reactiva (Q) [VAR].............................................................................. 55 Capacitiva...................................................................................................... 55 Potencia compleja........................................................................................... 56 Corrección de factor de potencia.......................................................................56 Sistemas polifásicos........................................................................................ 58 Sistemas bifásicos........................................................................................... 58 Sistemas polifásicos........................................................................................ 59 Conexión en estrella........................................................................................ 59 Conexión en triangulo...................................................................................... 59 Relación entre los elementos activos y pasivos en los circuitos eléctricos................62 Potencia media, instantánea.............................................................................62 Análisis de circuitos......................................................................................... 66 Circuito serie-paralelo...................................................................................... 73 Potencia eléctrica............................................................................................ 77 APENDICE 1.1. Números complejos 1.2. Forma de números reales y números complejos 1.3. Formas de expresar un número complejo Suma y diferencia de números complejos (solo en forma rectangular) Multiplicación de números complejos

3

1. INTRODUCCION

La corriente alterna es de gran importancia, entre otras cosas, porque nos proporciona la red

eléctrica

domiciliaria.

Es

aquella

con

la

cual

funcionan

habitualmente

los

transformadores y un gran número de dispositivos. Lo más frecuente es que posea forma sinusoidal. Debido a que cualquier función periódica puede expresarse como la suma de diferentes armónicos (teorema de Fourier), el estudio de la corriente alterna constituye la base para el análisis de señales variables en el tiempo en redes lineales. Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna. Desde un punto de vista tecnológico, el uso de la corriente alterna es muy conveniente debido a que ésta es muy fácil de generar y su transporte puede realizarse fácilmente a altas tensiones (y pequeñas intensidades) minimizando así las pérdidas por efecto Joule (posteriormente, por inducción electromagnética, la corriente alterna puede fácilmente transformarse a las tensiones usuales de trabajo). Estas características junto con su fácil aplicación para motores eléctricos hizo que, a partir de finales del siglo XIX, la corriente alterna se impusiera para uso doméstico e industrial y que, por tanto, la tecnología eléctrica se haya desarrollado en torno a esta forma de corriente (en Europa la frecuencia de la corriente alterna es de 50 Hz). Una característica adicional de esta corriente es que su forma armónica se conserva cuando la corriente es modificada por el efecto de elementos lineales, a saber: resistencias, condensadores, bobinas, transformadores, etc.

4

2. JUSTIFICACION Los estudiantes de ingeniería eléctrica

5

3. OBJETIVO: 3.1.

Objetivo general: Estudiar los circuitos en serie RL, RC y RLC sistema monofásico, bifásico y trifásico. En corriente alterna. Aplicación al cálculo de L y C.

3.2.

Objetivo especifico: Analizar las leyes básicas, teoremas y técnicas aplicadas a los circuitos eléctricos en corriente alterna, y sistema monofásico, bifásico y trifásico así como el uso de las matemáticas en la solución de circuitos variables en el tiempo.

6

RELACIÓN DE ELEMENTOS PASIVOS Al suministrar energía a un elemento pasivo de un circuito, este se comporta o corresponde a: 1) Si la energía lo disipa el elemento es resistivo puro R

+

-

I

2) Si la energía lo almacena en un campo magnético es una bobina pura +

-

L

3) Si la energía la almacena en un campo eléctrico es una condensador +

C

I

Nota: En la práctica los componentes pasivos se comportan de una o más formas e inclusive los tres simultáneamente. Resistencia(R):  

La diferencia de potencial V(t) en los bornes o terminales de un elemento resistivo es directamente proporcional a la intensidad de corriente i(t) que circula por él. La notación en función del el tiempo se representa por las letras minúscula: v(t),i(t), p(t). los valores máximos o amplitudes se representan con el subíndice m. ejemplo: V(t)=R*i(t) i(t)=V(t)/R R= i(t)/ i(t)

vmm

+

i(t)

V(t)

-

Autoinducción (L): 

Al circular una corriente i(t) se origina un flujo magnético, esta variación de flujo magnético origina una fuerza electromotriz (f.e.m) que se opone a dicha variación.



Si por una bobina circula una corriente i(t) se origina una f.e.m inducida (v) que es directamente proporcional siempre que la permeabilidad magnética sea constante.

L= se conoce como el coeficiente de proporcionalidad o coeficiente de autoinducción. L=henrio [H]

7

v dt=d Li

∅=L∗i(1) v=

d∅ (2) dt

di=

Vd ∅ L

i(t )=

1 v dt L∫

(1) En (2) v= L=

d(L∗i) di =L dt dt

V∗s A

H=

V∗1 [s] 1[ A]

Capacitancia (C): se le conoce como constante proporcionalidad y es la capacidad del condensador.  

q= carga almacenada en el condensador. v= diferencia de potencial en los bordes del condensador.

F=faradio=

coulombios amperios +

q(t) =C V (t ) -

i (t )=

dq dt

i(t )=

dv dt

La bobina (inductores) y los condensadores (capacitores) acumulan energía pero durante cierto tiempo es decir durante un tiempo (t) la energía permanece en el circuito y durante otro tiempo retorna la fuente. 

En la resistencia(R) la potencia (p) siempre es positiva y la energía (w) es creciente en función



del tiempo. En una inductancia no puede mantenerse la energía cuando se desconecta la fuente porque



simultáneamente el campo magnético desaparece. En una capacitancia la carga eléctrica permanece y su campo eléctrico aun después de desconectar la fuente se descarga paulatinamente.

8

Unidad

Tensión [V] V(t)=R*i(t)

R [Ω]

L [H]

di L V(t)= dt V(t)=

C [F]

1 i dt L∫

Intensidad [A]

i(t )= i(t )=

V (t )

Potencia [W]

T

p=i*R p=V(t)*i(t)

R

p=

p=v*i 1 V (t ) dt ∫ di L p=L∗i dt

i(t )=C

dv dt

P media [W]

1 ∫ p dt T 0 T

1 p= ∫ p dt T 0 T

p=v*i

p=C∗V

dv dt

1 p= ∫ p dt T 0

Energía [J] t2

w=∫ p dt t1 t2

w=∫ p dt t1

t2

w=∫ p dt t1

Potencia (p): La potencia eléctrica (p) se define por el producto de la diferencia de potencial o tensión aplicada (v) y la intensidad de corriente (i). p=v(t)*i(t)

vvv

1[W]=1[voltio]*1[amperio]



La potencia (p) es positiva si circula la intensidad de corriente de - a + ese momento, la fuente entrega corriente el circuito por lo tanto suministra energía.



La potencia (p) es negativa si circula la intensidad de corriente de + a – ese momento la fuente obtiene energía de los elementos pasivos del circuito.

Potencia media: (P): En el caso en que la potencia (p) se una función periódica del tiempo(t) del periodo(T)se define como un valor medio. t

P=

1 ∫ pd t T 0

[Potencia media] [W]

Energía (w): La potencia (p) es la variación de energía transferida en una unidad de tiempo se puede expresar que: p=

w t

dw= pdt 9

t2

dw p= dt

w=∫ pdt t1

Ejemplo: La función intensidad de corriente de la figura es una onda creada producida en esta corriente, circulando por una resistencia pura de 10Ω. Obtener las curvas de tensión v(t) y la potencia p(t) instantánea. i(t) 5A

----------------------------------------------------------

π

2π

V(t)=i(t)xR.

v(t) 50

1X10-3 S

----------------------------------------------------------

V(t)=5x10 V(t)=50

π

10

2π

1X10-3 S

p(t) 250

----------------------------------------------------------

p(t)=v(t)xi(t). p(t)=50x5

π

2π

p(t)=250 1X10-3 S

Tipos de ondas: 

ondas Senoidal y cosenoidal

Wt en función de Θf W=2πf f= 1/T 

Onda Triangular: =0.016 seg. T= 16ms



Onda diente de sierra:

11



Onda cuadrada:

PROBLEMA RESUELTOS En el circuito del generador viene dado por V(t)=150sin wt. Hallar: a. La intensidad i(t) b. La potencia instantánea c. La potencia media

i(t )=

v (t ) 150 = sin wt =5 sin wt r 25

p=V ( t )∗i (t )=150 sin wt∗6 sin wt si wt =∝ p=900sin2α p=900sin2wt [w] T

1 p= ∫ p dt T 0 T

p=

1 ∫ 900 sin2 wt dt π 0 π

900 p= sin 2 wt dt ∫ π 0 p=

[

900 π sin 2 π − π 2 4

p=450[W ]

12

]

+ 25 -

En los bornes de una bobina pura de autoinducción L= 0.02H, se aplica la tensión v(t)= 150sen 1000t hallar:

a) b) c) d)

La corriente i(t). La potencia instantánea p(t). La potencia media P. Realizar sus gráficos.

1 .150∫ sen 1000 tdt=¿ 0.02 H 1 i ( t )= ∫¿ 0.02 H

150 sen 1000 tdt=

i ( t )=

150 du −7500 sen u . = sen u du=−7.5 cos u+c ∫ 0.02 H 1000 1000 ∫

i ( t )=−7.5 cos 1000 t+C

p (t )=v ( t ) .i(t ) p (t )=150 sen 1000 t x−7.5 cos 1000 t=−562.5 sen 2000 t

π

1 P= ∫ pdt π 0 −sen 2000 t dt=¿ π 562.5 −562.5 sen 2000 t dt=¿ ∫¿ π 0

π

π

0

1 P= ∫ ¿ π 0 π

sen 1 000 t dt ∫ −cos 1000tdt =¿ 0

[

π

P=

P= 0w

13

][

1124.4 −cos 100 t sen 1000 t . π 1000 1000

562.5/2 ∫¿ π 0

]

Valor medio / valor eficaz

Vp

Amplitud Ciclo sinusoidal

wt

-Vp Vp

Ciclo triangular

t (ms)

-Vp Vp

Amplitud Ciclo cuadrado

t (ms)

-Vp Diente de sierra

t (ms)

-Vp

14

    

La tensión (V(t)) y la corriente (i(t)) varían en forma periódica a lo largo del tiempo. Se denomina corriente alterna a la corriente eléctrica en que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna comúnmente es la onda sinusoidal. Porque se usa la onda sinusoidal Puesto que se consigue una transmisión más eficiente de energía La señales de AM-FM es una información codificada que mediante rectificadores “diodos”, inductores se logra recuperar la onda sinusoidal

Ciclo Un ciclo es toda la señal antes de repetirse

Periodo Es el tiempo que tarda un ciclo de la señal

Frecuencia Es el número de vueltas que da en un segundo

Amplitud Es el valor desde el eje horizontal hasta el máximo Amplitud [A]=Vp=Vmax

Valor instantáneo Es el que forma la ordenada en un instante t determinado Valor pico a pico (Vpp) Es la medida desde el valor mínimo hasta el máximo  Es la diferencia entre su valor pico máximo positivo y su valor máximo negativo Vpp=Vp-(-Vp) Vpp=Vp+Vp 89.9Hrz

1 1 T= = =0.011 seg f 89.9 Pulsación La pulsación es la frecuencia angular expresada en radianes

W=2πf

15

W=

2π T

Valor medio o valor DC de onda (Vdc)   

Es el valor del área que forma con el eje de las abscisa partiendo por su periodo El área se considera positiva si esta encima del eje y negativa si esta de bajo Es una señal sinodal o sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo

Vp

T

A1=-A2

1 V DC = ∫ f ( t ) dt T 0

A1 A2 -Vp

Factor de forma: es la relación entre el valor eficaz “VRMS” “Veficaz” y el valor medio “VDC” K=

V eficaz T

1 ∫ f ( t ) dt T 0

K=1.11 sinusodal Factor de amplitud (K): es la relación entre el valor máximo de la magnitud y su valor eficaz VDC

21

15

A1 3

A2

4

-3

A=15 Vpp=18= Vp-(-Vp) T=4seg f=0.25t

Area1= (3*15)/2=22.5 Area2= (1*3)/2=1.5 Área=A1-A2 Área=22.5-1.5

T

V DC =

1 ∫ f ( t ) dt T 0

Área=21

T

0.25 V DC = ∫ t dt 4 0

Valor eficaz o VRMS: “Root Mean square”

16



Se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante el periodo.

√

T

T

1 1 V RMS = ∫ V 2 t dt V RMS 2= ∫ V 2 t dt T 0 T 0 

En la industria casi todas la operaciones con magnitud negativa se hacen con valor eficaz

17

Consideración

V max A Vef=VRMS= √ 2 = √ 2

V max A Vef=VRMS= √ 3 = √ 3

Vef=VRMS=A



Si la onda es alterna pura para el área positiva es igual al área negativa por lo tanto el valor medio es igual a cero A1 A2



A1=11 A2=-21

Si la onda no es alterna pura es decir que el área positiva no es igual al área negativa el valor medio es distinto a cero

A1=20 A2=-4

A1>A2 Vef=VRMS≠0 A2>A1 Vef=VRMS≠0

T

V RMS2= V rms =

1 ∫ f ( t )2 dt T 0

V max

√3

Vmax=325V Vdc=230V

18

Veifcaz=VRMS*

√2

5 A 6

12

-5

f=

1 T

VPP=VP-(-VP)

18

T=12seg f=0.083Hz A=5 VPP=10 VRMS= VDC=

V RMS =

T

A 5 = =2.88 √3 √3

V DC = 12

f=0.083Hz

VPP=5+5

A1=b*h A1=5*6 A1=30

VPP=10 A2=b*h A2=5*6 A2=30

1 V DC = ∫ f ( t ) dt 12 0

y=4cos5x

w= 5=

2π T

2π T

T=

2π 5

0

19

1 ∫ f ( t ) dt T 0

Análisis en el tiempo (R.L.C) Régimen de funcionamiento  

Los modelos de los componentes son ideales porque representan el comportamiento del elemento físico de una manera simplificada Es decir se utiliza aproximaciones del comportamiento cíclico (R.L.C) II magnitud

Circuito lineal Se dice que un elemento es lineal cuando la relación matemática entre las magnitudes es la ecuación de una línea recta, es decir es una relación proporcional.

I magnitud

Circuito no-lineal En un circuito no lineal, es cuando la relación matemática es más complicada y también cuando aparecen diodos, transistores, etc. II magnitud

I magnitud

Régimen permanente  

Es estado de un circuito es el que nos proporciona la información del comportamiento del ciclo Se dice que un circuito esta en régimen permanente cuando funciona durante un tiempo, relativamente largo bajo una condición conocida inalterable a lo largo del tiempo

20

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// RPI= régimen permanente inicial RPF=régimen permanente final //////////////////////////////////////////////////// RE=régimen estacionario

RE

RPI

RPF

V

Régimen transitorio Un circuito esta en régimen transitorio cuando pasa de una función a otras condiciones de funcionamiento, durante un cierto intervalo de tiempo se produce alteraciones en las condiciones de funcionamiento. I

+

Comportamiento Caso I: Circuito abierto: cuando una trayectoria no fluye la corriente siendo su resistencia al infinito R=∞ V I

I I=0 V=?

I

Caso II Corto circuito: es cuando su voltaje es cero siendo su resistencia igual a cero V I

I I=? V=0

I 21

Inductancia   

Son elementos bi-terminales Almacena energía proveniente del campo magnético En fuentes DC se comporta como circuito cerrado

Caso I

I

Proceso de carga Toma de energía

+

+

c.c

t Caso II Proceso de descarga Cede energía

I i=KTE V=0 corto circuito

t Condenadores  Son elementos bi-terminales  Almacena energía que recibe en el campo eléctrico  Se comportan como un circuito abierto V

V Vcc

t

Carga K*e-t/τ

Descarga

+

+

t

K*e-t/τ

Τ=R*C Capacitor

τ=

L R

Inductor

El punto de carga y descarga viene dado por la letra τ.

22

I=0

C

V=KTE

I=0

c.a

12V

+

2R

10R

2F

4F

6H

6F 12V

2R

+

2R

10R

2H

4R

4R

1 1 1 1 17 = + + = R eq 2 10 4 20

I=

V R

Req =1.17 Ω

I=

12V 1.17 Ω

I =10.25 A

Impedancia (Z) La impedancia de un elemento aislado de una rama de varios elementos es la relación entre a tensión aplicada sobre la intensidad de corriente.

z=

V aplicada Icorriente

Angulo de fase (θ) 

Si la tensión como la intensidad (I) de corriente son funciones sinodales y conoidales del tiempo (t) aparece una desplazamiento relativo entre ambas magnitudes y nunca puede ser superior a 90o o π/2rad

Caso resistencia En un elemento resistivo puro la intensidad (i) está en fase con el voltaje (v).  El módulo de la impedancia es R |z|=R

+ Vcc -

23

I

R

Caso inductivo En una bobina para la intensidad se retrasa 90o o π/2rad respecto a la tensión.  El módulo de la impedancia xL=jwL

+ Vcc -

24

I

L

Caso capacitivo Un condensador puro la corriente (i) se adelanta 90o respecto a la tensión y su módulo es el inverso de jwC

x C=

1 jwC

+ Vcc

I

-

C

Caso RL En un circuito RL la intensidad de corriente se retrasa un ángulo θ dependiendo de su valor de su resistencia e inductancia. 05πms, una condensador de 20µF tiene una tensión de V (t)=50sin (200t)[V]. Calcular la carga, la potencia instantánea la intensidad y la energía considerar w=0, t=0

q= C*V(t) q= (20µF) (50sin (200t)) q= 1mC sin (200t)

i (t )=C

dv dt

64

t2

w=∫ p dt t1

t2

dv i(t )=C(50sin (200 t )) dt

w=∫ 5 sin 400 t dt t1

i(t )=(20∗10−6 F)(50 sin(200 t))

dv dt

w=

−5 cos 400 t +C 400

5 cos 400 t +C 400

i(t )=(20∗10−6∗50∗200)(cos (200 t))

0=

i (t )=0.2 cos 200 t

C=

5 cos 400 t +C 400

cos 400( 0) 1 +C=¿ + C=¿C 400 400 0=C−

p=V(t)*i(t) p= 50 sin ( 200t )∗0.2cos 200 t

p=

10 sin 400t [W ] 2

5 cos 400t 400 w=

5 5 cos 400 t − 400 400

w=

5−cos 400 t 5 = (1−cos 400 t) 400 400

p=5 sin 400 t [W ] 

La energía absorbida por in elemento eléctrico viene dado por la curva de la figura, si le voltaje a través de dicho elemento V(t)= 12cos(πt), hallara la corriente en los instante t=1ms t=6ms W (mj)

W=y t (ms) t=x Intervalo de 0-2

y− y 1=m(x −x1 )

p=

dw dt

i(1)=

p v

w−0=4 ( x−0 )

p=

d 4t dt

i(1)=

4w 12 cos πt

i(1)=−0.33[ A]

w=4 x w=4 t

65

p=4 w

i(1)=

4w 12 cos 180∗1

Intervalo de 2-5

y− y 1=m ( x−x 1 )

p=

dw dt

w−8=0 ( x−2 )

p=

d4 dt

p=0 [W ]

w=8 Intervalo de 5-7

y− y 1=m ( x−x 1 )

p=

dw dt

i(6)=

p v

w−8=6 ( t−5 )

p=

d (6 t−22) dt

i(1)=

6w 12 cos πt

w−8=6 t−30

p=6 [W ]

w=6 t−22

66

i(1)=

6w 12 cos 180∗6

i(1)=−0.5 [ A]



La corriente que entra por el terminal t de una bobina de 10[V] varia linealmente de 3 a 9 milisegundos en el intervalo de t= (0-15ms) a. Cuanta carga pasa por la bobina durante los primeros 10 ms b. Cuál es la potencia desarrollada por la batería en t= 5ms mA

y=i(t)

t (ms)

t2

q=∫ i(t ) dt

y− y 1=m ( x−x 1 )

t1

m=

y 2− y 1 x 2−x 1

m=

9 mA−3 mA 6 mA = 15 ms−0 ms 15 ms

i−3=0.4 ( t−0 ) i−3=0.4 t

m=0.4

i=0.4 t−3

10

q=∫ ( 0.4 t +3 ) dt

p=V*i

0

p= (10V)*(0.4t+3) 10

10

q=∫ 0.4 tdt +3 ∫ dt 0

p= (10V)*(0.4 (0.005)+3)

0

2 10

[ ]

0.4 t q= 2

+3[t ]10 0

p=50mW

0

q=20 mC +30 mC q=50 mC 3. Valor medio y eficaz2 a. Gráfica de funciones 

Sea la función y=2sin3x a. Graficar b. Encontrar T c. Ciclo

w=3 67 -2

t (ms)

w= 3=

2π T

2π T

T=

2π 3



Sea la función y=2cos3x a. Graficar b. Encontrar T c. Ciclo

w=3 w= 3=

2

2π T

2π T

T=

2π 3 -2

50

b. Ejercicios de aplicación 

Hallar los valores medios y eficaz de la forma de onda en diente de sierra d la figura A=Vmax=Vp=50

m=

y 2− y 1 x 2−x 1

m=

50 2

m=25

y− y 1=m ( x−x 1 ) y−0=25 ( t−0 ) y=25 t

68

V RMS =

V max 50 = =28.86 √ 3 √3

√

T

V DC =

1 ∫ f ( t ) dt T 0

V DC =

1 ∫ 25tdt 20

2

T

V RMS 2=

2

1 ∫ f 2 t dt T 0 2

25 V DC = ∫ t dt 2 0

V RMS

2 2

2

1 = ∫ (25 t)2 t dt 20 2

[]

25 t V DC = 2 2

T

1 V RMS = ∫ f 2 t dt T 0

V RMS2=

0

V DC =25

V RMS

625 ∫ (t)2 t dt 2 0 2

[]

625 t 3 = 2 3

2

0

V RMS =√ 833.33 V RMS =28.86

4. Análisis de circuitos a. Dominio del tiempo( y circuitos en serie 

En un circuito serie R-L siendo L=0.02H y la impedancia z=17.85Ω aplicando una corriente sinuodal que circula esta retrasada a un ángulo de θ=63.4o. Hallar W y R

Z=17.85Ω

WL

XL=WL W=Xl/L W=15.96/0.02 W=798

Cos 63.4o=R/17.85 R= (Cos 63.4o)(17.85) R=8Ω

63.4o

R



WL=17.85*sin(63.4o) WL=15.96 WL=XL=15.96

En el circuito en serie R-L se tiene una resistencia R=20Ω y una inductancia L=0.06H, se retrasa de la corriente con respecto a la tensión 80o encontrar la pulsación

cos 80= Z

WL

80o 69 R=20Ω

20 Z

z=

20 cos 80

Z =115.18

z=√ R2 +W 2 L2 W=

√ √

Z 2−R 2 L2

115.82 −202 W= 0.062 W =1890.4

rad seg

rad∗360o 1890.4 =108313.5 o 2 πrad 

2 elementos puros de un circuito serie tienen la siguiente corriente y tensión (500t+10) [V] e i=13.42 sin (500t-53.4) [A] determinar dichos elementos

V=150 sin

V=150 sin (500t+10) [V] R

V=150sin(500t+10)[V]

+ -

? i=13.42 sin (500t-53.4) [A]

tan −1 θ=

V=I*R

tan −1 63.4=

V=I*Z

I 150 Z= = V 13.42 Z=11.17

2=

2R=WL 2R=500L R=250L R=7.89Ω



WL R WL R

Z =√ R 2+(WL)2 Z =√(250 L)2 +( 250 L)2

WL R

Z=353.55L

L=

11.17 353.55

L=0.03H L=30mH

En un circuito serie RCL tiene los valores R=150Ω; L=0.08H; C=30µF La tensión aplicada es de una pulsación de W=500rad. Halla el ángulo de fase de la corriente respecto a la tensión e indicar que elemento predomina.

70

XC= (WC)-1 XC= (500*30*10-6)-1 XC= 66.67

XL=WL XL= (500) (0.08) XL=40

15

+ 0.08H -

WL< ((WC)-1 θ= (-) predomina la capacitancia

WL− −1

tan θ=

30uF

θ=−60.64

o

1 WC

R

√

(

Z = R 2+ WL−

1 WC

2

)

Z =30.59Ω

Vmax imax -imax -Vmax



A un elemento eléctrico se le aplica un diferencia de potencial de V=5 sin (2500t-30) [V] y circula una intensidad de corriente i=2.5 cos (2500t-30) [A] identificar que elemento es, su valor y su gráfico. 5 2.5

-2.5 -5

i=

Vm XC

i=

Vm XL

i=2.5 cos(2500t−30+ 90) i=2.5 cos(2500t +60)

71

i=

i=2.5 cos(2500t−30)

2.5=

Vm XC

5 1 2500∗C

2.5= (2500) (5) C

2.5=12500C

C=0.2mF

b. Notación fasorial 

Construir los diagramas fasoriales y de impedancia además determinar las constantes del circuito para la tensión y la corriente siguiente: V=150sin (5000t+45o) [V] I=3sin (5000t-45o) [A]

V=

Vm 150 ∠ θ=¿ ∠θ √2 √2

V =106 ∠ 45o [ V ]=74.95+ 74.95 j i=

3 ∠ −15o =¿ 2.12∠−15o =2−0.5 j[ A ] √2

z=

V 106 ∠45o = =50 ∠ 60=25+ 43.3 j[Ω] i 2.12 ∠−15 o

R=25Ω L=X XL=WL

Z =√ 43.32 +252

43.3=5000L

Z =50

L=

43.3 43.3 tan−1 θ= 5000 25

L=8.66mH θ=60o L=0.08H Diagrama de impedancia

60o

Z=

43.3

Diagrama fasorial

50

V

45o 25

72

-15o i



A un circuito serie RC con R=20Ω, C=5µF se le aplica una tensión de V=150cos (10000t) [V]

z=R− j

11111

( wC1 ) 20

z=20−20 j

150

+

V=150cos(10000t)

-

o

z=20 √ 2∠−45

+

-

z=20-20j

5uF o

z=28.28 ∠−45

XC=

1 WC

XC=

1 −6 10000∗5∗10

X C =20 20 45o .28 28 Z=

-20

40 Z=



Un circuito serie de dos elementos R=20Ω, L=0.02h tiene una impedancia compleja WL

el argumento y la frecuencia en Hz o cps. R=20Ω 60 L=0.02H

z=40 ∠ θ

R=20Ω

z=20+ j20 √ 3 z=20+ j34.64

w=2 πf f=

w 2π

f =275.66 Hz

cos θ=

20 40

73

z=40 ∠ θ . Hallar

Im -Im

θ=60

sin 60=

WL 40 Vm

40∗sin 60 W= 0.02

-Vm

W =1732.5 

Construir los diagrama fasoriales entre impedancia y función

tanto

para

la

tensión

y

la

determinar las constante del circuito para la corriente

i=15.15 sin(2500 t−145o ) [A]

V=

Vm ∠θ √2

I=

V=

311 ∠ 170 o √2

V=

V =219.91 ∠ 170o

Im ∠θ √2

Z=

15.5 ∠−145o √2

219.91 ∠170o Z= 10.96 ∠−145o

V =10.96 ∠−145o

V =−216.569+38.18 j

V =−8.97+6.28 j

V I

Z =20.06∠−45o Z =14.18−14.18 j

R

Z

+

170o

R

+

145o

I

XC=

1 WC

X W (¿¿ C ) 1 C= ¿ C=

1 (2500)(14.14)

C

cos 45=

R Z

R=cos 45(20.06)

R=14.14 Ω

C=28.28 µF 45o

74 10o

V =311 sin (2500 t+170o )

[V],

-14.14

Capacitancia

Z=2 0

.06

R=14.14Ω

75

A un circuito en serie con resistencia R=10Ω y un inductor c=50µF se le aplica una tensión de cuya frecuencia es tal que la corriente se adelanta 30 o respecto a la tensión a que la frecuencia la corriente estaría adelantada 70o, W=2πf f=60Hz W=120π 10 + R 30o

-

Z

tan−30=

XC R

XC= W=

X C =−5.77

XC

70o Z

50uF

1 WC

tan−70=

1 W XC

XC

XC R

XC=

W=

X C =−27.47

W =3466.2

1 W XC

W =728.06

W =2 πf

f=

1 WC

W =2 πf

3466.2 2π

f=

f =551.66 Hz

728.06 2π

f =115.87 Hz

Expresar cada una de las siguientes tensiones en notación fasorial y construir el diagrama de impedancia si

V 1=212 sin( wt +45 o) wt −45o ¿ 120o ¿ V 4 =85 cos ¿

60.1

45o

Vm o o V´ 1= ∠ 45 =¿ 149.9 ∠ 45 =¿ 106+106 j √2 V V´ 2= m ∠ 90 o=¿ 100 ∠ 90o=¿−100 j √2 149.9

90.01

V 5=141.4 sin (wt +180 o)

180o -100

-100

V 2=141.4 sin (wt −90o )

V´ 3=127.3 cos ( wt +30+90 ) V´ 3=127.3 sin(wt +120)

76

wt +30 o ¿ ¿ V 3=127.3 cos ¿

V V´ 3= m ∠120o =¿ 90.01∠120 o=¿−45+78 j √2 V´ 4 =85 cos ( wt −45+ 90 ) V V´ 4 = m ∠45o =¿ 60.1∠ 45o=¿ 42.5+42.5 j √2 V V´ 4 = m ∠45o =¿ 100∠180 o=¿−100 √2

77



Hallar el fasor de tensión de un circuito según la figura

V =200 ∠45 o [V ] y la intensidad de corriente

o

I =10 ∠15 [ A ] . Encontrar la impedancia, admitancia, resistencia, reactancia, conductancia y la

de

suceptancia.

V =200 ∠45 o=141.42+141.42 j I =10 ∠15 o=9.65+ 2.58 j

z=

V 200 ∠45 o = =20 ∠30o=17.32+10 j o I 10 ∠ 15

y=

I 10∠15 o o = =0.05 ∠30 =0.04−0.025 j V 200∠ 45o R Z

tan 30 =

R=17.32 Ω

X L=10Ω

o

cos 30 =



o

WL R

Cuando la impedancia z=3+4j hallar la admitancia correspondiente, resistencia, reactancia, conductancia, suceptancia y comprobar los valores.

5

+ V

4

-

53.1o 3

R=3 Ω

z=( 3+ 4 j )

x=4 Ω

−1

y=0.12+0.16 j

G=

R R +x 2

B=

−x R2+ x2

G=

3 3 +4 2

B=

4 3 +4 2

2

2

78

2

R=

G 2 G +B

x=

−B 2 2 G +B

R=

0.12 2 2 0.12 +0.16

x=

−0.16 2 2 0.12 + 0..16

2

G=0.12 ℧

B=−0.16 j

c. Circuito serie-paralelo 

En el circuito serie de la figura encontrar la impedancia equivalente (Zeq) e intensidad (I), determinar que las sumatoria de las caídas de tensión es igual a fasor l tensión aplicada, realizar el diagrama fasorial de V vs I , diagrama de impedancia, diagrama fasorial del voltaje. 3j

+

V1

-

+

-

+

4

V2

-6J

Z=4+3j-6j

I =16+12 j

Z=4-3j

I =20 ∠36.86o

+ V3 -

-

Z=Z1+ Z2+ Z3

V 100 ∠0o I= = Z 5 ∠−36.86 o

Z =5∠−36.86 o

V1=I*Z1 V1= (16+12j) (4) V1= 64+48J

V2=I*Z2

V3=I*Z3 V2= (16+12j) (0+3j) V2= -36+48j

V3= (16+12j) (-6j) V3= 72-96j

VT=V1+V2+V3 VT= 64+48J-36+48j+72-96j

V T =100∠0

o

Diagrama fasorial (V vs I)

Diagrama de impedancia

20

3j

36.86o



4+0j 100

-6j

En el circuito paralelo de la figura, hallar las intensidades de corrientes en cada rama (I) como la intensidad total, construya el diagrama fasorial de la intensidad, calcule la Zeq, a partir Z vs I y comparar. I2

I1

3 50∟0o

+ 10 -

ZI=3-j4 79

-j4

ZI=5∟53.1o

Z I∗10 Ω (5∠−53.1)(10) 50 ∠−53.1o 50 ∠−53.1o Z eq = = = = =3.67 ∠−36 o o Z I + 10Ω 3− j 4+ 10 13− j 4 13.6 ∠−17.1 V =I 1 Z 1 I1 =

V 50∠ 0o o = =6+ j 8=10∠53.1 o Z 1 5 ∠−53.1

V 50 ∠0o I2 = = =5 ∠0o Z2 10

IT =

V 50 ∠0o o = =13.6 ∠ 36 Z eq 3.67 ∠−36o

5. Análisis de circuitos a. Forma matricial 

Dado el circuito de a fig. Encontrar I1, I2 y la potencia suministrada por la fuente V=50∟0o y la potencia disipada en las resistencias de 3Ω y 10Ω 10 3 +

50∟0o

-J5

-

[

][ ] [

10− j 5 j5 I 1 50 ∠ 0o = j5 3− j I 2 0

[

o

J4

]

]

50 ∠ 0 j5 0 3− j 150−50 j o I1 = = =2.8+ 0.4 j =2.8∠ 8.13 ΔZ 50−25 j

[

]

10− j5 50∠0 o j5 0 250 j I2 = = =−2+4 j=4.47 ∠ 116.56o ΔZ 50−25 j P=VI cos θ

80

2.89(cos 8.13) 50 ¿ P=¿ P=138.6 W 2

2

P=I R

P=I R

P=( 4.47 )2 (3)

P=( 2.8 )2 (10)

P=59 W

P=80 W

Psuministrada=Pdisipada 138.6W=80W+59W 139W=139W

81

En el circuito de la figura hallar las intensidades IA, IB, IC. IA

| ||

I1

|

o −3+ 4 j I 1 = 220 ∠ 120 ∆ z= 6−8 j 220∟120o o −3+ 4 j 6−8 j I 2 220 ∠0

|

IB

3-4j Z2

|

o

220 ∠ 120 −3+4 j o 220∟0o 220 ∠ 0 6−8 j I1 = =20.32+15.24 j Δz IC

I 1 =25.4 ∠143.1o

|

|

6−8 j 220∠ 120 o o −3+ 4 j 220∠0 I1 = =25.4 ∠ 83.1o Δz I 1 =I A =25.4 ∠ 143.1o I B=I 2−I 1=25.4 ∠83.1o −25.4 ∠143.1o I B=25.4 ∠23.1

o

o

I C =−I 2=−( 25.4 ∠23.1 ) Negativo desfasa I respecto a V 120o 23.1-120=96.9

I C =25.4 ∠96.9o

82

Z1

3-4j

Δz=−21−72 j

|

3-4j

Z3

I2

6. Potencia eléctrica Trazar el triángulo de potencia cuya impedancia es de z=3+j4 [Ω]. Al que se le aplica un factor de voltaje de V=100∟30o. encuentre S, P y Q.

V 3+ j 4 I= = =20 ∠−23.3 z 100 ∠30

30o 23.3o

53.3o

S=V*I* S=100∟30o·20∟23.3o S=2000∟53.3o S=1195.2+1603.5J P=1195.2 [W] Q=1603.5 [VAR] P=R|I|2=3Ω*(20)2=1200 [W] Q=x|I|2=4Ω*(20)2=1600 [VAR] S=z|I|2=5Ω*(20)2=2000 [VA]

F . P=

P 1200 W = =0.6 cos−1 0.6=53.1 |S| 2000 W

Se desea corregir el factor de potencia a 0.9, encontrar las nuevas constante de potencia.

cos 25.84= S=1333 [VA]

1200 S

tan 25.84=

Q=581.13 [VAR]

QReal=1600 [VAR]-581.13 [VAR] QR=1018.8 [VAR]

83

Q 1200

Determine el triángulos de potencia de cada rama del circuito en paralelo, obtener el circuito completo y encontrar el diagrama del triángulo de potencia.

z eq=

4 ∠ 30∗5∠60 4 ∠ 30+5 ∠ 60

z eq=2.3 ∠ 43.3 z eq=1.67+ 1.57 J

I=

20∠ 60 2.3 ∠ 43.3

I =8.7 ∠16.7

I 1 =5∠30 [ A ]

I1 =

V z1

I2 =

V z1

I1 =

20 ∠ 60 4 ∠30

I2 =

20 ∠ 60 5 ∠ 60

I 2 =4 [ A ]

P1=V ∗I ∗cos θ

P2=V ∗I ∗cos θ

P1=( 20)(5)(cos 30) P1=86.6 [W ]

P2=40[W ]

S 1=V ∗I ¿

S 2=V ∗I ¿

S 1=( 20 ∠ 60 )∗(5 ∠−30)

S 2=( 20 ∠ 60 )∗4

S 1=100 ∠ 30

S 2=4[ A]

Q1=50[VAR ]

Q2=69.82[VAR]

84

Trace el diagrama de potencia de un circuito cuya tensión es de V=150 sin (ωt+10 o) y cuta intensidad de corriente es i=5 sin (ωt-50o)

V RMS =

150 =106.06 √2

V RMS =

5 =3.54 √2

P=187.72 [W]

S=V ∗I ¿ S=( 106.06 ∠ 10 )∗(3.54 ∠−50) S=375.45 ∠60

sin 60=

Q S

Q=325.19 [VA] Encontrar sus elementos y sus valores

z=

V 106.06 ∠ 10 = I 3.54 ∠−50

Z =15+25.9 j

R=15 Ω L=25.94 H

85

NÚMEROS COMPLEJOS Es el conjunto de números reales se los puede representar en una recta que se llama eje real y es el conjunto de puntos sucesivos.

Números imaginarios: es el número real negativo y se lo representa en un eje imaginario ejemplo

√ −1

√ −2 .

El conjunto de los números reales además tienen como subconjuntos al de los números reales y al de los números imaginarios. Unidad Imaginaria:

j 3= j 2∗ j j 4= j 2∗j 2

1 j=√ −1 2

j 2=( √ −1) 2

j =−1

j 3=−1∗j j 4 =−1∗−1 3

4

j =− j j =1

# Complejo:

Z=x+jy Unidad imaginaria 2do componente parte real 1er componente parte real Modulo

Forma de representar números reales y números complejos  Se necesita un eje real y un eje imaginario perpendicular al eje real. Z3 Z6=3+j5 Z1 Ejemplo: Z4=-3+j2 Representar los números complejos de acuerdo a sus ejes de coordenadas Z1=4 Z5=-4-j4 Z2=2-Z3 Z3= j4 Z4=-3+j2 Z5=-4-j4 Z6=3+j5 86

Z2=2-Z3

,

Formas de expresar números complejos: En circuitos eléctricos se utiliza la notación polar y binomica cuando se habla de tensión, intensidad e impedancia.

1. Forma trigonométrica o binomica. 2. Forma polar o STEINMETZ.

z=r(cos(θ)+jsin(θ)) (z=r ∠ θ)

3. Forma Exponencial.

z=rejθ

Trigonometría z=x+jy

y sin θ= =¿ y=sin θ r r

r

jy

θ x

x cos θ= =¿ x=cos θ r r z=x+jy z=cos(θ)r+jsin(θ)r z=r (cos(θ)+jsin(θ))

Conjugado de un número complejo

En el plano complejo, el conjugado (

−¿ o z ´z o z ¿ ) de una numero complejo Z es siempre simétrico de Z respecto

al eje real. Forma Binomica:

z=x + jy

´z =x− jy

Forma trigonométrica:

cos ( θ ) + jsin(θ) ´z =r ¿

cos ( θ ) − jsin(θ) ´z =r ¿

Forma Polar:

z=r ∠θ

´z =r ∠−θ

Forma exponencial:

z=r e

jθ

87

´z =r e− jθ

Ejemplo: 1. Dado el numero complejo z=4+j3 a. Escribir en forma trigonométrica, polar exponencial b. Para cada caso determinar el conjugado de z

y 3 sin 36= =¿ r = r sin 36 5 θ 4

J3

z=5(cos 36+ j sin 36)

Trigonométrica

´z =5(cos 36− jsin 36) z=5 ∠36

´z =5 ∠−36 z=r e j 36

o

´z =r e− j 36

o

Suma y diferencia de números complejos (solo en forma rectangular) z 1=a+ jb

z 2=c + jd

z 1+ z 2=( a± c ) + j(b ±d ) z 1+ z 2

z 1−z 2

a+ jb c + jd ( a+c ) + ( jb + jd ) ( a+ c )+ j (b+ d)

a+ jb −c− jd ( a−c ) + ( jb− jd ) ( a−c ) + j ( b−d)

Multiplicación de números complejos z 1=a ± jb

z 2=c ± jd

z=( ac−bd ) + j ( ad +bc )

88

z 2−z 1 c+ jd −a− jb ( c−a ) + ( jd− jb ) ( c−a ) + j ( d−b)

a+ jb c + jd ac +cjb +ajd + j 2 bd ac+ cjb+ ajd−bd ( ac−bd ) + j (cb+ ad)

Polar

Exponencial

z 1=r 1 ∠θ 1

z 2=r 2 ∠ θ 2

z 1=r 1 e j θ

z 2=r 2 e j θ

1

j θ1

z 1∗z 2=r 1 ∠ θ 1∗r 2 ∠θ 2

z 1∗z 2=r 1 e ∗r 2 e

z 1∗z 2=r 1 r 2 ∠ θ1 +θ2

θ ¿ j(¿ 1+θ2 ) z 1∗z 2=r 1 r 2 e ¿

Ejemplo Dado z1=2 ∠ 30 z2=5 ∠ -15 z1*z2=10 ∠ -15 Dados los siguientes números complejos z1=5ejπ/3 z2=2e-jπ/6 z1*z2=5ejπ/3*2e-jπ/6 z1*z2=5ej60º· 2e-j30º z1*z2=10ej30º División de números complejos

z 1=a+ jb

z 2=c + jd

z 1 ac+ bd+ j(bc−ad) = z2 c2 +d 2 a+ jb ∗c− jd ( a+ jb ) ( c− jd ) ac+ bd+ j(bc−ad) c + jd = = 2 2 2 2 2 c− jd c −j d c +d

89

j θ2

2