Circuit Book 2_2551

วเคราะหวงจรไฟฟา 1 พมพครงท 1 ปรชา สาคะรงค

ตวเก'บประจ$ Capacitor

ตวต(านทาน Resistor

วธการ วเคราะห แบบต+างๆ

ภาควชาวศวกรรมไฟฟา คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยธ$รกจบณฑตย

ตวเหนยวน-า Inductor

คน ต ร เลมนเหม ะสมส หรบใชประกอบก รเรยนก รสอนในร ยวช วเคร ะหวงจรไฟฟ 1 ของนกศ%กษ ชนป'ท) 2 ภ ควช วศวกรรมไฟฟ คณะวศวกรรมศ สตร มห วทย ลยธ/รกจบณฑตย เน1อห ของต ร แบงออกเป3น 3 สวน สวนแรกจะกล วถ%งทฤษฎก รวเคร ะหพ1นฐ นท) จ เป3น เชน กฎของโอหม กฎของเคอรชอฟฟ; วธก รวเคร ะหแบบปม วธก รวเคร ะหแบบเมช เป3นตน ทงนโดยแสดงใหเห=นก รประย/กตใชกบวงจรท)ประกอบไปดวยตวต นท นและแหลงจ ย ไฟตรง สวนท)สองของต ร จะพจ รณ ผลตอบสนองธรรมช ต (ผลตอบสนองช)วคร@) และผลตอบ สนองสมบ@รณของวงจรท)ถ@กกระต/นดวยแหลงจ ยไฟตรงในวงจร RL, RC และ RLC อย งง ย ก ร ค นวณห ผลตอบสนองดงกล วจ เป3นตองประย/กตใชแคลค@ลส (อน/พนธและอนทเกรช)น) ในสวน นยงไดแนะน ฟFงกชนหน%)งหนวยซ%)งเป3นฟFงกชนไมตอเน1)องท)ส คญ สวนท)ส มจะไดแนะน แนวคดในโดเมนคว มถ) และก รค นวณท)เก)ยวของกบจ นวนเชง ซอนโดยพจ รณ เจ ะจงไปท)ก รวเคร ะหสญญ ณซ ยนในสภ วะอย@ตว นอกจ กนยงกล วถ%ง ก ลงเฉล)ย ค อ รเอ=มเอส วงจรหล ยเฟส ซ%)งทงหมดมคว มสอดคลองกนกบก รวเคร ะหวงจร สญญ ณซ ยน ต ร เลมนใชโปรแกรม Open Office ร/น 2.2.1 และใชโปรแกรม PSCAD V4.2 EVAL ในก รพมพตนฉบบและจ ลองระบบดวยเคร1)องคอมพวเตอรต มล ดบ ผ@เขยนขอขอบค/ณมห วทย ลยธ/รกจบณฑตย ท)ใหท/นสนบสน/นก รแตงต ร ในครงน รวมทงเพ1)อนรวมง นในคณะวศวกรรมศ สตร และครอบครวของข พเจ ท ยส/ดนข พเจ หวงเป3นอย งย)งว ต ร เลมนจะเป3นประโยชนตอผ@อ นในก รท คว ม เข ใจเก)ยวกบก รวเคร ะหวงจรไฟฟ

มห วทย ลยธ/รกจบณฑตย 8 สงห คม 2551

ปรช ส คะรงค I

ดวยคว มดทท ไวขออทศแด

พอทองป น แมสมจต ป ทองหยบ พ)วนด นองประสทธ\ นองผองพรรณ และครอบครวว/ฒศกด\

II

ส รบ ญ คน บทท 1 หนวยและนย ม 1.1 แนะน 1.2 ระบบของหนวย 1.3 ประจ/ กระแส แรงดน และก ลง 1.4 ชนดของอ/ปกรณ และอ/ปกรณท งไฟฟ 1.5 แบบฝ`กหดท ยบท บทท 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

กฎจ กก รทดลองและวงจรอย งง ย แนะน กฎของโอหม (Ohm's Law) กฎของเคอรชอฟท (Kirchhoff 's Law) ก รวเคร ะหวงจรท)มวงเดยว วงจรสองปม ก รรวมตวต นท นและก รรวมแหลงจ ย ก รแบงกระแสและแรงดน (Voltage and current division) ตวอย งในท งปฏบตของออปแอมป; (OPeration AMPlifier,op-amp) แบบฝ`กหดท ยบท

บทท 3 เทคนคก รวเคร ะห&วงจร 3.1 แนะน 3.2 ก รวเคร ะหแบบปม (Nodal Analysis) 3.3 ก รวเคร ะหแบบเมช (Mesh Analysis)

III

หน I 1 1 1 3 6 9 12 12 12 13 16 20 22 26 28 30 41 41 41 50

ส รบ ญ (ตอ) 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

หน ภ วะเชงเสนและทฤษฎบทก รทบซอน (Linearity and Superposition theorem) 58 ก รแปลงแหลงจ ย (Source transformations) 62 ทฤษฎบทของเทเวนนและทฤษฎบทของนอรตน (Thevenin’ s and Norton's theorems) 67 ทรและก รวเคร ะหแบบปมท)วไป (Tree and general nodal analysis) 75 ก)งเช1)อมและก รวเคร ะหแบบวง (Links and loop analysis) 83 แบบฝ`กหดท ยบท 89

บทท 4 ต+วเหนยวน (Inductor) และต+วเก4บประจ (Capacitor) 4.1 แนะน 4.2 ตวเหน)ยวน (Inductor) 4.3 คว มสมพนธของตวเหน)ยวน และก รอนทเกรท 4.4 ตวเก=บประจ/ 4.5 ก รรวมตวเหน)ยวน และตวเก=บประจ/ 4.6 แบบฝ`กหดท ยบท

110 110 110 114 118 125 130

บทท 5 วงจร RL และวงจร RC ทไมมแหลงจ ย 5.1 แนะน 5.2 วงจร RL อย งง ย 5.3 ค/ณลกษณะของผลตอบสนองเอ=กซโปแนนเชยล 5.4 วงจร RL โดยท)วไป 5.5 วงจร RC อย งง ย 5.6 วงจร RC โดยท)วไป 5.7 แบบฝ`กหดท ยบท

132 132 133 135 137 140 142 144

IV

ส รบ ญ (ตอ) บทท 6 ฟ?งก&ช+นกระตนหนAงหนวยและก รประยกต&ใช 6.1 แนะน 6.2 ฟFงกชนกระต/นหน%)งหนวย 6.3 วงจร RL 6.4 ผลตอบสนองธรรมช ตและผลตอบสนองกระต/น 6.5 วงจร RL 6.6 วงจร RC 6.7 แบบฝ`กหดท ยบท

หน 155 155 155 160 162 163 169 172

บทท 7 วงจร RLC 7.1 แนะน 7.2 วงจร RLC ตอแบบขน นท)ไมมแหลงจ ย 7.3 วงจรขน น RLC แบบหนวงส@งกว วกฤต (Overdamped) 7.4 วงจรขน น RLC แบบหนวงวกฤต (Critical damping) 7.5 วงจรขน น RLC แบบหนวงต) กว วกฤต (underdamped) 7.6 วงจรอน/กรม RLC ท)ไมมแหลงจ ย 7.7 ผลตอบสนองสมบ@รณของวงจร RLC 7.8 วงจร LC ท)ไมมก รส@ญเสย (lossless LC circuit) 7.9 แบบฝ`กหดท ยบท

179 179 180 183 187 189 192 195 201 204

บทท 8 ฟ?งก&ช+นกระตนส+ญญ ณซ ยน& 8.1 แนะน 8.2 ค/ณลกษณะของสญญ ณซ ยน 8.3 ผลตอบสนองกระต/นตอฟFงกชนกระต/นซ ยน 8.4 แบบฝ`กหดท ยบท

212 212 212 215 220

V

ส รบ ญ (ตอ) บทท 9 หล+กก รของเฟสเซอร& (Phasor concept) 9.1 แนะน 9.2 ฟFงกชนกระต/นท)เป3นตวเลขเชงซอน 9.3 เฟสเซอร (Phasor) 9.4 คว มสมพนธของเฟสเซอรส หรบ R, L และ C 9.5 อมพแดนซ (Impedance) 9.6 แอดมตแตนซ (Admittance) 9.7 แบบฝ`กหดท ยบท

หน 222 222 222 227 230 234 237 239

บทท 10 ผลตอบสนองในสภ วะอยOต+วรOปคลPนซ ยน& 10.1 แนะน 10.2 ก รวเคร ะหแบบปมและเมซ 10.3 ทฤษฎบทก รทบซอน ก รแปลงแหลงจ ยและทฤษฎเทวนน 10.4 แผนภ พเฟสเซอร (Phasor Diagrams) 10.5 ผลตอบสนองท)เป3นฟFงกชนของคว มถ)เชงม/ม 10.6 แบบฝ`กหดท ยบท

243 243 243 246 247 251 257

บทท 11 ก ล+งเฉลยและค อ ร&เอ4มเอส 11.1 แนะน 11.2 ก ลงช)วขณะ (Instantaneous power) 11.3 ก ลงเฉล)ย (Average power) 11.4 ค ประสทธผลของกระแสและแรงดน (Effective value) 11.5 ก ลงปร กฏ (Apparent power) และตวประกอบก ลง 11.6 ก ลงเชงซอน (Complex Power) 11.7 แบบฝ`กหดท ยบท

265 265 265 267 275 278 281 284

VI

ส รบ ญ (ตอ) บทท 12 วงจรหล ยเฟส 12.1 แนะน 12.2 ระบบหน%)งเฟสส มส ย 12.3 ก รตอแหลงจ ยไฟส มเฟสแบบว ย-ว ย (Y-Y) 12.4 ก รตอแบบเดลต ( ∆ ) 12.5 แบบฝ`กหดท ยบท

VII

หน 292 292 294 298 304 308

หน+งสPออ งอง [1] William H. Hayt, Jr And Jack E. Kemmerly, “Engineering Circuit Analysis” ,Fifth Edition McGraw-Hill, Inc.1993. [2] J.David Irwin, “Basic Engineering Circuit Analysis” ,Fifth Edition Prentice-Hall 1996. Lawrence P. Huelsman, “Basic Circuit Theory” Third Edition Prentice-Hall 1991. [3] Boylestad, “Introduction Circuit Analysis” Seven Edition Macmillan 1994. [4] Jame W. Nilsson And Susan A. Riedel, “Electric Circuits” ,Fifth Edition Addison-Wesley 1996.

VIII

บทท 1

1 บทท 1 หนวยและนยาม

หนวย และนยาม

วตถประสงคของบทเรยน หลงจากนกศกษาไดอานบทเรยนนจบ นกศกษาจะมความสามารถดงน อธบายความหมายของหนวยพ'นฐานทางไฟฟ*าได อธบายความหมายของนยามอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*าพ'นฐานได

หวขอยอย

หนา

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

1 1 3 6 9

แนะน0า ระบบของหนวย ประจ+ กระแส แรงดน และก0าลง ชนดของอ+ปกรณ. และอ+ปกรณ.ทางไฟฟ*า แบบฝ8กหดทายบท

2 บทท 1 หนวยและนยาม

1.1 แนะน!า (Introduction) การวเคราะห.วงจรไฟฟ*า ค'อ การศกษาการใชคณตศาสตร.กบวงจรทประกอบดวยอ+ปกรณ. ทางไฟฟ*าอยางงาย วชาน เป 0

ตอบ

2)

v R ( t ) = v R ( 0+ ) e − 0.8t = 8e − 0.8t ∴ v R ( 1) =3.595 V

ตอบ

3)

vSW ( 1) = 12 − v R ( 1) = 8.405 V

ตอบ

8. ในวงจรดงรEป P5.8 ทเวลา t = 0 เลAอนสว(ตซ0จากจ)ด A ไปจ)ด B จงหา i ( t ) 10 A   i(t) = − 2000 t 6e A  2Ω A

4Ω

t= 0

i

B 200 V

9Ω

18 Ω

ร)ป P5.8

50 µ F

t < 0  t > 0

151 บทท 5 วงจร RL และวงจร RC ทไมมแหลงจาย 9. จากวงจรดงรEป P5.9 จงหา 1) vC ( 0 ) 2) คาคงตวทางเวลา 3) vC ( t )

200 Ω

20 V

t= 0

0.1 µ F

120 Ω

300 Ω

vC 1500 Ω

75 Ω

ร)ป P5.9 ว*ธท'า 20 200 x x1500 = 10 V 120 + ( 1800 // 200 ) 1800+200

1)

vC ( 0 ) =

2)

τ  75 + ( 500 //1500 )  107 = 45 µ s

ตอบ

3)

v C ( t ) = 10e− 22,222 t V, t > 0

ตอบ

ตอบ

10. ในวงจรดงรEป P5.10 จงหา v R ( t ) 800 V   v R (t) = − 500,000 t − 200e V  vR

10 Ω

60 A

50 Ω

t= 0

20 Ω

ร)ป P5.10

5Ω

0.5 µ F

t < 0  t > 0

บทท 6

1 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช

ฟงกชนกระตนหนงหนวย และการประยกตใช

วตถประสงคของบทเรยน หลงจากนกศกษาไดอานบทเรยนน'จบ นกศกษาจะมความสามารถดงน' สามารถอธ-บายฟงกชนกระตนหนงหนวยได สามารถค.านวณหาผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตนของวงจร RL ได สามารถค.านวณหาผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตนของวงจร RC ได

หวขอยอย

หนา

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

155 155 160 162 163 169 172

แนะน.า ฟงกชนกระตนหนงหนวย วงจร RL ผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตน วงจร RL วงจร RC แบบฝ>กหดทายบท

155 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช

6.1 แนะน&า ในบททแลวเราเรยนร?ผลตอบสนองของวงจร RL และ RC เม@อไมมแหลงจาย (หร@อฟงกชน กระตน (Forcing function)) ซงเราจะเรยกวาผลตอบสนองธรรมชาต- ท'งน'เพราะวาข'นอย?กบธรรมชาต-ของวงจร ในตวอยางหลาย ๆ ขอเราพบวงจรทมแหลงจายและสว-ตซ ซงเราสามารถยายเอา แหลงจายออกจากวงจรได โดยการเปRดสว-ตชทเวลา t = 0 ขณะทตวเหนยวน.าและตวเกTบประจซง เกTบพลงงานไวและถายพลงงานออกไปใหตวตานทานจนหมด (ผลตอบสนองชวคร?) หร@อกลาวได วาเราสามารถว-เคราะหผลตอบสนองของวงจรเม@อแหลงจายถ?กยายออกจากวงจรได ส.าหรบในบท น'เราจะพ-จารณาผลตอบสนองสมบ?รณซงเปUนผลตอบสนองทเก-ดข'นเม@อมการท.างานของสว-ตซแลว ท.าใหวงจรมแหลงจายอย?ในวงจร

6.2 ฟงกชนกระตนหนงหนวย การใหแหลงจายท.างานอยางทนททนใด เชนการสว-ตชแบตเตอรเขาไปในวงจร การท.างาน ในลกษณะน'จะคลายกบ ฟงกชนกระตนทมคาเร-มตนจากศ?นยและเพ-มข'นอยางรวดเรTวไปอย?ระดบ คงทคาหนงเชน เทากบแรงดนแบตเตอร (เม@อสว-ตชปRดสน-ท) ฟงกชนกระตนจะมความไมตอเน@อง ขณะเม@อสว-ตชปRด และเราจะเรยกฟงกชนกระตนพ-เศษน'ทมความไมตอเน@องหร@อมอนพนธทไมตอ เน@องวาฟงกชนเอกฐาน (Singularity function) ฟงกชนทส.าคญ 2 ฟงกชนค@อ ฟงกชนหนงหนวย (unit-step function) และฟงกชนอ-มพลส (unit-impulse function) ในบทน'จะพ-จารณาเฉพาะฟงกชน หนงหนวย เราน-ยามฟงกชนกระตนหนงหนวยเปUนฟงกชนของเวลาทมคาเทากบศ?นยทเวลา(ในวงเลTบ) มคานอยกวาศ?นย และจะมคาเทากบหนงเม@อเวลา (ในวงเลTบ) มคามากกวาศ?นยดงร?ป 6.2 ถาเวลา ในวงเลTบค@อ (t − t 0 ) ฟงกชนหนงหนวย u (t − t 0 ) จะมคาเทากบศ?นย เม@อคาของ t มคานอยกวา t 0 u ( t − t 0 ) จะเปลยนจาก 0 เปUน 1 และจะมคาเทากบหนง เม@อคาของ t มคามากกวา t 0 ท t = t 0 , อยางทนททนใด เราจะไมน-ยามคาของฟงกชนกระตนหนงหนวยทเวลา t = t 0 (เราร?เฉพาะคาทใกล เคยง t = t 0 เทาน'น) ดงน'นสมการทางคณ-ตศาสตรของฟงกชนหนงหนวยค@อ

156 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช  0 u(t − t 0 ) =  1

t < t0 t > t0

และฟงกชน u (t − t 0 ) วาดแสดงเปUนกราฟไดในร?ป 6.1 u(t − t 0 ) 1

t0

0

t

ร(ป 6.1 ฟงกชนกระตนหนงหนวย ในบทน'เราจะพ-จารณาเฉพาะฟงกชนของเวลา (ถงแมวาฟงกชนหนงหนวยจะไมจ.าเปUนตอง เปUนฟงกชนของเวลาเทาน'น) ตวอยางเชน u (x − x 0 ) เปUนฟงกชนหนงหนวย แตไมใชฟงกชน กระตนหนงหนวย เพราะวาไมเปUนฟงกชนของเวลา แตเปUนฟงกชนของ x เม@อ x แทนระยะทางใน หนวยเมตร บอยคร'งในการว-เคราะหวงจรทมการสว-ตชเก-ดข'น หร@อมการกระท.าแบบไมตอเน@อง เก-ดข'นทเวลา t = 0 ซงในกรณน'เราสามารถเขยนเวลาขณะทเก-ดการเปลยนแปลงไดเปUน t 0 = 0 และ สามารถแทนฟงกชนกระตนหนงหนวยดวย u (t − 0) หร@อ u(t) ได u(t) 1

0

t

ร(ป 6.2 ฟงกชนกระตนหนงหนวยแสดงในเทอมเวลา

157 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช  0 u(t) =  1

t< 0 t> 0

ฟงกชนกระตนหนงหนวยไมมหนวย ถาเราตองการใหมขนาดแรงดนเทาไร (หร@อกระแส เทาไร) กTสามารถท.าไดโดยการค?ณแรงดนคาคงท (หร@อกระแสคาคงท, i0 ) v 0 กบ u (t − t 0 ) กTจะ ไดแรงดน (กระแส) มขนาดเทาทตองการ ตวอยาง v(t ) = v 0 u (t − t 0 ) ซงเปUนแหลงจายแรงดนทมคา เทากบศ?นยท t = t 0 และมคาเทากบ v 0 หลงจาก t = t 0 ฟงกชนกระตนน'แสดงในร?ป 6.3 ก) t = t0 V0 u(t − t 0 )

วงจรขาย โดยทวไป

ก)

t=0 V0

วงจรขาย โดยทวไป

V0

วงจรขาย โดยทวไป

ข)

ค)

ร(ป 6.3 ก) แหลงจายฟงกชนกระตนหนงหนวย ข) วงจรอยางงาย ค) วงจรสมม?ล ถาเราถามวาจะมแหลงจายในทางปฏ-บต-ชน-ดใด ทมพฤต-กรรมเหม@อน (สมม?ล) กบฟงกชน กระตนแบบไมตอเน@อง เม@อความสมม?ล (equivalent) หมายถง วงจรขายสองวงจรมความสมพนธ ระหวางแรงดนและกระแสทเหม@อนกน ดงน'นส.าหรบแหลงจายแรงดนหนงหนวยในร?ป 6.3 ก) วงจรขายมแรงดนเทากบศ?นยเม@อ t < t 0 และมคาเทากบ V0 เม@อ t > t 0 เราสามารถสรางวงจรทม พฤต-กรรมใกลเคยงกบวงจรน'ไดดงร?ป 6.3 ข) เม@อตอแหลงจายไฟตรง V0 อนกรมกบสว-ตชทปRด ณ เวลา t = t 0 แตวงจรขายน'จะไมสมม?ลกบร?ป 6.3 ก) ในชวงเวลา t < t 0 เน@องจากแหลงจายจะเปRด วงจรท.าใหเราไมทราบวามแรงดนตกครอมทข'วของวงจรขายเทาไร (ซงไมรบประกนวาเทากบศ?นย แนนอน) แตหลงจาก t = t 0 วงจรขายจะมคณสมบต-เหม@อนกน ดงน'นเพ@อสรางวงจรขายทสมม?ลกนทกประการ เราจะใชสว-ตช 2 ทางดงร?ป 6.3 ค) ทกอน เวลา t = t 0 วงจรขายจะมคาแรงดน 0 V หลงจาก t = t 0 วงจรขายจะมแรงดนเทากบ V0 ร?ป 6.4 ก) แสดงฟงกชนกระตนกระแสหนงหนวย เราสามารถสรางวงจรสมม?ลไดโดยการ ตอแหลงจายกระแสตรงขนานกบสว-ตช (ทเปRดเม@อ t = t 0 ) ซงเราจะไดวงจรสมม?ลเฉพาะเวลาหลง จาก t = t 0 ท'งน'โดยมเง@อนไขวาคาเร-มตนของท'งค?ตองมคาเทากนเทาน'น ดงน'นเราจงสามารถแทน วงจรร?ป 6.4 ก) ดวยร?ป 6.4 ข) ไดดงทกลาว

158 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช t=0

I0 u(t − t 0 )

I0

วงจรขาย โดยทวไป

วงจรขาย โดยทวไป

ก)

ข)

ร(ป 6.4 ก) ฟงกชนกระตนกระแสหนงหนวย ข) วงจรอยางงายทไมสมม?ลกบร?ป ก แตใชแทนไดโดยมเง@อนไข เราสามารถสรางแรงดนทมร?ปคล@นเปUนพลสสเหลยม (rectangular voltage pulse) ไดโดยใช ฟงกชนหนงหนวย ร?ปพลสวาดไดในร?ป 6.5 และสามารถเขยนร?ปคล@นพลสในเทอมของฟงกชน หนงหนวยได  0  v( t ) =  V0  0 

t < t0 t 0 < t < t1 t1 < t v(t) V0

0

t0

t1

t

ร(ป 6.5 แรงดนร?ปคล@นพลสสเหลยม พ-จารณาผลตางของฟงกชนหนงหนวย 2 ฟงกชน u (t − t 0 ) − u (t − t 1 ) ดงร?ป 6.6 ก) ผลตาง ทไดจะมร?ปรางสเหลยม และเม@อเราใหแหลงจายแรงดนเปUน V0 u (t − t 0 ) − V0 u (t − t 1 ) ดงร?ป 6.6 ข) จะไดแรงดนสเหลยม

159 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช

1

u(t − t 0 )

0

Vu(t − t 0 ) v(t)

t1 t Vu(t − t1 ) − u(t − t1 )

t0

−1

ก)

ข)

ร(ป 6.6 ก) ฟงกชนหนงหนวย u (t − t 0 ) และ − u (t − t 1 ) ข) แหลงจายทก.าเน-ดแรงดนสเหลยม ถาเรามแหลงจายแรงดนซายน Vm sin(ω t ) ตอเขากบวงจรทเวลา t = t 0 เ ราจะไดแรงดน ฟงกชนกระตนค@อ u (t) = Vm u (t − t 0 ) sin(ω t ) ถาสมมต-วาเราตองการสงสญญาณน'ออกจากเคร@อง สงเรดาร ในชวงเวลา 1 10 µ s เทาน'น เราจะใชฟงกชนกระตนหนงหนวยท.างานในร?ปแบบของ คล@นเปUนพลสสเหลยมทมชวงเวลาเทากบ 1 10 µ s ดงน'นจะไดแรงดนร?ปคล@นพลสค@อ u(t) = Vm  u(t − t 0 ) − u(t − t 0 − 10− 7 )  sin ω t

V

0

t0

t t 0 + 10− 7

−V

ร(ป 6.7 ร?ปคล@นพลสความถว-ทย ฟงกชนกระตนหนงหนวยทพ-จารณามแตเฉพาะในแบบจ.าลองทางคณ-ตศาสตร ท'งน'เพราะ หลกการท.างานของสว-ตชในทางปฏ-บต-ไมมคณสมบต-ทเหม@อนแบบจ.าลองทางคณ-ตศาสตรฟงกชน กระตนหนงหนวย แตอยางไรกTตามถาเวลาในการสว-ตชมคานอยกวา 1 ns กTพอเพยงส.าหรบวงจร โดยทวไปเพราะคาเวลาของการสว-ตชน'มคาต.าเพยงพอ เม@อเปรยบเทยบกบคาคงตวทางเวลาของ วงจร ดงน'นเราจงสามารถสมมต-การท.างานของสว-ตชน'ใหเปUนฟงกชนหนงหนวยได

160 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช

6.3 วงจร RL พ-จารณาวงจรอยางงายดงร?ป 6.8 ก) ประกอบดวยแหลงจาย V0 ตออนกรมกบสว-ตช ตว ตานทาน และตวเหนยวน.า สว-ตชปRดทเวลา t = 0 ก.าหนดใหกระแส i(t) มคาเทากบศ?นยทเวลากอน t = 0 (หร@อ t < 0) และเราสามารถแทนแหลงจายและสว-ตชดวยฟงกชนกระตนหนงหนวย V0 u (t ) ซงจะใหผลตอบสนองกอน t = 0 และหลง t = 0 ของท'งสองวงจรทเหม@อนกน เราจะหา i(t) ไดโดยการเขยนสมการ และแกสมการ (ดวยการแยกตวแปรออกจากกนและ อ-นท-เกรท) หลงจากน'นเราจะไดค.าตอบซงจะสงเกตเหTนไดวาม 2 สวนประกอบกน (ในหวขอน'จะ พ-จารณาถงความส.าคญของท'งสองเทอม) i( t)

t=0

i( t)

R V0

R L

V0 u(t)

ก)

L

ข)

ร(ป 6.8 ก) วงจรอนกรม ข) วงจรสมม?ลโดยการแทนสว-ตซดวยฟงกชนหนงหนวย เราสรางสมการไดอยางงาย ๆ โดยประยกตใช KVL Ri + L

di = V0 u ( t ) dt

เม@อฟงกชนกระตนหนงหนวย ( u(t) ) มสญญาณไมตอเน@องทเวลา t = 0 ซงแบงออกไดเปUนสอง เทอมค@อ เทอมแรกเม@อ t < 0 และ i( t ) = 0

t< 0

เทอมทสองเม@อ t > 0 (ส.าหรบเวลาเปUนบวก u(t) เทากบหนง) จะได Ri + L

di = V0 dt

t> 0

การแกสมการทเวลา t > 0 ท.าไดโดยเร-มจากการแยกตวแปรออกจากกน

161 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช Ldi = dt V0 − Ri

และอ-นท-เกรทท'งสองขางของสมการ −L ln(V0 − Ri) = t + k R

เพ@อทจะหาคาของ k เราจะใชคากระแสทสถานะเร-มตน (กอน t = 0) ซงจะได i(t) = 0 หร@อ i(0 − ) = 0 เม@อกระแสในตวเหนยวน.าไมสามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใดได จะได i(0 + ) = 0 ดวย −L ln V0 = k R

และดงน'น −L [ ln(V0 − Ri) − ln V0 ] = t R

จดใหมได V0 − Ri = e V0

หร@อ

i=

− Rt L

V0 V0 − e R R

− Rt L

ดงน'น สมการผลตอบสนองสมบ?รณค@อ V V i= ( 0 − 0 e R R

− Rt L

)u ( t )

(6-1)

เทอมเอTกชโปแนนเชยลในสมการ(6-1) ค@อผลตอบสนองธรรมชาต-ของวงจร RL ซงเปUนคา เอTกซโปแนนเชยลต-ดลบ (แสดงวาเทอมน'จะมคาเปUนศ?นยเม@อเวลาเพ-มข'น) สวนอตราการลดลงจะ เรTวหร@อชาข'นอย?กบคาคงททางเวลา τ = (L R) สวนขนาดของผลตอบสนองจะข'นอย?กบคา V0 สวนอกเทอมทเหล@อค@อคาคงท V0 R เทอมคาคงทน'อธ-บายไดเม@อผลตอบสนองธรรมชาต-มคา เทากบศ?นยแลวหลงจากการเปลยนแปลงผานไป (ประมาณ 5τ หร@อมากกวา) ผลตอบสนองยงคง เหล@ออย?เฉพาะผลตอบสนองจากฟงกชนกระตนเพยงอยางเดยว เราจงเรยกผลตอบสนองน'วาผล ตอบสนองกระตน (forced response) ผลตอบสนองน'จะมผลเม@อเวลาผานไปนานๆ หลงจากสว-ตช ปRดแลว ดงน'นผลตอบสนองสมบ?รณจะประกอบไปดวย 2 สวน ค@อผลตอบสนองธรรมชาต-และผล ตอบสนองกระตน ผลตอบสนองธรรมชาต-ค@อ ผลตอบสนองทสอดคลองกบคณลกษณะของวงจร โดยไมเกยวของกบแหลงจายท'งร?ปแบบหร@อฟงกชน และจะหาไดจากวงจรโดยไมค-ดแหลงจาย สวนขนาดของผลตอบสนองธรรมชาต-จะข'นอย?กบขนาดทสภาวะเร-มตนของแหลงจายและพลงงาน

162 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช เร-มตนทเกTบไว ผลตอบสนองกระตนค@อผลตอบสนองทเกยวของกบคณลกษณะของฟงกชน กระตนซงจะหาไดหลงจากสว-ตชปRดไปแลวเปUนเวลานาน ๆ

6.4 ผลตอบสนองธรรมชาต5และผลตอบสนองกระตน หวขอน'จะใชคณ-ตศาสตรมาพ-จารณาผลตอบสนองสมบ?รณท'งสองสวนค@อ ผลตอบสนอง กระตนและผลตอบสนองธรรมชาต- โดยใชสมการอนพนธทมร?ปแบบคลายกบค.าตอบหวขอกอน หนาน' di + Pi = Q dt

หร@อ

(6-2) เราก.าหนดให Q ค@อ ฟงกชนกระตน และ Q(t) ค@อฟงกชนกระตนแปรผนตามเวลา P ค@อคา คงทและมคาเปUนบวก จากสมการ (6-2) เพ@อท.าใหงายเขา เราจะสมมต-ให P เปUนคาคงทและเปUนบวก ตอมาเราจะสมมต-ให Q เปUนคาคงท ดงน'นฟงกชนกระตนจะกลายเปUนฟงกชนกระตนไฟตรง เราค?ณ ท'งสองขางของสมการดวยตวแปรชวยในการอ-นท-เกรทค@อ e Pt ซงจะได di + Pidt = Qdt

e Pt di + iPe Pt dt = Qe Pt dt

ดานซายของสมการจะจดไดเปUน d (ie Pt ) = e Pt di + iPe Pt dt

ดงน'น d (ie Pt ) = Qe Pt dt

อ-นท-เกรทท'งสองขางของสมการ ie Pt = ∫ Qe Pt dt + A

เม@อ A ค@อคาคงทของการอ-นท-เกรท และค?ณท'งสองขางของสมการดวย e − Pt (6-3) ถา Q(t) ค@อฟงกชนกระตนทอย?ในเทอมอ-นท-เกรทเทาน'น ตอจากน'เราจะหาขอสรปโดยทวๆ ไปกน ขอแรกส.าหรบวงจรทไมมแหลงจาย Q จะตองเปUนศ?นยและค.าตอบทไดค@อ ผลตอบสนองธรรมชาตi n = Ae − Pt (6-4) จะหาคาคงท P โดยคาน'จะไมเปUนคาลบ คาน'ข'นอย?กบอปกรณพาสชพในวงจร ผลตอบสนองธรรม i = e − Pt ∫ Qe Pt dt + Ae − Pt

163 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช ชาต-จะมคาเทากบศ?นย เม@อเวลาเพ-มข'น ขนาดของผลตอบสนอง A จะข'นอย?กบคาเร-มตนของผล ตอบสนองสมบ?รณ และแนนอนข'นอย?กบคาเร-มตนของฟงกชนกระตนดวย สงเกตเทอมแรกของสมการ (6-3) ข'นอย?กบร?ปแบบของฟงกชน Q(t) ฟงกชนกระตน เม@อ วงจรมผลตอบสนองธรรมชาต-เทากบศ?นย หลงจากเวลาผานไปนาน ๆ เทอมแรกของสมการจะ อธ-บายผลตอบสนองหลงจากผลตอบสนองธรรมชาต-หมดไป เทอมน'เรยกวา ผลตอบสนองกระตน หร@อผลตอบสนองอย?ตว (steady state response) ในหวขอน'จะพ-จารณาแหลงจายไฟตรง เทาน'น Q(t) จะมคาคงทแมเวลาจะเปลยนไป หร@อหลงจากสว-ตชปRดแลว ร?ป 6.9 เราสามารถหาคาของเทอม อ-นท-เกรทในสมการ (6-3) จะไดผลตอบสนองกระตน if =

Q P

หร@อผลตอบสนองสมบ?รณค@อ i( t ) =

Q + Ae − Pt P

ส.าหรบวงจรอนกรม RL ดงร?ป 6.9 คา Q/P ค@อคาคงทกระแสหร@อ ( V0 / R ) และ 1/P ค@อ คา คงตวทางเวลา ( τ ) จากสมการเราจะเหTนไดวาผลตอบสนองกระตนจะไมมเทอมอ-นท-เกรท เพราะวาเปUนผลตอบสนองสมบ?รณทเวลาอนนต เราจะค.านวณไดจากการน.าคาแหลงจายแรงดน หารดวยคาความตานทาน

6.5 วงจร RL พ-จารณาวงจร RL อยางงายโดยการหาผลตอบสนองสมบ?รณซงเปUนผลรวมระหวางผลตอบ สนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตนจากวงจรร?ป 6.9 ตองการหาผลตอบสนองกระแส i(t) i = in + if

ร?ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต-ของวงจรโดยปกต-จะไดจากการแทนแหลงจายดวยการ ลดวงจร และจากวงจรร?ป 6.9 จะไดวงจรอนกรม ซงสามารถเขยนสมการของผลตอบสนองธรรมชาต-ได i n = Ae

เม@อ A ค@อขนาด

− Rt L

164 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช ตอไปเราจะพ-จารณาผลตอบสนองกระตน ซงเปUนคาคงท เพราะวาแหลงจายมคาคงท V0 ไมเปลยนแปลงตอทกคาของเวลา หลงจากผลตอบสนองธรรมชาต-หมดไปแลวจะไมมแรงดนตก ครอมตวเหนยวน.า ดงน'นจะมแรงดนเทากบ V0 ตกครอม R และหาผลตอบสนองกระตนอยางงาย ได if =

V0 R

ผลตอบสนองสมบ?รณหาไดจากการรวมผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตน i = Ae

− Rt L

+

V0 R

และใชคาเร-มตนทโจทยใหมาเพ@อหาคา A เม@อกระแสเร-มตนมคาเทากบศ?นยกอน t = 0 และคา กระแสทไหลผานตวเหนยวน.าจะไมสามารถเปลยนแปลงคาอยางทนททนใดได ดงน'นกระแสจะ เปUนศ?นยขณะท t = 0 เม@อแทน t = 0 และ i = 0 ลงในสมการขางบนจะได 0= A+

V0 R

และไดสมการทวไปค@อ i=

V0 (1 − e R

− Rt L

(6-5)

)

i( t) R V0 u(t)

L

ร(ป 6.9 วงจรอนกรม RL ขอควรระวง คา A ไมใชคาเร-มตนของกระแสเหม@อนกบในบทท 5 เม@อวงจรกลายเปUนวงจรทไมม แหลงจาย ส.าหรบการค-ดผลตอบสนองสมบ?รณจะหาคา A ไดโดยแทนคาเร-มตนลงไปในสมการ ของผลตอบสนองสมบ?รณ

− Rt   L  i = Ae + V0 R   

จะได A = −

V0 R

เม@อ i(0) = 0

165 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช i V0 R 0.632V0 R

0

2τ

1τ

3τ

t

ร(ป 6.10 กระแสทไดจากสมการท (6-5) กระแสจะเพ-มจากคาเร-มตนค@อศ?นยไปส-'นสดทคา V0 / R ในเวลาประมาณ 5τ ถาวงจรของ เราแทนมอเตอรไฟตรงทมคา L = 10 H และ R = 20 Ω จะหาคาคงททางเวลาไดเทากบ 0.5 ว-นาท ซงจะไดคากระแสทคงทหลงจากเวลาผานไปประมาณ 2.5 ว-นาท โดยทเวลาเทากบ 1τ = 0.5 ว-นาท กระแสจะมคาเทากบ 63.2% ของคาสดทาย (กระแสในสภาวะอย?ตวหร@อผลตอบสนองกระตน) ตวอยาง 6.1 จงหา i(t) ทเวลาตางๆจากวงจรร?ป 6.11 50u(t) V

2Ω i( t)

50 V

6Ω

3H

ร(ป 6.11 ว5ธท&า วงจรประกอบดวยแหลงจายแรงดนไฟตรงและแหลงจายแรงดนกระตนหนงหนวย โดยการ แทนอปกรณทกตวทางซายของตวเหนยวน.าโดยใชวงจรสมบ?รณเทว-น-น ซงจะไดแหลงจายแรงดน ตออนกรมกบตวตานทาน วงจรจะประกอบดวยตวตานทานและตวเหนยวน.าอยางละ 1 ตวซงจะได τ =

L 3 = = 2 s R eq 1.5

166 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช และผลตอบสนองสมบ?รณค@อ i = if + in

ผลตอบสนองธรรมชาต-คอ@ i n = Ae

−t 2

t> 0

ผลตอบสนองกระตนมคาคงท และไมมแรงดนตกครอมตวเหนยวน.า (พฤต-กรรมคลายลดวงจรเม@อ เวลาผานไปนานๆ) if =

ดงน'น

100 = 50 2

i = 50 + Ae − 0.5 t

t> 0

เพ@อหาคา A จะตองใชคาเร-มตนของกระแสตวเหนยวน.ากอน t = 0 ตวเหนยวน.าจะลดวงจรซงท.าให ตวตานทาน 6 Ω ลดวงจรดวย และมแหลงจาย 50 V ท.างานเทาน'นซงสามารถค.านวณคากระแสได เทากบ 50/2 = 25A 25 = 50 + A หร@อ A = -25 ดงน'นเราจะไดผลตอบสนองสมบ?รณ 25  i=  − 0.5t  50 − 25e

t< 0 t> 0

หร@อเขยนเปUนสมการเดยวไดดงน' i = 25 + 25(1 − e − 0.5t )u ( t )

A

และสามารถวาดร?ปผลตอบสนองสมบ?รณไดในร?ป 6.12 i(t)

( A)

50 25

0

2

4

6

t(s)

ร(ป 6.12 ผลตอบสนอง i(t) ของวงจรตวอยาง 6.1

167 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช ตวอยาง 6.2 จงหาผลตอบสนองกระแสจากวงจร RL ดงร?ป 6.13 ข) ฟงกชนสเหลยมซงมขนาด V0 และมคาบเวลาเทากบ t 0

v(t)

เม@อแหลงจายเปUน

R

V0 u(t)

V0 − V0 u(t − t 0 )

t0

0

v(t)

L

t

ก)

ข)

ร(ป 6.13 ก) ร?ปรางของแรงดนสเหลยม ข) วงจร RL อยางงาย ว5ธท&า เราจะแทนฟงกชนกระตนสเหลยมดวยผลรวมของแหลงจายแรงดนหนงหนวย V0 u (t ) และ − V0 u ( t − t 0 ) ดงร?ป 6.13 ก) และ 6.13 ข)และเราจะประยกตใชทฤษฎบทการทบซอนชวยหาค.าตอบ โดยเร-มจากการท.างานของแหลงจาย V0 u (t ) กอน โดยใหสญลกษณ i1 (t ) และ i 2 (t ) แทนการ ท.างานของ V0 u (t ) และ − V0 u (t − t 0 ) ตามล.าดบ ดงน'นจะไดผลตอบสนองรวมเทากบ i ( t ) = i1 ( t ) + i 2 ( t )

ผลตอบสนอง i1 ( t ) และ i 2 ( t ) ค@อผลรวมของผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตน ผลตอบสนอง i1 (t ) จะมสมการคลายสมการ (6-5) i1 ( t ) =

V0 (1 − e R

− Rt L

)

t> 0

สวนผลตอบสนองของ i 2 (t ) จะพ-จารณาแตกตางออกไป (ค-ดแตกตางเฉพาะข'วของแหลงจายและ เวลา) ซงสามารถเขยนสมการได i 2 (t ) = −

− R (t − t0 ) V0 L] [1 − e R

t > t0

จากน'นน.าเอาผลตอบสนองท'งสองรวมกน จะได i( t ) =

V0 (1 − e R

− Rt L

)

0 < t < t0

168 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช

หร@อ

i( t ) =

V0 (1 − e R

i( t ) =

V0 e R

− Rt L

− Rt L

(e

)−

Rt 0 L

V0 (1 − e R

− 1)

− R (t− t0 ) L

)

t > t0

t > t0

ผลตอบสนองสมบ?รณเร-มจากกระแสเร-มตน i(t) มคาเทากบศ?นยส ำหรบเวลานอยกวาศ?นย และวาดผลตอบสนองเปUนฟงกชนของเวลา ร?ปรางของกราฟข'นอย?กบคาของ t 0 และคาคงตวทาง เวลา ( τ ) กราฟทเปUนไปไดท'งสองแสดงดงร?ป 6.14 กราฟทางซายวาดจากคาคงตวทางเวลาของ วงจรเปUนครงหนงของคาบเวลาของพลส สวนกราฟทางขวาม@อมคาคงตวเวลาเปUนสองเทาของคาบ เวลาของพลส ท'งน'ร?ปแบบจะไมมการเปลยนแปลง (จะเปลยนเฉพาะขนาดและเวลาเทาน'น) i(t)

i(t)

V0 R

V0 R

0

t0

ก)

2t 0

t(s)

0

ร(ป 6.14 ผลตอบสนองทเปUนไปได ก) τ =

t0

2t 0

t0 / 2

ข)

3t 0

t(s)

ข) τ = 2t 0

ข'นตอนการหาผลตอบสนองวงจร RL หลงจากแหลงจายไฟตรงสว-ตซปRดหร@อเปRดทเวลา ขณะหนง (สมมต- t = 0) โดยสมมต-วงจรทพ-จารณามตวตานทาน 1 ตว ( R eq ) และตวเหนยวน.า 1 ตว ( L eq ) เม@อไมมแหลงจายควบคมอย?ในวงจร ผลตอบสนองทเก-ดข'นเราจะเรยกวา f(t) ข8นตอนการค5ด 1. ก.าจดแหลงจายควบคมออกใหหมด และจดวงจรใหงาย เพ@อหา R eq , L eq และหาคาคงตว ทางเวลา ( τ ) โดย τ = L eq / R eq 2. มองตวเหนยวน.า L eq ใหลดวงจรและใชว-ธว-เคราะหวงจรแบบไฟตรงหาคา i L (0 − ) กระแส ตวเหนยวน.ากอนการเปลยนแปลงแบบไมตอเน@อง 3. มอง L eq แบบลดวงจรอกคร'งโดยใชการว-เคราะหวงจรแบบไฟตรงหาผลตอบสนองกระตน คาน'จะหาเม@อ t เขาใกลอนนต (∞ ) (หร@อเราจะแทนดวย f (∞ ) )

169 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช 4. เขยนผลตอบสนองสมบ?รณในร?ปผลรวมของผลตอบสนองกระตนและผลตอบสนองธรรม t

ชาต- f (t) = f (∞ ) + Ae − τ 5. หา f (0 + ) โดยใชความสมพนธ i L (0 + ) = i L (0 − ) นอกจากกระแสตวเหนยวน.า (หร@อแรงดน ตวเกTบประจ) กระแสและแรงดนอ@นๆ ในวงจรสามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใดได t 6. ดงน'นจะได ผลตอบสนองสมบ?รณ = คาสดทาย + ( คาเร-มตน – คาสดทาย ) e − τ หร@อ f (0 + ) = f (∞ ) + [f (0 + ) − f (∞ )]e

−

t τ

6.6 วงจร RC ผลตอบสนองสมบ?รณของวงจร RC สนองกระตนเชนเดยวกบ วงจร RL

ค@อผลรวมของผลตอบสนองธรรมชาต-และผลตอบ

ตวอยาง 6.3 ร?ป 6.15 ประกอบดวยแบตเตอร 2 ตว ตวตานทาน 4 ตว ตวเกTบประจ 1 ตว และสว-ตชอย?ทต.าแหนง a เปUนเวลานาน จงหาแรงดนตวเกTบประจ VC (t ) และกระแส i(t ) ไหลผานตวตานทาน 200 Ω ในเทอมของเวลา t= 0

a b 10 Ω

60 Ω

120 V 50 V

200 Ω

0.05 F

v C (t)

50 Ω

i( t)

ร(ป 6.15 วงจร RC ว5ธท&า พ-จารณาผลตอบสนองธรรมชาต-เปUนอนดบแรกกอนซงเปUนผลเน@องมาจาก สว-ตชเคล@อนท จากจด a ไปจด b หาผลตอบสนองทเวลากอน t = 0 เม@อสว-ตชอย?ทต.าแหนง a แรงดนจะมคาคงท

170 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช ท'งหมดและไมมกระแสไหลผานตวเกTบประจ แรงดนเร-มตนเทากบ v c (0) =

50(120) = 100 V. (50 + 10)

เม@อแรงดนตวเกTบประจไมสามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใด ( VC (0+ ) = อย?ต.าแหนง b จะไดผลตอบสนองสมบ?รณค@อ

VC (0− ) )

เม@อสว-ทช

v C = v Cf + v Cn

ร?ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต-จะไดจากการแทนแหลงจาย 50V ดวยการลดวงจรและหาคาตว ตานทานสมม?ลเพ@อหาคาคงททางเวลาตอไป v Cn = Ae

เม@อ

R eq =

−t R eq C

1 = 24Ω 1 1 1 + + 50 200 60 −t

หร@อ v Cn = Ae 1.2 เพ@อจะหาผลตอบสนองกระตนเม@อสว-ตชอย?ทต.าแหนง b เม@อเวลาผานไปนานๆ คาแรงดนและ กระแสท'งหมดจะไมมการเปลยนแปลง ดงน'นตวเกTบประจจะประพฤต-คลายกบเปRดวงจร เม@อใช หลกการแบงแรงดน v Cf =

(50)(200) /(50 + 200) (50) = 20 60 + (50)(200) /(50 + 200)

ดงน'น v C = 20 +

−t 1 Ae .2

และจากสภาวะเร-มตนสามารถหา A ได 100 = 20 + A −t หร@อ v C = 20 + 80e 1.2 t > 0 ผลตอบสนองสามารถวาดร?ปไดดงร?ป 6.16 ก) ตอไปหา i(t) ผลตอบสนองทตองการน'จะไมเปUนคาคงทระหวางขณะสว-ทชเคล@อนทจาก a ไป b เม@อสว-ตชอย?ต.าแหนง a จะได i = 50/260 = 0.1923 A และเม@อสว-ตชเคล@อนไปอย?ต.าแหนง b ผลตอบสนองกระตนของกระแสจะได if =

50 50 ( ) = 0.1 A 60 + (50)(200) /(50 + 200) 50 + 200

ร?ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต-จะเหม@อนกนกบแรงดนตวเกTบประจ (คาคงททางเวลาเทากน)

171 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช −t

i n = Ae 1.2

เม@อรวมผลตอบสนองกระตนและผลตอบสนองธรรมชาต-จะได −t

i = 0.1 + Ae 1.2

เพ@อหาคา A จ.าเปUนตองร?คา i(0 + ) เราสามารถหาไดดงน' แรงดนเร-มตนของตวเกTบประจมคาเทากบ 100 V ( VC (0+ ) = 100V ) และตวเกTบประจขนานกบตวตานทาน 200 Ω จะได i(0+ ) = 0.5A และได A = 0.4

หร@อ

 0.1923 i(t) =  −t  0.1 + 0.4e1.2

t 0 −t

i( t ) = 0.1923 + (− 0.0923 + 0.4e 1.2 )u(t)

A

สมการสดทายไดแสดงผลตอบสนองครอบคลมเวลากอนและหลงการเปลยนแปลงท'งหมด เราสามารถเขยนผลตอบสนองสมบ?รณโดยใช u (− t ) ซงฟงกชนหนงหนวยน'จะมคาเทากบหนงเม@อ เวลา t < 0 และจะมคาเทากบศ?นยเม@อเวลา t > 0 ดงน'น −t

i( t ) = 0.1923u (− t ) + (0.1 + 0.4e 1.2 )u(t)

A

ผลตอบสนองวาดเปUนกราฟดงร?ป 6.16 คากระแสเร-มตน 0.1923 A หลงจากมการสว-ตชคา กระแสมคา 0.5A ผลตอบสนองกระตนมคาคงทเทากบ 0.1A และมคาคงตวทางเวลา 1.2 sec vC (t)

( V)

i(t)

( A)

0.5

100

0.192

20

0.1 0

1τ

2

ก)

3 t(s)

0

1τ

2

3 t(s)

ข)

ร(ป 6.16 ก) ผลตอบสนอง VC ข) ผลตอบสนอง i ข'นตอนการหาผลตอบสนองของวงจร RC หลงจากสว-ตชปRดหร@อเปRด โดยสมมต-วาวงจรม ตวตานทาน 1 ตว R eq และตวเกTบประจ 1 ตว C eq เม@อไมมแหลงจายควบคมอย?ในวงจร ผลตอบ

172 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช สนองเราจะเรยกวา f(t) ข8นตอนการค5ด 1. ก.าจดแหลงจายควบคมท'งหมด จดวงจรใหเหล@อแตเฉพาะ R eq และ C eq และหาคาคงททาง เวลา τ = R eq C eq 2. มอง C eq เหม@อนเปRดวงจรและใชการว-เคราะหวงจรไฟตรงหาแรงดนตวเกTบประจ VC (0 − ) กอนการเปลยนแปลงแบบไมตอเน@อง 3. มอง C eq เหม@อนเปRดวงจรและใชว-ธว-เคราะหวงจรแบบไฟตรงเพ@อหาผลตอบสนองกระตน คาน' f(t) เม@อ t ใกลคาอนนต (∞ ) (และเรยกผลตอบสนองน'วา f (∞ ) ) 4. เขยนผลตอบสนองสมบ?รณทได จากผลรวมของผลตอบสนองกระตนและผลตอบสนอง −t ธรรมชาต- f (t) = f (∞ ) + Ae τ 5. หา f (0 + ) โดยใชสภาวะ VC (0 + ) = VC (0 − ) นอกจากแรงดนตวเกTบประจ (และกระแส ตวเหนยวน.า) แรงดนและกระแสทอปกรณอ@นๆ สามารถเปลยนแปลงอยางทนททนใดได t ดงน'น f (0 + ) = f (∞ ) + A และ f (t ) = f (∞ ) + [f (0 + ) − f (∞ )]e − τ หร@อผลตอบสนองสมบ?รณ = คาสดทาย + (คาเร-มตน - คาสดทาย) e − τ

t

6.7 แบบฝ 0 vL = L

di = 20e− 25t V, t > 0 dt

ตอบ

2. สว-ตซในวงจรดงร?ป P6.2 เปRดมาเปUนเวลานาน และจะปRดทเวลา t = 0 จงหาคา i L ( t ) ( iL ( t ) = 25 ( 1 − e− 4t ) u ( t ) 240 V

t= 0 3Ω

6Ω

iL 2H

30 Ω

ร(ป P6.2 3. สว-ตซในวงจรดงร?ป P6.3 ปRดมาเปUนเวลานาน และจะเปRดทเวลา t = 0 จงหาคา i L ( t )

t= 0

240 V

3Ω 6Ω

30 Ω

ร(ป P6.3

iL 2H

A

)

174 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช ว5ธท&า

240 30 240 * = 25 A = 40 A ; i L ( ∞ ) = 6 + ( 3 // 30 ) 33 6 L 2 1 τ= = = R eq 3 + 5 4

iL ( 0) =

A t< 0  40 ∴ iL ( t ) =  − 4t  25 + 15e A t > 0

ตอบ

4. จากวงจรดงร?ป P6.4 จงหา i L ( t )  A t < 0 2  iL ( t ) =   − 2t  − 2 + 4e A t > 0   6Ω

2.25 H

12u ( − t ) V

18 Ω

2u ( t ) A

iL

ร(ป P6.4 5. จากวงจรดงร?ป P6.5 จงหา i L ( t ) 10 Ω

iL 100u ( t ) V

20 Ω

0.05 H

iA

ร(ป P6.5

1.5i A

175 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช ว5ธท&า

10 Ω iL

100u ( t ) V 20 Ω

0.05 H

iA

1.5i A

ท.าวงจรสมม?ลเทว-น-น (สวนทประกอบดวยแหลงจายกระแสควบคม) 100u ( t ) ลดวงจร i A = 0 ∴ 1.5iA = 0 ∴ iSC = = 10u ( t ) 10

เป?ดวงจร

v OC − 100u ( t ) v OC + − 1.5i A = 0 ; iA = 0.05vOC 10 20 ∴ 0.1v OC − 10u ( t ) + 0.05v OC = 0 10u ( t ) = 133.33u ( t ) 0.075 v 133.33 ∴ R th = OC = = 13.333Ω iSC 10 ∴ vOC =

i L ( 0 ) = 0 A ; i L ( ∞ ) = 10 A ; τ =

0.05 1 = 13.333 266.7

A t< 0 0 ∴ iL ( t ) =  − 266.7 t A t> 0  10 − 10e

6. จากวงจรดงร?ป P6.6 จงหา vC ( 2ms )

ตอบ

( v ( 2ms ) = 900 + 300e C

100 Ω

t= 0 1200 V

50 µ F 300 Ω

ร(ป P6.6

vC

− 266.7(0.002)

= 1076 V )

176 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช 7. สว-ตซในวงจรดงร?ป P6.7 เปRดมาเปUนเวลานานและจะปRดทเวลา t = 0 จงหาคา vC ( t ) และ v 2 ( t ) t= 0

9V

200 Ω

300 Ω

v2

21 V 600 Ω

1 µF 3

vC

100 Ω

ร(ป P6.7 ว5ธท&า

4 21* 4 9* 4 = 3 V ; vC ( ∞ ) = + = 20 V 12 6 6 V t< 0 3 ∴ vC ( t ) =  ตอบ − 22,500 t Vt> 0  20 − 17e v C ( 0 ) = 9*

t < 0, v 2 = 1.5 V ; t > 0, v 2 = 30 − v C

V t< 0  1.5 ∴ v2 ( t ) =  − 22,500 t Vt> 0  10 + 17e

ตอบ

8. สว-ตซในวงจรดงร?ป P6.8 อย?ต.าแหนง A มาเปUนเวลานานและจะเคล@อนทมาท B ทเวลา t = 0 จง  V t < 0 6  vC ( t ) =   − 250t V t > 0  2.4 + 3.6e 

หา vC ( t ) 60 Ω

A

B

40 Ω

12 V 1 mF 6

vC

60 Ω

ร(ป P6.8

0.1 A

177 บทท 6 ฟงกชนกระตนหนงหนวยและการประยกตใช 9. สว-ตซในวงจรดงร?ป P6.9 เปRดมาเปUนเวลานานและจะปRดทเวลา t = 0 จงหาคา vC ( t ) t= 0

10 Ω

10 Ω

120 V vC

10 Ω

10 µ F

240 V

ร(ป P6.9 ว5ธท&า

1 v C ( 0 ) = 120* = 60 V 2 120 1 240 1 vC ( ∞ ) = * *10 − * *10 = − 40 V 15 2 15 2 V t< 0  60 ∴ vC ( t ) =  − 30,000 t V t> 0  − 40 + 100e

10. จากวงจรดงร?ป P6.10 จงหาเวลาทแรงดนตวเกTบประจเทากบศ?นย

ตอบ

(t=

180u ( t ) V 5Ω

2vC

4Ω

90 V

ร(ป P6.10

vC

40 µ F

27.73 µ s )

บทท 7

1 บทท 7 วงจร RLC

วงจร RLC

วตถประสงคของบทเรยน หลงจากนกศกษาไดอานบทเรยนนจบ นกศกษาจะมความสามารถดงน สามารถอธ'บายฟ)งก*ชนกระต-นหนงหนวยได สามารถค.านวณหาผลตอบสนองธรรมชาต'และผลตอบสนองกระต-นของวงจร RL ได สามารถค.านวณหาผลตอบสนองธรรมชาต'และผลตอบสนองกระต-นของวงจร RC ได

หวขอยอย 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

แนะน.า วงจร RLC ตอแบบขนานทไมมแหลงจาย วงจรขนาน RLC แบบหนวงส9งกวาว'กฤต (Overdamped) วงจรขนาน RLC แบบหนวงว'กฤต (Critical damping) วงจรขนาน RLC แบบหนวงต.ากวาว'กฤต (underdamped) วงจรอน-กรม RLC ทไมมแหลงจาย ผลตอบสนองสมบ9รณ*ของวงจร RLC วงจร LC ทไมมการส9ญเสย (lossless LC circuit) แบบฝSกหดทายบท

หนา 179 180 183 187 189 192 195 201 204

179 บทท 7 วงจร RLC

7.1 แนะน"# ในบทนจะว'เคราะห*วงจร RLC ซงมความยากกวาการว'เคราะห*วงจร RL และ RC วงจรทม ตวเกVบประจ- และตวเหนยวน.ารวมอย9ในวงจรเดยวกนจะท.าใหระบบมสมการตอบสนองอนดบสอง ซงมลกษณะเปXนสมการอน-พนธ*เช'งเสนทมการอน-พ นธ*อนดบสอง หรZอแบงสมการออกไดเปXน สมการอน-พนธ*เช'งเสนอนดบหนงสองสมการ การเพ'มขนของอนดบของสมการจะท.าใหจ.าเปXน ตองหาเงZอนไขเร'มตน (initial condition) ส.าหรบการท.าอน-พนธ* ผลตอบสนองทเก'ดจากวงจร RLC จะใหร9ปแบบทแตกตางกนขนอย9กบคาของ RLC และร9ปแบบการตอวงจร เราจะเร'มจากการพ'จารณาระบบอนดบหนง (RC หรZอ RL)ทไมมแหลงจายซงจะไดผลตอบ สองธรรมชาต'อยางเดยว ทงนโดยขนอย9กบลกษณะการตอกนของอ-ปกรณ*พาสซฟ และสภาพตอน เร'มตนของอ-ปกรณ*เกVบพลงงาน (L หรZอ C) ผลตอบสนองธรรมชาต'จะเปลยนแปลงในเทอมของ เอVกซ*โพเนนเชยล (ต'ดลบ) ซงท.าใหเปลยนแปลงตามเวลาโดยมขนาดลดลง เมZอเวลาผานไปมากขน โดยปกต'แลวจะมคาเทากบศ9นย* เมZอเวลาเขาส9คาอนนต* ยกเวนวงจรทมการขนานหรZออน-กรมกน ของตวเกVบประจ-และตวเหนยวน.าทยอมใหเก'ดการเรโซแนนซ*ของแรงดนหรZอกระแสขน การจายแหลงจายใหกบระบบอนดบหนงจะท.าใหมผลตอบสนองสองสวน คZอผลตอบ สนองธรรมชาต' (ทเราไดกลาวไปแลว) กบผลตอบสนองกระต-น การเรยกชZอผลตอบสนองกระต-น แสดงวาผลตอบสนองนเกยวของกบฟ)งก*ชนกระต-น (แหลงจายทจายใหกบวงจร) ซงมร9ปแบบคลาย กบร9ปแบบของฟ)งก*ชนกระต-นเองรวมกบเทอมของการอ'นท'เกรท และเทอมอน-พนธ*ของฟ)งก*ชน กระต-น ในบทตางๆ กอนหนาน เราพ'จารณาแตเฉพาะฟ)งก*ชนกระต-นคาคงท ดงนนเราไมจ.าเปXน ตองพ'จารณาถงร9ปแบบของผลตอบสนองกระต-นมากนก (จะพ'จารณาถงร9ปแบบของผลตอบสนอง กระต-นเมZอมแหลงจายเปXนสญญาณซายน*ในบทตอจากน) เมZอหาผลตอบสนองกระต-นได เราจะเพ'ม เทอมของผลตอบสนองธรรมชาต'เขาไป (ยกเวนคาคงททค9ณ) โดยคาคงทนจะหาไดจากการแก สมการของผลตอบสนองสมบ9รณ* (ผลตอบสนองกระต-นรวมกบผลตอบสนองธรรมชาต') ทสอด คลองกบเงZอนไขตอนเร'มตน เรากลบไปพ'จารณาวงจรทมค-ณลกษณะเปXนสมการอน-พนธ*อนดบสอง ขนตอนแรกของเรา คZอการหาผลตอบสนองธรรมชาต' ซงจะมความสะดวกอยางมาก เมZอพ'จารณาวงจรทไมมแหลงจาย เปXนหวขอแรก หลงจากนนเราจะพ'จารณาผลตอบสนองสมบ9รณ*ทเปXนผลรวมของผลตอบสนอง ธรรมชาต'และผลตอบสนองกระต-น (โดยปกต'เปXนคาคงท)

180 บทท 7 วงจร RLC

7.2 วงจร RLC ตอแบบขน#นท%ไมมแหลงจ#ย วตถ-ประสงค*ของหวขอน คZอการหาผลตอบสนองธรรมชาต'ของวงจร RLC อยางงายทตอ กนแบบขนาน วงจรแบบนมใชกนในวงจรสZอสาร เชน ใชในการเลZอกความถสถานของเครZองรบ ว'ทย- ซงสามารถขยายขนาดของสญญาณใหมคามากขนไดในชวงความถทตองการ และลดขนาด ของสญญาณใหมคาต.าลงไดในชวงความถทไมตองการว'ทย- เปXนตน การว'เคราะห*นจะมค.าศพท*ใหมเก'ดขน เชน เรโซแนนซ* (resonance) ผลตอบสนองเช'ง ความถ (frequency response) และอ'มพแดนซ* (impedance) ความเขาใจของผลตอบสนองธรรมชาต'ของวงจร RLC จะเปXนพZนฐานทส.าคญ ส.าหรบการ ศกษาและออกแบบวงจรสZอสาร และวงจรกรอง (filter) ตอไป v i R

L

C

Re f .

ร)ป 7.1 วงจรขนาน RLC ทไมมแหลงจาย ในการว'เคราะห* เราจะสมมต'ใหมพลงงานเกVบไวในตวเหนยวน.าและตวเกVบประจ-ทงสอง กอนแลว ดงนนในตวเกVบประจ-จะมแรงดนคางอย9และในตวเหนยวน.าจะมกระแสคางอย9เชนกน จากร9ป 7.1 จะเขยนสมการปมไดเปXน v 1 t dv + = 0 ∫ vdt − i( t 0 ) + C R L t0 dt

(7-1)

เครZองหมายลบเปXนไปตามการก.าหนดท'ศทางของกระแส i แกสมการ (7-1) โดยใชสภาพเร'มตน i (0 + ) = I 0 (7-2) v(0+ ) = V0 (7-3)

181 บทท 7 วงจร RLC เมZอท.าอน-พนธ*ทงสองขางของสมการ (7-1) เทยบกบเวลา ผลลพธ*ทไดคZอสมการอน-พนธ*เช'งเสน อนดบสอง (linear second-order homogeneous differential equation) C

d2v dt

2

+

1 dv 1 + v= 0 R dt L

(7-4)

ค.าตอบของ v(t) คZอผลตอบสนองธรรมชาต'ทตองการ มหลายว'ธในการหาค.าตอบ รวดเรVวเราจะใชว'ธการสมมต'ใหค.าตอบคZอ v = Ae st

เมZอใหค.าตอบทเปXนไปไดม A เปXนขนาด และ s คZอจ.านวนเช'งซอน สมการ (7-1) จะได CAs 2 e st +

หรZอ Ae st (Cs 2 +

แตเพZอความ

(7-5) และแทนสมการ (7-5) ใน

1 1 Ase st + Ae st = 0 R L s 1 + )= 0 R L

สมการจะถ9กตองม 2 กรณคZอเทอม Ae st = 0 และเทอมในวงเลVบเทากบศ9นย* เราจะพ'จารณาเทอมใน วงเลVบใหเทากบศ9นย*เทานนเพราะเทอมแรกไมมผลอะไร Cs 2 +

s 1 + = 0 R L

(7-6)

นกคณ'ตศาสตร*เรยกสมการนวา สมการชวย (auxiliary equation) หรZอ สมการค-ณลกษณะ (characteristic equation) เมZอสมการ (7-6) เปXนสมการ quadratic จะมไดสองค.าตอบ (ขนอย9กบคา s1 และ s 2 ) s1 =

−1 + 2RC

(

1 2 1 ) − 2RC LC

(7-7)

และ −1 1 2 1 − ( ) − 2RC 2RC LC สมมต'แทน s ดวย s1 ลงในสมการ (7-5) จะได s2 =

v1 ( t ) = A1e s1t

และในท.านองเดยวกนโดยแทน s ดวย s 2 ลงในสมการ (7-5) v 2 ( t ) = A 2 e s 2t

สมการอน-พนธ*ทไดคZอ

(7-8)

182 บทท 7 วงจร RLC C

d 2 v1 dt

2

+

1 dv 1 1 + v1 = 0 R dt L

+

1 dv 2 1 + v2 = 0 R dt L

และ C

d2v2 dt

2

รวมสมการอน-พนธ*ทงสองและรวมเทอมทคลายกนเขาดวยกน จะได C

d 2 ( v1 + v 2 ) dt

2

+

1 d( v1 + v 2 ) 1 + (v1 + v 2 ) = 0 R dt L

ดวยค-ณสมบต'ความเปXนเช'งเสนจงสามารถรวมสองค.าตอบได เราจะไดผลตอบสนองธรรมชาต'คZอ v( t ) = A 1e s1t + A 2 e s 2t (7-9) เมZอ s1 และ s 2 ไดจากสมการ (7-7) และ (7-8) โดย A1 และ A 2 เปXนคาคงททไดจากสภาพเร'มตน ของอ-ปกรณ*ในวงจร ผลตอบสนองธรรมชาต'จะไดดงสมการ (7-9) และคา s1 และ s 2 จะขนอย9กบคา R, L และ C ในวงจร เทอม s1 t และ s 2 t ไมมม'ต' สวน s1 และ s 2 จากปร'มาณทไมมม'ต'จะไดหนวยตอว'นาท (per second, s − 1 ) จากสมการ (7-7) และ (7-8) หนวยของ 1 2RC และ 1 LC คZอ s − 1 เราจะ น'ยามโอเมกา (omega ) ใหเทากบ ω

0

=

1 LC

(7-10)

ซงคZอ ความถเรโซแนนซ* (resonant radian frequency) และจะน'ยามแอลฟา (alpha) ใหเปXนความถ นเปอร* (neper frequency) หรZอสมประส'ทธ'hการหนวงแบบเอVกซ*โพเนนเชยล (exponential damping coefficient) α =

1 2RC

(7-11)

แอลฟาจะใชวดความเรVวของผลตอบสนองธรรมชาต'ทลดลง หรZอเขาส9สภาวะอย9ตวคาส-ดทาย (ปกต' จะเทากบศ9นย*) s , s1 และ s 2 คZอความถเช'งซอน (complex frequency) เราจะใชสญลกษณ*ตางๆ เหลานเพZอท.าใหสมการของวงจร RLC งายขน ดงน v( t ) = A 1e s1t + A 2 e s 2t (7-9) เมZอ (7-12) s1 = − α + α 2 − ω 0 2 (7-13) s2 = − α − α 2 − ω 02 α =

1 2RC

(7-11)

183 บทท 7 วงจร RLC ω

0

1

=

(7-10)

LC

คา A1 และ A 2 จะหาไดจากการใชคาสภาพเร'มตน ร9ปแบบของผลตอบสนองแรงดน v(t) ขางตน เปXนร9ปแบบโดยทวไป ซงเราสามารถแทนดวยผลตอบสนองกระแส i(t) ไดโดยร9ปแบบของผลตอบ สนองยงคงเหมZอนเด'ม คา s1 และ s 2 จะเปXนคาตวเลขจ.านวนจร'ง เมZอ α มากกวา ω 0 และเปXนคา จ'นตภาพ (imaginary) เมZอ α นอยกวา ω 0 และมคาเปXนศ9นย* เมZอ α เทากบ ω 0 แตละกรณจะแยก พ'จารณาในแตละหวขอ

7.3 วงจรขน#น RLC แบบหนวงส)งกว#ว,กฤต (Overdamped) เปรยบเทยบสมการ (7-10) และ (7-11) ในหวขอ 7.2 จะเหVนวา α มคามากกวา ω 0 หรZอ LC > 4R 2 C 2 ในกรณนคา s 1 และ s 2 จะเปXนจ.านวนจร'ง α

2

−ω

(− α −

α

0

2

2

< α −ω

0

2

) < (− α +

α

2

−ω

0

2

)< 0

จากสมการ (7-12) และ (7-13) จะไดวาทง s1 และ s 2 เปXนจ.านวนจร'งต'ดลบ ดงนนผลตอบ สนอง v(t) สามารถแสดงเปXนผลรวมพชคณ'ตของเทอมเอVกซ*โพเนนเชยลทลดลง ขนาดจะมคาใกล ศ9นย*เมZอเวลาเพ'มขนเรZอยๆ ในความเปXนจร'งเมZอคาสมบ9รณ* (absolute value) ของ s 2 มคามากกวา s 1 เทอมทมคา s 2 อย9ดวยจะลดลงดวยอตราความเรVวทมากกวา เมZอเวลามคามากๆ ดงนนสามารถ เขยนสมการล'ม'ตไดดงน v( t )  → A 1e s1t  → 0

t  → ∞

เพZอหาคาคงท A1 และ A 2 จะตองใชสภาวะเร'มตนของวงจร ตวอยางวงจรร9ป 7.2 มคา R = 6Ω และ L = 7 H พลงงานเร'มตนทเกVบไวในอ-ปกรณ*เกVบ พลงงาน มดงนคZอแรงดนครอมวงจร v(0) = 0 และกระแสตวเหนยวน.า i(0) =10 A จะหาคา v และ i เราจะหาคาตาง ๆ ไดดงน α = 3 .5

ω

s1 = − 1

s2 = − 6

0

=

6

และเขยนร9ปแบบทวไปของผลตอบสนองธรรมชาต'ได v( t ) = A 1e − t + A 2 e − 6 t

(7-14)

184 บทท 7 วงจร RLC iR

6Ω

iC

i v

1 F 42

7H

Re f .

ร)ป 7.2 วงจรขนาน RLC เราจะหาคาคงท A1 และ A 2 ไดจากการทเราร9ผลตอบสนอง v(t ) ทเวลาแตกตางกนสองคา และ แทนคาลงในสมการ (7-14) จะไดคา A1 และ A 2 แตจากโจทย*เราร9คาเดยวคZอ v(0) = 0

เมZอแทนในสมการ (7-14) (7-15) เราจะหาอกสมการไดโดยการอน-พนธ* v(t) เทยบกบเวลาในสมการ (7-14) เพZอหาคาเร'มตนของคา อน-พนธ*โดยใชคาเร'มตน i(0) = 10 และแกสมการทงสอง เมZออน-พนธ*สมการ (7-14) จะได 0 = A1 + A 2

dv = − A 1 e − t − 6A 2 e − 6 t dt

และหาคาอน-พนธ*ท t = 0 dv dt

t= 0

= − A 1 − 6A 2

ตอไป เราจะพ'จารณาสภาวะเร'มตนของคาอน-พนธ*ซงเกยวของกบคากระแสตวเกVบประจiC = C

dv dt

ดงนน i (0) i(0) + i R (0) i(0) dv = C = = = dt t = 0 C C C

420V / s

เมZอคาแรงดนเร'มตนเทากบศ9นย* แรงดนตกครอมตวตานทานจะมคาเร'มตนเทากบศ9นย*ดวยซงจะไดคากระแสเทากบศ9นย* เราจะได สมการทงสอง คZอ 420 = − A 1 − 6A 2 (7-16)

185 บทท 7 วงจร RLC แกสมการ (7-15) และ (7-16) จะไดคา A1 = 84 และ A 2 = − 84 ค.าตอบส-ดทายคZอ (7-17)

v( t ) = 84(e − t − e − 6 t )

v( t)

( V)

90 80 70

84 ( e

−t

)

1 F 42

7H

6Ω

60

i ( 0 ) = 10 A

50

v ( 0) = 0 V

40

84 ( e− t − e− 6t )

30 20 10 0 0.0

84 ( e − 6t )

0.5

1.0

1.5

2.0

α

= 3.5

ω0

=

6

หนวงส9งกวาว'กฤต

2.5

3.0

3.5

4.0

ร)ป 7.3 ผลตอบสนอง v(t ) = 84(e − t − e − 6 t ) ตวอย#ง 7.1 จงหา v C (t) ทเวลา t > 0 ในวงจรร9ป 7.4 ว,ธท"# กอนอZนตองหาคา α , ω 0 จากวงจรมคา L = 5 mH ,R = 200 Ω และ C = 20 nF จะได α =

เมZอ α

> ω0

1 = 125000 s − 1 , ω 0 = 2RC

แสดงวาเปXนหนวงส9งกวาว'กฤตและไดร9ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต'คZอ

v C ( t ) = A 1e − 50000 t + A 2 e − 200000 t

เมZอ

1 = 100000 rad / s LC

s1,2 = − α ±

α 2 − ω 02

s 1 = − 50000 s − 1 , s 2 = − 200000 s − 1

t ( s)

186 บทท 7 วงจร RLC 300 Ω

300 Ω

150 V

150 V

t= 0 iL

iC

i L ( 0− )

iR

5 mH

200 Ω

20 nF

ก) iL ( 0

−

v C ( 0− )

200 Ω

vC

ข)

) = i (0 ) +

i R ( 0+

i C ( 0+

)

L

200 Ω

= − 0.3 A

)

v C ( 0 − ) = v C ( 0+

)

= 60 V

ค) ร)ป 7.4 ก) วงจร RLC ข) วงจรสมม9ลท t = 0 − ได i L (0 − ) = − 0.3A และ v C (0 − ) = 60V ค) วงจรสมม9ลท t = 0 + ตอไปหาสภาวะเร'มตนของ v C (0 + ) และ

dvC dt

t = 0+

หาแรงดนตวเกVบประจ-และกระแสตวเหนยวน.า

ท t = 0 − กระแสตวเหนยวน.าและแรงดนตวเกVบประจ-มขนาดไมเปลยนแปลงในเวลา 0− < t < 0+ เพZอความชดเจนเราจะแสดงวงจรสมม9ลทงสองวงจร วงจรแรกท t = 0 − ในร9ป 7.7 ข) และวงจรท สอง t = 0 + ในร9ป 7.4 ค) วงจรแรกหาคา i L (0 − ) และ v C (0 − ) และวงจรทสองแสดงทงสองคา แทนดวยแหลงจายอ'สระ จากร9ป 7.4 ข) วงจรวงเดยวหาคา i L (0− ) = 150 (200 + 300) = − 0.3A ขณะ v C (0 − ) = 200(0.3) = 60V คาทงสองจะแสดงเปXนแหลงจายในร9ป 7.4 ค) สว'ตซ*ปnดทชวงเวลา + + จากทเราร9คา v C (0 + ) = 60V และ t = 0 − ถง t = 0 + จะหาคากระแส i R (0 ) และ i C (0 ) ได สามารถหาคา

dvC dt

t = 0+

ไดจากสมการของตวเกVบประจ-

187 บทท 7 วงจร RLC dvC 1 1 = i C (0+ ) = [− i L (0+ ) − i R (0+ )] + dt t = 0 C C

หรZอ dvC dt

= t = 0+

109 60 (0.3 − )= 0 20 200

เราจะใชคาเร'มตนของ i C และ

dv C dt

แทนใน v C (t)

v C (0 + ) = 60 = A 1 + A 2

และ dvC = 0 = − 50000A1 − 200000A 2 dt t = 0+

เมZอ A1 = − 4A 2 ดงนนจะได A 1 = 80 และ ค.าตอบทไดคZอ

A 2 = − 20

v C ( t ) = 80e − 50000 t − 20e − 200000 t

V

t> 0

7.4 วงจรขน#น RLC แบบหนวงว,กฤต (Critical damping) ในหวขอกอนหนานกรณหนวงส9งกวาว'กฤตมค-ณลกษณะดงน คZอ α > ω

0

หรZอ LC > 4R 2 C 2 ซงไดคา s1 และ s 2 เปXนจ.านวนจร'งต'ดลบ และผลตอบสนองจะอย9ในร9ปของผลรวมของเทอม เอVกซ*โพเนนเชยลต'ดลบ ในหวขอนจะก.าหนดคาใหของ α และ ω 0 เทากนและเรยกกรณนวา หนวงว'กฤต ถาเราพยายามสรางวงจรขนาน RLC แบบหนวงว'กฤต ไมมทางท.าใหเปXนจร'งไดเพราะ ไมสามารถหาคา R, L และ C ทมคาคงทแนนอนได (ผลลพธ*ทไดอาจจะเปXนแบบหนวงส9งกวา ว'กฤตหรZอหนวงต.ากวาว'กฤต) กรณหนวงว'กฤตจะเก'ดไดเมZอ α = ω 0 หรZอ LC = 4R 2 C 2

188 บทท 7 วงจร RLC หรZอ L = 4R 2 C จากวงจรในหวขอ 7.3 เมZอเลZอกคาตวตานทานใหมคาเพ'มขนจนกระทงไดกรณหนวงว'กฤต โดยไม เปลยนคา ω 0 คาตวตานทานจะตองมคาเทากบ 7 6 2 Ω ตวเหนยวน.ายงคงมคาเทากบ 7H และ ตวเกVบประจ-ยงคงมคาเทากบ 1 42 F จะหาคาได α = ω 0 = 6 และ s 1 = s 2 = − 6 เมZอ α = ω 0 สมการท 7-4 จะเปXน d2v dt 2

+ 2α

dv + α 2v = 0 dt

ค.าตอบของสมการนคZอ (ไมแสดงขนตอนการหาค.าตอบ) (7-18)

v( t ) = e − α t ( A 1 t + A 2 )

เมZอแทนคา α ในสมการ (7-18) จะได v( t ) = (A 1 te −

6t

+ A 2e −

6t

)

จะหาคา A1 และ A 2 ไดโดยใชคาเร'มตน v(0) = 0 ดงนนจะได A 2 = 0 และคาเร'มตนอกคาหนงจะ ใชกบการอน-พนธ* dv dt เหมZอนกบกรณหนวงส9งกวาว'กฤต dv = A 1 t ( − 6 )e − dt

6t

+ A 1e −

6t

หาท t = 0 dv dt

= A1 t= 0

และเขยนสมการเดร'เวทฟในเทอมของคากระแสตวเกVบประจ-ทเวลาเร'มตน dv dt

= t= 0

i C (0) i R (0) i(0) = + C C C

เมZอท'ศทางของ i C , i R , i น'ยามตามร9ป 6.2 ดงนนจะได A 1 = 420

ผลตอบสนองธรรมชาต'ทไดคZอ v( t ) = 420 te − 2.45t

(7-19)

189 บทท 7 วงจร RLC v( t)

( V)

70

i

60

7H v

8.57 Ω 50 40

1 F 42

i ( 0 ) = 10 A v ( 0) = 0 V

30

α =ω0 =

420te− 2.45t 20

6

หนวงว'กฤต

10 0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

t ( s)

ร9ป 7.5 ผลตอบสนอง v(t ) = 420te − 2.45t ของวงจรร9ป 7.2 เมZอ R เปลยนคาและท.าใหเก'ดผลตอบ สนองแบบหนวงว'กฤต

7.5 วงจรขน#น RLC แบบหนวงต%"#กว#ว,กฤต (underdamped) พ'จารณาวงจรเด'มร9ป 7.2 โดยเพ'มคา R ใหมากขน ซงท.าใหคาสปส. การหนวง (damping factor, ζ ) ลดลงขณะ ω 0 มคาคงท คา α 2 จะมขนาดนอยกวา ω 0 2 และท.าให α 2 − ω 0 2 ต'ดลบ คา s1 , s 2 จงมคาต'ดลบดวย และท.าใหผลตอบสนองมค-ณลกษณะแตกตางออกไป แตโชคดทไม ตองแกสมการอน-พนธ*ใหม เพยงแตใชจ.านวนเช'งซอนพ'จารณา ร9ปแบบของผลตอบสนองในเทอม ของเอVกซ*โพเนนเชยลจะเปลยนเปXนผลตอบสนองร9ปซายน*แบบมหนวง ผลตอบสนองนจะประกอบ ดวยจ.านวนจร'งและจ.านวนเช'งซอน เร'มจากการพ'จารณาร9ปแบบเอVกซ*โพเนนเชยล v( t ) = A 1e s1t + A 2 e s 2t

190 บทท 7 วงจร RLC เมZอ s 1, 2 = − α ±

α

2

−ω

0

2

และ (กรณหนวงต.ากวาว'กฤต ( α α

2

−ω

0

2

=

−1 ω

0

2

< ω 0) ) −α

2

= j ω

0

2

−α

2

เมZอ j=

−1

ในกรณของหนวงต.ากวาว'กฤต frequency) ω

d

=

ω

0

2

−α

เราน'ยาม ω d วาความถเรโซแนนซ*ธรรมชาต' (natural resonant

2

ผลตอบสนองสามารถเขยนไดเปXน v ( t ) = e − α t ( A 1 e jω d t + A 2 e − jω d t )

หรZอเขยนในร9ปแบบขนาดยาวได v(t) = e

−αt

  e j ω d t − e − jω d t e jω d t + e − jω d t ] + j(A1 − A 2 )   (A1 + A 2 )[ 2 j2  

จากทฤษฎจ.านวนเช'งซอน ในวงเลVบสเหลยมแรกจะแทนดวย cos (ω d t) สองแทนดวย sin (ω d t) ได ดงนน

    

และในวงเลVบสเหลยมท

v( t ) = e − α t [(A 1 + A 2 ) cos(ω d t ) + j(A 1 − A 2 ) sin(ω d t )]

และแทนตวแปร A1 และ A 2 ดวยสญลกษณ*ใหม (7-20) คา B1 และ B 2 จะเปXนคาจ.านวนจร'ง คาทงสองสามารถหาไดโดยใชคาสภาวะเร'มตน เมZอเพ'มคาตว ตานทานจาก 7 6 2 หรZอ 8.57Ω ไปเปXน 10.5Ω โดยทคา L และคา C ไมเปลยนแปลง จะได v( t ) = e − α t (B1 cos ω d t + B 2 sin ω d t )

α = ω

0

1 = 2 2RC 1 = = 6 LC

และ ωd =

ω 02 − α

2

=

2

rad / s

จะได v( t ) = e − 2 t (B1 cos 2 t + B 2 sin 2 t )

191 บทท 7 วงจร RLC หาคาคงททงสองกอน โดยจากสภาวะเร'มตน v(0) = 0 และ i(0) = 10 ดงนนจะได B1 เทากบศ9นย* v( t ) = B 2 e − 2 t sin 2 t

อน-พนธ*สมการขางบนจะได dv = dt

2 B 2 e − 2 t cos 2 t − 2B 2 e − 2 t sin 2 t

และท t = 0 จะได dv = dt t = 0

2B2 =

i C (0) = 420 C

เมZอ i C น'ยามดงร9ป 7.2 จะได v( t ) = 210 2e − 2 t sin 2 t

ผลตอบสนองแสดงดงร9ป 7.6 v( t) 80

( V) i

70

7H

10.5 Ω

60

1 F 42

v

50

i ( 0 ) = 10 A

40

v ( 0) = 0 V

30

210 2e− 2t sin 2t

20

α

=2

ω0

=

6

หนวงต.ากวาว'กฤต

10 0 -10 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ร)ป 7.6 ผลตอบสนอง v(t ) = 210

3.0 2 e − 2 t sin 2 t

3.5

4.0

t ( s)

192 บทท 7 วงจร RLC

7.6 วงจรอนกรม RLC ท%ไมมแหลงจ#ย วงจรอน-กรม RLC เปXนค9เสมZอนกบวงจรขนาน RLC ซงท.าใหว'เคราะห*สะดวกขน ร9ป 7.7 ก) แสดงวงจรอน-กรม RLC และเขยนสมการอ'นท'กรลผสมอน-พนธ*ได L

di 1 t + Ri + ∫ idt − v C ( t 0 ) = 0 dt C t0

เปรยบเทยบกบสมการของวงจรขนาน RLC ในร9ป 7.7 ข) ได C

dv 1 1 t + v+ ∫ vdt − i L ( t 0 ) = 0 dt R L t0

i

C

iC

vC L

R

iL vL

R

L

C

ร)ป 7.7 ก) วงจรอน-กรม RLC ข) วงจรขนาน RLC สมการอนดบสองทไดจากการอน-พนธ*ทงสองขางของสมการเทยบกบเวลา d 2i di i L 2+ R + = 0 dt dt C 2 d v 1 dv v C 2 + + = 0 dt R dt L

พ'จารณาวงจรขนาน RLC ทสามารถน.าเอามาใชไดกบวงจรอน-กรม RLC คาเร'มตนของ แรงดนตวเกVบประจ-และกระแสตวเหนยวน.าในวงจรขนาน RLC จะเหมZอนกบคาเร'มตนของกระแส ตวเหนยวน.าและแรงดนตวเกVบประจ-ในวงจรอน-กรม RLC ผลตอบสนองแรงดนในวงจรขนานจะ กลายเปXนผลตอบสนองกระแสในวงจรอน-กรม หวขอทง 4 ขางตนสามารถน.าเอาไปใชกบวงจร อน-กรม RLC ไดโดยใชค-ณลกษณะของค9เสมZอน อยางไรกVตามสามารถสร-ปร9ปแบบของผลตอบ สนองกระแสในวงจรอน-กรม RLC แบบตางๆ ไดดงน

193 บทท 7 วงจร RLC กรณหนวงส9งกวาว'กฤตคZอ i( t ) = A 1e s1t + A 2 e s 2 t

เมZอ s 1, 2 =

− R ± 2L

(

= −α ±

α

2

−ω

R 2 1 ) − 2L LC 0

2

เมZอ α =

R 2L

ω

=

0

1 LC

ร9ปแบบของผลตอบสนองกรณหนวงว'กฤตคZอ i( t ) = e − α t (A 1 t + A 2 )

และร9ปแบบของผลตอบสนองกรณหนวงต.ากวาว'กฤตคZอ i( t ) = e − α t (B1 cos ω d t + B 2 sin ω d t )

เมZอ ω d = ω 0 2 − α 2 แตส'งหนงทแตกตางกนระหวางวงจร RLC ทงสองวงจรคZอคา α โดยวงจรขนาน RLC จะมคา α = 1 2RC สวนวงจรอน-กรม RLC จะมคา α = R 2L ดงนนเมZอคา α เพ'มขนคาตวตานทาน ในวงจรอน-กรมจะเพ'มขนหรZอคาตวตานทานในวงจรขนานจะลดลง ตวอย#ง 7.2 วงจรอน-กรม RLC มคา L = 1 H, R = 2 k Ω , C =

1 µF 401

, i(0) = 2 mA และ

จงหากระแส i(t) พรอมและวาดกราฟ ว,ธท"#

v C (0 ) = 2 V

หา α

=

R = 1000 s − 1 2L

และ ω 0 =

1 LC

= 20025 s − 1

สนองหนวงต.ากวาว'กฤต จากนน ค.านวณคา ω d = 20000 ร9ปแบบของผลตอบสนองคZอ i( t ) = e − 1000 t (B1 cos 20000 t + B 2 sin 20000t )

โดยการใชคาเร'มตนของกระแส หาคา B1 ได (i(0) = 2 mA) B1 = 0.002

ดงนนเมZอ ω 0 >

α

จะไดผลตอบ

194 บทท 7 วงจร RLC และดงนน i( t ) = e − 1000 t (0.002 cos 20000 t + B 2 sin 20000 t )

คาเร'มตนอกคาจะใชเมZอ derivative สมการขางบนจะได di = e − 1000 t (− 40 sin 20000 t + 20000B 2 cos 20000 t − 2 cos 20000t − 1000B 2 sin 20000 t ) dt

และ

di v (0) v C (0) − Ri(0) = 20000B2 − 2 = L = dt t = 0 L L 2 − 2000(0.002) = = − 2 A/s 1

หรZอ B2 = 0

ผลตอบสนองธรรมชาต'คอZ (ผลตอบสนองนมการออสซ'ลเลทคอนขางมากหรZอมการหนวงต.า) i( t ) = 2e − 1000 t cos 20000 t

i( t)

mA

( mA )

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 0.0000

t ( s) 0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.0010

0.0012

ร)ป 7.8 ผลตอบสนองกระแสกรณหนวงต.ากวาว'กฤตของวงจรอน-กรม RLC

195 บทท 7 วงจร RLC

7.7 ผลตอบสนองสมบ)รณของวงจร RLC ในหวขอนจะพ'จารณาแหลงจายไฟฟrากระแสตรงอย9ในวงจร RLC ดวย (หลงจากเก'ดการ เปลยนแปลงในวงจร เชนการสว'ตซ*แหลงจายเขามาในวงจร) ซงจะท.าใหผลตอบสนองทไดคลาย กบวงจร RL และวงจร RC ในหวขอกอนหนาน ผลตอบสนองสมบ9รณ*ทได เก'ดจากผลรวมของผลตอบสนองกระต-น และผลตอบสนอง ธรรมชาต' คาเร'มตนของวงจรจะใชหาคาคงทของผลตอบสนองสมบ9รณ* ผลตอบสนองสมบ9รณ* (สมมต'วาผลตอบสนองแรงดน) ของระบบอนดบสองประกอบดวย ผลตอบสนองกระต-น เปXนคา คงทเมZอถ9กกระต-นดวยแหลงจายไฟตรง v f ( t ) = Vf

และผลตอบสนองธรรมชาต' v n ( t ) = Ae s1t + Be s 2 t

ดงนนจะไดผลตอบสนองสมบ9รณ*คZอ v( t ) = Vf + Ae s1t + Be s 2 t

เราจะสมมต'ให s1 , s 2 และ Vf หาไดจากวงจรและฟ)งก*ชนกระต-น ส.าหรบคาคงท A และ B สามารถหาไดสมการส-ดทายทแสดงความสมพนธ*ระหวางคา A, B, v และ t เราจะตองสรางสอง สมการ สมการแรกโดยจากการแทนคา v ทเวลา t = 0 + ดงนนจะได v(0 + ) = Vf + A + B ซงสวน นเปXนสวนทงาย แตสวนทยากกVคZอการอน-พนธ*ผลตอบสนองซงเปXนสมการทสองทแสดงความ สมพนธ*ระหวาง A และ B ทจ.าเปXนอกสมการ dv = 0 + s1Aes1t + s 2 Bes2 t dt และใสคาททราบคาของ dv dt ท t = 0 +

ดงนนสมการทงสองเปXนจ.านวนทพอเพยงแลวในการหา

คา A และ B ตวอย#ง 7.3 จากวงจรร9ป 7.9 จงหาคาของตวแปรแรงดนและกระแสทงหกตว ทเวลา t = 0 − และ t = 0 +

196 บทท 7 วงจร RLC iR

vR iL

4u ( t ) A

vL

3H

iC

30 Ω

1 F 27

vC

5A

ร)ป 7.9 วงจร RLC เรามว'ธการท.าสองว'ธ ว,ธแรก ท t = 0 − เฉพาะแหลงจายกระแสทางขวามZอ (5A) ทท.างาน อย9 คากระแสและแรงดนจะมคาคงท หรZอกลาวไดวาอย9ในสภาวะอย9ตว (steady-state condition) ดงนน กระแสตวเหนยวน.ามคาคงท และแรงดนตกครอมตวเหนยวน.าเทากบศ9นย* v L (0 − ) = 0

คาแรงดนตกครอมตวเกVบประจ-มคาคงทและกระแสไหลผานตวเกVบประจ-เทากบศ9นย* i C (0 − ) = 0

จากนน ใช KCL ทปมขวามZอจะได i R ( 0 − ) = − 5A

และ v R (0 − ) = − 150V

ใชกฎ KVL รอบเมซตรงกลาง v C (0 − ) = 150V

และใช KCL หาคากระแสตวเหนยวน.า i L (0 − ) = 5A

เมZอเวลาอย9ในชวงระหวาง t = 0 − ถง t = 0 + แหลงจายกระแสทางซายมZอ (4A)จะท.างาน คาแรงดน และกระแสสวนมากท t = 0 − จะเปลยนแปลงอยางทนททนใด อยางไรกVตามเราจะพ'จารณาเฉพาะ คาทไมเปลยนแปลงอยางทนททนใดกอน คZอ กระแสตวเหนยวน.าและแรงดนตวเกVบประจ- (ทงสอง คาจะมคาคงท) นนคZอ i L (0 + ) = 5A และ v C (0 + ) = 150V เมZอทงสองกระแสของปมซายมZอเราร9คา จะได

197 บทท 7 วงจร RLC และ v R (0 + ) = − 30V

i R (0 + ) = − 1A

ดงนน และ v L (0 + ) = 120V เราจะไดคาทงหกคาครบถวน โดยกระแสของตวเหนยวน.าและคาแรงดนของตวเกVบประจเทานนทไมมการเปลยนแปลงชวง t = 0 − ถง t = 0 + i C (0 + ) = 4 A

ว,ธท%สอง กอนการเปลยนแปลงจาก t = 0 − เปXน t = 0 + ในวงจรมแตเฉพาะแหลงจายไฟตรงเทานน ตวเหนยวน.าสามารถแทนไดดวยการลดวงจร ขณะทตวเกVบประจ-สามารถแทนดวยการเปnดวงจร หรZอเขยนไดในร9ป 7.10 ก) เฉพาะแหลงจายกระแสขวามZอเทานนทท.างาน จะไดกระแส 5A ไหล ผานตวตานทานและตวเหนยวน.า i R (0− ) = − 5A v R (0 − ) = − 150V i L (0 − ) = 5A

v L (0− ) = 0V i C (0 − ) = 0

และ v C (0 − ) = 150V ในขณะทมการเปลยนแปลงจาก t = 0 − เปXน t = 0 + คาแรงดนตวเกVบประจ- และกระแสของตว เหนยวน.าจะไมเปลยนแปลง ในสภาพแบบนสามารถแทนตวเกVบประจ-ดวยแหลงจายแรงดน และ แทนตวเหนยวน.าดวยแหลงจายกระแส แสดงไดดงร9ป 7.10 ข) แหลงจายกระแสทางดานซายมZอม คา 4A iR iL 0A

iR

vR 30 Ω

iC

iL vC 5 A

vL

ก)

vR

4A

vL

5A

30 Ω

iC

150 V

ข)

ร)ป 7.10 ก) วงจรสมม9ลอยางงายของวงจรร9ป 7.9 ทเวลา t = 0 − ข) วงจรสมม9ลขณะเปลยนเวลาจาก t = 0 − เปXน t = 0 +

vC

5A

198 บทท 7 วงจร RLC แรงดนและกระแสท t = 0 + ไดจากการว'เคราะห*วงจรไฟตรงในบทกอนๆ ตอนแรกเร'มจากการค'ด ปมซายบนจะได i R (0 + ) = 4 − 5 = − 1A และตงสมการปมขวาบนจะได iC (0+ ) = − 1 + 5 = 4A และได i L (0 + ) = 5A และใชกฎของโอห*มจะได v R (0 + ) = − 30(− 1) = − 30V ส.าหรบตวเหนยวน.าใช KVL จะได v L (0 + ) = − 30 + 150 = 120V

และส-ดทายจะได v C (0 + ) = 150V

ตวอย#ง 7.4 จงหาตวแปรอน-พนธ*ของกระแสและแรงดนทเวลา t = 0 + จากวงจรดงร9ป 7.9 ว,ธท"# เร'มจากตวเหนยวน.า vL = L

di L dt

และ v L (0 + ) = L

di L dt

di L dt

v L (0+ ) 120 = = 40 L 3

t = 0+

ดงนน = t= 0

+

A

s

ในท.านองเดยวกน dvC dt

= t = 0+

i C (0+ ) 4 = = 108 1 C 27

V

s

ตวแปรอน-พนธ*อZนๆ หาไดจาก การท.า KCL และ KVL และท.าอน-พนธ* ตวอยางเชน ทปมซายมZอใน ร9ป 7.9 4 − iL − iR = 0

t> 0

และท.าอน-พนธ* 0−

di L di R − = 0 t> 0 dt dt

และดงนน di R dt

= − 40 t= 0

+

A

s

คาตวแปรอน-พนธ*ทเหลZอทงสามหาได

199 บทท 7 วงจร RLC dv R dt dv L dt

t= 0

t= 0

= − 1200

V

= − 1092

V

+

+

s s

และ di C dt

= − 40 t= 0

A

+

s

กอนจะออกจากการหาคาเร'มตนน เราจะหาผลตอบสนองของวงจรในร9ป 7.9 โดยการท.า ใหแหลงจายทงสองไมท.างาน วงจรจะกลายเปXนวงจรอน-กรม RLC ซงเราสามารถหา s1 และ s 2 ไดเทากบ –1 และ -9 ตามล.าดบ ผลตอบสนองกระต-นจะหาไดเหมZอนวงจรร9ป 7.10 ข) โดยแหลง จายกระแส 4A และ 5A ท.างานจะไดผลตอบสนองกระต-น คZอ 150 V ดงนน v C ( t ) = 150 + Ae − t + Be − 9 t

และ v C (0 + ) = 150 = 150 + A + B

หรZอ A+ B= 0 dv C = − Ae − t − 9Be − 9 t dt

และ dv C dt

= 108 = − A − 9B t = 0+

ส-ดทายจะได A = 13.5 B = -13.5 และเขยนผลตอบสนองสมบ9รณ* v C ( t ) = 150 + 13.5(e − t − e − 9 t )

สรปไดว# เมZอตองการหาพฤต'กรรมในสภาวะชวคร9 หรZอผลตอบสนองธรรมชาต'ของวงจร RLC เราจะตองพ'จารณาจากวงจรกอนวาเปXนการตอ RLC แบบอน-กรมหรZอขนาน หลงจากนนจะใช สมการหาคา α คZอ 1 α = (วงจร RLC ตอแบบขนาน) 2RC R 2L

(วงจร RLC ตอแบบอน-กรม) ถดมาจะท.าการเปรยบเทยบ α กบ ω 0 ซงหามาไดจากวงจรเดยวกน คZอ α =

200 บทท 7 วงจร RLC ω

ถา α

> ω0

0

=

1 LC

วงจรมผลตอบสนองกรณหนวงส9งกวาว'กฤตและมผลตอบสนองธรรมชาต' คZอ

f n ( t ) = A 1e S1t + A 2 e S2 t

เมZอ ถา α

s 1, 2 = − α ± = ω0

α

2

−ω

0

2

วงจรมผลตอบสนองกรณหนวงว'กฤตจะไดผลตอบสนองธรรมชาต'คZอ

f n (t) = e − α t (A1t + A 2 )

และเมZอคา α

< ω

0

วงจรมผลตอบสนองกรณหนวงต.ากวาว'กฤตและมผลตอบสนองธรรมชาต' คZอ

f n ( t ) = e − α t (A 1 cos ω d t + A 2 sin ω d t )

เมZอ ω d = ω 0 2 − α 2 ขนตอนพ'จารณาทายส-ด จะพ'จารณาทแหลงจายอ'สระทอย9ในวงจร ถาหลงจากการสว'ท ซ*แลวไมม แหลงจายอ'สระอย9ในวงจร ดงนนวงจรจะกลายเปXนวงจรทไมมแหลงจายและผลตอบสนองสมบ9รณ* คZอผลตอบสนองธรรมชาต' แตถามแหลงจายอ'สระท.างานในวงจรอย9หลงการเปลยนแปลง ผลตอบ สนองสมบ9รณ* คZอผลรวมของผลตอบสนองธรรมชาต'กบผลตอบสนองกระต-น f (t ) = f f (t ) + f n (t )

ร9ปแบบของผลตอบสนองน สามารถใชไดทงกบผลตอบสนองกระแสและผลตอบสนองแรงดนใน วงจร ต#ร#ง 7.1 แสดงร9ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต'แตละแบบขนอย9กบการตอวงจรและคา α และ ω 0 ส.าหรบวงจร RLC ตอแบบขนาน กรณ ร)ปแบบผลตอบสนองธรรมช#ต, ตวแปร s1 = − α + α 2 − ω 0 2 หนวงส9งกวาว'กฤต f n (t) = A1es t + A 2es t s2 = − α − α 2 − ω 02 (α > ω 0) 1

หนวงว'กฤต (α = ω 0) หนวงต.ากวาว'กฤต (α < ω 0)

f n (t) = e

−αt

2

(A1t + A 2 )

α = ω

f n (t) = e − α t (B1 cos ω d t + B2 sin ω d t)

ω

d

0

=

1 2RC 1 = LC

ω

0

2

−α

2

201 บทท 7 วงจร RLC ต#ร#ง 7.2 แสดงร9ปแบบของผลตอบสนองธรรมชาต'แตละแบบขนอย9กบการตอวงจรและคา α และ ω 0 ส.าหรบวงจร RLC ตอแบบอน-กรม กรณ ร)ปแบบผลตอบสนองธรรมช#ต, ตวแปร s1 = − α + α 2 − ω 0 2 หนวงส9งกวาว'กฤต f n (t) = A1es t + A 2es t s2 = − α − α 2 − ω 02 (α > ω 0) 1

หนวงว'กฤต (α = ω 0) หนวงต.ากวาว'กฤต (α < ω 0)

f n (t) = e

−αt

2

(A1t + A 2 )

α = ω

f n (t) = e − α t (B1 cos ω d t + B2 sin ω d t)

ω

d

0

=

R 2L

1

=

LC

ω

0

2

−α

2

7.8 วงจร LC ท%ไมมก#รส)ญเสย (lossless LC circuit) ถาคาของตวตานทานในวงจรขนาน RLC มคาเปXนอนนต*หรZอมคาเปXนศ9นย*ในวงจรอน-กรม RLC เราจะไดวงจร LC ซงจะใหผลตอบสนองทออสซ'ลเลทตลอดเวลา (ขนาดเทาเด'มตลอด) i

4H

v

1 F 36

ร)ป 7.11 วงจร LC ทไมมการส9ญเสย พ'จารณาวงจรดงร9ป 7.11 ทมตวเหนยวน.า L = 4 H และตวเกVบประจ- C = 1/36 F (ใชคาน เพราะงายตอการพ'จารณาทางคณ'ตศาสตร*) ก.าหนดให i(0) = -1/6 A และ v(0) = 0 V วงจรไมม แหลงจายและหาคาตวแปร ( α = 0 ) และ ( ω 0 2 = 9 ) ดงนน ( ω d = ω 0 = 3) ผลตอบสนอง แรงดนคZอ

202 บทท 7 วงจร RLC v = A cos3t + Bsin 3t

เมZอ v(0) = 0 V เราจะได A = 0 และอน-พนธ*สมการนได dv i(0) = 3B = − dt t = 0 C

แต i(0) = -1/6 A และได

dv dt = 6 V / s

ท t = 0 และ B = 2 ดงนน

v = 2sin 3t V

สมการแรงดนนเปXนผลตอบสนองซายน*แบบไมมหนวง (undamped sinusoidal response) ตอนนเราจะสรางผลตอบสนองแบบนโดยไมใชวงจร LC แตใชออปแอมปxแทน โดยเร'ม จากการเขยนสมการอน-พนธ*ทมแรงดน (v) เปXนตวแปรและหลงจากนนจะสรางร9ปแบบการตอวงจร ของออปแอมปxทเปXนค.าตอบของสมการ เทคน'คนเปXนเทคน'คโดยทวไปทใชในการหาค.าตอบของ สมการอน-พนธ*เอกพนธ-*เช'งเสน ส.าหรบวงจร LC ดงร9ป 7.11 เราเลZอก v เปXนตวแปรและใช KCL ทปมดานบน t

1 1 1 dv vdt − + = 0 ∫ 40 6 36 dt

ท.าอน-พนธ*หนงครงจะได 1 1 d2v v+ = 0 4 36 dt 2

หรZอ d2v = − 9v dt 2

เพZอทจะแกสมการหาค.าตอบ เราจะใชออปแอมปx (ทท.าหนาทเปXนอ'นท'เกรเตอร*) สองครง เราสมม-ต' ใหอน-พนธ*อนดบส9งส-ดในสมการมอนดบสองอย9ทต.าแหนง A ในร9ป 7.12 อ'นท'เกรเตอร* (RC = 1) ตวแรกมอ'นพ-ทคZอ d 2 v dt 2 และเอาท*พ-ทคZอ − dv dt เมZอเครZองหมายลบเก'ดจากตวอ'นท'เกรเตอร* คาเร'มตนของ dv dt คZอ 6 V/s (ซงแสดงไปแลวในการว'เคราะห*วงจร) ดงนนคาเร'มตน -6 V จะ ตองก.าหนดในตวอ'นท'เกรเตอร* คาเอาท*พ-ททเปXนลบของตวอ'นท'เกรเตอร*ตวทหนงจะเปXนอ'นพ-ทให กบอ'นท'เกรเตอร*ตวทสอง เอาท*พ-ท v(t) และคาเร'มตน v(0) = 0 เพZอท.าใหอน-พนธ*อนดบสองทจ-ด A เทากบ -9v เราจงค9ณ -9 เขาไปโดยใชออปแอมปxท.าหนาทเปXนวงจรขยายกลบขว (inverting amplifier)

203 บทท 7 วงจร RLC ร9ป 7.12 แสดงวงจรขยายกลบขว (ส.าหรบออปแอมปxในอ-ดมคต') กระแสทไหลเขาอ'นพ-ท และแรงดนทงสองมคาเทากบศ9นย* ดงนนกระแสจะไหลผาน R1 เทากบ vS R1 และไหลผาน R f ( v O R f ) เมZอผลรวมมคาเทากบศ9นย*จะได vo R = − f vS Ri

Rf

Ri vS

vO

ร)ป 7.12 วงจรขยายกลบขว ดงนนเราสามารถสรางอตราขยาย -9 ได โดยการเลZอก R f = 90 kΩ และ R1 = 10 kΩ ตวอยาง ถาเราใช R เทากบ 1 MΩ และ C เทากบ 1 µ F ในแตละวงจรอ'นท'เกรเตอร* จากนนจะได t

v O = − ∫ vSdt + v O (0) 0

ในแตละกรณเอาท*พ-ทของวงจรขยายกลบขวอย9ในร9ปแบบดงทสมม-ต'ทจ-ด

A ดงร9ป 7.13 ถาสว'ตซ*ดานซายมZอปnดทเวลา t = 0 ขณะทเงZอนไขเร'มตนอกสองอนจะเปnดในเวลา เดยวกน เอาท*พ-ทของอ'นท'เกรเตอร*ตวทสองจะเปXนสญญาณซายน*ไมมหนวง v = 2sin 3t V หม#ยเหต ทงวงจร LC ในร9ป 7.11 และวงจรออปแอมปxในร9ป 7.13 มเอาท*พ-ททเหมZอนกน วงจรออปแอมปxไมมตวเหนยวน.าแมแตตวเดยว แตวงจรนกVท.าหนาทเหมZอนกบมตวเหนยวน.าอย9ใน วงจร (ใหแรงดนเอาท*พ-ทสญญาณซายน*ไมมหนวงระหวางขวเอาท*พ-ทกบกราวด*) ซงเปXนขอดเมZอ พ'จารณาการออกแบบวงจรในทางปฏ'บต'หรZอทางดานเศรษฐศาสตร*

204 บทท 7 วงจร RLC 6V

t=0

t=0

1µF 1µF

t=0

A

1 MΩ 1 MΩ v = 2 sin 3t V

2

dv dt 2

−

dv dt

90 kΩ 10 kΩ − 9v

ร)ป 7.13 วงจรอ'นท'เกรเตอร*สองตวและวงจรขยายกลบขวตอกนเพZอใหไดค.าตอบของ สมการอน-พนธ*

d2v = − 9v dt 2

7.9 แบบฝNกหดท#ยบท 1. กระแสตวเหนยวน.าในวงจรดงร9ป P7.1 คZอ i = i R ( t ) และ i C ( t )

2e− 5t − 5e − 10 t A

ถา L =

0.2 H

จงหา v ( t )

205 บทท 7 วงจร RLC iR v

R

iC

i L

C

ร)ป P7.1 ว,ธท"# i = 2e− 5t − 5e − 10 t A di v ( t ) = L = 0.2 ( − 10e− 5t + 50e− 10t ) = − 2e− 5t + 10e− 10t V ตอบ dt 1 1 s1 + s 2 = − 15 = − 2α ∴ α = 7.5 = ∴ R= 2RC 15C 1 1 s1 − s 2 = 5 = 2 α 2 − ω 0 2 ∴ ω 0 2 = 50 ∴ = 50 ∴ C = = 0.1 F LC 50*0.2 1 2 R= = Ω 15*0.1 3 v iR = = − 3e − 5t + 15e − 10t V ตอบ R dv iC = C = 0.1( 10e− 5t − 100e − 10 t ) = e − 5t − 10e− 10t A ตอบ dt

2. วงจรดงร9ป P7.2 จงหาคา v L ( t )

( − 10e

− 2t

+ 15e − 3t V, t > 0 )

1 F 25

5Ω

vL

25 H 6

ร)ป P7.2

5u( − t) V

206 บทท 7 วงจร RLC 3. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.3 ปnดมาเปXนเวลานาน และจะเปnดทเวลา t = 0 จงหาคา i L ( t ) 1 mF 30

t=0

iL

2Ω 2 mH

3.75 Ω

60u( − t) V

40 V

ร)ป P7.3 ว,ธท"#

i L ( 0 ) = 20 A ; v C ( 0 ) = − 60 V α = s1,2

30000 30000 = 4000 ; ω 0 2 = = 15*106 −3 2*3.75 2*10 = − 4000 ± 1000 = − 3000, 5000 s − 1

∴ i L = Ae − 3000 t + Be − 5000t ; i L ( 0 ) = 20 = A + B ∴ v L ( 0 ) = − 60 = L

di dt

t= 0

= 0.002 ( − 3000A − 5000B )

A, t < 0  20 ∴ iL =  − 3000t − 15e − 5000t A, t > 0  35e

ตอบ

4. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.4 เปnดมาเปXนเวลานาน และจะปnดทเวลา t = 0 จงหา vC ( t ) และ i L ( t )  V, t < 0   A, t < 0   60 6  vC ( t ) =   ,  iL ( t ) =   − 2t − 8t − 2t − 8t  80e − 20e V, t > 0    6.4e − 0.4e A, t > 0  

207 บทท 7 วงจร RLC i L 6.25 H

6A

t=0

vC

0.01 F

10 Ω

ร)ป P7.4 5. จากวงจรดงร9ป P7.5 จงหา i ( t ) t=0

2500 Ω

i 450 V

v ( 0) = 0 ; i ( 0) =

ω 02

2 µF

450 = 0.18 A 2500

1 106 = = 400 2RC 1250* 2 1 106 = = = 250, 000; ω d = LC 2* 2

ωd =

2H

ร)ป P7.5

ว,ธท"# α =

625 Ω

ω 02 − α 2

252 − 162 *100 = 300

i L ( t ) = e − 400t ( A cos 300t + Bsin 300t ) ∴ A = 0.18B vL ( 0) = v ( 0 ) = 2

di dt

= 0 = 300B − 400*0.18 ∴ B = 0.2 t = 0+

i L ( t ) = e − 400t ( 0.18c os 300t + 0.24sin 300t ) A, t > 0

ตอบ

208 บทท 7 วงจร RLC 6. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.6 เปnดมาเปXนเวลานานและจะปnดทเวลา t = 0 จงหา vC ( t )  V, t < 0   -130  vC =  − 2t   e ( − 130 cos10t − 26sin10t ) V, t > 0   20 A

5Ω

t=0

1 H 4

1 F 26

vC

6.5 Ω

ร)ป P7.6 7. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.7 ปnดมาเปXนเวลานานและจะเปnดทเวลา t = 0 จงหาคา v R ( t ) v1

1µF 250 mH vR

0.25 µ F

625 Ω

100u( − t) V

ร)ป P7.7

t=0

209 บทท 7 วงจร RLC ว,ธท"# α =

1 106 = = 4000 2RC 2*625* ( 0.25 //1)

1 106 = = 20*106 ; ω d = ω 0 2 − α 2 = 2000 LC 0.2*0.25 100 v R ( 0+ ) = v1 ( 0 ) = 100 V, i L ( 0 ) = = 0.16 A 625 v R = e − 4000t ( 100 cos 2000t + Bsin 2000t )

ω 02 =

0.2*10− 6

dv R dt

t = 0+

= 2000B − 4000*100 = i L ( 0 ) −

vR ( 0) 100 = 0.16 − = 0 625 625

∴ B = 200 ∴ v R ( t ) = e − 4000 t ( 100 cos 2000t + 200sin 2000t ) V, t > 0

ตอบ

8. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.8 ปnดมาเปXนเวลานานและจะเปnดทเวลา t = 0 จงหา v ( t ) ส.าหรบ t > 0 ( v = e− 4t ( 24 cos 3t + 32sin 3t ) V, t > 0 ) 1H

t=0

24 V

0.04 F

ร)ป P7.8 9. จากวงจรดงร9ป P7.9 จงหาคา i L ( t ) ว,ธท"# Req

250 1 106 2 α = = = 25; ω 0 = = = 400 2L 10 LC 5*500 s1,2 = − 25 ± 15 = − 10, − 40 v C ( 0 ) = − 1000 V, i L ( 0 ) = 10 A,i Lf = 10 A

8Ω

vR

210 บทท 7 วงจร RLC ∴ i L = 10 + Ae − 10 t + Be − 40t ;i L ( 0 ) = 10 + A + B = 10 ∴ A = − B 5 ( − 10A − 40B ) = − 50i L ( 0 ) +  10 − i L ( 0 )  200 + v C ( 0 ) ∴ − 50A − 200B = − 1500 ∴ A = − 10, B = 10

ตอบ

∴ i L = 10 − 10e− 10t + 10e − 40 t A, t > 0 t=0

50 Ω

iL

10 A

200 Ω

5H

1 kV

500 µ F

ร)ป P7.9 10. สว'ตซ*ในวงจรดงร9ป P7.10 เปnดมาเปXนเวลานานและจะปnดทเวลา t = 0 จงหา i ( t ) ( i = 0.18 + e− 500t ( − 90t − 0.18) A , t=0

2500 Ω

i 450 V

625 Ω

ร)ป P7.10

2H

2 µF

t > 0)

บทท 8

1 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน

ฟงกชนกระตนสญญาณซายน

วตถประสงคของบทเรยน หลงจากนกศกษาไดอ%านบทเรยนน'จบ นกศกษาจะมความสามารถดงน' สามารถอธ-บายคณลกษณะของสญญาณซายนได สามารถเขยนสมการผลตอบสนองกระตนต%อฟงกชนกระตนซายนได

หวขอยอย 8.1 8.2 8.3 8.4

แนะน2า คณลกษณะของสญญาณซายน ผลตอบสนองกระตนต%อฟงกชนกระตนซายน แบบฝ8กหดทายบท

หนา 212 212 215 220

212 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน

8.1 แนะน&า ผลตอบสนองสมบ:รณของวงจรไฟฟ;าเช-งเสนประกอบดวยสองส%วนค=อ ผลตอบสนอง ธรรมชาต-และผลตอบสนองกระตน ในบทท 1 ถงบทท 3 ไดศกษาวงจรตวตานทานซงจะมแต%ผล ตอบสนองกระตนอย%างเดยว และก2าหนดใหฟงกชนกระตนค=อแหล%งจ%ายไฟตรงอกดวย และต%อมา เราไดเรยนร:ว-ธการต%างๆ ในการแกสมการเพ=อหาผลตอบสนองกระตนต%อแหล%งจ%ายไฟตรง ในส%วน ทสองค=อบทท 4 ถงบทท 7 เราไดร:จกผลตอบสนองธรรมชาต-จากวงจรทประกอบดวยอปกรณ สะสมพลงงานหนงหร=อสองตว และเราสามารถหาผลตอบสนองสมบ:รณไดค=อผลตอบสนอง ธรรมชาต- (ข'นอย:%กบคณลกษณะของวงจร) และผลตอบสนองกระตน (เก-ดจากฟงกชนกระตนไฟ ตรง) เม=อน2าเอาท'งสองผลตอบสนองมารวมกน ในส%วนทสามน' เราจะพ-จารณาผลตอบสนองกระตนโดยเฉพาะฟงกชนซายน (sinusoidal forcing function) เหตผลทเราเล=อกศกษาฟงกชนกระตนซายนมหลายประการ เช%น ผลตอบสนอง ธรรมชาต-ของระบบอนดบสอง ชน-ดหน%วงต2ากว%าว-กฤตแบบซายน และถาไม%มการส:ญเสย (ไม%ม หน%วง) กTจะกลายเปUนซายนอย%างเดยว ธรรมชาต-ของส-งต%างๆ จะมลกษณะแบบฟงกชนซายน เช%น การเคล=อนทของเพนด:ลม (pendulum) การกระเดงของล:กบอล นกคณ-ตศาสตรชาวฝรงเศสช=อ ฟ:ร-เยร (Fourier) ไดสงเกตปรากฏการณธรรมชาต- และสรางทฤษฎฟ:ร-เยรข'นมาซงเปUนทฤษฎทม ประโยชนอย%างมาก ทฤษฎน'กล%าวถงฟงกชนทางคณ-ตศาสตรซงสามารถสรางข'นมาจากผลรวมของ ฟงกชนซายนทมความถเปUนจ2านวนเท%าของความถพ='นฐาน (f0) เช%น ฟงกชนรายคาบ (periodic) สามารถสรางไดจากผลรวมของเทอมของฟงกชนซายนความถต%างๆ การแตกฟงกชนรายคาบให กลายมาเปUนฟงกชนกระตนซายนเทอมต%างๆ เปUนว-ธทมประโยชนมาก และน'ค=ออกเหตผลทเรยน ผลตอบสนองของฟงกชนกระตนซายน เหตผลทสามค=อคณสมบต-ส2าคญทางคณ-ตศาสตรของ ฟงกชนซายนจะไม%เปลยนแปลงไม%ว%าจะท2าอนพนธ (derivatives) หร=ออ-นท-กรล (integrals) กTจะยง คงเปUนฟงกชนซายนอย:% ส%วนเหตผลสดทายค=อฟงกชนกระตนซายนใชในทางปฏ-บต-อย%างมากมาย

8.2 คณลกษณะของสญญาณซายน ในหวขอน'จะอธ-บายฟงกชนซายนหร=อโคซายน (sinusoidal or cosinusoidal)

พ-จารณา

213 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน แรงดนสญญาณซายนทเปลยนแปลงตามเวลา v(t) = Vm sin ω t

v( t)

Vm

ωt

−

0

π 2

π

π 2

3π 2

( rad )

2π

− Vm

ก) v( t)

Vm

t 0

T − 4

T 2

T 4

3T 4

( s)

T

− Vm

ข) ร+ป 8.1 ฟงกชนซานย v(t) = V

m

sin(ω t)

ก) วาดกบแกน ω t ข) วาดกบแกน t

214 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน ในร:ป 8.1 ขนาด (amplitude) ของคล=นซายนค=อ Vm และ ω ค=อ ความถเรเดยน (radian frequency) หร=อความถเช-งมม (angular frequency) ในร:ป 8.1 ก) V sin ω t วาดกราฟในฟงกชนของ ω t จะเหTนไดว%าฟงกชนซายนเปUนฟงกชนรายคาบ โดยฟงกชนจะเคล=อนทซ'2าทกๆ 2π เรเดยน (radian) (หร=อคาบเท%ากบ 2π เรเดยน) ในร:ป 8.1 ข) V sin ω t วาดในฟงกชนของ t และคาบค=อ T ว-นาทสามารถแสดงไดท'งในหน%วยองศา (degree) หร=อหน%วยอ=นๆ เช%น เซนต-เมตรหร=อน-'ว คาบเวลา T จะท2างาน 1 T คาบในแต%ละว-นาทหร=อความถ f เท%ากบ 1 T มหน%วยเปUนเฮร-ท (Hertz ,Hz) ดงน'น 1 เฮร-ทเท%ากบหนงรอบต%อว-นาท ( f = 1 T ) และเม=อ m

m

ω T = 2π

จะไดความสมพนธระหว%างความถและความถเรเดยนดงน' ω = 2π f

ร:ปแบบของสญญาณซายนโดยทวไปค=อ (8-1) θ ค=อมมเฟส (phase angle) แสดงสมการ (8-1) ไดดงร:ปท 8.2 วาดกราฟเปUนฟงกชนของ t และมม เฟสจะปรากฏเปUนหน%วยเรเดยน โดยเสนประค=อคล=นซายนเด-ม เสนทบค=อคล=นซายนใหม%ทเล=อนไป ทางซายดวย θ เรเดยน เราสามารถเขยน V sin(ω t + θ ) น2าหนา (leads) V sin(ω t) ดวยมม θ เรเดยน หร=อในทางกลบกน sin(ω t) ตามหลง (lagging) sin(ω t + θ ) อย:%ดวยมม θ เรเดยน หร=อน2าหนา sin(ω t + θ ) ดวยมม − θ เรเดยน หร=อน2าหนา sin(ω t − θ ) ดวยมม θ เรเดยน ท'งการน2าหนาและการ ตามหลงรวมแลวเราจะเรยกว%าไม%ตรงเฟส (out of phase) ถามมมเฟสเท%ากนจะเรยกว%าเฟสตรงกน (in phase) ส2าหรบว-ศวกรไฟฟ;ามมเฟสจะมหน%วยเปUนองศามากกว%าเรเดยน เช%นสมการ v( t ) = v m sin(ω t + θ )

m

v = 100 sin( 2π 1000t −

m

π ) 6

สามารถเขยนไดใหม%โดยแทนดวยมมในหน%วยองศา v = 100 sin( 2π 1000t − 30  )

เพ=อหาค%าของสมการน'ทเวลาใด ๆ เช%น t = 10-4 ว-นาท ค%า 2π 1000t จะกลายเปUน 0.2π เรเดยนและเปลยนเปUนองศาได 36  ก%อนจะลบดวย 30  คล=นซายนสองคล=นทน2ามาเปรยบเทยบกนว%าเฟสตรงกน (inphase) หร=อไม% จะตองมร:ป แบบเปUนซายนหร=อโคซายนทเหม=อนกนท'งสองร:ปคล=น โดยเขยนขนาดเปUนค%าบวกและตองม ความถเดยวกน (การบวกหร=อลบดวยมม 360 ไม%ท2าใหฟงกชนเปลยนแปลง) ตวอย%างการเปรยบ เทยบ v (t) = V sin(5t − 30 ) และ v (t) = V cos(5t + 10 ) o

1

m1

o

2

m2

o

215 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน เราจะตองแปลงเปUนร:ปซายน (หร=อโคซายน) เหม=อนกนจงจะท2าการเปรยบเทยบได v 2 (t) = Vm2 sin(5t + 90o + 10o ) v 2 (t) = Vm2 sin(5t + 100o )

ผลต%าง 130  หร=อกล%าวไดว%า v (t) น2าหนา 1

v 2 (t)

ดวยมม 230  เม=อ v (t) เขยนไดเปUน 2

v 2 (t) = v m 2 sin(5t − 260o )

เราสมมต-ให v m1 และ v m2 เปUนบวกท'งค:% โดยปกต-ผลต%างของมมเฟสของท'งสองร:ปคล=นซายนจะ แทนดวยค%าทนอยกว%าหร=อเท%ากบ 180  v( t) Vm Vm sin ( ω t )

ωt θ

π

π 2

3π 2

( rad )

2π

Vm sin ( ω t + θ ) − Vm

ร+ป 8.2 ร:ปคล=นซายน v(t) = V

m

sin(ω t + θ )

น2าหนา V

m

sin(ω t)

ดวยมม θ เรเดยน

หลกการของการน2าหนาหร=อการตามหลงของสญญาณซายนท'งสองมไวเพ=อ ความสมพนธของฟงกชนซายนท'งสองร:ปคล=นท'งทางคณ-ตศาสตรและทางร:ปกราฟ

ช%วยแสดง

8.3 ผลตอบสนองกระตนตอฟงกชนกระตนซายน ผลตอบสนองกระตน จะมร:ปแบบทางสมการคณ-ตศาสตรเหม=อนกบร:ปแบบของฟงกชน กระตนรวมท'งเทอมอนพนธและเทอมอ-นท-กรล (ของฟงกชนกระตนเอง)

216 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน เราจะเรยกผลตอบสนองอย:%ตว (steady-state response) ในอกช=อว%าผลตอบสนองกระตน (forced response) ผลตอบสนองอย:%ตวในทางปกต-มความหมายว%า ไม%เปลยนแปลงตามเวลาซงเปUน จร-งส2าหรบฟงกชนกระตนไฟตรง แต%ส2าหรบฟงกชนซายนแลวน-ยามไดเปลยนแปลงไปดงน'ค=อ สภาพอย:%ตวจะหมายถงสภาพหลงจากผลตอบสนองชวคร:%หร=อผลตอบสนองธรรมชาต-หมดส-'นแลว ตอนน'พ-จารณาวงจรอนกรม RL ในร:ป 8.3 แหล%งจ%ายแรงดนซายนถ:กสว-ตซเขาไปในวงจร ทเวลาช%วงหนงในอดตและผลตอบสนองธรรมชาต-ไดเสรTจส-'นโดยสมบ:รณแลว เราจะหาผลตอบ สนองกระตนหร=อผลตอบสนองอย:%ตวไดดงสมการ L

di + Ri = Vm cos ω t dt

(8-2) i

vS ( t ) =

R

Vm cos ( ω t )

L

ร+ป 8.3 วงจรอนกรม RL ร:ปแบบฟงกชนของผลตอบสนองกระตน ซงท2าหลงจากอ-นท-เกรชน (integration) และอนพนธของ ฟงกชนกระตนแลวจะมเพยงแต%ร:ปแบบทแตกต%างกนสองแบบค=อ sin ω t และ cos ω t ดงน'นผลตอบ สนองกระตนจะมร:ปแบบโดยทวไป i( t ) = I1 cos ω t + I 2 sin ω t (8-3) เม=อ I1 และ I 2 เปUนค%าคงทจ2านวนจร-งซงข'นอย:%กบค%า V , R, L และ ω แทนสมการ (8-3) ในสมการ (8-4) จะได m

L(− I1ω sin ω t + I 2 ω cos ω t ) + R (I1 cos ω t + I 2 sin ω t ) = Vm cos ω t

และยายใหเทอมซายนและโคซายนอย:%ดวยกน (− LI1ω + RI 2 ) sin ω t + (LI 2 ω + RI 1 − Vm ) cos ω t = 0

สมการน'จะเปUนจร-งส2าหรบทกค%าของ t และแกสมการไดโดยใหเทอมซายนและเทอมของโคซายน เท%ากบศ:นย ดงน'น − ω LI1 + RI 2 = 0 และ − ω LI 2 + RI1 − Vm = 0 ซงจะไดค2าตอบของ I1 และ I 2 ค=อ

217 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน I1 =

RVm 2

2

I2 =

2

R + ω *L

ดงน'น ผลตอบสนองกระตนทไดค=อ

ω LVm 2

R + ω 2 * L2

RVm ω LVm cos ω t + 2 sin ω t R 2 + ω 2 L2 R + ω 2 L2

(8-5) สมการน'ยงยากในการแกสมการ อย%างไรกTตามกTไดเหTนภาพทชดเจนของการแสดงผลตอบสนอง ในเทอมของฟงกชนซายนหร=อโคซายนอย%างใดอย%างหนงกบมมเฟส เราเล=อกฟงกชนโคซายนใน การหาค2าตอบ (เพ=อหาค2าตอบทง%ายกว%าสมการ (8-4)) i( t ) = A cos(ω t − θ ) (8-6) มว-ธการอย%างนอยสองว-ธในการหาค%า A และ θ ว-ธแรก เราจะแทนสมการ (8-5) ลงในสมการ อนพนธ (8-2) โดยตรง หร=อว-ธทสอง จบสมการ (8-4) เท%ากบสมการ (8-5) เราเล=อกว-ธการทสอง จากสมการ (8-5) หลงจากกระจายฟงกชน cos(ω t − θ ) ไดซงจะมค%าเท%ากบสมการ (8-4) i(t) =

A cos θ cos ω t + A sin θ sin ω t =

เปรยบเทยบส.ป.ส.ของ

cos ω t

RVm ω LVm cos ω t + 2 sin ω t R 2 + ω 2 L2 R + ω 2 L2

และ sin ω t จะได

RVm R 2 + ω 2 L2 ω LVm Asin θ = 2 R + ω 2 L2 A cos θ =

หาค%า A และ θ โดยการหารสมการหนงดวยอกสมการหนงเพ=อหาค%า A A sin θ ωL = tan θ = A cos θ R

และยกก2าลงสอง ท'งสองสมการและรวมกน A 2 cos 2 θ + A 2 sin 2 θ = A 2 =

จะได

θ = tan − 1

และ

A=

R 2 Vm 2 ω 2 L2 Vm 2 V 2 + = 2 m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (R + ω L ) (R + ω L ) R + ω L 2

ωL R

Vm R 2 + ω 2 L2

ร:ปแบบของผลตอบสนองกระตนเขยนไดใหม%ค=อ i(t) =

Vm R 2 + ω 2 L2

cos(ω t − tan − 1

ωL ) R

(8-7)

เราจะพ-จารณาคณลกษณะทางไฟฟ;าของผลตอบสนอง i(t) ดงน'ขนาดของผลตอบสนองจะ เปUนอตราส%วนกบขนาดของฟงกชนกระตน ขนาดของผลตอบสนองจะลดลงขณะทค%าของ R, L หร=อ ω เพ-มข'น แต%ไม%เปUนอตราส%วนกน ด:ไดจากสมการอนพนธ ส2าหรบการเพ-มข'นของค%า R,L

218 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน หร=อ

di dt

ขนาดของกระแสจะลดลงถาแหล%งจ%ายแรงดนไม%เปลยนแปลง กระแสจะตามหลงแรงดน

ดวยมม tan − 1 ( ωRL ) ซงอย:%ระหว%าง 0 ถง 90  เม=อ ω = 0 หร=อ L = 0

กระแสจะมเฟสตรงกนกบ

แรงดนซงเก-ดในกรณวงจรแหล%งจ%ายไฟตรงกบวงจรตวตานทาน เม=อค%า R = 0 กระแสจะตามหลง แรงดนดวย 90  ซงตามความสมพนธ v s = L( dtdi ) ในวงจรทมตวเหนยวน2าอย%างเดยวกระแสจะตาม หลงแรงดนดวยมม 90  ในท2านองคลายกนแต%ในวงจรมตวเกTบประจอย%างเดยว กระแสจะน2าหนา แรงดนดวยมม 90  แรงดนจากแหล%งจ%ายและผลตอบสนองค%ากระแส i(t) วาดไดในร:ป 8.4 โดยมขนาดของ กระแสและแรงดนไม%ถ:กตองตามสเกล กระแสตามหลงแรงดนในวงจร RL ผลต%างของเฟสระหว%างแรงดนและกระแสข'นอย:%กบอตราส%วนของปร-มาณ ω L ต%อ R ซง เราจะเรยก ω L ว%าค%ารแอคตฟของตวเหนยวน2า (inductive reactive) มหน%วยเปUนโอหม v,i θ

i( t)

ωt π

0

( rad )

2π

v( t)

ร+ป 8.4 กราฟแรงดนฟงกชนกระตนซายนและกราฟกระแสซายน

219 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน ตวอยาง 8.1 จงหากระแส i L ในวงจรร:ป 8.5 25 Ω 3

10 cos10 t

30 mH

100 Ω

25 Ω 3

10 cos10 t

iL

a vOC

100 Ω

b

ก)

ข)

ร+ป 8.5 ว0ธท&า วงจร RL มตวตานทาน 2 ตว และไม%เปUนวงเดยว เพ=อจะใชผลลพธทไดจากการ ว-เคราะหก%อนหนาน' จะตองจดร:ปใหม%ใหอย:%ในร:ป 8.5 ข) โดยใชวงจรสมม:ลเทว-น-น ทจด a และ b แรงดนเปqดวงจร v OC ค=อ v OC = (10 cos 10 3 t )

100 = 8 cos 10 3 t 100 + 25

V

เม=อไม%มแหล%งจ%ายเราจะได R th =

(25 *100) = 20Ω (25 + 100)

ตอนน'เราจะได วงจร RL เม=อ L = 30 mH, R th = 20Ω และแหล%งจ%ายแรงดน 8 cos 10 3 t V ดงน'น เราสามารถหาผลตอบสนองอย:%ตวได iL =

8 20 2 + (10 3 * 30 *10 − 3 ) 2

cos(10 3 t − tan − 1

30 ) 20

A ว-ธการทใชหาผลตอบสนองคงตวส2าหรบวงจรอนกรม RL น'มความส2าคญไม%มาก ท'งน' เพราะว%าความยากในการแกสมการ ถาอปกรณท'งสองเปUนตวตานทาน เราจะแกสมการไดอย%างง%าย โดยใชกฎของโอหม แต%ความสมพนธของตวเหนยวน2าไม%ง%ายอย%างน'น อย%างไรกTตามแทนทจะแก สมการพชคณ-ตธรรมดาๆ แต%จะตองแกสมการอนพนธไม%เอกพนธ (nonhomogeneous differential) ในบทต%อจากน'เราจะท2าใหการว-เคราะหง%ายข'น สมการจะอย:%ในร:ปพชคณ-ตและมความสมพนธ ระหว%างแรงดนและกระแสของตวเหนยวน2าและตวเกTบประจคลายความสมพนธของตวตานทานซง ท2าใหวงจรซบซอนว-เคราะหง%ายข'น ค%าคงทและตวแปรในสมการจะเปUนจ2านวนเช-งซอน แต%การ ว-เคราะหวงจรใดๆในการหาผลตอบสนองอย:%ตวของฟงกชนซายน จะกลายเปUนเร=องง%ายประหนง เสม=อนกบการว-เคราะหวงจรตวตานทาน = 0.222 cos(10 3 t − 56.3  )

220 บทท 8 ฟงกชนกระตนสญญาณซายน

8.4 แบบฝ3กหดทายบท 1. แหล%งจ%ายแรงดน vS = 10 cos ( 800t − 30o ) V ตวตานทาน 20 Ω และตวเหนยวน2า 50 mH ท'งหมดต%ออนกรมกน จงหาขนาดของก2าลงชวขณะทส:งสดท ก) ผล-ตจากแหล%งจ%าย ข) ตวตานทาน และ ค) ตวเหนยวน2า ว0ธท&า

vS = 10 cos ( 800t − 30o ) V

40   cos  800t − 30o − tan − 1  = 0.2236 cos ( 800t − 93.43o ) A 20   202 + 402 pS = vSi = 10*0.2236 cos ( 800t − 30o ) cos ( 800t − 93.43o ) 10

∴ i=

cos A cos B =

1 1 cos ( A + B ) + cos ( A − B ) 2 2

2.236  cos ( 1600t − 123.43o ) + cos 63.43o   2  ∴ pS ,max = 1.118 ( 1 + 0.4472 ) = 1.6181 W ∴ pS =

p R = Ri = 20*0.2236 cos ( 800t − 93.43 2

2

2

o

)

ตอบ ตอบ

∴ p R ,max = 20*0.22362 = 1 W

di = 0.05*0.2236 ( − 800 ) cos ( 800t + 176.57o ) = 8.944 cos ( 800t − 3.43o ) dt ∴ p L = v L i = 8.944*0.2236 cos ( 800t − 3.43o ) cos ( 800t − 93.43o ) v L = 0.05

=

1 * 2  cos ( 1600t − 96.87o ) + cos 90o  ∴ p L,max = 1 W 2

ตอบ

2. ต%อแหล%งจ%ายแรงดน vS = 100 cos 300t V ตวเหนยวน2า 0.2 H ตวตานทาน 10 Ω และตว ตานทาน 30 Ω อนกรมกน จงหาขนาดของแรงดนทตกคร%อมตวเหนยวน2า 0.2 H และตวตานทาน 10 Ω

( 76.92 cos ( 300t ) − 34.62sin ( 300t )

V)

บทท 9

1 บทท 9 หลกการของเฟสเซอร (Phasor concept)

หลกการของเฟสเซอร (Phasor concept)

วตถประสงคของบทเรยน หลงจากนกศ'กษาได+อ,านบทเรยนน.จบ นกศ'กษาจะมความสามารถดงน. สามารถอธ5บายค6ณลกษณะของฟ8งกชนกระต6+นทเป