Cinética de Flotacion

Conceptos Básicos de Cinética de Flotación 





La cinética de flotación es el estudio de la variación en cantidad del producto que rebasa en la espuma con el tiempo y la identificación cuantitativa de todas las variables que controlan la velocidad.

El enfoque enfoque cinético cinético aplicado aplicado al proceso proceso de flotación flotación requiere requiere de una definició definiciónn de variables dinámicas, especialmente respecto al tipo de flujo existente en la celda o banco de celdas. Además, es necesario separar lo concerniente a pruebas de laboratorio batch o semibatch con la operación en continuo de un circuito industrial. Por esta razón, las restricciones de los modelos aconsejan introducir la siguiente clasificación:

SISTEMA  A) BATCH

CARACTERÍSTICA

TIPO

 Variación de concentraciones

B)  Variación de concentraciones SEMI-BATCH alimentación

Recipiente cerrado

Producto

C) La concentración es cte. en cualquier Producto CONTÍNUO alimentación cte. pto. pero varía con constante la posición D) CONTÍNUO alimentación cte.

Concentración constante

No alcanza estado estacionario Flujo tubular

Producto cte. Flujo tanque (flujo contínuo en alcanza estado un reactor tipo estacionario tanque agitado)

SISTEMA  A) BATCH

CARACTERÍSTICA

TIPO

 Variación de concentraciones

B)  Variación de concentraciones SEMI-BATCH alimentación

Recipiente cerrado

Producto

C) La concentración es cte. en cualquier Producto CONTÍNUO alimentación cte. pto. pero varía con constante la posición D) CONTÍNUO alimentación cte.

Concentración constante

No alcanza estado estacionario Flujo tubular

Producto cte. Flujo tanque (flujo contínuo en alcanza estado un reactor tipo estacionario tanque agitado)

De acuerdo con el ajuste de datos seleccionado:

Empíricos

 Adecuando curvas a datos datos de Recuperación vs Tiempo

Semiempíricos

Eligiendo ecuaciones diferenciales que se integran entre límites adecuados. Es el más usado, pero no da d a información acerca de la física del proceso.

 Análogos

 Aplicación de ideas sacadas sacadas de la cinética cinética química. Se requiere requiere el orden de reacción

 Analíticos

 Aplicación de la hidrodinámica al encuentro partícula-burbuja, para obtener ecuaciones de la probabilidad y frecuencia del encuentro, captura y la velocidad velocidad de remoción de la masa de sólidos desde la celda. Es el más difídil por la cantidad de variables involucradas.

Cinética La velocidad de flotación, o de remoción de concentrado, es otro índice importante para la evaluación del comportamiento de mineral, junto con su recuperación y leyes de concentrado y cola. Existe una variedad de modelos matemáticos para describir la funcionalidad de la recuperación en el tiempo que transcurre la flotación. Algunos de los más usados son los siguientes: •Modelo de primer orden  R t  =  R ∞ [1 − exp (− kt  )] García-Zúñiga •Con modificación según  R =  R [1 − exp {− k  (t  + 0 )}]  Agar t  ∞ •Modelo de primer orden con distribución rectangular  1  1 − exp − kt  de flotabilidades R. Klimpel  Rt  =  R∞ 1 − 



kt 

{

(

)}



Modelo de Segundo Orden 2

 R t  =

 R ∞ kt  1

+  R ∞ kt 

 Analizando el caso más útil, de la celda de laboratorio, es decir semibatch, se tiene:

dC  dt 

= −k iC 

ni i

en que, k = constante de velocidad de flotación n = orden de reacción C = concentración de especies flotables o ganaga

Representación gráfica:

En esta ecuación, hacemos dos suposiciones importantes: 1.- La flotación obedece a una cinética de primer orden 2.- Todas las partículas tienen idénticas flotabilidades y no hay distribución de

La primera suposición n=1, por lo tanto integrando se tiene que: C = Co e  – kt , en que Co = concentración del material flotable al tiempo cero C = concentración del material flotable al tiempo t Para representar gráficamente la ecuación, la escribimos de la forma: ln

C 0 C 

= kt  , ln(C0 /C)

k 

t Introduciendo el concepto de recuperación a tiempo infinito: (*)

C 0 − C ∞

ln

C  − C ∞

= kt 

con C , la concentración de material sin flotar. ∞

Si transformamos concentraciones en recuperaciones, se tiene: R  =(C0-C ) / C0 y R (t) =(C0 – C) / C0 Desarrollando (*) (C - C ) = (C0 - C ) e -kt , dividiendo por C0, (C - C ) / C0 = ((C0 - C )/C0) e-kt , restando a ambos miembros: ∞

∞

∞

∞

∞

∞

((C - C )/C0) – ((C0 - C )/C0) =[(C0 - C )/C0] e-kt – ((C0 - C )/C0) quedando: ∞

∞

R t = R  (1 – e-kt)

∞

∞

García Zúñiga

∞

en que, R t = Recuperación de equilibrio al tiempo t R  = Recuperación de equilibrio a tiempo prolongado k = Constante de velocidad de primer orden Modificando la ecuación anterior: R  /R  =1 – e-kt, R  /R  - 1 = - e-kt, 1 - R  /R  = e-kt t t t así: ∞

∞

∞

∞

ln[(R  - R  )/ R  ] = -kt t  ∞ 

∞ 

ln[(R  - R  )/ R  ] t  ∞ 

∞ 

-k 

t, min

Modelo de R. Klimpel, Este modelo es ampliamente usado en la evaluación y selección de reactivos de flotación.

   1   − kt   El valor de este modelo está en la separación de cualquier  R(t ) =  R∞ 1 −  (1 − e )   kt    influencia en una operación particular de flotación, en dos componentes: Un efecto de propiedades del material, el cual influenciaría fundamentalmente la cantidad de aquellas partículas que pueden ser recuperadas sin considerar el tiempo requerido para ello (tiempo de equilibrio). 1. Un efecto cinético o de velocidad, que ocasiona un cambio en la manera en la cual las partículas son removidas desde la celda de flotación. La principal tesis del modelo, es que el conocimiento del perfil tiempo-recuperación, que conduce a la recuperación de equilibrio, es a menudo más importante que conocer la recuperación de equlibrio real en sí misma. Esto puede ser verdadero en la evaluación de los cambios no químicos de la flotación (ej.:cambios de las RPM, velocidad de flujo de gas, temperatura de alimentación de la pulpa, etc.), en tan buena forma como para comparar distintos reactivos.

Ejemplo de ajuste de datos al modelo de flotación de R. K.

Minimizando la ecuación de Klimpel:

q

∑ [ R( )  j =1

t   j

(exp erimental  ) −  R (t ) j (calculada )]

en que k, R  y n son parámetros ajustables, q el número que corresponde a los ∞

2

 Así por ejemplo veamos el caso siguiente, que muestra un mineral flotado con dos fórmulas diferentes de reactivos.

Se aprecia que para tiempos inferiores a tk , uno de ellos presenta una mayor velocidad y alcanza recuperaciones parciales también mayores. Sin embargo, par t > t k  la recuperación de equilibrio ( a t ), llega a ser mayor con la segunda fórmula de reactivos. Por lo tanto, en este caso en que se evalúan dos fórmulas de reactivos, no basta con determinar R  ∞

Fórmulas integrales de la ecuación de velocidad de flotación (dC/dt) = - kC n a) b)

Para un grupo de partículas en una flotación batch: C = C0 exp(-kt) Para un grupo simple de partículas en una celda contínua, en estado estacionario: ∞

∫

C  = C 0 exp(− kt ) E (t )dt  0

c)

en que E(t) representa la distribución de tiempos de residencia. Para muchos grupos de partículas útiles con un rango de constantes de velocidad, para flotación batch: ∞

∫

C  = C 0 exp(− kt ) f  (k  ,0)dk  0

d)

Para muchos grupos de partículas útiles en celda contínua, en estado estacionario: ∞∞ ecuación aplicable a la operación de C  = C 0 exp(− kt ) E (t ) f  (k  ,0 )dtdk  plantas de flotación.

∫∫ 0 0

Circuito de Celdas de Flotación

Tabla

Determinación del tiempo óptimo de flotación

Espuma de flotación

Criterios para determinar el tiempo de residencia óptimo en c/circuito Según G.E. Agar, para flotación batch: 1.- No agregar al concentrado material de ley menor a la de alimentación de esa etapa de separación. 2.- Maximizar la diferencia en recuperación entre el mineral deseado y la ganga. 3.- Maximizar la eficiencia de separación.

El criterio (1) es obvio, puesto que la flotación es fundamentalmente un proceso de concentración. Para analizar el criterio (2), consideremos una cinética de flotación simple, primer orden. Si = Rec.min.útil – Rec.ganga = R.m.u. (1 – e-kt) - Rg (1 – e-k gt) =R.m.u. - R.m.u. e-k m.u.t - R g + R g e-k gt Maximizando: ∞

∞

∞

∞

∂∆

∞

 R

(k  )

− k m u t 

 R

(k  ) −

k  g t 

0

Criterios de Agar



(c2)

t  =

ln  Rm .u .∞ k m .u .  /  R g ∞ k  g 

(k 

m .u .

− k  g  )

Determinación del tiempo óptimo de flotación Un criterio metalúrgico útil para determinar el tiempo óptimo de flotación en una etapa dada, consiste en flotar hasta que la velocidad de flotación de la especie útil (U) sea igual a la velocidad de flotación de la ganga (G). Matemáticamente (*):

∂ RU  ∂ RG = ∂t  ∂t 

Esta condición corresponde al tiempo en que la velocidad de transferencia del sólido a la fase espuma es igual para ambas componentes; lo que es equivalente al tiempo en que la ley instantánea del concentrado es igual a la ley de alimentación a dicha etapa  Ver Figura

Determinación del tiempo óptimo de flotación

Criterios de Agar Respecto al criterio (3): La E.S. = ( R m.u. – R g) en el concentrado será máxima, cuando: 1.- La diferencia de recuperación entre la ganga y la especie útil sea máxima. 2.- Las velocidades de flotación entre la especie útil y la ganga sean iguales. Definiendo: M:contenido metálico del min.útil WcM  (c −  f  ) c:ley del concentrado acumulativo  E .S . =  Ffc ( M  −  f  ) F:peso de alimentación f: ley de cabeza el tiempo para el cual se hace máximo: W:peso del concentrado    

(*)

 M  dW  dc  ∂ E .S .  ( ) c  f   W  = − + =0 dt  dt   ∂t   Ff  ( M  −  f   ))  t 

∫ GdW  = Wc

, en que G: ley instantánea del concentrado

0

Diferenciando: GdW = W(dc/dt) + c(dW/dt), luego

G = W(dc/dW) + c, multiplicando por dW/dt, se tiene: GdW/dt = W(dc/dt) + c(dW/dt), que al sustituirlo en (*) d  ( E  .S  .) dt 

=

dW  dW  dW    dW  − + − = c  f   G c    Ff   ( M  −  f    ) )  dt  dt  dt  dt    M 

0

de donde, G = f  Cuando la eficiencia de separación alcanza el máximo, la ley instantánea del concentrado se iguala a la ley de la alimentación.  Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo de determinación de la cte. k y del tiempo óptimo de flotación. t 1 2 4 8 16

%R  (R  -R t)/R  ∞

49.1 61.5 69.8 76.5 83.5

0.4223 0.2765 0.1788 0.1000 0.0176

∞

  R − Rt    ln ∞  R   ∞  

-0.86 -1.29 -1.72 -2.30 -4.04

∆ y = k  ∆ x

-0.207

R m.u. = 0.85(1 – exp(-0.207(t+3.5))) De acuerdo con el criterio 2, t= 11.3 min lo que está en acuerdo en general con los otros dos criterios. Comentarios:

Ejemplos de aplicación de los Criterios de Agar Según criterio (1), a los 12 min se igualan ley de cabeza y concentrado (Fig1). Según criterio (2), es decir usando la fórmula para t, (c2), t=11.3 min. Como se observa en la fig.3, antes de t=11.3 la velocidad de flotación del niquel es superior a la de la ganga. Es claro por lo tanto que aquí debe terminar la flotación, de lo contrario se esaría ensuciando el concentrado. Usando el criterio (3), en la Fig. 1 se observa que la eficiencia de separación es máxima entre 8 y 16 min, lo que está de acuerdo con los criterios (1) y (2).

Banco de celdas convencionales

Ejemplo aplicación criterios Agar. En la flotación de un mineral de calcopirita conteniendo oro, se encuentran además otras especies, que en orden de aundancia son pirrotita y, pirita, con una ganga constituída por cuarzo, calcita y óxido de fierro. Se emplea como colector KAX, a pH alcalino. De acuerdo con la Fig 9, c(1): t = 4.2; c(3): t= 4.3 R cpy= 0.984(1-exp(-0.503(t+3.1))) R g = 1 (1-exp(-0.0084(t+5.2))), Diferenciando, c(2): t = 5.1. Se determina t=4.5 min, como promedio de los tiempos, para ser considerado pasando a la primera flotación cleaner.  Al igual que en las pruebas anteriores, se colectó concentrado parcialmente, resultado que se muestra en la

 Aplicaciones de los criterios de Agar c(1): t=1.5; c(2) t=1.4; c(3) t=1.7, De donde, t = 1.5 min Se decidió realizar otro test, incluyendo una flotación rougher de 4.5 min, cuyo concentrado alimentó un segundo cleaner: En la Fig siguiente se observa que: R cpy= 0.997(1-exp(-2.67t))) R g = 0.73(1-exp(-1.20t))), Diferenciando, t= 0.75 min Se seleccionó 0.75 min para los siguientes test.

 Aplicaciones de los criterios de Agar

 Aplicaciones de los criterios de Agar Finalmente, se muetra el flowsheet de un test de ciclo,a modo de comprobar la aplicación de esta técnica en el diseño de un circuito de flotación.