Cinématique Du Solide

 

Cinématique du solide

Sur Mini-Compresseur 

Pr: Hassan FATMAOUI

LP IAA / FSA

 

Mini-Compresseur Analyse du système  Entrée : 

Air (BP)  (BP)  Entrée :

  Mouvement de rotation (Moteur électrique)  Sortie : 

Air (HP)  (HP) 

 

Mini-Compresseur Modélisation   z 0 Bâti C

Pivot glissant

Pivot ( Ax )

 x0

( Az 0 )

0

Arbre Entrée

B

 x 0

 x0

A

Piston

Pivot

Pivot glissant

( Bx0 )

(Cx0 )

Bielle

 

Mini-Compresseur Schéma cinématique  Piston C

C

Système plan

Bielle

Schéma cinématique

B B A

Plan d’étude d’étude  

Entrée A

bâti

 

Repère(s) de référence Cinématique du point  

Le mouvement d’un point se définit par rapport à un repère de référence

Cinématique du solide   Chaque groupe cinématique peut être choisi comme référence

Définir un Repère par groupe cinématique

Repère lié au solide

 

Mini-compresseur Définition des Repères  Repères liés aux solides  solides :  :  Bâti

 R0 ( A, x0 , y0 , z 0 )

Entrée

 R1 ( A, x0 , y1 , z 1 )

Bielle

 z 0

 z 2

 y0

C

 y2

 z 1

 R2 ( B, x0 , y2 , z 2 )

 y1

 z 2

Piston

 R3 (C , x0 , y0 , z 0 )

 y1

B

 y

A

0

 

Mini-compresseur Relativité du mouvement

Trajectoire de C appartenant au piston par rapport au bâti

Trajectoire de C appartenant au piston par rapport à l’arbre  d’entrée l’arbre d’entrée  

 

Repères

 z 0

Notations et Utilisation   z 2

Définir un mouvement c’est donner obligatoirement

 y0

C

le Solide dont on considère le mouvement le Solide de référence

Pour la trajectoire trajectoire,, la vitesse  vitesse et l’accélération l’accélération   Un point

Notation (exemple)   Notation (exemple)  Vitesse du point B appartenant au solide bielle bielle) ) dans son)mouvement par rapport1 (au solide 0 (bâti bâti)

 y2

 z 1

 y1

 z 2  y1

B

V ( B 1/0 1/0)) ou V  B (1/0 1/0))

A

 y0

 

Mini-Compresseur Mouvement du Piston / Bâti  Trajectoire d’un point du piston par rapport au bâti Vitesse d’un point є Piston/bâti

Constatation  Toutes les trajectoires sont des droites parallèles. parallèles. Tous les points ont le même vecteur vitesse à chaque instant.

Le mouvement du piston par rapport au bâti est un mouvement de : Translation Rectiligne

 

Mouvement de translation Caractéristiques  Les trajectoires sont des courbes identiques A chaque instant : instant : Les vecteurs vitesses sont identiques en tous points de (S) t

et



 P, Q   S 



V P (S / 0)  VQ (S / 0  )

Les vecteurs accélérations sont identiques en tous points de (S) t

et



 P, Q   S 

  P (S / 0)  Q ( S / 0) 

Cas particuliers  Translation Rectiligne : Trajectoires = droites 

Translation Circulaire : Trajectoires = cercles de même rayon 

 

Mini-Compresseur Mouvement de l’arbre d’entrée/bâti   Trajectoire d’un point de l’arbre l’arbre   d’entrée par rapport au bâti Vitesse d’un point є arbre d’entrée/bâti   d’entrée/bâti

Constatation  Toutes les trajectoires sont des cercles de même centre (concentriques (concentriques)) Plus on s’éloigne du centre, plus la vitesse augmente

Le mouvement de l’arbre   d’entrée par l’arbre rapport au bâti est un mouvement de : Rotation

 

Mouvement de Rotation Autour d’un axe fixe  fixe  (Rappel de 1 ère ) 

Caractéristiques 

ωS/0

Les trajectoires sont des cercles concentriques

P1 P2

Champ des vitesses  Les vecteurs vitesses sont perpendiculaires au rayon La norme des vecteurs vitesses est proportionnelle à la distance à l’axe de rotation.  rotation.  ωS/0 = vitesse angulaire de S/0 V ( P1  S / 0)

 r1        S / 0

V ( P2  S / 0)

 r2      S / 0

r1 r2

 

Composition des mouvements Exemple :: une rivière, un bateau…  Exemple  bateau…  Ecoulement de la rivière

Berge (0)

V ( P 1 / 0)

Berge (0)

Mvt du bateau / rivière V ( P  2 / 1)

P Bateau (2)

Mouvement du bateau / berge

.

Rivière (1)

V ( P  2/0)  V ( P  2 / 1)  V ( P 1/ 0)

Composition des vitesses L’idée !!! Utiliser les liaisons connues pour la décomposition

L2

S2

S1

L1 

S0

 

Composition des mouvements sur

Mini-Compresseur On cherche  V ( B  bielle / ba bati)  V ( B  2 / 0) ˆ

Décomposition des mouvements 1 ère  décomposition : 

Bâti (0)

Pivot glissant

Pivot ( Ax )

V ( B  2 / 0)  V (B  2 / 1)  V ( B 1/ 0)

C

Or  V (B  2 / 1)  0 Donc  V (B  2 / 0)  V (B 1/ 0) 

0

Arbre Entrée (1)

( Az 0 )

Piston (3)



V ( B 2 / 0)

2 ème décomposition : 

 AB

V (B  2 / 0)  V ( B  2 / 3)  V ( B  3 / 0) V (B  3 / 0) //  AC    V ( B  2 / 3)   CB 

Pivot ( Bx0 )

Pivot glissant

B A Bielle (2)

(Cx0 )

 

Equiprojectivité Définition et utilisation S solide en mouvement / bâti (0) A et B deux points quelconques du solide S « traduction »

Relation d’équi-projectivité d’équi-projectivité

 La projection projection de la vitesse en A

même 

 projection 

V ( A  S / 0)  AB  V ( B  S / 0)  AB

 sur (AB) est égale à la projection projection de la vitesse en B sur (AB)

 Direction de la vitesse en B



V ( A S / 0) A

B V ( B  S / 0)  AB

V ( A  S / 0)  AB

(S) V ( B  S / 0)

 

Equiprojectivité sur 

Mini-Compresseur On cherche V (C  3 / 0) On connaît  V ( B 1/ 0) Et on sait que  V (C  3 / 0) //( AC)    La décomposition des vitesses nous nous donne

V (B 1/ 0)  V (B  2 / 0) V (C  3 / 0)  V (C   2 / 0)

On utilise l’équiprojectivité sur le solide 2 V (B  2 / 0)  BC  V (C  2 / 0)  BC  

 

Equiprojectivité démonstration  Idée de base :  les solides sont indéformables Si A et B sont deux points du même solide, alors la distance AB reste constante au cours du mouvement 2

 AB



 AB  AB  ctctee

On dérive par rapport au temps « t »  AB 

Relation de Chasles

d 

AB   0  dt 

d

  dt OB

 u.v   uv  vu Si on prend v = u 2

 AB  A B  AO  OB  AB  A B

Rappel de Mathématiques

 AB 



u 





2u u

d 

OA  0  dt  

V ( A 1 / 0)  AB  V ( B 1 / 0)  AB

Rappel de 1ère 

 d OA  V ( A 1 / 0)   dt     R

0

 

C.I.R sur

Mini-Compresseur On s’intéresse au mouvement de la bielle 2

Constatation  A chaque instant « t » perpendiculaires aux Les directions des vitesses des points de la bielle sont concourantes en I(t)

A l’instant t  

Mvt 2/0 = Rotation de centre I(t)

/ au bâti  au bâti 0

 

Centre Instantané de Rotation (C.I.R (C.I.R)) définition et utilisation  Le mouvement d’un est assimilable à chaque instant t àsolide une rotation de centre I(t) I(t).. I(t) : Centre Instantané de Rotation Utilisation 

1 – On trouve la position du CIR  2 - On est revenu à une rotation 

 A  ( IB)

 IA  IA

 Direction de la vitesse en B

V ( A  S / 0)

(S) B

A A’   A’ V (B  S / 0)

I(t) V ( A  S / 0)