Cinematique Du Point
March 7, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Centre d’intérêt 4 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes
PCSI
Cinématique du point
CI.4 Modélisation, prévision et vérification du comportement cinématique des systèmes
PCSI
Cinématique du point Table des matières 1.
Notion de référentiel .................................................................. ............................................................................................................. ........................................... 3 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.5. 1.5.1. 1.5.2.
2.
Base........................................................... ............................................................................................................................. ............................................................................. ........... 3 Repère....................................................... ......................................................................................................................... ............................................................................. ........... 3 Système de référence ............................................................................................................ ............................................................................................................ 3 Système de coordonnées ...................................................................................................... ...................................................................................................... 3 Coordonnées cartésiennes .............................................................. ................................................................................................ .................................. 3 Coordonnées cylindriques ................................................................................................. ................................................................................................. 3 Coordonnées sphériques ................................................................................................... ................................................................................................... 3 Changement de base ............................................................................................................. ............................................................................................................. 4 Cas Général ................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................ 4 Les angles angles d’Euler d’Euler ................................................................... .............................................................................................................. ........................................... 4 Cinématique du point ............................................................... ............................................................................................................ ............................................. 5
2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Trajectoire.............................................................................................................................. .............................................................................................................................. 5 Vitesse......................................................................................................................... .................................................................................................................................... ........... 5 Accélération ........................................................ ........................................................................................................................... ................................................................... 5 Dérivation d’un vecteur ........................................................................ vecteur ......................................................................................................... ................................. 6
2.4.1.
Dérivée d’un vecteur mobile, exprimé dans un repère
2.4.2. 2.4.3.
Dérivée d’un vecteur mobile, exprimé dans un repère , par rapport au repère ’ ....... ....... 6 Notion de vecteur rotation ................................................................................................ ................................................................................................ 6
Une page du site avec cours, vidéo et questionnaire pour présenter le produit scalaire (vu par un professeur de S2I)
, par rapport au repère
ℛ
........ ........ 6
ℛ
Une page du site avec cours et vidéo pour présenter le produit vectoriel (vu par un professeur de S2I)
Une vidéo sur les figures de changement de base
Lycée Joffre
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1 Notion de référentiel 1.1. Base 1.1.
= = = ⃗,,
⃗,⃗, ..⃗ + ..⃗ + .. = = .⃗+ ..⃗+ ..
On dit que trois vecteurs sont linéairement indépendants le cas où . On appelle base indépendants
seulement dans
de l’espace vectoriel (E), de dimension 3, tout système de vecteurs linéairement
tel que tout vecteur
vecteur dans la base
si on a
.
de (E) se notera
1.2. Repère 1.2.
Un repère est l’association d’une base
a, b, c sont les composantes du
(⃗ℛ(,,⃗, )⃗,⃗, )
et d’une origine O. En règle générale en mécanique, on
utilisera un repère orthonormé direct. On le l e note
1.3. Systèmederéférence 1.3.
Pour observer le mouvement d’un solide, dans un repère il est nécessaire d’utiliser d’ utiliser une base de temps T. Le système de référence est alors l’association d’une base de temps et d’un repère. repère.
1.4. Systèmedecoordonnées 1.4. On appelle système de coordonnées à l’instant t, toute paramétrisation des points du référentiel au moyen de trois nombres réels (a, b, c).
1.4.1. Coordonnéescartésiennes 1.4.1.
s s e e é n n n n e o i s d é r t o r o a C c
,,⃗,⃗,⃗
est un repère de l’espace, tout vecteur Si mettre de façon unique sous la forme :
= . + . + .
z peut se
où x, y, z sont des nombres réels et sont appelés coordonnées cartésiennes de M. M.
M
y
O x
1.4.2. Coordonnéescylindriques 1.4.2. Si
s s e é u e n q n i o r d d r n i o l o y C c
est un repère orthonormé de l’espace, les
z M
,,⃗,⃗,⃗
coordonnées cylindriques d’un point M sont les trois nombres , , z définis de la façon suivante : • et sont les coordonnées polaires de la projection orthogonale m de M sur le plan (x,O,y) • z est la projection de M sur
O
1.4.3. Coordonnéessphériques 1.4.3.
s e s é e n u n q i o r d é r h o p o s C
,,⃗,⃗,⃗
Si est un repère orthonormé de l’espace, les coordonnées sphériques d’un point M sont les trois nombres r, , définis de la façon suivante : • r est le nombre positif ou nul mesurant la distance de O à M
• •
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est l’angle de est l’angle de
avec l’axe avec
,,
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M
r O
m
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1.5. Changementdebase 1.5. 1.5.1. CasGénéral 1.5.1.
(⃗,⃗, ) ⃗,⃗,⃗ = .⃗ + .⃗ + . ⃗,⃗,⃗ 1 1 1 { = 32.⃗⃗ + 32.⃗⃗ + 32. = . + =..⃗ ++. .⃗+.⃗+ (.⃗⃗.,⃗, = +).. + +. +. ..⃗⃗+,⃗,⃗ . + . + . . 4 4 4 ,,,, = ψ = 4 = θ 4 ϕ θ θ = , , ψ ψ ϕ ϕ = 4 44, 4, 4 = ψϕθ 4 = 4 ψ 4 θ ϕ ψ θ ϕ = = 4 =
Soit deux bases
et
telles que l’on puisse exprimer les vecteurs telles
dans la base
Soit un vecteur aura pour coordonnées dans la base
exprimé dans la base :
1.5.2. Lesanglesd’Euler 1.5.2. Lesanglesd’Euler
Ils caractérisent caractérisent le mouvement de rotation d’un repère par rapport à un autre. autre.
Soient deux bases et tels que la position de par rapport à peut être considérée comme la composition de trois rotations élémentaires. Pour simplifier le problème on va supposer que les deux repères ont même origine. est confondu avec
A l’instant initial on considère que
.
suivant
suivant
suivant
: angle de précession
:angle de nutation : angle de rotation propre
Figures de changement de base
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2 Cinématique du point
ℛ(⃗,⃗, )
Soit
repère. ,un repère orthonormé direct avec O l’origine du repère.
Soit M un point de coordonnées
2.1. Trajectoire 2.1.
,,,
dans R. Ces coordonnées sont des fonctions du temps. dans
k
= ..⃗+ ..⃗+ ..→ , ∈ [, ] /ℛ k /ℛ
On a : La fonction vectorielle est appelée position de M. La trajectoire de M entre les instant t1 et t2 est l’ensemble des positions positions de
M2 M1
⃗i
On la note
M3
/ℛ ⃗j
M(t)
O
2.2. Vitesse 2.2.
La vitesse de M dans R est la dérivée du vecteur position de M, dans R, par rapport au temps : n o i t i n i f é D
M(t)
⃗i
⃗j
O
/ℛ = = ̇ .⃗+ℛ ̇.⃗+ ̇.
Remarque : O est un point fixe de
Propriété
/ℛ
est tangent à la trajectoire de M dans
ℛ
2.3. Accélération 2.3.
/ℛ Γ/ℛ/ℛ = ℛ = ℛ = ̈̈.⃗+ ̈.⃗+ ̈.
L’accélération de M dans R est la dérivée du vecteur vitesse de M, dans R, par rapport au temps : n o i t i n i f é D
Remarque : O est un point fixe de
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2.4. Dérivationd’unvecteur 2.4. Dérivationd’unvecteur
ℛ ℛ(,⃗,⃗, )
ℛ
2.4.1. Dérivéed’unvecteurmobile,exprimédansunrepère ,parrapportaurepère 2.4.1. Soit
= .⃗+.⃗+.
= .⃗ + .⃗ + . = ̇.⃗ + ̇.⃗ + ̇. un vecteur exprimé dans le repère orthonormé direct
.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ℛ(, , , ) ℛ′ ( ′ , ′ , ′ , ′ ) ℛ ℛ = .⃗+.⃗+. ℛ⃗ ⃗ ′ = ̇ .⃗ + ̇ .⃗ + ̇. + . ′ + .′ + ..′ ⃗ ℛ′ = 0 ⃗ ⃗.⃗= 1 2× . ℛ′ ⃗ ⃗⊥ ℛ ⃗⃗ℛℛ′′ = ..⃗+ .... ⃗ ℛ′ = .⃗+ .⃗ ⃗.⃗= ⃗. = .⃗= 0 ℛ′ + = + = + =0 ⃗⃗ ℛ′ = .⃗− .. ℛ′ = ... ⃗− ..⃗ ⃗ ⃗ ℛ′ = Ω ∧⃗ Ω αδε ⃗ ℛ′ == ΩΩ ∧∧⃗ ℛ′ Ω ℛ/ℛ ℛ ℛ′ 2.4.2. Dérivéed’unvecteurmobile,exprimédansunrepère 2.4.2.
Soient
et
Soit
,parrapportaurepère ’
deux repères orthonormés directs.
un vecteur exprimé dans
alors
2.4.3. Notiondevecteurrotation 2.4.3.
On sait que donc
d’où si on dérive par rapport à
cette expression, on obtient : cette
de même pour les vecteurs unitaires et .
On peut donc écrire :
De plus on a donc si on dérive chacune de ces expressions par rapport à remplace les dérivées par leurs expressions ci-dessus on obtient les trois relations suivantes :
On peut donc écrire :
On peut reconnaître le résultat d’un produit vectoriel avec le v vecteur ecteur
On note ce vecteur
e n l l o i e t i a r v i o r t c é e D v
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et que l’on
vecteur instantané de rotation du repère
On en déduit que :
tel que :
par rapport au repère
= + / ∧
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..
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