Cinematica Tangencial y Normal

COMPONENTES COMPONE NTES TANGENCI TANGENCIAL AL Y NORMAL

Integrantes: Brusliz mamani condori Jhoke lupaka lima

INTRODUCCIÓN MECANICA MECANICA DE C!E$%" $I&ID"#

E#'A'ICA

MECÁNICA DE C!E$%" DEF"$MABE

MECÁNICA DE F!ID"#

DINAMICA

CINEMA'ICA

CINE'ICA



NOCION DE CINEMATICA La cinemática  (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.





También se dice que la cinemática estudia la geometría del movimiento. n la cinemática se utili!a un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.





ob"etivos #eterminar las componentes normal y tangencial de la velocidad y la aceleración de una partícula que se encuentra moviéndose en un trayectoria curva.

APLICACIONES Cuando un auto se mue(e en una cur(a e)perimenta una aceleraci*n+ de,ido al cam,io en la magnitud o en la direcci*n de la (elocidad.%odr/a !d- preocuparse por la aceleraci*n del auto0#i el motociclista inicia su mo(imiento desde el reposo e incrementa su (elocidad a raz*n constante- .C*mo podr/a determinar su (elocidad 1 aceleraci*n en la parte

POSICIÓN Cuando la tra1ectoria de una  part/cula es conocida+ a (eces es con(eniente utilizar las coordenadas normal 3n4 1 tangencial 3t4 las cuales act5an en las direcciones normal 1 tangencial a la tra1ectoriaEn un mo(imiento plano se utilizan las (ectores unitarios ut 1 u

n

El origen se encuentra u,icado

El e6e t es tangente a la tra1ectoria 1 positi(o en la direcci*n del mo(imiento 1 el e6e n es perpendicular al e6e t  1 esta dirigido hacia el centro de cur(atura

POSICIÓN En un mo(imiento plano las direcciones n 1 t se encuentran de7inidas por los (ectores unitarios ut 1 un El radio de cur(atura $, es la distancia perpendicular desde curva %asta el centro de curvatura en aquel punto. La posición es la distancia & medida sobre la curva a partir de un punto ' considerado fi"o

VELCOIDAD De,ido a 8ue la part/cula se esta mo(iendo+ la posici*n # est2 cam,iando con el tiempoa (elocidad v es un (ector 8ue siempre es tangente a la tra1ectoria 1 su magnitud se determina deri(ando respecto del tiempo la posici*n # 9 73t4%or lo tanto se tiene v

= vut  & dS : dt  

ACELERACIÓN Consideremos el mo(imiento de a aceleraci*n tangencial es una part/cula en una tra1ectoria la responsa,le del cam,io en el modulo de la cur(a plana En el tiempo t  se encuentra en % con una (elocidad v en direcci*n tangente 1 una aceleraci*n a dirigida hacia la conca(idad de la cur(a- a aceleraci*n puede descomponerse en una componente tangencial at  3aceleraci*n tangencial4 paralela a la tangente 1 otra paralela a la

(elocidad a aceleraci*n normal es la responsa,le del cam,io en la direcci*n de la (elocidad

ACELERACIÓN 'racemos en A un (ector unitario e;t  - a aceleraci*n ser2 r

a=

dv dt

=

d 3ve;t 4 dt

dv

=

dt

e;t  + v

de;t  dt  

#i la tra1ectoria es una recta+ el (ector e;t  ser/a constante en magnitud 1 direcci*n+ por tanto ;t  de

=

dt 

<

%ero cuando la tra1ectoria es cur(a la direcci*n de e;t  cam,ia  por lo tanto ;t  de

≠

<

 

ACELERACIÓN

Introduzcamos el (ector unitario e;n a la cur(a 1 dirigido normal hacia el lado c*nca(o de la cur(a- #ea = el 2ngulo 8ue 7orma la tangente en A con el e6e )Entonces se tiene e;t  = cos β i; + senβ  j e;n e;n

π ; π  r = cos3 β + 4i + sen3 β  + 4 j > > r = − senβ i; + cos β  j

a deri(ada del (ector unitario

dβ ; d β  r = −3 senβ 4 i + cos β  j dt dt dt   de;t  d β  = e;n dt dt  

de;t 

ACELERACIÓN 





Por otro lado se tiene que d β d β dS d β   = =v dt dS dt dS   Donde dS  es el pequeño aro a lo lar!o del "o#i"iento en un dt$ Las nor"ales a la ur#a en A % A& se intersean en C$ Entones dS =  ρ d β  d β 

 ρ  La ra'(n de a")io del #etor unitario tan!enial es dS 



=

?

de;t  dt 

=

? ρ 

e;n

ACELERACIÓN Re"pla'ando esta euai(n en la aelerai(n se tiene ; dv

r

a

=

r

a

dt dv

=

r

a

+

v

dt   v

;t e

+

;t at e

+

dt 

=

;t  e

det 

>

 ρ 

;n e

;n an e

Es deir las aeleraiones tan!enial %r nor"al dv v> r e;t : at = e;n = seat esri)en



La magitud de la aceleración total será > >

a

=

at

+ an

CASOS ESPECIALES . La partícula se mueve a lo largo de una línea recta

9@ an 9 (>ρ = 0 => a 9 at 9 ( a componente tangencial representa la raz*n de cam,io de la magnitud de la (elocidad

ρ →∞

>- a part/cula se mue(e en la cur(a a (elocidad constante

 at 9 ( 9 <

9@

a 9 an 9 (>ρ

a componente normal representa la raz*n de cam,iode la direcci*n de la (elocidad

CA#"# E#%ECIAE# 4 a componente tangencial de la acelerac*n es at 9 3at4c s = s< + v< t + v = v< + v

>

3a 4

> = v< +

c

c

? > t

3a 4 c

constante+

>

t  c

 

>3 a 4 3 s − s< 4 c

c

#o and vo son la posici*n 1 la (elocidad de la part/cula en t 9 < - a part/cula se mue(e a lo largo de la ra1ectoria dada por 1 9 73)4- Entonces el radio de cur(atura es ? + 3 dy  dx4 >  >  ρ  = d > y d x>

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5) j m/s. Calcular las componentes tanencial ! normal de la aceleraci"n en el instante t =2 s# $i%uar el vector velocidad' el vector aceleraci"n ! las componentes tanencial ! normal en dico instante#



El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t2)i+(6t2-5) j m/s. Calcular las componentes tanencial ! normal de la aceleraci"n en el instante t =2 s# $i%uar el vector velocidad' el vector aceleraci"n ! las componentes tanencial ! normal en dico instante#



$i%uamos el vector velocidad ! el vector aceleraci"n

E*e"plo +, 

n carro de carreras * via"a alrededor de una pista %ori!ontal circular que tiene un radio de + m. &i el carro incrementa su rapide! a ra!ón constante de -, mspartiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcan!ar una aceleración de -,/ ms-. 0*uál es su velocidad en ese instante.

Solui(n 

&e sabe que la aceleración tangencial es constante e igual a at  =

>+?m : s



r

a = at e;t +

>

 ρ 

e;n

> ; a = >+?et + +?> + C

< + >+?t 

>+ B = >+? + C

>

3>+?t 4 > > an = = =

La velocidad instante será

> >

en

este

v = >-?t = ?m  s

E*e"plo +na ca"a parte del reposo en 1 e incrementa su rapide! a ra!ón de at  = (#2t) m/s2 y via"a a lo largo de la pista %ori!ontal mostrada. #etermine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por 2

E*e"plo +La posición de la ca"a en cualquier instante es & medida a partir del punto fi"o en 1. La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es at  = v&= t  3?4 v

t 

∫< dv = ∫ < tdt   v = < ?t >

3>4

E*e"plo +3ara determinar la velocidad en 2, primero es necesario determinar & 4 f(t), después obtener el tiempo necesario para que la ca"a llegue a 2. es decir v= S

∫<

ds

dt 

ds =

= t 

>