CINEMATICA-1

Presentación

El presente trabajo esta dirigido a todo los jóvenes que perseveran en su lucha por lograr sus objetivos; tratando en todo momento de encontrar la razón de su existir a través de la comprensión de los fenómenos que ocurren en nuestro Universo. Para todo aquellos que postulan a las diferentes universidades de nuestro país. También sirve como texto de consulta para aquellos jóvenes de estudios superiores de Ciencia e Ingeniería (Ingeniería Mecánica, Eléctrica, Civil, Minas, Física, Química etc.) La Física es parte de la Naturaleza , y su estudio es importante por las aplicaciones que se realiza en la Ciencia e Ingeniería. Pensamos que un texto de Física debe ser Concreto y Didáctico, y eso es lo que resaltamos en este trabajo. Muchas veces los jóvenes se sienten limitados cuando se encuentran en un centro de estudios, y esto es así por: El tiempo o duración de las clases, por la cantidad de alumnos, y en muchas situaciones no se puede consultar con el profesor. Para todo esto debemos complementar con un buen texto de consultas, que a veces el mismo profesor lo recomienda. Si queremos tener éxito en el estudio de la Física, debemos tener en cuenta tres factores importantes : El Alumno, el Profesor y un buen Texto de consultas. Quiero terminar agradeciendo a todos aquellos que hicieron posible para que se publique este trabajo. A la Srta. Neyla Aliaga Campos por su apoyo incondicional, a mis alumnos y colegas por las sugerencias que me hicieron llegar. Espero que el presente trabajo sea útil y disipe las dudas de los lectores.

El autor Física del escarabajo

1

Dedicatoria: Para todos aquellos que buscan comprender los misterios de nuestro Universo, para asi mejorar y darle sentido a nuestra vida.

FÍSICA DEL ESCARABAJO:

Cinemática - 1

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin autorización escrita del autor. Física del escarabajo

2

CINEMÁTICA-1 MRU - MRUV

INTRODUCCIÓN: En nuestras actividades cotidianas observamos diversos tipos de movimiento. Lo vemos en los autos que pasan por las calles, en las olas del mar, en un parque de diversiones, en los helicópteros que vuelan etc. A nivel microscópico existen movimientos que no podemos percibir a simple vista, por ejemplo: los átomos y moléculas en movimiento producen calor e incluso sonido, los electrones que fluyen en un alambre de cobre producen corriente eléctrica. Pero, ¿qué es el movimiento? Hace más de 2 000 años, los antiguos griegos estaban familiarizados con algunas de las ideas de la física que estudiamos en la actualidad. Ellos comprendían muy bien algunas propiedades de la luz y otros temas; pero con respecto al movimiento tenían muchas dificultades. Con Galileo y su estudio de las esferas sobre planos inclinados, se alcanzó un gran progreso respecto a la comprensión del movimiento. Sin duda fue el movimiento el primer aspecto del mundo físico que se estudió con detenimiento, y comprenderlo tardó mucho tiempo, desde la época de los griegos hasta aproximadamente los siglos XVI y XVII que fueron estudiados por el italiano Galileo Galilei y el inglés Isaac Newton. En este capítulo se examinara los aspectos geométricos del movimiento que se miden de acuerdo a un sistema de referencia fijo y móvil, dejando de lado a los causantes de dicho movimiento Física del escarabajo

3

Definiciones Previas Sistema de referencia (S.R.)

¿QUÉ ESTUDIA LA CINEMÁTICA?: Es parte de la mecánica que se encarga de estudiar única y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan.

¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO MECÁNICO?: Es el continuo cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia (S.R.) Veamos el movimiento del pajarillo y

y1

Para describir y examinar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y reloj (tiempo). A este conjunto se denomina sistema de referencia. El sistema de referencia puede estar fijo o en movimiento.

Cuando no especifican respecto a que sistema de referencia se mide el movimiento. Entonces se asume que es respecto a Tierra.

pajarillo (1)

 Vector posición ( r ):

 r1

Este vector se traza del origen del sistema de coordenadas hacia la posición del cuerpo, y de esta manera se puede ubicar la posición del cuerpo en cualquier instante.

y2

(2)

 r2 x1

x2

x

observador reloj

El observador dice que el pajarillo cambia continuamente su posición según transcurre el tiempo. Por lo tanto podemos decir que el pajarillo presenta movimiento mecánico respecto a dicho observador. Física del escarabajo

De la figura: El vector de posición en (1) y (2) son.  r1 =  x 1 ; y 1   r2 =  x 2 ; y 2 

4

PRINCIPALES ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO: 1).-Móvil: Es el que realiza el movimiento mecánico. Un móvil puede ser un atleta, un auto, un insecto, un camión, o cualquier cuerpo en movimiento.

Tierra

R

Luna

Trayectoria circunferencial

móvil

móvil

móvil

Partícula: Es un cuerpo al cual se le desprecia su volumen o dimensiones. También se le llama punto material.

 3).-Desplazamiento( d ): Es una cantidad vectorial que mide el cambio de posición del móvil. Gráficamente se representa mediante un vector que se dirige de la posición inicial hacia la posición final del móvil. y

2).-Trayectoria: Es la línea que se forma al unir todos los puntos por donde paso el móvil. Es decir, es el camino del móvil.

 d

 r1

 r2 x

0

Trayectoria rectilínea

Trayectoria parabólica

   De la figura: r2 = r1 + d

    d = r2 - r1 = Δr (Cambio de posición) Donde:  d  : Vector  desplazamiento. r2 y r1 : Vectores de posición.

Física del escarabajo

5

Matemáticamente podemos decir vector



desplazamiento ( d ) es equivalente al



vector cambio de posición ( Δr ). Importante En un movimiento rectilíneo sobre el eje “x”, el desplazamiento se escribe de la siguiente manera:

C) -5iˆ - 5ˆj y 5 2 E)

D) 5 2iˆ - 5ˆj y 5 3

2iˆ + 2 ˆj y 2

Resolución: El desplazamiento de A hacia D está definido como aquel vector que une dichos puntos.

y

y 0

x

x

 x1

 d  x2

5m

    d = x2 - x1 =Δx

5m

Ejemplo 1

A

 d

D

En la figura se muestra la trayectoria circunferencial que sigue una partícula. Determine el vector desplazamiento y su módulo (en metros) entre A y D.

De la figura se observa que el vector  desplazamiento ( d ) es.

y(m)

-5iˆ

B

-5jˆ C -5

A 5

0

 d

 d = (-5iˆ - 5ˆj ) m

x(m)

 Además, su módulo es: d = 5 2 m D

A) 5iˆ + 5ˆj y 5 2

B) 5iˆ - 5ˆj y 5 2

Física del escarabajo

6

MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO:  Velocidad media ( Vm ) Es una cantidad física vectorial que se define  como, vector desplazamiento ( d ) por unidad de tiempo (tAB), es decir:



El vector desplazamiento ( d ) y el



vector velocidad media ( V m ) tienen la  misma dirección.

d

 Vm

desplazamiento Velocidad media =

tiempo

Rapidez media ( υ m ) La rapidez

tAB B

 d A

media o rapidez promedio, es una cantidad física escalar que se define como, la longitud de la trayectoria recorrida o espacio recorrido (e) por unidad de tiempo (tAB), es decir:



longitud recorrida

Vm

Rapidez media =

tiempo

Matemáticamente: B

  d Vm = t AB

e

A

Matemáticamente: Donde:



d : Desplazamiento………………….(m) tAB: Tiempo en el tramo AB……...........(s)



Vm : Velocidad media……………......(m/s)

υm =

e t AB

Donde: e: Longitud recorrida…………….(m) tAB :Tiempo en el tramo AB…….....(s)

υ m : Rapidez media……...……..(m/s) Física del escarabajo

7

Antes de Galileo las personas describía los objetos en movimiento, simplemente como «lentos o rápidos»; no obstante, tales descripciones eran muy vacíos. A Galileo se le da el crédito de ser el primero en medir la rapidez, al considerar la longitud recorrida que se cubre durante cierto tiempo.

Resolución: Para calcular la velocidad media, primero trazaremos el vector desplazamiento de A hacia B. B

 d

6cm

Ejemplo 2

A

Un insecto describe la trayectoria mostrada, y emplea 20s en recorrerla desde A hacia B. Determine su velocidad media y rapidez media (en cm/s) respectivamente.

8cm 3cm

3cm

8cm B



y

Determinando la velocidad media ( Vm ) en el tramo AB.

x 9cm

A 3cm

 d

6jˆ

B) 0, 4iˆ + 0, 3 ˆj y 1

C) 0, 3iˆ  0, 4 ˆj y 0,5 D) 0,8iˆ + 0, 6 ˆj y 2 E) 3iˆ  4 ˆj y 1

Física del escarabajo





-8 iˆ

8cm

A) 0, 4iˆ  0, 3 ˆj y 1



d = -8iˆ+6ˆj cm

 Vm =

desplazamiento tiempo

=

 -8iˆ +6ˆj  cm 20 s

 V m = -0,4iˆ + 0,3ˆj cm s





8

Finalmente calculemos la rapidez media ( υ m ) en el tramo AB.

υm =

longitud recorrida

=

tiempo

3cm+8cm+9cm 20s

υm =1cm s

Matemáticamente, la velocidad instantánea es equivalente a la derivada  de la posición ( r ) con respecto al   tiempo (t), es decir: v = d r d t . En un movimiento rectilíneo sobre el eje x, la velocidad instantánea se escribe de la siguiente manera:

y

Para el lector

 v

0

La figura muestra un cubo de 10 m de arista. Una partícula sigue la trayectoria ABCDE, empleando 10s en recorrerla. Determine su velocidad media y rapidez media de dicha partícula.

x

 x En éste caso:

z C



 dx v=

D

B

dt

E

y

A

 x

Rpta:





V m = -iˆ + ˆj m s

La velocidad, es la derivada  de la posición ( x ) con respecto al tiempo (t).

υm = 4 m s

 Velocidad instantánea ( v ): La velocidad instantánea o simplemente la velocidad, es la velocidad que presenta un móvil en un instante determinado. Cuando nos indican que un móvil presenta cierta velocidad, se refiere a la velocidad instantánea.

Física del escarabajo

9

Derivadas: Primero: Veamos cómo se resuelven las derivadas, cuando “y” se expresa en función de “x”. Si: y = a x n

Donde “a” es una constante

Entonces la derivada de “y” con respecto a “x” es:

dy = n a x n-1 dx Derivando “y” con respecto a “x”. 1) y = 4 x 3 - 2 x2 + 7 x 

dy =12x2 - 4x + 7 dx

2) y = 8 x 4 + 3 x3 + 8

dy  =32x3 + 9x2 dx

Segundo: La derivada de un valor numérico o una constante; siempre es “cero”.

Ejemplo 3 Una partícula se desplaza en línea recta a lo largo del eje x, según la siguiente ecuación de su movimiento:  x = -4t 2 +5t-1 , donde ¨x¨ se expresa en metros y ¨t¨ en segundos. Calcule el módulo de su velocidad en t = 5s. A) 30 m/s D) 45 m/s

B) 35 m/s E) 50 m/s

C) 40m/s

Resolución:  De la ecuación: x = - 4t 2 + 5t -1 , podemos calcular la velocidad  derivando la posición ( x ) con respecto al tiempo (t).



 dx v= = -8t+5 dt

 v = -8  5  +5  v = -35m/s

Para t = 5s:

El signo de la velocidad nos indica la dirección. En el eje x, si el signo es (-), entonces el vector se dirige hacia la izquierda. En nuestro caso, solo piden el módulo de la velocidad:



 v = 35 m s

Física del escarabajo

10

 vo

Observaciones

B

A

1) Cuando se quiere hablar de la velocidad instantánea, por costumbre solo se dice «velocidad». En caso que se quiera hablar de la velocidad media, se tendrá que decirlo expresamente.

 vf

 : (Matemáticamente) En el tramo AB

 2) La velocidad ( v ) es una cantidad física vectorial que siempre es tangente a su trayectoria.







 Δv v f - v o am = = Δt t AB

 vA A

Trayectoria

B  vB

Donde:    Δv = v f - v o : Cambio de velocidad....(m/s)  …(s) Δt = t AB : Tiempo en el tramo AB  a m : Aceleración media…………......(m/s2)

3) El módulo de la velocidad se llama rapidez.

 v : velocidad

 v = v : rapidez

El vector cambio o variación de la



velocidad ( v ) y la aceleración media  ( a m ) siempre tienen la misma dirección.  vo



Aceleración media ( a m ): Es una cantidad física vectorial que se define como, variación o cambio de velocidad  ( Δ v ), dividido entre el intervalo de

 vf



Δv



Δv

 am

tiempo ( Δ t ). Aceleración media=

cambio de velocidad intervalo de tiempo

Física del escarabajo

11

La aceleración media está dado por:

Ejemplo 4



Cuando una pelota choca frontalmente contra una pared, su rapidez disminuye en 2m/s. Si el choque dura 0,2s; determine el módulo de la aceleración media de la pelota durante el choque. 20m/s

   cambio de velocidad vf - vo am = = intervalo de tiempo Δt



 

-18iˆ - 20iˆ  am =  0,2 

 a m = -190iˆ m s 2



A)130m/s2 D)190m/s2

B)150 m/s2 C)170m/s2 E)210 m/s2

Resolución: Según el problema; se sabe que la rapidez de la pelota disminuye en 2m/s durante el impacto. Entonces se deduce que su rapidez luego del impacto es vf = 18m/s. y

vo=20m/s

Inicio:

x

Final:

La duración del impacto es t = 0,2s .



En forma vectorial, las velocidades al inicio y al final son:



  vo = 20iˆ m s y vf = -18iˆ m s

Física del escarabajo

El signo (-) indica que la aceleración media se dirige hacia la izquierda. Nos piden el módulo de la aceleración media.

  a m =190m s 2



Aceleración instantánea ( a ): La aceleración instantánea, o simplemente la aceleración, es la aceleración que presenta un móvil en un instante determinado.

 Matemáticamente la aceleración ( a ) es equivalente a la derivada de la velocidad ( v ) con respecto al tiempo (t).

vf =18m/s

 







  dv a= dt Derivada de la velocidad ( v ) con respecto al tiempo (t).

12

Ejemplo 5 Una partícula se mueve a lo largo del eje x, y su posición está dado por:  x = 8 + 4t - 8t 2 , donde ¨x¨ se expresa en metros y ¨t¨ en segundos. Calcule la velocidad y la aceleración en t = 2s. A) 4 m/s y -4m/s2 B) 8 m/s y -16m/s2 C) 8 m/s y -4m/s2 D) 4 m/s y +16m/s2 E) 2 m/s y +16m/s2

Resolución:

 De la ecuación: x = 8 + 40t - 8t 2 ,  derivamos la posición ( x ) con respecto al tiempo (t) para obtener la velocidad.   dx v= = 40 -16t dt La aceleración es la derivada de la velocidad ( v ) con respecto (t).

  dv a = = -16 dt Se observa que la aceleración no depende del tiempo. Por lo tanto la aceleración es constante. En t = 2s:  v = 40 -16  2 

 v =+8m s  a= -16m s2

Física del escarabajo

Observaciones 1)Cuando se quiere hablar de la aceleración instantánea, por costumbre solo se dice ¨aceleración¨. 2)La aceleración es una cantidad física vectorial cuya dirección siempre apunta hacia la ¨concavidad¨ de su trayectoria curva. Cuando la rapidez (v) ¨aumenta¨

 v  a

Trayectoria

Normal

Cuando la rapidez (v) ¨disminuye¨ Normal

 a

 v

Cuando la rapidez (v) es ¨constante¨

 v  a Normal

13

3)Cuando la trayectoria del móvil es rectilínea, entonces la aceleración del móvil es paralela a la velocidad. Movimiento desacelerado

Movimiento acelerado

a

a v

v

La rapidez (v) aumenta

La rapidez (v) disminuye

4)Cuando un móvil presenta velocidad constante, es decir cuando el modulo y la dirección de la velocidad no varía. Entonces, la aceleración de dicho móvil es nula (a = 0).

Para el lector 1) Una partícula efectúa un movimiento tal que su velocidad varía con el tiempo de acuerdo a  v = tiˆ + t 2 ˆj m s , donde ¨t¨ se





expresa en segundos. Calcule la aceleración media desde t1 =2s hasta t2=3s.





2 Rpta: iˆ + 5ˆj m s

2) La velocidad de un móvil con movimiento rectilíneo a lo largo  del eje ¨x¨ es: v = 8t 2 iˆ m s



.Calcule el módulo aceleración en t =3s. Rpta: 48m s

Física del escarabajo



de

su

2

14

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) Es aquel movimiento en el cual el móvil describe como trayectoria una línea recta, y se desplaza recorriendo distancias iguales en tiempos iguales. Es decir, la velocidad permanece constante. t

t v

v d

d=vt

t v

v

d

Despejando la rapidez (v), distancia (d) y tiempo (t), se obtiene:

t=d/v

v=d/t

d

Características: 1) Para intervalos de tiempos iguales las distancias recorridas son iguales (d/t=constante). 2) La aceleración es nula. 3) Su velocidad es constante.

Observaciones 1) Para convertir las unidades de la rapidez, es necesario conocer la siguiente equivalencia:

t

1

v

v

A

d

 5 1km / h =   m / s  18 

B

En el tramo AB, se cumple:

v=

km 1000 m = h 3600 s

En general: Para convertir de km/h a m/s se multiplica por 5/18, y para convertir de m/s a km/h se multiplica por 18/5.

d t

Donde: d: Distancia recorrida ……………....(m) t: Tiempo en el tramo AB…….............(s) v: Módulo de la velocidad (rapidez).......(m/s)

Física del escarabajo

km h

m s

 5   18 

multiplicar por 

m s

 18    5  km

multiplicar por 

h

15

a) Tiempo de encuentro (te)

Veamos algunos casos:  36 km

5  h =  36×  m s =10 m s 18  

54km/h

te

te

v1

v2

= 15m/s d

90km/h

= 25m/s

te = 2) Si la rapidez (v) de un móvil es constante y su trayectoria es una curva, entonces se cumple: v B

d v1 + v2

b) Tiempo de alcance (ta) ta

v1 > v2

v ta

e

A

v1

Longitud recorrida = v tAB

d

e = v t AB En una trayectoria curva la velocidad del móvil no es constante porque su dirección varía.

PROPIEDADES DEL MRU: A continuación se indica las propiedades más importantes del MRU. Estas propiedades son el tiempo de encuentro y alcance. Si los móviles desarrollan un MRU, entonces se cumple.

Física del escarabajo

v2

ta =

d v1 - v2

Ejemplo 6 un tren de 100 m de longitud realiza un MRU con una rapidez de 36 km/h, y cruza completamente un túnel en 30 s a partir del instante mostrado. Determine la longitud de dicho túnel. 36km/h

A) 200 m D) 500 m

Túnel

B) 300 m E) 350 m

C) 250 m

16

10m/s

Resolución:

15m/s

Al convertir la rapidez a «m/s» se obtiene:

52m

36km/h=10m/s

A)1s t=30s

B) 2s

C) 3s

D) 4s

E) 5s

Resolución:

A

Examinando la parte posterior del bus y el auto.

B 10m/s

Túnel 100m

L=?

52m

20m

Para la parte posterior del tren (en el tramo AB), aplicamos:

3m

t=?

t=? 10m/s

15m/s

dAB = (v)(t) 100 + L = (10)(30) Resolviendo:

L = 200m

Importante: No es necesario reemplazar las unidades de medida en la fórmula que se está utilizando. Solo se reemplaza los valores numéricos, y al final se le agrega la unidad correspondiente a la cantidad física que se está calculando.

Ejemplo 7 El bus de 20 m de longitud y el auto de 3 m realizan MRU. A partir del instante mostrado, ¿cuánto tiempo emplean en cruzarse completamente? Física del escarabajo

75m

El bus y el auto se cruzan totalmente en el instante en que se produce el encuentro entre las partes posteriores de dichos móviles. Aplicando la propiedad del tiempo de encuentro

te =

d v1 + v2

 t =

75 10+15

Resolviendo: t = 3s

17

Ejemplo 8

Para el lector

Un auto se desplaza de A a B con 60 km/h y regresa de B a A con 40 km/h. ¿Cuál es la rapidez promedio de todo el viaje? (Considere MRU en cada tramo). A)45 km/h D)48 km/h

B)53 km/h E)50 km/h

Sabiendo que los móviles mostrados experimentan MRU. ¿Qué distancia los separa 2 segundos después del instante mostrado? 20m/s

C)55 km/h

50m

Resolución: Para calcular el tiempo transcurrido en cada tramo, aplicamos:

10m/s

180m

t = d/v

Rpta: 130m

t1=d/60

60km/h

A

B

d

GRAFICAS DEL MOVIMIENTO EN EL MRU: 

A) Grafica posición ( x ) versus tiempo (t):

t2=d/40

40km/h

A

d

B

La rapidez media o promedio de todo el viaje, es: m = m 

La pendiente de la recta nos representa  la velocidad ( v ) del móvil.  x (m )

longitud recorrida tiempo total

xo

dd 2d   d d   d        60 40   24 

0

 t(s)

 v = tanθ

 υm = 48km / h

(Pendiente de la recta)

Física del escarabajo

18

Físicamente, se tiene: y t=0 0

 v

x

 xo



El signo de los vectores nos indica la dirección en el eje ¨x¨. Si el signo es positivo (+), entonces el vector se dirige hacia la derecha ( ); y si es negativo (-) el vector se dirige hacia la izquierda ( ). v2

v1





Ecuación: x = xo + v t Donde:

De la figura, en forma vectorial se obtiene:

 v : velocidad…………………..........(m/s)

  v1 = + v1   v2 = - v2

 xo :posición inicial…………………...(m)  x :posición en cualquier instante ¨t¨.......(m)

Casos:  x (m )

 v = tanθ 

xo

t(s)

0 v  x (m )

 v = tanθ  v = - tanα

xo



0

El móvil se dirige hacia la derecha ( )

 t(s)

v

El móvil se dirige hacia la izquierda (  )

 x (m )

xo

REPOSO

t(s)

0 v =0

Física del escarabajo

El móvil se encuentra en reposo

Vector

B) Grafica velocidad ( v ) versus tiempo (t): Para este caso se obtiene una recta paralela al eje del tiempo.  v (m s)

v1 Área 0

t1

t2

t(s)

El área nos representa el desplazamiento  ( d ) entre los instantes t1 y t2.

 d = Área

19

Casos:

 x (m)

 v (m s)

 v (m s)

A

v1

0

t1

0 t2

v1

t(s)

d

t2

t1

Área

t(s)

Área

-v2

El móvil se dirige hacia la derecha ( )

El móvil se dirige hacia la izquierda ( )

B

La distancia “d” representa la distancia de separación entre los móviles A y B en el instante “t1”.

Observaciones 1) Para dos móviles A y B:

3) Desplazamiento y longitud recorrida

 x (m)

en la gráfica velocidad versus tiempo. A

x1 0

t(s)

t1

0

v2

 v (m s)

P(encuentro)

v1

t(s)

t1

A1 0

t2

t1

B

t3

t(s)

A2

-v2

El punto P representa la posición y el instante donde se cruzan los móviles. Los móviles A y B se cruzan en la posición “x1” y en el instante “t1”.

v1

e

t1

 d

v2 t3

 Desplazamiento: d = A1 - A 2

2) Distancia de separación entre dos móviles en la gráfica posición versus tiempo.

Física del escarabajo

Longitud recorrida: e = A1 + A 2

20

Ejemplo 9

Ejemplo 10



La posición ( x ) de un móvil esta descrita en la presente gráfica. Determine la velocidad de dicho móvil

 x (m )

El gráfico representa el movimiento de dos móviles A y B, ¿qué distancia los separa en el instante t=6s?  x(m) A

17

B 9

0

t(s)

8

5

-7

0

a) +3m/s d) +6m/s

b) +4m/s e) +7m/s

c) +5m/s

Resolución:  x (m )

t(s)

2

A)10 m D)25 m

B)15 m E)30 m

C)20 m

Resolución:

17

 x (m )

A d=?

24

0 -7

8 



8

Se sabe que la pendiente de la recta nos representa la velocidad.



9 5

0 

En el

B

t(s)



2

6

t(s)

sombreado:

 24 v = tanθ = 8   v = + 3m / s Física del escarabajo

Por semejanza de triángulos, se cumple:

21

 x (m ) d

A 7



2

d=9m



1

4 

0

t(s)

7 2

5 -2



5 d = 2 4

 d = 10m

B

 1

De la figura:

Dos autos a control remoto se mueven sobre una misma vía horizontal, desarrollando un MRU. Si su posición

 2 vA = tanθ A =  1  7 vB = - tan =  7

cambia de acuerdo a la gráfica « x » versus «t», determine el instante en que estarán juntos.

Se observa que en el instante t=0 (al inicio) los móviles A y B están separados una distancia.

Ejemplo 11



 x (m )

 v A = + 2m / s  vB = - 1m / s

d=9m A

Calculando el instante donde se produce el encuentro.

7

t

0

1

t(s)

7

A

B) 2s E) 5s

C) 3s

Resolución: Examinando la gráfica posición versus tiempo, podemos obtener las velocidades de A y B. Física del escarabajo

B

d=9m

te = A)1s D)4s

1m/s

2m/s

B

-2

t

d .....(tiempo de encuentro) vA + vB

 t =

9 2+1

Resolviendo:

t = 3s

22

Para el lector Se muestra la gráfica posición versus tiempo de dos móviles A y B. Determine el instante donde se produce el encuentro.  x (m )

El eco: Es el caso más simple de la reflexión del sonido y consiste en la percepción de un sonido reflejado en una superficie grande, tal como el frente de un edificio, una montaña, una muralla, una arboleda, un peñasco etc.

A fuente sonora

6 4

0

t(s)

8 B

sonido obstáculo



Rpta: 3,2s



Se cumple:

EL SONIDO EN EL MRU: Las ondas sonoras se propagan con rapidez uniforme en un mismo medio. Éste medio pueden ser los sólidos, líquidos y gases. Características: 1) La rapidez de propagación del sonido en el aire a 20°C es aproximadamente 340m/s. 2) El sonido no se propaga en el vacío, porque necesita un medio sustancial para poder propagarse.

Física del escarabajo

 .....(Teorema de Fermat ) Ejemplo 12 Una persona lanza una bola con una rapidez de 10 m/s, dirigiéndose hacia un macetero. ¿Luego de cuánto tiempo de lanzar la bola, la persona escucha el sonido que se produce al chocar la bola con el macetero?. Considere que la bola desarrolla MRU. (vsonido = 340 m/s) A) 3,4 s B) 0,1 C) 3,2 D) 3,5 E) 3,3

34m

23

Resolución: t2

340m/s

sonido

muro 210m/s

10m/s

34m

t1

Del gráfico: «t1» es el tiempo que tarda la bola en ir de la persona hacia al macetero, y «t2» es el tiempo que tarda el sonido en ir del macetero hacia la persona.

280m

Resolución: Graficando la trayectoria del vehículo y el sonido, hasta que el conductor escucha el eco producido en el muro.

Nos piden calcular el tiempo (t) desde que se lanza la bola hasta que la persona escucha el sonido del impacto. Entonces, se tiene que:

t/2

t = t1+t2……...( Aplicando t = d/v) t = 34/10 + 34/340

 t = 3, 5s

 

t

Ejemplo 13 Un vehículo experimental se desplaza paralelamente a un gran muro, describiendo un MRU. Si en el instante mostrado emite un sonido, ¿al cabo de que tiempo el conductor escuchará el eco producido en el muro? (vsonido = 350 m/s)

Física del escarabajo

210m/s 350m/s

t/2

280m

24

Luego de aplicar «d=vt» para el vehículo y el sonido, se tiene:

Si la sirena produce un sonido. Determine luego de que tiempo, la persona (A) escucha el eco producido por el piso. (vsonido= 350m/s) A

350(t/2) 105t 280

210t

Para el lector

 

sirena

105t

28m

350(t/2)

21m piso

En el

168m

sombreado:

Rpta: 0,5s 280 

3(35t)

5(35t)

Luego de darle forma a los lados del triángulo; se observa que se trata de un triángulo notable de 37° y 53°. Entonces se deduce que:

MOVIMIENTO RELATIVO: Casi todos los movimientos que se examinan se hacen respecto a tierra.Pero, en éste caso examinaremos el movimiento de los cuerpos respecto a un sistema de referencia en movimiento. Consideremos el siguiente caso:  vA

280 = 4(35t)  t = 2s A

B

 vB

tierra

Física del escarabajo

25

Examinando el movimiento del móvil A respecto a un observador en el móvil B.

 vA/B

Movimiento relativo en el MRU: En el MRU los móviles no experimentan aceleración. Entonces solo se examinara la velocidad de A respecto a B, ya que:

y

A

Donde:  rA/B : Vector posición de «A» vista por «B»  vA/B : Velocidad de ¨A¨ vista por ¨B¨  aA/B : Aceleración de ¨A¨ vista por ¨B¨

 rA/B

  a A/B = 0 ........  MRU 

Observador “B” B

x

Cuando examinamos el movimiento de A respecto a B. Entonces el móvil B queda en REPOSO (Es decir que no se toma en cuenta el movimiento del móvil B).

La velocidad del móvil A respecto a B



( vA/B ) se mantiene constante. Gráficamente se obtiene mediante la resta de vectores.

   vA/B = vA - vB

En general: Calcularemos la posición, velocidad y aceleración relativa del móvil A respecto a un observador en el móvil B.

Trayectoria de “A” vista por “B”

En forma vectorial  vA / B

Posición relativa Velocidad relativa Aceleración relativa

   rA/B = rA - rB

A

 -v B

 vA y

   v A/B = v A - vB Observador “B”

   a A/B = a A - aB

B

x

En el MRU la trayectoria de A respecto a B es rectilínea y contiene a la



velocidad ( vA/B ). Física del escarabajo

26

Ejemplo 14 Los móviles A y B parten simultáneamente hacia un punto común con direcciones perpendiculares entre sí, desarrollando MRU. Calcular la mínima distancia de separación que puede existir entre ellos.

Cuando se examina el movimiento de A respecto B, no se toma en cuenta el movimiento de B. Entonces, se tiene lo siguiente. A

37° 37° 16°

 v A /B

Trayectoria de “A” vista por “B”

A A

A) 2 m B) 3 m C) 5 m D) 7 m E) 9 m

3v

37°

H

25m

dmín. 25m

B

4v

B

Resolución: Para simplificar la resolución del problema, examinaremos el movimiento de «A» respecto a un observador en «B». Por lo tanto «B» queda en REPOSO.

Observador “B”

La distancia mínima entre los móviles se da cuando el móvil A pasa por el punto H. Del triángulo sombreado (notable)

dmín. = 7m

La velocidad relativa de A respecto a B está dado por:

   vA/B = vA - vB

Para el lector Los móviles mostrados describen MRU. Determine luego de cuánto tiempo a partir del instante mostrado, los móviles experimentan la menor separación.

Gráficamente: 4v

 -vB

37°

 v A /B

3m/s

 vA

4m/s

3v 30m

Rpta: 4,8s

Física del escarabajo

27

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Es un movimiento rectilíneo donde la velocidad del móvil varía uniformemente con el tiempo. Es decir, es un movimiento rectilíneo con aceleración constante. Donde:

a = constante Δv

Δv

t

t

10m/s

 Δv : Cambio de velocidad……….(m/s)

Δv

Δt : Intervalo de tiempo………….(s)

 a : Aceleración…………………...(m/s2)

t

14m/s

    Δv vf - vo a= = Δt t AB

22m/s

18m/s

Características: • Durante un MRUV la aceleración del móvil se mantiene constante • En tiempos iguales, el móvil experimenta los mismos cambios de velocidad ( Δv =4m/s).

LA ACELERACIÓN EN EL MRUV:

En el MRUV la aceleración del móvil es equivalente a la aceleración media



( a m ) de dicho móvil.

  a  am Movimiento acelerado: Se da cuando el valor de la velocidad aumenta. Para este caso la aceleración y la velocidad tienen la misma dirección. a

La aceleración en el MRUV es constante y paralelo a la velocidad. Esta aceleración se calcula así: tAB

a

vo

vf B

A

Aceleracion =

Cambio de la velocidad

Física del escarabajo

Tiempo

La rapidez (v) aumenta

v

Movimiento desacelerado ó retardado: Se da cuando el valor de la velocidad disminuye. Para este caso la aceleración se opone a la velocidad. a

v

La rapidez (v) disminuye

28

Interpretación de la aceleración en el MRUV: Si un móvil con MRUV presenta una aceleración de módulo a = 2m/s2. Esta aceleración podemos escribir de la siguiente manera:

a=2m/s 2 =

4m

a

vf d

B

En el tramo AB del móvil que desarrolla MRUV se cumple:

1

vf =vo ± at

2

v f 2 = vo 2 ± 2ad

3

d=vo t ±

9m/s

7m/s

6m

A

1s

1s 5m/s

t

vo

a=2m/s

3m/s

A continuación se relaciona la rapidez inicial y final (vo y vf), el tiempo (t), la distancia (d) y la aceleración (a).

2m/s 1s

Esto nos indica que en cada 1 segundo el valor de la velocidad del móvil varía en 2m/s.

1s

ECUACIONES DEL MRUV:

8m

De la figura; se observa que en cada 1 segundo, el móvil aumenta su rapidez y distancia recorrida en 2m/s y 2m respectivamente. Es decir que el valor de la velocidad y la distancia recorrida, aumenta numéricamente en el mismo valor que la aceleración.

Si un móvil con MRUV presenta una aceleración de módulo “a” m/s2. Entonces el valor de la velocidad y la distancia recorrida varían en “a” m/s y “a” m respectivamente en cada 1 segundo.

4

1 2 at 2 v +v  d=  o f  t  2 

Se observa que en las tres primeras ecuaciones se está considerando los signos (+) y (-). Esto se debe al tipo de movimiento que desarrolla el móvil, y se debe considerar de la siguiente manera. Usar: (+): Cuando el movimiento es acelerado (–): Cuando el movimiento es desacelerado Debemos tener en cuenta también que en la cuarta ecuación el signo siempre es (+).

Física del escarabajo

29

Ejemplo 15

Ejemplo 16

Si en el instante mostrado el conductor del auto, pisa los frenos. Determine con que desaceleración se deberá mover para que llegue justo a la base del semáforo.

Un atleta inicia su movimiento con una aceleración constante, si luego de 1s de pasar por A, pasa por B, y 2s más tarde pasa por C. Determine el valor de la aceleración.

20m/s

A

50m

A)1 m/s2 D)4 m/ s2

B)2 m/ s2 E)5 m/ s2

Resolución:

C 12m

C)3 m/s2 A) 1 m/ s2 D) 4m/ s2

B) 2 m/ s2 E) 5m/ s2

C) 3m/ s2

a

20m/s A

B 3m

vf = 0 50m

B

En el tramo AB del auto se tiene los siguientes datos. vo = 20m/s d = 50m vf = 0 a = ? Según los datos del problema, aplicaremos la 2da ecuación del MRUV.

v f 2 = v o 2 - 2ad (0)2 = (20)2 - 2a(50) 2 Resolviendo:  a = 4m / s

Resolución: Si un móvil con MRUV presenta una aceleración de módulo «a» m/s2. Entonces la distancia recorrida aumenta en «a» metros en cada 1 segundo. Dividiendo el tiempo en intervalos de 1 segundo. 1s 3 A

1s

1s

3+a

3+2a C

B 3m

12m

Del gráfico: (3+a) + (3+2a) = 12… (Numéricamente) 6 + 3a =12

 a = 2m / s 2

Importante: Para calcular una variable de las ecuaciones del MRUV, se necesita como mínimo tres datos. Física del escarabajo

30

Para el lector En la figura se muestra el instante en que un tráiler de 7m inicia su movimiento con un MRUV. Si el tráiler utiliza 8s para cruzar completamente al túnel de 153m, determinar el módulo de la aceleración del tren (en m/s2)

2) Números de Galileo: Si un cuerpo parte del reposo con un MRUV. Entonces se cumple que para intervalos de tiempos iguales recorre distancias proporcionales a los números impares: 1k, 3k, 5k, 7k, 9k,…. a vo=0

vo=0

t

t

t

t

k

3k

5k

7k

Túnel

...

Rpta: 5 m/s2

Consecuencia:

PROPIEDADES DEL MRUV:

En un movimiento desacelerado se cumple:

1) Distancia recorrida en el enésimo

a

segundo ( d n° )

1s

...

a vo

1s

d1

1s

d2

1s

dn

1 dn° = vo ± a(2n - 1) 2 Donde: n : Enésimo segundo a : Aceleración…………………........(m/s2) v : Rapidez inicial……........................(m/s) o dn° : Distancia en el enésimo segundo…..(m)

Física del escarabajo

5d

1s

1s

vf =0

d

3d

Si un móvil con MRUV presenta una aceleración de módulo «a» m/s 2 . Entonces la distancia recorrida varía en «a» m en cada 1 segundo. Entonces se cumple:

2d = a  d =

a 2

31

a

Ejemplo 17 Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en los 4 primeros segundos 10 m. ¿Qué distancia logra recorrer en los siguientes 12 segundos? A) 120 m D) 136 m

B) 130 m E) 150 m

C) 152 m

1s

k

3k

5k

vo=0

x=?

12m

Del gráfico: k + 3k = 12m k = 3m

 x = 15m

Ejemplo 19

Dividiendo el tiempo en intervalos de 4s para aplicar los Números de Galileo. a 4s

4s

4s

4s k

3k

5k

7k

10m

1s

Piden: x = 5k

Resolución:

vo=0

1s

Un móvil se desplaza con MRUV y recorre en el 3er segundo 16 m menos que lo recorrido en el 7mo Segundo. ¿Cuál es el valor de su aceleración? A) 2 m/s2 D) 5 m/s2

x=?

B) 3 m/s2 E) 1 m/s2

Resolución:

Del gráfico: k = 10m

vo

Piden: x = 3k + 5k + 7k

x=15k  x = 150m

C) 4 m/s2

a

1s

1s

1s

d1°

d2°

d7°

Aplicando la propiedad de la distancia en el enésimo segundo:

Ejemplo 18 Un móvil parte del reposo desarrollando MRUV, y recorre 12m en los dos primeros segundos, determine la distancia recorrida en el siguiente segundo. A) 5 m D) 20 m

B) 10 m E)25 m

C) 15 m

1 dn ° = vo + a(2n - 1) 2 Según el problema se sabe que: d3° = d7° - 16m 1 1      vo + 2 a(2  3 -1)    vo + 2 a(2  7 -1)  - 16    

Resolución: Aplicando convenientemente los números de Galileo: Física del escarabajo

5a/2=13a/2 – 16

 a = 4m / s 2

32

Ecuación del movimiento:

Para el lector Un auto con MRUV inicia su movimiento notándose que la distancia que avanza en el tercer segundo es 15 m. ¿Qué distancia (en m) avanzará en los 5 primeros segundos de su movimiento?

Reemplazando el desplazamiento     d = Δx = x - xo en la tercera ecuación

  1 2 vectorial d = vo t + at . Se obtiene la 2 siguiente ecuación vectorial del movimiento para el MRUV.

Rpta: 75 m

   1 x = xo + vo t + at 2 2

GRAFICAS DEL MOVIMIENTO EN EL MRUV: A) Grafica posición ( x ) versus tiempo (t): Se obtiene una parábola, y la pendiente de la recta tangente a dicha parábola nos representa la velocidad instantánea del móvil.

x

(v1=0)

 x (m )

parábola

0

t

t1

 B) Grafica velocidad ( v ) versus tiempo (t):

xo



0

Se puede deducir que la velocidad del móvil es nula en el vértice de la parábola. Entonces en el instante “t1” la velocidad es v1= 0.

t1

 v (m s )

t(s)

La velocidad en el instante «t1» es:

vo



Área

 v1 = tan 0

Física del escarabajo

t1

t2

t(s)

33

La pendiente de la recta nos representa la aceleración:

 a = tanθ El área bajo la recta nos representa el desplazamiento entre los instantes t1 y t2.  d = Área

Ejemplo 20 Cuál será el valor de la aceleración de un móvil que se desplaza en el eje «x» con un MRUV, si su gráfica posición versus tiempo es la parábola que se muestra.  x (m )

10

Casos:  v (m

 v(m

s)

s)

vo

acelera

desacelera

vo

t(s)

0



0

 t(s)

A) 2 m/s2 D) 5 m/s2

B) 3 m/s2 E) 6 m/s2

t(s)

C) 4 m/s2

a

a

 a = tanθ  a = - tanα

 a = tanθ

2

0



Resolución:



C) Grafica aceleración ( a ) versus tiempo (t):

En t=0, la posición y la velocidad del  móvil es cero. Es decir xo = 0 y vo = 0. Aplicando:

El área bajo la gráfica nos representa el cambio o variación de la velocidad.  a(m s2 )

1    x = xo + vo t + at 2 2  1 2 Se tiene que: x = at ……….. (1) 2

a Área 0

t1

t2

t(s)

Vectorialmente, la variación de la velocidad entre los instantes t1 y t2 es:

   v = vf - vo = Área Física del escarabajo

De la gráfica posición versus tiempo también se deduce en el instante t = 2s,  la posición del móvil es x =10m. Al reemplazar en (1), se tiene:

(10) =

1 2 a(2) 2

  a = 5m / s 2

34

Ejemplo 21 La gráfica muestra la velocidad en función del tiempo, de un cuerpo que se traslada sobr e el eje «x». Determine el desplazamiento y el espacio recorrido desde t=0 hasta t=6s.  v ( m s)

Desplazamiento:  d = A1 - A 2  d = 40m - 10m

  d = + 30iˆ m

Espacio recorrido: e = A1 + A 2

20

e = 40m + 10m 6

Ejemplo 22

t(s)

4

0 -10

a)-20 iˆ m y 30m c)+30 iˆ m y 50m e)+40 iˆ m y 50m

 e = 50 m

b)+20 iˆ m y 50m d)-40 iˆ m y 30m

En la gráfica aceleración versus tiempo de un coche que se mueve en el eje «x». Determine la velocidad para t = 4s, si para t = 2s el coche se encontraba moviéndose con una velocidad  vo = -8i m / s .

 

 2 a (m s )

Resolución:

 v (m s )

8

20

A1 4 0

4

2

A2

0

6 10

-10 20m/s t=0

Del gráfico: A1 = A2 =

(4)(20) 2 (2)(10) 2

e

10m/s

 d

t=6s

4

t(s)

t(s)

a)-2 iˆ m/s

b) +2 iˆ m/s

d)-4 iˆ m/s

e) +4 iˆ m/s

c) +3 iˆ m/s

Resolución: El área bajo la gráfica aceleración versus tiempo, nos representa el cambio o variación de la velocidad.

 A1 = 40m  A 2 = 10m

Física del escarabajo

35

 2 a (m s )

8 4 Área 2

0

2

4

t(s)

El área del trapecio sombreado es:

 4+8   (2)  Área =12iˆ m/s 2  

Área = 

La variación de la velocidad entre los instantes t1=2s y t2=4s es:

  vf - vo =Área



 vf - (-8iˆ) = 12iˆ

 vf = +4iˆ m / s

Para el lector El gráfico muestra el movimiento de una partícula, determinar la distancia que recorre en los primeros 20s.  v (m s )

2

0

4

t(s)

Rpta: 100 m

Física del escarabajo

36

S A S M O E L LT B E O U R S P E R

Física del escarabajo

37

Definiciones Previas:

 V m = 3iˆ + 4 ˆj Rpta

Resolviendo:

Problema N° 01 Si un móvil empleó 5 s en ir desde la  posición r1 =  4iˆ - 2ˆj  m hasta la  posición r2 = 19iˆ + 18ˆj  m . Determine la velocidad media. B) (5 iˆ+3 ˆj ) m/s D) (3 iˆ+5 ˆj ) m/s

A) ( 4 iˆ+3 ˆj ) m/s C) (3 iˆ+4 ˆj ) m/s E) (6 iˆ+8 ˆj ) m/s

 Nos piden la velocidad media. V m =? (2)

 d

 d

t



posición « d= r2 - r1 ». Al reemplazar en (I) se obtiene:

 Vm =

  r2 - r1 t



R

B

o

37°

d) 1, 5 (ˆi - 3 ˆj )

A

B

o

5m

 d

4m 37° 5m

(19iˆ +18ˆj ) - (4iˆ- 2ˆj )

Física del escarabajo

3m

A

……….. (I)

El desplazamiento es igual al cambio de  

c) 1, 3(ˆi + 2 ˆj )

Graficando el desplazamiento de A hacia B para así calcular la velocidad media.

La velocidad media es igual al desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo.

Vm =

x

Resolución:

(1)



y

a) 2(ˆi + ˆj )

e) 1, 5 (-3 ˆi + ˆj )

 r2

 r1

Un insecto va del punto «A» al punto «B» demor ando par a ello 2 s. Halle la velocidad media (en m/s) desarrollada por el insecto en este recorrido, sabiendo que el radio de la circunferencia mostrada es R = 5 m. b) (i + j )

Resolución:

0

Problema N° 02

El vector desplazamiento es: -9iˆ

 d

3 ˆj

 d = -9iˆ + 3 ˆj   d = 3(-3iˆ + ˆj )

5

38

Finalmente calculemos la velocidad media.

 Vm =

 d

t

=

3(-3iˆ + ˆj ) 2



m Resolviendo: V m = 1, 5(-3iˆ + ˆj ) s

Problema N° 03 Un móvil se desplaza a lo largo del eje «x». Si la ecuación de su posición es

Problema N° 04 La ley de movimiento para dos móviles  A y B viene dado por: x A = 4t2 + 5t – 1  ; x B = 3t2 + 5t + 8 en los cuales «x» está en metros y «t» en segundos. Calcular la velocidad de A en el momento en que se cruzan. Considere que los móviles se mueven en el eje «x».

 x = -16 t+2 t 2 m , donde t se mide en

A) 19 m/s D) 31 m/s

segundo. Determine su posición cuando el móvil queda en reposo.

Resolución:

a) +16 m

b) +32 m

En el instante que los móviles se cruzan, las posiciones de y son iguales.

d) -16 m

e) -32 m





c) +8 m

B) 23 m/s E) 42 m/s

C) 29 m/s

  xA  x B

Resolución: 

De la ecuación: x =  -16 t+2 t 2  m , podemos calcular la velocidad derivando la posición ( x ) con respecto al tiempo (t).   dx v= = -16+4t dt

Cuando el móvil queda en reposo  ( v = 0)

4t2 + 5t – 1 = 3t2 + 5t + 8

 t = 3s Móvil «A» La velocidad de A es la derivada de su  posición ( x A = 4t2 + 5t – 1) con respecto al tiempo.

 v = -16 + 4t = 0  t = 4s

dx  vA = A = 8t + 5

Nos piden la posición:  x = -16 t+2 t 2   x = -16 (4)+2 (4) 2  x = - 32m

 Resolviendo: v A = 29m / s

Física del escarabajo

dt

  vA = 8(3) + 5

39

Movimiento Rectilíneo Uniforme: Problema N° 06 Problema N° 05 Un ciclista viaja con rapidez constante de 6m/s hacia la derecha, tal como se muestra en la figura. Si luego de 15s a partir del instante mostrado, el ciclista equidista del semáforo y la casa. Determine L. Semáforo Casa

Un ciclista que se desplaza en una pista rectilínea pasa frente a un poste con una rapidez constante de 5 m/s, si luego de 10s pasa frente al poste un automóvil con una rapidez constante de 15 m/s y en la misma dirección que el ciclista. ¿Qué tiempo adicional transcurre para que el ciclista sea alcanzado por el automóvil? A) 4s D) 7s

10m

L

A) 80 m D) 180m

B) 90m E) 320m

C) 160m

B) 5s E) 8s

C) 6s

Resolución: En 10s el ciclista recorre una distancia:

d = vt = (5)(10)

Resolución: Para que el ciclista equidiste del semáforo y la casa, entonces dicho ciclista tiene que llegar al punto medio del segmento que une al semáforo y la casa.

 d = 50m poste

10s

Ciclista

5m/s

Veamos cómo es esto gráficamente: 50m

t=? semáforo Casa Casa

A

10m

L/2

B

En el tramo AB: d=vt (10 + L/2) = (6)(15)  L = 160 m

Física del escarabajo

Auto 15m/s

L/2

A partir del instante mostrado el ciclista es alcanzado por el auto, luego de:

ta = ta =

d  (Tiempo de alcance) v1 -v2 50 15 - 5

 t a = 5s

40

Problema N° 07

Del gráfico, la hora de partida es 11:30h–t. Entonces, el automovilista salió de su casa a las.

Un automovilista realiza un MRU de su casa a su trabajo llegando a las 11:30 h. Si triplicará la velocidad, llegaría a las 9:30 h. ¿A qué hora salió de su casa?

 8 : 30h ...Rpta

a) 8:00 h d) 8:40 h

b) 8:10 h e) 8:30 h

c) 8:20 h

Resolución: Examinando el movimiento del automovilista, y los casos cuando llega a su trabajo a las 11:30h y 09:30h respectivamente. (El tiempo «t» se mide en horas) t

casa

Un ciclista recorre la primera mitad de su trayectoria a una velocidad de 20 km/h y la segunda mitad a 5 km/h. ¿Cuál es la rapidez media correspondiente a toda la trayectoria? (Considere MRU para cada tramo) a) 14 km/h d) 16 km/h

b) 8 km/h e) 17 km/h

Resolución: 11:30 h

La rapidez media ( υm ) se calcula así:

υm =

(t - 2)

2docaso

3v 09:30 h

t=

d v

tAB=L/20

1ercaso: d = (v)t 2docaso: d = (3v)(t – 2) Igualado lo anterior vt = 3v(t – 2)  t = 3 horas

e t

En el problema: Calculando el tiempo transcurrido en el tramo AB y BC con la ecuación del MRU:

En ambos casos el auto realiza el mismo recorrido, y como la velocidad es constante. Entonces en cada caso, tenemos:

Física del escarabajo

c) 15 km/h

trabajo

v

1ercaso

Problema N° 08

tBC=L/5

5 km/h

20 km/h

A

L

B

L

C

41

Piden la rapidez media para en el tramo AC. υm = υm =

e AC t AC

=

(L + L)

Problema N° 10

L/4

Un tren con MRU cruza completamente un túnel de 140 m en 20 s, y delante de un hombre que corre en el mismo sentido con una rapidez constante de 2 m/s en 10 s. Calcule la longitud del tren.

υm = 8km / h

Problema N° 09

Un bus de 8 m de longitud desarrolla un MRU desplazándose con una rapidez de 72 km/h, si el bus emplea 2 s en atravesar completamente un puente. ¿Qué longitud presenta el puente? a) 20 m d) 36 m

L = 32m

Resolviendo:

(L/20 + L/5)

2L

Resolviendo:

dAB = (v)(t) 8+L = (20)(2)

b) 24 m e) 40 m

c)

a) 80 m d) 140 m

b) 100 m e) 160 m

c)120 m

Resolución: Caso (1): Cuando el tren cruza el túnel

32 m Túnel

tcruce=20s

v

Resolución:

L

140m

Al convertir la rapidez a «m/s» se obtiene:

Para la parte delantera del tren, aplicamos v = d/t:

72 km/h = 20 m/s

v=

140+L 20

t = 2s

v

v

(I)

Caso (2): cuando el tren cruza al hombre. talcance=10s

v 2m/s

A

8m

L

B

Para la parte posterior del bus (en el tramo AB), aplicamos: Física del escarabajo

L

Se puede observar que la parte posterior del tren da alcance al hombre. Entonces aplicamos la propiedad del tiempo de alcance:

42

t alcance =

d

 10 =

vtren - vhombre

340m/s

L

sonido

v -2 10m/s

v =

L+20 10

 (II)

Igualando (I) = (II) (140+L)/20 = (L+20)/10  L = 100m Problema N° 11

Q

x P

x

Luego de estirar la trayectoria del sonido para aplicar la propiedad del tiempo de encuentro: te

te

Un joven va hacia una montaña en motocicleta. Cuando pasa por «Q» da un grito y escucha el eco luego de dos segundos, entonces determine « x ». (vsonido=340m/s).

10m/s

340m/s

P

2x

te =

d v1 +v2

.....(t e =2s)

 10m/s

2 = Q

2x 10+340

x

Resolviendo: x = 350m A) 200m D) 400m

B) 300m E) 450m

C) 350m

Resolución: El sonido que se produce en el punto Q se dirige hacia la montaña para producir el eco, luego de rebotar en dicha montaña, el sonido y el motociclista llegan simultáneamente al punto P. Produciéndose el encuentro. P: punto de encuentro

Física del escarabajo

Problema N° 12

Un auto se acerca a una montaña realizando un MRU a razón de 20 m/s. Si al encontrase a 1,8 km el conductor toca el claxon. Determine a qué distancia de la montaña se encontrará el auto cuando el conductor escucha el eco. (vsonido = 340 m/s). A) 2000 m B) 1600 C) 1400 20m/s D) 1000 E) 1500 1,8km

43

Resolución:

Resolución:

 x (m)

«B» representa el punto donde el conductor del auto escucha el eco. 60

340m/s sonido

A

t

B

20m/s



B

A 20t

0 1800m

24-t

t=?

L=? 1800m



24

t(s)

Según dato del problema, se sabe que:

En forma análoga al problema anterior. Luego de estirar la trayectoria del sonido para aplicar la propiedad del tiempo de encuentro, se tiene:

t=

d v1 +v2

=

2(1800)

En el problema nos piden: L=1800-20t

 L = 1600 m

Problema N° 13

Un móvil se mueve en el eje «x» según  la gráfica « x » versus «t». Si en el segundo tramo la rapidez es el triple que en el primero. Calcule el instante de tiempo en que el móvil pasa por x = 0.  x (m) A) 16 s 60 B) 12 s C) 18 s D) 24 s t(s) E) 40/3 s 0 24 Física del escarabajo

 tanθ = 3tanα 60 24 - t

 60    t 

 t = 18s

= 3

20+340

 t =10s

L=1800-20(10)

vB = 3vA

Problema N° 14 Andrés de estatura h camina con una rapidez «v» debajo de un foco que se encuentra a una altura H respecto del piso. Si el extremo de la sombra de Andrés en el piso se mueve con rapidez «3v». Calcule H/h.

A) 1/2 B) 3/2 C) 2/3 D) 3 E) 1/3

H v

Resolución: v: rapidez de la persona. 3v: rapidez del extremo de la sombra.

44

Luego de un intervalo de tiempo «t» la persona y el extremo de su sombra recorren una distancia de «vt» y «3vt» respectivamente. a 

A) 0,6 cm/s D) 2,4

H

3a

B) 1,2 E) 3

C) 1,8

v

vt

Extremo de la sombra

h

3v 3vt

Geométricamente.

Resolución: v: rapidez del extremo de la sombra. Luego de un intervalo de tiempo «t» la vela y el extremo de su sombra recorren una distancia de «0,6t» y «vt» respectivamente.



v=? sombra

H



vt

h 0,6cm/s

vt

2vt

a

 

Aplicando «cot θ » en cada triángulo rectángulo, se tiene:

cotθ =

H 3vt

=

h 2vt



0,6t

H 3 = h 2

Problema N° 15

Si la vela se consume uniformemente a 0,6 cm/s, ¿con qué rapidez se desplaza el extremo de la sombra que proyecta en la pared vertical, debido a la barra frente a la vela?

Física del escarabajo

3a

Aplicando «tan α » en cada triángulo rectángulo, se tiene:

tanα =

0,6 t v t = a 3a

 v = 1, 8cm / s

45

18t

Problema N° 16

=

senα

Un auto va por la carretera a razón de 18 m/s. Un hombre se encuentra a 50 m de la carretera y en cierto instante a 360 m del auto. Calcule el ángulo de inclinación « α » para que se produzca el encuentro. Considere que los móviles realizan MRU. (v = 5 m/s). hombre

A) 30° B) 37° C) 45° D) 16° E) 53°

5t

 50m

senθ

360m

senθ =50/360

18

=

senα

5

 senθ = 5 / 36

(5/36)  α = 30°

Resolviendo: senα=1/2

Problema N° 17 18m/s

50m

360m



Resolución: Si «t» es el tiempo de encuentro entre el auto y el hombre. Al aplicar la ecuación d = vt, la distancia recorrida por cada móvil es: dauto =18t dhombre =5t

En el instante mostrado el conductor del auto toca el claxon durante un intervalo de 1s. Determine el intervalo de tiempo que escucha el atleta el sonido producido por el claxon, considerando que los móviles desarrollan MRU. (vsonido =340m/s) 10m/s 40m/s

A)

P: punto de encuentro

D)

9 11 10 11

Atleta

s

B)

s

E)

8 11 12 11

s

C)

11 9

s

s

Resolución:

18m/s 

18t

P 5t

360m

50m

«A» representa el punto donde el conductor toca el claxon del auto. 5m/s

1s



1s

En el triángulo sombreado aplicamos la Ley de Senos.

340m/s

40m/s

A 40m

L 340m

Física del escarabajo

46

De la figura: El sonido producido por el claxon del auto viaja una distancia de 340m en un intervalo de tiempo de 1s. Durante este tiempo, el auto viaja una distancia de 40m, acortándose así la longitud del tren de sonido que se dirige hacia el atleta

 L = 300 m (  ) El intervalo de tiempo que escucha el atleta el sonido producido por el claxon del auto, es el tiempo que tarda el tren de sonido en cruzar los oídos de dicho atleta. Veamos cómo es esto gráficamente.

10m/s

340m/s

El tren de sonido termina de cruzar al atleta, cuando su parte posterior alcanza a dicho atleta.

t=

v1 - v2

mínima. (vA=vB=4 2 m/s) A) 3 s

A

vA 82°

B) 4 50m

C) 5 D) 6

vB B

Resolución: Para simplificar la resolución del problema, examinaremos el movimiento de «A» respecto a un observador en «B». Por lo tanto «B» queda en REPOSO.

300m

d

Se muestra el instante en que 2 móviles inician un MRU. Calcule el tiempo que debe transcurrir para que la distancia de separación entre dichos móviles sea

E) 7

Tren de sonido

t=

Problema N° 18

La velocidad relativa de A respecto a B está dado por:

   vA/B = vA - vB  (Tiempo de alcance) Gráficamente:

300

4 2 m/s

 vA

340 -10 45°

Resolviendo:  t =

10

11

s

 vA/B

 -vB

4 2 m/s

De la figura: v A / B = 8m/s Física del escarabajo

47

Cuando se examina el movimiento de A respecto B, no se toma en cuenta el movimiento de B. Entonces, se tiene lo siguiente. AP

45°

37°

 vA/B

Trayectoria de “A” vista por “B”

Resolución: La mínima rapidez del caracol para no ser alcanzada por el agua, se da cuando dicho caracol llega al extremo de la varilla en el mismo tiempo que el recipiente termina de llenarse de agua. Es decir en un tiempo de t=5minutos=300s. z

40m 50m

H

 d

dmín. B

La distancia mínima entre los móviles se da cuando el móvil A pasa por el punto H. Piden: tPH=? En el tramo PH: t PH =

d PH vA/B

=

40

Problema N° 19

Si el recipiente de base cuadrada se llena uniformemente con agua hasta su tope en 5 minutos. ¿Con qué rapidez mínima deberá avanzar el caracol sobre la varilla delgada, para no ser alcanzada por el agua? (considere MRU)

Física del escarabajo

40 2 ˆi -40 2 ˆj

x

De la figura:  d = 40 2 ˆi - 40 2 ˆj + 60 kˆ

8

 t PH = 5s

A) 2 cm/s B) 1,88 C) 0,33 D) 1,6 E) 0,6

y

60 kˆ

Observador “B”

Vectorialmente la velocidad del caracol es:  40 2 iˆ - 40 2 ˆj + 60 kˆ  d v= = t 300  2 2 iˆ - 2 2 ˆj + 3 kˆ v= 15 El módulo de la velocidad es: 2

 v=

 2 2  +  -2 2 

40 2cm

+  3

2

15

varilla caracol 60cm

2



Resolviendo: v =

1 cm / s = 0, 33cm / s 3

48

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado:

Problema N° 21

Problema N° 20 Un móvil con MRUV al recorrer 500 m en 5s triplica su rapidez inicial. El módulo de su aceleración (en m/s2) es: A) 30 m/s2 D) 10

B) 50 E) 5

Resolución:

C) 60

5s

A) 30 m D) 45 m

B) 36 m E) 54 m

Graficando el movimiento y aplicando la propiedad de los números de galileo: a

3v

A

1s

1s

B 500m

Datos: vo = v vf = 3v d = 500m t = 5s

C) 40 m

Resolución:

a=?

v

Un móvil parte del reposo moviéndose según las leyes del MRUV, y recorre 36 m en los 2 primeros segundos. ¿Qué distancia r ecorrer á en el siguiente segundo?

vo=0

k A

1s 5k=?

3k C

B

D

36 m

Piden: a = ?

Según los datos del problema, aplicaremos la 4ta ecuación del MRUV.

v +v d=  o f  2

 t 

 v + 3v  500 =   (5 )  2  Resolviendo: v = 50m/s Finalmente aplicamos: vf = vo + at 150 = 50 + a(5)

 a = 20m / s 2

Física del escarabajo

En el tramo AC: k + 3k = 36 m k=9m Piden calcular: dCD = 5k = 5(9 m)  d CD = 45m

Problema N° 22 Un auto que se desplaza con 12 m/s comienza a frenar desarrollando un MRUV y se detiene luego de 6 s. Calcule la rapidez del auto 1 m antes de detenerse. A) 1 m/s D) 4 m/s

B) 2 m/s E) 5 m/s

C) 3 m/s

49

Resolución:

Resolución:

t vo= 0

v=?

A

B

vf = 0 1m

C

Calculando el módulo de la aceleración (a) En AC vf = vo – at 0 = 12 – a(6) a = 2 m/s2

Auto A

Auto B

dA 200m dB

Datos: aA= 4m/s2 aB= 8m/s2 Luego de aplicar la tercera ecuación se tiene:

2 De la figura, las distancias que recorren los autos cumplen la siguiente relación: dB - dA = 200m 1 2 1

Resolviendo:  v = 2m / s

2

Problema N° 23 Un auto «A» se encuentra a 200 m delante de otro auto «B», si ambos parten simultáneamente desde el reposo con MRUV y en la misma dirección. Al cabo de qué tiempo se produce el alcance, si sus aceleraciones son 4 m/s2 y 8 m/s2 respectivamente.

Física del escarabajo

aA

vo= 0

1

En BC 2 2 vf = vo – 2ad 2 0 = v – 2 (2) (1)

B) 9s E) 12s

aB

d = at2 . . . . . . . . (vo= 0)

Finalmente calculamos la rapidez del auto un metro antes de detenerse.

A) 8s D) 11s

Posición donde el auto “B” alcanza al auto “A”

a

6s

12m/s

t

C) 10s

2

aBt (8)t 2 -

Resolviendo:

1 2 1 2

2

a A t = 200 (4)t 2 = 200

t = 10s

Problema N° 24 Si un «policía» en su motocicleta que se encuentra al pie de un semáforo observa que un auto que se desplaza con rapidez constante de 10m/s se pasa la luz roja, inmediatamente inicia su persecución, logr ándolo alcanzar luego de 5s. Considerando que la motocicleta describe un MRUV. ¿Cuál es su aceleración?

50

A) 1m/s2 D) 5

B) 2 E) 10

C) 4

Problema N° 25

Resolución:

Dos móviles parten del reposo con aceleraciones constantes en el mismo instante del punto P. El primer auto se acelera uniformemente con a1=2m/s2 y el segundo con a 2 =4m/s2 . ¿Luego de qué

semáforo 5s a=?

Policía

vo=0

dpolicía

tiempo estarán separados 49 3 m? P

5s

Auto

10m/s

dauto

Para el policía: (MRUV)

1 d= vo t+ at 2 2  d policía =

Para el auto: (MRU)

1

a(5) 2

2

d=vt

a) 3s b) 4s c) 5s d) 6s e) 7s

a1

a2 60º

Resolución: Datos: a1=2m/s2 a2=4m/s2 Los móviles parten del reposo (vo=0). Entonces al aplicar la 3ra ecuación del MRUV, se tiene: 1 d= at2 2

dauto = (10)(5) Se observa que el policía y el auto recorren la misma distancia

 d policía = d auto 1 2

d1 = d2 =

1 2 1 2

(2)t 2  d1 = t 2 (4)t 2  d 2 = 2t 2

a(5) 2 = (10)(5)

 a = 4m / s2 Física del escarabajo

51

Resolución: t

P a1 60º

t

La grafica corresponde a un MRUV,  donde x o = 0. Al aplicar

a2

d1

1    x = xo + vo t + at 2 , se obtiene: 2

d2

d = 49

3

1 2   x = vo t + at ....() 2

m

En el triángulo sombreado aplicamos la ley de cosenos. d=

De la gráfica: En t1=2s y t2=4s, las posiciones del móvil son x1=16m y x2=56m respectivamente. Reemplazando en la ecuación (  ) se obtienen las siguientes ecuaciones:

d12 +d 2 2 -2d1d 2 cos60°

49 3 = (t 2 ) 12 +2 2 -2(1)(2)(1/2) 49 3 = (t 2 ) 3

1 2  16 = vo (2) + a(2) ....(1) 2 1  56 = vo (4) + a(4) 2 ....(2) 2

 t = 7s

De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:   a = +6m / s 2 y v o = +2m / s

Problema N° 26

En el grafico se representa la variación de la posición respecto del tiempo para una partícula. Determine la aceleración, así como también la velocidad inicial de dicha partícula.  x (m )

Parábola

56

A) 6m/s2 y 2m/s B) 4 y 1 C) 6 y 4 16 D) 8 y 2 E) 4 y 2 0 2

Física del escarabajo

4

t(s)

Problema N° 27

Un policía motorizado ve pasar frente a él, a un automóvil con una rapidez no permitida de 20m/s; en ese instante inicia la persecución. Después de acelerar uniformemente durante 10s alcanza su rapidez máxima de 30m/s ¿cuánto tiempo (en s) demora en alcanzarlo desde el inicio de su movimiento. A) 12 D) 16

B) 15 E) 14

C) 13

52

Resolución: El policía motorizado desarrolla MRUV durante los primeros 10s hasta alcanzar una rapidez máxima de 30m/s, luego su rapidez se mantiene constante (desarrolla un MRU). 10s

Policía

Para el auto: El auto desarrolla MRU (d=vt).  d MRU =20t

Reemplazando en la ecuación (1) 150 + 30(t-10) = 20t

(t-10)

vo=0

dpolicía dMRUV

30m/s

30m/s

dMRU

Resolviendo: t = 15s Problema N° 28

t=?

De la figura: dpolicía = dauto ………..(1)

Un móvil parte del reposo y acelera uniformemente con 3 m/s2, cierto tiempo después de la partida aplica los frenos siendo su retardación de 6 m/s 2 hasta detenerse, si todo su viaje duró 30 s. ¿Qué distancia logró recorrer en los 30s?.

Para el policía: En los primeros 10s desarrolla MRUV.

A) 450 m D) 1200 m

Auto

20m/s

dauto

 vo +vf   0+30   t=   (10)  2   2 

 d MRUV = 

B) 900 m E) 300 m

C) 600 m

Resolución: Graficando el movimiento del móvil.

d MRUV =150m

En el siguiente tramo el policía desarrolla MRU.

30s

 dMRU =30(t-10)

Finalmente; la distancia que recorre el policía es:

a2=6m/s2

a1=3m/s2

v

vo=0

A

d=?

B

vf=0

C

dpolicía = dMRUV + dMRU  d policía =150+30(t-10)

Física del escarabajo

53

Construyendo la gráfica velocidad versus tiempo, en los 30s de viaje.  v (m s )

Problema N° 29

La gráfica muestra la posición de un cuerpo respecto al tiempo. Si se sabe que la gráfica es un arco de circunferencia cuyo centro es «0» .Determine su velocidad en el instante t=4s.

v





t1

0

30

 x (m )

t(s)

(30-t1)

En el tramo AB el móvil acelera con a1=3m/s2, y en el tramo BC desacelera con a2=6m/s2. Entonces se cumple:

A) +4/3 m/s B) -2/3 m/s C) +3/2 m/s D) -4/3 m/s E) +5/3 m/s

5

0

a1 =tanθ  3=

v

t1

a 2 =tanα  6=

Resolución:

 (1) v

30 - t 1

5

t(s)

Para calcular la velocidad, trazamos una recta tangente al arco de radio «5» en el instante t=4s.

 (2)

 x (m )

De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene: t1=20s y v=60m/s

Recta tangente 5

Finalmente se tiene:  v (m s )

5 

37°

0

60

Área 

30

0

Se sabe que: 30  60

 d = 900m Física del escarabajo

4

5

t(s)

De la figura: α + 37° = 90° α = 53°



d = Área =

4

2

t(s)

La velocidad del móvil en t=4s, es la pendiente de la recta tangente.  v = - tanα  v = - tan53°

 4  v =- m/s 3

54

Problema N° 30

Problema N° 31

Calcule la velocidad del móvil al cabo de 10s, si en la partida (t = 0) el móvil inicia del reposo.

Un automóvil se desplaza en la dirección (+x) de modo que su rapidez varía con la posición de acuerdo a la

 a (m s 2 )

A) 17m/s B) 19m/s C) 20m/s D) 21 m/s E) 22 m/s

siguiente expresión: v  4  2 x (Donde «x» se mide en metros y «v» en m/s). Considerando que el móvil se le empezó a analizar cuando pasaba por x=0; determine cuanto recorre el móvil desde t=0 hasta t=2s,

4

0

4

t(s)

8

Resolución: El móvil parte del reposo (vo=0). Entonces la variación de la velocidad está dado por:      v = vf - vo  v = vf

A) 2m B) 4m C) 6m D) 8m

E) 10m

Resolución:

 0

 a (m s2 )

t=0

a vf =v

vo 4

d =x

A1

A2

2

45°

8

4

0

xo=0

4

10

45°

A3

t(s)

2

Dando forma a la ecuación: v  4  2 x

v 2  2 2  2(1)(x)  (1) El área de la gráfica nos representa la variación de la velocidad.  v = A1 +A 2 -A3   44   22  v =  4  4  +  - 

 2   2 

Resolviendo:    v = 22  vf = + 22m / s

Ahora comparamos con la segunda ecuación del MRUV.

v 2  vo 2 +2ax  (2) Comparando (1) y (2), deducimos que: vo = 2m/s a = 1m/s2

 vf

Física del escarabajo

55

Nos piden la distancia recorrida en los dos primeros segundos (t=2s), entonces aplicamos la tercera ecuación del MRUV.

1 d= vo t+ at 2 2

De la figura: vlluvia: rapidez de la lluvia. vbus: rapidez del bus. vlluvia/bus: rapidez de la lluvia respecto al bus. Vectorialmente, la velocidad de la lluvia respecto a un pasajero del bus, es:

1

d  (2)(2)  (1)(2) 2  d = 6m

   v lluvia/bus = vlluvia - vbus

2

Problema N° 32

 vlluvia/bus

Un pasajero de un bus que experimenta MRUV, observa a través de la ventana del bus, que caen las gotas de lluvia formando un ángulo de 37º con la vertical y luego de 10s observa que la lluvia cae formando 53º con la vertical. Si en el exterior del bus no hay viento y la lluvia cae a razón de 24m/s. Calcular la aceleración del bus. A) 1,4 m/s2 D) 3



 vlluvia

 vbus

(Ver la teoría del movimiento relativo)

En nuestro caso: Calculando la rapidez inicial y final del bus. Inicio:

B) 2 E) 4

Final:

C) 1  vlluvia/bus

Resolución: Cuando un pasajero observa caer las gotas de lluvia a través de la ventana, en realidad lo que observa, es: El movimiento de la lluvia respecto al bus.

 vlluvia/bus

37°

24m/s

24m/s

 vo

53°

 vf

De los triángulos notables:  vo =18m/s  vf =32m/s

vbus

vlluvia/bus 

vlluvia=24m/s

Ahora aplicamos la primera ecuación del MRUV: vf = vo + at 32=18 + a(10)

VENTANA

Resolviendo: Física del escarabajo

a = 1, 4m / s 2

56

Problema N° 33

t 340m/s

sonido

Un auto parado junto a una montaña inicia un MRUV partiendo del reposo y alejándose de ésta. Si el momento en que el conductor debe tocar el claxon para que no escuche el eco, es cuando presenta una rapidez «v», como mínimo. Calcule «v». (vsonido = 340 m/s). Momento en que toca el claxon.

a vo=0

v

A) 340m/s

v

340m/s

C

(vo=0) A

B

a

d1

t d2

Para calcular las distancias d1 y d2 que recorre el auto, utilizaremos la segunda ecuación del MRUV (vf2=vo2+2ad). El auto parte del reposo (vo=0), entonces se tiene:

B) 170( 2 +1) m/s

C) 340( 2-1) m/s

D) 340( 3-1) m/s

E) 340( 2 +3) m/s

v = 0 + 2ad  d = 2 f

Para que el conductor no escuche el eco y la rapidez «v» sea mínima. Entonces el auto y el sonido presentaran la misma rapidez cuando el auto es prácticamente alcanzado por el sonido; esto ocurre en el punto «C».

..................d1 = ..................d 2 =

Física del escarabajo

v

2

2a 3402 2a

El tiempo «t» que demora el auto desde B hasta C, es: (vf = vo + at  340=v+at).

t=

Luego que el auto pase por el punto «C», el sonido jamás podrá alcanzar al auto. Esto es así porque el auto está aumentando su rapidez.

2a

Luego:

Resolución: El auto parte del reposo en A desarrollando un MRUV, y en el punto B el conductor del auto toca el claxon.

(v f ) 2

340 - v a

57

Finalmente trabajamos con el movimiento del sonido. Del gráfico:

esonido = d1 + d 2  (1)

 340t

Reemplazando t, d1 y d2 en la ecuación (1).

2 340 2  340 - v  v = +  2a  a  2a

340 

680  340 - v  = v 2 +3402

Resolviendo: v = 340

Física del escarabajo





2 -1 m / s

58

Física del escarabajo

59

PR PR O O BL PU E E S MA TO S S

Definiciones Previas: Problema N° 01 Una nave de pesca navega en el mar 30 km hacia el norte empleando 4 h, luego vira hacia el este y recorre 40 km tardando 6 h. Calcular el módulo de la velocidad media. A)3 km/h D)6 km/h

B)4 km/h E)7 km/h

C)5 km/h

Problema N° 02 Sobre el plano mostrado una partícula se mueve desde el punto medio de la recta AB al punto medio de la recta BC, calcule su desplazamiento (en m) y(m) 12

B

C

20

6

A) 12iˆ - 4ˆj

B) 10iˆ - 2ˆj

D) 8iˆ - 4ˆj

E) 11iˆ - 4ˆj

A) 1 m/s B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

x(m)

C) 8iˆ - 2ˆj

O

A

B

R

Problema N° 05 Si el módulo de la velocidad media desarrollada por el móvil al ir de P a Q es 13 m/s. Calcule el tiempo que demoró en realizar dicho trayecto. A) 1 s B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4A 0

Problema N° 04 Se suelta una esfera lisa en el punto «A», rueda por la cavidad esférica lisa llegando al punto «B» y retornando al punto «A» luego de π segundos. Determine la rapidez media desarrollada por la esfera. (R = 2 m)

Q

P

Problema N° 06

La posición de un móvil en función del tiempo está dada por la ecuación  x = t-2t 2 iˆ m , donde « x » está en

Problema N° 03 Una partícula se mueve sobre el eje «x»  según la ley: x = 5t2 - 30. Calcule el módulo de su velocidad media entre los instantes t = 0 s y t = 3 s.

metros y «t» en segundos. Determine la velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.

A) 5 m/s D) 20

A) 7 iˆ m/s B) -7 iˆ m/s

B) 10 E) 25

C) 15





D) -14 iˆ m/s Física del escarabajo

C) 14 iˆ m/s

E) -3,5 iˆ m/s

60

Problema N° 07 Calcule el módulo de la velocidad media desarrollada por la partícula, si para ir de «A» hacia «B» demoró 2 5 s. (R = 5 m) B A)1 m/s 37° B)2 R A O C)3 D)4 E)5

Problema N° 10 Un móvil que posee rapidez constante se mueve por el trayecto mostrado. Luego es cierto: I) El móvil mantuvo su velocidad constante durante todo su trayecto. II) El móvil sólo aceleró en el tramo de A hacia B. III) El móvil mantuvo su velocidad constante sólo en el tramo de B hacia C.

Problema N° 08 Calcule el módulo de la aceleración media desarrollada por la abeja durante el trayecto mostrado, si para ir de «A» hacia «B» demoró 2 s.

y(m)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III

A

C

B

x(m)

y

A)1 m/s2 B)2 C)2,5 D)3 E)3,5

Problema N° 11

B 4m/s

x

A 3m/s O

Problema N° 09 Calcule la velocidad media (en m/s) desarrollado por la partícula al ir del punto P(2; 3) al punto Q(8; 7), si demoró para el recorrido 2 s.

60°

B) 4 C) 10

4m/s 8m/s

B

D) 6 3

A) 3iˆ + 2ˆj

y(m)

E) 5

B) 6iˆ + 7ˆj Q

C) 6iˆ - 4ˆj P

D) 6iˆ + 4ˆj E) 2iˆ + 3ˆj

En la figura mostrada, el móvil invierte 2s para trasladarse de «A» hacia «B», observándose que en «A» su rapidez es 8 m/s y que en «B» es 4 m/s. ¿Cuál es el módulo de la aceleración media de dicho móvil? A) 2 3 m/s2

0

Física del escarabajo

x(m)

A

Problema N° 12 Se muestra la incidencia y rebote elástico de una partícula si el choque dura un tiempo «t» y la rapidez de incidencia es «v». Calcular el módulo de la aceleración media en el tiempo «t».

61

Problema N° 15

A) v/t B) v 2 /t

v

v

C) 3v/t 120°

D) 3 v/2t E) Cero

Una partícula se desplaza en el eje «x», tal que la velocidad está determinada por  v = (3t2 - 6t) m/s donde «t» se mide en segundos. Si la partícula parte del origen, determine la distancia que recorre dicha partícula desde t = 0 hasta t = 4 s.

Problema N° 13 Una partícula tiene velocidad  v = 2iˆ + 4t ˆj - 5t 2 kˆ , donde «t» está en segundos y «v» en m/s. Determine la aceleración de la partícula en el instante t=2s. A) iˆ + 4ˆj - 10kˆ B) 4ˆj - 20kˆ C) 4iˆ + 16ˆj - 40kˆ D) 4iˆ + 8ˆj - 14kˆ E) 2iˆ + 8ˆj - 20kˆ

Problema N° 14 Una abeja se mueve según la trayectoria

 mostrada. Si vA = (3iˆ + 9ˆj )m/s y al llegar al punto «B» su rapidez es 10 m/s. Determine su aceleración media, si el tiempo empleado para ir de «A» hacia «B» es 5 s. y(m)

B A 37°

A) (iˆ + 3ˆj )m/s 2 C) (iˆ - 3ˆj )m/s 2 E) (iˆ + 2ˆj )m/s 2

x(m)

A) 12 m D) 18

B) 14 E) 20

C) 16

Movimiento Rectilíneo Uniforme: Problema N° 16 El tren que se muestra desarrolla un MRU con una rapidez de 8 m/s. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el instante que se muestra hasta que el tren termina de pasar por el poste B? A) 10 s B) 20 C) 30 D) 40 80m E) 50 Problema N° 17

A

B 160m

El alumno «Zacarías» invierte 3 minutos para ir y volver de un mercado, si va a 4m/s y regresa a 5m/s. ¿A qué distancia se ubica el mercado? (desprecie el tiempo que estuvo en el mercado y considere un MRU) Zacarías

B) (iˆ - 2ˆj )m/s 2 D) (2iˆ - 5ˆj )m/s 2

Física del escarabajo

A) 200 m D) 500

B) 400 E) 300

C) 300

62

Problema N° 18 Un móvil debe recorrer 300Km en 6h con una rapidez constante, pero a la mitad del camino sufre una avería que lo obliga a detenerse una hora. ¿Con qué rapidez debe continuar el viaje para llegar a la hora exacta? A) 50km/h B) 60km/h C) 75km/h D) 90km/h E) 100km/h

A) 2 D) 5

Problema N° 19

A) 50m D) 150m

Un bus de 10 m de longitud que realiza un MRU con una rapidez de 10 m/s, cruza un puente en «t» segundos, si duplicará su rapidez se demoraría 2 s menos. ¿Cuál es la longitud del puente? A) 10 m B) 20 m C) 25 m D) 30 m E) 40 m

B) 3 E) 5/3

C) 4

Problema N° 22 Un tren realiza un MRU y al pasar frente a una persona emplea un tiempo «t», pero cuando cruza completamente un túnel de 500m lo hace en un tiempo 6t. ¿Cuál es la longitud del tren? B) 80m E) 100m

C) 200m

Problema N° 23 Si el ómnibus recorre 7 m en cada segundo y el atleta 6 m en cada segundo, determine a partir del instante mostrado, ¿cuánto tiempo el atleta tarda en cruzar el ómnibus?. (Considere MRU)

Problema N° 20 Se muestra la gráfica posición ( x ) versus tiempo (t) de un automóvil. Determina la posición en t= 4s.

A) B) C) D) E)

 x (m )

A) +7m B) +9m C) +10m D) +11m E) +15m

8

37°

0

t(s)

Problema N° 21 En una carrera se quiere saber la rapidez media (en m/s) que se tuvo al recorrer cierta distancia. Si el camino se dividió en dos tramos iguales, recorriendo cada tramo con rapideces iguales a 3m/s y 6m/ s, respectivamente. (Considere MRU en cada tramo) Física del escarabajo

1s 2 3 4 5

12m

27m

Problema N° 24 Dos móviles están ubicados en un mismo lugar de una pista rectilínea a una distancia de 80 m de un poste. Si estos empiezan a acercarse simultáneamente al poste con rapidez constante de 35 m/s y 45 m/s. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que los autos equidisten del poste? A) 1 s D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

63

Problema N° 25 En el instante mostrado el conductor del automóvil toca el claxon, y la persona (P) escucha el eco, cuando el automóvil recorre la mitad de la longitud «L». ¿Qué rapidez tiene el automóvil? (Considere MRU; vsonido = 340 m/s)

Reposo

v

P 8L

L

a) 17 m/s b) 27 d) 47 e) 57 Problema N° 26

c) 37

Si el mosquito avanza con velocidad constante, ¿con qué velocidad avanza su sombra proyectada en el piso?

A) 2m/s B) 3m/s C) 4m/s D) 5m/s E) 8m/s

3L 6m/s L

π

r

B

Problema N° 28 Dos autos con MRU parten simultáneamente al encuentro con las rapideces mostradas, 10s después de partir el auto «A» se descompone, y pierde 5s, reiniciando su viaje con la misma rapidez. Calcule el tiempo de retraso para el encuentro. 10m/s

15m/s

A

A)1 s

B

500m

B)2

C)3

D)4

E)5

Problema N° 29 En la figura se muestra a un estudiante «A» que observa detenidamente a otro estudiante «B», el cual corre con una rapidez constante de 5m/s. Si lo pierde de vista durante 3s, determine el largo del muro. Muro

Una hormiguita baja el cilindro que se muestra siguiendo la trayectoria mostrada con rapidez constante de 5 cm/s, determine el tiempo que demora la hormiga en ir de «A» hacia «B», si el espacio recorrido por la hormiga es mínima. (h = 30 cm; r=

h

Hormiga 5cm/s

A

Problema N° 27

20

A

A) 10 s B) 15 s C) 20 s D) 25 s E) 30 s

cm )

Física del escarabajo

3L 2L B

A) 3m D) 12m

B) 6m E) 15m

C) 9m

64

Problema N° 30 Un joven que conduce un automóvil con velocidad constante, se dirige hacia una mina donde ocurren explosiones cada 0,6s. Si en el instante en que el joven escucha la primera explosión, en la mina se produce la segunda explosión, y el joven lo escucha luego de 0,5s. ¿Cuál es la rapidez del automóvil? (vsonido=340m/s) v

A)5n+3 B)3n+2 C)2n+3 D)n+1 E)n+6

MINA

A)17m/s D)51m/s

B)34m/s E)68m/s

C)60m/s

Problema N° 31 Dada la gráfica posición ( x ) versus tiempo (t). ¿En qué relación están las velocidades en los tramos AB y BC.  x (m )

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 1/3 E) 4/1

12

Problema N° 34 En la figura se muestra la gráfica de la posición versus el tiempo para dos móviles A y B con movimiento rectilíneo uniforme. Determine el tiempo (en s) que tardan en encontrarse.  x (m )

A) 4,5 B) 6,5 C) 8,5 D) 10,5 E) 11,5

C B

Problema N° 33 Un tren que viaja con una velocidad constante de módulo 36 km/h tiene «n» vagones de longitud «L» de manera que al cruzar un túnel de longitud «x» se observa que un vagón lo cruza en 5s, dos vagones juntos lo hacen en 7s. Determine el tiempo en segundo que demoran en cruzar los «n» vagones.

37°

A

16 B

12

0

4

t(s)

6

-30

A

t(s)

4

Problema N° 32 Calcular el módulo de la velocidad media y la rapidez media desde t = 0 hasta  t = 10 s. x (m ) A)8 m/s y 5 m/s 30 B)8 y 4 C)6 y 5 0 D)2 y 8 E)10 y 14 Física del escarabajo

10 5

8

t(s)

Problema N° 35 Por la ventana de un bus, un pasajero observa que las gotas de lluvia caen paralelamente a la diagonal de la ventana. Si la altura de la ventana es el 75% del ancho, ¿con qué rapidez ve el pasajero caer la lluvia? Considere que no hay viento y que el bus se desplaza con una rapidez constante de 2,4m/s. A)9 m/s

B)6

C)8

D)3

E) 7,5

65

Problema N° 36 Al r ecipiente ingresa agua a r azón constante de 600 cm3/s, ¿con qué mínima rapidez constante debe subir la hormiga por la superficie inclinada, a partir del instante mostrado para no ser alcanzada por el agua? A) 2,5 cm/s B) 1,25 C) 5 D) 4,8 E) 3,5

Calcular la rapidez de un tercer móvil que parte del mismo punto y se desplaza por la bisectriz de este ángulo, para que en todo instante equidiste de los otros dos. A) 80 m/s D) 120

B) 90 E) 40

C) 100

Problema N° 39 20cm 20cm 30cm 10cm

Problema N° 37 Un barco «A» que se mueve hacia el Este con una velocidad de 1 milla/h pasa por un punto «P» a las 9:00 a.m. Si otro barco «B» que se mueve hacia el Sur con una velocidad de 2 millas/h pasa por «P» a las 11:00 a.m. Calcular hasta qué hora podrán comunicarse entre sí sabiendo que sus radios trasmisores tienen un radio de alcance de 10 millas. A) Hasta las 12:00 m B) Hasta la 1:00 p.m C) Hasta las 2:00 p.m D) Hasta las 3:00 p.m E) Hasta las 4:00 p.m

Problema N° 38 Dos móviles siguen trayectorias rectilíneas que se cortan formando un ángulo de 106º. Si desde la intersección de las trayectorias se desplazan con rapideces constantes de 40 m/s y 80 m/s. Física del escarabajo

La figura muestra la posición «x» versus el tiempo correspondiente a dos partículas A y B. Calcule la distancia de separación (en m) de las partículas en el instante t=6s.  x (m )

B A

4

2 0

A) 2

2

B) 3

t(s)

4

C) 4

D) 5

E) 6

Problema N° 40 Se sabe que cuando las ruedas de un tren pasan de un riel a otro producen un golpe característico, si el número de golpes que se escuchan en 45 s expresa la velocidad del tren en km/h, determine la longitud de cada riel. (Considere MRU) A)7,5 m B)10

C)12,5

D)15 E)17,5

Problema N° 41 Una poderosa araña baja con una rapidez constante de 10cm/s. Determinar la rapidez de su sombra proyectada en la

66

pared, si la vela se consume con una rapidez constante de 2cm/s.

 x (m )

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

A

4 2

-4

4L

A)10cm/s D)16cm/s

B)12cm/s E)18cm/s

t(s)

10

0 -2

B

Problema N° 44 Si las bolitas desarrollan un MRU. Calcular la mínima distancia de separación entre las bolitas.

3L

C)14cm/s A

Problema N° 42 Un tren se desplaza con una rapidez constante de 30m/s. Si las bocinas ubicadas en los extremos del tren se activan simultáneamente y la persona que se encuentra en el centro del tren escucha el sonido de las bocinas con un intervalo de 0,5s. ¿Cuál es la longitud del tren? (vsonido=330m/s)

A) B) C) D) E)

10 m 12 18 24 36

6m/s 23°

40m 6 3 m/s

B

Problema N° 45 Dos barras se cruzan bajo el ángulo 60º y se mueven per pendicularmente a sí mismas con rapideces constantes como muestra la figura. ¿Cuál será la rapidez del punto de cruce de las barras? 3m/s

A)1200m D)3000m

B)1800m E)3600m

C) 2400m 60º

Problema N° 43 Dos móviles A y B se mueven en el eje x, en donde sus posiciones varían con el tiempo de acuerdo a la gráfica que se muestra. Determine la distancia (en m) que los separa cuando t=20s. Física del escarabajo

2 3m/s

A) 7m/s

B) 2 7m/s C) 3 7m/s

D) 4 7m/s

E) 5 7m/s

67

Problema N° 46 Un camión va por la carretera a razón de 16 m/s, determine la mínima rapidez constante con que debe correr el hombre para encontr arse con el camión. (Considere MRU) a) 3m/s b) 4m/s c) 5m/s d) 6m/s e) 7m/s

Problema N° 49 Un joven que se encuentra en «A» , desea llevar agua del rio a la posición «B». Determine el menor tiempo empleado por el joven si mantiene una rapidez constante de 5m/s. (Desprecie el tiempo en que recoge el agua) Vista superior:

16m/s

B

60m 320m

A

80m

20m

Problema N° 47

75m

La sirena de una fábrica suena en forma continua durante 9s. Si un obrero se dirige hacia la fábrica en un autobús con una rapidez constante de 72km/h, ¿Cuánto tiempo escucha dicho obrero la sirena? (vsonido =340m/s) A)7s D)8,5s

B)7.5s E)9s

C)8s

Problema N° 48 Unos futbolistas corren formando una columna de 6 m de largo durante el entrenamiento, moviéndose cada uno de ellos a razón de 2 m/s. Al encuentro de la columna corre el entrenador con 1 m/s. Cada uno de los futbolistas, al encontrarse con el entrenador da la vuelta y corre hacia atrás con una rapidez de 2 m/s. ¿Qué longitud tendrá la columna cuando todos los futbolistas den la vuelta? A) 6 m D) 3

B) 5 E) 2

Física del escarabajo

C) 4

RIO

A) 5s

B) 10s

C) 15s D) 20s

E)25s

Problema N° 50 Un joven en aguas tranquilas puede nadar con una rapidez igual a la mitad de la rapidez de la corriente de un rio. El joven quiere atravesarlo a nado de manera que la corriente lo arrastre lo menos posible. ¿Qué distancia lo arrastrara abajo la corriente si el ancho del rio es 200m? A) 200m B)400m C) 200 3 m D) 200 2 m

E) 400 3 m

Problema N° 51 Si los móviles que se muestran desarrollan un MRU. A partir del instante mostrado, luego de que tiempo la distancia de separación entre móviles será mínima. (v=3m/s; L= 8m)

68

Problema N° 54 Un móvil parte del reposo con un MRUV, y recorre en el primer segundo 5 m. ¿Qué distancia recorre en el 5to segundo?

2L

A) 2s B) 4s C) 6s D) 8s E) 10s

1

v

3L

2

v

A) 40 m D) 60 m

L

Problema N° 52 Un avión supersónico vuela horizontalmente con una rapidez constante de 510m/s. Si en el instante mostrado un micrófono ubicado en «P» registra el sonido que emite los motores del avión; determine a qué altura respecto al piso vuela el avión (Vsonido=340m/s) Avión

B)400m E)500m

P

C)100m

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado: Problema N° 53 Un auto se mueve con velocidad «V» desacelerando constantemente. Si luego de 3 segundos su velocidad se ha reducido en V/3. ¿Qué tiempo adicional debe transcurrir para lograr detenerse? A) 3 s

B) 5

C) 6

Física del escarabajo

C) 45 m

Problema N° 55 Un móvil con MRUV recorre en el 1er segundo 20 m y el tercero 40 m. Calcule el módulo de su aceleración. A) 5 m/s2 B) 8 m/s2 D) 10 m/s2 E) 2 m/s2

C) 12 m/s2

Problema N° 56 Cuando un móvil recorre 100 m con MRUV su velocidad se duplica. ¿Qué distancia adicional debe recorrer el móvil para que su velocidad se vuelva a duplicar?

600m

A)200m D)300m

B) 48 m E) 50 m

D) 9

A) 100 m D) 400 m

B) 200 m E) 600 m

C) 300 m

Problema N° 57 Un auto parte del reposo con MRUV y recorre en el 5to segundo 27 m. Calcule el espacio que recorrió en el 3er segundo. A) 9 m D) 18

B) 10 E) 21

C) 15

E) 1,5

69

Problema N° 58 Calcular el tiempo de encuentro de dos móviles con velocidad inicial cero y aceleraciones constantes de 6m/s2 y 8m/ s2, separados una distancia de 28m. A) 1s

B) 2s

C) 3s

D) 4s

Un móvil con una rapidez de 207 m/s desacelera uniformemente a razón de 4 m/s 2 .¿Qué distancia recor rió en el penúltimo segundo antes de detenerse? B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Problema N° 60 Desde el mismo lugar parten simultáneamente; un coche y un corredor de fondo, el corredor mantiene una velocidad constante de 6 m/s y el coche parte desde el reposo y acelera en la misma dirección con 4 m/s2, ¿qué distancia separa a los móviles a los 8s de la partida? A) 80 m D) 176 m

B) 90 m E) 196 m

Física del escarabajo

A) 2 m/s B) 3 m/s C) 4 m/s D) 5 m/s E) 6 m/s

4

0

2

t(s)

Problema N° 63 Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto, a partir del reposo con aceleraciones de 4m/s 2 y 6m/s 2 . Ambos móviles se dirigen a un punto P que dista 1 km del punto de partida. ¿Al cabo de qué tiempo ambos móviles equidistan del punto P? A) 15 D) 25

B) 20 E) 30

C) 22

Problema N° 64

La parte delantera de un camión de 27 m de longitud ingresa a un túnel de 28 m de longitud con una rapidez de 6 m/s y la parte posterior ingresa con 12 m/s. Determinar con qué rapidez termina de salir completamente el tren del túnel. b) 14 e) 20

 x (m )

C) 128 m

Problema N° 61

a) 16 m/s d) 18



La figura muestra la gráfica ( x ) versus (t) del MRUV de una partícula. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva en el instante t=2s.

E) 5s

Problema N° 59

A) 4 m

Problema N° 62

Una granada activada demora 10s para explosionar. ¿Con que aceleración constante mínima tendrá que alejarse un motociclista que activa la granada para que no sea alcanzado por la onda expansiva? (vsonido=340m/s) A) 16m/s2 D) 20m/s2

B) 19m/s2 E) 18m/s2

C) 17m/s2

c) 15

70

Problema N° 65 Los móviles que se muestran parten del reposo con un MRUV. Calcular la distancia que los separa luego de 2 5 s a1=6m/s2 vo=0

Problema N° 67 Con una velocidad de 10 m/s el chofer de un auto observa el semáforo en rojo y reacciona en 0,2 s aplicando los frenos que provoca una desaceleración de 5 m/s 2 . ¿Qué distancia total (en m) recorre el auto hasta detenerse desde el momento en que el chofer observó el semáforo?

30m vo=0

A)20m D)50m

A) 10 D) 16

a2=2m/s2

B)30m E)60m

C)40m

Problema N° 66 Un niño perverso pasa con su bicicleta por la cola de un perro con una rapidez de 1 m/s y aceleración de 2 m/s2, si el perro que se encontraba echado decide correrlo 5 s después de ser agredido, tiempo en el cual estuvo llorando. ¿Con qué rapidez mínima constante debe correr el perro a fin de morder al atrevido? 2m/s2 v=?

A) (2 30 + 11) m/s C) 40 2 E)( 30 + 11)

Física del escarabajo

B) (2 30 - 11) 1) D) 11 1

B) 12 E) 20

C) 15

Problema N° 68 La grafica « x » versus «t», indica como varia la posición de un móvil que se desplaza en una trayectoria rectilínea. Determine el módulo de su velocidad en t=3s (Las curvas son arcos de circunferencia)  x (m )

A)2 m/s B)1/2 C)1/ 3 D) 3 / 2

0

2

4

t(s)

E)5/3

Problema N° 69 En el instante en que el auto empieza a acercarse al muro desde el reposo y con una aceleración constante de 10 m/s2 toca el claxon. Determine «D» si el conductor escucha el eco luego de 3 s de haber emitido el sonido. (vsonido=300m/s)

71

 2 a (m /s )

vo=0 D

A) 255m D) 525,5

B) 305 E) 600,5

C) 472,5

Problema N° 70 Un móvil parte del reposo con aceleración constante recorriendo 18 m en los 3 primeros segundos. Calcular la distancia que recorrerá el móvil en los 7 segundos siguientes. A) 182 m D) 96

B) 32 E) 152

C) 64

Problema N° 71 Un auto parte del reposo en «A» y se acerca aceleradamente con 6 m/s2 hacia un barranco distante 640 m tal y como se muestra en la figura. Si al llegar al punto «P» empieza a desacelerar a razón de 10 m/s2, llegando a detenerse justo en la orilla. Determinar la distancia PB. A) 480 m B) 320 C) 300 D) 240 E) 640

vo=0

A

B

P x

Problema N° 72 En la gráfica «a» versus «t» de un coche que se mueve en el eje «x». Calcular la velocidad para t = 4, si para t = 2 el coche se encontraba moviéndose en la dirección del eje negativo con una rapidez de 8 m/s. Física del escarabajo

A) 20 m/s B) -20 C) 4 D) 8 E) 24

8

0

t(s)

4

Problema N° 73 Dos móviles parten de un mismo punto en la misma dirección, describiendo las gráficas mostradas en la figura. Determinar el instante en que A alcanza a B.  v (m /s )

A) 10s B) 12s C) 15s D) 18s E) 20s

A B

12 10

5 6

0

t(s)

Problema N° 74 Un motociclista imprudente se mueve en una pista rectilínea con una rapidez excesiva de 90 km/h; al percatarse de esto un policía de tránsito sube a su motocicleta y en el instante que pasa frente a él parte en su persecución con una aceleración constante de 3 m/s2. Si la máxima rapidez que puede adquirir la moto la policía es 27 m/s. ¿Luego de cuántos segundos el policía alcanzará al infractor? A)20,5 s D)70,2 s

B)40,7 s E) 28,3 s

C)60,75 s

72

Problema N° 75 Un móvil con MRUV recorre 50 m en los dos primeros segundos, 75 m en los siguientes 2 segundos. ¿Cuántos metros recorrerá en los siguientes 4 segundos? A) 90 m D) 125

B) 100 E) 225

C) 115

 x (m )

Problema N° 76

Se muestra la gráfica « x » versus «t» de un automóvil que se desplaza en línea recta. Calcular la rapidez para t = 3 s.  x (m )

A) 12 m/s B) 24 C) 20 D) 14 E) 10

A) 1/16s B) 1/32s C) 1/64s D) 3/16s E) 3/64s

2 1

0

t(s)

Problema N° 79

40

4 1

0

Problema N° 78 Una particular realiza un movimiento rectilíneo, y su rapidez varia con la posición según la gráfica adjunta. Determine en que instante de tiempo su rapidez es 8m/s. (La curva es una parabóla)

4

t(s)

Problema N° 77

Una persona observa a través de los cristales de un bus, caer la lluvia formando un ángulo de 30º con la vertical y luego 40 s observa que la lluvia cae formando 60º con la vertical, si la lluvia cae realmente con una velocidad vertical de

Un móvil describe un movimiento en línea recta de modo que su aceleración sigue el comportamiento mostrado en la figura. Sabiendo que la velocidad inicial es  vo = -12,5i m / s . Encuentre el instante

20 3 m/s. Calcular la aceleración del bus.

de tiempo en que la velocidad del móvil es nulo.

Dos autos están separados 12m y acercándose con rapidez de 4 m/s y 8 m/s y empiezan a desacelerar con 2 m/s2 y «a» m/s2 respectivamente. Calcule «a» para que no ocurra el encuentro de los autos.





 a (m s 2 )

A) 2 s B) 3 s C) 4 s D) 5 s E) 6 s

45°

0

Física del escarabajo

A) 2 m/s2 D) 6

B) 3 E) 1

C) 4

Problema N° 80

t(s)

73

A)a>4 m/s2 C)a