Cifras Significativas e Incertidumbre en Las Mediciones

Cifras'significativas'e'incertidumbre'en'las'mediciones' ! ¿Qué%es%una%medición?%¿Puede!decirme!qué!hora!es,! exactamente?! ! Cuando! ! lo! haga,! ¿Cómo! se! sabe! qué! tan! exacta!es!la!hora?!¿Se!!podría!!ser!!más!!exacto!!con!!el!!tiempo!! que!!se!!está!dando?%¿Cómo!se!da!cuenta!que!la!hora!que!lee! es!la!correcta!y!no!otra?!Si!por!ejemplo!vemos!el!Sol,!podemos! decir! que! es! de! día,! pero! podemos! aproximarnos! más! diciendo! que! estamos! en! la! mañana! y! aún! la! aproximación! puede!ser!mayor!al!observar!el!reloj,!podríamos!dar!el!tiempo! con!horas,!minutos!y!hasta!segundos.! % Fig.1.!En!Londres!algunas!personas!utilizan!el! famoso!Big!Ben!para!saber!la!hora.! !! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! En!todos!los!casos!en!que!se!calcule!una!longitud,!se!pese!algún!material,!se!lea!un! reloj! o! una! temperatura,! estamos! haciendo! una! medición.! Esta! se! define! como! una! comparación!entre!el!objeto!por!medir!y!un!patrón!establecido.!Se!podríamos!decir!que!un! mecate!mide!30!manos;!pero,!como!las!manos!son!de!diferentes!tamaños,!esa!medida!no! serviría!como!patrón.!Por!lo!tanto,!se!debe!utilizar!un!patrón!universal,!tal!y!como!se!hace! en! el! Sistema! Internacional! de! Unidades! (SI).! Al! observar! los! instrumentos! de! las! figuras! siguientes,! se! pueden! ilustrar! los! conceptos! “medición”! y! “exactitud”.! ¿Cuál! de! los! tres! recipientes!se!puede!considerar!más!apto!para!medir!y!cuál!es!más!exacto?! !! !! !!

!(a)!!!!!!!!!

!(b)!!!!!!!

!(c)!

Figura!2.!a)!Disolución!de!Cr3+!acuoso!medida!en!un!vaso!de!precipitado,!b)!Disolución!de!Cr3+!acuoso!medida! en!una!probeta,!c)!disolución!de!Cu2+!acuoso!medida!en!una!pipeta!graduada.!(Fotos:!R.!Syedd,!2008;!cortesía!Universidad! Nacional,!Heredia,!Costa!Rica).!

!! ! !

En!la!figura!2!(a)!Aparece!un!vaso!de!precipitado!graduado!cada!20!mililitros!(mL)!y! la!lectura!del!volumen!podría!ser!50!mL,!58!mL!o,!cualquier!otra!lectura!que!el!observador! considere!apropiada,!de!acuerdo!con!la!aproximación!que!realice.!En!la!figura!2!(b),!tenemos! una!probeta!graduada!cada!1!mL!(cada!línea!representa!1!mL)!y!se!podría!leer!su!volumen! como!15!mL,!pero!otro!observador!podría!leer!14!mL!!e!incluso!14,8!mL,!etc.!!En!la!figura!2! (C)! se! aprecia! una! pipeta! graduada! cada! 0,1! mL! y! se! puede! observar! una! lectura! de! la! disolución!de!1,5!mL;!aunque,!mejorando!la!lectura,!se!podría!leer!el!volumen!entre!1,52! mL!ó!1,53!mL.!En!todos!los!casos!anteriores,!se!puede!notar!que!el!observador!al!tratar!de! mejorar! su! lectura! tiene! un! margen! de! inseguridad! o! incertidumbre! en! la! medición! que! realiza.!Lo!que!se!puede!deducir!a!partir!de!la!lectura!de!las!tres!figuras!es!que,!entre!menor! sea! la! unidad! de! medición,! más! nos! acercaremos! al! valor! real! que! buscamos! y! esto! se! conoce!como!exactitud.!Según!Brown!(2005)!en!Química,!La!Ciencia!Central,!la!exactitud!se! define!como!qué!tanto!las!mediciones!individuales!se!acercan!al!valor!correcto.! ! En! el! caso! de! las! tres! ilustraciones! anteriores! existe!un!margen!de!error!en!la!lectura!que!se!hace!del! volumen! medido! y! este! se! produce,! no! solo! por! la! calibración! del! instrumento! que! estamos! utilizando! (errores! de! equipo),! sino! también! por! ! fallas! ! del!! observador!(errores!humanos).!Esto!se!conoce!en!las! ciencias! ! experimentales! como! incertidumbre! y,! generalmente,!se!calcula!como!la!mitad!de!la!unidad! más!pequeña.!En!el!caso!de!la!bureta!de!la!figura!3,! podemos! observar! que! la! unidad! de! medida! es! el! mililitro!y!la!división!más!pequeña!es!0,1!mL.! ! Figura!3.!Medición!de!una!disolución!en!una!bureta.!Se! ! observa!la!altura!correcta!a!la!que!debe!colocarse!la! mirada!para!evitar!errores!de!apreciación.! Para!la!bureta!la!incertidumbre!se!calcula!de!la! ! siguiente!forma:! !! ! i = 0,1 mL = + 0,05 mL ! 2 ! Ecuación!1:!Al!resultado!de!la!división!se!le!adiciona!un!+!para!indicar!que!es!una! “incertidumbre”!Lo!!anterior!!muestra!!que!!cualquier!!medición!!debe!!indicarse!!con!!dos! decimales,!siempre!que!se!utilice!ese!instrumento!para!la!medición!de!volúmenes.!! !

De!acuerdo!con!la!apreciación!del!observador,!la!lectura!correcta!sería!6,25!+!0,05mL! por!las!siguientes!razones:! ! La!cantidad!6,25!se!obtiene!al!hacer!el!conteo!de!“líneas”!de!medición!como!la!línea!del! volumen!no!está!en!el!6,2!sino!cerca!de!este,!se!calcula!el!siguiente!decimal!aproximado!y! en!este!caso!se!considera!que!es!5,!por!eso!aparece!6,25.!Este!último!dígito!es!calculado!al! “ojo!%”!y!por!eso!se!conoce!como!número!inexacto.!!Para!otro!observador!el!último!número! podría!ser!4!ó!3.! ! La!!parte!!adicional!!a!!la!!medida,!!+!!0,05!!mL,!corresponde!!a!!la!incertidumbre!(representada! con!el!símbolo!+)!y!siempre!debe!aparecer.!La!incertidumbre!nos!da!un!rango!apropiado! dentro!del!cual!necesariamente!esta!el!valor!real.!Para!este!caso!el!intervalo!sería!desde! 6,20! hasta! 6,30! mL.! Es! decir,! desde! 6,25! –! 0,05! mL! hasta! 6,25! +! 0,05! mL.! Como! la! incertidumbre!tiene!2!decimales,!cualquier!medición!que!se!haga!con!ese!instrumento!debe! expresarse!con!dos!decimales.!Si!la!medida!se!leyera!en!6,3!según!el!criterio!del!observador,! debe!escribirse!6,30!+!0,05!mL,!adicionando!un!cero!para!hacer!que!ambos!tengan!el!mismo! número!de!decimales.! Para! el! vaso! de! precipitado! de! la! figura! 2(a),! la! incertidumbre! se! calcularía! de! la! siguiente!forma:! ! i = 20 mL = + 10 mL ! 2 ! Ecuación!2:!cálculo!de!la!incertidumbre!del!vaso!de!precipitado!de!la!figura!2!(a).! ! Así,!de!acuerdo!al!autor,!la!lectura!del!volumen!es!50!+!10!mL!y!el!rango!está!entre! 40!y!60!mL!!sin!decimales!porque!la!incertidumbre!no!los!incluye.! ! Un!hecho!importante!es!la!relación!que!existe!entre!la!incertidumbre!y!la!exactitud;! entre!más!pequeña!sea!la!incertidumbre!del!instrumento!más!exacto!será!el!dato!que!se! obtenga!en!la!medición.!!Esto!nos!permite!concluir!que,!entre!los!tres!instrumentos!vistos!! el!más!exacto!es!la!pipeta.!De!la!misma!manera!podríamos!obtener!la!incertidumbre!de!una! regla,! un! termómetro! o! un! reloj,! en! fin,! de! cualquier! objeto! que! utilicemos! para! medir,! incluso!una!cuchara!o!una!taza,!tal!y!como!aparece!en!las!recetas!en!donde!se!indica!“tome! media! cucharadita…”.! Las! unidades! básicas! del! sistema! internacional! de! unidades! (SI)! aparecen!en!el!cuadro!1.!! !! ! !

Cuadro'1.'Unidades'básicas'del'sistema'internacional'de'unidades'(SI)' ! Magnitud' Nombre' Símbolo' Longitud' metro! m' Volumen' metro!cúbico! m3' Masa' kilogramo! kg' Tiempo' segundo! s' corriente'eléctrica' amperio! A' temperatura'termodinámica' kelvin! K' cantidad'de'sustancia' mole! mol' intensidad'luminosa' candela' cd' ! En! el! manejo! correcto! de! las! unidades! de! medición! es! importante! destacar! la! presencia! de! cantidades! que! son! exactas! y! las! que! no,! para! la! correcta! aplicación! de! las! mismas.! ! Números'Exactos'e'Inexactos:!Cuando!queremos!hacer!una!medición!en!Ciencias,! se!!pueden!!utilizar!!dos!!tipos!de!números,!los!exactos!que!corresponden!a!cifras!como!!la! cantidad! de! monedas! en! un! bolsillo,! de! mesas! en! el! aula,! la! cantidad! de! piedras! en! un! recipiente!!!o!!!el!!!número!de!!alumnos.!También!!están!!las!!cantidades!!inexactas!!que! corresponden!a!las!que!no!se!pueden!saber!con!seguridad!como!el!peso!de!una!moneda!o! la! distancia! entre! Paso! Canoas! y! Heredia.! Es! en! estas! cantidades! donde! interviene! las! unidades!como!medidas!de!convención.!El!interés!científico!por!unificar!las!mediciones!ha! creado!una!serie!de!procedimientos!en!el!manejo!de!las!unidades!como!los!que!se!describen! a!continuación.! ! Cifras'significativas:!En!toda!medición!que!hagamos,!las!cifras!significativas!son!los! dígitos!que!se!conocen!con!certeza!más!un!dígito!que!es!incierto,!precisamente!derivado! del!posible!error!del!instrumento!y!del!observador.!La!medición!de!6,25!mL!calculada!en!la! figura!3!tiene!tres!cifras!significativas.!El!último!dígito!de!una!cantidad!es!un!aproximado! (tal!y!como!vimos!anteriormente).!Siempre!se!escribe!solamente!un!dígito!estimado!como! parte!de!una!medición!y!la!extensión!del!número!(cantidad!de!dígitos)!está!determinada! por!la!incertidumbre!del!instrumento!y!el!valor!de!la!medida!tomada.! ! Considerando! estos! aspectos,! se! pueden! establecer! varias! reglas! para! facilitar! la! comprensión!en!el!manejo!de!las!cifras!significativas,!estas!se!enuncian!seguidamente:! !! ! ! !

Regla'1:!Todos!los!dígitos!distintos!de!cero!son!significativos.! ! Así!por!ejemplo:! 1,365! cuatro!significativas! 23,7! tres!cifras!significativas! 12! dos!cifras!significativas! ! Regla'2:!Los!ceros!entre!dígitos!diferentes!de!cero!son!significativos.! ! Así!por!ejemplo:! 1,205! cuatro!cifras!significativas!! 10521! cinco!cifras!significativas!! 6,021! cuatro!cifras!significativas! ! Regla'3:!Los!ceros!que!aparezcan!a!la!izquierda!antes!de!un!dígito!distinto!de!cero!no!son! significativos.! ! Así!por!ejemplo:! 0,0025!dos!cifras!significativas!! 0,0001!una!cifra!significativa!! 0,0222!tres!cifras!significativas! ! Regla'4:!Después!de!la!coma!decimal,!los!ceros!que!aparezcan!son!significativos,!respetando! la!regla!!anterior! Así!por!ejemplo:! 64,0!tres!cifras!significativas!! 0,03200!cuatro!cifras!significativas! 0,1030!cuatro!cifras!significativas! ! Regla'5:!Los!ceros!al!final!de!cifras!sin!coma!decimal!pueden!considerarse!o!no!significativos,! dependiendo!del!instrumento!con!el!cual!se!hizo!la!medición.!El!número!5000!podría!tener! cuatro! cifras! significativas! si! los! tres! ceros! fueran! significativos.! Si! el! último! cero! no! es! significativo!tendría!solo!tres!cifras!significativas,!y!de!esa!forma!sucesivamente.!Se!tiene! certeza!únicamente!de!que!el!5!es!significativo.!Para!evitar!esa!ambigüedad!con!este!tipo! de!cifras!se!recurre!al!uso!de!la!notación!científica,!la!cual!nos!permite!definir!cantidades!de! cifras!significativas.! !! !

Ejemplos:! ! 1,32!!x!!105! tres!cifras!significativas! 2,00!!x!!105! tres!cifras!significativas! 5.412!x!10k14!cuatro!cifras!significativas!1!!x!!10k15!una!cifra!significativa! ! Reglas'de'Redondeo' ! En!la!mayoría!de!operaciones!en!que!se!utilizan!cifras!significativas!es!necesario!acortar!los! resultados! por! las! reglas! anteriores,! haciéndose! necesario! redondear! cantidades.! Para! realizar!este!proceso!existen!los!siguientes!criterios:! ! Si!el!dígito!que!se!va!a!redondear!está!seguido!por!un!número!menor!o!igual!que!4,!este! permanece!igual.! ! Cantidad!por!redondear! 7,5329!

Redondear!a! 3!cifras!significativas!

Resultado!final! 7,53!

0,834!

2!cifras!significativas!

0,83!

1760!

3!cifras!significativas!

1,76!x!103!

! Cuando! el! dígito! a! redondear! está! seguido! por! un! dígito! mayor! o! igual! que! 6,! este! se! aumenta!en!una!unidad.! ! Cantidad!por!redondear! 0,5764!

Redondear!a! 2!cifras!significativas!

Resultado!final! 0,58!

15,99!

3!cifras!significativas!

16,0!

67876!

3!cifras!significativas!

6,79!x!104!

! ! Si!se!va!a!redondear!un!dígito!que!va!seguido!por!un!5,!se!procede,!según!sea!par!o!impar,! de!la!siguiente!manera:! !

! ! !

Cantidad!por!redondear! 2,3654!

Redondear!a! 3!cifras!significativas!

Resultado!final! 2,36!

5,25!

2!cifras!significativas!

5,3!

1885!

3!cifras!significativas!

1,89!x!103!

Cantidad!por!redondear! 4,7752!

Redondear!a! 3!cifras!significativas!

Resultado!final! 4,78!

72,35!

3!cifras!significativas!

72,4!

67542!

2!cifras!significativas!

6,8!x!104!

! ! La' precisión! la! definiremos! como! la! concordancia! entre! varios! valores! de! una! misma! medición.! Esto! es,! cuando! medimos! el! mismo! objeto! y! con! el! mismo! instrumento,! si! las! medidas!son!semejantes,!podemos!asegurar!que!estas!son!precisas.! ! En!el!caso!de!la!exactitud,!ya!definida!en!el!texto,!no!necesariamente!debe!coincidir!con!la! precisión.! Esto! se! explica! con! el! ejemplo! que! se! describe! a! continuación.! Tres! famoso! futbolistas! hicieron! tres! lanzamientos! de! penales! para! determinar! cual! era! mejor! considerando!aspectos!de!precisión!y!exactitud,!los!resultados!de!los!tres!penales!de!cada! uno!se!ilustran!en!las!caricaturas!de!las!figuras!4,!5!y!6.! ! ! ! ! ! ! ! ! Figura!4.!Lanzamiento!de!tres!penales!de!Ronaldo!de!la!selección!de!Brasil.!Ronaldo!tuvo!una!exactitud!alta! porque!anotó!dos!de!los!tres!penales.!No!obstante,!su!precisión!no!fue!muy!alta!debido!a!que!cada!uno!de!! sus!tiros!fueron!algo!dispersos!entre!sí.!

! ! ! ! ! ! ! ! Figura!5.!Lanzamiento!de!tres!penales!de!Ronaldinho!de!la!selección!de!Brasil.!Ronaldinho!tuvo!una! exactitud!muy!baja!porque!no!anotó!ninguno!de!los!penales.!Su!precisión!también!fue!muy!baja! debido!a!que!cada!uno!de!sus!tiros!fueron!muy!dispersos!entre!sí.!

! !

! ! ! ! ! ! Figura!6.!Lanzamiento!de!tres!penales!de!Wanchope!de!la!!selección!!de!Costa!Rica.!Pablo!tuvo!una! excelente!exactitud!porque!anotó!todos!sus!penales.!Además!su!!precisión!también!fue!excelente! debido!a!que!todos!sus!tiros!estaban!muy!próximos!entre!sí.!

! Debido!a!que!ninguno!de!ellos!es!experto!en!mediciones!científicas!contratan!los! servicios!de!un!árbitro!sumamente!experimentado,!el!cual!se!muestra!en!la!figura!7.!Todos! los! jugadores! discutieron! entre! sí! diciendo! que! cada! uno! había! tenido! mejor! precisión! y! exactitud.!Como!el!árbitro!tardaba!mucho!en!dar!su!decisión,!Ronaldhino!se!enojó!mucho! y!le!gritó!a!Homero.!Como!éste!no!sabía!que!decir,!sacó!sus!libros!de!química!que!tenía!del! colegio! y! encontró! la! respuesta! (¡Wanchope! era! el! ganador!).! Homero! dio! su! veredicto:! Wanchope!!!!ganó!!!!y;!!!!Ronaldo!!!!y!!!!Ronaldinho!!!fueron!expulsados!por!tratar!de!confundir! al!árbitro.! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! Figura!7.!Homero!Simpson,!árbitro!oficial!de!la!competencia!de!precisión!y!exactitud.! !! !