Ciclo de Carnot

Ciclo de Carnot Introducción

El teorema de Carnot establece que el rendimiento de una máquina térmica es siempre menor o igual que el de una máquina térmica reversible que opere entre las mismas temperaturas. Como corolario, el rendimiento de todas las máquinas térmicas reversibles que operen entre las mismas temperaturas es el mismo, independientemente del sistema físico que corresponda a la máquina. Puede ser un gas ideal sometido a compresiones o expansiones, puede ser un material paramagnético sometido a campos campos magnéti magnéticos cos variabl variables, es, puede puede ser un sistem sistema a bifási bifásico co formado formado por agua agua y vapor vapor de agua. El resultado es siempre el mismo. Este resultado, ya de por sí bastante contundente, nos permite además calcular el rendimiento máximo que puede tener una máquina térmica. Nos basta con disear una máquina térmica reversible y !allar su rendimiento. El de todas las l as demás reversibles será el mismo, y el de las irreversibles será menor. Existe Existen n varias varias posibi posibilid lidade ades" s" el ciclo ciclo de Carnot Carnot,, el ciclo ciclo #tirlin #tirling g o el ciclo ciclo Ericcs Ericcson, on, por e$empl e$emplo. o. %quí  %quí  describiremos el ciclo de Carnot, que es el más importante de ellos.

Ciclo de Carnot Como Como un proce proceso so cíclic cíclico o rever reversib sible le que utili& utili&a a un gas perfec perfecto to.. Este Este consta consta de dos transf transform ormaci acione ones s isotérmicas y dos adiabáticas, tal como se muestra en la 'gura.

(a representaci)n grá'ca del ciclo de Carnot en un diagrama p*+ es el siguiente

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Tramo A-B isoterma a la temperatura T 1 Tramo B-C adiabática Tramo C-D isoterma a la temperatura T 2 Tramo D-A adiabática

En cualquier ciclo, tenemos que obtener a partir de los datos iniciales" •

(a presi)n, volumen de cada uno de los vértices.

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El traba$o, el calor y la variaci)n de energía interna en cada una de los procesos.

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El traba$o total, el calor absorbido, el calor cedido, y el rendimiento del ciclo.

Procesos Para conseguir la máxima e'ciencia la máquina térmica que estamos diseando debe tomar calor de un foco caliente, cuya temperatura es como máximo T c y verter el calor de desec!o en el foco frío, situado como mínimo a una temperatura T f 

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Para que el ciclo sea )ptimo, todo el calor absorbido debería tomarse a la temperatura máxima, y todo el calor de desec!o, cederse a la temperatura mínima. Por ello, el ciclo que estamos buscando debe incluir dos procesos isotermos, uno de absorci)n de calor a T c y uno de cesi)n a T f. 

Para que el ciclo sea )ptimo, todo el calor absorbido debería tomarse a la temperatura máxima, y todo el calor de desec!o, cederse a la temperatura mínima. Por ello, el ciclo que estamos buscando debe incluir dos procesos isotermos, uno de absorci)n de calor a T c y uno de cesi)n a T f. 

Para conectar esas dos isotermas esto es, para calentar el sistema antes de la absorci)n y enfriarlo antes de la cesi)n-, debemos incluir procesos que no supongan un intercambio de calor con el exterior ya que todo el intercambio se produce en los procesos isotermos-. (a forma más sencilla de conseguir esto es mediante dos procesos adiabáticos reversibles no es la nica forma, el motor de #tirling utili&a otro método, la recirculaci)n-. Por tanto, nuestra máquina térmica debe constar de cuatro pasos"

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C/0 %bsorci)n de calor Qc en un proceso isotermo a temperatura T c.

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0/% Enfriamiento adiabático !asta la temperatura del foco frío, T f .

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%/1 Cesi)n de calor 2 Qf  2 al foco frío a temperatura T f. 

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1/C Calentamiento adiabático desde la temperatura del foco frío, T f  a la temperatura del foco caliente T c.

Gases ideales Como e$emplo de Ciclo de Carnot consideraremos el caso de una máquina térmica compuesta por un gas ideal situado en el interior de un cilindro con un pist)n. Para que el ciclo sea reversible debemos suponer que no existe fricci)n en el sistema y todos los procesos son cuasiestáticos. Para un sistema de este tipo los cuatro pasos son los siguientes"

Expansión isoterma C→D El gas se pone en contacto con el foco caliente a T c y se expande lentamente.

#e extrae traba$o del sistema, lo que enfriamiento a una temperatura a T c, que es compensado por la entrada bao térmico.

provocaría un ligeramente inferior de calor Qc desde el

Puesto que la diferencia de bao y el gas es siempre diferencial, reversible. 0e esta manera la permanece constante. En el diagrama este paso están sobre una !ipérbola gases ideales

temperaturas entre el este proceso es temperatura p+, los puntos de dada por la ley de los

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+ariaci)n de energía interna

 8raba$o 9C*506

nR T 1 ln

(

v D v C 

34 C*5067

)

Calor :C*5069C*50

Expansión adiabática D→A El gas se aísla térmicamente del exterior y se contina expandiendo. #e está reali&ando un traba$o adicional, que ya no es compensado por la entrada de calor del exterior. El resultado es un enfriamiento segn una curva dada por la ley de Poisson

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Calor :0*5%67 +ariaci)n de energía interna 34 0*5%6  8raba$o 90*5%6 *340*5%

( −T  )

n c v T 1

2

Compresión isoterma A→B

4na ve& que !a alcan&ado la temperatura del foco frío, el gas vuelve a ponerse en contacto con el exterior que a!ora es un bao a temperatura T f -. %l comprimirlo el gas tiende a calentarse ligeramente por encima de la temperatura ambiente, pero la permeabilidad de las paredes permite evacuar calor al exterior, de forma que la

temperatura permanece constante. Esta paso es de nuevo una !ipérbola segn la lay de los gases ideales.

+ariaci)n de energía interna 34 %*5167

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 8raba$o 9%*516

nR T 2 ln

(

 v B v A

)

Calor :%*5169%*51

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Compresión adiabática B→C El gas se vuelve a aislar térmicamente y se sigue comprimiendo. (a temperatura sube como consecuencia del traba$o reali&ado sobre el gas, que se emplea en aumentar su energía interna. (os puntos de este camino están unidos por una curva dada por la ley de Poisson

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Calor :1*5C67 +ariaci)n de energía interna 34 1*5C6  8raba$o 91*5C6 *341*5C

( −T  )

n c v T 1

2

Representación en un diagrama T! El ciclo de Carnot adopta una representaci)n especialmente sencilla si en lugar de un diagrama p+ se representa en uno 8# que tiene por e$e de abscisas la entropía del sistema y por e$e de ordenadas la temperatura de éste.

En un diagrama 8#, los procesos simplemente rectas !ori&ontales. (os que, por ser reversibles, son a entropía verticales. Esto quiere decir que a un corresponde simplemente un independientemente de que el ciclo sea sobre un gas ideal o sobre cualquier

| W  |

isotermos son procesos adiabáticos constante, son rectas ciclo de Carnot le rectángulo, producido actuando otro sistema.

.

#i en ve& de una máquina de Carnot tenemos un refrigerador de Carnot, la 'gura es exactamente la misma, solo que se recorren en sentido opuesto. "#TA$ "# C#"%&"DIR 'A! 'ETRA! DE E!TA I(AGE" C#" 'A! DE 'A! A"TERI#RE!

Rendimiento de un ciclo de Carnot

Para un gas ideal Puesto que son idénticos todos los rendimientos de máquinas que operen segn el ciclo de Carnot, podemos emplear la que nos resulte más simple para calcular este rendimiento. (a elecci)n natural es emplear el ciclo de un gas ideal descrito anteriormente. El rendimiento de una máquina térmica es

En el caso del gas ideal, el calor Qc es el absorbido en una expansi)n isoterma, en la cual no varía la energía interna

El calor Qf  es el cedido en una compresi)n isoterma, en la que tampoco varía la energía interna

Este calor es negativo, ya que sale del sistema. En valor absoluto es

Por tanto, el rendimiento es igual a

Este no puede ser el resultado 'nal pues depende de algo especí'co del ciclo de gas, como son los volmenes en los distintos estados. #i todos rendimientos de máquinas reversibles que actan entre las mismas temperaturas son iguales debe quedarnos una funci)n que dependa exclusivamente de T c y T f.  Conseguimos esto observando que el paso de T f  a T c es una compresi)n adiabática, en la que la temperatura aumenta al reducirse el volumen, segn la ley de Poisson

%nálogamente, para el enfriamiento adiabático la temperatura disminuye al aumentar el volumen

0ividiendo la segunda ecuaci)n por la primera queda

Esto implica que los logaritmos que aparecen en el numerador y el denominador del rendimiento son iguales y éste se simpli'ca a

(o que vale para el ciclo de Carnot vale para todas las máquina térmicas reversible que operan entre solo dos focos térmicos. El rendimiento, para todas ellas, es igual a

Re)rigerador de Carnot %l ser un ciclo reversible, podemos invertir cada uno de convertir la máquina de Carnot en un refrigerador. Este una cierta cantidad de calor 2 Qf  2 del foco frío, una cierta cantidad de traba$o 2 W  2, arro$ando una Qc 2 en el foco caliente.

los procesos y refrigerador extrae requiriendo para ello cantidad de calor 2

El coe'ciente de desempeo de un refrigerador de Carnot es

reversible como el

 ;a que, como en la máquina de Carnot, la cantidad de calor intercambiada con cada foco es proporcional a la temperatura de dic!o foco. Para un refrigerador que traba$e entre una temperatura de >=C, este coe'ciente de desempeo vale

Este valor es el máximo que puede alcan&ar un refrigerador real, aunque los valores prácticos del C?P están muy por deba$o de esta cantidad. #i el refrigerador de Carnot se considera como una bomba de calor, su coe'ciente de desempeo es

:ue para los mismos valores de las temperaturas de los focos nos da

 8ambién muy por encima de los valores reales de las bombas de calor.

E*emplo 4n dispositivo cilindro embolo contiene agua que se utili&a para llevar a cabo el ciclo de un motor de Carnot, desde un estado inicial de >@7 C y una calidad de >7 por A77. El Buido se expande de forma isoterma !asta que la presi)n alcan&a 7 bar. % este proceso le sigue 4na compresi)n isoentropica !asta A F y 8 sum6