Chissa Chi Lo Sa

C hissà ch i lo sa I Quiz dell'esame di Geometria

Jorge Raul Cordovez

CLVT

Indice 1

Scaldarsi le m ani (simulazione)

5

2

Prova Scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

15

3

Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

25

4

Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

35

5 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

45

Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

55

7 Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

65

6

8

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

75

9

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

85

10 Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore

95

11 Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

99

12 Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore

107

3

1 Scaldarsi le mani (simulazione) P r im a P a r t e (Q u i z ) Q l. Nello spazio siano dati il piano a : x + y — z = l e la retta ( x =t r : < y = 2t [ z = 3t. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

r C a. Esiste un piano (3 contenente r e parallelo a a. r interseca a. r ed a sono perpendicolari.

Q 2 . Nello spazio sia data la quadrica «2 di equazione x 2 + 2y2 + 4z = 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

cS è u n cilindro. J è u n cono. £1 ha punti in comune con il piano di equazione z = 1 . «2 è un paraboloide.

Q 3 . Si consideri l'applicazione lineare / : R 3 —>R 3 definita da f ( x , y ,z) = ( y - z , z - x , x - y). 5

6

1 -

Scaldarsi le mani (simulazione)

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

/ è iniettiva. L'immagine Im (/) ha dimensione 2 . / è suriettiva. Il nucleo ker(/) ha dimensione 2.

Q4. Nello spazio sia data la curva ^ di equazione

P(t) =

(e* + l,0,2f)

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

^ non è regolare; La retta tangente a fé7nel punto (2 ,0,0) è parallela a T+ 2k. ^ ha vettore tangente nullo in almeno un punto. fé7non è piana.

Q5. Siano dati i vettori applicati u = i —j + 3/c,

v = j —2fc,

= 3?—6 J—3/c.

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

il, iT, w sono complanari. w è parallelo a v. u e w formano un angolo acuto. w è parallelo ad u x v (x indica il prodotto vettoriale).

Q 6 . Sia data la funzione di due variabili reali f( x ,y ) = x 3 + y3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) V /( l, 1) = (3,3). (b) / non è derivabile nell'origine. (d) Il punto (1,1,1) appartiene al grafico di / . Q7. Nello spazio sia data la sfera S* di equazione £ 2 + y 2 + z 2 + 4x + 2y + 2z = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Il centro di 5? è (2 , 1 , 1 ).

1 -

Scaldarsi le mani (simulazione)

7

(b) Il centro di 5? ha distanza 1 dal punto (0,0, —2 ). (C) S? è tangente al piano z — 0 . (d) (0 , 0 , - 2 ) 0 = l è assurdo. (d) E' falsa perché (1,2,3) non è proporzionale con ( 1 , 1 , —1 ) Q 2 . (a) E' falsa, in quanto l'equazione di £ non ha nessuna variabile libera. (b) E' falsa, in quanto l'equazione di «=2non è omogenea. (c) E' falsa. L'intersezione di £ col piano z = 1 non ha punti reali. (d) E' corretta. Infatti tagliando =2 ad esempio con i piani x = k, si ottengono delle parabole. (Più precisamente è un paraboloide ellittico.) Q3. La matrice associata all'applicazione lineare / è :

che ha rango 2 . Per il teorema della dimensione si ha dimKer (/) = dim R 3 rk(Mf). (a) (b) (c) (d)

E' falsa, infatti dimKer (/) ^ 0. E' corretta, infatti d im lm (/) = rk(M /) = 2 . E' falsa in quanto d im lm (/) ^ 3. E' falsa, infatti dimKer (/) = 1.

Q4. Il punto (2,0,0) si ottiene con t = 0. Inoltre P '(t) =

(a) E' falsa. Chiaramente la curva fé7 è regolare, infatti non solo ^ è una funzione iniettiva, di classe C°° ma / 0 , per ogni t.

1 -

Scaldarsi le mani (simulazione)

9

(b) E' corretta, infatti P '(0) = (c) E' falsa, infatti P'(t) non si annulla per nessun valore t. (d) E' falsa, infatti giace nel piano y = 0. Q5. (a) E' falsa. Si ricordi che il prodotto misto fra tre vettori non è nullo se solo se essi non sono complanari. Si ha

(b) E' falsa perché i vettori (0,1, - 2 ) e (3, —6 , -3 ) non sono proporzionali. (c) E' falsa perché il prodotto scalare < (1, - 1 ,3), (3, - 6 , -3 ) > è zero e i vettori sono perpendicolari. (d) E' corretta. Infatti

che risulta essere proporzionale a w. Q 6 . (a) E' corretta. Infatti,

(b) E' falsa perché esistono tutte le derivate parziali di / in (0,0). (c) E' falsa in quanto d2f d2f w

=6y-

(d) E' falsa perché 1 + 1 ^ 1 . Q7. L'equazione della sfera 5? la possiamo rappresentare nella forma: (x + 2)2 + (y + l )2 + (z + l )2 = 6 (a) E' falsa. Infatti il centro è C (—2 , —1 , - 1 ) (b) E' falsa perché d(C, (0,0, - 2 )) = \ /4 + 1 + 1 = V6. (c) E' falsa perché d(C, w) = 1 ^ \/6, dove V6 è il raggio di y .

10

1 -

Scaldarsi le mani (simulazione)

(d) E' corretta. Basta sostituire le coordinate nell'equazione di y . Q 8 . Si ha B A = (a) (b) (c) (d)

1 V (1

-2

E' falsa. Infatti rk(A) = 1 . E' falsa perché rk(^l) ^ 3. E' corretta. Lo si vede direttamente del prodotto. E' falsa. Siccome B A è singolare allora ammette lo zero come autovalore.

Q9. Si consideri la matrice A delle componenti dei vettori. Si fanno alcune trasforma­ zioni elementari A=

/3 -1 3 0 \0

(a) (b) (c) (d)

-2

2 0\ /3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\ 1 - 1 - 0 1 -1 -1 ~ 0 1 - 1 - 1 2 2/ \0 -2 2 2/ \0 0 0 0/

E' falsa. Infatti i vettori riga sono dipendenti. E' corretta. Infatti rk(A) = 2. E' falsa perché a - b + 5c = (0, —11,11,11) = —11(0,1, - 1 , -1 ). E' falsa perché (a, 6 , c) sono dipendenti.

Q10. Si usa il teorema di Rouchè-Capelli. (a) E' corretta. Il sistema se è compatibile ha soluzione unica, oppure ha infinite soluzioni. (b) E' falsa. L'invertibilità di A implica soluzione unica per il sistema. (c) E' falsa. Se la soluzione non è unica, allora il sistema ha infinite soluzioni. (d) E' falsa perché il sistema non è omogeneo. Q ll. Si ricorda la formula di Grassmann: dim(V + W ) = dim(F) + dim(W^) - dim{V n W ) (a) (b) (c) (d)

E' corretta. Basta considerare W = V. E' falsa. Si supponga dim W = 2 e si avrebbe che dim(Vr D W ) > 1. E' falsa perché V D W contiene almeno il vettore nullo. E' falsa. Basta considerare W = {(0,0,0)}.

Q 1 2 . (a) E' falsa in quanto 3 non è radice del polinomio caratteristico.

1 -

Scaldarsi le mani (simulazione)

11

(b) E' falsa. Usando la Formula di Binet, si ha che det(PA) = det P • det A = 1 . Ma siccome A è una matrice singolare, det A = 0 . (c) E' corretta. Infatti il polinomio caratteristico di A ha tre radici reali distinte. (d) E' falsa perché ammette lo zero come autovalore.

12

1 - Scaldarsi le mani (simulazione)

S e c o n d a P a r t e (E s e r c i z i ) Esercizio 1. Sia data l'applicazione lineare / : R 3 -> R 3 definita da f (-0 t (d) coincide con il prodotto scalare tra il vettore v e il vettore V( 0,o)/-

15

16

2

-

Prova Scritta del27Giugno2011-2 ore

Q3. Siano V e W due sottospazi di R4, e sia V di dimensione 3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Esiste un sottospazio W C R4 tale che dim (y + W) = 4; Se dim(W0 = 3, allora dim(W n V). < 1; Se dìm{W) = 1 allora dim(W n V) = 0 ; Per ogni sottospazio W C R4 l'insieme V D W contiene infiniti vettori.

Q4. Nello spazio sia data la curva ^ di equazione 7 (t) = (t + 1,27r + t,t2 - 3).

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Il punto (0 ,7r, —2 ) appartiene a fé7; La retta tangente a ^ nel punto (2,27r + 1 , - 2) è parallela a Ì+ 2k; ^ non è regolare; ^ è contenuta in un piano parallelo all'asse delle 2 .

Q5. Sia V lo spazio vettoriale dei vettori applicati in O; si considerino in V i vettori: u = 3z + f —4k,

v = 4i + 5k,

w = z-\- 2 f —3k.

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

u, v, w sono complanari; u, v, w formano una base di V ; u e w formano un angolo ottuso; u è ortogonale a v + w.

Q 6 . Sia data la funzione di due variabili reali f(x,y) =

^ — . Sia D il dominio di y/x2+y2- 1

/• Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) D è u n insieme aperto illimitato; (b) D è un insieme aperto limitato; (c) D è un insieme chiuso e limitato; (d) D è un insieme chiuso. Q7. Nello spazio sia data la superficie sferica S? di equazione £ 2 + y2 + z 2 + 4x + 2y + 2z = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

2 (a) (b) (c) (d)

-

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Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore

Il centro di S? è (2,1,1) Il centro di 5? ha distanza 1 dal punto (0,0, —2 ) La distanza di 0 = (0,0,0) dal centro di S? è uguale al raggio di 5? (-2 , —1, —1) G ^

Q 8 . Sia data la matrice

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Il rango di A è 1; Lo spazio delle righe di A ha dimensione 2 ; La matrice A è invertibile; det(A) = dei(A ~1).

Q9. Si consideri la matrice:

(a) Il sistema lineare A X = 0 non ha soluzioni; (b) Esistono matrici B tali che il sistema lineare A X = B abbia una sola soluzione; (c) La prima, la seconda e la terza riga sono linearmente indipendenti; (d) Due colonne distinte qualsiasi di A formano una base dello spazio delle colon­ ne. Q 10 . Sono date le matrici A e Rm n (dove m ^ n) e B e Rm l; si supponga che il sistema A X = B abbia una soluzione unica Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

La matrice A è invertibile; Il rango di A è m: Deve essere m -0

~t

l'alternativa è tuttavia corretta, perché il limite proposto è 0 in accordo con la risposta d). (d) E' corretta. Infatti la derivata direzionale di f in O, lungo la direzione del vettore v è , per definizione, il prodotto scalare

K( li(0,0)’i£(0,0)) ’(v^/2,^ /2) > che in questo caso risulta essere zero.

2

-

Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore

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Commento: questo quiz aveva due risposte esatte. Q3 Si applica la formula di Grassmann dim(V + W) = dim V + dim W - dim(V fi W) (a) (b) (c) (d)

E' corretta. Basta prendere W un sottospazio complementare a V. E' falsa perchè dim W = 3 => dim (y fi W ) > 1. E' falsa. Basta considerare W sottospazio di V. E' falsa perché ad esempio se W = {0 ^ 4 } l'intersezione sarebbe soltanto il vettore nullo.

Q4 (a) E' falsa, perché sostituendo il punto in 7 , delle due prime relazioni si otterrebbe t = —1 = —7r e questo è una contraddizione.

(c) E' falsa. Infatti La curva fé7è regolare, infatti 7 non solo è una funzione iniettiva, di classe C°° ma 7 f(t) ^ 0 , per ogni t. (d) E' corretta poiché la curva & é contenuta nel piano x — y — l + 27r = 0 parallelo all'asse z. Q5 Si osserva che

(a) (b) (c) (d)

Q 6 (a) (b) (c) (d)

E' falsa. Il prodotto misto dei vettori è diverso di zero. E' corretta. Infatti l'insieme dei vettori {u, v,w} è linearmente indipendente. E' falsa perché cos 0 > 0, dove cos 0 è l'angolo compresso fra u e w. E' falsa perché il prodotto scalare < u, v + w > zero.

E' corretta, perché l'insieme e' l'esterno della circonferenza, cioè x 2 + y 2 > 1. E' falsa. L'insieme è illimitato. E' falsa per quanto detto in (a). E' falsa perché 1 l'esterno della circonferenza non è un insieme chiuso.

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2

-

Prova Scritta del27Giugno2011-2 ore

Q7 L'equazione della sfera y la possiamo rappresentare nella forma: (a; + 2)2 + (y + l )2 + (z + l ) 2 = 6 dove il suo centro è C ( - 2, —1 , —1 ) e il suo raggio è R = \ / 6 (a) E' falsa. Infatti il centro è C ( - 2 , - 1 , - 1 ) (b) E' falsa perché d(C, (0,0, —2 )) = y/6. (c) E' corretta perché d(0, C) = V&. (d) E' falsa. Basta sostituire le coordinate del punto nell'equazione di y . Q 8 (a) (b) (c) (d)

E' corretta corretta. Infatti tutte le righe sono proporzionali alla riga (3,4,5). E' falsa in quanto due righe sono sempre dipendenti. E' falsa perché det(A) = 0. E' falsa perché A non è invertibile.

Q9 (a) E' falsa perché tutti i sistemi omogenei hanno almeno la soluzione nulla. (b) E' falsa perché rk(A) = 2 . Per il teorema di Rouchè - Capelli, il sistema è incompatibile oppure ha infinite soluzioni. (c) E' falsa. Basta osservare che (1,1,5) = (1, 2 ,3) + (0, —1 , 2 ). (d) E' corretta. Infatti prendendo due colonne distinte qualsiasi sono linearmente indipen­ denti, inoltre tutti e tre sono dipendenti. Q 10 Si usa i teorema di Rouchè - Capelli. (a) (b) (c) (d)

E' falsa perchè m ^ n . E' falsa perché rk(A) = m = n. E' falsa perché m > n . E' corretta. Infatti rk(A) = rk(A\B) = n - numero di incognite.

Q l l Si usa il teorema della dimensione, dim Ker / = R 3 —dim I m f . (a) E' falsa in quanto dim Ker / ^ 0. / 1\ (b) E' corretta. Infatti Im (/) = (c) E' falsa perché d im lm / = 2. (d) E' falsa perché dim Ker / = 1.

1

2

w

/ 0\ o ì V2 /

2

-

Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore

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Q12 (a) è falsa in quanto ogni matrice simmetrica reale è diagonalizzabile. (b) E' falsa. Siccome A è non singolare, allora P = A ~ x e tale che det(PA) = 1 (c) E' corretta. Infatti perché A è diagonalizzabile, dal polinomio caratteristico si deduce che ammette due autospazzi ciascuno di dimensione 2. (d) E' falsa perché A non ammette lo zero come un suo autovalore.

S e c o n d a P a r t e (E s e r c iz i ) Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo / : K3 -> E 3 definita da /x \

(x + y

(i) Determinare la matrice A e R 3,3 di / rispetto alla base canonica di R3; (ii) Provare che / è semplice; (iii) Dire se esistono valori di k e R per cui (k,k,k) sia autovettore di /; (iv) Determinare D ,P e R3,3, con D diagonale e P. ortogonale, tali che P ~ lA P = D (v) (*) (facoltativo) Provare che A 3 è diagonalizzabile e trovare ima matrice diagonale simile ad A 3. Svolgimento dell'esercizio 1. (i) la matrice A richiesta è: A = (ii) La matrice associata ad / è simmetrica e quindi / è semplice; (iii) Si ha: /k \ (1 1 0\ A [k = 1 1 0 \k j VO 0 1; f k\1 sia autovettore di / . Non esistono quindi k ^ 0 tali che 10 iv) Gli autovalori di A sono 0 , 2 , 1 . Una base di R 3 formata da autospazi di A è data dalle colonne della matrice

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2

-

Prova Scritta del27Giugno2011-2 ore

La matrice P ottenuta da Q normalizzando le colonne è la soluzione cercata: P ■=

A / 2 / 2 —v/2 / 2 0 \ s/2/2 V2/2 0 V 0 0 1)

(v) Una potenza di una matrice simmetrica è simmetrica. Quindi A 3 è simmetrica e pertanto diagonalizzabile. Inoltre se v è autovettore di A relativo ad un autovalore A € 0,2,1 si ha ì43v = A 2(A v ) = j42 (Av) = Aì42 (v) = A^4(Av) = A^4(Av) = A2 j4v - A3v Pertanto la matrice diagonale: / 0 0 0\ 0 1 0

\0 0 8/ è simile ad A 3.

Esercizio 2 . Sia data la funzione f(x,y) = 4x 2 - x y -

y

(i) Sia A=( 2 ,l). Dire se l'applicazione cU (/) : M2 R (il differenziale di / in A) è suriettiva. (ii) Trovare i punti (x,y) e R 2 che appartengono al nucleo di gU(/) e rappresentarli sul piano (0 ,x ,y ). (iii) Determinare gli eventuali punti di stazionarietà di / e precisarne la natura. (iv) (*) (facoltativo) Si consideri ora la funzione g{x,y) = log(/(x,y)). Senza eseguire ulteriori calcoli, ma sfruttando quanto fatto in precedenza, dire se g(x,y) ha punti di stazionarietà, e, in caso affermativo, precisarne la natura. Svolgimento deiresercizio 2 . (i) Si ha

d t f = ( % • % ) A ~ ( 8* - ”•

+

=

(

i

Siccome la matrice (15, - 1) ha rango 1, cU / è suriettiva. (ii) I vettori del nucleo sono

Hi)

5

,

- 11

2

-

Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore

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Si può rappresentare come una retta passante per l'origine parallela al vettore

(iii) I punti stazionari sono i punti (zo>2/o) soluzioni del sistema: ( 8x — y = 0 l - * V

= 0

sostituendo y = 8x della prim a equazione nella seconda, si ottiene: 64x3 - 1 = 0 sotto la condizione x ^ 0 . Si ottiene come unica soluzione reale x = 1/4, da cui y = 2. Allora (1/4,2) è l'unico punto stazionario. La matrice Hessiana nel punto

e pertanto il punto stazionario è di sella. (iv) L'immagine del punto stazionario è: /(l/4 ,2 ) = 1/4 - 1/2 - 1/2 = -3 /4 . Siccome il log è una funzione monotona crescente, i massimi e minimi di log (f(x,y)) coincidono coi massimi e minimi di f(x,y) purché questi stiano nel dominio. Sic­ come log(—3/4) = log(/(l/4,2)) non è definito, segue che la funzione proposta non ha neppure punti stazionari. Esercizio 3. E' dato il sistema r x + 3y = 0 < 3x —Sy — 2z = 0 [ 4 x + hz = 0 (i) Discutere le soluzioni del sistema al variare di h e R. (ii) Posto h = —2 , trovare una base dello spazio delle soluzioni. (iii) Si considerino i piani a : x + 3y =0 fi : 3x — 3y —2z = 0 7 : 4x + hz =0 Senza fare ulteriori calcoli (ma sfruttando i risultati ottenuti in precedenza), discutere, al variare di h e R, le posizione relative dei tre piani e trovarne gli eventuali punti comuni. Svolgimento deiresercizio 3.

2

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-

Prova Scritta del27Giugno 2011-2 ore

(i) Il sistema proposto può scriversi nella forma A hX = 0 dove A h :=

( 1 3 3 -3 \4 0

0 \ -2

h i

Il sistema omogeneo ha soluzione nulla unica se e solo se det(Ah) ^ 0, ossia se e solo se h ^ —2. Per h = —2 il sistema ammette un sottospazio undimensionale di soluzioni. (ii) Una base dello spazio di soluzioni si ottiene, per esempio, risolvendo il sistema ( x + Sy = 0 ì 4x — 2z = 0 da cui x = —3y e z = 2x = —6y. Allora: ' —3 ker(A_2) = ,-6

iii) Per h ^ —2 i tre piani si intersecano in un solo punto (l'origine). Per h = —2 i tre piani hanno in comune l'asse z, ossia appartengono al fascio di piani di asse l'asse

3 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore P r im a P a r t e (Q u i z ) Q l. Nello spazio siano dati i punti A = (0 , 1 ,0), B = ( 1 , 2 , 1 ), C = (0, 2 , - 1 ). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) I punti A, B, C sono allineati. (b) L'area del triangolo di vertici A , B , C è >/6 / 2 . (c) Il piano di equazione x + y — 2z = 0 contiene A, B, C. (d) Non esistono piani contenenti A, B , C.

Q 2 . Nel piano sia data la conica fé7di equazione 2x2 + xy + y2 = 1 . Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

^ è degenere. ^ è un'iperbole. L'asse delle ascisse è tangente a ^ è un'ellisse.

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3 -

Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore

Q3. Nello spazio si considerino la sfera y ed il piano n rispettivamente d'equazione x 2 + y2 + z 2 — 4a? = 0,

2x + 2y + z + 2 = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Il raggio di y è 3. 7r è tangente a y. La distanza di n dal punto (2 ,0,0) è 3. y n 7r è una circonferenza di raggio 3.

Q4. Nello spazio siano dati i tre piani a, fi e 7, rispettivamente d'equazione a : x + y —z = 1,

fi : 2x — y + z = 2,

j : x — 2y + 2z = l.

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

a n fi fi 7 consiste in un unico punto. Esiste una retta r perpendicolare sia a a che a 7. 7 appartiene al fascio avente asse la retta a n fi. La retta passante per i punto (0,0,0) e ( 1 , —1,2) è contenuta in 7.

Q5. Sia A e R 3,6 avente rango 3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) L'applicazione lineare \x : R 6 -» R 3 definita da ¡jl( X ) = A X è tale che dim(ker(/z)) dim(Im(/i)) (qui gli elementi di Rn sono pensati come colonne). (b) Esiste B e R 3,3 con det(£) ^ 0 tale che B A sia la matrice nulla. (c) Sia lA la trasposta di A. Allora la matrice prodotto lA • A è invertibile. (d) Esiste B E R 3,1 tale che il sistema A X = B sia incompatibile. Q 6 . Sia data la funzione di due variabili reali /(x , y) = (2 - x 9)(2 - y9). Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) Esiste (a,b) e K2 tale che ¿ ^ ( o , b) £ ^ ¿ ( a , b). (b) Esistono a, b e R tali che Im (/) C [a, b\. (d) Il punto (0,0) è stazionario per / .

3 -

Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

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Q7. Sia data la matrice simmetrica -1

A= ( 0 1

0 -1 0

1 0 0

»3,3

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Il polinomio caratteristico di A è - 2 t3 + 7t2 — t + 2 . A non è definita. Esiste X e R 3,1 non nullo tale che A X = X . A è definita positiva.

Q 8 . Sia data l'applicazione lineare / : R 3 —» R 3 definita da f ( x , 2/, z) = (x - y + 2z, - x + y + 2z, 2 x + 2 y). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

/ è suriettiva. (1 ,-8 ,6 4 ) g lm (/). (1,1, —1) G ker(/). / non ha autovalori in R.

Q9. In R 4 si considerino i vettori a = ( 1 , - 2 , - 1 , 2 ), b = (2 , 1 , —2 , —1 ) e c = ( 1 , —3, -1 ,1 ). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

c g JSf(a,6). Esiste un'applicazione lineare suriettiva / : R 4 —>R 3 avente a,ò,c e ker(/). dim(«i?(a, 6 , c)) = 2 . Esiste d e R 4 tale che (a, 6, c, c?) sia una base di R4.

Q 10 . Si consideri la curva param etrizzata 7 (t) = (2t + 1 , £3 ,3 t 2 —1 ) e sia r la sua retta tangente in 7 (0 ) = (1 , 0 , —1 ). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

r r r r

è perpendicolare al piano di equazione 2x —y = 0 . interseca il piano di equazione z — 3 nel punto (1,1,3). è parallela al piano di equazione x —2y + Az = 0 . è contenuta nel piano coordinato xz.

3 -

28

Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore

Q U . Si consideri l'insieme A = { (x,y) e R 2 | x 2 - 2y < 0 , x < 5 }. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

A è aperto. A possiede punti isolati. (2 , 2 ) è punto d'accumulazione per A. A è compatto.

Q 12 . Si considerino le funzioni / : R 2 -> R 3 e g : R 3 ->* R 2 definite da f(u,v) = (sin ti, c o sS u + c o st^ sin ii),

g{x,y,z) = (x 2 — y , z3),

e sia J la matrice jacobiana di h = g o / nel punto (7r, 7t / 4 ). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

J J J J

è la matrice unità 3 x 3 . è la matrice nulla 2 x 3 . è una matrice 2 x 2 . è una matrice diagonale 3 x 2 .

Soluzione dei QUIZ /° Q l. (a) E' falsa. Infatti il determinante della matrice

1

1 2

° \ 1

VO 2 - 1 J

è diverso di zero e

quindi i vettori sono indipendenti. (b) E' corretta. I tre punti non sono allineati. Seu = B —A, v = C —A, usando il prodotto vettoriale si può calcolare l'area del triangolo formato per i tre punti: ^ \ u x v \ = ì >/6 . (c) E' falsa, ad esempio il punto A non appartiene al piano, infatti 0 + 1 - 0 ^ 0. (d) E' falsa perché per tre punti non allineati sempre esiste un piano che li contiene. Q 2 . Le matrici della curva ^ sono: _ ( 2 - { l /2

(a) (b) (c) (d)

E' falsa in quanto det B = - 7 /4 ^ 0. E' falsa in quanto det A = 7/4 > 0. E' falsa perché ^ interseca y = 0 in due punti distinti. E' corretta poiché det A è positivo.

1/2 \ 1

)

3 -

Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore

29

Q3. L'equazione della sfera 5? si può scrivere (x - 2) 2 + y2 + z 2 = 4. dove il centro è C(2,0,0) e il raggio è R = 2 . (a) E' falsa. Infatti il raggio della sfera è 2 . (b) E' corretta in quanto d(C, ir) = I2 2 + 2 Q+ 1 0 +_jj = 2 = R. * V 22 + 22 + l 2 (c) E 'falsa per (a). (d) E' falsa, perché il raggio di S? D n non può essere maggiore di 2 . Q4. Si consideri la matrice A:

(a) (b) (c) (d)

E' falsa perché rk(A) ^ 3. E' falsa perché a e j non sono paralleli. E' corretta. Infatti rk(A) = 2 eia terza riga e combinazione lineare delle altre due. E' falsa perché il punto (0,0,0) non appartiene a 7 .

Q5. (a) E' corretta. Siccome rk(;4) = 3 = dimlm(//)) = 3, allora per il teorema della dimensione si ha che: dim R 6 = 6 = dim Ker ((//)) + dimlm((/x)) = dim Ker ((/x)) + 3, di conseguenza dim Ker ((//)) = dim lm ((//)) = 3. (b) E' falsa perché entrambe le matrici A e B hanno rango 3. (c) E' falsa perché il prodotto risulta essere ima matrice 6 x 6 e nonn è detto che il loro rango sia 6 . (d) E' falsa perché il rango di A è 3. Q 6 . (a) E' falsa per il teorema di Cauchy-Schwarz. (b) E' falsa perché / non è limitata. (c) E' falsa. Infatti si ha che 0

= - 8 • 18x7 + 9 • 8 x 7y9, 0

= - 8 • 18y7 + 9 • 8 x 9y8.

(d) E' corretta. Infatti f(x,y) = 4 —2y9 — 2x9 + x 9y9 calcolando le derivate parziali di f si ha:

3 -

30

Prova scritta del27Giugno2011-2 ore

? f = -1 8 x s + 9®8y9, I T = - 1 % 8 + 9x 8y9 ox oy ottenendo f - 1 8 x 8 + 9x8y9 = 0 lSy8 4 - 9x 8y 9 = 0 pertanto il punto (0 ,0 ) è un punto di stazionario per f. Q7. (a) E' falsa. Il polinomio caratteristico della matrice A è PA{t) = —t3 — 2t + 1 . (b) E' corretta. Per la regola di Cartesio il polinomio caratteristico di A ha soltanto un cambiamento di segno e A ammette un autovalore positivo (l'altro è negativo) allora A è non definita. (c) E' falsa in quanto la matrice A non è la matrice identica. (d) E' falsa perché è non definita. Q 8 . La matrice associata all' endomorfismo / è :

(a) (b) (c) (d) Q9. (a) (b) (c) (d)

E' corretta per il teorema della dimensione in quanto rk(A) = 3. E' falsa perché / è suriettiva. E' falsa perché il nucleo di / contiene soltanto il vettore nullo. E' falsa perché il polinomio caratteristico è di grado 3. E' falsa perché i vettori a, ò, c sono lineam enti indipendenti. E' falsa in quanto il nucleo di / sarebbe di dimensione 1. E' falsa perché dim«if ((a, 6,c)) = 3. E' corretta per il teorema di completamento ad una base.

Q 10 . Si ha che

La retta r tangente nel punto 70 ha equazioni parametriche:

3 (a) (b) (c) (d)

Prova scritta del27Giugno2011-2 ore

31

E' falsa perché r è nella direzione del vettore (1,0,0). E' falsa perché l'intersezione di r col piano z = 3 è vuota. E' falsa perché < (1,0,0), (1, - 2 ,4) 0. E' corretta perché il piano coordinato x z ha equazione y = 0 .

Q l l Osservare che A è costituito dai punti che stanno al di sopra della parabola y > x 2 e tali che x > 5. (a) E' falsa. Infatti esistono dei punti in A per cui nessun intorno è contenuto in A. (b) E' falsa. Infatti per qualsiasi P punto di A, ogni intorno non vuoto di P interseca A. (c) E' corretta. Infatti ogni disco aperto centrato in (2 ,2) possiede punti distinti da (2,2) che appartengono ad A. Infatti, per ogni 5 > 0 il punto (2 , 2 + | ) e A (basta sostituire nella definizione di A). (d) E' falsa perché l'insieme A non è limitato (e non è nemmeno chiuso).

Q12 La matrice jacobiana di h in un suo punto è uguale al prodotto delle jacobiane di g e h che hanno ordine rispettivamente 2 x 3 e 3 x 2, cioè 2 x 2 . (a) (b) (c) (d)

E' falsa. E' falsa. E'corretta. E' falsa.

32

3

Prova scritta del27Giugno2011-2 ore

-

S e c o n d a P a r t e (E s e r c i z i ) Esercizio 1. Sia data la matrice A =

(i) Verificare che

è un autovettore di A e determinare il corrispondente autova­

lore. (ii) Calcolare il polinomio caratteristico p(t) di A. (iii) Determinare tutti gli autovalori di A. (iv) Determinare una base per ogni autospazio di A. (v) Determinare una matrice invertibile P € R 3,3 tale che P ~ l A P sia diagonale. (vi) Stabilire se esiste una matrice Q e R 3,3 non nulla e tale che AQ = 5Q. Svolgimento deiresercizio 1.

(i) Il vettore

è un autovettore della matrice A. Infatti:

(ii) Il polinomio caratteristico p a {ì ) si calcola facendo il determinante della matrice det(A —t • Jrs) =

-1-t

0

2

—6 0

5 —t

2 5-t

0

ed è uguale a —t3 + 912 — 151 — 25 = (5 —t )2(—1 —t). (iii) Gli autovalori di A sono Ài = 5 con moltiplicità algebrica 2 e À2 = —1 con moltiplicità algebrica 1 .

1, 2 . Più precisamente:

(v) Una matrice P invertibile tale che P l A P sia diagonale è :

3 -

Prova scritta del27Giugno2011-2 ore

33

(vi) La risposta è affermativa. Basta scegliere Q = (Ci(Q), C 2 (Q), Cs(Q)) dove ciascu­ na colonna Ci(Q) sia un autovettore di A relativo a 5, almeno uno non nullo. Per esempio / 0 0 0\ Q= 1 1 1 . \ 0 0 0/ Esercizio 2 . Sia data la funzione f{x,y) = 2x3 + 2 y3 - 3xy. (i) Determinare i punti stazionari di / . (ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo (relativi) o di sella della funzione / . Nello spazio si consideri la superficie S di equazione 2x 3 + 2 y 3 - 3xy — z = 0 . (iii) Verificare che il punto Po = (2 ,1 , 12 ) appartiene a S. (iv) Determinare l'equazione del piano 7r0 tangente a S nel punto Po(v) Determinare l'equazione di una retta passante per l'origine O = (0 , 0 , 0 ) e perpen­ dicolare al piano 7r0. Svolgimento deH'esercizio 2 . (i) Le derivate parziali di / sono: g

= 6x’ - 3 „ ,

!= 6„*-3

x.

Risolvendo il sistema di equazioni: f 6x2 - 3y = 0 \6 y 2 - 3 x = 0 si ottengono i punti stazionari di / è sono P i(0,0) e P 2 ( l / 2 , 1/2). (ii) Calcolando il determinante la matrice hessiana di / nei punti

dei H f (Pi)

0 -3

1,2

-3 = -9 . 0

Perciò il punto Pi è un punto di sella per / . Invece P2 è un punto di minimo per / (d e tF / (P 2 ) > 0 , 0 ( 1 / 2 , 1 / 2 ) >0. )

34

3 -

Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

(iii) Il punto Po = (2 ,1 , 12 ) G 5, basta sostituire le coordinate nell'equazione di 5, infatti 2 -8 + 2-1 + 3- 2-1 —12 = 0. (iv) La equazione del piano tangente no tangente a S nel punto Po è : 21x —z —30 = 0. (v) Una retta passante per l'origine O = (0,0,0) e perpendicolare al piano 7r0 è : ( x = 2lt \y = o l z = -t Esercizio 3. Sia dato il sistema {

x — 3y + z = 0 2x + y + 5z = b —ay + 3z = -2 ,

al variare di a,b G M. (i) Determinare i valori di a e b per cui il sistema ha un'unica soluzione, infinite soluzioni oppure è incompatibile. (ii) Determinare le soluzioni del sistema quando a = —7 eb = —2. (iii) Determinare un valore di a ed uno di b per cui il sistema non sia risolubile, giustificando la scelta. Nello spazio si considerino i tre piani a, fi e 7, rispettivamente d'equazioni a : x — 3y + z = 0,

¡3 : 2x + y + 5z = 0,

7 : 3z + 2 = 0.

(iv) Dire se è vero o falso che a fi f3 n 7 è una retta, giustificando la risposta. Svolgimento deiresercizio 3. (i) La matrice che rappresenta il sistema è : A\B =

2

3

1

1

5

a

3

! f1 b 1~ 7 —a ) - 3

0

— 2

'

l o

1 3

3

Usando il Teorema di Rouchè - Capelli, se a = - 7 e b = - 2 il sistema ha infinite soluzioni. Invece se a ^ 7 il sistema ha soluzione unica. Se a = —7 e b / - 2 allora il sistema è incompatibile. (ii) Q uando a = —7 e b = —2 , le soluzioni sono : x = —| — ^ z , y = (iii) a = —7, b 7^ —2 . Infatti rk(A) = 2 e vk(A\B) = 3. (iv) La affermazione è falsa, infatti la matrice -3 1 0

1

0

0 5 3 -2

e tale che rk(A\B) = rk(A) = 3, allora a D fi n 7 si incontrano in un punto.

4 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore P r im a P a r t e (Q u i z ) Q l. Nello spazio sono date le rette x =0 V= t z = 2t

r :

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

r r r r

ed ed ed ed

s hanno un punto in comune; s sono parallele; s sono parallele al piano n : x = 2; s sono contenute nel piano a : x + y = 0 .

Q 2 . Sono dati i vettori applicati u = Ï —j,

v = Ì + j — 6 fc,

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b ) (c) (d)

u, v, w sono complanari; u e v sono ortogonali; dim(J£(u,v,w)) = 2 ; w è parallelo a v. 35

w = j + 3k

36

4 - Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore

Q3. Sia M e M4,6 la matrice di un'applicazione lineare / . Si supponga M di rango 4. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Il nucleo ker(/) ha dimensione 1; / è suriettiva; l'immagine Im (/) ha dimensione 2 ; /è in ie ttiv a .

Q4. Nello spazio è data la curva ^ rappresentata parametricamente, al variare di t € IR, da p(t) = (t2, ì , ^ - 1). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

^ è contenuta nel piano z = 1; La retta tangente a ^ nel punto (0,1,0) è parallela all'asse delle z; ^ passa per l'origine O; fé7non è piana.

Q5. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Nello spazio l'equazione x 2 + y - 2z2 = 0 rappresenta (a) (b) (c) (d)

una curva non piana; un cono; un iperboloide; una superficie che ha in comune due rette con il piano y = 0 .

Q 6 . Sia data la funzione di due variabili reali f(x,y) = y 2 + Sx2 — x 3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) VP / ^ (0,0), per ogni punto P e E 2; (b) (0 ,0 ) è un punto di massimo per / ; or (c) — si annulla in infiniti punti; (d) (2 ,1 ) è un punto stazionario per / .

4 - Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore

37

Q7. Nello spazio sia data la sfera y di equazione x 2 + y2 +

- 4z + 3 = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Il centro di y appartiene al piano z = 0; il piano ir : z — 1 = 0 taglia y secondo una circonferenza di raggio 1; y è tangente al piano n : z = 0 ; l'asse delle y non ha punti in comune con y .

Q 8 . E' data l'applicazione lineare / : R 3 ->* R 3 definita da f{x,y,z) = (x + 2y + z,y - 3z, - z) Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

0 è autovalore per / ; ( 1 ,0 ,0 ) è autovettore per / ; ( 1 ,0 ,0 ) appartiene a ker(/); ( 1 ,0 ,0 ) non appartiene a Im (/).

Q9. E' data la funzione / : R 2 -» R 2 definita da f(x,y) = (x2 + 2 y,x + ey) Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

la matrice jacobiana di / è invertibile in ( 1 ,0 ); / è una applicazione lineare; / non è differenziabile in ( 1 ,0 ); la matrice jacobiana di / ha determinante nullo in ( 1 ,0 ) .

Q 10 . Sia A e Rn,n la matrice dei coefficienti di un sistema lineare omogeneo avente soluzioni non nulle. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

per qualche B e R 71’1 il sistema lineare A X = B non è risolubile; la matrice A è invertibile; per ogni B € R 71’1 il sistema lineare A X = B ha infinite soluzioni; per qualche B £ Rn l sistema lineare A X = B ha ima sola soluzione .

4

38

-

Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore

Q l l . Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Esistono due sottospazi U e W di V di dimensione 3 tali che: (a) (b) (c) (d)

d i m o r i W) dim(E/ n W) dim({7 n W) dim(i7 n W)

= = = =

4; 0; 1; 2.

Q 12 . Una matrice M e M3,3 ha autovalori 0,1,2 . Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

M è invertibile; M ha polinomio caratteristico p(T) = 1 - T 3; M è diagonalizzabile; un autospazio di M ha dimensione 2.

Soluzione dei QUIZ Q l. (a) E' falsa perché tutti i punti di r hanno la prim a coordinata uguale a 0, invece quelli di s uguale a 1 . (b) E' falsa perché r è nella direzione del vettore (0 , 1 ,2 ), invece s è nella direzione del vettore (0 ,2 , 1 ) e questi vettori non sono proporzionali. (c) E' corretta. Infatti < (0 , 1 , 2 ), ( 1 , 0 , 0 ) > = 0

,

< (0 , 2 , 1 ), ( 1 , 0 , 0 ) > = 0 .

(d) E' falsa perché al sostituire le coordinate parametriche di r ed s nell'equazione del piano non si ottiene un'identità. Q 2 . (a) E' falsa perché 1 -1

< u x v ,u > | = 1 0

0

1 -6 1 3

= 12 ( ^ 0 )-

e affinché tre vettori siano complanari il prodotto misto fra loro deve essere nullo. (b) E' corretta in quanto il prodotto scalare < ( 1 , - 1 , 0 ),( 1 , - 1 , 6 ) > = 0 . (c) E' falsa in quanto det A ^ 0. (d) E' falsa perché i vettori v e w non sono proporzionali.

4

Prova scritta del27Giugno 2011-2 ore

-

39

Q3. Si tratta di una applicazione lineare / : R 6 —» R 4 con dim I m f = 4. Usando il teorema della dimensione si ha che dim Ker / = dim R 6 - dim I m f = 2. (a) E' falsa perché dim Ker / = 2. (b) E' corretta perché dim Im/ = dim R4. (c) E' falsa in quanto dim Im / = 4. (d) E' falsa in quanto dim Ker / 0.

t Q4. (a) E' falsa perché — —t = 1 non è una identità. ó (b) E' corretta. Infatti il punto P (0,1,0) si ottiene conto = 0. Siccome P'(t) = (2£,0 , ¿21 ) e P '(0) = (0,0, - 1), allora la retta tangente a V nel punto P è parallela all'asse delle z. (c) E' falsa perché la seconda coordinata di ^ è sempre 1 . (d) E' falsa perché le funzioni polinomiali ^£2 , 1 , y —

sono linearmente indi-

pendenti nello spazio vettoriale delle funzioni polinomiali. Q 5 . (a) E' falsa perché è l'equazione di una superficie quadrica. (b) E' falsa perché non è un'equazione omogenea. (c) E' falsa perché il termine indipendente è zero. (d) E' corretta perché se y = 0 allora x 2 —2z2 = 0 => (x — y/2z)(x + y/2z) = 0. Q 6 . (a) E' falsa. Infatti V/(ìc, y) = ' d f

Q o, 2 y) e V /( 0 ,0) = 0. ^d f j\ = (6 x - 3x

(b) E' falsa. Infatti calcolando il determinante della matrice hessiana nel punto(0,0)

3 « »

f i -

a2/

d2f , ^ (° ’0)

dXd y M

6 0

0 2 = 12 > 0

e risulta che (0 , 0 )non può essere punto di minimo. o

r

(c) E' corretta, infatti — = 6x — 3x2, e si annulla in tutti punti del tipo (0,y) e (2,y) ox con y e R. (d) E' falsa in quanto V / ( 2 , 1 ) ^ 0. Q7. L'equazione della sfera 5? si può scrivere

40

4

-

Prova scritta del27Giugno2011-2 ore

x 2 + y 2 + ( z - 2)2 = 1 . dove il centro di 5? è C(0,0, —2 ) e il raggio R = 1 . Si ha che: (a) E' falsa perch'è la coordinata z di C è diversa da zero. (b) E' falsa perché il piano ir è esterno alla sferea 5?. (c) E' falsa in quanto la distanza di C al piano z = 0 è 2 . (d) E' corretta in quanto y2 + 3 = 0 non ha punti reali.

Q 8 . Si osserva che l'endomorfismo / è un isomorfismo. Infatti la matrice A associata a / rispetto alla base canonica è :

che chiaramente ha rango 3. (a) E' falsa in quanto la matrice A è non singolare e perciò lo zero non è un suo autovalore. (b) E' corretta in quanto / ( l , 0,0) = 1(1,0,0). (c) E' falsa in quanto Ker / = {(0,0,0)}. (d) E' falsa perché Im/ = R3.

Q9. La matrice jacobiana di / è :

(a) E' falsa. Infatti la matrice che non è invertibile. (b) E' falsa in quanto / , ad esempio nella sua prim a componente, contiene un polinomio quadratico. (c) E' falsa in quanto le derivate parziali di / sono continue. 2 2

(d) E' corretta perché ^ ^ = 0 .

4

-

Prova scritta del27Giugno2011-2 ore

41

Q10. Si usa il teorema di Rouché-Capelli E' corretta. Infatti siccome rk(A) < n, si consideri B in modo che Tk(A\B) = n. (b) E' falsa perché se A è invertibile (cioè rk( A) = n), allora il sistema ha soluzione unica e questa sarebbe propria la soluzione nulla. (c) E' falsa perché il sistema può essere incompatibile. (d) E' falsa perché rk( A) < n in quanto il suo sistema omogeneo associato ammette infinite soluzioni. Q ll. Usando la formula di Grassmann si ha: 4 > dim(£7 + W) = dim U + dim W - dim{U DW) = 3 + 3 - dim([/ n W) (a) (b) (c) (d)

E' falsa perché l'intersezione U n W è contenuta sia in U che in W. E' falsa perché dim(17 fi W) > 2 . E' falsa per la (b). E' corretta. Infatti basterebbe considerare U, W tali che U + W = V.

Q12. (a) E' falsa in quanto 0 è un autovalore di M . (b) E' falsa in quanto il polinomio 1 - T 3 = (1 - T )(l + T + T 2) ha come unica soluzione T = 1 . (c) E' corretta perché M ha tre autovalori reali distinti. (d) E' falsa perché ogni autovalore di M ha moltiplicità algebrica uguale a l e la dimensione di un autospazio relativo a un autovalore è sempre minore o uguale alla sua moltiplicità algebrica.

42

4 -

Prova scritta del 27 Giugno 2011-2 ore

S e c o n d a P a r t e (E s e r c iz i ) Esercizio 1. Sia h un param etro reale. E' data l'applicazione lineare / : IR4 —» R 3 associata, rispetto alle basi canoniche alla matrice A=

f i -1 0 0 \ 0 0 -11 \2 h 0 0 /

(i) Posto h = - 2 , determinare f{x,y,z,t). (ii) Posto h = - 2, verificare che i vettori (1,1,0,0) e (0,0,1 , 1 ) appartengono a ker(/) e ne formano una base. (iii) Verificare che non esistono valori di h tali che / sia iniettiva. (iv) Determinare gli eventuali valori di h tali che / è suriettiva. Svolgimento dell'esercizio 1 . (i) /(x , y , z, £) = (x - y , + i, 2 a? - 2 y) (ii) Seh = - 2 , allora / ( l , 1,0,0) = / ( 0 ,0,1,1) = (0,0,0). Pertanto ((1,1,0,0), (0,0,1,1)) C Ker / . Siccome i vettori (1,1,0,0), (0 ,0 , 1 , 1 ) sono linearmente indipendenti e rkA = 2 = dim Im/ , allora per il teorema della dimensione si ha che dim Ker f = 2 perciò, l'insieme (( 1 , 1 , 0 , 0 ), (0 , 0 , 1 , 1 )) è una base del nucleo di / . (iii) Si ha che rk(A) < 3. Per il teorema della dimensione dim Ker / > l e così / non è iniettiva. (iv) S e h ^ - 2 , allora rk (A) = 3, e così Im / = R3, cioè / è suriettiva. Esercizio 2 . E' data la funzione f(x,y) = x 2y - x y - 3 x + 2. (i) Tra i punti stazionari di / determinare gli eventuali punti di sella. (ii) Dato il punto Po = (—1>0), calcolare il valore del differenziale dp0f applicato al vettore (/i,fc). (iii) Determinare il piano tangente al grafico di f *nel punto di coordinate ( 1 , —2 , —1 ). (iv) Verificare che la retta r : x = 0,z = 2 è contenuta nel grafico di / . Svolgimento deiresercizio 2 . (i) Per calcolare i punti stazionari di / , si deve calcolare il suo gradiente e uguagliarlo a zero. = ( l i ’ %*) = ^2xy - y - Z ’ x 2 - x ) = (°’°)-

4

-

Prova scritta del 27Giugno 2011-2 ore

43

Risolvendo il sistema di equazioni (2xy-y-S = 0 \ x2 - x = 0 si ottengono per / i punti stazionari P( 0, - 3 ) e Q( 1 ,3). Per studiare la natura di punti stazionari di / , si usa il metodo della matrice hessiana. infatti

S

H f (0,0) =

(o' - 3)N

-6 -1 -1

0

Siccome det Hf(0, —3) < 0, allora P ( 0 , —3 ) è un ptm to di sella per / . — L ( l 3)

JT/(1,3) =

d2f (1 3)^

Qx 2 \ L’à> dxdy\L’à) d2f d2 f

6 1 1 0

\m&*> ié ih3> Analogamente siccome det H f ( 1,3) < 0 , allora Q(l, 3) è im p u n to di sella per / . (ii) Il differenziale dp0f applicato al vettore (h,k) è per definizione.

dpof- (T ) = (3,o)- m

=-3h.

(iii) Si ricorda che il grafico di / è : F(x,y,z) = z —f ( x , y) = 0. Allora il piano tangente del grafico di / nel punto di coordinate ( 1 , —2 , —1 ) è (2 x - y - 3) |{1 _2 _1} • (x - 1 ) + (x2 - *)|(lj_2j_1) • {y + 2) -

• (2 + 1) = 0

cioè, x + z = 0 . (iv) La retta r ha equazioni parametriche: ( x =0 r : < y=t [z = 2

sostituendo le coordinate di r nell'equazione x 2y - xy - 3x + 2 - z = 0 , si ottiene l'identità 0 = 0 e pertanto r è contenuta nel grafico di / . Esercizio 3. Nello spazio è data la retta r : {x,y,z) = (-2,1,0) + ¿(-1, - 1,3). (i) Verificare che r è parallela alla retta s : 3y + z = l , x - y = - 2 .

44

4 -

Prova scritta del27Giugno2011-2 ore

(ii) Determinare il piano ni contenente sia r che s . (iii) Determinare il piano 7t2 contenente r e parallelo all'asse delle y. (iv) Verificare che r è parallela alla retta tangente alla curva ^ : P(t) = (2et ì2et , —6t) nel punto P ( 0 ). Svolgimento deiresercizio 3. (i) La retta r è nella direzione del vettore ( - 1 , —1 ,3). D'altra parte, la direzione del­ la retta s si può calcolare facendo il prodotto vettoriale (0,3,1) x (1,—1,0) = ( 1 , 1 , -3 ). Si ha che (—1 , —1 ,3) = (—1 )( 1 , 1 , -3 ) e dunque r ed s sono parallele. (ii) Si determina il fascio di piani che contiene la retta s & : À(3y + z - 1) + fi{x - y + 2) = 0;

A,/ìGM,

À, fi non entrambi nulli. Imponendo il passaggio per un punto della retta r, ad esempio (—2 , 1 , 0 ), si ha che 2 À = fi.

Il piano 7ri che contiene le rette r ed s e 7Ti : 2x + y + z + 3 = 0.

(iii) Il fascio di piani che contiene la retta r i

À(x —y + 3) + fi(3x + z + 6 ) = 0;

À,/i E M,

con À, fi G R non entrambi nulli. Imponendo l'annullam ento del prodotto scalare ((À+ 3 /z, —À, fi), (0,1,0)) = 0 (dove indica il prodotto scalare), si ha che A = 0 . Si ottiene il piano n 2 : 3x + z + 6 = 0 che contiene alla retta r ed è parallelo all'asse delle y. (iv) Si osserva che P(0) = (2 , 2 , 0 ). Per calcolare la retta tangente alla curva ^ si calcola P f(t) = (2et , 2 e£, - 6 ), allora P '( 0 ) = (2 , 2 , —6 ) che chiaramente è nella direzione della retta r.

5 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore P r im a P a r t e (Q u i z ) Q l. Nello spazio sia data la curva fé7 di equazioni parametriche f(t) = (2 cosi,3 sin t. —t3). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

fé7è contenuta in un piano; fé7è una curva chiusa La tangente a ^ nel punto (2,0,0) è parallela all'asse delle y Esistono punti di fé7in cui non si può trovare la tangente

Q2. Sia 7r il piano per 0(0,0,0) perpendicolare a Ì + j + k. Qual è vera? (a) (b) (c) (d)

Il punto 5(1,0,1) giace in ir La retta r di equazioni (x,y,z) = (¿,1 , — t) è parallela a n Ogni punto della retta r di equazioni {x,y,z) = (t,l, —t) ha distanza 1 da ir La retta s di equazioni (a?,y,z) = (1 + £,1,2 —t) interseca ir

Q 3 . Nello spazio sia data la quadrica Q di equazione x 2 —y2 = 3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Le sezioni di Q con i piani z = k (dove k è una costante reale) sono insiemi non vuoti (b) Q è una iperbole equilatera (c) Q è un cono (d) Q è un paraboloide a sella 45

5

46

Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

-

Q4. Sia 4 G l 3x5 una matrice di rango 3, e si consideri la sua trasposta 54. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

La matrice A è invertibile La matrice prodotto A 54 è invertibile La matrice prodotto 54 A è invertibile Il rango di 54 può essere maggiore di 3

Q5. L'equazione x 2 + 3xy + Sy2 —4 = 0 rappresenta: (a) (b) (c) (d)

una conica riducibile una coppia di rette una iperbole un'ellisse

Q 6 . Sia data la matrice

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) A è diagonalizzabile (b) La matrice A possiede solo autovalori nulli (c) A possiede l'autovalore nullo e la dimensione dell'autospazio ad esso associato è uguale a 2 (d) Il polinomio caratteristico possiede una radice semplice Q7. Nello spazio sia data la superficie y di equazioni parametriche f{u,v) = (v cosu,vsinu, —uv) e si consideri il punto A=( 1,0,0) e y . Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) La matrice Jacobiana di / in (0,1) ha rango 1 (b) Il piano tangente a y nel punto A è ortogonale all'asse delle x (c) Le colonne della matrice Jacobiana di / in (0,1) sono linearmente indipendenti (d) Non esistono curve piane contenute in y Q 8 . Nello spazio dei vettori ordinari applicati in O, sono dati i vettori u = 3i, v = 7i + j, w = i + 2j — 3k Quale delle seguenti affermazioni è vera?

5 (a) (b) (c) (d)

-

Prova scritta del 15 Luglio2011-2 ore

47

u, v, w non sono complanari w è ortogonale al prodotto vettoriale di v con u w è ortogonale a ù + v Esistono valori di a ,b e R per cui w=av + bu

Q9. Un sistema lineare A X = B di 2 equazioni e 2 incognite con det(yl) ^ 0: (a) (b) (c) (d)

non è mai risolubile se è risolubile ha una incognita libera ha sempre due incognite libere ha una sola soluzione

Q io . Siano date le rette r ed s rispettivamente di equazioni (x,y,z) = (t,t,t) e (x,y,z) = (t + l,t, —t). Dire quale delle seguenti affermazioni è vera. (a) (b) (c) (d)

r r r r

ed ed ed ed

s sono incidenti in un unico punto s sono incidenti in due punti 5 sono parallele s non si intersecano

Q l l . L'applicazione lineare / : M4 —>• R 2 definita da (a) (b) (c) (d)

f(x,y,z,t) = {x —y +

x —y + 1) :

ha nucleo di dimensione 3 ha immagine di dimensione 3 è associata a una matrice con quattro righe e due colonne è suriettiva

Q 12 . Si consideri la funzione / : R 2 R definita da f(x,y) = e*2+i/2-1. Lo sviluppo di Taylor al primo ordine di / in (0,0) è : (a) (b) (c) (d)

e-1 + x + y 2 x + 2 y.

e-1 , e quindi l'origine è un punto stazionario ex2 + ey \

5

48

-

Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

Soluzione dei QUIZ Q l. (a) E' falsa perché l'insieme {2 cos t , 3 sin t , —3t3, 1 } è linearmente indipendente, (b) E' falsa. Infatti non esistono t,tf e R, distinti tali che f (t ) = /(£')• (c) E' corretta. Infatti II punto (2,0,0) si ottiene con t = 0 e f{t)\t_0 =

che è nella

direzione dell'asse y. (d) E' falsa. Infatti per ogni t e R, esiste f ( t ) . Q 2 . Il piano ir passante per O

e perpendicolare al vettore ì + J + k ha equazione

x + y + z = 0. (a) E' falsa perché 1 + 0 + 1 = 2. (b) E' corretta. Infatti il prodotto scalare <

(c) E' falsa perché d(

> = 0.

, 7r) =

(d) E' falsa in quanto l + £ + l + 2 - £ = 0 è u n assurdo. Q3. (a) (b) (c) (d)

E' corretta. Infatti le sezioni sono iperbole. E' falsa perché z è libera. E' falsa. Infatti l'equazione non è omogenea. E' falsa per (b).

Q4. (a) (b) (c) (d)

E' falsa perché la matrice A non è quadrata. E' corretta. Infatti il prodotto A tA G l 3x3 è di rango 3. E' falsa perché il p ro d o tto 1A A e R 5x5 non è detto che sia di rango 5. E' falsa perché rk(.A) = rk(£A).

Q5. Le matrici della conica sono: 3/2 8 0

dove det B = -2 3 e det A = 23/4. (a) E' falsa perché det B ^ 0.

5

-

Prova scritta del 15 Luglio 2011 2 ore -

49

(b) E' falsa per lo stesso motivo di (a). (c) E' falsa perché non accade che det A < 0. (d) E' corretta. Infatti det A > 0. Q 6 . (a) E' falsa. Infatti il polinomio caratteristico di A e x 2 che possiede soltanto come radice lo zero con moltiplicità due, ma l'autospazio relativo è unidimensionale. Per questo motivo, A non è diagonalizzabile. (b) E' corretta. Infatti lo zero è autovalore di A. (c) E' falsa. Infatti la dimesione dell'autospazio relativo al autovalore zero è 1. (d) E' falsa perché l'autovalore zero ha moltiplicità 2 . Q7. La matrice jacobiana di / nel punto(0,l) è:

(a) (b) (c) (d)

E' falsa perché il rango della matrice jacobiana di / è 2. E' falsa perché l'asse delle x è contenuto in y. E' corretta. Infatti basta osservare J( f ) ( o,i)E' falsa. Ad esempio, se u = 0, la retta (x,y,z) = (t , 0,0) è contenuta in y .

Q 8 . Il determinante della matrice A =

3 7 1

0 1 2

0 0 -3

è diverso da zero. Cioè il prodotto misto dei vettori u, v, w non è nullo. (a) E' corretta. Infatti Vannullarsi il determinante della matrice A è condizione necessaria e sufficiente affinché i vettori siano complanari. (b) E' falsa. Infatti < w ,v x u >± 0. (c) E' falsa. Infatti < w , ù + v > ^ 0. (d) E' falsa. Infatti i tre vettori sono linearmente indipendenti. Q9. (a) E' falsa perché A è invertibile. (b) E' falsa. Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema non ha incognite libere. (c) E' falsa per (b).

50

5

Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

-

(d) E' corretta. Infatti X = A l B è l'unica soluzione. Q 10 . Le rappresentazioni parametriche delle rette r ed s sono rispettivamente: (x = t r : '

si risolve il sistema omogeneo associato alla matrice M f. Siccome 3 3 -1 0

8\

1 0

6

i

o r

1

2)

1 1 0 0 0 Vo 0

(°

2\

2 0

0/

- y =■-- 2 z, cioè: Ker / = { f - 2 z ) e R3/ z €

Si ha che dim Ker / = 1 e una sua base è { ^ - 2

J

}.

(iii) Usando il teorema della dimensione, si ha che dim lm / = dim E 3 —dim Ker / = 2, allora / non è suriettiva perché I m f ^ R4. 3 \ /1 \ / 8\ 3 0 6 Risulta che I m f = JZf( - 1 )= #( 1 0 0 / V2 / W

3 \ 3 -1 0

/

A\

o ì W

3 \

3 e ima base per Im / è , ad esempio, è costituita dai vettori { - 1

/ 12\ (iv) Ilpxmto

9

/A 0

> 1 }• 0 / \ 1/

2 non appartiene a Im /, inaftti non esistono a , /3 reali tali che V3 /

5 -

53

Prova scritta del 15Luglio 2011-2 ore

/ 12\ 9 2

=a

( 3 3 -1

f 1' 0 + 13 1

o )

\z)

U

Infatti delle relazioni ' 3a + p = 12 3a = 9 < - a + 13 = 2 U = 3 si ottiene un assurdo. Esercizio 3. Sia data la funzione f(x,y) = xy 2 - x - y2 + 1. (i) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione di /. Nello spazio si considerino la superficie S di equazione z = xy 2 —x —y 2 + 1 e il punto Po = ( 1 ,0 ,0 ). (ii) Si verifichi che Po £ S e si determini il piano tangente r a S nel punto Po. (iii) Si determini in forma cartesiana la retta normale a r passante per Po. Svolgimento deiresercizio 3. (i) Si determinano i punti stazionari di /: v / ( * . » ) = ( 2^ : ^ )

= (S)-

Si ottengono i punti A ( l , l ) e B ( l , - l ) . Si determina la matrice hessiana di / H U) = ( j y 2 X - 2 ) • 0

2

Si ha che det H a {J) = 2 0 I punti A e B sono punti di sella per / . (ii) Il punto Po € S. Infatti 0 = 0 —1 —0 + 1. II piano tangente a 5 in Po è :

0

-2

-2

0

( - 1 )(® - 1 ) + 0 (y - 0 ) + ( - l ) ( z - 0 ) = 0 , cioè:

t

:

x + z —1 = 0 .

= - 4 < 0.

54

5 -

Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

(iii) La retta normale a r passante per il punto Po è f x =

1 -ht

R 4 definita da f ((2,ò,c,oi) = (cl + 6 + c + d, a + 26 -b 4c H- 8 cZ, (2 —6

c —d, 3 i — 1>2,3,4 &j_ / IPi dy2 ) )P.

cioè :

"/= C i -8 -6^ +4).

=

8

= ( o 8 2 ) . » / W = ( - 80/ 3 -°8)Siccome det Hf(Pì) < 0, z = 1,2,3, allora P 1 . P 2 .P2>sono punti di sella per / . Invece siccome det Hf ( P4) > 0, f xx < 0, allora P 4 è un massimo per / . (iv) Il piano tangente alla superficie S di equazione F ( x ìy ìz) = 2 x 2y - y 33 - Ax 2 + 2 y 2 - z = 0 nel punto P ( 0 , 1 , 1 ) è dato da £ ( * - o ) + f : (9 - D + f : (2 —1 ) = 0 = -l ;

(b) le linee di livello di / sono circonferenze ; (c) il grafico di / è un ellissoide; (d) il piano tangente al grafico di / in P(2,l,2) è parallelo al piano z = 0. Q7. Sia f (x,y) una funzione di due variabili reali che ammette 0(0,0) come punto sta­ zionario e sia 7r il piano tangente al grafico di / nel punto Q( 0 ,0 ,/ ( 0 ,0 )). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (ai (b) (c) (d)

7r è 7r è 7r e 7r è

parallelo al piano x y ; parallelo all asse z; il grafico di / hanno solo il punto Q in comune; ortogonale al vettore V/(0,Ò).

7 -

Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

67

Q 8 . E' data l'applicazione lineare / : R 3 -» R 4 definita da f(x,y,z) = (x + 2y + z,x + 2y + z,y - 3z, - z) Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

non esistono vettori di R 3 che hanno per immagine (1,0,0,0); ( 1 ,0 ,0 ) appartiene a ker(/); / è suriettiva; dim(lm(f )) = 2 .

Q9. Nello spazio è data la circonferenza fé7di equazioni x 2 + y2 + z 2 - 4z = 0, z - 1 = 0 Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Il centro di fé7appartiene al piano z = 0; fé7passa per 0 (0 ,0 ,0 ) ; fé7ha raggio 2 ; l'asse delle z non ha punti in comune con fé7.

Q 10 . Sia A e Rm,n la matrice dei coefficienti di un sistema lineare A X = B che non ha soluzioni. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

il rango di A è m; il rango di A deve essere maggiore di m; il sistema lineare A X = O non è risolubile; il rango di A deve essere minore di m.

Q l l . Sia data la matrice A =

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

A ha tre autovalori distinti; A è invertibile; un autospazio di A ha dimensione 2 ; i è autovalore di A.

7 -

68

Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

Q12. È data in R 2,2 la matrice M = ^ Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

M M M M

rappresenta una rotazione nel piano di 27r/3 radianti ; ammette 0 come autovalore; è una matrice simmetrica; non è invertibile.

Soluzione dei QUIZ Q l. (a) E' corretta Infatti sostituendo le coordinate parametriche della curva ^ nell'equazione del piano x — y + 2 = 0 , si ottiene l'identità t — 1 —t — 1 + 2 = 0 . (b) E' falsa. Siccome P'(t) = (1,1, t2 — 1 ), allora la retta tangente alla curva fé7 nel punto (—1 , 1 , 0 ) è nella direzione del vettore ( 1 , 1 , —1 ) invece il piano z = 0 è ortogonale al vettore (0 ,0 , 1 ). (c) E' falsa. Se (0,0,0) €fé?/ £ - l = 0 = £ + l e d i conseguenza 1 = —1 che è un assurdo. (d) E' falsa perché ^ è iniettiva, fé7è C°°, e ^' {t ) ^ 0, per ogni t. Q 2 . (a) E' falsa in quanto non è una curva piana. (b) E' falsa in quanto i coefficienti dei termini al quadrato non sono uguali. (c) L'intersezione con il piano x = 0 è la curva y 2 —2 z 2 = 0 che non rappresenta una circonferenza. (d) E' corretta in quanto è un'equazione informa canonica omogenea di grado 2. Q3. Usando la formula di Grassmann si ottiene: dim(U + V) = dim U + dim V - dim(C7 D V) = 3. Notare che U D V = -S?((l, 0,0)), ma siccome U + V < R 3 e dim(£/ + V) = 3, allora U + V = R3. (a) (b) (c) (d)

E' falsa. Per esempio (1,0,0) e U fi V. E' falsa . Segue immediatamente della formula di Grassmann. E' corretta in quanto U n V = Jf ( ( l , 0,0)) e (3,0,0) = 3 • (1,0,0). E' falsa. Per esempio (2,3,4) e U, ma (2,3,4) non appartiene a V.

Q4. (a) E' corretta in quanto < (2 , —1 , 0 ), ( 1 , 2 ,4) > = 0 . (b) E' falsa. Infatti sostituendo le coordinate parametriche di r in n si ottiene 2 1 — 2 i - 5 = 0 = > - 5 = 0 assurdo.

7 -

69

Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

(c) E 'falsa in quanto < (2 , —1,0), ( 2 , —1,0) 0. (d) E' falsa in quanto i vettori (2 , - 1 ,0) e (1, 2 ,4) non sono proporzionali. Q5. (a) E' falsa perché il prodotto scalare è negativo. Infatti, < ( 1 , 2 ,4), (4,0, - 2 ) > = -4 . (b) E' falsa perché \ / l 2 + 22 + 42 < \/4 2 + 02 + 2 2. (c) E' corretta perché i due vettori sono linearmente indipendenti e generano un sottospa­ zio vettoriale di dimensione 2 . (d) E' falsa. Infatti il prodotto scalare < (1, 2 ,4), (5, 2 , 2 ) > = 17 ^ 0. Q 6 . (a) E 'falsa infatti

(b) E' corretta perché le linee di livello di f sono equazioni del tipo x 2+y2 = k2+ 1 , k e R. (c) E' falsa perché x 2 + y2 — z 2 — 1 = 0 è u n ' iperboloide ad una falda. (d) E' falsa, infatti, il piano tangente al grafico di / nel punto (2 , 1 ,2 ) è : g ) , " 7 1(2,1,2)

, s _ 1) +( | ) X * 7 1(2,1,2) X 7 1(2,1,2)

cioè 2x + y — 2z —1 = 0 . Q7. (a) E' corretta perché se il punto (0,0) è un punto stazionario di / vuol dire che le sue derivate parziali rispetto a x e y si annullano nel punto (0 , 0 ), allora il piano tangente è della forma i §£ ] ■z = 0. ' 7 l(0,0,/(0,0)) (b) E' falsa perché il prodotto scalare (0,0,1) •(0,0, a) ^ 0 con a = f §£) ^

0.

7 l(0,0,/(0,0))

^

(c) E' falsa perché in generale una superficie e un piano si intersecano lungo una curva. La funzione / potrebbe per esempio avere nel punto P un punto di sella. (d) E' falsa in quanto il punto (0,0) G n . Q 8 . (a) E' corretta. Per vedere che non esiste vettore in R 3 che abbia come immagine (1,0,0,0) si prova l'incompatibilità del sistema f x + 2y + z x + 2y + z y —3z -z

= 1 = 0

= 0 = 0

70

7 -

Prova Scritta del 15 Luglio2011-2 ore

Per il teorema di Rouché-Capelli il rango della matrice dei coefficienti è 3, mentre il rango della matrice completa è 4. Infatti /I 1 0 \0

2 2 1 0

1 1

n

-3

1\ 0 0

-1

o)

Vo

0 0

2 1 0 0 1 -3 0 -1

n

1 \ -1 0 0 1

0 0

Vo

2 1 1 -3 0 -1 0 0

1\ 0 0

- 1/

(b) E' falsa in quanto / ( 1,0,0) ^ (0,0,0,0). (c) E' falsa in quanto dim Im (/) < 3 ^ 4 . (d) E' falsa perché d im lm (/) = 3. Q9. Per calcolar il centro della la circonferenza fé7si determina l'equazione della retta l passante per il centro della sfera x 2 + y2 + z 2 — 4z = 0 e ortogonale al piano z —1 = 0 . Si ottiene

Notate che il centro della sfera è il punto C (0 ,0 , 2 ) e il raggio è R = 2 . Sostituendo le coordinate di l nell'equazione del piano si ottiene che t = —1, perciò il centro di ^ è il punto C f(0 , 0 , 1 ). Invece il raggio della circonferenza è r = y/R 2 - d(C, C ' ) 2 =

= Vd.

(a) E' falsa, perché il centro ha terza coordinata z ^ 0. (b) E' falsa, perché la circonferenza giace nel piano z = 1. (c) E' falsa perché fé7ha raggio \/3. (d) E' corretta perché il centro della circonferenza giace sull'asse z. Q 10 . (a) E' falsa perché se rk(A) = m, per il teorema di Rouché - Capelli il sistema sarebbe compatibile. (b) E' falsa in quanto rk(A) < min{m,n}. (c) E' falsa in quanto un sistema omogeneo è sempre compatibile. (d) E' corretta. E' conseguenza diretta del teorema di Rouché-Capelli. Q ll. Il polinomio caratteristico della matrice A è Pt(A) = det(A — ti) =

-t 1 1 —t

0

0

0 = —t(t + l)(t —1). 0 -t

(a) E' corretta in quanto pt{A) ha tre radici reali distinte. (b) E' falsa perché A ammette lo zero come autovalore.

7 -

Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

71

(c) E' falsa in quanto ci sono esattamente tre autospazi e ognuno ha dimensione 1. (d) E' falsa perché l'unità immaginaria v ^ T non è tra le radici del polinomio carateristico di A.

Q 12 . (a) E' corretta. Si tratta di una matrice ortogonale speciale M =

cos(27r/ 3) —sin(27r/3)

sin(27r/ 3) cos(27r/3)

(b) E' falsa in quanto M è non singolare perché det M = l e con ciò lo zero non è autovalore. (c) E' falsa perché lM ^ M . (d) E' falsa in quanto det M ± 0.

S e c o n d a P a r t e (E s e r c iz i ) Esercizio 1. Sia V = {(x,y ,z) e M3|x + y — z = 0, x — y + z = 0} e sia / : R 3 —>* R 3 l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio V e tale che A = 2 è autovalore con autospazio generato dai vettori ( l , l , l ) e ( l , l , 2 ). (i) Determinare una base per V. (ii) Provare che / non è suriettiva. (iii) Scegliere una base 9& per R 3 formata da autovettori di / e scrivere la matrice associata ad / rispetto alla base SS. Svolgimento deH'esercizio 1 . (i) L'insieme V è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato alla matrice

j ^ . Riducendo questa matrice m ediante operazioni elementa­

ri di riga si ottiene: i i i -i

-i i

V = {(x,y,z)\x = 0, y = z}. Una base di V è formata dell'insieme {(0,1,1)}. (ii) / non è suriettiva, infatti I m / = Jgf((0,0,0),(2,2>2),(2,2,4)) = JS?((2,2,2),(2,2,4)).

(ii) Una base B§ per M3 formata da autovettori di / è l'insieme ordinato « = ((0 , 1 , 1 ), ( 1 ,U ) , ( 1 , 1 ,2 ))

72

7 -

Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

La matrice associata a / rispetto alla base SS è : 0 0 0 0 2 0

0 0 2

Esercizio 2 . E' data la funzione / : R 2 —>>R 3 definita da: f{u,v) = (ucosv, 2uv, usinv). (i) Scrivere la matrice jacobiana della funzione / . (ii) Trovare le curve coordinate della superficie S rappresentata parametricamente da (x, y,z) = (u cos v, 2 uv, u sin v) passanti per il punto ( 1 , 0 , 0 ) e dire di che curve si tratta. (iii) Determinare il piano tangente a S nel punto di coordinate ( 1 ,0,0) e un versore n ad esso ortogonale, (iv) Verificare che l'asse delle x è contenuto in S. Svolgimento deiresercizio 2 . (i) La matrice Jacobiana di / è :

(ii) Si ha che f ( u, v) = ( u c os v ^ uv , us i nv ) , in particolare il punto ( 1 , 0 , 0 ) si ottiene con u0 = 1, vq = 0 . Allora le curve coordinate di S che contengono il punto ( 1 , 0 , 0 ) sono la retta y = z = 0 e la curva (x, y, z) = (cos v, 2v, sin v). (iii) Considerando che Pu( 1,0) = ( 1 , 0 , 0 ), e Pv( 1 ,0) = (0 , 2 , 1 ). Il piano tangente a S nel punto di coordinate ( 1 , 0 , 0 ) è : x —1 y

z

1

0

0 = 0

0

2

1

Esercizio 3. (i) Discutere al variare del parametro reale h il sistema x + y + z = h,

hx — y + z = 1,

x + 3y — z = h.

7 -

Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore

73

(ii) Utilizzando i risultati precedenti, determinare, al variare del param etro reale h, in che posizione reciproca si trovano i tre piani ir± : x + y + z = '• hx - y + z = 1, 7t3 : x + 3y - z = h. In particolare dire se ci sono dei valori di h per cui i tre piani appartengono a un fascio. Svolgimento deiresercizio 3. (i) Si usa il teorema di Rouchè - Capelli. Si ha: 1 1 3 -1

1 -1

(.A\b)

h\

ì

1

0 2

( 1 ~ [h+ 1 h) V 0

2 0 2 0 1 -1

/ i [h+ 1 V 0

kO

0 0 1

2

2/h+l -1

h\

/I

1 ~ 0 0/ \0

0 0 1

1 2 -2

h

h \ ( 1 il ^ U + i 0 / V o

ì 1 2 0 1 -1

h \ /i + l 0 /

2 A h \ 2h/ h "1" 1 1 - Ti ~ 0 -1 0 / V o

0 0 1

2 1 -1

h (1 - h ) ( h +

0

Se h ^ —1 e ft ^ 0, allora il sistema è compatibile e ha soluzione unica perché rk^4 = rk(A\b) = 3. Se h = 0

In questo caso, il sistema è incompatibile, infanti rkA Se h = - 1 / 1 0

0

VO

2 ^ ik{A\b) = 3.

2

0

2

1 -1

Il sistema è compatibile con soluzione unica. (ii) Per nessun valore di h , rk A = 2 , rk(A\b) = 2 . N on esiste fascio che contenga i piani tti 5tt2 , tt3 *Invece quando h = 0, il sistema è incompatibile. Altrimenti i tre piani si intersecano in un unico punto.

8 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore P r im a P a r t e (Q u i z ) Q l. Un sistema lineare A X = B con A matrice quadrata non invertibile; (a) (b) (c) (d)

non è risolubile; se è risolubile ha una incognita libera; se è risolubile ha solo la soluzione nulla; si può risolvere se ogni colonna della matrice B è combinazione lineare delle colonne di A.

Q 2 . Siano dati i vettori di R 3 u = Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

u, v, w sono linearmente indipendenti; Il prodotto misto dei tre vettori vale 1 . u, v, w non sono complanari. Il volume del parallelepipedo generato dai tre vettori è nullo;

Q3. L'equazione x 2 - 3xy + 8 y2 = 1 rappresenta (a) (b) (c) (d)

un'iperbole; una coppia di rette distinte; una parabola; un'ellisse.

75

76

8 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

Q4. Siano dati la retta r e il piano n rispettivamente di equazioni {x,y,z) = (£,£,£) e 2x - y — z — 3 = 0. Dire quale delle seguenti affermazioni è vera. (a) (b) (c) (d)

r e 7r sono incidenti; r e 7r sono ortogonali; r fi 7r = 0 ; Il fascio avente per asse r contiene il piano 7r.

Q5. L'applicazione lineare / : R 3 —>R 2 definita da (a) (b) (c) (d)

si annulla su almeno un vettore non nullo di R3. èsuriettiva; èiniettiva; ha nucleo di dimensione 1;

Q 6 . La funzione/(x,y) = e ^ 2+2/2_1) (a) ha un punto di minimo neU'origine; (b) non possiede punti stazionari; (c) è tale che il piano tangente al grafico nel punto (0 ,0 , l/e ) èe -x + e -y - e -z + 1 = 0 ; (d) non possiede minimi assoluti. Q7. Nello spazio sia data la sfera y di equazione 4x2 + 4y2 + 4z 2 + 4x + 2y + 2z = 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Il centro di y è (2,1,1). Il centro di y ha distanza 1 dal punto (0,0, - 2 ). La distanza del piano 4x + 2y + 2z = 0 dal centro della sfera è uguale al raggio. (0 ,0 , - 2 ) G y .

Q 8 . Sia data la funzione / : R 2 —>R definita da f (x,y) = 1 + \ / l 2 —3x2 - 4 y 2

(a) La funzione non possiede né massimi né minimi assoluti; (b) Il dominio della funzione è chiuso e limitato;

8 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

77

(c) la funzione non possiede punti stazionari; (d) Il piano tangente al grafico della / neH'origine coincide con il piano xy. ( 1 1 Il o Q9. Si consideri la matrice: B := q \2

(a) (b) (c) (d)

2

5\ 3

2

10 )

Il rango di B è 3; L'immagine dell'applicazione lineare R 3 ->> R 4 associata a B ha dimensione 3; Le prima, la seconda e la terza riga sono linearmente indipendenti; Due colonne distinte qualsiasi di B formano una base dello spazio delle colon­ ne.

Q 10 . Sia 7 (t) = (t3 - 2 + 4 1, 2t3 + 1 - 2i, t) una curva nello spazio. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

La curva 7 non è differenziabile; La retta tangente alla curva 7 in ogni suo punto è parallela a i + j. La curva 7 è differenziabile m a non regolare; La curva 7 è piana; r (x\

Q l l . Sia V il sottinsieme di R 4 definito da V :=

2x + 3z = 0 y I e K 4 x — y -¡-2z — t = 0 > x-hy + z + t = 0

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

V non è il nucleo di un'applicazione lineare r* -> j V è immagine di un'applicazione lineare R 4 R3 F è u n sottospazio di R 4 di dimensione 2 ; V è un sottospazio di R 3 di dimensione 1;

Q 12 . Sia f(x,y,z) = z 2 + z2y —x 3 - x —y - z e si consideri la superficie 5 / di equazione f(x,y,z) = 0 . Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Sf Sf Sf 5/

è regolare nell'origine e ha ivi piano tangente uguale a x + y + z ^ O ; è una quadrica; possiede punti in cui non è regolare. è un cono con vertice nell'origine;

78

8 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

Soluzione dei QUIZ Q l. (a) E' falsa. Per esempio se B è la matrice nulla, il sistema è risolubile. (b) E' falsa. Per esempio si prenda A una matrice quadrata 3 x 3 con tutti gli elementi uguale a 1 e B = 0, allora ci sono due incognite liberi. (c) E' falsa. L'esempio dato in (b) è risolubile e ammette infinite soluzioni. (d) E' corretta. E' conseguenza immediata del teorema di Rouché-Capelli. -4 Q 2 . Si ha

1

-6

= 0.

(a) E' falsa perché il determinante di A è nullo. (b) E' falsa perché il prodotto misto dei tre vettori è equivalente al valore del determinate calcolato sopra. (c) E' falsa perché tre vettori non sono complanari se il prodotto misto è diverso da zero. (d) E' corretta. Il valor assoluto del prodotto misto di tre vettori equivale al volume del parallelepido da loro generato. Q3. Le matrici della conica sono:

e“ ( - f

T i ) H

^

~*3/2

dove det B = -2 1 /4 ^ 0 e det A = 21/4 > 0 (a) (b) (c) (d) Q4. (a) (b) (c) (d)

E' falsa perché det A > 0. E' falsa perché det B ^ 0. E' falsa perché det A ± 0. E' corretta perché det A > 0. E' falsa Infatti 2t — t — t — S = 0, cioè - 3 = 0 assurdo. E' falsa perché il vettore (1,1,1) non è proporzionale al vettore (2 , —1, —1). E' corretta per Vosservazione fatta in (a). E' falsa perché ir non contiene r.

Q5. Per il teorema della dimensione si ha dim Ker / = dim R 3 —dim Im / = 2.

8 (a) (b) (c) (d)

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

79

E' corretta perché il nucleo di f è diverso del vettore nullo. E' falsa perché d im lm / ^ 2 . E' falsa perché dimKer f ^ 0. E' falsa perché dim Ker / = 2.

Q 6 . Siccome la funzione esponenziale è strettamente crescente, basta porre 2x = 0, 2y = 0. L'unico punto stazionario di / è (0,0). La matrice Hessiana nel punto (0 , 0 ) è:

(a) E' corretta. Infatti f ammette un punto minimo nell'origine. (b) E' falsa perché (0, 0 ) è un punto stazionario di / . (c) E' falsa. Il piano tangente al grafico di / nel punto (0,0,1 /e) ha i coefficienti di X e di y nulli. (d) E' falsa, perché (0,0) < f(x,y) per ogni (x, y) G R2. Q7. L'equazione della sfera 5? si p u ò scrivere nel modo seguente: (* + 1/ 2)2 + (y + 1/4 )2 + (z + 1/4 ) 2 = 3/8 (a) E'falsa, infatti il centro è C (—1 /2 ,- 1 /4 ,- 1 /4 ) . (b) E' falsa. Infatti d(C, (0,0, -2 )) = V ( ( l/2 ) 2 + (1/4 )2 + (7/4 ) 2 ± ^/3/8. (c) E' corretta. Infatti la distanza del piano 4x + 2y + 2z = 0 al centro della sfera è uguale Vm . (d) E' falsa perché al sostituire le coordinate del punto (0,0, - 2 ) nella equazione di y si ottiene 12 = 0 . Q 8 . (a) E' falsa, infatti per ogni (x,y) nel dominio si ha 1 < f{x,y) < 1 + Vl2.

Quindi ha u n massimo assoluto nell'origine e una curva (un'ellisse) di minimi assoluti. (b) E' corretta. Infatti il dominio è l'interno insieme al bordo dell'ellisse Sx2 + 4y2 < 12 che è un insieme chiuso è limitato. (c) E' falsa perché l'origine è un punto stazionario per / . (d) E' falsa, infatti il piano tangente al grafico di / nell'origine è z —1 —\/l2 = 0. Q9. (a) E' falsa perché rkB = 2.

8 -

80

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

(b) E' falsa perché la dimensione deirim m agine dell'applicazione lineare associata a B coincide con rkB. (c) E'falsa. Infatti ( 0 , - 1 , 2 ) = (1,1,5) - (1,2,3). (d) E' corretta. Infatti due a due i vettori colonne di B sono indipendenti. Q10. (a) E' falsa. Infatti le coordinate parametriche della curva sono polinomi. (b) E' falsa perché 7 è regolare. (c) E' falsa perché la retta tangente è nell direzione del vettore (312 + 4 , 6£2 - 2 , 1 ). (d) E' corretta. Infatti il piano che contiene la curva 7 è : n : 2x - y - lOz + 5 = 0. Una forma per determinare si la curva è piana è quella di scegliere tre di suoi punti non allineati; ad esempio, A (—2 , 1 ,0), B (3 ,1 , 1 ), C (14,13,2). Si determina l'equazione del piano passante per tali punti: 7r :

Q ll. (a) (b) (c) (d) Q12. (a)

x + 2 y —1 z 5 0 1 =0. 16 12 2

Si sostituiscono le equazioni parametriche di 7 in quella di n e siccome si ottiene 0 = 0, si conclude che la curva è piana. E' falsa perché il sistema è omogeneo. E' falsa perché V è proprio il nucleo di un'applicazione lineare. E' corretta, infatti la matrice dei coefficienti ha rango 2. Segue del teorema della dimensione che V ha dimensione 2. E' falsa perché è un sottospazio di R 4 di dimensione 2 . E' corretta. Infatti si ha che

e il piano tangente in (0 , 0 , 0 ) è proprio x + y + z = 0 . (b) E' falsa in quanto il polinomio è cubico. (c) E' falsa in quanto è una funzione polinomiale. (d) E' falsa in quanto l'equazione non è omogenea di grado 2.

S e c o n d a P a r t e (E s e r c iz i ) Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo di M2 definito, per ogni vettore ( x\ / \y J

(S x + 4 y \ + 9y )

(i) Trovare la matrice M j ’s di / rispetto alla base canonica £ = (ei ,e 2 );

G M2, da:

8 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

81

(ii) Determinare gli autovalori di / ; (iii) Determinare gli autospazi di / ; (iv) Stabilire se / è un endomorfismo semplice; (v) Trovare una base V di IR2 tale che la matrice associata M j ìV di / sia diagonale. Svolgimento dell'esercizio 1. F F

(i) La matrice di / rispetto alla base canonica è : M j ’ = (ii) Gli autovalori di / sono le radici del polinomio caratteristico della matrice M ^ ,£ che viene dato da:

det(3 4 X

9 l a. ) = * 2 - 12»+11 = 0.

Le soluzioni della equazione ci danno gli autovalori: Ài = 1 , À2 = 11. (iii) Gli autospazi sono Va . = Ker ^ ^1 = { a ( “ 2) | A e R }

4^

9

^ ^

i = 1,2 e otteniamo:

Vn = { A ( j ) | A € R }

(iv) / è semplice, infatti ci sono due autovalori distinti. (v) Una base V di M2 per cui la matrice associata di / sia diagonale si ottiene con gli autovettori:

Esercizio 2 . Sia data la funzione f(x,y) = x 3 + y2 + xy e sia S f la superficie grafico di / , definita dall'equazione F(x, y, z) = 0 con F(x, y, z) := f {x, y) — z. (i) Provare che ( 1 , 1 ,3) e Sf. (ii) Trovare il piano tangente a S f nel punto (1,1,3). (iii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione /• (iv) Calcolare un versore normale 1$ a S f nel punto di coordinate (0 , —1 , 1 ). Svolgimento ddl'esercizio 2 . (i) Risulta: F ( x ìy ìz) = f{x,y) - z = x 3 + y 2 + xy - z = 0, allora ( 1 , 1 , 3) e Sf , infatti 1 + 1 + 1 —3 = 0.

82

8 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

dF dF dF (ii) Le derivate parziali di F sono: -7— = Sx2 + y, -7— = 2y + x, -7 — = —1 che valutate ox oy oz nel punto (1,1,3) diventano rispettivamente 4,3, —1. Il piano tangente y r a F i n (1,1,3) è : 4(x - 1) + 3 (y — 1) — (z — 3) = 0 , cioè : 4x + 3y — z — 4 = 0. (iii) Facendo il gradiente di / uguale a zero:

v/(x,y) = ( ^ > § 0 = (3z2 + y , x + 2y) = (0,0) si ottengono i punti P = (0 ,0),Q (l/6, -1 /1 2 ). La matrice Hessiana di / è /a V

tj

_ I dx2

d2f \ dxdy

\ dxdy

dy2 )

6x 1 1 2

Siccome d e tif /( P ) = —1, allora il punto P è un punto di sella per / . Invece, il punto Q è un punto di minimo, infatti det Hf (Q) = 1 e f Xx{Q) = 1 > 0 . (iv) Valutando le derivate parziali di F rispettivamente nel punto di coordinate (0, -1 ,1 ) si ottiene il vettore ( 1 , 2 , 1 ) che risulta essere un vettore normale 1$ a Sf. Per averlo

versore basta dividere per il modulo e otteniamo (-L , - 1 , -L ).

Esercizio 3. Nello spazio siano dati il piano n e la sfera S rispettivamente di equazione ir : x + y — z — 1 = 0 ,

S : x 2 + y2 + z 2 — 4x — 2y + 4z = 0

(i) Determinare centro e raggio di 5. (ii) Scrivere equazioni cartesiane per la circonferenza S D n. (iii) Determinare raggio e centro della circonferenza S n n. (iv) Posto nh '• x + y — z + h = 0, determinare per quale o quali valori di h il piano interseca la sfera S lungo un cerchio massimo.

tth

Svolgimento deH'esercizio 3. (i) L'equazione della sfera S si può scrivere : (x - 2)2 + (y — l )2 + (z + 2 )2 = 9. Segue che il centro è C (2 ,1, - 2 ) e il raggio R è 3. (ii) L'equazioni cartesiane della circonferenza S D 7r sono:

8 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

83

(iii) Si determina la retta l passante per il centro della sfera e perpendicolare al piano ir: l —\ (x = 2 + i, y = 1 + z = - 2 —t), t e R. Il centro della circonferenza si ottiene facendo Ir\n. Sostituendo le coordinate parametriche della retta nell'equazione del piano, si ha che t = —4/3. Il centro della circonferenza è : C' = (2/3, —1/3, —2/3). Per calcolare il raggio r della circonferenza, possiamo usar il teorema di Pitagora, infatti, r = y/ 9 —d(C,C')2 = (iv) Basta imporre che d(( 2 , 1 , - 2 ), n) = 0, cioè |5 + h\ = 0 e allora h = —5.

9 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore P r im a P a r t e (Q u i z ) Q l. In R 2 si consideri l ' insieme A = {(z,y) | 1 < x 2 + y2 < 4 } . Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

(0,0) è interno ad A. A è compatto. ( \/ 2 , 0) è esterno ad A. R 2 \ A è chiuso.

Q 2 . Nello spazio sia data la sfera S di equazione x 2 + y2 + z 2 — 4x + 2z + 1 = 0 . Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Il piano d'equazione x + y + z = 2 passa per il centro di S. (b) La retta di equazioni parametriche (x,y,z) = (t,t,t) interseca S in due punti distinti. (c) Esiste un piano ir tale che ir D S sia una circonferenza di raggio 1 . (d) Il raggio di S è 1 . Q3. Nello spazio sia data la curva C di equazioni parametriche (x,y,z) = (3 cosi, 5 sin ¿,4 cosi), Quale delle seguenti affermazioni è vera? 85

t e R.

9 -

86 (a) (b) (c) (d)

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

C è contenuta nella sfera di equazione x 2 + y2 + z 2 = 25. La curva C passa per il punto (4,2,2). La retta di equazioni parametriche {x.y^z) = ( 5 ,5 , 5), s e R, è tangente a C. C è contenuta nella sfera di equazione x 2 + y2 + z 2 = 5.

Q4. Si consideri la funzione /(x ,y ) = e4*2-*'a+2«'. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

/ non è derivabile neU'origine. / non ha punti stazionari. Il punto (2 , —3) è un massimo relativo per / . Lo sviluppo di Maclaurin al prim o ordine di / è 1 + 2y.

Q5. Per ogni h e R si consideri nel piano la conica Ch di equazione x 2 + 2 xy + hy2 = 2x. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

Per ogni h e R, Ch è non degenere. Esistono infiniti h e R tali che Ch sia una parabola. Per ogni h e R, Ch è un'ellisse. Esistono infiniti h e R tali che Ch sia un'iperbole.

Q 6 . Nello spazio siano date la retta r ed il piano a rispettivamente d'equazioni { 2xX- z i - Z z-2

= 0,

a : x - 2 y + l = 0.

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

r e a si intersecano in un punto. r C a. r e a sono paralleli. r è perpendicolare a a.

Q7. Sia / : R 3 —>R 4 l'applicazione lineare definita da f{x,y,x) = {x + y + 2z,2x + 2 y, - x - y - 2z, - 2x - 2y). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) / è iniettiva.

9 -

Prova Scrìtta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

87

(b) ( - 2 ,- 3 ,2 ,3 ) ¿ I n i (/). (c) La matrice di / rispetto alle basi canoniche ha rango 2 . (d) dim(ker(/)) = 2 . Q 8 . Nello spazio siano dati i punti A = ( 1 , - 1 , 1 ), B = ( - 2 , —1 , -1 ), C = (1,1, - 3) e O = (0 ,0 ,0 ). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

I punti A, B, C sono allineati. \AB\ = 2\OC\. I punti A, B ,C e O sono complanari. I vettori O A, OB, OC sono linearmente indipendenti.

Q9. Sia data una matrice A e R 3’4 di rango 3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

I sistemi A X = 03,i e *AX = 04,i sono equivalenti. Per ogni B e R 3,1 il sistema A X = B non ha un'unica soluzione. Per ogni B e M4,1 il sistema lA X = B ha un'unica soluzione. Il sistema lA X = 04,i è incompatibile.

Q10. In R 3 si considerino i vettori a = ( 1 , - 1, - 1), b = (2, - 3, - 1), c = (3, —4,2) e sia A la matrice avente tali vettori come righe. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

S f (a,6 ,c) = R3. Il sistema A X = O34 ha infinite soluzioni. y/3a + (1 - ^ 6 )i> = 7r3c. Esiste d e R 3 tale che d g (a,6 ,c).

Q l l . Siano date le matrici A=

B =

Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

det(A21B 17) = -1 . 2 A - 3B non ha autovalori in R. det(A21B 17) = 7r3. A e B sono linearmente dipendenti in R3,3.

9 -

88

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

Q 12 . Si consideri l'applicazione f(u,v) = (u2,uv,v2). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) (b) (c) (d)

La matrice jacobiana di / in (0,0) non esiste. (1,0,4) appartiene aH'immagine di / . La matrice jacobiana di / in (0,0) è nulla. / non è continua in (0 ,0 ).

Soluzione dei QUIZ Q l. (a) (b) (c) (d)

E' falsa. Infatti 1 < 0 < 4 è un'assurdo. E' falsa perché l'insieme non è chiuso. E' falsa perché 1 < 2 < 4. E' corretta. Infatti l'insieme è aperto.

Q 2 . (a) (b) (c) (d)

E' E' E' E'

falsa. Infatti 2 + 0 - 1 ^ 2. falsa perché St2 - 2t + 1 = 0 non ha soluzioni reali. corretta. Infatti il raggio della sfera è 2 . falsa per quanto detto in (c).

Q3. (a) E' corretta. Infatti 25(cos2 1 + sin 2 1) = 25. (b) E' falsa perché 3 cos 4 + 5 sin 24 cos 2 ^ 0 . (c) E' falsa. Infatti il vettore tangente alla curva C non è nella direzione del vettore (d) Q4. (a) (b) (c) (d)

E' falsa per quanto detto nel punto (a). E' falsa perché esistono tutte le derivate parziali di / nell'origine. E' falsa. Il punto (0, —1 ) è un punto stazionario per / . E' falsa perché il punto P ( 2 , -3 ) non è un punto stazionario per / . E' corretta. Infatti il polinomio di Mac-Laurin è : f (x,y) = / ( 0,0) + (— )|(0j0)* + ( ^ ) | ( 0,0)V = 1 + 2y.

Q5. Le matrici della conica sono

9 (a) (b) (c) (d)

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

89

E' falsa perché se h = 0, allora det B = 0 e la conica sarebbe degenere. E' falsa perché la conica è parabola quando det A = 0, cioè per h = 1 . E' falsa perché la conica è un'ellisse quando det A > 0, cioè soltanto per h > 1 . E' corretta. Infantti è iperbole quando det A < 0, cioè per h < 1 .

Q 6 . Il sistema dato delle 3 equazioni è rappresentato dalla matrice: /I -1 -1 2 - 3 - 1

(A\b) =

\1

-2

0

1 2 -1

che è equivalente alla matrice 1 0 0

(a) (b) (c) (d)

-1 -1 0

-1 1 0

1 0 -2

E' falsa perché il sistema (^4|b) è incompatibile. E' falsa per la stessa motivazione di (a). E' corretta. Infatti ik(A\b) = 2 e rk(A) = 3. E' falsa perché sono r e a sono paralleli.

Q7. La matrice A associata a / rispetto alle base canoniche è : A

(a) (b) (c) (d)

/ 1 2o -1

o2 -1

\— 2

-2

11

22 \ n0 -2 0

E' falsa. Infatti per il teorema della dimensione dimKer / = 3 - rk(A) = 1 . E' falsa perché (-2 , - 3 , 2 , 3 ) = - | ( l , 2 , - l , - 2 ) - § (1 ,0 ,-1 ,0 ). E'corretta. Infatti rk(^4) = 2. E' falsa per la stessa motivazione di (a).

Q 8 . (a) E' falsa perché l'insieme dei punti {( 1 , - 1 , 1 ), ( - 2 , - 1 , - 1 ), ( 1 , 1 , - 3)} è linear­ mente indipendente, infatti 1

-1

-2 - 1

1

1

-1

1 -3

90

9 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

(b) E' falsa perché \/l3 ^ 2 • vTL (c) E' falsa perché il prodotto misto fra i vettori OA, OB, OC non è nullo. (d) E' corretta per la stessa motivazione di (a). Q9. Si usa il teorema di Rouché-Capelli. (a) (b) (c) (d)

E' falsa. Innanzitutto il num ero di incognite dei due sistemi sono diversi. E' corretta. Infatti il numero di incognite è 4 e rk(A) = 3. E' falsa perché è rk(tA) = 3. E' falsa perché i sistemi lineari omogenei sono compatibili.

Q 10 . Si ha

n A=

- i

- i \

/i

- i

- i \

/i

- ì

2 -3 -1 ~ 0 -1 1 - 0 - 1 \ 3 - 4 2/ \0 - 1 5 / \0 0

- n

1 . 1/

(a) E’ correta. Infatti la matrice A ha rango 3. (b) E' falsa. Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha soluzione unica. (c) E' falsa. Infatti \/3 + 2 - 2 v^6 ^ Zir3. (d) E' falsa perché l'insieme dei punti {a, b, c} è una base per IR3.

Q ll. Si usa il teorema di Binet. Infatti det(A • B) = det A • det i? = 1 • —1 = —1. (a) E' corretta. Infatti det (A21B 17) = -1 . (b) E' falsa perché il polinomio caratteristico ha grado 3 e allora ammette almeno una radice reale. (c) E' falsa per quanto detto in (a). (d) E' falsa. Basta osservare l'elemento ( 1 ,2 ) di ciascuna delle matrice, infatti uno è nullo invece l'altro no. Q 12 . La matrice jacobiana di / è (2u 0 \ J (f) = [ V \0

li

.

2v )

(a) E' falsa. Infatti la matrice jacobiana neU'origine è la matrice nulla di ordine 3x2. (b) E' falsa. Inffatti se u = 0, allora sostituendo nella prim a coordinata si ottiene un'assurdo. Lo stesso accade se v = 0 .

9 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

91

(c) E' corretta per quanto osservato prima. (d) E' falsa. Infatti le coordinate parametriche di / sono polinomi e allora / è continua.

S e c o n d a P a r t e (E s e r c iz i ) Esercizio 1. Sia dato l'endomorfismo / : R 3 -» R 3 avente matrice

rispetto alla base canonica, (i) Determinare il nucleo di /: 0 è autovalore di /? (ii) Determinare una base dell'immagine di / . (iii) Determinare v e R 3 non appartenente all'immagine di / . (iv) Determinare tutti gli autovalori di / . (v) Determinare una base di R 3 formata da autovettori di / . Svolgimento deiresercizio 1 . (i) Per calcolare il nucleo di / si risolve il sistema omogeneo associato alla matrice A. Infatti, / —3 4 —2\ /IO 0 A = - 3 4 - 2 ~ 0 1 - 1/2 V—2 2 - 1 /

VO 0

0

e si ottiene x = 0, y = \ z , cioè Ker / = ((0,1, 2 )). Lo zero è un autovalore di / in quanto la matrice A è singolare. (ii) Si ha che Im / = Jgf((-3, - 3 , - 2 ), (4 ,4 , 2 ), ( - 2 , - 2 , - 1 )) = JSf((-3, - 3 , - 2 ), ( 1 , 1 , 1 / 2 )). Una base per l'immagine di / è l'insieme { (-3 , - 3 , -2 ), (1,1,1/2)}. (iii) Il vettore (0,1,0) non appartiene all'immagine di / . (iv) Per calcolare gli autovalori di / se determinano le radici del polinomio caratteri­ stico della matrice A -3 - t 4 -3 4-t -2

2

-2 -2 -1 - t

Gli autovalori di / sono : Ài = 0, À2 = 1, À3 = —1. (iv) Un base di autovettori di / si calcola determinando delle base per ciascun auto­ spazio. V>(0) = Ker (A) = JSf((0 ,1 , 2 » .

92

9 - Prova Scrìtta del 13 Settembre 2011 - 2 ore yjf(l) = Ker (A — I) = 1,0)). V fW = Ker (A + 1) — -£?((1, 1,1)). Una base di R 3 costituita di autovettori di / è l'insieme {(0, 1 , 2 ), ( 1 , 1 ,0), (1,1,1)}.

Esercizio 2 . Sia data la funzione f (x,y) = x 3 - 3y3 - 2 7 x + y + 3. (i) Determinare i punti stazionari di / . (ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo (relativi) e di sella della funzione / . Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = f(x,y). (iii) Determinare l'equazione cartesiana del piano tangente alla superficie S nel punto (0,0,3). (iv) Determinare le equazioni parametriche della retta normale alla superficie S nel punto (0 , 1 ,1 ). Svolgim ento dell'esercizio 2 . (i) Per calcolare i punti stazionari di / si pone il suo gradiente uguale a zero.

V/(*,Srt = Si ottengono i punti >1(3,1/3), B ( 3, -1 /3 ), C ( - 3,1/3), £>(-3, -1 /3 ). (ii) Si determina la matrice hessiana di / H{ f )

( 0. Allora siccome f xx > 0, B è un punto di minimo relativo per / . -18 0 108 > 0 . Allora siccome f xx < 0, C è un punto di *det H c (f) = 0 -6 massimo relativo per / . *det H D( f ) = _108

6° = -108 < 0. Allora D è un punto di sella per / .

9 -

Frova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

93

(iii) Il piano tangente alla superficie S nel punto P ( 0 , 0,3) dove S ha per equazione z = f(x,y) si calcola dF dF dF ( x - 0 ) + ^ ~ ( y - 0) + ^ - ( z - 3 ) = 0 dx\P dy |p v dz\P e dunque 27x — y + z — 3 = 0.

(iv) Le equazioni parametriche della retta normale alla superficie S nel punto (0 , 1 ,1 ) sono: (x, y , z) = (-27£, 1 - 8 i, 1 - i).

Esercizio 3. Sia data la matrice Ak =

« 1 1 1\ 0 1 k 1 12 12 ^0 0 1 k)

al variare di k e R. (i) Determinare il rango di Ak al variare di k G R. (ii) Risolvere in R 4 il sistema lineare omogeneo avente matrice A 0, determinandone esplicitamente una base dello spazio delle soluzioni. Nello spazio siano dati i piani a, 7, Sk rispettivamente d'equazioni a : 2 x-+-y + z + l = 0 , f a : y + kz + 1 = 0 , 7 : x + 2 y + 2: + 2 = 0 , Sk : z + k = 0. (iii) Stabilire per quali valori di k e R l'intersezione a n

fi 7 fi 4 è non vuota.

Svolgimento dell'esercizio 3. (i) Per calcolare il rango della matrice Ak, si fanno delle operazioni elementari oppor­ tune in modo di ottenere una matrice ridotta equivalente ad Ak. Infatti

Ak

(2 1 1 1 \ 0 1 k 1 12 12 \0 0 1 k)

(0 - 3 0 1 \0

1 2 0

-1

"3 \

k

1

1 1

2

fi 2 1 2 \ 01 k 1 0 0 3k - 1 0 \0 0 1 k)

Se k = | oppure k = 0, allora rk(A^) = 3. Altrimenti rk(Afc) = 4.

94

9 -

Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore

(ii) Per risolvere il sistema omogeneo relativo ad A q, si osserva che

Aq =

(12 1 0 10

2 \

/I 0 0 0 \

1

\0 0

0

0 1 0

1

\0 0 0

0/

0 0 10

0 0 1 0 0/

cioè x = 0 , y + 1 = 0 , 2 = 0 . Lo spazio delle soluzioni è l'insieme {(0, y, 0, —y)/ y € (ii) Basta osservare che detta

( ¿ 1*) =

(2 1 1 0 1 k 12 1 \0 0 1

-i\ -1 -2

-k)

r^j

(0 - 3 - 1 0 1 k 1 ^0

2 0

1 1

3 \ -1 -2

-k)

= Jgf((0 ,l, 0 , - 1)). (\ 2 1 ~ 2\ 0 0 3fc - 1 0 -1 0 1 k -kj ^0 0 1

Se k = 1/3 oppure se k = 0 si ha che rk(A) = rk(A\b) = 3 e i tre piani a n ^ fi 7 Pi Sh si incontrano in un punto. Altrimenti si ha rk(A) = 3 e rk(A\B) = 4 e le rette risultano essere sghembe.

10 Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore Q l. Sia dato il seguente endomorfismo di R 3 : /(a , b, c) = (0 , 0 , b). (a) Se ne trovi il nucleo con una base. (b) Se ne trovino gli autovalori e gli autospazi.

Soluzione. (a) Ker / = {(a,ì),c)GR 3 / / ( a , M ) = (0,0,0)} =

{ ( a A c )G R 3 / ( 0 , 0 ,ò) = (0 , 0 , 0 )} JS?((1 , 0 , 0 ), (0 , 0 , 1)).

Una base per il nucleo di / è l'insieme {(1,0,0), (0,0,1)}. (b) Lo zero è l'unico autovalore di / e il suo autospazio relativo V) (0) coincide con K e r/. Q 2 . Siano dati il piano 7r : x + z = 0 e la retta

r

: x = t,

y = 0,

z = 2t.

(a) Si trovi la proiezione ortogonale di r su 7r. (b) Si trovi su 7r una retta sghemba con r .

Soluzione. (a) Si determina il fascio & di piani contenente la retta r : & : X(2x —z) + fiy = 0, con À, fi non entrambi nulli. Si impone che il prodotto scalare < (2 À, ¿¿, -À), ( 1 , 0 , 1 ) > = 0 . Si ottiene À = 0 . La proiezione ortogonale di r sul piano ir è la retta: 95

96

10 -

Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore

y = 0,

x + z = 0.

(b) Si considerino, per esempio i due punti P( 1 ,0, —1), Q (0,1,0) del piano n. Sia l la retta che li contiene. Le rette l ed r hanno intersezione vuota. Inoltre siccome le equazioni parametriche di l sono x = 1 + y = - t ' , z = —1 - t ' , l non è parallela con r. Allora l ed r sono sghembe.

Q3. Si stabilisca per quali valori di m reale l'equazione x 2 + 4y2 + 4mx y = 2x rappre­ senta una parabola.

Soluzione. La matrice della conica è / 1 2 m - 1\ B = [ 2m 4 0

V-l 0 0J

Affinché la conica sia effettivamente una parabola è necessario che 4 —4m 2 = 0, cioè deve essere m — \ oppure m = —1 . Q4. Quale dei segueti è uno spazio vettoriale? (a) L'insieme delle funzioni reali di una variabile reale che hanno derivata seconda doppia della derivata prim a ovunque; (b) L'insiem e delle matrici quadrate di ordine 7 con determinante = 4; (c) L'insiem e dei vettori dello spazio tridimensionale V3 che non sono paralleli al vettore 2i + k (d) L'insieme delle funzioni reali di una variabile reale continue ovunque tranne che in x = —2 .

Soluzione.

(a) E' corretta. Infatti se / " = 2 / ', e g" = 2g". Allora / " + g" = 2 ( / ' + g'). Inoltre A/" = 2(À/')• (b) E' falsa. Infatti se A è una matrice di ordine 7 tale che det(A) = 4, allora det(-A ) = —4. Invece det(A + (—A)) = 0. (c) E' falsa. Per esempio i vettori i + j + k, ì —j non sono paralleli al vettore 2Ì + k, ma si la loro somma. (d) E' falsa. Per esempio la funzione f ( x) = Risulta che f ( x ) - f ( x ) = 0 e la funzione costante 0 è continua in tutto R.

10 -

Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore

97

Q5. Si discuta la risolubilità del sistema lineare mx + z + 1 = 0 x + y — mz — t = 0 x + y = 2, dove m e R, indicando, quando è risolubile, il num ero di incognite libere. Posto m = 0, si risolva il sistema. Soluzione. La matrice (A\b) del sistema è :

Se m ^ 0 , allora v(A\b) è equivalente alla matrice

1

1

0

0

0 0

—m 1 1 O r n i

2 —2 m

2

e il sistema è sempre risolubile perché rk(A\B) = r k ( A) = 3. Il num ero di incognite liberi è 1 . Se m = 0 , allora v(A\b) è equivalente alla matrice 1 0

1 0 0 2 0 1 0 - 2

0

0

0 1

2

e in questo caso la soluzione del sistema è l'insieme {(#, 2 —x, —2 ,2)/x G R}. Q 6 . Data la matrice

dove h e C, se ne determine il rango al variare di h. Soluzione. Nel caso che h = 0, si ha che

Nel caso che

0 , si ha che 0 i

0

0'

0 0 2/ h 0 0 0 0 0

In ogni modo, per qualunque h si ha che rk(Ah) = 2 .

11 Prova Scritta del 27 Febbraio 2 0 1 2 -2 ore P r im a P a r t e (Q u i z ) Q l. Sia A e R 3,4 una matrice a 3 righe e 4 colonne avente rango 3 e sia X e R 4,1 una matrice a 4 righe e una colonna. Allora (a) Il sistema lineare A X = B ha una sola soluzione, qualunque sia B. (b) Esiste B tale che A X = B non ha soluzione. (c) Le soluzioni del sistema omogeneo A X = O dipendono sempre da due inco­ gnite libere. (d) Il sistema A X = B ha infinite soluzioni, qualunque sia B.

Q 2 . Siano dati i vettori di R 3

(a) (b) (c) (d)

dim £(u,v,w ) = 3 per ogni t e R. Esiste t e R tale che w e £(u,v). u, v, w sono linearmente dipendenti per ogni t e R. Esiste t e R tale che u e £(v,w ).

99

100

11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

Q3. E' data la forma quadratica f (x,y) = —2x2 + 4xy + y 2 . (a) (b) (c) (d)

La matrice associata a / ha un autovalore nullo. La matrice associata ha polinomio caratteristico multiplo di T 2 + 1. Esiste (£ 1 ,2/1) ^ (0,0) per cui si ha f ( xi , yi ) = 0. /(*,y) > 0 per ogni (x,y) € R 2 non nullo.

Q4. Nello spazio sia r la retta passante per il punto (1,1,2) e parallela al vettore i —j+2k. (a) r è ortogonale al piano 2x + y + z = 0 . (b) r appartiene al piano x — y + 2z = 0 . (c) r e il piano x — y + 2z = 0 sono incidenti. (d) r è parallela al piano x — y + 2z = 4.

Q5. E' data l'applicazione lineare / : R 3 —>R 2 associata alla matrice (a) (b) (c) (d)

( 1 ,0 ,0 ) appartiene al nucleo di / . / è iniettiva. L'immagine di / ha dimensione 1. Esistono vettori di R 3 che hanno per immagine (1,1).

Q 6 . Data la funzione /(x,y) = cos(x2 + y2) (a) (b) (c) (d)

/ ha un punto di minimo in (0 ,0 ). / non possiede punti stazionari. Il piano tangente al grafico di / nel punto (0,0,1) è z — 1 = 0. f xx(0 ,0 ) ^ 0 .

Q7. Nello spazio sia data la circonferenza fé7 di equazioni 4x2 + 4y2 + 4z 2 —4x = 0,

(a) (b) (c) (d)

Il centro di fé7è (2 , 1 ,1 ). fé7ha raggio 4. L'asse delle z non ha punti in comune con fé7. (0,0, —2) G fé7.

2x — 1 = 0

^ — ^2 2 2 )

11 -

Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

Q 8. Sia data la funzione / : R2

101

R definita da f(x,y) = 1 + x + y

(a) (b) (c) (d)

L'insieme di livello —1 è vuoto. Il punto (1,1,0) appartiene al grafico di / . La funzione / non possiede punti stazionari. La funzione / non è differenziabile nell'origine.

Q9. Si consideri la matrice: B :=

(a) (b) (c) (d)

B è invertibile. (2 ,0,0) è autovettore di B . B ha un autovalore semplice e uno doppio. B ha un autospazio di dimensione 2.

Q io . Sia 7 la curva nello spazio rappresentata parametricamente da 7 (t) = (t2- 1 , sin t , cos (a) (b) (c) (d)

La curva 7 passa per l'origine. Esiste t e R tale che 7 f(t) = 0 . La curva 7 è piana. Il punto (—1,0,1) appartiene alla curva 7 .

Q ll. Sia V il sottinsieme di M3 definito da V :=

(a) (b) (c) (d)

V V V V

x —y + 2z x+y+z-

contiene 3 vettori linearmente indipendenti. è un sottospazio di R3 di dimensione 2 . è un sottospazio di R3 di dimensione 1. è immagine di un'applicazione lineare R3 —> R4.

102

11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

Q 12 . Si consideri nello spazio la superficie S di equazione x 2 + y2 = 1 . (a) (b) (c) (d)

S S S S

è una circonferenza di raggio 1 . è un cono . ha nel punto ( 1 ,0 ,0 ) piano tangente di equazione x + y + z = 0 ; possiede punti in comune con il piano z = 1.

Soluzione dei QUIZ Q l. Si usa il Teorema di Rouché-Capelli. (a) (b) (c) (d)

E' falsa. Per esempio se B è la matrice nulla, il sistema ha infinite soluzioni. E' falsa perché rk(A) = 3 = rk(A\B) e il sistema è compatibile. E' falsa. Siccome rk(A) = 3, il num ero di incognite libere è 1 . E' corretta. Infatti, il sistema avrà 4 —3 = 1 incognite libere.

Q 2 . (a) (b) (c) (d)

E' falsa. Se t = 0 i vettori u,v sono linearmente dipendenti. E' falsa perché u e v hanno la terza coordinata uguale a zero E' falsa perché se t = 1 i vettori risultano essere indipendenti. E' corretta. Infatti (1,0,0) = 1/2(2,0,0) + 0(1,1,3).

Q3. (a) (b) (c) (d)

E' falsa perché la matrice A associata a / è non singolare. E' falsa perché il polinomio caratteristico è T 2 + T —6 . E' corretta per il teorema degli zeri. E' falsa perché / ammette autovalori di segni discordi.

Q4. La retta r ha equazioni parametriche: (x, y, z) = (1 + t, 1 —t, 2 + 2 1). (a) (b) (c) (d) Q5. (a) (b) (c) (d)

E' falsa perché (1, —1 , 2 ) non è nella direzione di (2 , 1 , 1 ). E' falsa perché l + £ —l + i + 4 + 4£ non si annulla identicamente. E' corretta. Infatti l'intersezione è il punto (1/3,5/3,2/3). E' falsa perché la retta r è perpendicolare al piano x —y + 2z = 4. E 'falsa p e rc h é /(l, 0,0) = ( 1 , 2 ). E' falsa perché dimKer / = 2. E' corretta. Infatti rk(A) = 1. E' falsa perché I m f è generata dal vettore (1,2) e l'insieme {( 1 , 2 ), ( 1 ,1 )} è linearmente indipendente.

11 -

Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

103

Q 6 . Si osserva che V /(a :,y ) =

= (- 2 x s in (a ; 2 + y 2), -2 a;sin (a;2 + y2))

(a) E' falsa perché /ex (0 ,0 ) = 0. (b) E' falsa perché (0,0) è un punto stazionario per / . (c) E' corretta. Infatti i coefficienti di x e y sono nulli. Il piano tangente al grafico di f nel punto (0 , 0 , 1 ) è - 1 (z - 1 ) = 0 . (d) E' falsa per (a). Q7. (a) (b) (c) (d)

E' falsa perché il centro di ^ è (1 / 2 ,0,0). E' falsa perché il raggio di ^ è 1/ 2 . E' corretta. Sebbene l'origine appartiene alla sfera, non appartiene al piano. E' falsa. Infatti (0,0, -2 ) per esempio è un punto che non appartiene al piano, (nemmeno alla sfera).

Q 8 . (a) E' falsa perché l'insieme di livello —1 di / è una retta. (b) E' falsa, infatti il grafico di / è F( x , y , z ) = f(x,y) — z = 0, cioè F( x , y , z ) = l + x + y - z = 0. (c) E' corretta perché le derivate parziali di f sono costanti. (d) E' falsa. Infatti la funzione / è differenziabile nell'origine in quanto è un polinomio. Q9. (a) E' falsa perché ha l'ultim a riga nulla.

(c) E' falsa. Gli autovalori di B sono 1, —1,0. (d) E' falsa. Infatti la dimensione di ciascun autospazio di B è unidimensionale. Q10. (a) E' falsa perché se t2 - 1 = 0, allora t = 1 oppure t = —1 e sint ^ 0. (b) E' falsa. Infatti 7 f(t) = (2 £, cosi, - sint). (c) E' falsa. Infatti l'insieme {t2 — 1 , sin t , cos 1 } è indipendente. (d) E' corretta. Infatti 7 (0 ) = (-1 ,0 ,1 ). Q ll. Si ha che V = {(3£, —t, —2t)/t e R}. (a) E' falsa perché tutti i vettori di V sono combinazione lineare di (3, - 1 , —2 ). (b) E' falsa perché V è unidimensionale. (c) E' corretta. Basterebbe osservare che sono tre gradi di libertà meno due vincoli indipendenti. (d) E' falsa perché V è il nucleo di un'applicazione lineare R 3 -» R4.

104

11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

Q 12 . (a) (b) (c) (d)

E' falsa perché è un cilindro. E' falsa perché non è l'equazione di un polinomio omogeneo di secondo grado. E' falsa perché II piano tangente nel punto (1,0,0) è 2x - z — 2 = 0. E' corretta. Possiedono in comune una circonferenza.

S e c o n d a P a r t e (E s e r c iz i ) Esercizio 1. E' data l'applicazione lineare / : R 4 —> R 3 definita, per ogni vettore (;x,y,z,t) G R4, da: f(x,y,z,t) = (x - y - t , x - z - t , y - z) (i) Trovare la matrice M e^ T di / , dove £ = (ei,e2, e3, e4) e 7 = (fi, f2 >Ì3 ) sono le basi canoniche rispettivamente di R 4 e di R3. (ii) Determinare una base del nucleo di / . (iii) Provare che / non è suriettiva e determinare un vettore di R 3 privo di controimmagini. (iv) Dato il vettore v = (0,1,1) G R3, determinare l'insieme f ~ l (0,1,1) delle sue controimmagini. Svolgim ento ddl'esercizio 1 . (i) La matrice associata ad / rispetto alle base canoniche è :

(ii) Ker / = {(*, y, z, t) e R 4/ f ( x , y , z, t) = (0,0,0)} = Jf ( ( 1,0,0,1), (1,1,1,0)) (iii) Usando il teorema della dimensione, si ha che dim Im/ = dim R 4 - dim Ker / = 4 - 2 = 2. e allora / non è suriettiva. Infatti Im / = è privo di controimmagini.

(( 1 , 1 ,0), (0,1,1)). Ad esempio (0,0,1)

(iv) / - 1(0 , 1 , 0 ) = {( x, y, z , t ) € R4/ f ( x , y , z , t ) = (0 , 1 , 0 )} = {( z +t , l +z , z , t ) / z , t € K}. Esercizio 2 . Sia data la funzione f ( x , y ) = 2y3 + ( y - x)2 - 6x

11 - Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

105

e sia Sf la superfìcie grafico di / , cioè la superficie di equazione F ( x ìy ìz) = 0 dove F(x, y, z) := f {x, y) - z. (i) Calcolare il gradiente di / e il gradiente di F. (ii) Trovare il piano tangente a Sf nel punto ( 1 ,1 , —4). (iii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione /. (iv) Dare una rappresentazione parametrica della retta passante per il punto di coor­ dinate (0 , - 1 , - 1 ) ortogonale al piano tangente a Sf in quel punto. Svolgimento deiresercizio 2 . (i) I gradienti di / e F sono rispettivamente V / = (—2 y + 2x - 6 , 6 y2 + 2 y - 2x)

,

V F = ( - 2 y + 2x - 6 , 6 y 2 + 2y - 2x, - 1 ).

(ii) Il piano tangente a S f nel punto (1,1, -4 ) è 6 x — 6y + z - 1-4 = 0. (iii) Imponiamo il gradiente di / = 0. Si ha f - 2 y + 2x — 6 = 0 \ 6 y 2 + 2y - 2x = 0

I punti stazionari di / sono P{4 , 1 ); Q( 2 , —1). Calcolando la matrice hessiana di / in ogni punto stazionario, si ottiene " '< / > = ( - 2

u ) .

« « (/)-(_ !

w)

Siccome det H p ( f ) e det H p ( f ) sono entrambi positivi (inoltre f xx > 0), i punti P e Q sono punti di minimo per / . (iv) La retta passante per il punto di coordinate (0,—1,—1) ortogonale al piano tangente a Sf in quel punto è ( x = At { y = -l-A t y z = -ì +1 Esercizio 3. Nello spazio sono date le rette ri ed r 2 rappresentate parametricamente da: ri : (x,y,z) = (31 + 1,3t,t)\ r2 : {x,y,z) = (u,2 u, - u) (i) Verificare che ri ed r 2 sono sghembe. (ii) Determinare due piani distinti che contengono la retta ri. (iii) Determinare il piano che contiene ri ed è parallelo a r 2. Svolgimento deiresercizio 3.

106

11 -

Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore

(i) Le rette n e r 2 non sono parallele. Infatti ri è nella direzione del vettore (3,3,1), invece r 2 è nella direzione del vettore ( 1 , 2 , - 1 ) e questi vettori non sono propor­ zionali. Inoltre ri D r 2 = 0. Infatti se ( 3t + 1 = u < 3t = 2u [ t = —u. Dalle ultime due equazioni del sistema si ricava facilmente t = u = 0. Sostituiti tali valori nella prim a equazione si ottiene 1 = 0 , l'assurdo che prova che le rette ri e r 2 sono sghembe. (ii) La retta ri è l'intersezione dei piani x - 3z - 1 = 0,

y - 3z = 0.

(iii) Si considera il fascio di piani che contiene ri, cioè: À(x —3z — 1) + ¡i(y — 3z = 0) = 0 con X e fi non entrambi nulli. Se impone che il prodotto scalare < (A, fi, -3À - 3fi), (1,2, - 1 ) > = 0. Si ottiene la relazione 4À = —5/x. Il piano richiesto è 5x —4y —3z - 5 = 0.

12 Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore (Un esem pio di esame vecchio formato) Q l. Esercizio ( 6 punti) Dati i param etri reali 6 e c, considerare il sistema

(a) posto b = 0 ,c = 1 risolvere il sistema; (b) posto 6 = 1 trovare i valori di c per i quali il sistema ammette soluzioni Q 2 . Esercizio (6 punti) Sia / : R 2 2 — >R 2,2 l'applicazione lineare cosi' definita: x+t

0

0

x 4- 1

(a) determinare una base e la dimensione di Ker/ . La funzione / e' iniettiva? (b) determinare una base e la dimensione di Im/ . La funzione / e' suriettiva? Q3. Esercizio (6 punti) Dato 6 e R consideriamo la matrice A = (a) posto 6 = 1 trovare gli autovalori ed una base per gli autospazi di A. La matrice A e' diagonalizzabile? (b) trovare i valori di 6 per i quali il vettore ( 1 , 1 ) e' un autovettore della matrice A. Q4. Esercizio(7 punti) Consideriamo i punti A (l,0,1),£(1,1,0) e C(0,1,1). (a) Trovare l'area del triangolo di vertici A, B e C e stabilire se il triangolo e' rettangolo. (b) Trovare delle equazioni per la circonferenza passante per A, B e C. 107

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Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore

Q5. Esercizio(4 punti) Dato il num ero reale a e R si consideri la funzione f(x,y) = (x - y ) 2 + a(y - a)2. (a) Posto a = 1 si determinino gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione. (b) determinare, se esistono, i valori di a per i quali il punto P ( —1, - 1) sia un punto di massimo per la funzione. Q 6 . Esercizio(3 punti) Si dimostri vera o falsa la seguente affermazione: per ogni funzione f ( x ) derivabile su R , f ( x ) e f' ( x) sono linearmente indipendenti.

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Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore

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SOLUZIONI Q l. (a) Posto b = 0 e c = 1, si osserva che la terza equazione è la somma delle prim e due. Quindi solo le prime due equazioni sono indipendenti e si trova facil­ mente x = —z e y = 1. Dunque la soluzione generale del sistema è, posto

dove nell'ultima ugualianza si sono evidenziate una soluzione particolare e una base del nucleo della matrice dei coefficienti del sistema. (b) Per b = 1, siccome la somma dei primi membri delle prim e due equazioni uguaglia il prim o membro della terza equazione, il sistema ha evidentemente soluzione se e solo se tale relazione è verificata anche dai secondi membri, cioè se e solo se c = 2 . Q 2 . (a) Si ha che

cioè se e solo se x = —t . Ponendo t = u si ha che

Il nucleo di / ha dunque dimensione 3 e

è una sua base. La / non è iniettiva. (b) La / è sicuramente non suriettiva, poiché la dim I m ( f ) = 1 (per il teorema di dimensione nucleo e immagine). Ogni vettore deU'immagine si può scrivere in modo unico come:

(X+ ‘ e, quindi,

è una base dell'immagine.

x+

t) = (* + »>(o?)

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Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore

Q3. (a) Se b = 1 la matrice A possiede l'autovalore doppio 1 . Essa è ovviamente non diagonalizzabile, poiché rk(A — 1 ) = 1 . Una base dell'autospazio deirunico autovalore 1 è ei, il primo vettore della base canonica di M2. (b) Si trova facilmente 6 = 3. Q4. (a) Siccome

e i prodotti scalari di ogni coppia di tali 3 vettori sono non nulli, il triangolo non è rettangolo. L'area si calcola per esempio come

(b) Basta mettere a sistema l'equazione di una qualsiasi sfera passante per A,B,C , per esempio x 2 + y2 + z 2 — 2 = 0 , coll'equazione del piano x + y z - 2 = 0 , individuato da A,B,C . Q5. (a) Se a = 1, la funzione f a assume solo valori positivi o nulli. La somma di due quadrati è nulla se e solo se entrambi gli addendi sono nulli, quindi se e solo se y = 1 e, quindi, x = 1 . Il punto (1,1) è un punto di minimo assoluto, come si può facilmente verificare anche col criterio del determinante hessiano. (b) Il punto (-1 , - 1) è stazionario per f a se e solo se a = - 1 . In tal caso però si ha un punto di sella, e la questione non ha quindi soluzione. Q 6 . L'affermazione è chiaramente falsa, poiché se f ( x) = k è una funzione costante, f ( x) e f ( x ) sono (k , 0 ), due funzioni linearmente dipendenti.

L'anno prossimo aggiungo gli altri. Ciao.

Jorge