Chi Cuadrado Ejercicios

EJERCICIOS EJERCICIO 1.1.- Un jugador quiere probar que es legal el dado con el que juega. Tiro el dado 120 veces y obtuvo la siguiente distribución de frecuencias de las caras resultantes.

RESULTADO

1

2

3

4

5

6

FRECUENCIA

15

25

33

17

16

14

a) Enuncie las hipótesis hipótesis de la prueba prueba y determine las frecuencias esperadas. b) Describa la estadística estadística de la prueba c) Determine la región región crítica de la prueba al nivel de significación del del 5%. d) ¿A qué conclusión llega usando el nivel de significación 0,05? e) Determine la probabilidad P. 1.Ho: El dado es legal. Ha: El dado no es legal. 2.- Es de dos colas. 3.- Nivel de confianza

        4.-     gl  = k-1

 gl  =6-1

 gl  =5

5.-

Zona aceptación

11,07

6.-

Ei Oi

20 15

20

20

25

20 20

33

20

17

20

16

14

 ∑    [  ]

                   

      

7.- Se acepta la hipótesis alternativa y se rechaza la hipótesis nula, es decir el dado del jugador no es legal ya que se encuentra dentro de la zona de rechazo.

EJERCICIO 2.2.- El gerente de ventas de una compañía P&C afirma que todos sus vendedores realizan el mismo número de visitas durante el mismo período de tiempo. Una muestra aleatoria de 5 registros de los vendedores en una semana dada reveló el siguiente número de visitas. Vendedor

A

B

C

D

E

Número de visitas

23

29

25

23

30

Con el nivel de significación de 0.05, ¿es razonable aceptar la afirmación del gerente?

1)

: hacen el mismo número de visitas : hacen menor número de visitas

2) Gráfica: unilateral y cola a la derecha

Ei Oi

20 15

20

20

25

20 20

33

20

17

20

16

14

 ∑    [  ]

                   

      

7.- Se acepta la hipótesis alternativa y se rechaza la hipótesis nula, es decir el dado del jugador no es legal ya que se encuentra dentro de la zona de rechazo.

EJERCICIO 2.2.- El gerente de ventas de una compañía P&C afirma que todos sus vendedores realizan el mismo número de visitas durante el mismo período de tiempo. Una muestra aleatoria de 5 registros de los vendedores en una semana dada reveló el siguiente número de visitas. Vendedor

A

B

C

D

E

Número de visitas

23

29

25

23

30

Con el nivel de significación de 0.05, ¿es razonable aceptar la afirmación del gerente?

1)

: hacen el mismo número de visitas : hacen menor número de visitas

2) Gráfica: unilateral y cola a la derecha

3) Nivel de significación 0.05 4) Variables cualitativas → chi cuadrado 5) gl = k-1 gl = 5-1 = 4

  = 9,49 6)

26 23

26

29

26

25

26

23

26

30

                                        7) Acepta la hipótesis nula por que realizan el mismo número número de visitas

EJERCICIO 3.3.- El gerente de personal

de la compañía de “REXA” “REXA” quiere quiere probar probar la

hipótesis que hay diferencias significativas de tardanzas de los diferentes días de la semana. De los registros de asistencia obtuvo la siguiente tabla de tardanzas de su personal para cada uno de los días de la semana: DIAS

LUNES

MARTES

MIERCOLES

JUEVES

VIERNES

TARDANZAS

58

39

75

48

80

¿Se puede aceptar la hipótesis del gerente con un nivel de significación de 0.05? 1.- HO = El número de tardanzas en el mismo cada día 2.- La prueba es unilateral de una cola



3.- Nivel de significancia del =0.05 4.-Utilizamos la prueba del CHI-CUADRADO 5.-

z. rechazo z. ace tación

9.488

gl=K-1 gl= 5-1 gl=4 x2=9.488 6. - frecuencias esperadas Xi 58

39 75 48 80 300

 ̅=60 60

60

58

X2=

39

60 75

60 48

60 80

 ∑   = 20.232

7.- Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa debido a que hay tardanzas del personal en cada día de la semana ya que llegan puntuales a la compañía REXA.

EJERCICIO 4.4.- De una muestra de turistas que se hospedan en el hotel “ EL PALMER” se recogió sus opiniones acerca de los servicios del hotel, resultando los siguientes datos:

PESIMA

MALA REGULAR BUENA MUY BUENA EXCELENTE

TURISTAS 20

25

40

54

56

Pruebe con un nivel de significación del 5%, la hipótesis nula de que no hay diferencias significativas entre las opciones de los turistas.

1.- HO = no hay diferencias significativas en las opiniones 2.- La prueba es unilateral de una cola



3.- Nivel de significancia del =0.05 4.- Utilizamos la prueba del CHI-CUADRADO

5.-

z. rechazo z. aceptación

9.488

gl=K-1 gl= 5-1 gl=4 x2=9.488

6. FRECUENCIA ESPERADAS

Xi 20 25 40 54

56 195

 ̅=39 39 20

X2=

39 25

39 40

39 54

39 56

∑   = 27.486

7.- La hipótesis nula se rechaza porque, no hay diferencias significativas en las opiniones de los turistas.

Ejercicio 5 En un día se observó el número de conductores que escogieron cada una de las diez casetas de pago de peaje ubicadas a la salida al sur. Los datos se registraron en l siguiente tabla:

Caseta #

1

# de 580 conductores

2

3

4

5

6

7

8

9

10

700

730

745

720

710

660

655

670

490

Presentan estos datos suficiente evidencia para concluir que hay casetas preferidas?. Utilice el nivel de significancia del 5% Pasos: 1) Ho: No existen las casetas preferidas Ha: Existen casetas preferidas 2) la prueba es unilateral con una cola hacia la derecha.

3) nivel de significancia del 0.5 4) utilizar el Chi cuadrado. 5) grafica gl= k-1 gl= 10-1=9 Tabla obtenemos 16,919

6) calculo estadístico

Ei Oi

666 580

666 700

666 730

666 745

666 720

666 710

666 660

666 655

666 670

666 490

 (9) = ∑        (9) =    +    +

 +  +  +  +        +  +  +   = 82,42     7) Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa que propone que si existen preferencias en las casetas del cobro de peaje.

Ejercicio 6 Un ejecutivo de hipermercado “TOD” afirma que las compras se pagan 30% con cheques, 45% con efectivo y 25% con tarjeta de crédito. En una muestra aleatoria de 400 compradores se encontró q 110 de ellos pagaron con cheques, 210 con efectivo y 80 con tarjetas ¿puede usted concluir con la significación de 0,05 que la afirmación del ejecutivo es razonable?

30% cheque 45% efectivo 25% tarjeta de crédito N= 400 110 cheques 210 efectivos 80 tarjetas

1) Ho: los pagos guardan relación Ha: los pagos no guardan relación entre si 2) la prueba es unilateral con una cola hacia la derecha. 3) nivel de significancia del 0.05 4) utilizar el Chi cuadrado. 5) grafica gl= k-1 gl= 3-1=2 Tabla obtenemos 5,991

6) calculo estadístico

Ei Oi

120 110

(2) = ∑

180 210

 

100 80

 (2) =    +

 +  = 9,83  

7) se rechaza la hipótesis nula y se acoge la alternativa que manifiesta que los pagos con tarjeta, cheque o efectivo no guardan ninguna relación entre si.

EJERCICIO 7.Una maquina llena latas con 300 caramelos de sabores: Piña, Fresa, Limón y Naranja en la relación: 4:3:2:1. Si en una lata de estos caramelos se encontró; 115 de piña, 95 de fresa, 70 de limón, y 20 de naranja, pruebe la hipótesis de que la maquina está mezclando en la relación: 4;3;2;1 al nivel de significación de 0.05.

SABORES RELACION CANTIDAD TOTAL

PIÑA 4 115 119

FRESA 3 95 98



LIMON 2 70 72

NARANJA 10 20 21

1)  = la maquina esta mesclado en la relación 4:3:2:1 2) La prueba es unilateral de una cola 3) Nivel de significación 0.05 4) Utilizamos CHI- CUADRADO

 

7.815

gl= (f -1) (c- 1) gl= (2-1)(4-1) gl=3 X= 7.815

TOTAL 10 300 316

5)

= 300 X 40 =120 = 300 X 30 =90 = 300 X 20=60 = 300 X 10=30 120

90

115

95

60

70

30

20



                             =  +     

= 5.496 6) TOMA DE DECICIONES Como se puede ver aceptamos la hipótesis nula y desechamos la hipótesis alternativa y que la maquina mezcladora tiene relación entre 4:3:2:1.

EJERCICIO.- 8

Se cree que las personas que mueren por sobredosis de narcóticos son generalmente jóvenes. Para comprobar esta hipótesis se ha obtenido la siguiente distribución del número de muertes por sobredosis.

EDAD

15 - 19

NUMERO

31

20 - 24 44

25 - 29

30 - 34

35 - 39

27

39

41

40 MAS 28

O

DE MUERTES Con estos resultados y con un nivel de significación de 0.05. ¿Se puede concluir, empleado, que muere un número igual de personas en cada categoría?



1)  = Muere igual el número de personas en cada categoría 2) La prueba es unilateral de una cola 3) Nivel de significación 0.05 4) Utilizamos CHI- CUADRADO 5)  

11.070

gl= K -1 = 6-1= 5

 = 11.070 6) 35

31

35

44



             

35

27

35

39

35

41

35

28

                     =  +         

= 0.46+2.31+1.83+0.46+1.03+1.4 = 7.486 6) TOMA DECISIONES Se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa y que le número de muertos es igual al número de personas por categoría.

EJERCICIO 9.9. Un investigador escogió una muestra aleatoria de 192 familias con 4 hijos y encontró la siguiente distribución de frecuencias del número de hijos varones:

Número

de 0

1

2

3

4

de 18

42

64

40

28

varones Número familias Él quiere probar la hipótesis de que los nacimientos de varones y mujeres son igualmente probables. Esto es, quiere probar que la distribución de estos datos se aproxima a una distribución binomial. Enuncie la hipótesis de la prueba y obtenga las frecuencias esperadas. Describa la estadística de la prueba Determine la región critica de la prueba al nivel de significación del 5%  A que conclusión llega usando el nivel de significación 0.05 Determine el nivel de significación de la prueba (calcule probabilidad:P) 1) H0: la distribución de nacimiento de varones y mujeres son igualmente probables. H1: la distribución de nacimientos de varones y mujeres no son igualmente probables. 2) La prueba es unilateral y de cola derecha

3) Nivel de significación 0.05 4) Emplearemos la distribución maestral del CHI-CUADRADO 5) Gl= k-1 Gl=5-1=4

9.48

6) Ei

Oi

38.4 18

38.4 42

38.4 64

38.4 40

38.4 28

Cálculo de las frecuencias esperadas

                   [             ]  1. Toma de decisiones  Aceptamos la Ha y rechazamos la Ho. Esto significa que los nacimientos de varones y mujeres no son igualmente probables.

EJERCICIO 10.10. Se lanzaron 200 veces 5 monedas y en cada tirada se contaron el número de caras. Los resultados de este experimento son los siguientes: Número de caras 0 1 Número

2

de 3 15 55

3

4

5

60

40 27

tiradas Pruebe la hipótesis de que la distribución del número de caras se ajusta a una distribución binominal. Use el nivel de significación del 1% 1) H0: la distribución del número de caras se ajusta a la distribución. H1: la distribución del número de caras no se ajusta a la distribución. 2) La prueba es unilateral y de cola derecha 3) Nivel de significación 1% = 0.01 4) Emplearemos la distribución muestral del CHI-CUADRADO 5) Gl= k-1 Gl=6-1=5

15.086

6)

Ei Oi

33.33 3

.3333, 15

33.33 55

33.33 60

33.33 33.33 40

27

1. Cálculo del Estadístico de la Prueba

      

      [                ] 

7.- Toma de decisiones  Aceptamos la Ha y rechazamos la Ho. La distribución del número de caras se ajusta a una distribución binomial.

CONCLUSIONES:   Mediante el presente trabajo hemos podido conocer y aplicar sobre la



distribución de Chi-Cuadrado, además hemos aprendido sobre las relaciones que existen entre las variables dentro de un problema.   Con el desarrollo de varios problemas con respecto al tema hemos



podido practicar y aprender las relaciones existentes: relación infinita, positiva perfecta, negativa imperfecta, nula etc.   La aplicación de Chi cuadrado puede ser compleja en cuanto a la



determinación de las hipótesis, pero son de suma importancia para determinar la aceptación o rechazo de ellas.

RECOMENDACIONES: 

Es de vital ayuda poner en práctica los conocimientos aprendidos ya que nos servirán dentro de nuestra carrera y el desarrollo de la problemática que en ella se engloba.

 Es necesario identificar el Chi cuadrado dentro de las variables porque



estas se aplican para el desarrollo de proyectos. 

Proponer ejercicios mediante la distribución del chi cuadrado en función a las actividades del comercio exterior y así lograr una mayor comprensión.

CRONOGRAMA SEMANA ACTIVIDAD DISEÑO DEL PROYECTO ELABORACIÓN DEL PROYECTO DESARROLLO DEL PROYECTO INFORME FINAL

1 x

2

3

4

x x x

ENTREGA DEL PROYECTO

BIBLIOGRAFÍA

 Aldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.  Altamirano, E. (2007).

5

x

 Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage Learning.

Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales . Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A. Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A. García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N. J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias . ANEXOS: 1) Un camión lleva al país de destino 200 productos perecibles como: manzanas, Limón y Naranja y mangos en la relación: 4:3:2:1. Si en el camión en se encontró; 115 de piña, 95 de fresa, 70 de limón, y 20 de naranja, pruebe la hipótesis que el camión tiene relación: 4;3;2;1 al nivel de significación de 0.05.

PRODUCTOS PERECIBLES RELACION CANTIDAD TOTAL



MANZANAS LIMON

NARANJA MANGOS

TOTAL

4 115 119

2 70 72

10 300 316

3 95 98

1)  = el camión tiene relación: 4;3;2;1 2) La prueba es unilateral de una cola 3) Nivel de significación 0.05 4) Utilizamos CHI- CUADRADO

10 20 21





7.815

gl= (f -1) (c- 1) gl= (2-1)(4-1) gl=3 X= 7.815

5)

= 300 X 40 =120 = 300 X 30 =90 = 300 X 20=60 = 300 X 10=30

120

115

90

95



             

60

70

30

20

               =  +     

= 5.496 6) TOMA DE DECICIONES Como se puede ver aceptamos la hipótesis nula y desechamos la hipótesis alternativa y el camión tiene relación: 4;3;2;1 2) En un día se observó el número de conductores que pasan por el puente de rumichaca . Los datos se registraron en l siguiente tabla:

1 # de 580 conductores

2 700

3 730

4 745

5 720

6 710

7 660

8 655

9 670

10 490

Presentan estos datos suficiente evidencia para concluir que hay casetas preferidas?. Utilice el nivel de significancia del 5%.

Pasos: 1) Ho: No existen las casetas preferidas Ha: Existen casetas preferidas 2) la prueba es unilateral con una cola hacia la derecha. 3) nivel de significancia del 0.5 4) utilizar el Chi cuadrado. 5) grafica gl= k-1 gl= 10-1=9 Tabla obtenemos 16,919

6) calculo estadístico

Ei Oi

666 580

666 700

666 730

666 745

666 720

666 710

666 660

666 655

666 670

666 490

 (9) = ∑     (9) =    +    +

 +  +  +  +       +  +  +  = 82,42     7) Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa que propone que si existen preferencias en las casetas del cobro de peaje para conductores que pasan en el puente de rumichaca pasando mercadería 3) En un estudio realizado en el departamento comercio exterior se aplicó: Una encuesta a los exportadores cuanto exportan en toneladas, obteniendo los resultados que presenta la siguiente tabla

Exportación en toneladas Exportación 1 mes 32  Alto 28 Bajo 60 Total

2 meses 225 290 515

3 meses 50 79 129

total 307 397 704

 Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico hacia el negro y lugar de residencia son independientes 1. Ho: el departamento de comercio exterior y los exportadores

H1: existe dependencia entre las variables. 2. La prueba es unilateral y la cola derecha 3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.05 4. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos variables son cualitativas. 5. Esquema de la prueba Gl =(C-1) (F-1)

Gl =(3-1) (2-1)

1.1.3.4 = 2 11.3.4

Gl= 2 Q= 0.05 X2 = (2) = 5.991 C= # de columnas F= # de filas 6. Calculo del estadístico de la prueba 5.991 Formula

  (  )

x= 3.54

2

X2= 3.54 Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuencias esperadas emplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de frecuencias marginales de dos variables

                     Exportación en toneladas exportacion 1 mes Alto E11 Bajo E21 Total 60

2 meses E12 E22 515

3 meses E13 E23 129

total 307 397 704

Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada celda son igual al productos de las frecuencias marginales correspondientes dividido por el tamaño de la muestra.

    26.16

56.25

224.58

           

33.84

28

290.42

290

72.75

79

        Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias observadas anteriormente

4) En la exportación de naranjas, la empresa exportadora envía mensualmente lotes de 50 cajas al exterior, cada caja tiene un peso aproximado de 20 kilos. Las cajas son previamente almacenadas. Para el

control

de

calidad

examinan al azar, si en alguna caja encuentran por lo

se menos

una

naranja malograda, esta es calificada mala. Para que pase el control mediante la inspección de la muestra no debe haber caja malograda, si solo existe una caj a est a será cambia da, s i hay má s de 1

en las 5 inspeccionadas, inspeccionaran las cincuenta cajas. Según las estadísticas pasadas de un total de 40 envíos, registro lo siguiente: Se puede afirmar que la variable número de cajas en mal estado en la muestra de 5 sigue una distribución Binomial?.

manzanas Grandes Medianas pequeñas total

Rojas 3 5 7 15

verdes 5 4 9 18

ambos 5 8 6 19

13 17 22 52

1) H0: La variable número de cajas sigue una distribución Binomial. Ha: No siguen una Binomial. 2) La prueba es unilateral y de una cola derecha 3) Nivel de significación 0.10 4) Utilización del chi cuadrado 5) Esquema de la prueba Gl = (c-1) (f-1) = (3-1) (3-1) =4 α = 0.10

En la tabla de CHI CUADRADA obtenemos X2 (4) = 7.779 6) Calculo del estadístico de la prueba

            Calculo de las pruebas esperadas.

                                        manzanas Grandes

Rojas

verdes 3.75

ambos 4.5 4.75 13

3

Medianas

5 4.90

5 5.88

6.21

5

17 4

pequeñas

6.35

8 7.62

8.04

7

9

6

22

15

18

19

52

total

                               

       

= 0.15+ 0.06+ 0.01+ 0.002+0.60+0.52+ 0.07+ 0.25+ 0.52 =2.182 7)

ZA

2.182

ZR

7.779

ZA= aceptamos la hipótesis nula porque La variable número de cajas sigue una distribución Binomial.

5) En Tulcán se realiza un estudio si es factible la creación de una Bodega , para la cual se aplicó una encuesta a las personas que se dedican al comercio exterior, obteniéndose los resultados que se presentan a continuación:  Actividad de Comercio Exterior Factibilidad Importadores Exportadores Si No Total

18 12 30

20 8 28

Agentes de Total Aduana 38 76 14 34 52 110

 Al nivel de significación α= 0.05, determinar que las variables factibilidad de

creación de Zona Franca y actividad de comercio exterior son independientes.

a) Ho= factibilidad de creación de Zona Franca y la actividad de comercio exterior son independientes; H1=existe dependencia entre las dos variables.

b) La prueba es unilateral y de cola derecha. c)  Asumimos el nivel de significación de α= 0.05 d) Utilizaremos la distribución muestral de Chi-cuadrado porque las dos variables son cualitativas

e) gl= (C-1)(F-1) gl= (3-1)(2-1) = 2 α= 0.05

x2(2)=5.991

f)  Actividad de Comercio Exterior Factibilidad Importadores Exportadores Si No Total

E11 E21 30

E12 E22 28

Agentes de Total Aduana E13 76 E23 34 52 110

              

               Ei Oi

20,73 18

19,35 20

9,27 12

35,93 38

8,65

16,07

8

14

 ∑  

                        g) Vemos que el valor se encuentra en la zona de aceptación por lo tanto aceptamos la H o.

6) Los estudiantes de comercio exterior quiere determinar si la creación de una empresa de contenedores para el Transporte de exportaciones e importaciones entre Ecuador y Perú.

EMPRESA Grado de perjuicio Están de acuerdo No Están de acuerdo TOTAL

DE ALQUILER DE CONTENEDORES Transportistas Empresas de Exportadores Importadores TOTAL transporte 392 222 331 123 1068 122

324

122

323

891

514

546

453

446

1959

El nivel de significancia es de α=0.05 determinar las variables de la

aceptabilidad de la creación de la empresa. 1).

 la aceptabilidad de la creación de la empresas.

 Existe aceptabilidad. 2). La prueba es unilateral y la cola es derecha. 3) Asumimos el nivel de significancia de α=0.05

4) Utilizaremos la distribución maestral de Ji-Cuadrado porque las dos variables son cualitativas. 5) Esquema de la prueba

          6) Calculo del estadístico de la prueb

         

EMPRESA DE DE ALQUILER DE CONTENEDORES Grado de Transportistas Empresas 280.22 perjuicio de transporte 297,66 Están de 392 acuerdo 233,77 222 248,33

Exportadores Importadores TOTAL

No Están 122 de acuerdo

324

122 206,03

323

891

TOTAL

546

453

446

1959

514

243,14

331 246.96

123

1068 202,85