Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Capítulo 7
INDICE DE EJERCICIOS EJERCICIO 7.1 ....................................................................................... Error! Bookmark not defined. EJERCICIO 7.2 ........................................................................................................................................ 1 EJERCICIO 7.3 ........................................................................................................................................ 3 EJERCICIO 7.4 ........................................................................................................................................ 4 EJERCICIO 7.5 ........................................................................................................................................ 6 EJERCICIO 7.6 ........................................................................................................................................ 9 EJERCICIO 7.7 ...................................................................................................................................... 10 EJERCICIO 7.8 ...................................................................................................................................... 12 EJERCICIO 7.9 ...................................................................................................................................... 18 EJERCICIO 7.10 .................................................................................................................................... 19 EJERCICIO 7.11 .................................................................................................................................... 21 EJERCICIO 7.13 .................................................................................................................................... 22 EJERCICIO 7.14 .................................................................................................................................... 25 EJERCICIO 7.15 .................................................................................................................................... 27 EJERCICIO 7.16 .................................................................................................................................... 29 EJERCICIO 7.17 .................................................................................................................................... 31 EJERCICIO 7.18 .................................................................................................................................... 33 EJERCICIO 7.19 .................................................................................................................................... 34 EJERCICIO 7.20 .................................................................................................................................... 38 EJERCICIO 7.21 .................................................................................................................................... 41 EJERCICIO 7.22 .................................................................................................................................... 44 EJERCICIO 7.23 .................................................................................................................................... 46 EJERCICIO 7.24 .................................................................................................................................... 48
David K. Cheng Capítulo 7
EJERCICIO 7.25 .................................................................................................................................... 52 EJERCICIO 7.27 .................................................................................................................................... 56 EJERCICIO 7.28 .................................................................................................................................... 59 EJERCICIO 7.29 .................................................................................................................................... 60 EJERCICIO 7.30 .................................................................................................................................... 62 EJERCICIO 7.31 .................................................................................................................................... 63 EJERCICIO 7.32 .................................................................................................................................... 64 EJERCICIO 7.33 .................................................................................................................................... 64
David K. Cheng Capítulo 7
EJERCICIOS DEL LIBRO DE DAVID K. CHENG CAPITULO 7 EJERCICIO 7.1 a) a) Obtenga las ecuaciones de onda que rigen los campos E y H en un medio conductor sin fuentes cuyos parámetros constitutivos son , y b) Obtenga b) Obtenga las ecuaciones de Helmholtz para campos con depe ndencia armónica con el tiempo.
a)
0
entonces
J E
para
un medio conductor
E t x xE xH t
xH J
( E ) 2 E xH t E 2 E J t t E 2 E E t t E 2 E 2 E 2 0 l .q.q.d t t
( E ) 0
Para determinar H
xE
H t
x E t H H ( H ) 2 H t t t H H 2 H t t t H 2 H 2 H 2 0 l .q.q.d t t H x E
-1-
David K. Cheng Capítulo 7
b) Demostracion :
2 E j H H j E k E j H E 2 E j j E 2 E j E 2 E Si hacemos k 2 2 2 E j E k 2 E 0 2 H j H k 2 H 0 l .q.q.d j j entonces tenemos :
Contante de propagacion
2 E 2 E 0 2 H 2 H 0 PARA MEDIOS CONDUCTORES:
√
EJERCICIO 7.2
Se usa un radar Doppler de 1 (GHz) en tierra para determinar la posición y velocidad de un aeroplano que se aproxima. Suponga que la señal reflejada por el aeroplano a un ángulo de elevación de 15.5° presento un retardo temporal de 0.3(ms) y un cambio de frecuencia de 2.64 (KHz), determine la distancia, altura y velocidad del aeroplano.
-2-
David K. Cheng Capítulo 7
√ Ecuación para el radar Doppler: fr ft (1 fr ft
u Vp
ft u Vp
Cos ) Cos )
u
Vp
EJERCICIO 7.3
Obtenga una formula general que exprese el favor E ( R) en términos de favor H ( R) para una onda transversal electromagnética y la impedancia intrínseca instantánea del medio, siendo R el vector de posición.
-3-
David K. Cheng Capítulo 7
E ( x, z ) E 0 e
j x x j z z
X i Z k
R X i Y j Z k E R E o e
i
GENERAL
R X ax Y ay Z az GENERAL
j R
R X
Z
H R
1
E j E o j x j z H R X i Z k e x
H R
1
z
ak E
E R ak H R
EJERCICIO 7.4
La expresión de la intensidad de campo magnético instantáneo de una onda plana que se propaga por el aire en dirección +y esta dada por: H a z 4 *106 cos 107 t k0 y
a) Determine k 0 y al posición donde se anula H z en t b) Escriba la expresión de E instantáneo. -4-
4
A m
3 ms .
David K. Cheng Capítulo 7
a)
k L
107
*
8.85 *10 * 4 *10 12
1.0476
H
7
rad m
a z 4 *1 *106 cos 107 0.003 1.0476y =0 4
cos 1 co cos 107 0.003 1.0476 y
1
cos = co 4
0
94227.8 1.0476 y = 4 2
1.047 1.0476 6 y= 9424 94247.8 7.8 y 8964.7 m b)
E a y xH
E H a y ax az ar a y S
E a y H az E a x H 377
E 377 4 10
6
c os107 t k 0 y
E 0.0015 c os10 t k 0 y 7
a X
4
a X
4
-5-
David K. Cheng Capítulo 7
EJERCICIO 7.5
El campo E campo E de una onda plana que se propaga en un medio dieléctrico está dado por
a) b) c) d)
Determine la frecuencia y la longitud de onda. ¿Cuál es la constante dieléctrica del medio?. Describa la polarización de la onda. Encuentre el campo H campo H correspondiente.
a)
-6-
David K. Cheng Capítulo 7
w 10
8
w 2 f 10
8
f 15.91 MHz .
Rta.
1 3 2
1
3
10.88 m.
Rta.
b)
w
er ur c 2
c er w 2 1 3 10 8 3 er 10 8 er 3
Rta Rt a.
c)
E (t ,0) 2Cos 108 t ax sen 108 t ay E 10
E 20
V / m
2 1 -7-
David K. Cheng Capítulo 7
Al ser E10
a tan a tan
≠ E20
se tiene una polarización elíptica, para obtener la dirección hacemos
1 E 20
E 10 1
1 2
o a 26.56
Dándonos una dirección de mano izquierda. La Polarización de la onda es Elíptica de Mano Izquierda.
Rta.
d)
H
E
H z , t
o er
H z , t
E z , t
H y E son perpendiculares
120 3
2 cos10 8 t
z
z ax sen10 8 t ay 3 3 120 3
H z , t
8 z 8 z 10 2 cos 10 ay A / m sen t ax t 120 3 3 3
-8-
Rta.
David K. Cheng Capítulo 7 EJERCICIO 7.6
Demuestre que una onda plana con la siguiente expresión del campo eléctrico instantáneo
E ( z , t ) a x E 10 sen( t kz ) a y E 20 sen( t kz ) tiene polarización elíptica.
E ( z , t ) a x E 10 sen( t kz ) a y E 20 sen( t kz ) Asignamos z=0 para examinar el campo de dirección de E en un punto determinado a medida que varía t.
E (0, t ) a x E 1 (0, t ) a y E 2 (0, t ) E (0, t ) a x E 10 sen( t ) a y E 20 sen( t ) sen( t )
E 2 (0, t ) E 2 (0)
E 1 (0, t )
sen( t )
E 1 (0)
sen( t ) sen( t ) cos( ) sen( ) cos( t )
sen( t ) sen( t ) cos( ) sen( ) 1 sen ( t ) 2
E 2 (0, t ) E 2 (0)
E 1 (0, t ) E 1 (0)
cos( ) sen( )
E (0, t ) 1 1 ( 0 ) E 1
2
Ya que una onda con polarización elíptica resulta de la superposición de dos ondas polarizadas linealmente una en la dirección x y otra en la dirección y y retardada 90º en la fase temporal.
cos( ) 0 sen( ) 1 E 2 (0, t ) E 2 (0)
E (0, t ) 1 1 ( 0 ) E 1
2
Lo cual conduce a la siguiente ecuación de una elipse: 2
2
E 2 (0, t ) E 1 (0, t ) 1 E 2 (0) E 1 (0) Donde E 10
E 20
-9-
David K. Cheng Capítulo 7 EJERCICIO 7.7
Una onda plana uniforme de 3GHz, polarizada en “y”, se propaga en la dirección “+x” en un medio no magnético con constante dieléctrica de 2.5 y tangente de pérdidas de 0.05. a) Determine la distancia a la cual se reducirá a la mitad la amplitud de la onda viajera. b) Determine la impedancia intrínseca, la longitud de onda, la velocidad de fase y la velocidad de grupo de la onda en el medio. c) Suponiendo E a y 50sen(6109 t 3)(V / m) en x=0, escriba la expresión de H instantáneo para todo t y x. a)
2
Tg
Tg .
0.05(2 .3 x109 )(8.85 x10 12 )(2.5) 0.0208 S / m
0.0208
(4 x10 7 )(1)
2
(8.85 x10 12 )(2.5)
2.485 rad / m
1 2 R . R 1 c 8 2 .3 x109 2 1 (1)(2.5) 1 0.05 8 3 x10 8 99.377 rad / m
-10-
David K. Cheng Capítulo 7
e
0.5 e z 0.5 ln(e z ) ln(0.5) z ln(0.5) z
z z
ln(0.5) ln(0.5)
(2.485)
z 0.279 m b)
3 1 j 2 8
2
1 0.05 3 0.0025 2.5 8 238.20 j 5.961 238.2741.43 120
1
[ ] c)
-11-
David K. Cheng Capítulo 7
E 50 Sen(6 10 t / 3) a y
9
50 e j 60
H a j1.43 z 238.274 e
H
0.2098 e j58.56 a z
H ( x, t ) 0.2098 e Sen(6 x10 t x 58.56 ) a z
x
H ( x, t ) 0.2098 e
2.485 x
9
Sen(6 x10 t 99.377 x 58.56 ) 9
A/ m
EJERCICIO 7.8
Determine y compare la impedancia intrínseca, la constante de atenuación (tanto en Np/m como en dB /m ) y la profundidad de penetración del cobre.
cu 5.80 10 7 (S / m ) Y el bronce:
br 1.59 10 7 (S / m ) A las siguientes frecuencias: a) 1 (MHz) y b) 1 (GHz) DESARROLLO:
-12-
David K. Cheng Capítulo 7
a) Para :
cu 5.80 * 10 7 (S / m) f 1 * 10 6 Hz
1
* f * * 1
* (1 * 10 6 ) * ( 4 * 10 7 ) * (5.80 * 10 7 )
66.08 * 10 6
m
* f * * * (1 * 10 6 ) * ( 4 * 10 7 ) * 5.80 * 10 7 15131.19 ( Np / m) 15131.19 * 8.686 131429 .5163 (dB / m) 15131.19 ( rad / m ) * f * 0.0002608 j0.0002608 ( ) (1 j) *
-13-
David K. Cheng Capítulo 7
a) Para :
cu 5.80 * 10 7 (S / m ) f 1 * 10 9 ( Hz )
1
* f * * 1
* (1 * 10 9 ) * ( 4 * 10 7 ) * (5.80 * 10 7 )
2.08 * 10 6 ( m ) * f * * * (1 * 10 9 ) * ( 4 * 10 7 ) * 5.80 * 10 7 478.513 * 10 3 ( Np / m ) 478.513 * 10 3 * 8.686 4156363 .918 (dB / m ) 478.513 * 10 3 ( rad / m ) (1 j) * (1 j) *
* f * * (1 * 10 9 ) * ( 4 * 10 7 ) (5.80 * 10 7 )
0.008250 j0.008250 ()
-14-
David K. Cheng Capítulo 7
b ) Para :
br 1.59 * 10 7 (S / m ) f 1 * 10 6 ( Hz )
1
* f * * 1
* (1 * 10 6 ) * ( 4 * 10 7 ) * (1.59 * 10 7 )
126.21 * 10 6 ( m ) * f * * * (1 * 10 6 ) * ( 4 * 10 7 ) * (1.59 * 10 7 ) 7922 .79 ( Np / m ) 7922 .79 * 8.686 68817 .3539 (dB / m ) 7922 .79 ( rad / m ) (1 j) * (1 j) *
* f * * (1 * 10 6 ) * ( 4 * 10 7 ) (1.59 * 10 7 )
0.0004982 j0.0004982 ( )
-15-
David K. Cheng Capítulo 7
b) Para :
br 1.59 * 10 7 (S / m ) f 1 * 10 9 ( Hz )
1
* f * * 1
* (1 * 10 9 ) * ( 4 * 10 7 ) * (1.59 * 10 7 )
3.99 * 10 6
(m)
* f * * * (1 * 10 9 ) * ( 4 * 10 7 ) * (1.59 * 10 7 ) 250.54 * 10 3 ( Np / m ) 250.54 * 10 3 * 8.686 2176190 .44 (dB / m ) 250.54 * 10 3 rad / m (1 j) * (1 j) *
* f * * (1 * 10 9 ) * ( 4 * 10 7 ) (1.59 * 10 7 )
0.01575 j0.01575 ()
COMPARACIONES: a) Impedancia intrínseca a 1 (MHz) para: Cobre : 0.0003688 Ω Bronce : 0.0007045 Ω Constante de atenuación a 1 (MHz) para: Cobre : 15131.19 Np/m =131429.51 Db/m Bronce : 7922.79 Np/m =68817.3539 Db/m Profundidad de penetración a 1 (MHz) para: -6 Cobre : 66.08*10 m -6 Bronce : 126.21*10 m b) Impedancia intrínseca a 1 (GHz) para: Cobre: 0.0116672 Ω Bronce: 0.022273 Ω -16-
David K. Cheng Capítulo 7
Constante de atenuación a 1 (GHz) para: Cobre: 478513 Np/m =4156363.9Db/m Bronce: 250540 Np/m =2176190.44 Db/m Profundidad de penetración a 1 (GHz) para : -6 Cobre: 2.08*10 m -6 Bronce: 3.99*10 m
-17-
David K. Cheng Capítulo 7 EJERCICIO 7.9
Si la profundidad de penetración del grafito a 100 MHz es 0.16mm, determine. a) La conductividad del grafito y b) la distancia que se propaga una onda de 1 GHz en el grafito antes de que su intensidad de campo se reduzca en 30 dB. DATOS:
fe 100 Mhz 0.16mm r del grafito 1 a)
1
1 f
1 2 f
donde :
1
0.16 10 100 10 4 10 3 2
6
7
s m
9.9 10 4 b)
1 Np 8.69dB
f 109 4 107 9.9 104
Np 1.98 10 4 m
8.69dB 1 Np 30dB x x
30dB 1 Np 8.69dB
distancia
3.45 Np 1
3.45 Np Np 1.98 10 4 m
distancia 0.175 mm
-18-
David K. Cheng Capítulo 7 EJERCICIO 7.10
Hay un continuo debate sobre los riesgos de la radiación para la salud del ser humano. Los cálculos siguientes sirven para una comparación a grandes rasgos. a) En estados unidos la norma de seguridad personal para trabajo con equipos de microondas es que la densidad de potencia sea inferior a 10(mW/cm2). Calcule la norma correspondiente en términos de la intensidad de campo magnético. b) Se estima que la tierra recibe energía radiante del sol a razón de unos 1.3(KW/m 2) en un día soleado. Suponga que se trata de una onda electromagnética plana (que no lo es) y calcule las amplitudes equivalentes de los vectores de intensidad de campo eléctrico y magnético.
a)
mW cm2
W m2
10
S AV
1
100
RE E x H
2
*
E Em .e j z i
H=
S AV
S AV
E m
e
j z
j
1
1 E
RE Em .e
2
j z
i x
E m
e
j
e
j z
j
2
2
cos( ) 100
Medio sin peridas: 0 120
E
H
120 cos( ) E
274.5 120
120.200
274.5 V / m
0.728 A/m
-19-
David K. Cheng Capítulo 7
b)
KW m 2 W m 2
SAV 1.3 SAV 1300
E
2
RE E x H*
Em .e j z i E m
H=
E
1
SAV
1
RE Em .e j z i x
2
1 E
S AV
e j z j
E m e
j
e j z j
2
2
cos( ) 1300
Medio sin peridas:
0
120
120
E
H
cos( )
E
990.038 120
120.2600 990.038 V / m
2.626 A/m
.3 x108
E
990.038.e j ( .3x10
c
3x10
H= 2.626e
8
8
j ( .3x 108 ) z
) z
i
j
-20-
David K. Cheng Capítulo 7 EJERCICIO 7.11
Demuestre que el vector de pointing instantáneo de una onda plana con polarización circular que se propaga en un medio sin perdidas es una constante independiente del tiempo y de la distancia.
s(t ) E (t ) H (t )
Desplazamiento en x.
M.S.P
α=0 x x j x j x E E e j jE e k E e j jE e k
E E x x H e k j e j
E
E
e j x k j e j x j
E E e j e j x j j E e j e j x k
j E e j E e j x e k j e j x j H
jwt E (t ) RE ( E e )
E (t ) E cos(w t x ) j E sen(w t x )k
E E H (t ) cos(w t x )k sen( w t x ) j
s(t ) E (t ) H (t )
-21-
David K. Cheng Capítulo 7
s(t )
E
2
2
E sen 2 ( w t x )i cos ( w t x )i 2
2
s(t )
E i
EJERCICIO 7.12 Suponga que la intensidad de campo eléctrico de radicación de un sistema de antenas es E=aѲEѲ+ a фEф , determine la expresión de la intensidad del flujo de potencia media que parte por unidad de area.
E a E a E 1
H
E x a R
H
1
H
1
P av
( a E a E ) x a R
( a E a E )
1 2
Re( E x H *)
E x H * a E
E x H * E
Pav a R
2
a E x a E * a E * 2
E a R
E 2 1
2
E
EJERCICIO 7.13 -22-
2
David K. Cheng Capítulo 7
Desde el punto de vista del electromagnetismo, la potencia transmitida por un cable coaxial sin pérdidas puede calcularse en términos del vector de Poynting dentro del medio dieléctrico que hay entre el conductor interno y el revestimiento externo. Suponga que la aplicación de un voltaje de corriente continua Vo entre el conductor interno (radio a) y el revestimiento externo (de radio interno b) ocasiona el flujo de una corriente I por una resistencia de carga. Compruebe que la integración del vector de Poynting sobre la sección transversal del medio dieléctrico es igual a la potencia VoI que se transmite a la carga.
Comenzamos calculando el campo eléctrico del conductor interno.
E
J
I a
k 2
Ahora calcularemos el H en el dieléctrico es decir entre a y b.
I Hdl I Hr (2 )
H
I 2 r
El vector Poynting (P)esta dado por:
P P
I a
k X 2
I 2 2 a 2 2 r
I 2 r
r
Integrando P a través de la superficie transversal del dieléctrico, tenemos:
-23-
David K. Cheng Capítulo 7
Pot Pot
I 2
2 a 2 2 r l 2
0 0
r dr
I 2 2 a 2 2 r
rd dz
I 2l Pot r a 2 Como
l a 2
=R
Pot I 2 R Pot IIR Pot I .Vo
-24-
David K. Cheng Capítulo 7 EJERCICIO 7.14
Una onda plana uniforme en el aire con E i ( x, t ) a y 50 sen(108 t x)(V / m) incide normalmente sobre un medio sin perdidas ( r 2, r 8, 0 ) en la región x 0.
Determine:
a) Er y Hr. b)
, y S , y
c) Et y Hi.
Para el aire es un medio sin perdidas r
1,
r 1, 0
Primero calculamos las impedancias intrínsecas:
aire 2
120
120
r r
8
120
240 120 240 120 2 * 240 240 120
2 1 3 4 3
S
240
1
1
1
2
c c
-25-
1 1
r 1 r 1 r 2 r 2
1 3 1
2
3
0.3333
4 3
David K. Cheng Capítulo 7
Ahora calculamos los valores de los campos eléctricos y magnéticos, reflejado y transmitido:
E r ( x, t ) a y 50.. sen(108 t x)(V / m) E r ( x, t ) a y
50 3
H r ( x, t ) a Z . H r ( x, t ) a Z
.. sen(108 t 0.333 x)(V / m)
16.666
16.666 120
sen(108 t x)(V / m)
.. sen(108 t 0.333 x)(V / m)
H r ( x, t ) a Z .0.0442. sen(108 t 0.333 x)(V / m)
Ahora la Onda Transmitida:
E t ( x, t ) a y 50. . sen(108 t x)(V / m) E t ( x, t ) a y
200 3
.. sen(108 t 4 / 3 x)(V / m)
H r ( x, t ) a Z .
200 / 3
H r ( x, t ) a Z
200 / 3
2 240
sen(108 t 4 / 3 x)(V / m)
.. sen(108 t 4 / 3 x)(V / m)
H r ( x, t ) a Z .0.08841. sen(108 t 4 / 3 x)(V / m)
-26-
David K. Cheng Capítulo 7 EJERCICIO 7.15
Una onda plana uniforme se propaga en la dirección z (hacia abajo) hacia el océano ( r 72 , r 1 , 4( s / m) ). El campo magnético en la superficie del océano ( z 0 ) es
H (t ,0) 0.3 cos(10 t ) j (A/m). 8
a) Determine la profundidad de penetración y la impedancia intrínseca del agua del océano. b) Determine las expresiones de E ( z , t ) y H ( z , t ) en el océano. c) Calcule la perdida de potencia media por unidad de área en el océano como función de z Solución: Verificamos el factor
para aplicar las aproximaciones.
4
8
10 x72 x
10 9 36
20
Como el factor
>>1 aplicamos las formulas aproximadas de un buen conductor.
a)
2 10 8 (4 x 10 7 )(4) 2
15.853
(1 j ) 15.853 (1 j ) 4 3.963 x (1 j ) 5.60e j 0.707
1 1 15.853
63.079 x 10 .3
-27-
David K. Cheng Capítulo 7
b)
E
E ( z , t ) E 0 e z cos( t z ) i
E 0
H H 0
H 0
5.60e 0.707
E ( z , t ) H 0 e cos( t z ) i z
E ( z , t ) H 0 e cos( t z ) i z
E ( z , t ) (0.3)5.60 e E ( z , t ) 1.68e
15.853 z
15.853 z
cos(10 t 15.853 z 0.707) i 8
cos(10 t 15.853 z 0.707) i 8
Ho 0,3
H ( z , t ) 0.3 e 15.853 cos(108 t 15.853 z ) i z
c) S AV
1
S AV
1
S AV
S AV
S AV
S AV
S AV
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Re[ E x H * ] j Re[ E 0 e z e j z e n x[ H 0 e z e j z ]* ]
j Re[ E 0 e z e j z e n i x[ H 0 e z e j z ] j ]
Re[ E 0 H 0 e 2 z e j n ] k
[ E 0 H 0 e 2 z cos( )] k
[(1.68)(0.3)e 2(15.853) z cos(0.707 rad )] k
0.1782 e
31.7 z
k
-28-
0.3
David K. Cheng Capítulo 7
EJERCICIO 7.16
Obtenga las razones siguientes para las ondas planas uniformes en un medio 1 que inciden normalmente sobre una superficie de separación plana con un medio 2:
H r 0
a)
H i 0
E r 0
E i 0
H r 0
b)
H i 0
y compare el resultado con el coeficiente de reflexión de la ecuación:
1 2 1 2
y compare el resultado con el coeficiente de reflexión de la ecuación:
E r 0 E i 0
2 2 2
1
a) Condiciones de Frontera:
H tg 2 H T
x0
H tg 1 x0
H i H r
H i
H T
H i
H r
H i
H i H i
1
E tg 1 E i
x 0
E tg 2 x0
E r E T
1 H i
1 H r 2 H T
1 1
-29-
1 2 1 2
2 2 2
1
David K. Cheng Capítulo 7
1 H i
1 H i 2 H i
2 1 1 1 1 2 (1 ) 1 1 2 2
1 2 1 2
Comparando las ecuaciones obtenidas con las ecuaciones dadas del campo eléctrico son las mismas, y esto es razonable ya que los coeficientes
de reflexión y transmisión no varían si tomamos el
campo eléctrico o magnético.
-30-
David K. Cheng Capítulo 7
EJERCICIO 7.17
Una onda plana con polarización circular de mano derecha, representada por el favor
E z
E o (a x ja y )e j z incide normalmente sobre una pared conductora perfecta en z=0.
a) determine la polarización de la onda reflejada.
b) calcule la corriente inducida sobre la pared conductora.
c) obtenga la expresión de la intensidad eléctrica total instantánea utilizando una referencia de tiempo coseno.
a)
Incidente ak = az
reflejada ak = -az
i( z ) Eo(a x ja y )e j z r ( z ) Eo(a x ja y )e j z
polarización circular de mano izquierda con dirección z
b)
-31-
David K. Cheng Capítulo 7
o
Hi( z )
y
o
Hr ( z ) H ( z )
a
a
ja x e j z
a
ja x e j z e j z
y
o
H ( x )
ja x e j z
y
o
a x
e
j z
a y
Js 0
0
H x
H y
e j z
;
H ( y )
o
e
j z
e j z
a z
o o 1 a x e j z e j z a y j e j z e j z 0
o j z j z e e a x ja y o cos z jsen z cos z jsen z a x ja y Js Js
Js J s
2o 2o
cos z a x ja y
a
x
z 0
ja y
c)
( z ) i( z ) r ( z ) ( z ) oa x ja y e j z e j z ( z ) oa x ja y cos z jsen z cos z jsen z ( z ) 2osen z a x ja y ( z , t ) Re2osen z a x ja y e j t ( z , t ) Re2osen z a x j cos t sen t a y cos t jsen t a x j cos t sen t a y cos t jsen t ( z , t ) 2osen z a x sen t a y cos t
-32-
David K. Cheng Capítulo 7
EJERCICIO 7.18
Determine la condición en la cual la magnitud del coeficiente de reflexión es i gual al coeficiente de transmisión de una onda plana uniforme que incide normalmente sobre una superficie de separación entre dos medios dieléctricos sin perdidas. Cuál es la razón de onda estacionaria en dB para esta condición? Para una onda normal incidente
1 , donde Si
: 1
1 2 1
1
2 2
3 2
S
S dB
1 2
1
3 1 20 log10 3 9.54 dB
-33-
David K. Cheng Capítulo 7
EJERCICIO 7.19
Una onda plana uniforme en el aire con E i z a x 10e
j 6 z
[V/m] incide normalmente sobre
una superficie de separación en z = 0 con un medio con pérdidas que tiene constante dieléctrica de 2.25 y tangente de pérdidas de 0.3. Encuentre lo siguiente:
a) Las expresiones fasoriales de E r (z), Hr (z), Et(z), Ht(z). b) La razón de onda estacionaria para la onda en el aire. c) Las expresiones de los vectores de Poynting de media temporal en el aire y en el medio con pérdidas.
a)
1 120 aire
r
2.25
tan c
*
0.3
6 4 *10 7 * 8.854 * 10 12
1.8 *10 9
0.3
0.3 0.3 *1.8 *10 9 * 8.854 *10 12 * 2.25 0.0107
-34-
rad s
David K. Cheng Capítulo 7
2
2
j
j j
0.3 j 9
j1.8 *10 * 4 *10
2
2
245.998.34 251.6 j37.96
2
0.0107 j1.8 *109 * 8.854 *1012 * 2.25
2 1 2 1
251.6 j37.96 120 251.6 j37.96 120
0.1951 j0.0722 0.208159.7 0.208e j159.7 º
E r 0
E r 0
0.208 e j159.7 º x E i 0 0.208 e j159.7 º x10 2.08e j159.7 º
E r 0 E r 0
7
E i 0
0.208 e j159.7 º
E r z a x E r 0 e j 1 z E r z a x 2.08e j159.7 º e j 6 z
E r z a x 2.08e j 6 z 159.7
V m
-35-
David K. Cheng Capítulo 7
E j z H r z a z a x r 0 e 1 1
H r z a y
2.08 120
j 6 z 159.7
e
H r z a y 0.0055e j 6 z 159.7
A m
1 1 0.195 j 0.0722 0.8049 j 0.0722 0.80815.123º 0.808e j 5.1º
E t 0
E t 0
0.808 e j 5.1º x E i 0 0.808 e j 5.1º x10 8.08e j 5.1º
E t 0 E t 0
E i 0
0.808 e j 5.1º
E t z a x E r 0 e j 2 z
E t z a x 8.08e j 5.1º e j 9.10 z
E t z a x 8.08e1.35 z e j 9.10 z 5.1
V m
254.448.57º
-36-
David K. Cheng Capítulo 7
H t z a z a x H t z a y
E r 0
1
j 1 z
e
8.08
j 9.10 z 3.4
254 .448.57 º
e
H t z a y 0.032e1.35 z e j 9.10 x3.4
A m
b)
1 1 0.208 s 1 0.208 s
1
s 1.53
c)
av 1 a z
E i20
1 2 2
1
av 1 a z
102
1 0.208 2 x120
av 1 a z 0.127
av 2 a z av 2 a z
E i20
2 2
2
W/m 2
2
102
2x 254.4e j 8.58º
0.808e
j 5.1º 2
-37-
David K. Cheng Capítulo 7
av 2 a z 0.127 e 2.70 W/m 2
EJERCICIO 7.20
Una onda plana senoidal uniforme en el aire tiene la siguiente expresión fasorial para la intensidad eléctrica: E i ( x, z ) a y 10e
j ( 6 x 8 z )
(V / m)
La onda incide sobre un plano conductor perfecto en z = 0. a) Calcule la frecuencia y la longitud de onda b) Escriba las expresiones de Ei(x, z; t) y Hi (x, z; t) instantáneos. c) Determine el ángulo de incidencia. d) Determine Er (x, z) y Hr (x, z) de la onda reflejada. e) Determine El(x, z) y Hl(x, z) del campo total en el aire. a.
-38-
David K. Cheng Capítulo 7
6 1 cos i 8 1 sen i
6 2 82 1 10 1
i
tan 1
i
36 64
6
8 i 36.869º c
i * c
10 * (3 x10 8 )
3 x10 9 rad seg 2 * * f f
2
3 x10 9 rad / seg
2 2 f 477.464 MHz
2 10
0.628m b.
Como es incidencia oblicua:
Y como ya teníamos el dato:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ |⃗|
El vector unitario incidente es:
⃗ |⃗⃗ | ⃗⃗ 1, Er 0 Ei0 10 E i ( x, z ; t ) a y 10 cos( t 6 x 8 z )
-39-
David K. Cheng Capítulo 7
Entonces H se expresa de la siguiente manera:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗) c.
6
i
tan 1
i
tan 1 0.75 36.869
i
8
d.
1, Er 0 Ei0 10 E r ( x, z ) a y 10e
j ( 6 x 8 z )
Entonces H se expresa de la siguiente manera:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗) ⃗ ( ⃗ ⃗)
Expresando de manera instantánea:
e.
-40-
David K. Cheng Capítulo 7 E 1 ( x, z ) E i ( x, z ) E r ( x, z ) E 1 ( x, z ) a y 10e
j ( 6 x 8 z )
E 1 ( x, z ) a y 10(e
j 8 z
( a y 10e j ( 6 x 8 z ) )
e j 8 z )e j 6 x
E 1 ( x, z ) a y j 20 e
j 6 x
sen(8 z )
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗) ⃗ ( ⃗ ⃗)
EJERCICIO 7.21
Una onda plana uniforme con polarización perpendicular incide oblicuamente sobre una frontera plana con 1 0 , 2 2.25 0 , 1 2 0 . Suponga Ei0 = 20 (V/m), f = 100 (MHz) y i = 30o.
a) Calcule los coeficientes de reflexión y de transmisión.
-41-
David K. Cheng Capítulo 7
r 1
1
120
1
120
2
120
r 2
2
120
1
2
251.32
r 1
r 2
2.25
1
1
2 x100 x10 6 4 x10 7 8.854 x10 12
1
2.095 rad / m
2 2
2 x100 x10 6 4 x10 7 8.854 x10 12 2.25 3.144 rad / m
1 Sen i 2 2 1 2 1 Cos t Sen 2 i 2 Sen t
2
Cos t 1 1 Sen 2 i 2 2
2.095 Sen 2 30 Cos t 1 3.144 t 19.4610 Cos i 1Cos t 251.32 Cos30 120 Cos19.461 2 0.241 2 Cos i 1Cos t 251.32 Cos30 120 Cos19.461 2 2 Cos i 2 251.32 Cos 30 0.759 2 Cos i 1Cos t 251.32 Cos30 120 Cos19.461
E t 0 E i 0
0.759 x 20 E t 0 15.18 V / m E t 0
b) Escriba la expresión de E t ( x, z ; t ) y H t ( x, z ; t ) instantáneos.
-42-
David K. Cheng Capítulo 7
E ts E 0 t e j j 2 sen tx cos tz E ts E 0 t e j 2 sen tx cos tz
E t
15.18 Cos200 x10 6 t 1.05 x 2.96 z j V / m
H t
H t
0.0604 Cos200 x10 6 t 1.05 x 2.96 z 0.94i 0.33k A / m
15.18 2
Cos i Sen k
Cos 200 x10 t 1.05 x 2.96 z 6
t
t
-43-
David K. Cheng Capítulo 7 EJERCICIO 7.22
Una Onda plana uniforme con polarización paralela incide oblicuamente sobre una frontera
2.25 0 , 1 2 0 , 0.053 ( A / m), f 100 MHz y i 30º
plana con 1
H i 0
0 ,
2
como se ilustra en la figura 7-15. Suponga
a) Calcule los coeficientes de reflexión y transmisión. b) Escriba la expresión de E t ( x, z , t ) y H t ( x, z , t ) instantáneos.
r 1
1
120
1
120
2
120
r 2
1
120
1
1
251.32
r 1
r 2 2.25
-44-
David K. Cheng Capítulo 7
1
1
2 x100 x10 6 4 x10 7 8.854 x10 12 2.095 rad / m
1 2 2
2 x100 x10 6 4 x10 7 8.854 x10 12 2.25 3.144 rad / m
1 sen i 2 2 1 cos2 t 1 sen 2 i 2
sen t
cos t 1 1 2
2
sen 2 i
2.095 cos t 1 3.144 t 19.461º
2
sen 2 30
a) Calcule los coeficientes de reflexión y transmisión.
1 cos i 251.32 cos19.461 120 cos30 E i 0 2 cos t 1 cos i 251.32 cos19.461 120 cos30 236.96 326.483 236.96 326.483 89.522
E r 0
2 cos t
563.445 0.1588
-45-
David K. Cheng Capítulo 7
E t 0 E i 0 E t 0 E i 0 E t 0 E i 0
2 2 cos i 2 cos t
1 cos i
2251.32 cos 30 251.32 cos19.461 120 cos30 435.299 236.96 326.4838
435.299
563.4455
0.772566
b)Escriba la expresión de E t ( x, z , t ) y H t ( x, z , t ) instantáneos. Hi0=0.053 (A/m)
H i ( x, z ) ay 0.053 e
j 1 xse n i z cos i
de donde : 1
2
w c
2 x10 8 3 x10
2 2
8
r 2
2 3
rad / m
rad / m
H i ( x, z ) ay 0.053 e j x / 3 z / 3 A / m E i x, z 19.98a x 0.866 a z sen 0.5 e j x / 3 z cos / 3
V / m
E i 0 0.772 x 19.98 15.42 V / m E i x, z 15.42ax 0.943 az 0.33e j 1.05 x 2.96 z H t x, z ay 0.061e j x 1.05 2.96 z E t x, z ; t 15.42ax 0.943 az 0.33cos2 10 8 t 1.05 x 2.96 z V / m H t x, z ; t ay 0.061 cos 2 10 8 t 1.05 x 2.96 z A / m E t 0
EJERCICIO 7.23 -46-
David K. Cheng Capítulo 7
a. Proponga un método para medir la densidad máxima de electrones en la ionosfera b. Suponiendo que N m ax 8 1011 por metro cúbico, analice la frecuencia mínima que puede usarse en la comunicación con una estación especial más allá de la ionósfera. c. ¿Qué sucede para una incidencia oblicua sobre la ionósfera si se emplea una frecuencia más baja? a)
p
2 f p
Ne2 m 0
Donde:
N : Número de electrones e:
carga del electrón
m : masa del electrón f p : frecuencia del plasma
2 f
2
p
N
Ne2 m 0
2 2 m 0 e
2
f p
N 0.012404 f p
2
2
De esta manera obtenemos un método para determinar el número máximo de electrones en función de la frecuencia del plasma, lo que se tendría que realizar es enviar una señal a un frecuencia baja y medir la señal de retorno, ya que si existe señal de retorno indica que la frecuencia usada es menor a la del plasma y la onda se reflejo, entonces vamos aumentando la frecuencia hasta no detectar onda reflejada, entonces esa frecuencia será la frecuencia del plasma y así podemos usar la fórmula anterior y encontrar la densidad máxima de electrones.
b) f 9 N ma x
9 8 1011 8.04
MH
c)¿Qué sucede para una incidencia oblicua sobre la ionósfera si se emplea una frecuencia más baja? Al tener una frecuencia de plasma de 8.04MHz, e ingresamos un frecuencia más baja, esta señales no puede penetrar la capa especificada y se producirá una reflexión, la cual incidirá en el suelo y nuevamente se reflejará hacia la ionosfera, realizando múltiples saltos lo que permite
-47-
David K. Cheng Capítulo 7
que pueda propagarse a grandes distancias alrededor de la Tierra debido a las reflexiones múltiples entre la frontera de la ionósfera y la superficie de la Tierra.
EJERCICIO 7.24
Una onda plana uniforme incide en la ionosfera con un ángulo de incidencia θi = 60º. Suponga una densidad constante de electrones y una frecuencia de la onda igual a la mitad de la frecuencia de plasma de la ionosfera. Determine:
a) Г┴ y τ┴ b) Г║ y τ║
medio 1: Aire medio 2: Ionosfera
2 i 60º 1 120 1
P 2
Donde ωP es la frecuencia de plasma:
1
j 0
1
j j
c P
2 3.10 8 1 j P 8 6.10 1
-48-
David K. Cheng Capítulo 7
Para la ionosfera tenemos:
f 2 j 0 1 P f
2
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