chapter 10-REDUCTION BLOCK DIAGRAM

ME 413 Systems Dynamics & Control 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Chapter 10:  Time‐Domain Analysis and Design of  Control Systems: Block Diagram Reduction A. Bazoune   

10.1 INTRODUCTION     

Block Diagram: Pictorial representation of functions performed by each component of a  system and that of flow of signals.   

R (s )

G (s )

C (s ) C ( s) = G (s) R( s)  

  Figure 10‐1. Single block diagram representation.       

Components for Linear Time Invariant System(LTIS):    

 

  Figure 10‐2. Components for Linear Time Invariant Systems (LTIS).  1/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Terminology:     Disturbance U ( s ) R (s ) ±

E (s ) = R (s ) ± b (s )

G1 (s )

m (s )

G2 (s )

C (s )

b (s )

H (s )

Figure 10‐3.  

Block Diagram Components.     

1. Plant:  A  physical  object  to  be  controlled.  The  Plant  G 2

 

( s ) ,  is  the  controlled  system,  of  which  a 

particular quantity or condition is to be controlled.    2. Feedback  Control  System  (Closed‐loop  Control  System):  A  system  which  compares  output  to  some  reference input and keeps output as close as possible to this reference.  3. Open‐loop Control System: Output of the system is not feedback to the system.   

4. Control  Element  G 1 ( s ) ,  also  called  the  controller,  are  the  components  required  to  generate  the  appropriate control signal  M

( s )  applied to the plant. 

  5. Feedback Element  H (s )  is the component required to establish the functional relationship between  the primary feedback signal  B ( s )  and the controlled output  C ( s ) . 

 

   

6. Reference  Input  R ( s )   is  an  external  signal  applied  to  a  feedback  control  system  in  order  to  command a specified action of the plant. It often represents ideal plant output behavior.  7. The Controlled Output  C ( s )  is that quantity or condition of the plant which is controlled.  8. Actuating Signal  E ( s ) , also called the error or control action, is the algebraic sum consisting of the  reference input  R ( s )  plus or minus (usually minus) the primary feedback  B ( s ) . 

 

9. Manipulated  Variable  M ( s )   (control  signal)  is  that  quantity  or  condition  which  the  control  elements  G 1 ( s )  apply to the plant  G 2 ( s ) . 

 

10. Disturbance  U ( s )   is  an  undesired  input  signal  which  affects  the  value  of  the  controlled  output 

C ( s ) . It may enter the plant by summation with  M the block diagram of the figure above.   

( s ) , or via an intermediate point, as shown in 

11. Forward Path is the transmission path from the actuating signal  E ( s )  to the output  C ( s ) . 

  2/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

12. Feedback Path is the transmission path from the output  C ( s )  to the feedback signal  B  

( s ) . 

13. Summing Point: A circle with a cross is the symbol that indicates a summing point. The  ( + )  or  ( − )   sign at each arrowhead indicates whether that signal is to be added or subtracted. 

  14. Branch Point: A branch point is a point from which the signal from a block goes concurrently to other  blocks or summing points.     

Definitions    • • • • •

G ( s ) ≡ Direct transfer function = Forward transfer function. 

H ( s ) ≡ Feedback transfer function. 

G ( s ) H ( s ) ≡  Open‐loop transfer function. 

C ( s ) R ( s ) ≡  Closed‐loop transfer function = Control ratio 

C ( s ) E ( s ) ≡  Feed‐forward transfer function. 

 

R (s )

E (s )

G (s )

C (s ) Output

Input

B (s )

H (s )  

  Figure 10‐4 

Block diagram of a closed‐loop system with a feedback element. 

   

10.2 BLOCK DIAGRAMS AND THEIR SIMPLIFICATION   

Cascade (Series) Connections     

Figure 10‐5 

Cascade (Series) Connection.    3/14

 

ME 413 Systems Dynamics & Control 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Parallel Connections   

 

  Figure 10‐5 

Parallel Connection. 

   

Closed Loop Transfer Function (Feedback Connections)   

E (s )

R (s )

G (s )

C (s )

B (s )

H (s ) Figure 10.4 (Repeated)     

Feedback connection 

 

For the system shown in Figure 10‐4, the output  C ( s )  and input  R ( s )  are related as follows: 

 

C (s ) = G (s ) E (s )   where 

E ( s ) = R ( s ) − B ( s ) = R ( s ) − H ( s )C ( s )  

Eliminating  E ( s )  from these equations gives 

C ( s ) = G ( s ) [ R ( s ) − H ( s )C ( s )]  

This can be written in the form 

[1 + G ( s ) H ( s )]C ( s ) = G ( s ) R ( s )  

or 

C (s) R (s)

=

G (s) 1 + G (s) H (s)

 

The  Characteristic  equation  of  the  system  is  defined  as  an  equation  obtained  by  setting  the  denominator  polynomial  of the transfer  function to zero. The Characteristic equation for the above  system is  

1+ G ( s ) H ( s ) = 0 .  4/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Block Diagram Algebra for Summing Junctions       

C = G ( +R ± X ) = +GR ± GX

 

   

C = GR ± X = G ( +R ± X G ) Figure 10‐6 

 

Summing junctions. 

 

Block Diagram Algebra for Branch Point     

Figure 10‐7 

Summing junctions.      

 

Block Diagram Reduction Rules    In  many  practical  situations,  the  block  diagram  of  a  Single  Input‐Single  Output  (SISO),  feedback  control  system  may  involve  several  feedback  loops  and  summing  points.  In  principle,  the  block  diagram  of  (SISO)  closed  loop  system,  no  matter  how  complicated  it  is,  it  can  be  reduced  to  the  standard single loop form shown in Figure 10‐4. The basic approach to simplify a block diagram can be  summarized in Table 1:      5/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

 

TABLE 10‐1 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Block Diagram Reduction Rules 

 

1. 

Combine all cascade blocks 

2. 

Combine all parallel blocks 

3. 

Eliminate all minor (interior) feedback loops 

4. 

Shift summing points to left 

5. 

Shift takeoff points to the right 

6. 

Repeat Steps 1 to 5 until the canonical form is obtained 

  TABLE 10‐2. 

Some Basic Rules with Block Diagram Transformation 

 

X

X

G1

G1

G2

Y

±

Y

G 1G 2

X

G1 ± G 2

X

Y = (GG 1 2 )X

Y

Y = (G1 ±G2 )X

Y

G2

u

G

u

u

G

G

u

1/ G

y

u1

G

y

u2

G

u =

u1

G

u2

G

G2

1 y G

y = Gu

G

u2 u

y

G

u1

y

y = Gu

y

u

y

y

u1

u y

1/ G2

y

e2 = G ( u1 − u2 )

G

y

1/ G

u2

G1

y = Gu1 − u2 y

y = ( G1 − G2 ) u  

  █ 

Example 1: A feedback system is transformed into a unity feedback system 

 

R ( s)

G (s)

C (s)

R ( s)

1 H (s )

G ( s) H ( s)

C (s )

H ( s)  

C G 1 GH = = ⋅ = Closed‐loop Transfer function  R 1 ± GH H 1 ± GH 6/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

█ 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Example 2:  

  Reduce the following block diagrams   

 

    7/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

█ 

Example 3:  

█ 

Example 4  

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

       

G1 and G2 are in series     

H1 and H2 and H3 are in  parallel     

G1 is in series with the  feedback configuration.      

⎡ ⎤ C(s)   G 3G 2 = G1 ⎢ ⎥ R(s) ⎣ 1 + G 3G  2 ( H1 - H 2 + H 3 ) ⎦

  █ 

Example  5:  The  main  problem  here  is  the  feed‐forward  of  V3(s).  Solution  is  to  move  this  pickoff point forward. 

  8/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

 

 

        9/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

█ 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Example 6:  

 

  10/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

█ 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Example 7  

  Use block diagram reduction to simplify the block diagram below into a single block relating  Y ( s )  to  R ( s ) . 

█ 

 

Solution 

 

 

 

 

  █ 

Example 8  

  Use block diagram algebra to solve the previous example.    11/14

ME 413 Systems Dynamics & Control 

█ 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Solution  

 

 

Multiple‐Inputs cases    In feedback control system, we often encounter multiple inputs (or even multiple output cases). For a  linear  system,  we  can  apply  the  superposition  principle  to  solve  this  type  of  problems,  i.e.  to  treat  each  input  one  at  a  time  while  setting  all  other  inputs  to  zeros,  and  then  algebraically  add  all  the  outputs as follows:    TABLE 10‐3: Procedure For reducing Multiple Input Blocks   

1 

Set all inputs except one equal to zero

2 

Transform the block diagram to solvable form. 

3 

Find the output response due to the chosen input action alone 

4 

Repeat Steps 1 to 3 for each of the remaining inputs. 

5 

Algebraically sum all the output responses found in Steps 1 to 5 

  █ 

Example 9 : 

We shall determine the output C of the following system: 

  D( s) R ( s)

G2 ( s )

G1 ( s )

  12/14

C (s)

ME 413 Systems Dynamics & Control 

█ 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

Solution  

  Using the superposition principle, the procedure is illustrated in the following steps:   

Step1:  

R ( s)

Put  D ( s ) ≡ 0  as shown in Figure (a). 

C (s)

G2 ( s )

G1 ( s )

 

Step2:   The  block  diagrams  reduce  to  the  block  shown in Figure. b      Step 3:  

 

Figure (a)  R ( s)

The  output  C R   due  to  input  R ( s )   is 

G1 ( s) G2 ( s)

C (s)

shown  in  Figure  (c)  and  is  given  by  the  relationship 

CR =

G1G 2 ⋅ R  1 + G1G 2

 

Step 4:  

Put  R ( s ) ≡ 0  as shown in Figure (d). 

R ( s)

 

Step  5:  Put  ‐1  into  a  block,  representing  the negative feedback effect. (Figure d)  Step  6:  Rearrange  the  block  diagrams  as  shown in Figure (e).    Step 7: Let the ‐1 block be absorbed into  the, summing point as shown in Figure (f).    Step 8: By Equation (7.3), the output  CU   G2 ⋅U   1 + G1G 2

C (s) G1 ( s ) G2 ( s ) 1+ G1 ( s ) G2 ( s )

D (s )

G1 ( s )

G2 ( s )

G2 = ⋅ [G1 R + U ] 1 + G1G2  

 

Figure (d)   

D (s )

Step 9: The total output is C:  G1G2 G2 ⋅R+ ⋅U 1 + G1G2 1 + G1G2

G2 ( s )

−1 Figure (e)   

 

D (s )

G2 ( s)

Figure (f)  Example 10:  

 

13/14

CD ( s )

G1 ( s)

G1 ( s)

█ 

CD ( s )

−1

 

C = CR + CU =

 

Figure (c) 

due to input U is : 

CU =

 

Figure (b) 

CD ( s )

ME 413 Systems Dynamics & Control 

 

Chapter 10: Time‐Domain Analysis and Design of Control Systems

 

14/14