Chapitre 4 Graphe de Fluence Ou de Transfert

Cours Automatique

Niveau : 2

Unité d’enseignement : Automatique 1 ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires

Chapitre 4 Graphe De Fluence (ou De Transfert) Nombre d’heures/chapitre : 2h Cours intégré Système d’évaluation : Continu OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :

-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes CONTENU THEORIQUE :

Dans ce chapitre on s’intéresse à l’explication de graphe de fluence comme outille de représentation d’un système continu linéaire invariant (SLCI), On définie cette graphe de transfert, les techniques de réalisations tout en s’intéressant a la règle de Mason et les techniques d’applications.

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Chapitre 4

Graphe De Fluence (ou De Transfert) 1. Définitions

•

Un graphe de transfert ou de fluence qui permet de simplifier l’écriture et la mise en équation des processus lorsque le nombre de variables augmente.

•

Un graphe de transfert est constitué d’un ensemble de nœuds reliés entre eux par des branches orientées.

-

Les nœuds représentent les variables du système.

-

Chaque branche est affectée d’un coefficient correspondant à la transmittance qui relie entre deux nœuds (variables). x1 x2 x3

a1 a2

x4

a4

x5

a3

Fig.4.1 : Graphe de fluence.

Le graphe de la figure 4.1, appelé: graphe de fluence, est équivalent aux équations algébriques suivantes :  x 4 = a1 x1 + a 2 x 2 + a3 x3   x5 = a 4 x 4 = a 4 (a1 x1 + a 2 x 2 + a3 x3 ) •

Un nœud auquel arrive plusieurs branches est appelé : puit (nœud secondaire). Un nœud à partir duquel peuvent partir plusieurs branches est appelé : nœud source. Exemples : dans la figure 4.1 : - x1 , x 2 , x3 : nœuds sources - x5 : nœud puit

•

Chaîne directe : est une liaison entre 2 variables réalisée en suivant les sens des flèches et en passant une seule fois par chaque nœud.

 La transmittance d’une chaîne directe est le produit des transmittances rencontrées en les

parcourant. x5 = a1 a 2 a3 a 4 x1 •

 T=

x5 = a1a2 a3 a4 x1

Boucle est un parcourt suivant les flèches qui partant d’un nœud revient à ce même nœud sans passer 2 fois par le même nœud.

La transmittance d’une boucle est le produit des transmittances rencontrées lors de son parcourt. ISET NABEUL

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Exemple

x1

x2

a1

a2

a3

T = a1a2 a3

x3 Fig.4.2 : Graphe de fluence.

2. Réalisation des graphes

•

Transformations élémentaires

x1

x2

a1

x3

a2



x1

 x 2 = a1 x1   x3 = a 2 x 2

x3

a1a2



x3 = a1a2 x1

a x2 

x1

x1

x2

a +b

x 2 = ax1 + bx1 = (a + b) x1

b x2

x2

a x3

c

b

x1

x4 

a

x3

x2 b



 x3 = ax 2 + bx1   x 4 = cx3 = acx 2 + bcx1

x4 bc

x1

c x1

ac

x1

ab 1 − bc

 x 2 = ax1 + cx3   x3 = bx 2 = b(ax1 + cx3 ) = bax1 + bcx3  x3 (1 − bc) = abx1 ab  x3 = x1 (1 − bc)

x3

Tab.4.1 : Transformations élémentaires.

3. Règle de Mason

La transmittance d’un graphe de transfert d’entrée xe et de sortie xs est déterminée comme suit : N

H ( p) =

 PΔ i

i =1

i

Δ

Δ : déterminant du graphe donné Δ = 1 −  Bi +  Bi B j −  Bi B j Bk + .... ISET NABEUL

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Bi : transmittance de la boucle n°i (Bi)  Bi B j : somme des produits des transmittances des boucles disjointes 2 à 2

B B B i

j

k

: somme des produits des transmittances des boucles disjointes 3 à 3

N : nombre des parcours directs de l’entrée xe à la sortie xs avec un nœud ne doit être traversé qu’une

seule fois. Pi : La transmittance du parcourt direct n°i, obtenu en faisant le produit des transmittances des

boucles du parcourt i. Δi : déterminant du graphe obtenu en supprimant tous les nœuds traversés par le parcours i. Remarque : A chaque parcours i correspond un Δi . Exercices d’application

E(p)

1.

H(p) ε(p)

S(p)

T(p)

-H’(p) Fig.43

•

Nombre de boucle =1 B1 = −T ( p) H ' ( p)

•

Δ = 1 − B1 = 1 + T ( p) H ' ( p)

•

Nombre de parcours =1 P1 = H ( p )T ( p ) Δ1 = 1

 F ( p) =

T ( p) H ( p) 1 + T ( p) H ' ( p)

4. Soit le schéma électrique suivant : I1

R1 I2

V1

I3 R2

C

V2

Fig.4.4 : Circuit électrique.

1/ Mettre le système en équations. 2/ Représenter le système par un graphe de transfert. V ( p) 3/ Déterminer la transmittance H ( p ) = 2 V1 ( p ) ISET NABEUL

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Correction V1 − V2 1  I 1 ( p ) = [V1 ( p ) − V2 ( p )] R1 R1 1 1 V2 =  i2 dt  V2 ( p) = I 2 ( p) C Cp V ( p) V I 2 = I1 − 2  I 2 ( p) = I1 ( p) − 2 R2 R2

1/ I 1 =

2/ V1(p)

1 R1

I1(p)

1 I2(p) Cp

1 −

B2 −

1 R2

B1

1 R1

Fig.4.5

3/ •

•

Nombre de boucle =2 1 1 ; B2 = − B1 = − R2 Cp R1Cp 1 1 Δ = 1 − ( B1 + B2 ) = 1 + + R2 Cp R1Cp

•

Nombre de parcours =1 1 ; Δ1 = 1 − 0 = 1 P1 = R1Cp 1 V ( p) R1Cp R2 Cp  H ( p) = 2 = = 2 2 1 1 V1 ( p) R1 R2 C p + ( R1 + R2 )Cp 1+ + R2 Cp R1Cp R2  H ( p) = R1 R2 Cp + ( R1 + R2 )

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