Chapitre 2 lissage

Techniques de prévisions : Les méthodes de lissage

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Chapitre 2 : Les méthodes de lissage Introduction Ces méthodes sont basées sur la décomposition d’une série en trois composantes : la tendance, le facteur saisonnier et les irrégularités. Nous examinerons sept méthodes de lissage : - Méthode 1 : La moyenne mobile simple - Méthode 3 : La moyenne mobile double - Méthode 2 : Le lissage exponentiel simple - Méthode 4 : Le lissage exponentiel double - Méthode 5 : La méthode de Holt-Winters non saisonnière - Méthode 6 : La méthode de Holt-Winters saisonnière additive - Méthode 7 : La méthode de Holt-Winters saisonnière multiplicative 1. La méthode des moyennes mobiles Le filtre « moyenne mobile » permet d’écrêter les pics et les creux d’une série afin de mieux déceler sa tendance de fond. Il s’agit de calculer une moyenne sur un certain nombre de valeurs de la série et de l’affecter à une date donnée. La somme des coefficients qui entrent dans la décomposition est égale à l’ordre de la moyenne mobile. 1.1. Définition de la moyenne mobile Soit le terme général de la série brute. On appelle moyenne mobile de longueur m la variable telle que -

1er cas : si m est impaire (

)

On écrit de façon condensée : ∑ Exemple i)

ii)

Moyenne mobile de longueur 3

Moyenne mobile de longueur 5

2ème cas : si m est impaire (

)

On écrit de façon condensée : (

∑

)

Exemple i) Moyenne mobile de longueur 2

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ii) Moyenne mobile de longueur 4

Il est à noter que plus l’ordre de la moyenne mobile est élevé, plus l’effet de lissage est accentué. L’inconvénient réside alors dans la perte plus grande d’informations en début et en fin d’historique. Remarque : On peut aussi utiliser la formule suivante : Soit ( ) le terme général de la série brute, on appelle moyenne mobile d’ordre m la variable telle que :

Exemple : Moyenne mobile d’ordre 2 : Moyenne mobile d’ordre 3 :

1.2. Prévision à l’aide de la moyenne mobile simple Cette méthode s’applique aux séries temporelles stationnaires, dépourvues de tendance et de saisonnalité. Elle permet de faire la prévision à l’horizon . Remarque La moyenne mobile d’ordre 1 est appelée prédicteur naïf. Elle vaut utilisée en météorologie.

. Elle est très

La prévision naïve est simplement la dernière valeur observée. Soit ) et ̂ On a : ̂

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Exemple t

1 6

2 12

3 16

4 18

5 16

6 12

7 9

8 7

9 8

10 12

11 16

12 17

13 16

14 14

15 10

1) A l’aide du logiciel EXCEL, prévoir x 16 en utilisant une moyenne mobile d’ordre 2. 2) A l’aide du logiciel EXCEL, prévoir x 16 en utilisant une moyenne mobile d’ordre 3. 3) En déduire la prévision du 16ème jour pour chaque méthode. 1.3. La moyenne mobile double Cette méthode peut être utilisée pour prévoir des séries temporelles tendancielles. permet d’obtenir des prévisions à l’horizon Après avoir calculé les moyennes mobiles, on calcule les moyennes mobiles doubles. On appelle moyenne mobile de longueur m, la variable MM t définie par :

Elle

Pour déterminer la prévision, on calcule les coefficients : ̂ ̂

)

La prévision à l’horizon est calculée à l’aide de la fonction de prévision : ̂ ) ̂ où

est l’horizon de la prévision.

Exemple : On considère une série de ventes d’une entreprise congolaise t Vent e

1 14 0

2 15 9

3 13 6

4 15 7

5 17 3

6 13 1

7 17 7

8 18 8

9 15 4

10 17 9

11 18 0

12 16 0

13 18 0

14 19 2

15 22 4

Prévoir les ventes des périodes 16, 17, 18 et 19 à l’aide d’une moyenne mobile d’ordre 4. 2. Le lissage exponentiel 2.1. Lissage exponentiel simple Cette méthode s’applique aux séries temporelles stationnaires, dépourvues de tendance et de saisonnalité. Elle permet de faire la prévision à l’horizon 1. Soit (

) le terme général de la série brute, on appelle lissage exponentiel de coefficient ]) la variable telle que : ) Deux cas sont possibles : - Soit on choisit le coefficient - Soit on choisit qui minimise la somme des carrés des résidus (SCR). [

Pour calculer les termes du lissage, on commence par ) A.P. PAMBOU

:

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Et on initialise

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,

Exemple : Instructions Eviews a) Cliquer sur le menu « Quick » puis sélectionner la commande « Series statistics/Exponential smoothing… » ; b) Dans la fenêtre qui s’ouvre, Taper le nom de la série puis valider ; cours c) Dans la fenêtre qui apparait, cocher la méthode examinée ( Ici Single pour le lissage exponentiel simple) et donner un nom à votre série lissée (remarquez que la série prévue porte le nom de la série examinée suivi du suffixe SM) ; (exemple coursles) d) Valider. Remarque La prévision à l’horizon 1 (très court terme) avec le logiciel Eviews correspond au Mean. Application Considérons la série journalière du cours d’une action sur 6 jours Jour 1 2 3 4 5 6

Cours 1293 1209 1205 1273 1220 1290

Jour 7 8 9 10 11 12

Cours 1243 1203 1390 1360 1353 1343

Jour 13 14 15 16

Cours 1364 1330 1377 1332

Analyser cette chronique par la méthode du lissage exponentiel simple et calculer une prévision à un horizon d’un jour Corrigé Sample: 1 16 Included observations: 16 Method: Single Exponential Original Series: COURS Forecast Series: COURSLES Parameters: Alpha Sum of Squared Residuals Root Mean Squared Error

0.4180 48178.32 54.87390

End of Period Levels:

1346.093

Mean

La prévision du cours de l’action du 17ème jour est 1346,093.

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1400 1350 1300 1250 1200 2

4

6

8

COURS

10 12 14 16 18 20

COURSLES

COURSMOB

Remarque En utilisant l’opérateur décalage, on a : ) )

) )

) ) ) En utilisant le développement limité de )

| |

∑

On a alors : )

) ]

∑[

Ainsi, on a : )

∑

)

∑

)

)

∑

2.2. Méthode de lissage exponentiel double Cette méthode peut être utilisée pour prévoir des séries temporelles tendancielles. On appelle lissage exponentiel double de coefficient  , la variable définie par : ) Remarque La méthode de lissage exponentiel double permet de supprimer l’effet retard sur les tendances linéaires à l’aide deux lissages successifs. Pour déterminer la prévision, on calcule les coefficients : ̂ ) ̂ La prévision à l’horizon h (

)

)

) est calculée à l’aide de la fonction de prévision : ̂ ) ̂

où A.P. PAMBOU

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-

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est l’horizon de la prévision est l’origine de prévision.

Remarque Cette méthode revient à lisser, avec le même paramètre , le niveau ̂ et la pente ̂ de la série. Exercice d’application Considérons la série des ventes journalières d’un magasin Jour 1 2 3 4 5 6 Ventes 11 10 15 13 14 12

7 9

8 10

9 13

10 11

Donner une prévision des ventes du 11ème, 12ème, 13ème et 14ème jours en utilisant la méthode du lissage exponentiel. NB : On prendra t

̂

̂

1

11

11

11

11

0

2

10

10,7

10,91

10,49

-0,09

3

15

11,99

11,234

12,746

0,324

4

13

12,293

11,5517

13,0343

0,3177

5

14

12,8051

11,92772

13,68248

0,37602

6

12

12,56357

12,118475

13,008665

0,190755

7

9

11,494499

11,9312822

11,0577158

-0,1871928

8

10

11,0461493

11,66574233

10,42655627

-0,26553987

9

13

11,63230451

11,65571098

11,60889804

-0,010031346

10

11

11,44261316

11,59178164

11,29344468

-0,063929348

En considérant la dernière observation comme origine de prévision, la fonction de prévision s’écrit : )

6

Jour 11 12 13 14

6

Horizon 1 2 3 4

Prévision 11,2295 22,523 33,8164 45,1098

2.3. Les méthodes de Holt-Winters

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Elles sont utilisées pour prévoir des séries saisonnières. Il existe trois méthodes de HoltWinters : la méthode de Holt-Winters non saisonnière, la méthode de Holt-Winters saisonnière additive et la méthode de Holt-Winters saisonnière multiplicative. 2.3.1. La méthode de Holt-Winters non saisonnière Cette méthode peut être utilisée pour prévoir les séries temporelles tendancielles mais dépourvues de composante saisonnière.

̂

̂

)( ̂

̂ ̂

)̂

)

̂

)

où La prévision à l’horizon

est obtenue à l’aide de la fonction de prévision )

̂

̂

2.3.2. La méthode de Holt-Winters saisonnière Cette méthode peut être utilisée pour prévoir les séries temporelles saisonnières. On distingue la méthode de Holt-Winters saisonnière additive de la méthode de Holt-Winters saisonnière multiplicative. Soit la période des observations de la série (exemple pour une série trimestrielle). On calcule : )

)

) ) La prévision à l’horizon

) é

)

est obtenue à l’aide de la fonction : )

)

En conclusion Les méthodes de prévision peuvent être classées en trois groupes Groupe1 : Concerne les séries stationnaires (sans tendance, sans saisonnalité) 1. Moyenne mobile simple 2. lissage exponentiel simple Groupe 2 : Concerne les séries tendancielles non saisonnières 3. Moyenne mobile double 4. lissage exponentiel double A.P. PAMBOU

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5. Holt-Winters non saisonnière Groupe 3 : Concerne les séries saisonnières 6. Holt-Winters saisonnière additive 7. Holt-Winters saisonnière multiplicative

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