Chapitre 19_ BA Au Feu

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

___________

" BETON ARME " Chapitre 19: Comportement au feu des structures en béton.

(Code CCV109)

Enseignant : J. PAÏS

2008 – 2009

CNAM CCV109 – Béton armé

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Sommaire 19.

COMPORTEMENT AU FEU DES STRUCTURES EN BETON ................................................ 3

19.1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 3 19.2. CATEGORIES DE RESISTANCE AU FEU. ....................................................................................... 4 19.3. EVOLUTION DES CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX................................................................. 4 19.3.1. Caractéristiques du béton ............................................................................................. 5 19.3.2. Caractéristiques de l’acier ............................................................................................. 6 19.3.3. Tableau récapitulatif ...................................................................................................... 7 19.4. DISTRIBUTION DE LA TEMPERATURE DANS LE BETON................................................................... 9 19.4.1. Courbe de montée en température. .............................................................................. 9 19.4.2. Face exposée. ............................................................................................................. 10 19.4.3. Problème à deux dimensions ...................................................................................... 10 19.4.4. Température moyenne du béton et des aciers d’un poteau. ...................................... 10 19.4.5. Température moyenne dans un mur exposé au feu ................................................... 12 19.4.6. Température dans une dalle ....................................................................................... 12 19.4.7. Températures dans une poutre ................................................................................... 13 19.5. SOLLICITATIONS ET PRINCIPE DES JUSTIFICATIONS ................................................................... 14 19.5.1. Principe........................................................................................................................ 14 19.5.2. Sollicitations de calcul ................................................................................................. 14 19.6. DISPOSITIONS COMMUNES DE FERRAILLAGE............................................................................. 15 19.7. JUSTIFICATION DES POTEAUX .................................................................................................. 16 19.7.1. Dispositions constructives – Règles simples pour les poteaux................................... 16 19.7.2. Justification par le calcul des poteaux......................................................................... 17 19.8. JUSTIFICATION DES TIRANTS.................................................................................................... 17 19.9. JUSTIFICATIONS DES POUTRES – ELEMENTS FLECHIS ................................................................ 17 19.9.1. Dispositions constructives – Règles simples. ............................................................. 17 19.9.2. Principe de la vérification à chaud des sections. ........................................................ 19 19.9.3. Moment résistant à chaud en travée. .......................................................................... 20 19.9.4. Moment résistant à chaud sur appui. .......................................................................... 23 19.9.5. Justification de la stabilité de la poutre. ...................................................................... 27 19.9.6. Vérification de non-éclatement.................................................................................... 28 19.9.7. Vérification à l’effort tranchant..................................................................................... 28 19.10. JUSTIFICATIONS DES MURS PORTEURS ................................................................................ 29 19.11. JUSTIFICATION DES DALLES (REGLES SIMPLES). ................................................................... 30 19.11.1. Dalles isostatiques....................................................................................................... 30 19.11.2. Dalles hyperstatiques. ................................................................................................. 31 19.12. JUSTIFICATION DES POUTRES-VOILES (REGLES SIMPLES)...................................................... 31 19.13. EXERCICE 1 : JUSTIFICATION D’UN POTEAU. ......................................................................... 32 19.13.1. Calcul à froid................................................................................................................ 32 19.13.2. Application des règles simples. ................................................................................... 32 19.13.3. Justification du poteau à « chaud »............................................................................. 33 19.14. EXERCICE 2 : JUSTIFICATION D’UNE POUTRE........................................................................ 35 19.14.1. Calcul des aciers à froid. ............................................................................................. 35 19.14.2. Détermination des températures dans les aciers........................................................ 36 19.14.3. Moment résistant à chaud en travée ........................................................................... 37 19.14.4. Moment résistant à chaud sur appuis. ........................................................................ 38 19.14.5. Vérification au feu........................................................................................................ 39

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19.

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Comportement au feu des structures en béton 19.1. Introduction

Le comportement au feu, des structures en béton, est décrit par le DTU feu appelé également "Règles de calcul FB". Ces règles définissent les justifications ou vérifications à effectuer pour tenir compte de l'action du feu sur les ouvrages en béton armé et en béton précontraint. Au niveau de la vérification au feu, on distingue deux types de vérifications:


Les vérifications détaillées qui permettent de quantifier les effets du feu sur la résistance de la structure.




Les dispositions constructives.

Les notations usuelles du BAEL91 sont applicables et modifiées comme suit, en fonction de la température θ, atteinte en chaque point de la structure:


Résistance du béton à la compression : Fcθ




Résistance du béton à la traction : Ftθ




Limite élastique de l'acier : Feθ




Module de déformation longitudinal du béton : Ebθ




Module de déformation de l'acier : Esθ




Allongement unitaire : εθ

Dans les formules qui suivent, la lettre "u" désigne la distance de l'axe de l'armature considérée au nu extérieur du béton.

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19.2. Catégories de résistance au feu. Les exigences de résistance au feu sont définies par trois catégories désignées par deux lettres et un nombre :  SF n : Stable au feu pour n heures.  PF n : Pare-flamme pour n heures.  CF n : Coupe-feu pour n heures. Les critères permettant de déterminer le degré de résistance au feu sont : 1- La résistance mécanique. 2- L’étanchéité aux flammes et aux gaz chauds ou inflammables. 3- L’isolation thermique (limitation de l’échauffement de la face non exposée au feu à 140°c en moyenne). D’après ces critères, les éléments résistants au feu sont classés en trois catégories :  Les éléments « Stables au feu » (SF) respecte uniquement le critère 1 pour la durée à considérée (par exemple, on peut demander un critère SF 1H).  Les éléments « Pare-flammes » (PF) respectent les critères 1 et 2.  Les éléments « Coupe-feu » (CF) remplissent les trois critères.

19.3. Evolution des caractéristiques des matériaux Le DTU définit l’évolution des caractéristiques des matériaux en fonction de la température. Cette évolution est réglementairement défini par des lignes brisées qui suivent des mesures issues d’essais. Le DTU indique qu’il est possible de remplacer ces valeurs par des résultats expérimentaux obtenus dans des laboratoires agréés, à condition de solliciter la commission d’étude pour avoir son accord. Voici un exemple de courbes issues du DTU feu :

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19.3.1. Caractéristiques du béton Le béton est défini par les caractéristiques suivantes :  Résistance à la compression.  Résistance à la traction.  Module de déformation.  Conductivité. Les valeurs précédemment citées sont des valeurs qui varient en fonction de la température θ. Certaines caractéristiques du béton restent constantes, quelque soit la température atteinte dans le béton :

∆L = 1.10 −5 / °c L = 0,22



Coefficient de dilatation thermique



Chaleur spécifique :

C( kcal / kg / °c )

Variation de la résistance à la compression La variation de la résistance à la compression en fonction de la température θ est donnée par la formule suivante :

f cjθ = φb . f cj

Le coefficient d’affaiblissement

φb est

donné par le tableau suivant et correspond à une variation

linéaire fonction de θ: Température (°c)

0

250

600

1000

φb

1.00

1.00

0.45

0.00

Pour des valeurs intermédiaires de températures, il suffit de faire une interpolation linéaire. Cette variation peut également s’illustrer avec le graphique suivant :

Les équations des différents tronçons de ce graphique sont les suivantes :  Pour θ ≤ 250°c => φb = 1 .

600 − θ . 600 − 250 1000 − θ .  Pour 600°c ≤ θ ≤ 1000°c => φb = 0,45 1000 − 600



Pour 250°c ≤ θ

≤ 600°c => φb = 0,45 + 0,55

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Variation de la résistance à la traction

Le rapport

f tjθ f tj

est une fonction linéaire de θ, donné par le tableau suivant :

Température (°c)

0

50

600

f tjθ

1.00

1.00

0.00

f tj Variation du module de déformation Le rapport

E bθ est une fonction linéaire de θ, donné par le tableau suivant : Eb Température (°c)

0

50

200

400

>600

E bθ Eb

1.00

1.00

0.50

0.15

0.05

Variation de la conductivité La conductivité Lambda (kcal/m2/h/°C) est fonction linéaire de θ définie par :

Température (°c)

0

500

1000

λ

1.4

0.8

0.5

19.3.2. Caractéristiques de l’acier Le coefficient de dilatation de l’acier vaut

∆L = 1,5.10 −5 / °c . L

La variation de la résistance en fonction de la température θ est donnée par la formule suivante :

f eθ = φs . f e Le coefficient d’affaiblissement

φs est

donné par le tableau suivant et correspond à une variation

linéaire fonction de θ: Température (°c)

0

200

400

580

750

φs (Barres HA)

1.00

1.00

-

0.42

0

φs (Treillis Soudés)

1.00

-

1.00

0.15

0

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Pour des valeurs intermédiaires de températures, il suffit de faire une interpolation linéaire. Cette variation peut également s’illustrer avec le graphique suivant (dans le cas des barres HA):

Les équations des différents tronçons de ce graphique sont les suivantes :  Pour θ ≤ 250°c => φb = 1 .

580 − θ . 580 − 200 750 − θ  Pour 580°c ≤ θ ≤ 750°c => φ s = 0,42 . 750 − 580



Pour 200°c ≤ θ

≤ 580°c => φs = 0,42 + 0,58

Attention, dans le cas de treillis soudés (TS), ces équations deviennent : 

Pour

θ ≤ 400°c

=>

φb = 1 .

580 − θ . 580 − 400 750 − θ  Pour 580°c ≤ θ ≤ 750°c => φ s = 0,15 . 750 − 580 

Pour 400°c ≤ θ

≤ 580°c => φs = 0,15 + 0,85

19.3.3. Tableau récapitulatif Les coefficients d’affaiblissement

φb et φs peuvent être également lu directement dans le tableau de la

page suivante. En fonction de la température sur la face exposée, ce tableau donne le coefficient d’affaiblissement pour la résistance en compression du béton ainsi que pour la résistance à la traction des aciers, en barres HA ou en TS.

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19.4. Distribution de la température dans le béton La distribution de la température dans le béton est issue de résultats ou d’interpolations de résultats d’essais réalisés en laboratoire. La température du béton d’un ouvrage est connue directement lorsque l’on dispose de résultats expérimentaux d’essais effectués sur des dispositions géométriques identiques. La température du béton d’un ouvrage est connue par interpolation lorsqu’elle est déterminée analytiquement suivant les lois de transmission de la chaleur.

19.4.1. Courbe de montée en température. Le DTU définit une courbe de montée en température (en fonction du temps) de la face exposée au feu :

θ = θ 0 + 345. log10 (8t + 1) Avec :  

θ0 θ

: température au temps initial : température au temps « t » exprimé en heures : o o o o

800°c à ½ heure. 900°c à 1 heure. 1000°c à 2 heures. 1100°c à 3 ½ heures.

La température du côté de la face non exposée est supposée égale à

θ0 .

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19.4.2. Face exposée. La face exposée au feu est définie par :  La sous-face des planchers.  Toute la surface des poteaux.  Une face d’un mur si celui-ci est une cloison de compartiment.  Les deux faces d’un mur si celui-ci n’est pas cloison de compartiment. 19.4.3. Problème à deux dimensions A partir de la température de la face exposée, il faut déterminer l’évolution des températures à l’intérieur de l’élément. Dans le d’un problème à deux dimensions, la température suivante :

τ au point (x, y) est donnée par l’équation

δτ λ  δ 2τ δ 2τ  = + δt c.ρ  δ 2 x δ 2 y  Avec :  λ : conductivité.  c : chaleur spécifique.  ρ : masse volumique du béton. On peut étudier cette équation par la méthode des différences finies, en procédant à un découpage de la section avec une maille carrée

∆x = ∆y , et un partage du temps en intervalles ∆t =

c.ρ ∆x ² . 4.λ

L’analyse de cette méthode générale de calcul des températures permet d’établir les résultats donnés dans les tableaux ci-après (JP.BOUTIN, « Pratique du calcul de la résistance au feu des structures en béton », Editions Eyrolles, 1982). 19.4.4. Température moyenne du béton et des aciers d’un poteau. Température moyenne du béton La température moyenne du béton d’un poteau peut être estimée en fonction du coefficient de massivité M, égal au rapport

périmètre , et de la durée d’exposition. surface

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Température moyenne dans les aciers La température moyenne dans les aciers est fonction de trois paramètres :  De la durée d’exposition au feu.  De la distance « u » des armatures à la paroi libre.  Des dimensions du poteau. L’article 7.12 du DTU feu donne un tableau avec des valeurs de température correspondant à un poteau de 18cm de côté et à un poteau de 50cm :

er

Le 1 chiffre de chaque cellule correspond à une dimension « a » de 18cm, le second correspond à une dimension de 50cm. Pour une dimension comprise entre ces deux valeurs, il suffit de faire une interpolation linéaire. La valeur de « a » à prendre en compte est la plus petite dimension du poteau. Pour des distances utiles « u » intermédiaires, on effectue également une interpolation linéaire. De plus, le DTU indique que la distribution de la température n’est pas uniforme le long du contour. Elle suit une variation d’allure parabolique, qui donne un coefficient de 1,2 pour la température des armatures aux angles et 0,9 pour les armatures situées sur les axes de symétrie :

En compression centrée, on peut se contenter de faire une vérification avec la température moyenne donnée par le tableau précédent.

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19.4.5. Température moyenne dans un mur exposé au feu ère

Dans le cas d’un mur, en 1 approximation, on considère que la température moyenne ne dépend que de l’épaisseur du mur et de la durée d’exposition. On distingue également les murs chauffé sur une face et les murs chauffés sur deux faces. On a donc le tableau suivant :

19.4.6. Température dans une dalle Les calculs des températures dans une dalle, à une distance « u » de la face exposée, sont pratiquement indépendants de l’épaisseur de la dalle. Les valeurs obtenues figurent dans le tableau ci-dessous :

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19.4.7. Températures dans une poutre L’article 7.52 du DTU donne un tableau des températures dans le talon des poutres, en fonction de leur largeur et de la durée d’exposition au feu. Ces valeurs sont données uniquement en fonction de la largeur du talon car les autres caractéristiques (trame, épaisseurs de la dalle, hauteur…) n’ont que peu d’influence. Ces valeurs ont été définies en découpant la poutre en carré de 3cm*3cm. Les valeurs des tableaux correspondent au centre de chaque petit carré.

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19.5. Sollicitations et principe des justifications 19.5.1. Principe Les justifications produites doivent montrer qu’en toute section droite d’une pièce prismatique, les contraintes restent (pendant la durée du critère d’exigence) au moins égales aux contraintes dues aux efforts qui lui sont appliqués. Ces contraintes tiennent compte de l’affaiblissement des caractères mécaniques des matériaux dû à la température. Les méthodes de calcul visent donc la recherche d’un schéma de stabilité statiquement admissible, compte-tenu des possibilités d’adaptation de la structure. Ce schéma doit respecter l’équilibre de toutes les sous-structures (travées des poutres par exemple) et la continuité des sollicitations. Les justifications sont à produire à l’état limite ultime accidentelle, ce qui veut dire en considérant les coefficients de sécurité correspondants pour le béton et l’acier :  Coefficient de sécurité sur le béton : γ b = 1,3 

Coefficient de sécurité sur l’acier :

γ b = 1,15

19.5.2. Sollicitations de calcul La combinaison fondamentale à prendre en compte est la suivante :

 W    G + Q + 0,8et / ou  + T + Y  Sn    Avec les notations suivantes :  G : ensemble des actions permanentes.  Q : ensemble des charges d’exploitations.  W : action du vent.  Sn : action de la neige normale  T : effets des dilatations d’ensemble.  Y : effets à prendre en compte dans les phénomènes d’instabilité (effets dues, par exemple, à l’introduction de flèches fictives pour le calcul des poteaux). En ce qui concerne les sollicitations T dues aux effets de dilatation d’ensemble, elles sont provoquées par la variation de longueur des éléments contrariés par les éléments environnants. La dilatation est calculée à partir du coefficient de dilatation linéaire (

∆L = 1,5.10 −5 / °c ) et de la L

température moyenne atteinte par cet élément. La longueur sur laquelle doit être appliquée cette dilatation est habituellement :  La hauteur d’étage pour les éléments verticaux.  Pour les éléments horizontaux des bâtiments courants, il est admis de ne pas tenir compte des effets de dilatation d’ensemble, lorsque les distances entre joints n’excèdent pas les valeurs fixées par les règles en vigueur.

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19.6. Dispositions communes de ferraillage. Certaines dispositions constructives, communes à tous les éléments, sont a respecter lorsque l’on met en place le ferraillage d’un élément soumis au feu.     

L’augmentation de l’enrobage est favorable pour la stabilité au feu. Lorsque la distance utile des aciers principaux est supérieure à 7cm, il faut mettre en place un grillage de protection, enrobé de 1.5cm avec une maille inférieure à 10 cm. Les dalles et les poutres doivent comporter des armatures sur toute la longueur des faces exposées au feu. Les aciers nécessaires à la stabilité d’une section doivent être éloignés des parois et des angles saillants. Les aciers qui ne sont pas nécessaires à la justification de stabilité doivent être placés au voisinage des parois exposées.

Comme nous l’avons précédemment, l’application des règles simples permet de se dispenser de faire un calcul à chaud.

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19.7. Justification des poteaux 19.7.1. Dispositions constructives – Règles simples pour les poteaux. Les règles simples pour les poteaux sont détaillées au chapitre 7.11 du DTU feu. Ces règles sont applicables aux poteaux dont l’élancement est inférieur à 35 et dont l’effort ultime dû au béton seul est suffisant. En d’autres termes, un calcul à froid de la section d’acier théorique en compression simple doit donner une valeur négative (aciers non pris en compte dans le calcul de la portance limite du poteau). La dimension minimale d’un poteau (exprimée en cm), en fonction de la durée d’exposition au feu, est fonction du rapport b/a (a étant la plus petite dimension du poteau) : 1/2H

1H

1H1/2

2H

3H

4H

Poteau b= a

15

20

24

30

36

45

Poteau b= 5a

10

12

14

16

20

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Pour un rapport b/a compris entre 1 et 5, on détermine la surface minimale par interpolation linéaire (voir exercice un peu plus loin). ATTENTION, cette interpolation est à faire sur l’aire de la section du poteau en fonction du rapport b/a :

Les sections des poteaux situés de part et d’autre d’un joint inférieur à 2cm son t déterminées comme si le joint n’existait pas. Les poteaux ronds sont traités comme les poteaux carrés de même surface, ce qui nous donne le tableau suivant :

Diamètre minimal (cm)

1/2H

1H

1H1/2

2H

3H

4H

17

23

27

34

41

51

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19.7.2. Justification par le calcul des poteaux. Lorsque l’on ne peut pas appliquer les règles simples, on doit faire une vérification à chaud du poteau. Pour cela, on part des températures moyennes déterminées en 19.4.4 et on détermine les coefficients d’affaiblissements correspondants. Ensuite, on vérifie le poteau en appliquant les formules usuelles du BAEL (voir exemple un peu plus loin). Pour les poteaux qui ne sont pas sollicités en compression simple ou dont l’élancement est supérieur à 35, il convient également de faire une vérification à chaud. Dans ce cas, pour la prise en compte du flambement, les méthodes utilisées pour le calcul à froid (méthode forfaitaire, méthode itérative, tables de Faessel…) restent applicables à condition de bien tenir compte des coefficients d’affaiblissement.

19.8. Justification des tirants Les tirants sont des pièces sollicitées uniquement en traction ou sollicitée en flexion-composée dans le cas des sections entièrement tendues (voir cours de flexion composée). Dans ce cas, les règles simples du DTU nous imposent les valeurs suivantes : 1/2H

1H

1H1/2

2H

3H

4H

Petit côté a (cm)

8

12.5

15

20

24

28

Distance utile u (cm)

2.5

4.0

5.5

6.5

8.0

9.0

Section minimale (cm²)

128

312

450

800

1150

1570

Bien entendu, il reste toujours possible de passer outre ces recommandations et de faire une justification à chaud en reprenant les températures moyennes dans les armatures (le béton est négligé) telles que décrites en 19.4.4.

19.9. Justifications des poutres – éléments fléchis 19.9.1. Dispositions constructives – Règles simples. Les règles simples pour les poutres et les poutrelles en béton armé sont données au chapitre 7.51 du DTU. Elles sont résumées par le tableau ci-après et définissent :  h2 + e : épaisseur minimale. 

b : largeur minimale (éventuellement b0 et h0 ).

 

Le nombre minimal de lits inférieurs. La distance utile « u ».



La longueur des chapeaux (dans le cas d’une poutre continue) exprimée par



la travée de la poutre). La distance utile « ut » des armatures transversales.

Les valeurs de

h2 + e et de ut sont définis directement par les tableaux.

l sw + l se (l étant l

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Les autres valeurs sont définies dans deux cas : 

Pour une poutre isostatique, correspondant à



Pour une poutre continue, telle que

Mw + Me = 0. 2. M 0

Mw + Me ≥ 0,5 . 2. M 0

Pour chacun des cas, la valeur de « u » est interpolée en fonction de la largeur b, comprise entre la valeur minimale et le maximum de 1,00 mètre et 1,5h1 . On procède ensuite par interpolation linéaire pour des valeurs intermédiaires de

Mw + Me . 2. M 0

Il est recommandé :  De concentrer les aciers vers le centre en évitant de placer de gros diamètres dans les angles.  D’augmenter le nombre de lits d’acier.  D’équilibrer une partie de l’effort tranchant par des épingles ou des étriers et de ne pas utiliser uniquement des cadres voisins de la surface de béton.  De prolonger sur appuis une partie du ferraillage inférieur.

Extrait du DTU feu

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19.9.2. Principe de la vérification à chaud des sections. Le principe de justification est le suivant :  On détermine les armatures de la poutre à froid.  L’enrobage des armatures et les longueurs des aciers de chapeaux doivent être connus.  On détermine la distribution des températures dans la poutre (§ 19.4.7). 

On calcul un moment résistant à chaud en travée appui

  

M tθ et un moment résistant à chaud sur

M aθ .

On vérifie ensuite une relation (voir plus loin) entre ces valeurs de moments à chaud et le moment isostatique. On effectue une vérification de non-éclatement du béton. On effectue une vérification à l’effort tranchant.

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19.9.3. Moment résistant à chaud en travée.

19.9.3.1. Principe de calcul A froid, une barre d’acier de section Ai peut équilibré une force

Fs = Ai .σ si , σ si étant la contrainte

dans la barre. Lorsque cette barre est portée à une température θ , on va calculer la force que cette barre peut équilibrer en faisant intervenir le coefficient d’affaiblissement déterminé en 19.3.3 :

Fsθ = Ai .σ sθi = Ai .φ si .σ si = Aiθ .σ si On voit donc que l’on peut appliquer le coefficient d’affaiblissement de l’acier directement sur les sections d’armatures. Les lois de comportement des matériaux (acier et béton) sont également modifiées en fonction de la température atteinte. Diagramme contraintes-déformations du béton. On substitue à la valeur de

f cj , la valeur f cθ dans le diagramme parabole-rectangle ou dans le

diagramme rectangulaire simplifié. Etant donné le caractère instantané de l’incendie, il n’y a pas lieu de prendre en compte le coefficient de 0,85 dans le calcul de la résistance du béton. De plus, le coefficient de sécurité

γb

est pris égal à 1,3. On admet également pour la valeur de

que « j » est supérieur à 90 jours, ce qui nous donne

f cj

f c 90 = 1,1. f c 28 .

A partir de ces hypothèses, on a le diagramme parabole-rectangle suivant :

Dans le cas des poteaux ou des voiles, on prend en compte les valeurs correspondant à la température moyenne. Dans le cas des poutres, on peut substituer à la section réelle une section de largeur fictive en affectant à chaque tranche élémentaire une largeur φbi .bi .

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Diagramme contraintes-déformations de l’acier. Le coefficient

γ s est pris égal à 1.

Le diagramme de calcul des aciers est donc le suivant :

19.9.3.2. Hauteur utile réduite. La réduction des aires efficaces de chaque barre (en fonction de la température atteinte en cet endroit) entraîne forcément une modification de la position du centre de gravité et donc de la hauteur utile à chaud. Le calcul de cette hauteur utile réduite permettra ensuite d’écrire l’équilibre de la section à chaud. On rappelle que le centre de gravité est égal au moment statique divisé par l’aire d’une section. La démarche consiste donc à calculer le moment statique de chaque barre, sa section résiduelle puis le moment statique de toutes les barres (c’est la somme des moments statiques).

Ce calcul se résume par le tableau suivant :

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Avec :    

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Ai : aire de la barre i. ui : distance utile de la barre i.

θ i : température de la barre i. φsi : coefficient d’affaiblissement de la barre i.

On en déduit donc : 

Distance utile des aciers chauds :

uθ =

∑ φ . A .u ∑φ .A si

i

si



Hauteur utile de la section réduite à chaud :

i

i

=

S Aθ . Aθ

d θ = h − uθ

19.9.3.3. Calcul du moment résistant A partir de la hauteur utile déterminée précédemment, on peut établir le schéma suivant :

Ce schéma est défini à partir des deux hypothèses suivantes :  En face supérieure de la poutre, on considère une température inférieure à 250°c (l’air chaud monte), ce qui nous donne φb = 1 ⇒ f cjθ = φb . f c 90 = f c 90 . 

On néglige, dans le cas des poutres en T, la table de compression, ce qui va dans le sens de la sécurité.

En écrivant l’équilibre des forces entre le béton comprimé et les aciers tendus, on en déduit la position de l’axe neutre :

Fbc ,θ = Fs ,θ ⇒ 0,8.b0 . y.

f c 90 Aθ . f e = Aθ . f e ⇒ y = f 1,3 0,8.b0 . c 90 1,3

Puis le moment résistant en travée :

M tθ = Aθ . f e .zθ avec zθ = dθ − 0,4. y On voit que l’écriture de cet équilibre est le même que dans le cas d’un dimensionnement à froid.

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Remarque : D’après le diagramme de déformations-contraintes de l’acier, on a

Pour des aciers Fe500, cela correspond à

ε bc y 0,0035 ≤ = = 0,583 dθ ε bc + ε sl 0,0035 + 500 200000

Dans le cas où le calcul de l’axe neutre nous amène à

Aθ .E s .ε s = Aθ .E s .



0,8.b0 . y.



b0 .

σ s = f e tant que ε s ≤ ε sl .

y ≥ 0,583 , il faut remplacer Aθ . f e par dθ

3,5 dθ − y nd . , ce qui conduit à résoudre l’équation du 2 degré suivante : 1000 y

f c 90 3,5 d θ − y = Aθ .E s . . 1,3 1000 y

f c 90 . y ² + 875. Aθ . y − 875. Aθ .d θ = 0 1,3 19.9.4. Moment résistant à chaud sur appui.

19.9.4.1. Zone réduite de compression à chaud Sur appui, les aciers tendus sont en fibre supérieure et la zone comprimée de béton en face inférieure. Par conséquent, la zone comprimée est située côté face chaude. Il faut donc estimer l’effort que peut reprendre le béton comprimé, affecté de son coefficient d’affaiblissement. Pour cela, on découpe la zone comprimée en rectangles élémentaires de dimensions

   

« i » représente le rang d’une bande horizontale quelconque de hauteur ∆x . « j » représente le rang d’une bande verticale quelconque de largeur ∆b .

θ ij est la température au centre du rectangle ∆xi.∆bj . φij est le coefficient d’affaiblissement du béton correspondant à θ ij .

∆x et ∆b :

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24

On peut écrire la force élémentaire que peut équilibrer chaque rectangle élémentaire :

[∆Fbc ]ij = ∆xi .∆b j .φij . f c 90 1,3

Du fait que

∆xi est constant pour toute bande horizontale de rang i, l’expression précédente devient :



m



[∆Fbc ]i = ∆xi ∑ ∆b j .φij . f c 90  j =1

 1,3

On peut simplifier cette expression en écrivant :

[∆Fbc ]i = bi. ∆xi . f c 90 1,3

m

avec

bi = ∑ φij .∆b j j =1

D’après l’expression précédente, on voit que chaque bande horizontale est prise en compte avec une largeur réduite en fonction des coefficients d’affaiblissement. On a donc une zone comprimée en forme de pyramide inversée :

19.9.4.2. Calcul du moment résistant à chaud sur appui Nous venons de voir que chaque bande horizontale équilibre l’effort de compression suivant :

[∆Fbc ]i = bi. ∆xi . f c 90 1,3

m

avec

bi = ∑ φij .∆b j j =1

Il s’en déduit que chacune de ces bandes horizontales peut équilibrer un moment fléchissant égal à :

∆M i = [∆Fbc ]i . z bi (voir schéma précédent) Avec  

z bi = d − vi vi = (i − 1).∆x +

∆x 2

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25

Pour déterminer maintenant l’effort de compression totale que peut reprendre la zone comprimée, on fait la somme de toutes les bandes :

Fbci = ∑ [∆Fbc ]i = ∑ bi . ∆xi . i

i

f c 90 1,3

Lors du découpage en bande, on aura la bande i (correspondant à Fbci ) qui sera juste au-dessous de la limite du rectangle simplifiée et la bande i+1 (correspondant à Fbci +1 ) qui sera juste au dessus (voir schéma précédent). Par conséquent, la valeur de la force entre les deux valeurs 

Fbci ≤ A. f e



Fbci +1 ≥ A. f e

Si on note

Fbc qui équilibre l’effort dans les aciers Fs = A. f e est comprise

Fbci et Fbci +1 de telle sorte que :

xi = i.∆x la hauteur de la zone comprimée correspondant à Fbci , on peut déduire la

hauteur x correspondant à

Fbc par une simple interpolation linéaire entre Fbci et Fbci +1 .

Cette interpolation linéaire nous permet d’écrire :

En posant Fbci +1

Fbc = Fbci +

− Fbci = [∆Fbc ]i +1 , on a : x = xi + ∆x.

x − xi ( Fbci +1 − Fbci ) = A. f e . ∆x

A. f e − Fbci . [∆Fbc ]i +1

Connaissant la hauteur x du rectangle, on peut en déduire la position de l’axe neutre ( puis le bras de levier entre la zone comprimée et les aciers tendus :

z bθ = d − 0,4. y = d −

y = 1,.25. x )

x 2

Connaissant le bras de levier, on peut en déduire le moment résistant :

x M aθ = A. f e . z bθ = A. f e .( d − ) 2 Cas ou fe n’est pas atteinte Attention, dans les calculs précédents, on a considéré que la contrainte aciers. Or, cette contrainte ne peut être atteinte que si soit

x ≤ 0,8.d

 

εs ≥

f e est atteinte dans les

fe 3,5 d − y 3,5 0,8.d − x avec ε s = . = . , Es 1000 y 1000 x

3.5 700 = 0,8d . . 1000. f e 700 + f e 3,5 + Es

Pour un acier Fe500, on doit avoir x ≤ 0,467d . Pour un acier Fe400, on doit avoir x ≤ 0,509 d .

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26

Si cette vérification n’est pas satisfaite, il faut calculer les valeurs exactes de

Fsi et

Fsi +1 correspondant respectivement aux bandes i et i+1, puis réécrire l’interpolation linéaire précédente pour trouver la valeur de x.

x = i∆x > 0,467 d , on remplace le terme 3,5 0,8.d − i∆x 3,5 0,8.d − xi Fsi = A.σ si = A.E s .ε si , avec : ε si = . = . . 1000 i∆x 1000 xi

Donc,

si

pour

un

Fe500,

on

a

A. f e par

Fsi +1 = A.E s .ε si +1 avec : 3,5 0,8.d − (i + 1).∆x 3,5 0,8.d − xi +1 ε si +1 = . = . 1000 (i + 1).∆x 1000 xi +1

Pour la bande horizontale suivante, on aura

Lorsque

Fbci < Fsi et que Fbci +1 > Fsi +1 , on obtient la valeur de x par interpolation, ce qui nous

donne :

x = xi + ∆x.

Le moment à chaud est obtenu par :

Avec

εs =

1 1+

Fbci +1 − Fsi +1 Fsi − Fbci

x M aθ = A.( E s .ε s ).( d − ) 2

3,5 0,8.d − x . 1000 x

Tous ces calculs peuvent se résumer par le tableau suivant :

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27

19.9.5. Justification de la stabilité de la poutre. Le but de la justification est de vérifier que si les aciers en travée ne sont plus efficaces, la défaillance des ces derniers puisse être compensée par les aciers sur appuis. De ce fait, la courbe des moments doit être comprise entre dans la plage de variation des moments ultimes résistants à chaud :

Cette condition se traduit par :



M aθ + M tθ ≥ 1. M0

Les moments doivent être pris avec leurs signes respectifs, positif en travée et négatif sur appui.

En ce qui concerne les aciers de chapeaux sur appuis, leurs longueurs doit être suffisantes pour assurer la sécurité lorsque les aciers de travée ne sont plus résistant. Cela se traduit par le schéma suivant :

l ch représente la longueur réelle des chapeaux.

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28

19.9.6. Vérification de non-éclatement. En cas d’incendie, il peut se produire un éclatement du béton du fait de l’expansion de l’eau contenu dans le matériau. L’éclatement du béton a pour effet de mettre à nu une ou plusieurs barres d’acier qui n’interviennent alors plus dans la résistance de l’élément. Il y a deux façons de s’assurer du non-éclatement du béton :  Par respect des règles simples. Ces dernières, sous réserve d’une confection conforme aux règles de l’art, permettent d’éviter les éclatements prématurés du béton. On rappelle qu’un grillage de protection est nécessaire dès que u est supérieur à 7cm.  Par une vérification complémentaire. La vérification consiste à considérer la mise à nu d’une barre, celle de plus gros diamètre au voisinage du contour. Cette barre n’intervient donc plus dans le calcul, et on doit refaire toutes les vérifications avec cette hypothèse. La justification doit être avec la combinaison suivante :

G1 − 0,05G2 + 0,8Q + 0,8(WouSn ) + T1 + Y .

G1 représente l’ensemble des charges permanentes.  G2 représente le poids propre du plancher concerné.



En effet, cette combinaison tient compte du fait que l’incendie provoque une évaporation de l’eau qui provoque des ruptures locales du béton et une légère diminution de son poids propre. Le DTU indique que cette vérification n’est pas nécessaire :  Pour les poutres comportant plus de 8 barres à mi-travée.  Pour les dalles. 19.9.7. Vérification à l’effort tranchant. La vérification à l’effort tranchant n’est pas nécessaire si la largeur de la poutre respecte les valeurs données dans le tableau des règles simples (§19.9.1). Dans le cas contraire, on déduit l’effort tranchant de la courbe des moments (théorème des 3 moments) :

Vθ = Viso +

M aθe − M aθw L

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29

Avec cette valeur de l’effort tranchant, on vérifie la contrainte sur le béton :

τθ = Le coefficient

Vθ ≤ 0,20.φb . f c 90 b0 .d

φb est déterminé en considérant la température θ mesurée au point caractérisé par les

distances b/4 et h1/2 telles que définies sur le schéma ci-dessous :

En ce qui concerne les armatures d’effort tranchant, elles doivent vérifier :

φs . At b0 .st Le coefficient

≥

τ θ − 0,03.φb . f c 90 0,9. f e

φs est déterminé en considérant une température à la hauteur h1/2.

19.10. Justifications des murs porteurs Article 7.3 du DTU feu. Cet article s’applique aux éléments porteurs dont la grande dimension excède de plus de 5 fois la petite (b ≥ 5a ) . Les règles simples s’appliquent aux murs d’élancement inférieurs à 50, avec une ou deux faces exposées. Un tableau définit l’épaisseur et la distance utile en fonction de la durée d’exposition : 1/2H

1H

1H1/2

2H

3H

4H

Epaisseur a (cm)

10

11

13

15

20

25

Distance utile u (cm)

1

2

3

4

6

7

La distance utile n’est à respecter que si les aciers sont nécessaires à la stabilité (cas des voiles armés). De la même façon que les poteaux, on peut faire une vérification à chaud en déterminant les coefficients d’affaiblissement à partir des températures données en 19.4.5.

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30

En complément des tableaux donnés en 19.4.5, on peut utiliser le tableau suivant (extrait du DTU) qui donne les températures atteintes à la distance u du parement (exposé au feu) :

Pour des valeurs de « u » intermédiaires, il suffit de faire une interpolation linéaire.

19.11. Justification des dalles (règles simples). Il s’agit des dalles pleines ou réalisées à partir de prédalles, portant sur 2, 3 ou 4 côtés (article 7.4 du DTU feu). Les armatures inférieures d’une dalle exposée au feu doivent constituer un quadrillage sur toute la surface avec 1/6 de la section en travée ancrée sur appuis (soit toutes les barres ancrées de ls/6, soit une barre sur six ancrée de ls). Les règles simples s’appliquent aux locaux pour lesquels la surcharge d’exploitation est définie par la norme NFP 06-001. On distingue les dalles isostatiques et les dalles continues.

19.11.1. Dalles isostatiques On note :  h : épaisseur de la dalle (en cm).  e : épaisseur de la chape et du revêtement (en cm).  M 0 : moment isostatique sous charge maximale. 

M w et M e : moments équilibrés par les aciers sur appuis de longueur libre à l’intérieur de la travée considérée. Ces moments sur appuis ne sont pris en compte que si les valeurs des moments dus aux seules charges permanentes sont telles que M w + M e ≥ M 0 .

Les dispositions constructives sont résumées dans le tableau suivant :

La lecture de ce tableau se fait par interpolation linéaire sur u et sur

l sw + l se . l

l sw et l se sont les longueurs des aciers de chapeaux comptés à partir du nu de l’appui vers l’intérieur de la travée (voir schéma ci-dessous)

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19.11.2.

31

Dalles hyperstatiques.

Les règles précédentes peuvent être appliquées :  Soit en tenant compte des moments de continuité hyperstatiques à la condition que les aciers sur appuis soient de nuance Fe215 ou Fe235, sans armatures de répartition soudée.  Soit sans tenir compte des moments de continuité, ce qui suppose que les aciers en travée ont été calculés à froid sous M 0 , ce qui ne dispense pas de disposer les aciers sur appuis nécessaires au bon comportement de l’ouvrage en service normal. Si les charges d’exploitation sont définies par application de la norme NFP 06-001, on considère toutes les travées chargées. Si les charges d’exploitation ne sont pas entièrement définies par la norme NFP 06-001, on pourra considérer pour les travées « déchargées » 80% de la surcharge et la totalité de la surcharge pour les travées « chargées ».

19.12. Justification des poutres-voiles (règles simples) Les règles simples donnent une épaisseur mini et un enrobage des aciers de flexion en fonction de la durée d’exposition au feu : 1/2H

1H

1H1/2

2H

3H

4H

Epaisseur a (cm)

10

11

13

15

20

25

Distance utile u (cm)

1

1,5

2

3

4,5

6

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32

19.13. Exercice 1 : justification d’un poteau. On considère un poteau de 30cm*40cm, de hauteur libre 2.75m, soumis à une compression centrée :  Ng= 800 KN  Nq= 150 KN On cherche à étudier la stabilité au feu 2h (SF 2H) :  Par application des règles simples.  Par un calcul à chaud. Les matériaux sont :  Béton B25.  Acier fe400 Le poteau est considéré bi-articulé. Plus de la moitié des charges appliquée après 90 jours. 19.13.1.

Calcul à froid.

On fait un dimensionnement en compression centrée. 

N u = 1,35 × 800 + 1,50 ×150 = 1305 KN = 1,305 MN



Poteau bi-articulé :

l f = l0 = 2,75m .

2,75 = 31,75 0,30 / 12 0,85 0,85  α= = = 0,730 2 2 λ   31,75  1 + 0,2  1 + 0,2   35   35 

λ=



Elancement :



Br= (0,40-0,02)*(0,30-0,02)= 0,1064 m²



 Nu Br Fc 28  γ s  1,305 0,1064 × 25  1,15 A≥  − = − = −5,25cm²  0,9γ b  Fe  0,730 0,9 ×1,5  400 α

On a un poteau en % mini, on peut donc appliquer les règles simples de vérification au feu.

19.13.2.

Application des règles simples.

Les dimensions minimales du poteau sont extraites du tableau suivant : 1/2H

1H

1H1/2

2H

3H

4H

Poteau b= a

15

20

24

30

36

45

Poteau b= 5a

10

12

14

16

20

26

Pour un critère SF 2H, on a :  Pour b= a, on a d’après le tableau a=30cm, ce qui correspond à une section de 900 cm².  Pour b= 5a, on a d’après le tableau a=16cm, ce qui correspond à une section de 16*5*16= 1280cm².

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33

Il faut ensuite faire une interpolation sur le vrai ratio b/a du poteau étudié :

On a b/a= 0.40/0.30= 1.33 L’interpolation nous permet donc de déterminer la section S mini du poteau :

1,33 − 1 (1280 − 900 ) = 931,35cm² 5 −1  On doit donc vérifier a ×1,33a = 931,35cm² ⇒ a = 26,46 cm et b=35,19cm



S = 900 +

Les dimensions du poteau sont bien supérieures à ces valeurs => la vérification est satisfaite.

19.13.3.

Justification du poteau à « chaud ».

Pour justifier le poteau par un calcul à chaud, il faut :  Déterminer la température moyenne dans la section transversale du poteau, ainsi que le coefficient d’affaiblissement correspondant.  Calculer l’effort normal résistant qui en découle et vérifier qu’il est bien supérieur à l’effort appliqué. Température moyenne dans le poteau Pour déterminer la température moyenne dans le béton, on applique le tableau suivant en fonction du coefficient de massivité, pour une stabilité au feu de 2 H :

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M=

34

périmètre 2(30 + 40 ) = = 0,117cm −1 sec tion 30 × 40

D’après le tableau, on a :  Pour M=0,11 => θ= 510°  Pour M= 0,12 => θ= 540° Pour déterminer la température correspondante à un coefficient de 0,117, il suffit de faire une interpolation linéaire :

θ ( M = 0,117) = 510 +

0,117 − 0,11 (540 − 510 ) = 531° 0,12 − 0,11

Connaissant la température moyenne dans le béton, on détermine le coefficient d’affaiblissement φb correspondant à partir du tableau de la page 9. 

Pour θ= 530°, on a



Pour θ= 535°, on a

φb = 0,560 . φb = 0,552 .

On fait ensuite une interpolation linéaire pour déterminer le coefficient

φb correspondant

à une

température de 531° :

φb (θ = 531°) = 0,560 +

531 − 530 (0,552 − 0,560 ) = 0,558 535 − 530

Effort normal résistant Connaissant le coefficient d’affaiblissement du béton, on peut déterminer l’effort normal résistant du poteau (en ne considérant que la résistance du béton) :

Nθ =

α  Br .φb . f c 28    0,85  0,9.γ b 

avec

γ b = 1,3 et f c 90 = 1,1. f c 28

On a donc :

Nθ =

0,730  0,1064 × 0,558 ×1,1 × 25   = 1,20 MN 0,85  0,9 ×1,3 

La justification est validée car on a bien

N θ > N u = N g + N q = 0,95 MN .

ATTENTION, la vérification au feu est un état limite ultime accidentel, c’est pourquoi on calcul Nu=Ng+Nq, valeur différente de Nu=1.35*Ng+1.5*Nq que l’on a pris en compte pour la vérification à froid.

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35

19.14. Exercice 2 : justification d’une poutre. Le but de cet exercice est d’étudier une travée de poutre de parking de section rectangulaire 24*70cm de 6.90m de travée. Cette poutre est soumise aux charges suivantes :  G= 50,38 KN/ml  Q= 18,75 KN/ml Les moments ELU correspondants sont les suivants :  Sur appui : Mu= -0,144 MN.m  En travée : Mu= 0,278 MN.m Les hypothèses de calcul sont :  Béton B30.  Acier Fe400  Fissuration peu préjudiciable. On souhaite justifier la poutre pour un critère SF 1,5H.

19.14.1.

Calcul des aciers à froid.

A partir des moments indiqués ci-dessus, on réalise un dimensionnement des armatures en flexion simple. Pour cela, on considère une hauteur utile

d = 0,9 h = 0,9 × 0,70 = 0,63m

Calcul sur appui 

  

µb =

Mu 0,144 = = 0,089 bd ² Fbu 0,24 × 0,63² ×17

[

]

[

]

α u = 1,25 1 − (1 − 2 µ b ) = 1,25 1 − (1 − 2 × 0,089 ) = 0,117 z b = d (1 − 0,4α ) = 0,63(1 − 0,4 × 0,117) = 0,60 m Au =

Mu 0,144 = = 6,90.10 − 4 m² = 6,9cm² zb Fed 0,60 × 348

On met en place 3HA20= 9,42cm². Calcul en travée 

  

µb =

Mu 0,280 = = 0,173 bd ² Fbu 0,24 × 0,63² ×17

[

]

[

]

α u = 1,25 1 − (1 − 2 µ b ) = 1,25 1 − (1 − 2 × 0,173) = 0,239 z b = d (1 − 0,4α ) = 0,63(1 − 0,4 × 0,239 ) = 0,57m Au =

Mu 0,280 = = 14,11.10 − 4 m² = 14,11cm² zb Fed 0,57 × 348

On met en place 8HA16= 16,08cm² => on a ainsi pas besoin de faire de vérification au nonéclatement.

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36

On a le schéma de ferraillage suivant : 3HA20 sur appui

8HA16 en travée

19.14.2.

Détermination des températures dans les aciers

Comme indiqué précédemment dans le cours, on décompose la demi-section de la poutre en petit carré de 3cm * 3cm, puis on place les armatures sur ce quadrillage. Pour cela, on considère une distance utile de 3cm également. On a donc le schéma suivant :

Les aciers inférieurs en place, sur la demi-largeur de la poutre, sont repérés de 1 à 5. Pour chacune de ces barres, il faut déterminer le coefficient d’affaiblissement afin de pouvoir ensuite déterminer le moment à chaud en travée.

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19.14.3. On a vu que

37

Moment résistant à chaud en travée

M tθ = Aθ . f e .zθ avec zθ = dθ − 0,4. y .

Il faut donc déterminer la distance utile à partir des coefficients d’affaiblissement de chaque barre. Le calcul se résume par le tableau suivant : N° barre

Diamètre

Section (cm²)

Temp. °c

φs

Aθ

ui

Aθ .ui

(cm²)

(cm)

(cm3)

1

1HA16

2,01

300

0,847

1,70

7,5

12,75

2

1HA16

2,01

460

0,603

1,21

4,5

5,44

3

2HA16

4,02

440

0,634

2,55

10,5

26,77

4

2HA16

4,02

500

0,542

2,18

7,5

16,35

5

2HA16

4,02

610

0,346

1,39

4,5

6,25

Total

8HA16

16,08



∑ Aθ = 9,03cm²

Distance utile des aciers chauds :

uθ =

∑ φ . A .u ∑φ .A si

i

si



Hauteur utile de la section réduite à chaud :



Position de l’axe neutre :

On doit vérifier que l’on a bien

Dans notre cas, on a donc bien

y=

i

=

i

∑ Aθ .u

i

= 67,56cm3

S Aθ 67,56 = = 7,48cm . Aθ 9,03

d θ = h − uθ = 70 − 7,48 = 62,5cm

Aθ . f e 9,03.10 −4 × 400 = = 0,0741m f c 90 33 0,8 × 0,24 × 0,8.b0 . 1,3 1,3

σ s = f e , ce qui revient à vérifier

y ≤= 0,583 . dθ

y 0,0741 = = 0,118 ≤= 0,583 => la contrainte sur le aciers tendus atteint dθ 0,625

f e . Notre hypothèse de départ est correcte.



zθ = dθ − 0,4. y = 0,625 − 0,4 × 0,0741 = 0,595m



M tθ = Aθ . f e .zθ = 9,03.10 −4 × 400 × 0,595 = 0,215 MN .m

On a donc un moment résistant à chaud en travée de 0,215 MN.m

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19.14.4.

38

Moment résistant à chaud sur appuis.

De la même façon que précédemment, on décompose la demi-largeur inférieure de la poutre (zone comprimée sur appui) en carré de 3cm*3cm. Pour chaque carré, on détermine la température et le coefficient d’affaiblissement sur le béton. On a le schéma suivant :

i= 4

∑φ

i= 3

∑φ

i= 2

∑φ

ij

= 6,050

ij

= 5,354

∑φ

i= 1

= 3,972

ij

ij

= 2(0,360 + 0,332 + 0,270 + 0,169 ) = 2,262

Sur appui (en fibre supérieure), les aciers équilibrent une force égale à

N a = Ai × f e .

Le calcul à froid nous a donné une section d’acier sur appui composée de 3HA20, soit 9,42cm². L’effort dans les aciers tendus vaut donc :

La hauteur utile vaut

d = h−

φ 2

N a = 9,42.10 −4 × 400 = 0,377 MN

= 0,70 − 0,10 = 0,60 m .

On va donc devoir calculer un nombre de bandes horizontales suffisant pour équilibrer l’effort de traction des aciers, soit 0,377 MN.

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39

Les calculs se résument dans le tableau suivant :

i

i∆x

yi

(m)

= 1,25.i∆x

y αi = i d

bi = ∆bi .∑ φij

∑φ

ij

( ∆bi

= 3cm)

∆Fb   f  = bi .∆x. c 90  1,3  

Fbci Cumul (MN)

(MN) 1

0,03

0,0375

0,0625

2,262

0,06786

0,0517

0,0517

2

0,06

0,075

0,125

3,972

0,11916

0,0907

0,1424

3

0,09

0,1125

0,1875

5,354

0,16062

0,122

0,2644

4

0,12

0,150

0,25

6,050

0,18150

0,138

0,4024

D’après le tableau, on voit donc que l’effort de compression dans le béton qui équilibre l’effort de traction dans les armatures est obtenu entre les bandes 3 et 4. Il faut donc faire une interpolation linéaire entre les deux pour trouver la valeur exacte de x :

x = x( i = 3) + ∆x.

A. f e − Fbci ( i = 3)

[∆Fb ]i =4

= 0,09 + 0,03.

0,377 − 0,2644 = 0,114 m 0,138

Connaissant donc la hauteur du rectangle de compression, on peut calculer le moment à chaud sur appui :

x 0,114 M aθ = A.( E s .ε s ).( d − ) = 9,42.10 − 4 × 400.(0,60 − ) = 0,205 MN .m 2 2

19.14.5.

On doit vérifier :

On a

Vérification au feu

M aθ + M tθ > 1. M0

M aθ + M tθ = 0,205 + 0,215 = 0,420 MN .m .

On calcul le moment isostatique sous G+Q :

On vérifie ensuite

M0 =

(0,05038 + 0,01875).6,90² = 0,411MN .m . 8

M aθ + M tθ 0,420 = = 1,02 > 1 . M0 0,411

La vérification est donc satisfaite.