Chapitre 18 - Murs et voiles de contreventement.pdf

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

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" BETON ARME " Chapitre 18 : Murs et voiles de contreventements. (Code CCV109)

Enseignant: J. PAÏS

2012 - 2013

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Sommaire 18.

MURS ET VOILES DE CONTREVENTEMENT ........................................................................ 3

18.1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 3 18.2. DEMARCHE .............................................................................................................................. 5 18.3. PRINCIPES DE DIMENSIONNEMENT DES MURS ARMES ET NON ARMES. .......................................... 5 18.3.1. Domaine de validité ....................................................................................................... 5 18.3.2. Longueur de flambement .............................................................................................. 6 18.3.3. Distinction voiles armés - voiles non armés. ................................................................. 7 18.4. DIMENSIONNEMENT DES MURS NON ARMES. ............................................................................... 9 18.4.1. Caractéristiques des matériaux ..................................................................................... 9 18.4.2. Effort normal résistant d’un mur non-armé .................................................................. 10 18.4.3. Effort tranchant résistant d’un voile non-armé. ........................................................... 12 18.4.4. Découpage du mur en bande. ..................................................................................... 13 18.4.5. Principes de vérifications. ............................................................................................ 15 nd 18.4.6. Méthode simplifiée de vérification au 2 ordre ........................................................... 15 18.4.7. Cas particulier des charges localisées ou des points d’appuis. .................................. 16 18.5. DIMENSIONNEMENT DES MURS ARMES ..................................................................................... 18 18.5.1. Calcul des armatures longitudinales ........................................................................... 18 18.5.2. Vérification à l’effort tranchant des voiles armés ......................................................... 18 18.5.3. Effort tranchant pour les éléments sans armature de flexion ...................................... 19 18.5.4. Effort tranchant pour les éléments avec armatures de flexion .................................... 19 18.5.5. Calcul des armatures d’effort tranchant ...................................................................... 20 18.6. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES MINIMALES .............................................................................. 24 18.6.1. Condition de non-fragilité en flexion ............................................................................ 24 18.6.2. Dispositions constructives pour les voiles armés ........................................................ 25 18.6.3. Armatures minimales liées au dimensionnement à l’effort tranchant. ......................... 27 18.6.4. Dispositions constructives de chaînage. ..................................................................... 27 18.7. PRINCIPES DE DIMENSIONNEMENT DES VOILES DE CONTREVENTEMENT ..................................... 31 18.7.1. Méthode générale........................................................................................................ 32 18.7.2. Calcul en flexion composée sous torseur (M,N). ........................................................ 33 18.8. DIMENSIONNEMENT DES VOILES DE CONTREVENTEMENT EN ZONE SISMIQUE .............................. 34 18.8.1. Notations ..................................................................................................................... 34 18.8.2. Généralités .................................................................................................................. 35 18.8.3. Caractéristiques des matériaux. .................................................................................. 37 18.8.4. Dimensionnement des murs de grande dimension en béton peu armé ..................... 38 18.8.5. Dimensionnement des murs ductiles .......................................................................... 40 18.9. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES EC8 ....................................................................................... 45 18.9.1. Dispositions constructives des murs de grande dimension en béton peu armé. ........ 46 18.9.2. Dispositions constructives des murs ductiles en DCM ................................................ 50 18.9.3. Dispositions constructives des murs ductiles en DCH ................................................ 59 18.9.4. Détails des dispositions constructives. ........................................................................ 61 18.10. EXERCICE 1 : CALCUL D’UN VOILE NON ARME SOUS CHARGES VERTICALES. .......................... 63 18.10.1. Caractéristiques des matériaux ................................................................................... 63 18.10.2. Longueur de flambement et élancement du voile. ...................................................... 64 18.10.3. Calcul de l’effort normal résistant ................................................................................ 64 18.11. EXERCICE 2 : ETUDE D’UN MUR DE CONTREVENTEMENT. ...................................................... 66 18.11.1. Caractéristiques des matériaux ................................................................................... 66 18.11.2. Longueur de flambement et élancement du voile. ...................................................... 67 18.11.3. Calcul en flexion composée ........................................................................................ 67 18.11.4. Vérification à l’effort tranchant ..................................................................................... 71 18.11.5. Dispositions constructives ........................................................................................... 73

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Murs et voiles de contreventement 18.1. Introduction

Dans le titre de ce chapitre « Murs et voiles de contreventement », il y a deux dénominations qui sont souvent utilisées pour désigner le même élément structurel : un élément porteur vertical, le mur. Usuellement, on parle de « murs » (armés ou non) pour les éléments reprenant uniquement des charges verticales (charges gravitaires G et Q) et on parle de « voiles de contreventement » pour les éléments reprenant des efforts horizontaux. En ce qui concerne les voiles de contreventement, il faut distinguer les voiles reprenant des efforts de vent et les voiles reprenant des efforts de séisme. En effet, ces derniers sont également régis par l’Eurocode 8 qui amène un certain nombre de vérification complémentaires ainsi que des dispositions constructives spécifiques à la construction en zone sismique. Une grande partie des bâtiments construits en France sont composés de murs en béton banché, coulés dans des coffrages verticaux en béton (appelés banches), à leur emplacement définitif.

Ci-contre, quelques illustrations de banches pour couler des murs porteurs.

Avant l’arrivée des Eurocodes, le dimensionnement des murs banchés (ou voiles) était régit par des documents ou recommandations techniques, et notamment le DTU23.1 (NFP 18-210 édition 2001.1) des murs banchés.

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Ce DTU (Document Technique Unifié) fait une distinction entre les voiles armés et les voiles nonarmés. Par contre, ce règlement fait l’impasse sur les voiles de contreventement destinés à reprendre des efforts horizontaux de vent ou de séisme. Les Eurocodes ont repris ces notions mais intègrent également la justification des voiles de contreventement, notamment pour reprendre les efforts sismiques. On entend par « murs » ou « voiles », les porteurs verticaux qui se distinguent des poteaux par le rapport entre sa longueur « L » et son épaisseur « e » : un mur est un élément dont le rapport

L est e

au moins égal à 4 :

e

Voile =>

L

L’Eurocode 2 distingue deux types de murs :  Les murs « non armés », qui relèvent de la section 12 de l’EC2, et dont la section de béton suffit à reprendre les efforts de compression. Dans ce cas, on mettra en place uniquement des dispositions constructives de ferraillage.  Les murs « armés », qui relèvent des sections 6 à 9 de l’EC2, et dans lesquels des armatures complémentaires sont nécessaires pour reprendre les efforts de compression. Attention, cette distinction ne concerne que les murs reprenant uniquement des charges verticales. Dans le cas murs reprenant des efforts horizontaux, que l’on nomme « voiles de contreventement », on aura forcément des armatures résistantes, calculées selon les principes énoncés dans l’EC8, pour ce qui est des voiles de contreventement en zone sismique. Ces éléments de structure assurent, dans un bâtiment d’usage courant, les fonctions suivantes :  La stabilité mécanique sous sollicitations normales provenant des charges appliquées.  La sécurité en cas d’incendie, séisme ou sollicitations exceptionnelles prévisibles.  L’étanchéité à la pluie pour les murs concernés.  La contribution à l’isolation thermique et acoustique.

Comme nous allons le voir, le dimensionnement des voiles est très proche du dimensionnement des poteaux. Pour pouvoir appréhender correctement ce chapitre, il est donc fortement conseiller de bien maitriser le chapitre sur l’état limite de stabilité de forme (CCV109) ainsi que le chapitre sur le dimensionnement à l’effort tranchant (CCV004).

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18.2. Démarche Pour dimensionner un voile, il y a donc un raisonnement logique à suivre, que l’on détaillera dans les paragraphes qui suivent. Avant tout, il faut faire la distinction entre :  Un voile porteur reprenant uniquement des charges verticales, qui sera dimensionné comme un poteau, en voile armé ou non-armé.  Un voile porteur reprenant également des efforts horizontaux et participant de ce fait au contreventement de la structure. On parle alors de « voile de contreventement » qui sera dimensionné comme un poteau encastré en pied et libre en tête. Lorsque l’on souhaite dimensionner un voile sous charges verticales, il faut ensuite déterminer dans laquelle des deux situations suivantes on se trouve, fonction des charges appliquées :  Cas d’un voile non-armé.  Cas d’un voile armé Pour dimensionner un voile de contreventement, il faut faire la distinction entre :  Un voile de contreventement « classique » => application de l’Eurocode 2 uniquement.  Un voile de contreventement en zone sismique => application des règles «Eurocode 8 » en plus de l’Eurocode 2.

18.3. Principes de dimensionnement des murs armés et non armés. Ce paragraphe ne concerne que les voiles soumis à des charges verticales, uniformément réparties ou non. Les voiles de contreventement, soumis à des charges horizontales, seront traités au paragraphe 16.7. Comme nous venons de le voir, L’Eurocode distingue :  Les voiles non-armés => section 12 de l’EC2.  Les voiles armés => sections 6 à 9 de l’EC2. 18.3.1. Domaine de validité Le principe de dimensionnement d’un mur est le suivant :  Détermination de l’élancement et de la longueur de flambement du voile.  Détermination et vérification de l’effort normal et de la contrainte normale limite.  Calcul des armatures résistantes éventuelles (murs armés)  Mise en place des dispositions constructives. Ces règles s’appliquent aux parois de tout bâtiment, quelle que soit la destination, dans le cas où la résistance à des forces horizontales perpendiculaires à son plan moyen n’est pas statiquement nécessaire. Pour que les hypothèses prises restent valides, il faut respecter le domaine de validité suivant:  Longueur du mur au moins égale à 4 fois son épaisseur.  Epaisseur du mur au moins égale à 15 cm pour la « non-pénétration » de l’eau. On peut accepter des valeurs plus faibles dès lors que l’on a un parement protégé (bardage, peau, placage…). Dans les parties courantes, l’épaisseur minimale est de 12cm.  Elancement mécanique au plus égal à 86 pour la méthode simplifiée des voiles nonarmés. Attention, l’épaisseur mini peut être plus importante pour des raisons d’isolation acoustique. Sous charges verticales, le dimensionnement d’un voile s’apparente :  Au dimensionnement d’un poteau s’il s’agit d’un voile non-armé.  Au dimensionnement d’une poutre en flexion-composée, s’il s’agit d’un voile armé.

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18.3.2. Longueur de flambement Nous allons voir plus loin que le dimensionnement d’un voile est similaire au dimensionnement d’un poteau. Il est donc nécessaire de pouvoir estimer son élancement et sa longueur de flambement. La convention de notation est la suivante (issue de l’EC2):



lw : hauteur libre du voile

  

b : longueur du voile libre. hw : épaisseur du voile l0 : longueur de flambement du voile

Pour déterminer la longueur de flambement d’un mur, on fait la distinction entre deux cas de figure :  Mur raidi ou non en dehors du plan, par des voiles perpendiculaires par exemple.  Mur armé ou non-armé. Dans tous les cas, on peut exprimer la longueur de flambement à partir de la formule :  l0   .lw Valeur de  pour des murs non-raidi latéralement Dans ce cas, le coefficient  est déterminé à partir du tableau suivant :

Valeur de  pour des murs raidis latéralement Si c représente la distance entre nus intérieurs des raidisseurs, on pose : b = c

Le coefficient  est alors donné par le tableau suivant :

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Elancement mécanique du voile A partir de la longueur de flambement du voile, on peut déterminer son élancement mécanique noté , en utilisant la formule suivante : 



l0 . 12 hw

18.3.3. Distinction voiles armés - voiles non armés. La clause 5.11 de l’EC2 et son annexe nationale indique : « Les murs non-armés sont ceux qui ne possèdent pas d’acier de traction sous sollicitations de flexion composée dans leur plan et qui respectent les conditions de la section pour les limites des contraintes normales et de cisaillement. Dans le cas contraire, il s’agit de voiles armés ». Tout mur qui ne respecte pas une ou plusieurs de ces conditions doit être étudié comme un mur armé, et satisfaire en particulier aux vérifications de contraintes normales et de cisaillement de la section 6 de l’EC2, ainsi que les dispositions minimales d’armatures de la section 9. De plus, dans tous les cas, les murs (armés ou non) doivent satisfaire à des dispositions constructives minimales de chaînage, d’encadrement (notamment des ouvertures) et de quadrillage de peau. Ces dispositions seront détaillées au paragraphe 16.6 de ce cours. Le choix d’un fonctionnement en voile armé ou non-armé est une hypothèse de départ qui doit

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être vérifiée à différentes étapes du calcul. Si une des vérifications n’aboutit pas positivement, il faudra réorienter la conception vers un voile armé ou adapter les hypothèses de départ, ce qui signifie modifier le projet initial. Comme nous venons de le voir, l’Eurocode parle de « flexion-composée ». Il faut bien comprendre qu’il s’agit ici d’une flexion composée dans le plan du voile. Prenons deux exemples concrets :  Le cas d’un voile chargé de façon parfaitement symétrique : Charge uniformément répartie

Effort normal résultant uniquement



Du fait du chargement uniforme, il n’y a pas de moment résultant par rapport au centre de gravité du voile. Dans ce cas, le voile est sollicité en compression simple et se calcul comme un poteau en compression simple (voir ci-après).

Le cas d’un voile chargé de façon dissymétrique :

Charge non uniforme

Effort normal et moment résultant

Dans le cas d’un chargement dissymétrique (charge non uniforme, charges ponctuelles…), on a par rapport au centre de gravité du voile un effort normal et un moment de flexion résultante, d’où un dimensionnement en flexion composée.

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18.4. Dimensionnement des murs non armés. Comme nous l’avons vu, les murs non-armés sont traités à la section 12 de l’EC2, qui donne les critères à respecter pour pouvoir définir un mur comme « mur non armé » :  Caractéristiques particulières des matériaux.  Vérification de l’effort résistant.  Vérification de la résistance au cisaillement pour un élément non-armé.

18.4.1. Caractéristiques des matériaux Du fait de la faible ductilité du béton non-armé, les caractéristiques à prendre en compte sont les suivantes : 

Résistance effective de calcul en compression :

f cd  . cc , pl .

f ck

c

o

  1 pour une qualité de béton fck  50Mpa . f  50 pour une qualité de béton 50Mpa  f ck  90Mpa   1  ck 200  cc , pl  0.8 pour les cas courants.

o

 cc , pl  1

o o

si on prend en compte les effets du 2

nd

ordre par une méthode telle que

celles vues pour le dimensionnement des poteaux (courbure nominale, rigidité nominale…). 

Résistance effective en traction : o

f ctk ,0.05  0.21 f ck

f ctd  . ct , pl .

f ctk ,0.05

c

2/3

o

  1 pour une qualité de béton fck  50Mpa . f  50 pour une qualité de béton 50Mpa  f ck  90Mpa   1  ck 200  ct , pl  0.8 pour les cas courants.

o

 ct , pl  1 si prise en compte des effets du second ordre.

o o

Dans les cas courants, la résistance caractéristique en compression d’un béton C25/30 sera donc :  

25  13.33Mpa dans le cas d’un ELU. 1.5 25 A titre de comparaison, on aurait f cd   16.67 Mpa pour un élément armé. 1.5 f cd  0.8.

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18.4.2. Effort normal résistant d’un mur non-armé Pour déterminer l’effort normal résistant d’un voile non-armé, on utilisera les conventions de l’EC2 Section 12 (§12.6.1) vues précédemment :

L’effort normal résistant de ce mur non-armé est défini par la formule :  N Rd  f cd .b.hw Dans certains cas, il est possible que les charges verticales ne soient pas centrées sur l’épaisseur du voile, il convient dans ce cas de tenir compte de l’excentricité hors plan en appliquant la formule suivante : 

 e  N Rd  f cd .b.hw .1  2.  hw  

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L’excentricité « e » peut correspondre par exemple aux effets de planchers appuyés partiellement sur le voile :

e

Résultante de la d’appui du plancher

réaction

Voile

Cela revient à considérer un voile d’une épaisseur fictive, réduite de « 2.e » :

Si on considère N Ed l’effort normal appliqué sur le voile, on doit effectuer la vérification suivante : 

N Ed  N Rd => voile non-armé.



N Ed  N Rd => voile armé

Dans la section située juste sous le plancher, il est admis que les charges verticales provenant des niveaux au-dessus donnent des contraintes de compression uniformément distribuées sur l’épaisseur du voile. Par contre, pour les charges verticales apportées par le plancher, il peut être nécessaire de faire une vérification en considérant l’excentricité adéquate en fonction de la profondeur de l’appui de la poutre ou de la dalle (voir schéma ci-dessus). Dans ce cas de figure, il faudra donc décomposer selon les étapes suivantes:  Calcul de l’effort normal issu des étages supérieurs sans considérer d’excentricité.  Calcul de l’effort normal en considérant les charges du plancher appuyé sur le voile en question et l’excentricité correspondante.  Sommation des deux valeurs pour avoir l’effort normal total.

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18.4.3. Effort tranchant résistant d’un voile non-armé. La résistance à l’effort tranchant, d’un voile non-armé, relève de l’article 12.6.3 (Section 12) de l’EC2. Cette vérification doit être menée en ne tenant compte que de la partie comprimée du voile, partie que l’on nommera Acc . Bien entendu, si le voile est uniquement sollicité en compression, ce qui est le cas d’un voile ne participant pas au contreventement de la structure, il est inutile de mener cette vérification. L’Eurocode 2 permet de tenir compte de la résistance en traction du béton dans les éléments nonarmés à l’ELU, sous réserve que, soit par calcul soit par expérience, la rupture fragile puisse être exclue et qu’une résistance adéquate puisse être assurée. Pour une section soumise à un effort tranchant VEd et un effort normal N Ed agissant sur une aire comprimée Acc , il convient de prendre les valeurs suivantes pour la valeur absolue des composantes des contraintes de calcul :  

N Ed Acc V  cp  k Ed Acc

 cp 

La valeur de « k » à utilisé dans un pays est donnée par son annexe nationale. La valeur à utiliser en France est k= 1.50. Vis-à-vis du cisaillement, il convient de vérifier :   cp  f cvd Le terme

f cvd représente la résistance en compression et au cisaillement simultanés. Pour

déterminer la valeur de cette résistance, il faut d’abord calculer la contrainte de compression limite : 

 c,lim  f cd  2. f ctd  f ctd  f cd 

Puis, fonction de la valeur de la contrainte moyenne de compression, on distingue deux cas de figure :  

Si

 cp   c,lim , on a alors f cvd 

Si

 cp   c,lim , on a alors f cvd 

f ctd2   cp . f ctd . f

2 ctd

  cp . f ctd

    c ,lim     cp 2  

2

Le mur peut continuer à relever de la section 12 (mur non armé) si la contrainte de cisaillement

 cp

reste inférieure au cisaillement limite f cvd . Dans le cas contraire, il faudra dimensionner un mur armé.

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18.4.4. Découpage du mur en bande. Que ce soit en compression simple ou en flexion composée, l’étude du mur se fait en le découpant fictivement en bandes, à l’intérieur desquelles la contrainte de compression du béton est considérée uniforme. Ce principe de calcul est hérité du DTU 23.1 pour les murs banchés. Ainsi, on peut facilement, pour chacune de ces bandes, calculer l’effort normal de compression puis en déduire la contrainte de compression. L’EC2 ne stipule pas la largeur des bandes à adopter. Les recommandations professionnelles indiquent, quant à elles : « Naturellement, la largeur des bandes doit pouvoir être justifiées et donc être réaliste. Ainsi, à titre d’exemple non limitatif, le choix d’une largeur de bande supérieure à la zone de béton comprimé n’est pas acceptable. On admet le plus souvent de limiter la largeur des bandes à la plus petite des deux valeurs : la moitié de la hauteur d’étage et les 2/3 de la longueur de la zone comprimée ». Cette phrase, issue des recommandations professionnelles, se traduit par le schéma suivant :

 

« d » représente la largeur des bandes. « l’ » représente la longueur comprimée de chaque voile.

De ce fait, les vérifications de l’effort normal, dans chaque bande, se fera en considérant la largeur « d » correspondante : 

 e  N Rd  f cd .d .hw .1  2.  hw  

Attention à ne pas confondre le terme « d » qui représente ici la largeur de chaque bande de calcul et la hauteur utile « d » que l’on utilise lorsque l’on fait un dimensionnement en flexion simple.

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Dans le cas de l’étude d’une section en flexion composée dans le plan du mur, la contrainte de compression dans les bandes sera donc prise en compte comme étant uniforme avec comme condition que la résultante dans la bande fictive est la même que dans le diagramme réel :

On peut voir sur ces schémas, que dans le cas d’un calcul en flexion composée, la vérification de l’effort normal dans les bandes ne se fait que dans la zone de béton comprimée. Les efforts de traction sont repris par des armatures tendues placées en about de voile. En d’autres termes, on fait un calcul « classique » en flexion composée pour déterminer les armatures tendues, ce qui nous donne également la position de l’axe neutre et donc la longueur de la zone comprimée. On découpe ensuite cette zone comprimée en bandes pour lesquelles on vérifie l’effort normal de compression. Ce principe de dimensionnement et de ferraillage est valable, à la fois pour les voiles armés que pour les voiles non-armés.

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18.4.5. Principes de vérifications. Nous venons de voir en §16.4.2 la vérification à faire sur l’effort normal. Cette vérification est à mener :  

Immédiatement sous le plancher ( zone II) A mi étage ( zone I).

Pour chacune des bandes de largeur « d », on va calculer l’effort normal appliqué et le comparer à l’effort normal résistant :  Pour la vérification de la section située sous les planchers (section II sur le schéma nd précédent), il n’est pas nécessaire de prendre en compte les effets du 2 ordre.  Pour la vérification de la section située à mi-étage (section I sur le schéma précédent), il nd convient de prendre en compte les effets du 2 ordre par une méthode adaptée : o Méthode simplifiée pour les voiles non-armés (voir §16.4.6). o Méthode la rigidité nominale ou de la courbure nominale pour les voiles armés (voir chapitre sur l’état limite de stabilité de forme). ème

Bien que le règlement ne l’impose pas, on peut ajouter une 3 section de vérification située en pied de voile. Tout comme la vérification en tête de voile, il n’est pas nécessaire de prendre en compte les nd effets du 2 ordre. 18.4.6. Méthode simplifiée de vérification au 2

nd

ordre

Dans la cas d’un voile non-armé, on peut appliquer la méthode simplifiée suivante pour calculer les effets du second ordre. L’effort résistant de chaque bande de voile, de largeur « d », est définie par l’expression suivante :  N Rd  d .hw . f cd . Il est intéressant de remarquer que cette formule est tout à fait similaire à la formule que nous avons vu dans le cas du dimensionnement d’un poteau en compression simple. Le terme  correspond à la nd prise en compte des effets du 2 ordre : 



  1,14.1  

 2.e  2.etot  l   0,02. 0  1  tot  hw  hw  hw 

Avec :  etot  e0  e1 

e0 : excentricité du 1er ordre, incluant les effets du plancher (voir §16.4.2)



 l  ei : excentricité additionnelle due aux imperfections géométriques => ei  max  0 ;2cm  400 



(voir chapitre sur l’état limite de stabilité de forme). l0 : longueur de flambement définie en §16.3.2

Attention, dans le cas où e0  0,15.hw ou si l’élancement est supérieur à 40, il faut remplacer le terme « 0.02 » par « 0.026 » et limiter dans tous les cas l’élancement à 86.

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18.4.7. Cas particulier des charges localisées ou des points d’appuis.

18.4.7.1. Charges localisées. En ce qui concerne les charges localisées, on peut admettre qu'elles se diffusent uniformément à l'intérieur du voile, dans une zone délimitée par les deux droites partant du point d'application de la charge et inclinée sur la verticale de 1/3 pour les murs non armés et 2/3 pour les murs armés, à condition que la charge répartie ainsi trouvée ait une résultante portée par l'axe de la charge concentrée d'origine . Cela se traduit par les schémas suivants:

18.4.7.2. Appuis de dalles\Poutres. Le supplément local de contrainte dû à la réaction d'appui d'une poutre continue / dalle continue perpendiculaire au mur est évalué en prenant en compte l'aire de la surface d'appui de la poutre sur le mur. Ces contraintes supplémentaires dues aux charges réparties apportées par une dalle ou par une poutre sont évaluées en supposant que la largeur d'appui de la dalle/poutre est limitée à son épaisseur/hauteur et que la distribution des contraintes correspondantes est triangulaire ou trapézoïdale (résultant du diagramme triangulaire tronqué) .

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18.4.7.3. Contraintes locales - Appuis d'un linteau. Le supplément local de contrainte dû à la réaction d'appui d'un linteau ayant même plan moyen que le mur est déterminé en supposant que la profondeur d'appui est au plus égale à la hauteur du linteau et que la distribution des contraintes correspondantes est triangulaire.

On recherche donc un diagramme uniforme ou linéaire équilibrant les sollicitations. Les figures ci-dessous donnent deux solutions possibles:

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18.5. Dimensionnement des murs armés Nous avons vu dans les paragraphes précédents les conditions à respecter pour être dans le cas des voiles non-armés. Lorsque l’une des conditions citées auparavant n’est pas respectées, on doit faire un calcul en considérant un voile armé. Dans ce paragraphe sur les voiles armés, nous adopterons les mêmes notations que celles proposées par l’EC2 pour les voiles non-armés, à savoir :

18.5.1. Calcul des armatures longitudinales Les armatures longitudinales sont calculées en appliquant les mêmes méthodes de calcul que celles des poteaux, vues au chapitre sur l’état limite de stabilité de forme :  Méthode de l’équilibre.  Méthode de la rigidité nominale.  Méthode de la courbure nominale. La longueur de flambement sera définie conformément au §16.3.2 de ce cours. Les caractéristiques des matériaux sont celles usuellement utilisées pour le dimensionnement des éléments conformément aux sections 5 et 6 de l’EC2. Les pourcentages minimum d’armatures à mettre en place sont indiqués en §16.6 18.5.2. Vérification à l’effort tranchant des voiles armés Dans le cas des voiles armés, on distingue 3 cas de figure vis-à-vis du dimensionnement à l’effort tranchant : 1. On est dans le cas d’un voile ne nécessitant pas d’armatures longitudinales pour équilibrer la traction due à la flexion composée, mais des armatures transversales sont nécessaires pour équilibrer l’effort tranchant (§16.5.3). 2. Le calcul en flexion composée impose une section d’armatures longitudinales pour équilibrer la traction mais il n’est pas nécessaire de disposer des armatures transversales pour équilibrer l’effort tranchant (§16.5.4). 3. Il y a nécessité de disposer des armatures longitudinales et des armatures transversales (§16.5.5). Nous allons détailler ci-dessous le dimensionnement à l’effort tranchant pour ces trois cas de figure.

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18.5.3. Effort tranchant pour les éléments sans armature de flexion Comme nous venons de le voir, nous sommes donc dans le cas ou le calcul en flexion composée a montré qu’il n’est pas nécessaire de mettre en place des armatures de flexion pour reprendre la traction. Dans ce cas, la vérification à l’effort tranchant se fait en considérant uniquement la partie comprimée, comme décrit au §16.4.3 pour les voiles non-armés. La seule distinction concerne les résistances à la compression et à la traction du béton qui ne sont pas affectées des termes  cc, pl et  ct , pl définis au §16.4.1. On a donc : 

Résistance en compression du béton :



Résistance en traction du béton :

f cd  .

f ctd  .

f ck

c

f ctk ,0.05

c

.

.

Il n’y a pas lieu de prévoir d’armatures d’effort tranchant si la vérification

 cp  f cvd est satisfaite.

18.5.4. Effort tranchant pour les éléments avec armatures de flexion Dans ce cas, la vérification d’effort tranchant de la section doit être effectuée en considérant la totalité de la section droite selon les usages du dimensionnement en béton armé. Comme nous l’avons vu au chapitre sur l’effort tranchant (UE CCV004), on doit comparer l’effort tranchant appliqué VEd à l’effort tranchant VRdc qui représente la résistance seule du béton : 

Si VEd  VRdc => pas de nécessité de mettre en place des armatures d’effort tranchant.



Si VEd  VRdc => nécessité de mettre en place des armatures d’effort tranchant et de vérifier les pourcentages minimum à respecter.

Ci-dessous un extrait du cours CCV004 sur l’effort tranchant. L’effort tranchant résistant de calcul, pour une section sans armature d’effort tranchant, est donné par la formule suivante : 

1/ 3  C .k.h d .(100. L . f ck )  k1. cp VRd ,c  max  Rd ,c w (vmin  k1. cp ).hw d  

Avec 

hw : épaisseur du voile.



d : hauteur utile de la section rectangulaire équivalente. En reprenant les notations des murs non-armés, on a d  0,9.b (« b » étant la longueur du voile).



 cp 

N Ed : contrainte normale agissant sur la section de béton, due aux charges Ac

extérieures appliquées. Cette contrainte est comptée positive en compression. Pour le calcul de VRd , c , la contrainte  cp doit être limitée à 0,2. f cd . 

k1  0.15 dans l’annexe nationale française.



k  1

200  2,0 avec d exprimé en mm. d

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

L 

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AsL  0,02 avec AsL qui représente la section d’armatures longitudinales dépassant bw .d

le point de calcul d’une distance au moins égale à d (voir schéma ci-dessous). Attention, cette même section d’armature doit être prolongée au-delà d’une distance au moins égale lbd :



CRd ,c 

La valeur de

0.18

c

pour l’annexe nationale française.

vmin est définie par le tableau ci-dessous: vmin

Valeur ANF*

vmin 

Dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale

Poutres et dalles autres que ci-dessus

vmin 

c

0,053

c

vmin 

Voiles

0,34

.k 3 / 2 . f ck1 / 2

0,35

c

. f ck1 / 2

. f ck1 / 2

* ANF= Annexe Nationale Française. 18.5.5. Calcul des armatures d’effort tranchant Pour calculer les armatures d’effort tranchant, on peut appliquer deux méthodes :  Soit on détermine la section d’armatures transversales en considérant une section de poutre.  Soit on détermine les armatures transversales en considérant un treillis équivalent.

18.5.5.1. Mur considéré comme une poutre verticale. Ce dimensionnement a été abordé dans le cours sur l’effort tranchant. On considère une poutre de section rectangulaire hw*b (« b » étant la longueur du voile). L’effort tranchant que peuvent reprendre les armatures verticales vaut :

VRd , s  

Asw .zu . f ywd . cot  s

Le bras de levier zu peut être pris égal à 0.9d (on peut également considérer la valeur exacte de z, issue du dimensionnement en flexion simple, au point considéré).

Attention, dans cette formule « d » représente la hauteur utile du voile et non la largeur des bandes. On peut considérer d=0.9*la longueur du voile.

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Pour déterminer les armatures à mettre en place, on écrit l’égalité

VEd  VRd ,s , ce qui nous donne :

Asw VEd .tg  s zu . f ywd Bien entendu, l’effort tranchant doit être inférieur à l’effort tranchant résistant pour la condition de nonécrasement des bielles de béton comprimé :  VEd  VRd ,max L’effort tranchant maximal dans les bielles comprimées est défini par : 

 cw . 1. f cd .zu .bw cot   tan

VRd , max 

Le terme

 cw est un terme qui permet de prendre en compte de la

compression qui tend à refermer

les fissures (effet positif) : 

    cw  1  cp  f cd  

pour



 cw  1.25

0.25 f cd   cp  0.50 f cd



 cw  2.5



zu : bras de levier des forces internes. On peut prendre z=0,9d.



v1

pour

pour

0   cp  0.25 f cd

0.50 f cd   cp  1.00 f cd

: coefficient de réduction de la résistance du béton fissurée à l’effort tranchant :

f   v1  0,61  ck   250  Dans les cas ou on limite la contrainte de l’acier à

0.80 f yk au lieu de

f yk

s

, on modifie la valeur de

1

de la façon suivante :  v1  0.60 pour f ck  60Mpa 

v1  0.90 

f ck  0.50 pour fck  60Mpa 200

Lorsque la section droite étudiée est plus près du nu de l’appui (donc de la base du voile) que la longueur « 0,5.d . cot  », l’influence de  cp doit être négligée et on doit alors considérer  cw  1 .

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18.5.5.2. Mur considéré comme un treillis. La grande influence du prisme d’appui à la base du mur ainsi que l’intérêt évident de profiter des planchers pour y placer les cours d’armatures transversales incitent à recommander l’étude directe de tout mur dont la hauteur entre étages est inférieure ou égale à sa longueur en plan, en matérialisant un treillis possible (simple ou multiples).

Le schéma structurel de fonctionnement est le suivant (méthode de la bielle-tirant): H

Bielle comprimée Membrure tendue Membrure comprimée H

Tirant

Bielle comprimée Membrure tendue Membrure comprimée H

Tirant

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La démarche de justification est la suivante : a. On considère que les charges verticales et \ ou horizontales appliquées sont concentrées aux nœuds (intersection des diagonales et des planchers). b. Les efforts normaux dans les membrures, montants et diagonales sont obtenus directement par calcul du treillis. c. Il faut vérifier la compression des diagonales (bielles comprimées). L’aire de la section droite de chaque diagonale est obtenue en prenant comme largeur de la bielle la plus petite des deux valeurs suivantes (EC8-1-1, §5.4.3.5.2(3)) :  Le quart de la longueur du mur  Quatre fois l’épaisseur du mur. La contrainte ultime limite de calcul est

f cd 

f ck

c

. Cette vérification ainsi que celle concernant

l’ancrage correct des armatures des membrures et des montants ressortent de l’étude des nœuds (EC2-1-1, §6.5.4). Ces vérifications ont notamment été abordées au chapitre 11 sur l’effort tranchant (CCV004) notamment dans le cadre de la vérification des bielles d’about (vérification de la bielle et du nœud). d. Les armatures des membrures tendues sont celles déjà obtenues par l’étude en flexion composée des sections droites du mur, mais l’étude du treillis intègre en plus le décalage de z. e. La vérification de la contrainte de compression de la membrure comprimée a déjà été faite par l’étude en flexion composée des sections droites du mur. f. Les armatures des montants sont les armatures d’effort tranchant. Ce sont des « tirants » coulés dans les planchers, à l’intersection entre les planchers et les voiles. g. Les armatures des membrures et celles des montants sont à ancrer au-delà des nœuds.

18.5.5.3. Autres conditions à vérifier Il y a deux autres conditions à vérifier vis-à-vis de l’effort tranchant :  La valeur de l’effort tranchant en pied du voile  Le cisaillement le long des surfaces de reprise. Valeur de l’effort tranchant en pied du voile Dès l’instant que le voile relève de la section 6 de l’EC2, il ne faut pas dépasser la limite de l’effort tranchant résistant donné par la formule ci-dessous : 

Avec :  

f   VRd  0,301  ck .hw .d . f cd  250  hw : épaisseur du voile. d : hauteur utile de la section.

Cisaillement le long des surfaces de reprises de bétonnage La contrainte de cisaillement à l’ELU, à l’interface de bétons coulés à des dates différentes doit respecter la valeur limite résistante suivante, qui représente une condition de non-glissement (§6.2.5 de l’EC2) : 

f   vRdi  c. f ctd  .  . f yd . sin   cos    0,301  ck . f cd  250 

Avec :  c= 0.35 et = 0.60 dans le cas de surface non coffrée sans traitement ultérieur.  c= 0.45 et = 0.70 dans le cas de surface rugueuse obtenue par lavage ou striage ou toute autre méthode conduisant à des aspérités d’au moins 3mm de haut espacées d’environ 40mm.

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

 : contrainte de compression résultant des sollicitations, plafonnée à 0.60 f cd



 : inclinaison des armatures traversant la surface de reprise. Dans un voile, on a généralement = 90°.  : rapport entre l’aire des armatures traversant cette surface de reprise et l’aire de cette surface de reprise.



Pour plus d’informations sur cette vérification, il faut vous référer au §6.2.5 de l’EC2. Pour un béton C25/30 (avec

f ctd  0.96Mpa ), pour une contrainte normale de 1Mpa et un

pourcentage d’armature égale à 0.002, cette limite vaut dans le cas d’une surface non-coffrée : 

vRdi  0.35  0.96  0.60 1  0.002  0.6 

500  1.50Mpa 1.15

Cette valeur correspond est du même ordre de grandeur que la résistance des murs non armés à l’effort tranchant. En conclusion, la vérification au glissement le long des surfaces de reprise risque d’être déterminante :  Soit dans la partie haute des murs, qu’ils soient armés ou non à l’effort tranchant, du fait d’une contrainte normale faible et de ce que les armatures correspondent aux chaînages minimaux.  Soit dans la partie basse des murs dès lors qu’ils doivent être armés à l’effort tranchant , à moins que des dispositions constructives permettent de s’en dispenser (choix judicieux de la géométrie des arrêts de coulage dans ces zones de nœuds et ancrage convenable des armatures des montants du treillis au travers des nœuds).

18.6. Dispositions constructives minimales On peut classer les dispositions constructives minimales à respecter en plusieurs catégories :  Le pourcentage minimal d’armatures pour la condition de non-fragilité en flexion => pour les voiles armés uniquement.  Les dispositions constructives liées à l’existence de contraintes de compression élevées => pour les voiles armés uniquement.  Les dispositions constructives liées à la nécessité de mettre en place des armatures d’effort tranchant => pour tous les types de voiles.  Disposition constructives liées aux chaînages à mettre en place => pour tous les types de voiles. Dans le cas des voiles de contreventement en zone sismique, l’EC8 impose des dispositions complémentaires qui seront détaillées un peu plus loin, au paragraphe correspondant.

18.6.1. Condition de non-fragilité en flexion Comme cela a déjà été abordé au chapitre sur la flexion simple ou composée, la section d’armatures longitudinales tendues doit respecter la condition suivante : 

As ,min

f ctm  .hw .d 0.26  Max f yk   0.0013.hw .d

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18.6.2. Dispositions constructives pour les voiles armés Les dispositions constructives, pour les voiles armés, sont définies en section 9.6 de l’EC2 :  Armatures verticales  Armatures horizontales  Armatures transversales Ces dispositions constructives sont liées aux contraintes de compression élevées que subissent les voiles armés et permettent un bon confinement du béton.

18.6.2.1. Armatures verticales L’article 9.6.2 de l’EC2 impose de mettre en place, dans les murs armés, une section minimale d’armatures verticales. Pour pouvoir déterminer cette quantité minimale, il faut déterminer deux efforts résistants : N Rd ,6 : effort normal résistant en considérant un voile armé (dépendant donc des sections 5 



et 6 de l’EC2). Cet effort normal est issue du dimensionnement en flexion composée avec nd prise en compte des effets du 2 ordre. N Rd ,12 : effort normal résistant est issu du dimensionnement en mur non-armé, section 12 de l’EC2, méthode détaillée au §16.4.6

Connaissant ces valeurs, le pourcentage minimal est défini par les formules suivantes :  Si N Ed  N Rd ,12 => As ,v min  0 => on est dans le cas des murs non-armés. 

Si

 ( N Ed  N Rd ,12 )   N Ed  N Rd ,12 => As ,v min  0,001. Ac .1  2   ( N  N ) Rd , 6 Rd , 12  

Attention, l’aire totale des armatures verticales ne doit pas dépasser 4% de la section de béton : As ,v max  0,04. Ac  Le pourcentage maximum est multiplié par deux dans les zones de recouvrement. Les armatures verticales ainsi calculées sont à disposer par moitié sur chaque face du voile et en second lit, c’est-à-dire derrière les armatures horizontales, vers l’intérieure du voile. La distance entre deux barres ne doit pas excéder la plus petite des deux valeurs suivantes : 

 3.h s  min  w 40cm

L’Annexe Nationale Française précise que, pour les bâtiments et pour les voiles de moins de 25 cm d’épaisseur :  Les extrémités libres, débouchant en façade ou pignon de tout voile doivent comporter un chaînage vertical continu d’au moins 1,5cm² (voir paragraphe correspondant).  Les portes, fenêtres… doivent être bordées par des aciers verticaux d’au moins 1cm² et convenablement ancrés.  Le ferraillage vertical des voiles constituant tout ou partie d’une façade ou d’un pignon doit constituer une armature de peau continue d’au moins 0.5cm² par mètre linéaire. Cette section est doublée à la reprise basse de tout voile du niveau supérieur sous plancher terrasse. Pour les voiles de plus de 25cm d’épaisseur, les sections ci-dessus sont majorées au prorata de l’épaisseur.

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18.6.2.2. Armatures horizontales La section minimale d’armatures horizontales

Ash,min doit être au moins égale à 25% de la section

d’armatures verticales Asv et 1/1000 de la section de béton (§9.6.3 de l’EC2) : 

Ash,min  min0.25 Asv ;0.001Ac  .

Les armatures horizontales sont espacées de sh  400mm . En outre, l’Annexe Nationale Française précise que pour tout voile armé ou toute bande de voile armé de bâtiment, on prendra : Ash,min  0 si N Ed  N Rd ,12  et 

Ash,min  0.25 Asv si N Ed  N Rd ,12

L’Annexe Nationale Française précise également que, pour les bâtiments et pour les voiles de moins de 25 cm d’épaisseur :  Les portes, fenêtres… doivent être bordées par des aciers horizontaux d’au moins 1cm² et convenablement ancrés.  Le ferraillage horizontal des voiles constituant tout ou partie d’une façade ou d’un pignon doit constituer une armature de peau d’au moins 1cm² par mètre linéaire. Pour les voiles de plus de 25cm d’épaisseur, les sections ci-dessus sont majorées au prorata de l’épaisseur.

18.6.2.3. Armatures transversales : On met en place des cadres, des étriers ou des épingles entre les deux faces du voile si la section d’acier vertical Asv est supérieure à 2% de la section de béton Ac (9.6.4 de l’EC2).

Asv  0.02 Ac Ces armatures transversales sont espacées de st  min 20 L ; h;400mm avec :

 L : Diamètre des armatures verticales Les armatures transversales sont obligatoires si les aciers verticaux sont situés à l’extérieur des aciers horizontaux, sauf s’il s’agit de treillis soudés de diamètre  L  16mm et d’enrobage  2 L . Attention, cette condition ne correspond pas aux armatures minimales liées au calcul de l’effort tranchant qui sont définies au paragraphe suivant.

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18.6.3. Armatures minimales liées au dimensionnement à l’effort tranchant. Il y a lieu de respecter un pourcentage minimal d’armatures d’effort tranchant dès lors que le mur ne relève pas de la section des murs non armés (section 12) et que l’effort tranchant VEd est supérieur à

VRd ,c . Ce pourcentage est donné par la formule suivante : 

Avec :   

0,08 f ck Asw .   w,min .hw . sin  avec  w,min  s f yk Asw : aire d’un cours d’armatures transversales espacés de « s » : s : espacement des armatures transversales.  : angle d’inclinaison des armatures transversales => dans le cas d’un voile, on aura quasisystématiquement = 90°.

De plus, l’espacement des armatures transversales ne doit pas dépasser la valeur obtenue par l’expression suivante : 

s  st ,max  0,75d (1  cot  )

Attention, dans cette expression, le para mètre « d » correspond à la hauteur utile, c’est-à-dire la longueur du voile dans notre cas.

18.6.4. Dispositions constructives de chaînage. Pour les dispositions constructives de chaînage, on distingue deux types de voiles :  Les voiles intérieurs.  Les voiles extérieurs. Deux remarques importantes concernant les sections données ci-après :  Elles correspondent à des aciers à 500 Mpa. Pour des nuances d’aciers différentes, il convient de faire une règle de trois.  Ces dispositions sont données pour des voiles d’une épaisseur inférieure ou égale à 25cm. Pour des voiles d’épaisseur plus importante, il faut majorer ces valeurs au prorata de l’’épaisseur réelle. Les notations utilisées dans les schémas qui vont suivre sont les suivantes :  CH : chaînage horizontal.  RH : renfort horizontal.  RH1 : renfort horizontal local.  CV : chaînage vertical à l’extrémité des murs.  RV : renfort vertical.

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18.6.4.1. Voiles intérieurs Pour les voiles intérieurs, ferraillés en S500 avec une épaisseur inférieure à 25cm, les conditions à respecter sont les suivantes :  Les extrémités libres, débouchant en façade ou en pignon, au niveau supérieur sous terrasse, doivent comporter un chaînage vertical d’au moins 1.20cm².  Les angles des ouvertures (portes, fenêtres ou autres) doivent être bordés par des armatures verticales d’au moins 0.68cm² de section, ancrées sur une longueur au moins égale à 40cm.  Ces mêmes ouvertures doivent également être bordées par des armatures horizontales, d’une section d’au moins 0.80cm², convenablement ancrées en fonction du diamètre de la barre.

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18.6.4.2. Voiles extérieurs Pour les voiles extérieurs, les dispositions constructives à respecter sont les suivantes :  Le ferraillage vertical des voiles constituant tout ou partie d’une façade ou d’un pignon doit en outre constituer une armature de peau continue d’au moins 0.48cm²/ml. L’espacement de cette armature de peau ne doit pas excéder 50cm. Cette section est portée à 0.80cm²/ml à la reprise basse de tout voile du niveau sous terrasse (notation AT sur le schéma ci-dessous).  De même ; le ferraillage horizontale des voiles doit en outre constituer une armature de peau d’au moins 0.96cm²/ml avec un espacement maximal de 33cm.  Des armatures verticales renforçant les angles des couvertures doivent être placées sur toute la hauteur de ces dernières et convenablement ancrées.  La remarque sur les armatures horizontales bordant une ouverture dans le cas d’un voile intérieur, est également valable pour les voiles extérieurs.  Des armatures horizontales complémentaires de section au moins égale à 1.88cm² doivent exister sur une hauteur égale à 0.50m en partie haute du niveau supérieur des voiles sous terrasse, ou à défaut dans la hauteur du plancher.

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L’attention est attirée sur le fait que d’autres aciers (et/ou attentes) que ceux résultant des dispositions constructives précédentes et du calcul des sollicitations peuvent être nécessaires :  Pour assurer la stabilité latérale des voiles en phase de construction.  Pour justifier de l’accrochage de façades rapportées. er  Pour résister à la poussée du béton frais (cas du 1 mur coulé au droit d’un joint de dilatation ème lorsqu’il sert de coffrage au coulage du 2 mur).

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18.7. Principes de dimensionnement des voiles de contreventement Un voile de contreventement est par définition un voile qui participe activement au contreventement de la structure. Il est donc soumis à un torseur M,N, T (Moment, effort normal, effort horizontal). En général, les efforts horizontaux appliqués dans le plan du voile proviennent essentiellement:  Des effets dus au séisme.  Des effets dus au vent. Dans les paragraphes précédents, nous avons évoqué (hormis pour l’effort tranchant) essentiellement le dimensionnement des voiles chargés verticalement (charges issues d’une DDC en G et Q). Dans le cas des voiles de contreventement, il y a deux vérifications et dimensionnement à faire :  Un dimensionnement du voile pour reprendre le couple (M,N) => dans ce cas, le voile sera calculé en flexion composée (hormis un calcul par éléments finis).  Une vérification et un dimensionnement le cas échéant pour reprendre l’effort horizontal T. N T

M

Epaisseur : hw

b

Pour mener à bien le dimensionnement d’un voile de contreventement, il y a deux approches possibles :  Le calcul des armatures théoriques en considérant un fonctionnement en membrane, à partir des résultats éléments finis par exemple.  Le calcul des armatures avec des méthodes analytiques : o La vérification à l’effort tranchant, sous effort horizontal, tel que décrit aux paragraphes 16.5 et 16.6.3. o La prise en compte du torseur M,N par un dimensionnement en flexion composée. ère

La 1

méthode se prête bien au calcul des voiles de contreventement sous chargement de vent.

En ce qui concerne les voiles en zone sismique, l’EC8 préconise clairement un dimensionnement en flexion composée avec la concentration des armatures nécessaires en about de voile (zones de confinement).

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18.7.1. Méthode générale Nous avons établi qu’un voile de contreventement est soumis à un torseur M,N,T. En général, les efforts dans les voiles de contreventement sont issus d’un modèle 3D éléments finis. Dans ce type de modélisation, les voiles sont la plupart du temps modélisés en coques afin de ne pas être instable dans un modèle 3D. Par conséquence, les efforts obtenus dans ces voiles sont donnés sous forme de cartographie avec une valeur par maille ou sous forme de régions iso-valeurs :

Effort normal sous forme de valeurs

Effort normal sous forme de régions iso

Dans ce genre de modélisation, les armatures théoriques sur chaque face sont directement calculées à partir des résultats éléments finis en appliquant des méthodes telle que les méthodes de Wood ou de Capra. Cette méthode ne sera pas plus détaillée dans ce cours.

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18.7.2. Calcul en flexion composée sous torseur (M,N). Nous avons vu, dans les paragraphes précédents, comment dimensionner un voile à l’effort tranchant, sous chargement horizontal (§16.5 et 16.6.3). Nous allons ici nous concentrer sur la prise en compte du torseur (M,N) par le biais d’un dimensionnement en flexion composée : N

Af M Zone comprimée

Epaisseur : hw

b

Axe neutre

b Af Armature tendue

hw

Comme on peut le voir ci-dessus, on assimile le voile à une section rectangulaire de hauteur L et de largeur « hw ». ATTENTION, le calcul en flexion composée doit être mené en tenant compte de deux choses :  Il faut prendre en compte la totalité de l’effort vertical, en fonction de la combinaison, pour faire le dimensionnement en flexion composée,  En cas d’action sismique, les armatures tendues Af trouvées lors du dimensionnement en flexion composée doivent être placées aux deux extrémités du voile (voir schéma ci-dessus), car le séisme agit dans les deux directions d’où la nécessité d’un ferraillage symétrique. De plus, lorsque le calcul en flexion composée est terminé et que l’on connait la position de l’axe neutre et donc la zone de béton comprimé, il faut vérifier l’effort normal limite dans cette zone, en décomposant le calcul par bandes (voir §16.5.1) Le dimensionnement d’un voile de contreventement se fait donc toujours en deux étapes :  Calcul des armatures tendues en flexion composée (avec symétrie du ferraillage en cas de construction en zone sismique). nd  Vérification de la zone comprimée avec prise en compte des effets du 2 ordre, conformément à l’article 5.8 de l’EC2 (méthodes similaires aux dimensionnement des poteaux). De plus, en cas d’actions sismiques, les règles EC8 impliquent des vérifications complémentaires et des dispositions constructives particulières. Nous nous intéresserons tout particulièrement à ce type de voile.

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18.8. Dimensionnement des voiles de contreventement en zone sismique 18.8.1. Notations Il est important, avant toute chose, de noter une incohérence de notations entre l’EC2 et l’EC8. Nous avons vu au §16.5 les notations suivantes, utilisées pour le dimensionnement des voiles armés ou non armés :

Notations EC2-1-1

Dans l’EC8, les notations sont modifiées comme suit :  hw : représente la hauteur du mur. 

l w : représente la longueur du mur.



bw : largeur du mur.

Dans les chapitres qui suivent, par soucis de cohérence entre ce cours et la norme EC8, nous adopterons donc ces notations :

Notations EC8-1-1

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18.8.2. Généralités Nous allons ici aborder uniquement le dimensionnement des voiles eux-mêmes. Nous n’aborderons pas le calcul des efforts sismiques avec les coefficients de comportement adéquats, cette partie faisant l’objet du cours CCV223 « Dynamique des structures ». Nous partons donc de l’hypothèse que les sollicitations sismiques sont connues dans chaque section droite. Le calcul du comportement et des efforts sur une structure soumise à un séisme fait intervenir la notion de coefficient de comportement. Le coefficient de comportement traduit la ductilité de la structure, c’est-à-dire sa capacité à travailler en plasticité et ainsi dissiper de l’énergie. Ce coefficient dépend, notamment, du type de contreventement adopté (contreventement par voiles, par portiques, par croix de St André…). Les voiles de contreventement ont un rôle déterminant dans le contreventement d’un bâtiment. Plus ces voiles seront « rigides », moins il y aura de déplacements dans la structure mais plus les efforts repris seront importants. Avec des voiles plus « souples », le comportement s’inverse. Le coefficient de comportement, pour une structure principalement contreventée par voile, va donc dépendre du type de mur. L’EC8 fait la distinction entre deux types de murs :  Les murs de grandes dimensions en béton peu armé (murs non ductiles).  Les murs ductiles L’article 5.2.2.1 (3)P précise les conditions permettant de considérer des murs de grandes dimensions en béton peu armé et donc par déduction les conditions pour la considération de murs ductiles :

Notamment, on voit une condition importante sur la période de la structure (valeur limite de 0.50S). Lorsque la période du mode fondamental d’une structure est supérieure à 0.5s, il convient de dimensionner tous les voiles comme des murs ductiles, aussi bien au niveau du calcul que des dispositions constructives. L’article 5.1.2 définit ces deux types de voiles de la façon suivante :  Les murs de grandes dimensions en béton peu armé sont des murs dont la longueur horizontale « b » est au moins égale à 4m ou aux 2/3 de sa hauteur et dont la géométrie fait que le mode de rupture ne peut pas se faire par l’apparition d’une rotule plastique en pied.  Mur ductile : « Mur fixé à sa base de sorte que la rotation relative de sa base par rapport au reste du système structural est empêchée, dimensionné et conçu dans le détail pour dissiper l’énergie dans une zone de rotule plastique de flexion ne présentant pas d’ouvertures ou de perforation large juste au-dessus de sa base ». La nécessité de pouvoir développer cette rotule plastique en pied de voile impose des dispositions constructives très importantes dans les zones d’abouts.

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A ces deux types de murs, correspondent deux types de rupture :  Une rupture fragile dans le cas d’un mur de grandes dimensions en béton peu armé. En effet, dans ce cas, l’effort tranchant est bien souvent prépondérant sur la flexion et on a une rupture par écrasement des bielles comprimées ou par plastification des armatures verticales (qui couturent les bielles). Ce type de mur peut présenter différents modes de rupture en fonction de son ferraillage : o Schéma T1 => Rupture par glissement à l’encastrement. Ce mode de rupture correspond, comme nous venons de l’indiquer ci-dessus, à une rupture par plastification des armatures verticales. Il intervient en général dans le cas des voiles ou ces armatures verticales sont en quantité insuffisante. o Schéma T2 => Rupture diagonale avec plastification ou rupture des armatures le long des fissures diagonales. Ce mode est rencontré dans les voiles moyennement armés avec un effort normal faible. En effet, l’effort normal a pour effet favorable de « refermer » les fissures. o Schéma T3 => Rupture par écrasement du béton à la base des bielles comprimées. C’est un mode de ruine caractéristique des voiles fortement armé, surtout s’ils sont associés à des raidisseurs sur leur bord.



Une rupture ductile dans le cas d’un mure ductile (par plastification des armatures tendues et écrasement du béton comprimé). Ce schéma de rupture est le plus satisfaisant en zone sismique car il correspond à la formation d’une rotule plastique qui va dissiper de l’énergie. o Schéma « f1 » => Rupture par plastification des armatures verticales tendues (en about de voiles » et écrasement de la zone comprimée. C’est le mode de ruine le plus « sain » car c’est un mode de rupture en flexion avec création d’une rotule en base du voile. o Schéma « f2 » : Rupture par écrasement du béton. Ce mode de ruine se retrouve dans les voiles fortement chargés verticalement. C’est un mode de ruine qui est moins intéressant (car moins ductile) que le précédent du fait que la rotule plastique, par plastification des armatures tendues, ne peut pas se faire (du fait de l’effort normal appliqué. o Les trois derniers schémas sont à éviter car ils représentent des modes de rupture fragiles, résultats bien souvent d’une mauvaise disposition des armatures ou en quantité insuffisante.

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On voit donc qu’il peut être pertinent de soulager, vis-à-vis des charges verticales, les voiles de er contreventement devant travailler en « voiles ductiles », ce qui permettra de se rapprocher du 1 mode de rupture.

18.8.3. Caractéristiques des matériaux. Attention, le calcul d’un voile soumis à une action sismique doit se faire en considérant un état limite accidentel. Par conséquent, les coefficients de sécurité sur les matériaux seront les suivants :  Béton :  c  1,3 au lieu de 1.5 pour un ELU classique. 

Acier :

 s  1,00 au lieu de 1.15.

Tous les aciers utilisés pour les éléments de contreventement en zone sismique doivent être de classe B ou C vis-à-vis de la ductilité. Dans le cas d’une construction DCM (Ductilité moyenne - cf §16.9), il est imposé d’avoir un béton C16/20 au minimum. Dans le cas d’une construction DCH (Ductilité Haute), la qualité de béton doit être au minimum de C20/25. De plus, pour cette classe de ductilité, les aciers doivent être de classe C.

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18.8.4. Dimensionnement des murs de grande dimension en béton peu armé Le dimensionnement de ce type de mur soumis à un torseur M, N, T peut être résumé par le schéma suivant :

18.8.4.1. Vérification à l’effort tranchant La vérification à l’effort tranchant a déjà été abordée au § 16.5.5 de ce cours. La seule nuance est que l’on doit déterminer un effort tranchant de calcul qui est fonction du coefficient de comportement « q » : 

1 q  VEd  V *  V    2 

On distingue alors deux cas de figure :  Si VEd  VRd ,c => Le mur doit être armé à l’effort tranchant. 

Si

VEd  VRd ,c => Il n’y a pas lieu d’armer le mur à l’effort tranchant.

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18.8.4.2. Calcul en flexion composée Le calcul en flexion composée se fait de la même que ce qui a été énoncé au §16.5.1 de ce document.

18.8.4.3. Vérification des surfaces de reprise de bétonnage La vérification des éventuelles surfaces de reprise se fait conformément à ce qui a été détaillé au §15.5.5.3 en remplaçant, du fait de la situation en zone sismique, l’effort tranchant de calcul par

1 q  VEd  V *  V  .  2  Dans le cas d’un projet en situation sismique, la longueur d’ancrage des armatures s’opposant au glissement doit être augmentée de 50% par rapport à la valeur minimale donnée dans l’EC21-1. Dans la vérification de la formule, le pourcentage d’armatures  intègre les armatures d’about (chaînage ou armatures de flexion tendues et comprimées) Ar et les armatures réparties verticales

Ar : 

f   vRdi  c. f ctd  .  . f yd . sin   cos    0,301  ck . f cd  250 

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18.8.5. Dimensionnement des murs ductiles Comme nous l’avons vu précédemment, les murs ductiles doivent satisfaire les critères suivants de conception et de dimensionnement :  Condition de résistance locale des zones critiques (respect des principes de dimensionnement de l’EC2-1-1).  Règles de dimensionnement en capacité.  Conditions de ductilité locale en respectant les dispositions particulières associées aux classes de ductilités (DCM ou DCH).  Disposition pour ancrages et jonctions. La notion de « dimensionnement en capacité » est un point très important pour le calcul des murs ductiles en zone sismique. Ce principe de dimensionnement est présenté à l’article 5.2.1 de l’EC8 :

Notamment, pour les murs ductiles, il est impératif de privilégier une ruine en flexion et non en cisaillement. Pour cela, nous verrons un peu plus loin dans ce document, que l’on va être amené à sur dimensionner les éléments au cisaillement pour éviter toute rupture fragile. Cette condition se traduit différemment pour les murs ductiles en classe DCM et en classe DCH (voir §16.9 pour la définition des classes de ductilité).

18.8.5.1. Vérification à l’effort tranchant - Classe DCM La vérification à l’effort tranchant est la même que celle décrite en §18.8.5.1 mais en considérant un effort tranchant augmenté de 50%, ce qui permet d’assurer une sur-résistance à l’effort tranchant et éviter ainsi une rupture fragile en cisaillement. De plus, conformément à l’article 5.4.2.4 de l’EC8, dans le cas de systèmes de contreventement mixte comprenant des murs élancés, il y a lieu de rectifier la partie haute de l’évolution du diagramme des efforts tranchants avec la hauteur de façon à faire apparaître dans la courbe enveloppe un effort tranchant au sommet au moins égal à la moitié de l’effort tranchant à la base (préalablement majoré de 50% conformément à la remarque ci-dessus) :

On entend par « contreventement mixte », un contreventement assuré par voiles + portiques.

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18.8.5.2. Vérification à l’effort tranchant - Classe DCH La rectification des diagrammes d’effort tranchant que nous venons de voir pour une classe DCM est également applicable en classe DCH. Par contre, l’effort tranchant à prendre en compte (contrairement au cas DCM où il faut majorer de 50%) est déterminé à partir de la formule suivante : 

VEd   .VEd'

Avec :  

VEd' : effort tranchant issu de l’analyse.  : coefficient de majoration calculé à partir de l’expression suivante, sans jamais être inférieur à 1.5 (condition issue de la classe DCM) : 2

2

o

 M   q.  Rd . Rd  q M Ed

o o

q : coefficient de comportement utilisé dans le calcul M Ed : moment fléchissant de calcul à la base du mur.

o

M Rd : résistance à la flexion de calcul à la base du mur.

o

 Rd

  S (T )    0,1 e C   q   Se (T1 ) 

: coefficient rendant compte de la sur-résistance due à l’écrouissage de l’acier.

La valeur préconisée par l’EC8 est

 Rd  1.2 .

o

T1 : période fondamentale de vibration du bâtiment dans la direction des efforts tranchants VEd . o TC : période limite supérieure de la zone du palier d’accélération du spectre EC8. o Se (T ) : ordonnée du spectre de réponse élastique Le paramètre

 Rd prévient de la sous-estimation de la qualité d’acier. En effet, toutes ces vérifications

ont pour objectif d’estimer au plus juste la ductilité réelle de l’élément. Hors, si la résistance de l’acier est « trop » supérieure à la valeur qui a été prise en compte dans les calculs, on aura une ductilité qui est surestimée, du fait d’un allongement moindre des armatures. En plus de la sur-évaluation de l’effort tranchant agissant, il convient également de réduire la résistance de calcul, afin d’éviter la rupture par cisaillement. Les articles 5.5.3.4.2, 5.5.3.4.3 et 5.5.3.4.3 de l’EC8-1-1 définissent trois modes de ruptures à l’effort tranchant :  Rupture par compression diagonale (§5.5.3.4.2)  Rupture par traction diagonale (§5.5.3.4.3)  Rupture par glissement (§5.5.3.4.4)

Rupture par compression diagonale Pour éviter ce mode de ruine, on va sous-estimé la résistance du béton, notée

VRd ,max . On distingue

le calcul en zone critique et le calcul hors zone critique :  En dehors de la zone critique, le calcul doit se faire conformément à l’EC2-1-1 mais en considérant un bras de levier z  0.8.lw et une inclinaison de bielle à 45°. 

A l’intérieur de la zone critique, on considère 40% de la valeur en dehors de la zone critique.

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Rupture par traction diagonale Pour éviter une rupture par traction diagonale, on calcul bien-entendu des armatures transversales. Pour le calcul de ces armatures d’âme, on doit prendre en compte la valeur du rapport de cisaillement

s 

M Ed . L’EC8 stipule qu’il faut utiliser la valeur maximale de  s sur un niveau pour la VEd .lw

vérification à l’état limite ultime en cisaillement de ce niveau. En fonction de la valeur de

 s , on distingue deux cas de figure :

 s  0.20 , on fait un calcul classique selon l’EC2-1-1 en prenant en compte les valeurs de



Si



z et de  telles qu’indiquées précédemment. Si  s  0.20 , on doit appliquer les formules suivantes : o

On calcul des armatures horizontales d’âme qui respectent la condition =>

VEd  VRd ,c  0,75.h . f yd ,h .bwo . s .lw , avec  h 

Ah . bwo .sh

o

On calcul des armatures verticales d’âme, ancrées et recouvertes, le long de la hauteur du mur, qui respectent la condition => h . f yd ,h .bwo .z  v . f yd ,v .bwo.z  min N Ed .

o

v

o

N Ed : effort normal de compression.

: pourcentage d’armatures verticales de l’âme (  v



Av ). bwo .sv

Nous donnerons plus d’informations sur ces armatures au paragraphe ci-après sur les dispositions constructives des murs ductiles en situation DCH. Rupture par glissement L’article 5.5.3.4.4 de l’EC8 précise que dans les plans de glissements potentiels des zones critiques, il convient de vérifier la condition suivante :  VEd  VRd ,s Cette vérification est donc à faire essentiellement en partie inférieure de la zone critique. La valeur de 

VRd ,s est calculée à partir de la formule suivante :

VRd ,s  Vdd  Vid  V fd

Avec :  

 1,3. A . f . f Vdd : résistance « en goujon » des armatures verticales => Vdd  min   sj cd yd .   0,25. f yd . Asj Vid : résistance à l’effort tranchant des armatures obliques (à un angle φ par rapport au plan

Vid   Asi . f yd . cos  . On voit que si les armatures sont verticales, ce terme s’annule du fait d’un angle   90 . de glissement potentiel, par exemple une reprise de bétonnage)=>



  M   f . Asj . f yd  N d .x  Ed  V fd : Résistance due au frottement => V fd  min   z   0 , 5 .  . f . x . l . b cd w wo 

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

f



pris égal à 0.6 pour les surfaces lisses et à 0.7 pour les surfaces rugueuses (voir chapitre effort tranchant sur les surfaces de reprise). x : position de l’axe neutre.



: coefficient de frottement béton sur béton sous l’effet des actions cycliques, qui peut être

A

sj

: somme des aires des armatures verticales de l’âme et des armatures

supplémentaires disposées dans les éléments de rive spécifiquement pour la résistance au glissement. 

A

si

: somme des aires de toutes les armatures obliques dans les deux directions. Il est

donc recommandé de prévoir dans ce but des barres de gros diamètre.

 

f ck   250 



  0,61 



N Ed : effort de compression.

hw  2 ), il convient de respecter les conditions suivantes : lw V A la base du mur, on doit vérifier Vid  Ed . 2 V Aux niveaux supérieurs, on doit vérifier Vid  Ed . 4

Pour les murs courts (  

Il convient que les armatures obliques soient ancrées convenablement de part et d’autre du plan de glissement potentiel et traversant toutes les sections du mur sur la plus petite des distances 0,5.lw ou

0,5.hw au dessus de la section critique à la base. Ces armatures obliques induisent une augmentation de la résistance à la flexion à la base du mur, qu’il convient de prendre en compte pour le dimensionnement en capacité. On peut prendre en compte cet effet de deux façons différentes :  En augmentant la résistance à la flexion à prendre en compte dans le calcul de VEd d’une valeur de M Rd  o



1 . Asi . f yd . sin .li avec : 2

li : distance entre les centres des deux ensembles d’armatures obliques, placées à un angle de   par rapport aux plans de glissement potentiel, mesurée dans le

section de base. Soit en calculant l’effort tranchant Vid à partir de la formule suivante : o

 0,5.li . sin   Vid   Asi . f yd .cos    s .lw  

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18.8.5.3. Calcul en flexion composée Le calcul en flexion composée se fait de la même façon que ce qui a été énoncé au §16.5.1 de ce document, mais en respectant les remarques suivantes. Les incertitudes issues de l’analyse et des effets dynamiques post-élastiques sur les actions de calcul doivent être prises en compte et, à défaut d’une méthode justificative appropriée, on peut appliquer la règle de redistribution ci-dessous :  Redistribution possible des efforts tranchants et des moments de flexion, pouvant atteindre 30% des valeurs obtenues par calcul pour chaque mur, pour autant que le total des sollicitations, tous murs confondus, soit conservé et que l’équilibre d’ensemble du bâtiment ne soit pas remis en cause. Selon l’article 5.4.2.4 de l’EC2, les incertitudes concernant la distribution des moments sur la hauteur des murs sismiques élancés (avec un rapport entre la hauteur et la longueur

hw

lw

 2 ) doivent être

également prises en compte. A défaut de méthodes plus précises, il convient que le diagramme des moments fléchissant de calcul sur la hauteur du mur, directement issu de l’analyse, soit remplacé par un diagramme linéaire allant de la base au sommet, sous réserve que la linéarisation ne conduise pas à des valeurs inférieures à celles trouvées lors de l’analyse. La droite ainsi obtenue doit être translatée pour tenir compte du décalage de la courbe liée au fonctionnement par bielle d’un élément en béton armé. Dans le cas d’un voile non armé à l’effort tranchant, il n’y a pas lieu de décaler la courbe.

Dans le cas d’un dimensionnement en flexion composée par les diagrammes d’interactions, l’effort

N ) doit être limité à Ac . f cd N Pour une classe DCM : vd   0.4 Ac . f cd N  0.35 Pour une classe DCH : vd  Ac . f cd

normal réduit ( vd  



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Dans le cas de voiles avec des raidisseurs d’about, les sections faisant office de membrures doivent être limitées à la moitié de la distance à une autre âme adjacente et 25% de la hauteur du mur au dessus du niveau de la section droite :

18.8.5.4. Vérification des surfaces de reprise de bétonnage La vérification est la même que ce qui a été vu précédemment en appliquant bien la majoration de 50% de l’effort tranchant de calcul.

18.9. Dispositions constructives EC8 Nous avons vu précédemment que l’EC8 définit deux niveaux de ductilité pour les voiles de contreventement. Sans entrer dans le détails de la conception d’une structure en zone sismique (ce qui fait l’objet du cours CCV223), il est important de savoir que l’EC8 définit également plusieurs niveaux de ductilité pour la structure dans son ensemble :  DCL : niveau de « ductilité limitée » => Intéressant uniquement dans les zones de faible sismicité. Dans ce cas, les dispositions constructives des éléments en béton armé sont celles issues de l’EC2 sans application de l’EC8.  DCM : niveau de « ductilité moyenne » => Construction pour laquelle des dispositions propres à la situation sismique sont prises pour assurer une ductilité et une dissipation d’énergie suffisantes dans des mécanismes stables, sans occurrence de ruptures fragiles.  DCH : niveau de « ductilité haute » => Construction qui permet d’avoir une ductilité supérieure à celle obtenue en DCM. Nous allons détailler ci-dessous les dispositions constructives à mettre en œuvre en fonction de la classe de ductilité que l’on souhaite atteindre pour la structure. Il est bon de noter que la classe DCM est la classe qui correspond à l’ancien règlement sismique PS92. La classe DCH permet de disposer moins d’armatures longitudinales de calcul mais impose de mettre en place des armatures transversales plus denses. Cette densité d’armatures transversales impose également une mise en œuvre plus complexe sans pour autant garantir un gain de matière au final.

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18.9.1. Dispositions constructives des murs de grande dimension en béton peu armé. Les dispositions constructives des murs de grande dimension en béton peu armé ne dépendent pas de la classe de ductilité de la structure. Les dispositions constructives imposées par l’EC8 doivent se cumuler aux dispositions EC2 que nous avons vu dans les paragraphes précédents. Les articles correspondants de l’EC8 sont les suivants :  Clauses 5.4.3.5.3(1) et (2) de l’EC8-1 pour les dispositions constructives vis-à-vis de la ductilité locale.  Clause 5.4.3.5.3(4) pour les dispositions relatives aux chaînages horizontaux et verticaux.  Clauses 5.8.2 et 5.8.3 pour les dispositions de chaînage et liaison au niveau des fondations.

18.9.1.1. Ductilité locale Les clauses 5.4.3.5.3(1) et (2) indiquent :  Il faut assurer la tenue des barres verticales principales, issues du dimensionnement en flexion composée, par des armatures transversales respectant les deux conditions suivantes : o Diamètre des épingles et des cadres au moins égal à la plus grande des deux valeurs suivantes : 6mm et d bL / 3 , d bL étant le diamètre de la barre principale tenue. o 

Espacement des épingles et des cadres au plus égal à la plus petite des deux valeurs suivantes : 100mm et 8.d bL

Les armatures verticales nécessaires par le dimensionnement en flexion composée sont à concentrer dans des potelets en zone d’about. Ces potelets doivent avoir une longueur horizontale où

blong supérieure à la plus grande des deux valeurs suivantes : bw et

 cm représente

3.bw . cm , f cd

la valeur moyenne de la contrainte du béton dans la zone comprimée

(issue du calcul en flexion composée).





Le diamètre des barres verticales (issues du calcul en flexion composée) doit être au er minimum de 12mm au 1 niveau du bâtiment que l’on appelle « zone critique ». Doit-être er considéré comme 1 niveau celui au dessus des fondations ou au dessus d’un bloc rigide à la base. Cette condition s’applique également dans les niveaux où la longueur des murs est réduite de plus de 1/3 par rapport par rapport au même mur à l’étage inférieur (voir schéma ci-dessous) Partout ailleurs, le diamètre des armatures verticales ne peut pas être inférieur à 10mm

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Attention, les dispositions constructives citées précédemment sont modifiées par l’annexe nationale française qui indique les valeurs ci-dessous. En zone courante :  Les chaînages verticaux, y compris ceux bordant les ouvertures, sont de 4HA10 avec des cadres en diamètre 6mm espacés d’au plus 10cm.  Les aciers horizontaux bordant les ouvertures sont de 2HA10.  Le chaînage horizontal périphérique de chaque plancher est d’au moins 3cm².  Les chaînages horizontaux au croisement de chaque mur et de chaque plancher sont de au moins 1.5cm² et 0.28L, avec L qui représente la distance entre deux murs adjacents en m. En zone critique  Les chaînages verticaux d’extrémité du mur sont portés à 4HA12 avec des cadres en diamètre 6mm espacés de au plus 10cm.

18.9.1.2. Dispositions de chaînages L’article 5.4.3.5.3(4) de l’EC2 indique qu’il faut prévoir des chaînages horizontaux et verticaux :  Le long de toutes les intersections de murs ou de liaisons avec les raidisseurs.  A tous les niveaux de planchers.  Autour des ouvertures dans les murs. Les articles 5.8.2 et 5.8.3, quant à eux, donnent des indications sur les liaisons à mettre en œuvre entre les fondations et les porteurs verticaux. L’annexe nationale française de l’EC8-1-1 donne plus de précisions :  Les chaînages verticaux, y compris ceux bordant les ouvertures, sont composés de 4HA10, avec des cadres en diamètre de 6mm espacés d’au plus 10 cm.  Les armatures horizontales bordant les ouvertures sont 2HA10.  Le chaînage périphérique horizontal de chaque plancher a une section d’au moins 3cm².

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Les chaînages horizontaux au croisement de chaque mur et de chaque plancher ont une section au moins égale à la plus grande des deux valeurs suivantes exprimées en cm² : 1,5cm² et 0.28L (L étant la distance entre deux murs adjacents). En zone critique, c'est-à-dire au niveau le plus bas de chaque mur sur une hauteur d’étage, ainsi que pour le niveau situé au-dessus d’un retrait de mur de plus de 1m (voir schéma cidessous), les chaînages verticaux d’extrémités de mur sont portés à 4HA12 avec des cadres en diamètre 6mm, espacés de 10cm au plus.

Bien entendu, ces valeurs sont des valeurs minimales qu’il convient d’augmenter si les calculs l’imposent. Le schéma ci-dessous ainsi que les tableaux suivants proposent une synthèse des dispositions constructives à mettre en œuvre (EC2-1-1 et EC8-1-1) :

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18.9.1.3. Détails de ferraillage Ces détails de ferraillage sont issus de l’ouvrage « Guide des dispositions constructives parasismiques » de l’AFPS (Association Française du Génie Parasismique) aux éditions de la presse des Ponts et Chaussées :

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18.9.2.

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Dispositions constructives des murs ductiles en DCM

Les murs ductiles en DCM doivent avoir une épaisseur minimale :  15cm  Supérieure au 1/20 de la hauteur libre de l’étage. Nous avons vu précédemment que l’objectif des murs ductiles est de pouvoir dissiper de l’énergie par plastifications des armatures dans les zones d’about. Par conséquent, les dispositions constructives EC8 pour ce type de murs ont pour but principal d’assurer un confinement du béton dans les zones critiques, qui correspondent aux zones critiques de dissipations de l’énergie. Ces dispositions sont décrites à l’article 5.4.3.4 de l’EC8 qui indique que ces dispositions pour la ductilité locale concernent la zone critique à la base du mur. Cette zone doit satisfaire plusieurs conditions :  Une condition de hauteur de zone critique.  Une condition de valeur minimale du coefficient de ductilité, que nous allons définir ci-après.  Une condition de longueur des zones confinées.  Une condition de pourcentage minimal d’armatures de confinement.  Une condition sur l’épaisseur minimale des murs dans leurs rives confinées.  Des dispositions constructives minimales.

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18.9.2.1. Hauteur de la zone critique La hauteur de la zone critique au dessus de la base du mur est estimée à partir de l’expression suivante : 

 lw hcr  max hw  6

Avec la condition supplémentaire suivante :

Ce qui se résume par le schéma suivant :

18.9.2.2. Définition du coefficient de ductilité et valeur minimale Nous allons voir ci-après que dans le cas des murs ductiles, l’EC8 impose de vérifier que le coefficient de ductilité n’est pas inférieur à une valeur limite. Pour cela, il nous faut définir ce qu’est un « coefficient de ductilité ». Nous avons déjà vu que la ductilité d’un matériau est sa capacité à se plastifier, c’est-à-dire subir des déformations sous contrainte constante. Nous avons également vu que dans le cas d’une section en béton armé, un comportement ductile ne peut s’obtenir qu’en flexion par opposition au comportement à l’effort tranchant qui est un comportement fragile.

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La ductilité en flexion va s’obtenir en favorisant le comportement ductile des deux matériaux qui constitue la section :  Plastification des armatures en traction.  Plastification du béton armé en compression. On comprend pourquoi il est important de mettre en place des aciers de grande ductilité en zone sismique, c’est-à-dire des aciers de classe B ou C. Au chapitre 3 du cours CCV004, il a été montré que le béton confiné offre une meilleure résistance et une meilleure ductilité que le béton non-confiné.

Ce phénomène s’explique par le fait que sous l’effet de compression importante, le béton va « gonfler » latéralement, ce que l’on appelle l’expansion transversale, caractérisée par le coefficient de poisson. Les armatures de confinement ont pour but d’empêcher cette expansion et améliorer ainsi la résistance du béton. Ces armatures de confinement seront sollicitées en traction et devront être correctement fermées, par des crosses à 135° (au minimum) avec un retour droit d’au moins 10. Une fois que l’on a bien compris les caractéristiques de ces deux matériaux, nous allons pouvoir définir la ductilité d’une section béton armé en flexion. Nous avons vu au chapitre sur la flexion simple que la courbure d’une section est définie par la formule : 

1 c  s  r d

Le coefficient de ductilité est défini comme étant le rapport entre la courbure atteinte lorsque le moment fléchissant est égal à 85% de sa valeur résistante et la courbure correspondant à la limite d’élasticité :

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53

L’article 5.2.3.4 de l’EC8-1-1 reprend d’ailleurs cette définition. Pour déterminer le coefficient de ductilité, il faut donc procéder à un calcul itératif en fonction des armatures calculées et mises en place dans l’élément. En effet, à chaque itération, il faut déterminer la position de l’axe neutre en fonction des armatures en place afin de pouvoir établir le diagramme de déformation réel. Lorsque l’on a calculé le coefficient de ductilité, il faut vérifier que ce dernier ne soit pas inférieur ayx valeurs suivantes : 





 M Ed  1 si Ti  TC M Rd     M  T   k.1  2 q0 . Ed  1. C si Ti  TC   M Rd  Ti

  k.2.q0 .

Avec :  Ti : période fondamentale de vibration du bâtiment dans le sens concerné. 

TC : période à la limite supérieure du plateau à accélération constante du spectre de



dimensionnement. q0 : valeur de base du coefficient de comportement.



M Ed : moment fléchissant de calcul issu de l’analyse pour la section de base du mur.



M Rd : moment résistant pour cette même section, en fonction des armatures en place. k : coefficient fonction de la classe de ductilité de l’acier utilisé : o Acier de classe B => k  1.5 o Acier de classe C => k  1



L’atteinte de la valeur minimale du coefficient de ductilité permet de s’assurer que l’on atteint bien la courbure maximale dans la section la plus sollicitée afin de pouvoir justifier d’une rotule plastique. Dans cette section, le béton doit être confiné pour que son raccourcissement atteigne une valeur de  cu 2,c qui dépend du pourcentage d’armatures de confinement (EC2-1-1 §3.1.9). Dans l’EC8-1, le coefficient de comportement est une hypothèse de départ qui suppose une valeur adéquate du coefficient de ductilité et un confinement adéquate, faute de quoi la ductilité réelle sera inférieure à la ductilité prise comme hypothèse de départ du calcul. Dans ce cas, le calcul aura été mené avec un coefficient de comportement surestimé et donc des efforts sous-estimé.

18.9.2.3. Dispositions pour vérification simplifiée du coefficient de ductilité Pour éviter une justification détaillée du coefficient de ductilité, l’article 5.4.3.4.2 de l’EC8-1-1 propose une méthode simplifiée de vérification de la ductilité. Cet article de l’EC8 indique que la valeur minimale du coefficient

 peut

supposer être atteinte en

plaçant des armatures de confinement dans les zones situées aux extrémités de la section transversales, sur la longueur du mur ou il est fortement comprimé. Cette longueur est appelée « longueur confiné » et notée lc . Verticalement, les armatures de confinement devront s’étendre sur toute la hauteur critique hcr définie en §19.9.2.1. Pour déterminer la quantité d’armatures de confinement à mettre en place, l’EC8 distingue deux cas :  Le cas des murs de section rectangulaire.

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54

Le cas des murs avec excroissances ou membrures ou avec une section composée de plusieurs parties rectangulaires (sections en T, L, I, U, etc…)..

Longueur confinée La longueur des zones confinées en rive est définie à partir du diagramme de déformations obtenues lors du dimensionnement en flexion composée. Cependant, l’EC8 considère un éclatement du béton qui est en dehors du noyau de confinement. Par conséquent, les calculs de l’axe neutre (zone comprimée) et des quantités d’armatures à mettre en œuvre sont menés en considérant une largeur réduite b0 définie dans le schéma ci-dessous. Il est admis que la section est à la courbure maximale, c’est-à-dire que le raccourcissement maximal admissible  cu 2,c est atteint. La longueur confinée est mesurée depuis la fibre de compression extrême du mur jusqu’au point où le béton non-confiné peut éclater à cause de déformations de compression importantes. Faute de données plus précises, la déformation de compression à laquelle l’éclatement est attendu peut être prise égale à  cu 2  3.5 ‰ (voir schéma ci-dessous). Cette longueur confinée est définie par les conditions suivantes :



Avec :  

   0,15.lw lc  max  1,50.bw      xu 1  cu 2     cu 2,c 

 cu 2,c   cu 2  0,1. .wd wd : pourcentage mécanique des armatures de confinement du noyau confiné : o





wd 

volume des armatures de confinemen t f yd .  0.08 f cd volume du noyau confiné

: coefficient d’efficacité du confinement, défini ci-dessous.

Armatures de confinement à mettre en place - murs de section rectangulaire. Dans les murs de section rectangulaire, le rapport mécanique des armatures de confinement doit respecter la condition suivante :  Avec : 

 .wd  30. .vd  v . sy, d . 

bc  0.035 b0

: coefficient d’efficacité du confinement, donné par

   n . s avec,

pour une section de

confinement rectangulaire comportant n barres tenues par des cadres, étriers ou épingles : o

n  1 

bi2 expression dans laquelle bi est l’espacement entres axes des 6.b0 .h0

barres longitudinales du confinement, en tournant autour de la zone confinée pour toutes les envisager.

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o



55

s 

s 

1   expression  s  1  2.b  2.h  

0



0



dans laquelle « s » représente l’espacement

des cours successifs des armatures transversales (voir paragraphe suivant pour les conditions sur ces espacements).





: coefficient de ductilité requis, définit au paragraphe précédent :

 

  k.2.q0 .

v  v .  



 M Ed  1 si Ti  TC M Rd     M  T o   k .1  2 q0 . Ed  1. C si Ti  TC  M  T  Rd   i N N Ed vd : Effort normal réduit de calcul => vd  Ed  Ac . fcd bw .lw . fcd v : rapport mécanique des armatures verticales d’âmes (hors zone de confinement) => o

f yd f cd



Asv f yd . . bw .lw f cd

bc : largeur brute de la section transversale. b0 : largeur du noyau confiné (par rapport à l’axe des armatures de confinement).

On voit donc que la longueur de confinement dépend donc du volume d’armatures que l’on place dans cette même zone.

Armatures de confinement à mettre en place - murs avec excroissances ou membrures. Dans le cas des murs avec excroissances ou membrures, ou avec une section composée de plusieurs parties rectangulaires (sections en T, L, I, U, etc…), le rapport mécanique en volume des armatures de confinement dans les éléments de rive est déterminé comme ci-dessous :

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

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L’effort normal et l’aire totale des armatures verticales d’âmes sont normalisés à lw .bc . f cd avec bc qui est pris égale à la largeur de l’excroissance ou de la membrure en compression. On a donc : o

o 

La position de l’axe neutre correspondant à la courbure ultime après éclatement du béton situé en dehors du noyau confiné est calculée à partir de la formule suivante : o



N Ed bc .lw . f cd f A v  sv . yd bc .lw f cd vd 

xu  vd  v .

lw .bc b0

Si la position de l’axe neutre tombe en dehors de l’excroissance, il faut revenir à la méthode générale qui a été énoncé en §16.9.2.2

Armatures de confinement Les armatures transversales de confinement doivent vérifier les conditions suivantes :  Diamètre minimal de 6mm.

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La forme des armatures de confinement doit être telle qu’elle procure un état de compression triaxial du béton confiné (cadres fermés). L’espacement doit respecter la condition :

o

 

57

 b0  2  s  min 17.5cm , expression dans laquelle dbL,min représente le diamètre minimal 8.d  bL,min 

des barres longitudinales en zone de confinement. L’espacement entre les barres longitudinales tenues par des armatures transversales de confinement doit être de 20cm au maximum. Les extrémités des cadres et autres armatures de confinement doivent être constituées par des coudes à 135° suivis par un retour de 10 diamètres.

La condition « b0/2 » de l’EC8 est très contraignante et devra vraisemblablement être modifiée dans les versions à venir. Prenons l’exemple d’un voile de 20cm d’épaisseur avec un enrobage de 2.5cm sur chaque face. On alors une largeur confiné de 15cm, ce qui nous donne un espacement de 7.5cm à mettre sur toute lz hauteur critique => on arrive à une quantité d’armatures phénoménale. Les armatures de confinement doivent être prolongées hors des zones rives, éventuellement par la mise en place de recouvrement. Toute armature verticale est tenue, par le prolongement des armatures de confinement, ou par des cadres ou épingles complémentaires. Dispense d’armatures de confinement Il n’est pas nécessaire de prévoir d’élément de rive confiné dans les membrures de mur ayant une épaisseur b f 

h hs et une largeur l f  s , hs étant la hauteur libre de l’étage. 15 15

Néanmoins, des éléments de rive confinés peuvent être nécessaires aux extrémités de ces membrures en raison de la flexion hors plan du mur.

Dans tous les cas, il convient que le pourcentage des armatures longitudinales dans les éléments de rive ne soit pas inférieur à 0.005.

Conditions géométriques additionnelles

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Les éléments de rive sont soumis à des contraintes géométriques additionnelles par rapport aux exigences générales déjà mentionnées précédemment, qui peuvent conduire à épaissir localement l’âme :

Schémas de ferraillage Ci-dessous, deux exemples de ferraillages types :

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Zones non critiques Dans les zones de mur situées au dessus de la zone critique, seules les règles définies dans l’EC2 sont applicables. Cependant, l’EC8 indique que dans les parties ou la compression du béton dépasse 0.002, il convient de mettre en place un pourcentage minimal d’armatures verticales de 0.005. Cette condition étant assez fastidieuse à vérifier, nous mettrons systématiquement ce pourcentage minimum en zone non critique.

18.9.3.

Dispositions constructives des murs ductiles en DCH

Pour le cas des murs ductile en classe DCH, la plupart des dispositions que nous venons de voir en classe DCM sont applicables, avec quelques nuances que nous allons définir ci-dessous. Dans le cas d’une construction DCH, les murs supportés par des dalles ou des poutres ne sont pas admis (§ 5.5.1.2.3 (1) de l’EC8-1-1). Comme nous l’avons vu précédemment, la largeur minimale est de 20cm et doit être supérieure au 1/20 de la hauteur libre de l’étage.

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Armatures de confinement Les armatures transversales de confinement doivent vérifier les conditions suivantes : 

Diamètre minimal :

d bw  0,4.d bL,max .

f y ,dL f y ,dw

o

f y ,dL : limite élastique de l’acier des armatures longitudinales en zone de

o

confinement. f y ,dw : limite élastique de l’aciers des armatures transversales en zone de

o

confinement. dbL,max : diamètre maximal des armatures longitudinales en zone de confinement.



Le pourcentage mécanique en volume des armatures de confinement doit respecter : wd  0.12 .



L’espacement doit respecter la condition :

o

 

 b0  3  s  min  12.5cm , expression dans laquelle dbL,min représente le diamètre minimal 6.d  bL,min 

des barres longitudinales en zone de confinement. L’espacement entre les barres longitudinales tenues par des armatures transversales de confinement doit être de 15cm au maximum. Les extrémités des cadres et autres armatures de confinement doivent être constituées par des coudes à 135° suivis par un retour de 10 diamètres.

Au-dessus de la zone critique, il faut prévoir des éléments de rive sur un niveau supplémentaire, avec au moins la moitié des armatures de confinement requises dans la zone critique. Armatures d’âmes Pour les murs de classe DCH, il convient de respecter les conditions suivantes pour les armatures d’âmes (en dehors de zones de confinement) :  Les armatures d’âme doivent être composée de deux familles d’aciers perpendiculaires qui vérifient es quantités minimale suivantes :  h,min  v ,min  0.002 .



Il convient que les armatures d’âme se composent de deux treillis de barres reliés par des épingles espacées d’environ 500mm. Il convient que les armatures d’âme aient un diamètre supérieur ou égale à 8mm mais ème inférieur à1/8 de la largeur d’âme bwo de l’âme.



L’espacement de ces mêmes barres ne doit pas être supérieur à 250mm ou 25.



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Schéma de ferraillage

18.9.4. Détails des dispositions constructives. Les figures ci-après représentent des détails de ferraillage dans la partie inférieure (zone critique) d’un voile fondé sur une semelle filante. Par ailleurs, ce voile comporte un élément de rive en excroissance par rapport à sa membrure.

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18.10. Exercice 1 : Calcul d’un voile non armé sous charges verticales. L’objectif est de calculer un voile non-armé, sous charges verticales. La géométrie du voile est la suivante : G, Q

3m Epaisseur : 18 cm

8.5 m

Les charges appliquées au voile sont les suivantes :  G= 600 KN/ml  Q= 150 KN/ml  Les charges appliquées sont considérées centrées sur l’épaisseur du voile. Les hypothèses de calcul sont les suivantes :  Le voile est considéré articulé en tête et en pied (pas de continuité avec les planchers)  Le voile est considéré non raidi latéralement.  Les matériaux mis en œuvre sont les suivants : o Béton C25/30. o Acier S500A.  Classe d’exposition : XC3

18.10.1.

Caractéristiques des matériaux

La résistance effective du béton doit tenir compte de l’hypothèse de calcul en voile non-armé. Résistance en compression : 

f cd  . cc , pl .

f ck

c

 0.8 

25  13.33Mpa 1.50



 cc, pl  0.8 pour les cas courants => f cd  0.8 



 cc, pl  1.0 pour f cd 

les

cas

ou

l’on

prend

25  13.33Mpa 1.50 en

compte

les

effets

du

2

nd

ordre :

25  16.67 Mpa 1.50

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Résistance en traction : 

f ctd  . ct , pl .

f ctk ,0.05

c

 . ct , pl .

0,21. f ck2 / 3

c

2/3

0,21.25  0.96Mpa pour les cas courants. 1.50 0,21.252 / 3   1.20Mpa si on prend en compte les effets du 2nd ordre. 1.50



f ctd  0.80.



f ctd

18.10.2.

Longueur de flambement et élancement du voile.

La longueur de flambement est définie l0   .lw :  

  1 car le voile est non raidi et articulé sur ces planchers. l0  3m .

L’élancement du voile est calculé par la formule : 



l0 . 12 3. 12   57.74 hw 0.18

On voit que l’élancement est inférieur à 86, on peut donc envisager le cas d’un mur non-armé.

18.10.3.

Calcul de l’effort normal résistant

Du fait que le voile est sollicité par une charge uniformément répartie, l’effort normal dans le voile est constant sur toute sa longueur. Nous allons vérifier que l’effort normal appliqué est bien inférieur à l’effort normal résistant d’un voile non armé, en faisant deux vérifications : nd  Un calcul en milieu de voile en tenant compte des effets du 2 ordre. er  Un calcul en pied de voile en considérant uniquement les effets du 1 ordre. L’effort normal agissant doit être déterminé en pied de voile, en tenant compte du poids propre de ce dernier :  Poids propre du voile : pp  3  0.18  8.50  25  114.75KN 





Effort normal agissant : N Ed  1.35 114.75  8.50 1.35  600  1.50 150  8952KN

Attention, l’effort normal que l’on vient de calculer correspond bien à la résultante des charges verticales, ce qui justifie que toutes ces valeurs soient multipliées par la longueur du voile, soit 8.50m. Pour simplifier les calculs, on considèrera le même effort normal agissant, même si cela n’est pas tout à fait vrai puisque l’effet du poids propre n’est pas le même au milieu du voile et en pied de voile. er

Effort résistant en pied de voile (effets du 1 ordre uniquement)   

 e  N Rd  f cd .b.hw .1  2.  hw   Dans notre cas, on a e  0 car les charges sont supposées centrées sur la largeur du voile. N Rd  f cd .b.hw  13.33  8.50  0.18  16.99MN  16990MN

On a bien N Ed  N Rd , ce qui confirme le fonctionnement en voile non armé.

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Effort résistant au milieu du voile (avec prise en compte des effets du 2

nd

ordre)

Le calcul de l’effort normal résistant en milieu de voile doit être mené en tenant compte des effets du nd 2 ordre. Pour cela, on applique la formule suivante :  N Rd  d .hw . f cd . Attention, conformément à ce qui a été vu en § 16.4.1, pour la prise en compte des effets du 2 on doit considérer f cd  16.67Mpa .

nd

ordre,

 représente les effets du 2nd ordre :  2.e   2.e  l   1,14.1  tot   0,02. 0  1  tot  hw  hw  hw  

Le terme 

Avec :  etot  e0  e1 

e0 : excentricité du 1er ordre, incluant les effets du plancher (voir §16.4.2). Dans notre cas, d’après l’énoncé, on a e0  0 .



ei :

excentricité

additionnelle

due

aux

imperfections

géométriques =>

 l   300  ei  max  0 ;2cm  max   0.75cm;2cm  2cm  400   400  Attention, comme nous l’avons vu au paragraphe 16.4.6, dans le cas où e0  0,15.hw ou si l’élancement est supérieur à 40, il faut remplacer le terme « 0.02 » par « 0.026 » et limiter dans tous les cas l’élancement à 86 (ce que nous avons vérifié en 16.10.2). On a donc : 

 

  1,14.1 

2  0.02  3  2  0.02   0.45  1    0,026.   0.778 0.18  0.18 0.18  

On a donc un effort résistant qui vaut :  N Rd  d .hw . f cd .  8.50  0.18 16.67  0.45  11.48MN Attention, dans notre exemple, nous avons considéré l’effort normal total et donc une largeur de bande égale à la longueur du voile, uniquement du fait que le voile est chargé uniformément.

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18.11. Exercice 2 : Etude d’un mur de contreventement. On souhaite étudier, sur un niveau, un voile de contreventement en zone sismique, dont la géométrie est définie ci-dessous :

2.7 m Epaisseur : 20 cm

5.1 m

Le calcul sismique nous donne les efforts suivants en pied de voile :  Effort normal : N= 299 T  3 MN  Effort tranchant horizontal : V= 95 T  0.95 MN  Moment de flexion : M= 800 T.m  8 MN.m Ces efforts sont à L’ELUA et intègrent déjà le coefficient de comportement. On pourra donc, directement à partir de ces valeurs, calculer les armatures nécessaires. Les hypothèses de calcul sont les suivantes :  Le voile est considéré articulé en tête et en pied (pas de continuité avec les planchers)  Le voile est considéré non raidi latéralement.  Les matériaux mis en œuvre sont les suivants : o Béton C30/37. o Acier S500B.  Classe d’exposition : X0.  Maitrise de la fissuration requise  Mur non-ductile => on considère donc un mur de grande dimension en béton peu armé.  Calcul en classe DCM  Coefficient de comportement : q= 3.  Mur en sous-sol, considéré en zone critique. Attention, l’objet de cet exercice est de justifier le voile de contreventement sous action sismique. Il va de soi que le dimensionnement devra également se faire en considérant les charges verticales G et Q sans l’action sismique, à l’ELU. 18.11.1. 

Béton C30/37 o o



Caractéristiques des matériaux

f cd 

f ck



30  23.08Mpa 1.3

c f ctm  0.30 f ck2 / 3  2.90Mpa

Acier S500B :

f yd 

f yk

s



500  500Mpa 1,00

Comme on peut le voir, il faut considérer les bonnes valeurs pour les coefficients de sécurité sur les matériaux, sachant que l’on est dans le cas d’un état limite accidentel.

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18.11.2.

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Longueur de flambement et élancement du voile.

La longueur de flambement est définie l0   .lw : 

  1 car le voile est non raidi et articulé sur ces planchers.



l0  2.70m .

L’élancement du voile est calculé par la formule : 

l0 . 12 2.70. 12   46.76 hw 0.20



18.11.3.

Calcul en flexion composée er

Nous allons, dans un 1 temps, faire un calcul en flexion composée avec les efforts suivants :  N Ed  3MN 

M Ed  8MN.m Af

Zone comprimée

Epaisseur : hw= 0.20 m NEd

b= 5.10 m

Axe neutre

MEd

Af Armature tendue

hw Pour le calcul en flexion composée, il nous faut déterminer : er  Excentricité du 1 ordre à l’ELU, due aux sollicitations appliquées.  Excentricité additionnelle pour le prise en compte des imperfections géométriques.  Vérification des effets du second ordre e2.  Coefficient de fluage : φef= 2. On considèrera une hauteur utile de 4.60m er

Excentricité du 1 ordre 

e1 

M Ed 8   2.67m à l’ELU N Ed 3

Excentricité additionnelle 

ei 

l0 270   0.675cm  2cm  ei  2cm 400 400

Dans cette formule, l0 représente la longueur de flambement que l’on prend forfaitairement égale à L en considérant un voile bi-articulé.

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Effets du second ordre Nous allons vérifier la nécessité ou non de prendre en compte les effets du 2 dans le cas d’un élément isolé. Les effets du second ordre peuvent être négligés si :

ordre, en se plaçant

20. A.B.C . n

N Ed 3   0.127 Ac . f cd 0.20  5.10  23.08 A  0.70 B  1.10 C  0.70 20  0.70 1.10  0.70 lim   30.25 0.127 n

    

On a

  lim 

nd

  lim => on ne peut pas négliger les effets du second ordre.

Nous allons donc calculer le voile en appliquant la méthode de la courbure nominale. Pour pouvoir appliquer cette méthode, il nous faut partir d’une valeur de départ que nous déterminerons en faisant nd un calcul en flexion composée sans prise en compte des effets du 2 ordre. Sollicitations corrigées. Les sollicitations corrigées, à prendre en compte pour le calcul en flexion composée, sont :  NEd= 3 MN  MEd= (e1 + ei)*NEd = (2,67 + 0,02)*3 = 8.07 MN.m Ces valeurs sont calculées par rapport au centre de gravité de la section de béton seule, il est impératif de ramener le moment au centre de gravité des aciers tendus pour pouvoir dimensionner les armatures:



h 5.10   M ua  M G 0  N (d  )  8.07  3 4.60    14.22MN .m 2 2  

Les sollicitations corrigées (ELU) sont donc:

NEd= 3 MN MEdA= 14.22 MN.m

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Nous allons maintenant vérifier si la section est partiellement comprimée :

h h 5,10 5,10 (1  0,4 )  0,494 d d 4,60 4,60 M ua 14.22 cu    0.146 bw .d ². f cd 0.20  4.60²  23.08

 BC  0,8 (1  0,4 )  0,8

 

On a

cu  BC , on est donc en section partiellement comprimée.

Calcul des aciers tendus en flexion simple  cu  0.146







u  1,25 1  (1  2  0,146)  0,198 Calcul du bras de levier zc : zc  d (1  0,4 u )  4,60(1  0,4  0,198)  4.23m



Calcul de la section d’armatures :



Calcul de u :

A 

M ua 14.22   67cm² zc . f yd 4.23  500

Calcul des aciers en flexion composée En flexion composée, on a donc :  A= A – N/Fyd= 0,0067 – 3/500= 0.0007m²= 7cm² On doit vérifier le pourcentage minimum d’un élément en flexion simple, soit : 

As ,min

f ctm 2.90  .hw .d  0.26  0.20  4.60  13.87cm ² 0.26  Max f yk 500  0.0013.hw .d  11.96cm ² 

On va donc placer en about de voile 8 HA 16, ce qui donne une section d’acier de 16.08cm². Attention, en zone sismique, les armatures d’about doivent être symétriques, on aura donc une section totale de 16.08*2= 32.16 cm², réparties sur les deux zones d’about du voile. Calcul de la courbure En considérant un ferraillage total de 32.16 cm², on peut déterminer la courbure à partir de la formule suivante : 

1 1  K r .K . r r0

Avec :

f yd



500 Es 1 200000  0.00121m 1    r0 (0,45.d ) (0,45.d ) 0.45  4.60



K r : coefficient de correction dépendant de l’effort normal => K r 

 yd

o

n

nu  n 1 nu  nbal

N Ed 3   0.127 Ac . f cd 0.20  5.10  23.08

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

As . f yd

32,16.104  500   0.068 0.20  5.10  23.08

o



o

nu  1    1  0.068  1.068

o

nbal  0,4

o

Kr 

Ac . f cd

70

1.068  0.127  1.41  1  K r  1 1.068  0.40

K : coefficient qui tient compte du fluage => K  1   . ef  1 o o

f ck  30 46.76   0.35    0.188 200 150 200 150 K  1   .ef  1  0.188  2  1.376  1

  0,35 

La courbure vaut donc : 

1 1  K r .K .  11.376  0.00121  0.00167m 1 r r0

Moment de calcul Le moment de calcul est estimé à partir de la formule :  M Ed  M 0 Ed  M 2 Avec : 

M 0 Ed : moment du 1er ordre incluant les imperfections géométriques.



M 2 : Moment nominal du second ordre. nd

Le moment du 2 ordre est calculé à partir de la courbure :  M 2  N Ed .e2



1 l2 2.70² e2  . 0  0.00167   0.00122m r c 10 M 2  N Ed .e2  3  0.00122  0.00366MN.m



M Ed  M 0 Ed  M 2  8.07  0.00366  8.07MN.m



On voit que les effets de 2

nd

ordre ont une influence négligeable.

On doit donc dimensionner les armatures en considérant les sollicitations suivantes :  N Ed  3MN 

M Ed  8.07MN .m

On conserve donc les armatures déterminées précédemment, à savoir 8HA16 à chaque about de voile.

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Vérification à l’effort tranchant

18.11.4.

On doit avant tout déterminer un effort tranchant qui tient compte du coefficient de comportement : 

1 q  1 3  VEd  V .   0.95   1.9MN  2   2 

On calcul ensuite 

VRd ,c

VRd ,c à partir de la formule suivante :

1/ 3  CRd ,c .k.hw d .(100. L . f ck )  k1. cp  max  (vmin  k1. cp ).hw d  

Avec 

AsL 16,08.104 L    0.00175  0,02 bw .d 0.20  4.60



 cp 



k1  0.15 dans l’annexe nationale française.



k  1



CRd ,c 

0.18



vmin 

0,35

N Ed 3   2.94Mpa  0,2. f cd  4.62Mpa Ac 0.20  5.10

200 200  1  1.21  2,0 d 4600

c

c



0.18  0.138 1.3

. f ck1/ 2 

0,35 1/ 2 .30  1.48 1,3

On a donc : 

On a

0.138  1.21 0.20  4.60(100  0.00175  30)1/ 3  0.15  2.94  0.71MN VRd ,c  max  (1.48  0.15  2.94)  0.20  4.60  1.77 MN 

VEd  VRd ,c , il faut donc mettre en place des armatures d’effort tranchant.

Calcul des armatures d’effort tranchant Pour calculer les armatures d’effort tranchant, on va considérer le voile comme une poutre verticale. Dans ce cas, les armatures sont calculées à partir de la formule suivante : 

Asw VEd .tg  s zu . f yd

Si considère des bielles inclinées à 45° (choix arbitraire), on a 

Asw 1.90   8.98cm² / m s 4.23  500

Le terme « zu » correspond au bras de levier que l’on a déterminé lors du calcul en flexion composée.

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72

Si on considère des armatures horizontales sur chacune des faces du voile, on devra placer 4.49 cm²/m sur chaque face On peut donc mettre en place un treillis soudé ST50 sur chaque face.

Vérification de la bielle comprimée IL faut bien entendu vérifier la contrainte maximale de compression dans les bielles : 

VRd , max 

Le terme

 cw . 1. f cd .zu .bw cot   tan

 cw est un terme qui permet de prendre en compte de la compression qui tend à refermer

les fissures (effet positif) : 

 cw  1

car la section étudiée est plus près du nu de l’appui (donc de la base du voile) que la

longueur « 0,5.d . cot  ».

v1

: Coefficient de réduction de la résistance du béton fissurée à l’effort tranchant : 

f  30    v1  0,61  ck   0,61   0.528  250   250 

On a donc : 

VRd , max 

On a bien :

0.528  23.08  4.23  0.20  5.15MN 2

VEd  VRd ,max .

Valeur de l’effort tranchant en pied du voile Il est indiqué en §16.5.5.3 que dans le cas d’un voile qui relève de la section 6 (voile armé), il convient que l’effort tranchant en pied du voile ne dépasse pas la valeur suivante : 

f  30    VRd  0,301  ck .hw .d . f cd  0,301    0.20  4.60  23.08  5.60Mpa  250   250 

Cette condition est vérifiée Cisaillement le long des surfaces de reprises de bétonnage On se dispense de cette vérification en imposant au chantier de couler le voile est une passe sur toute la hauteur => donc pas de reprise de bétonnage.

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18.11.5.

73

Dispositions constructives

Dans cet exemple, il convient de vérifier deux types de dispositions constructives :  Les dispositions constructives de l’EC2 pour les voiles armés (§16.6 de ce cours).  Les dispositions constructives de l’EC8 (§16.9 de ce cours). N’ayant pas fait le calcul sous combinaisons ELU, nous allons ici détailler uniquement les dispositions constructives EC8. Dispositions vis-à-vis de la ductilité locale Il faut assurer la tenue des barres verticales principales : 



Diamètres des cadres et des épingles :

   

  max dbL

6mm 3

 16 / 3  5.33mm

 6mm

 100mm  100mm 8.dbL  128mm

Espacement des cadres et des épingles : s  min 

Les armatures trouvées en flexion composée doivent être placées dans des potelets d’extrémité dont la longueur blong doit vérifier la condition suivante : 

 bw  blong  max  3.bw . cm ou  cm représente la valeur moyenne de la contrainte du béton dans   f cd la zone comprimée.

Il nous faut donc estimer cette contrainte : dans le cas d’un dimensionnement en flexion composée classique avec le diagramme rectangulaire simplifié, on peut considérer que la contrainte moyenne sur le béton est égale à fcd, on aura donc : 

bw  20cm   3.b . blong  max  w cm 3  0.20  23.08   60cm  23.08  f cd

On aura donc des potelets d’about de 60cm.

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74

Principe de ferraillage On aura donc le principe de ferraillage suivant :

Attention, ce plan de ferraillage n’est donné qu’à titre indicatif et ne tient pas compte des armatures des chainages verticaux et horizontaux.

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