Chapitre 18 - Eurocodes 2
Short Description
hip...
Description
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT
___________
" BETON ARME " Chapitre 18 : Eurocode 2
(Code CCV109)
Enseignants : F. GUILLEMARD / J. PAÏS
2007 – 2008
CNAM CCV109 – Béton armé
2
Sommaire 18.
EUROCODE 2............................................................................................................................ 4
18.1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 4 18.2. LISTE COMPLETE DES EUROCODES ........................................................................................... 4 18.3. NOTION DE NORME ENV ET EN................................................................................................. 5 18.4. NOTION DE DAN ...................................................................................................................... 5 18.5. SYSTEME DE COMBINAISONS ..................................................................................................... 5 18.6. NOTATIONS .............................................................................................................................. 6 18.7. CLASSIFICATION ET CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX............................................................ 9 18.7.1. Caractéristiques des bétons.......................................................................................... 9 18.7.2. Résistance en compression ........................................................................................ 10 18.7.3. Résistance en traction ................................................................................................. 11 18.7.4. Loi de comportement du béton.................................................................................... 11 18.7.5. Prise en compte d’un béton confiné. ........................................................................... 15 18.7.6. Caractéristiques des aciers ......................................................................................... 16 18.7.7. Classes de ductilité...................................................................................................... 16 18.7.8. Loi de comportement................................................................................................... 16 18.8. CALCUL DES ANCRAGES.......................................................................................................... 18 18.8.1. Contrainte limite d’adhérence (§8.4.2) ........................................................................ 18 18.8.2. Longueur d’ancrage droit de référence (§8.4.3).......................................................... 19 18.8.3. Longueur d’ancrage droit de calcul (§8.4.4)................................................................ 20 18.8.4. Longueur de recouvrement (§8.7.2 & 8.7.3) ............................................................... 22 18.9. APPLICATION DES EC2 AU CALCUL DES POUTRES .................................................................... 24 18.9.1. Détermination des sollicitations................................................................................... 24 18.9.2. Imperfections géométriques ........................................................................................ 27 18.9.3. Tables de compression ............................................................................................... 29 18.9.4. Flexion simple.............................................................................................................. 32 18.9.5. Flexion composée ....................................................................................................... 38 18.9.6. Epure d'arrêt des barres (§9.2.1.3) ............................................................................ 38 18.9.7. Cisaillement Table – Nervure (§6.2.4)......................................................................... 39 18.9.8. Dispositions constructives spécifiques aux poutres .................................................... 42 18.10. APPLICATION DES EC2 AU CALCUL DES POTEAUX ................................................................ 45 18.10.1. Imperfections géométriques ........................................................................................ 45 18.10.2. Prise en compte des effets du second ordre............................................................... 45 18.10.3. Longueurs de flambement (§5.8.3.2). ......................................................................... 47 18.10.4. Méthode simplifiée (règles professionnelles). ............................................................. 49 18.10.5. Fluage effectif (§5.8.4) ................................................................................................ 50 18.10.6. Méthode générale........................................................................................................ 50 18.10.7. Méthode basée sur la rigidité nominale ...................................................................... 50 18.10.8. Méthode basée sur la courbure nominale. .................................................................. 52 18.10.9. Cas particulier de la flexion déviée (§5.8.9) ................................................................ 53 18.10.10. Dispositions constructives propres aux poteaux..................................................... 55 18.11. EFFORTS TRANCHANTS ...................................................................................................... 56 18.11.1. Notations ..................................................................................................................... 56 18.11.2. Effort tranchant résistant du béton .............................................................................. 56 18.11.3. Transmissions directe aux appuis ............................................................................... 57 18.11.4. Cas des éléments non armés (§6.2.2). ....................................................................... 58 18.11.5. Cas des éléments armés (§6.2.3) ............................................................................... 60 18.12. ETAT LIMITE D'OUVERTURE DES FISSURES (E.L.S) ............................................................... 61 18.12.1. Limitations des fissures. .............................................................................................. 61 18.12.2. Dispositions constructives pour éviter les fissures...................................................... 62 18.12.3. Calcul exact de l’ouverture des fissures...................................................................... 62 18.12.4. Pourcentage minimum à mettre en place ................................................................... 64 18.13. ETAT LIMITE DE DEFORMATION - CALCUL DES FLECHES ........................................................ 66 18.13.1. Limites admissibles ..................................................................................................... 66 18.13.2. Limitation du rapport portée-hauteur (§7.4.2) ............................................................. 66 18.13.3. Calcul exact de la déformée (§7.4.3) .......................................................................... 68
CNAM CCV109 – Béton armé
3
18.13.4. Méthode d'intégration des courbures .......................................................................... 69 18.14. VERIFICATION AU POINÇONNEMENT. (§ 6.4)......................................................................... 72 18.14.1. Vérification des dalles. ................................................................................................ 72 18.14.2. Vérification des semelles............................................................................................. 77 18.15. ENROBAGES MINIMUM (§4.4.1) ........................................................................................... 77 18.15.1. Notion de condition d’environnement. ......................................................................... 78 18.15.2. Enrobage minimal cmin ................................................................................................. 79 18.15.3. Tolérances d’exécution (§4.4.1.3). .............................................................................. 83
CNAM CCV109 – Béton armé
18.
4
Eurocode 2 18.1. Introduction
Les Eurocodes sont un ensemble de normes européennes qui ont pour but d'uniformiser les différents règlements de calcul de structure. Le but initial de cette volonté d'uniformiser les normes est de limiter les disparités qui existent dans les différentes réglementations nationales, qui entravent la libre circulation d'ingénierie et d'architecture au sein de la communauté européenne. Cependant, les documents de base sont complétés par les DAN (documents d'applications nationales) dont la portée est limiter à la définition de paramètres qui sont forcément d'ordre national (comme par exemple les régions de neige ou de vent). Ce document est basé sur les versions suivantes de l'Eurocode : NF EN 1992 1-1 publié en octobre 2005 avec l'application du DAN Français pour la partie béton armé. NF EN 1997 publié en octobre 2005 pour l'étude de la stabilité externe des semelles de fondation.
Le but de ce document est de faire une initiation à l'Eurocode 2 et de lister les principales différences par rapport aux BAEL91 et aux différents DTU existants. A l’heure d’aujourd’hui, l’utilisation des Eurocodes n’est pas imposée. D’après l’AFNOR (Association Française de Normalisation) qui publie et vend les textes officielles, l’application des Eurocodes sera er imposé en France à partir du 1 janvier 2010, date à laquelle les normes nationales existantes ne pourront plus être appliquées.
18.2. Liste complète des Eurocodes La liste complète des Eurocodes existants ou à venir est la suivante: Type
Domaine
Eurocode 0
Bases de calcul
Eurocode 1
Actions / Sollicitations
Eurocode 2
Béton Armé
Eurocode 3
Construction Métallique
Eurocode 4
Construction Mixte
Eurocode 5
Construction Bois
Eurocode 6
Ouvrages Maçonnés
Eurocode 7
Géotechnique
Eurocode 8
Séisme
Eurocode 9
Alliages Aluminium
CNAM CCV109 – Béton armé
5
18.3. Notion de norme ENV et EN Avant sa sortie officielle, une nouvelle norme prend le statut de norme ENV (norme expérimentale) pendant une période théorique de 2 à 3 ans. Le but de cette période est de pouvoir appliquer cette norme à titre expérimental et pouvoir avoir un retour d'expérience. Elle devient officielle et définitive avec le statut de Norme EN, norme en vigueur. En ce qui concerne les Eurocodes, jusqu’en 2005, les textes qui étaient publiés correspondaient aux normes ENV.
18.4. Notion de DAN Le DAN est le Document d'Application National. Il permet, entre autre, aux différents états membres de définir les paramètres de sécurité qui leurs sont propres, mais également de définir des paramètres qui sont forcément d'ordre nationale, comme par exemple une région de vent, de séisme…
18.5. Système de combinaisons Le système de combinaisons est assez proche de celui du BAEL (avec une notion de ELU, ELS, ELA). Ce qui diffère un peu est la définition des coefficients ψ d'accompagnement:
Ce qu'il est important de noter est que ces coefficients d'accompagnement dépendent du type de local auquel correspond la charge en question (notion de vatégorie).
CNAM CCV109 – Béton armé
18.6. Notations Les notations utilisées dans l'Eurocode 2 sont les suivantes:
6
CNAM CCV109 – Béton armé
7
CNAM CCV109 – Béton armé
8
CNAM CCV109 – Béton armé
9
18.7. Classification et caractéristiques des matériaux. 18.7.1. Caractéristiques des bétons Les notations utilisées pour la classification et les caractéristiques des matériaux sont les suivantes:
Les propriétés du béton armé sont définies au chapitre 3.1 de l'EC2. Contrairement au BAEL, l’EC2 autorise à utiliser des bétons de 12 à 90 Mpa. Les notations et caractéristiques du béton sont plus compliquées à l’EC2 qu’au BAEL. La résistance caractéristique en compression du béton, mesurée à 28 jours (équivalent de notée
f ck .
f c 28 ), est
CNAM CCV109 – Béton armé
10
A partir de cette valeur caractéristique, on peut en déduire un certain nombre d’autres valeurs (caractéristiques de résistance et déformation) qui sont résumées dans le tableau 3.1 de l’EC2 :
18.7.2.
Résistance en compression
Lorsque l'on utilise par exemple un béton de type C25/30, le 1er terme correspond à la résistance en compression f ck , déterminée à partir d'un essai sur une éprouvette cylindrique. A partir de cette valeur, on détermine de calcul en compression en utilisant la formule suivante :
f cd = α cc .
f ck
γc
avec
α cc
: est pris égal à 1 dans le cadre de l'EC2. Attention, dans tous les règlements
précédents, ce coefficient était pris égal à 0.85.
γc
: représente le coefficient partiel de sécurité pour le béton Habituellement, on prend les
valeurs suivantes (définie au §2.4.2.4 de l'EC2) : o
γ c = 1 .5
pour
un
dimensionnement
en
situation
durable
ou
transitoire
(dimensionnement ELU). o
γ c = 1 .2
pour un dimensionnement en situation accidentelle (dimensionnement
ELUA). Cette valeur était de 1.15 dans le cas du BAEL.
CNAM CCV109 – Béton armé
18.7.3.
11
Résistance en traction
La résistance moyenne du béton en traction est définie par la formule :
avec
f ctm = 0.30 f ck2 / 3 pour une valeur de f ck ≤ 50 MPa
f f ctm = 2,12 ln1 + cm pour une valeur de f ck > 50 MPa 10
f cm = f ck + 8 , exprimée en MPa.
Pour un béton C25/30, on obtient :
f ck = 25MPa => f ctm = 0,30 × 252 / 3 = 2.56 MPa
A partir de la résistance moyenne à la compression, on peut en déduire la résistance caractéristique (fractile 5%) :
f ctk , 0.05 = 0.7 f ctm
Puis la résistance de calcul à la traction :
f ctd = α ct .
f ctk ,0.05
γc
avec le terme
Pour l'annexe française, on prend 18.7.4.
α ct
qui peut être donné dans les annexes nationales.
α ct = 1.00
Loi de comportement du béton.
L’EC2 définit 4 diagrammes possibles pour un dimensionnement à l’ELU : Une relation contrainte-déformation non-linéaire (article 3.1.5) pour les analyses structurales telles que le flambement. Un diagramme parabole-rectangle pour le dimensionnement des sections (article 3.1.7). Un diagramme bilinéaire (article 3.1.7) également applicable pour le dimensionnement des sections.
CNAM CCV109 – Béton armé
12
18.7.4.1. Relation contrainte-déformation non linéaire (Sargin simplifié) Cette relation est définie par le schéma suivant :
Cette loi se traduit par l’expression suivante :
σc
f cm
=
k .η − η ² 1 + (k − 2).η
Avec :
η=
εc ε c1
ou
ε c1 est la déformation au pic de contrainte f cm . Cette valeur est définie dans le
tableau du paragraphe III.A (tableau 3.1 de l’EC2).
k = 1,05.E cm .
ε c1 f cm
Attention, cette formulation ne peut être appliquée que dans le cas où ε c représente la déformation ultime définie également dans le tableau précédent.
< ε cu1 , avec ε cu1 qui
CNAM CCV109 – Béton armé
13
18.7.4.2.
Diagramme parabole rectangle
Le diagramme parabole-rectangle peut être utilisé pour dimensionner les sections. Ce diagramme est représenté ci-après :
Ce diagramme se traduit par la formulation suivante : n εc pour 0 ≤ ε c ≤ ε c 2 σ c = f cd 1 − 1 − ε c2
σ c = f cd
pour
ε c 2 ≤ ε c ≤ ε cu 2
Le coefficient n est défini par les deux valeurs suivantes possibles (voir tableau 3.1) :
n= 2 pour des bétons dont
f ck ≤ 50 MPa .
90 − f ck n = 1,4 + 23,4 pour des bétons avec 50 < f ck ≤ 90 MPa . 100 4
CNAM CCV109 – Béton armé
14
18.7.4.3.
Diagramme bilinéaire
Le diagramme bilinéaire est une variante du diagramme parabole-rectangle. Ce diagramme se traduit par le schéma suivant :
Les valeurs de
ε c 3 et ε cu 3
sont définis dans le tableau 3.1 donnés précédemment.
18.7.4.4.
Diagramme rectangulaire simplifié
L’EC2 spécifie également que l’on peu utiliser un diagramme rectangulaire simplifié :
La hauteur utile de la zone comprimée est définie par le paramètre λ : o
λ = 0 .8
o
λ = 0 .8 −
pour
f ck ≤ 50 MPa
( f ck − 50) pour 50 < 400
f ck ≤ 90 MPa
La largeur du diagramme est définie par η : o
η = 1.0 pour f ck ≤ 50 MPa .
o
η = 1 .0 −
( f ck − 50) 200
pour
50 < f ck ≤ 90 MPa
On voit donc que le diagramme rectangulaire simplifié est le même que celui du BAEL pour des bétons inférieur à 50 Mpa.
CNAM CCV109 – Béton armé
18.7.5.
15
Prise en compte d’un béton confiné.
L’EC2 (article 3.1.9) indique qu’il est possible de prendre en compte un béton confiné. Dans ce cas, la résistance et la déformation ultime du béton sont supérieures. On peut considérer un béton confiné à condition de mettre en place des cadres correctement fermés ou des armatures transversales.
Dans ce cas, à partir de la contrainte σ 2 qui agit perpendiculairement dans les directions perpendiculaires à l’effort étudié (contrainte latérale à l’ELU due au confinement), on peut déterminer de nouvelles caractéristiques de résistance du béton :
σ f ck ,c = f ck 1,000 + 5,0 2 f ck
σ f ck ,c = f ck 1,125 + 2,50 2 f ck f = ε c 2 . ck ,c f ck
ε c 2,c
ε cu 2,c = ε cu 2 + 0,2
pour σ 2 ≤ 0,05 f ck . pour σ 2 > 0,05 f ck .
2
σ2 f ck
On voit donc que sous réserve de dispositions constructives adéquates, il est possible de prendre en compte un « Béton confiné » et donc d’avoir des caractéristiques mécaniques supérieures.
CNAM CCV109 – Béton armé
16
18.7.6. Caractéristiques des aciers En ce qui concerne la loi de comportement de l’acier, les différences avec le BAEL sont les suivantes : L’EC2 (annexe C) introduit la notion de classe de ductilité avec des aciers qui peuvent aller jusqu’à un allongement de 7.5%. Cette valeur est à comparer avec l’allongement maxi préconisé par le BAEL, qui est de 1%. L’EC2 permet également d’utiliser une loi de comportement ayant un palier plastique « incliné » (voir ci-après).
18.7.7.
Classes de ductilité.
Comme nous venons de le voir, l’EC2-annexe C décrit trois classes de ductilité détaillée dans le tableau suivant :
18.7.8. Loi de comportement Les notations sont les suivantes :
f yk : limite élastique.
f yd : contrainte de calcul à l’ELU.
ε s0
: allongement correspondant à la limite de plasticité.
ε uk
: déformation de l’acier sous charge maximale (voir paragraphe précédent).
ε ud
: limite de déformation pour le diagramme avec branche inclinée.
CNAM CCV109 – Béton armé
17
L’EC2 définit donc deux lois de comportement laissées au choix (article 3.2.7) : Un diagramme avec palier horizontal de plasticité, tel que celui utilisé dans le BAEL91. Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de vérifier une limite de déformation des aciers. Un diagramme avec une branche inclinée et une déformation limite ne devant pas dépasser ε ud .
Les relations entre les différentes grandeurs sont les suivantes :
ε ud = 0,9.ε uk
=> Attention, cette valeur peut être modifiée en fonction du DAN (document
d’application national).
La valeur de
f yd dépend de la loi de comportement choisie par l’utilisateur :
Dans le cas de la loi avec palier plastique horizontal =>
allongement
ε s0 =
f yd ES
f yd =
f yk
γS
et un
.
Dans le cas de la loi avec branche inclinée, on applique la formule suivante :
f yd =
f yk (k − 1)(ε S − ε S 0 ) 1 + (ε uk − ε s 0 ) γ S
Le coefficient k traduit la ductilité de l’acier et correspond au rapport entre la contrainte de traction max à la rupture (correspondant à
ε ud ) et la contrainte de limite élastique, soit : k =
L’annexe C de l’EC2 donne des valeurs minimales de ce coefficient.
f tk . f yk
CNAM CCV109 – Béton armé
18
Ci-dessous, un tableau donnant quelques valeurs en fonction de la classe de ductilité :
18.8. Calcul des ancrages Le calcul des ancrages à l’EC2 suit les mêmes principes que le BAEL : Calcul de la contrainte limite d’adhérence. Détermination des longueurs d’ancrage droit. Détermination d’un ancrage courbe. 18.8.1. Contrainte limite d’adhérence (§8.4.2)
τ su au BAEL) est définie par la formule : f bd = 2,25.η1 .η 2 . f ctd
La contrainte limite d’adhérence (équivalent de
Où
f ctd est la résistance de calcul en traction du béton (voir paragraphe III.A.2). Cette valeur doit toujours être inférieure à 3.1Mpa, ce qui correspond à la résistance d’un béton C60/75 (du fait de la fragilité croissante des bétons haute performance).
η1 est un coefficient qui est lié aux conditions d’adhérence et à la position de la barre en cas de reprise de bétonnage (voir schéma ci-après).
η1 = 1,0
si les conditions d’adhérence sont bonnes.
η1 = 0,7
dans les autres cas.
CNAM CCV109 – Béton armé
19
Les conditions d’adhérence sont définies par le schéma suivant :
η 2 est un paramètre qui dépend du diamètre de la barre :
η 2 = 1,0 pour un diamètre φ ≤ 32mm
η2 =
(132 − φ ) pour un diamètre φ > 32mm 100
18.8.2. Longueur d’ancrage droit de référence (§8.4.3) L’EC2 définit une longueur d’ancrage de référence, notée
lb,rqd .
Cette valeur est calculée à partir de la formule suivante : lb, rqd
=
φ.σ sd 4. f bd
σ sd est la contrainte effective dans la barre que l’on souhaite ancrer.
ATTENTION, malgré le fait que cette formule ressemble énormément à celle du BAEL ( l S
=
φ. f E 4.τ su
faut bien faire attention à une différence importante : Dans la formule du BAEL, on détermine une longueur de scellement permettant d’ancrer un effort de traction correspondant à la limite élastique de l’acier. Dans la formule de l’EC2, on détermine une longueur de scellement correspondant à l’effort de calcul er non pas l’effort max correspondant à la limite élastique.
), il
CNAM CCV109 – Béton armé
20
Prenons l’exemple suivant : On a un effort de traction à reprendre sur l’appui de 138.7KN. On a sur ce même appui (appui de dalle) 26HA8, qui représente une section totale de 13 cm².
La contrainte effective dans les armatures est donc σ sd
On calcul ensuite
=
0.1387 = 107 MPa . 13.10 − 4
f bd = 2,25.η1 .η 2 . f ctd :
o
η1 = 1,0
o
η 2 = 1,0 pour un diamètre φ ≤ 32mm
car les conditions d’adhérence sont bonnes.
f ctk ,0.05
o
f ctd = α ct .
o
f bd = 2,25 × 1,2 = 2,7 MPa
o
lb, rqd =
φ .σ sd 4. f bd
γc
= 1,2 MPa
= 9,9.φ
18.8.3. Longueur d’ancrage droit de calcul (§8.4.4) La longueur d’ancrage de calcul, notée
lbd se détermine à partir de la formule suivante :
lbd = α1 .α 2 .α .3 .α 4 .α 5 .lb, rqd ≥ lb,min La signification des différents facteurs de cette formulation est la suivante :
α1
: coefficient qui tient compte de la forme des barres.
α2
: coefficient qui tient compte de l’enrobage minimal
α3
: coefficient qui tient compte de l’effet de confinement des armatures transversales
α4
: coefficient qui dépend si les barres sont soudées.
α5
: coefficient qui tient compte de l’effet de la pression orthogonale au plan de fendage le
long de lbd . Ces différents coefficients sont définis dans le tableau ci-après.
CNAM CCV109 – Béton armé
Avec les schémas suivants, qui illustrent ce tableau :
21
CNAM CCV109 – Béton armé
22
Dans tous les cas, la valeur de
lbd ne doit jamais être inférieure à une valeur mini définie par : lb,min > max{0,3.lb, rqd ;10φ ;100mm}
Ancrages de barres tendues =>
Ancrages de barres comprimées =>
lb,min > max{0,6.lb, rqd ;10φ ;100mm}
ATTENTION, l’EC2 ne prend pas en compte une amélioration de l’adhérence en fonction de la forme de l’ancrage (ancrage courbe). La longueur à prendre en compte est la longueur développée le long de l’ancrage, en partant de son extrémité (voir schéma suivant).
L’EC2 indique également, en guise de simplification, que l’on peut considérer un ancrage «forfaitaire » en respectant une longueur d’ancrage équivalente définie sur la figure suivante :
18.8.4. Longueur de recouvrement (§8.7.2 & 8.7.3) La longueur de recouvrement
l0 à mettre en place est définie par l’article 8.7.3 de l’EC2 :
CNAM CCV109 – Béton armé
D’un point de vue « dispositions constructives », il convient de respecter les conditions suivantes :
Ces dispositions se traduisent par le schéma suivant :
23
CNAM CCV109 – Béton armé
24
18.9. Application des EC2 au calcul des poutres 18.9.1. Détermination des sollicitations On appelle « détermination des sollicitations » le calcul des sollicitations que doit supporter l’élément considéré : moment de flexion, effort tranchant, effort normal et moment de torsion. Les articles 5.4 à 5.8 de l’EC2 définissent plusieurs méthodes pour la détermination de ces sollicitations : « Analyse élastique linéaire » (article 5.4) qui correspond à un calcul RDM classique. « Analyse élastique-linéaire avec redistribution limitée des moments » (article 5.5) qui n’est applicable que pour l’ELU. « Analyse plastique » (article 5.6). « Analyse non linéaire » (articles 5.7 & 5.8) De plus, l’EC2 définit des portées de calcul qui sont différentes de celles énoncés au BAEL. L’EC2 détaille également la prise en compte des imperfections géométriques (article 5.2 de l’EC2).
18.9.1.1. Portée de calcul Les portées utiles de calcul pour les poutres et les dalles sont définies à l’article 5.3.2.2 de l’EC2. La portée utile notée leff est définie par la formule suivante : leff = ln + a1 + a 2 .
ln représente la portée en nu d’appuis (celle qui est utilisé pour un dimensionnement BAEL). Les valeurs de a1 et a2, correspondant aux deux extrémités de la poutre, sont définies dans les schémas suivants (extrait EC2) :
CNAM CCV109 – Béton armé
25
18.9.1.2. Méthode linéaire sans redistribution Cette méthode consiste à prendre 100% des moments Rdm sur chaque appui. La méthode Rdm appliquée peut être la méthode des 3 moments. L’EC2 (§5.4) indique qu’une telle méthode peut être appliquée moyennant les hypothèses suivantes : Les sections sont non-fissurées. Les relations contrainte-déformation sont linéaires. On doit prendre une valeur moyenne du module d’élasticité.
18.9.1.3. Méthode linéaire avec redistribution L’EC2 (§ 5.5) indique qu’il est possible de redistribuer les moments de flexion sous trois conditions : La nouvelle redistribution doit satisfaire l'équilibre avec les charges appliquées. L'utilisateur doit vérifier les valeurs minimum du coefficient de réduction noté δ (rapport du moment après redistribution au moment avant redistribution). La redistribution n’est applicable que pour les éléments principalement sollicités en flexion. Les valeurs du coefficient δ sont les suivantes :
xu pour f ck ≤ 50 MPa d x δ = k 3 + k 4 . u pour f ck > 50 MPa d
Avec :
δ = k1 + k 2 .
d qui représente la hauteur utile de la section. xu qui représente la profondeur de l’axe neutre après redistribution.
Dans tous les cas, la valeur de δ doit toujours être supérieure à : 0.7 pour les aciers ductiles ou très ductiles (classes B ou C). 0.8 pour les aciers peu ductiles (classe A). Les coefficients k1, k2, k3 et k4 peuvent être fixés par les différentes annexes nationales. Le texte de base de l’EC2 (ainsi que l’AN française) propose les valeurs suivantes : k1 = 0.44
0.0014 k 2 = 1.25 0.6 + ε cu 2 k 3 = 0.54
0.0014 k 4 = 1.25 0.6 + ε cu 2
Il faut noter que pour des aciers avec
f ck ≤ 50 MPa , on a ε cu 2 = 0.0035 et k 2 = k 4 = 1.25 .
CNAM CCV109 – Béton armé
26
Ces valeurs peuvent se résumer dans le tableau suivant (issu de l’ouvrage de Thonier) : Classe de l’acier
f ck ≤ 50 MPa
A (peu ductile)
f ck > 50 MPa
δ = 0.44 + 1.25
xu ≥ 0 .8 d
δ = 0.54 + 1.25 0.6 +
δ = 0.44 + 1.25
xu ≥ 0 .7 d
δ = 0.54 + 1.25 0.6 +
0.0014 xu ≥ 0.8 ε cu 2 d
B ou C (ductile ou très ductile)
0.0014 xu ≥ 0.7 ε cu 2 d
Deux remarques sont intéressantes à faire : On voit bien que le processus de détermination du coefficient δ est un processus itératif car il faut connaître le moment redistribué pour connaître la valeur de δ. Henry Thonier (pages 10 et 121 de son ouvrage) propose des abaques ou un tableau pour permettre de déterminer ce coefficient :
CNAM CCV109 – Béton armé
27
ATTENTION, que l’on redistribue ou pas les moments sur appuis, l’EC2 indique que dans le cas d’une poutre sur appui monolithique, on peut prendre en compte le moment au nu de l’appui sous réserve que ce dernier soit au moins égal à 65% du moment d’encastrement. 18.9.2. Imperfections géométriques L’EC2 (article 5.2) indique clairement quelles sont les cas ou l’on doit considérer les imperfections géométriques. Ces imperfections géométriques ne sont à considérer que dans deux cas de figure : Pour un dimensionnement ELU (pas d’imperfections géométriques pour un dimensionnement ELS). Dans le cas d’éléments soumis à une compression axiale. Les valeurs données ci-dessous sont associées à des tolérances normales d’exécution (classe 1 de la norme EN 13670). Les imperfections géométriques se traduisent par une inclinaison
θ i = θ 0 .α h .α m
θ0
θi
:
Avec : Valeur de base qui est fixée à 1/200 pour l’EC2 de base et l’annexe nationale
française.
αh
: coefficient qui est fonction de la longueur de l’élément :
αh =
2 avec L
2 ≤ α ≤ 1. h 3
αm
: coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments :
α m = 0,51 +
1 m
Les valeurs de L et m sont définies dans les schémas et tableaux suivants (issus de l’ouvrage de Henry Thonier) :
CNAM CCV109 – Béton armé
28
Ces schémas se traduisent par le tableau suivant :
La prise en compte de ces imperfections peut se faire soit en ajoutant une excentricité (pour les éléments isolés), soit en ajoutant des charges supplémentaires.
CNAM CCV109 – Béton armé
29
Ces différentes possibilités sont résumées dans le tableau suivant (issu de l’ouvrage de Henry Thonier):
18.9.3. Tables de compression
18.9.3.1. Définition L’EC2 (chapitre 5.3.2.1) définit la largeur prendre en compte.
participante des tables de compression que l’on peut
Cette largeur efficace dépend de plusieurs paramètres: • Dimensions de l'âme. • Dimensions de la dalle. • Cas de charge. • Portée de la poutre. • Conditions d'appuis. • Armatures transversales. Avant toute chose, il convient de considérer le schéma suivant qui donne les distance l0 entre points de moment nul :
ATTENTION, la portée L3 de la console ne doit pas dépasser la moitié de la travée adjacente. De plus, le rapport des portées de deux travées adjacentes doit être compris entre 2/3 et 1,5. De plus, l'EC2 indique que dans les cas courants (poutres continues de bâtiment), il peut être considéré une largeur de table constante sur toute la longueur de la poutre en adoptant alors la valeur en travée. Le schéma précédent se résume donc à trois valeurs : L0= 0.85L en travée de rive. L0= 0.70L en travée intermédiaire.
CNAM CCV109 – Béton armé
30
L0= L en console.
Pour les poutres en T ou en L, la largeur efficace beff de la table peut-être calculée à partir de la formule suivante:
beff = Σbeff ,i + bw ≤ b Avec
beff ,i = 0.2bi + 0.1l0 ≤ 0.2l0 Tout en vérifiant
beff ,i ≤ bi
Les différentes notations sont expliquées dans la figure ci-dessous:
CNAM CCV109 – Béton armé
18.9.3.2. Exemple de détermination de largeur de table. Prenons par exemple la poutre suivante :
On cherche à déterminer les largeurs des tables de compression de la file B. Les portées doivent être considérées entre-axe, donc : Travée 1 => L1= 5.80 m => L0= 0.85*5.8= 4.93 m Travée 2 => L2= 6.10 m => L0= 0.70*6.1= 4.27 m Travée 3 => L3= 5.80 m => L0= 0.85*5.8= 4.93 m Largeur table – Travée 1 bw= 0.30m b1=2 m et b2= 2.50 m et b= 4.50 m 0.2*L0= 0.986 m
beff ,1 = 0.2b1 + 0.1l0 = 0.2 * 2 + 0.1 * 4.93 = 0.893m
beff , 2 = 0.2b2 + 0.1l0 = 0.2 * 2.5 + 0.1 * 4.93 = 0.993m => on retient beff , 2 = 0.986m
beff = beff ,1 + beff , 2 + bw = 0.893 + 0.986 + 0.30 = 2.179m ≤ b
Largeur table – Travée 2 bw= 0.30m b1=2 m et b2= 2.50 m et b= 4.50 m 0.2*L0= 0.854 m
beff ,1 = 0.2b1 + 0.1l0 = 0.2 * 2 + 0.1 * 4.27 = 0.827m
31
CNAM CCV109 – Béton armé
32
beff , 2 = 0.2b2 + 0.1l0 = 0.2 * 2.5 + 0.1 * 4.27 = 0.927m => on retient beff , 2 = 0.854m
beff = beff ,1 + beff , 2 + bw = 0.827 + 0.854 + 0.30 = 1.981m ≤ b
Via ces deux exemples, on voit que les tables de compression de l’EC2 sont beaucoup plus importantes que celle du BAEL.
18.9.4. Flexion simple Le dimensionnement en flexion simple à l’ELU suit les mêmes principes que le dimensionnement BAEL avec les particularités suivantes : On peut utiliser une loi de comportement avec une branche plastique inclinée (voir paragraphe précédent). L’allongement max des aciers est très supérieur à celui du BAEL, ce qui fait disparaître le pivot A. Ainsi, même pour une section ayant une hauteur comprimée très faible, on peut considérer un raccourcissement du béton de 3,5‰. Pour le reste, le dimensionnement en flexion est le même que celui du BAEL.
18.9.4.1. Section sans aciers comprimées Le calcul d’une section rectangulaire sans aciers comprimés se fait en écrivant les mêmes conditions d’équilibre que celles du BAEL avec des notations différentes :
Attention, le diagramme ci-dessus n’est valable que pour des bétons inférieurs à 50 MPa
x = ξ .d
La position de l’axe neutre de la poutre est notée
On part du diagramme rectangulaire simplifié de hauteur 0,8x.
L’équilibre de cette section suit les mêmes principes que ceux qui ont été abordés au chapitre du dimensionnement des sections en flexion simple BAEL. Le calcul des armatures se fait de la façon suivante :
On détermine le moment à reprendre
M Ed
CNAM CCV109 – Béton armé
33
µ=
M Ed b.d ². f cd
On calcul le moment réduit de la section :
On calcul la position de l’axe neutre :
On calcul le bras de levier entre le centre de gravité du béton comprimé et les armatures tendues : z = d (1 − 0,4ξ ) .
On calcul la section d’acier à mettre en place :
ξ = 1,25(1 − 1 − 2 µ )
A=
M Ed z.σ s
Une remarque très importante concernant la contrainte limite sur les aciers tendus
σs
: l’EC2 permet
de prendre en compte une loi élasto-plastique avec une droite inclinée et donc de définir une contrainte limite sur les aciers tendus qui dépend de l’allongement de ces derniers. Pour mesurer l’influence de ce choix, nous allons calculer la même poutre de deux façons différentes : er Un 1 calcul en considérant une loi de comportement de l’acier avec un palier plastique horizontal. ème Un 2 calcul en considérant une loi de comportement avec un palier incliné.
Exemple de calcul BAEL Prenons la poutre suivante : Section : b= 40cm, h= 80cm, d=72cm et d’=4 cm. La longueur entre appuis est de 5,50m. Fissuration peu préjudiciable. Matériaux : o Béton : Fc28= 25 Mpa. o Acier : Fe= 500 Mpa. La poutre est soumise à une charge ponctuelle appliquée à mi-travée : o G= 150 KN o Q= 250 KN Durée d’application des charges supérieure à 24H
On a le calcul suivant : Calcul du moment de flexion max ELU :
P.l (1,35 × 150 + 1,5 × 250) × 5,50 = = 794 KN .m 4 4 Mu 0,794 Calcul du moment réduit : µ b = = = 0,270 bd ² Fbu 0,40 × 0,72² × 14,17 o
Mu =
Calcul de α :
[
]
[
]
α u = 1,25 1 − (1 − 2µb ) = 1,25 1 − (1 − 2 × 0,270) = 0,331
CNAM CCV109 – Béton armé
34
Calcul du bras de levier zb :
Calcul
z b = d (1 − 0,4α ) = 0,72(1 − 0,4 × 0,331) = 0,625m
de
la
section
d’armatures :
Mu 0,794 Au = = = 29,22.10 − 4 m ² = 29,22cm ² z b Fed 0,625 × 434,78
On peut mettre en place 3 lits de 5HA16 (30,16cm²)
Exemple de calcul EC2 avec palier horizontal Le calcul à l’EC2 est identique à celui du BAEL avec une légère différence sur la contrainte maxi du béton et une portée de calcul prise entre axe des appuis :
f cd = α cc .
Résistance du Béton C25/30 :
Calcul du moment de flexion max ELU :
M Ed =
o
f ck
=
γc
25 = 16,67 MPa 1,5
P.l (1,35 × 150 + 1,5 × 250) × 5,90 = = 852 KN .m 4 4
µ =
M Ed 0,852 = = 0,246 bd ² Fcd 0,40 × 0,72² × 16,67
Calcul du moment réduit :
Calcul de ξ :
Calcul du bras de levier zb :
Calcul de la section d’armatures :
Au =
[
]
[
]
ξ = 1,25 1 − (1 − 2µ ) = 1,25 1 − (1 − 2 × 0,246) = 0,359 zb = d (1 − 0,4ξ ) = 0,72(1 − 0,4 × 0,359) = 0,617 m
M Ed 0,852 = = 31,76.10− 4 m ² = 31,76cm ² zb .σ s 0,617 × 434,78
On peut mettre en place 5HA20 + 5HA16 + 5HA14 (33,46cm²)
Exemple de calcul EC2 avec palier incliné Pour déterminer la contrainte limite
σ s sur
les aciers tendus, il faut déterminer l’allongement des
aciers tendus. Pour cela, on considère un raccourcissement du béton de 3,5‰. On a donc
ε S = 3,5
d −x 1− ξ 1 − 0,359 = 3,5 = 3,5 = 6,25‰ x ξ 0,359
On vérifie que cette valeur reste inférieure à
0,9ε uk , soit 0,9*25=22,5‰ pour l’acier le moins ductile.
On détermine ensuite si l’on se situe sur la branche plastique :
CNAM CCV109 – Béton armé
ε s0 =
k=
f yd =
f yk ES
=
35
434,78 = 2,175‰ => on est bien dans le domaine plastique. 200000
On a donc :
f tk = 1,05 d’après le tableau 2.1 de l’annexe C de l’EC2 (acier de classe A) f yk
f yk (k − 1)(ε S − ε S 0 ) 500 0,05(6,25 − 2,175) 1 + = 1 + = 438,66MPa (ε uk − ε s 0 ) 1,15 (25 − 2,175) γ S
On en déduit ensuite la section d’armature correspondante :
Au =
M Ed 0,852 = = 31,47.10 − 4 m ² = 31,47cm ² zb .σ s 0,617 × 438,66
18.9.4.2. Section avec aciers comprimés Les critères de mise en place des aciers comprimés sont les mêmes que le BAEL. On a donc deux critères possibles : Le moment réduit limite. Le moment réduit critique. Moment réduit limite Le moment réduit limite correspond au moment limite pour lequel l’allongement sur les aciers est inférieur à la valeur limite du palier plastique, notée ε s 0 :
ε s0 =
αl =
f yk
γ s .E S
=
f yd Es
εb
.
3,5 3,5 + (ε s 0 *1000)
µl = 0,80.α l .(1 − 0,4α l ) A
ε s0
B 3,5° / °°
CNAM CCV109 – Béton armé
36
On voit donc que le moment réduit limite dépend de la nuance de l’acier. On a donc les valeurs du tableau ci-dessous qui sont les mêmes que celles du BAEL91 : Classe de l’acier
εl
αl
µl
B400
1,739
0,668
0,392
B500
2,174
0,617
0,372
Moment réduit critique Le problème du moment réduit limite est qu’il conditionne la présence d’aciers comprimés uniquement à l’allongement des aciers tendus. Ce qui veut dire qu’il est fort probable que la poutre rencontre ensuite un dépassement des contraintes limites de compression sur le béton (à l’ELS). Pour éviter ce problème, on peut utiliser un autre critère de détermination de la présence ou non d’aciers comprimés => l’utilisation du moment réduit critique. Dans ce cas, le moment critique à utiliser est le même que celui du BAEL91, avec les notations EC2.
Le moment réduit ultime µ lu dépend du rapport γ =
Mu ainsi que des caractéristiques des matériaux MS
acier et béton. Il existe des tables donnant des valeurs précises de µ lu
CNAM CCV109 – Béton armé
37
On dispose également de formules approchées : Pour les aciers Fe500 et fc28≤ 30 Mpa : 10 4 .µ lu = 3220.θ.γ + 51
f c 28 − 3100 θ
Pour les aciers Fe400 et fc28≤ 30 Mpa : 10 4 .µ lu = 3440.θ.γ + 49
f c 28 − 3050 θ
Si fc28 > 30 Mpa il faut utiliser les valeurs tirées des tableaux précédents. Dans une première approximation on peut retenir également : Fe400: µ lu = 0,30.θ Fe500: µ lu = 0,27.θ
18.9.4.3. Dimensionnement à l'E.L.S Le dimensionnement ELS de l’EC2 est basé sur les mêmes principes que le BAEL avec les particularités suivantes : La résistance est prise égale à 0.6Fck pour éviter les fissures longitudinales. Cependant, c’est une nouveauté de l’EC2, il est possible d’aller au-delà de cette limite si les ouvertures des fissures restent acceptables. De plus, l’EC2 impose de prendre en compte le retrait dans le cas d’un dimensionnement ou d’une vérification à l’ELS. Dans ce cas, pour se dispenser de calculer les effets nonlinéaires du fluage, on limite la contrainte de béton à 0.45Fck . Sur l’acier, il n'y a plus de limites en fonction du type de fissuration (peu préjudiciable, préjudiciable ou très préjudiciable). On prend toujours 0,8fyk comme limite pour l'acier soit 400 MPa pour un B500. Par contre, un chapitre important de l'EC2 concernant la maîtrise de l'ouverture des fissures. Par conséquent, des vérifications complémentaires consistent à limiter l'ouverture des fissures : Par des dispositions constructives visant à limiter l'ouverture des fissures (§ 7.3.3 de l'EC2) => voir paragraphe plus loin dans le document. Par un calcul exact de l'ouverture des fissures (§ 7.3.4 de l'EC2) et comparaison avec l'ouverture limite qui est fonction de la classe d'exposition (articles 4.2 et 7.3 de l'EC2) => voir paragraphe plus loin dans le document.
18.9.4.4. Vérification à l'E.L.S Tout comme au BAEL, le calcul des contraintes doit se faire en considérant une section homogène. Pour cela, le BAEL utilise un coefficient d’équivalence, noté n, et qui vaut n= 15 quelque soit le type de charges considérées. Dans la réalité, ce coefficient n’est pas constant et varie en fonction du type de combinaison étudiée. Par exemple, le module E de l’acier est de 200 000MPa et celui du béton armé peut prendre deux valeurs : Environ 30000 MPa à court terme. Environ 10000 MPa à long terme. On a donc un coefficient d’équivalence, noté α selon l’EC2, qui varie entre 6.7 (court terme) et 20 (long terme).
CNAM CCV109 – Béton armé
38
L’EC2 indique qu’il faut calculer la valeur de ce coefficient α, pour chaque projet, à partir des formules suivantes :
On détermine un module de béton
Ec =
Ecm avec ϕ e qui représente le coefficient de 1 + ϕe
fluage à long terme et qui est fonction du rapport des charges quasi-permanentes (ϕe
= ϕ (∞; t0 ).
M Eqp M Ed
).
On calcul ensuite le coefficient
α=
ES Ec
ATTENTION, en France, ces règles professionnelles conseillent de prendre une valeur constante égale à 15 (comme le BAEL). => il faut donc prévoir une option au niveau de l’interface utilisateur. Le calcul des contraintes se fait de manière identique au BAEL.
18.9.5. Flexion composée On peut ici appliquer les mêmes procédures que pour le BAEL avec cependant les mêmes remarques concernant les notations et les valeurs caractéristiques de chaque matériaux.
18.9.6. Epure d'arrêt des barres (§9.2.1.3) Pour effectuer l'épure d'arrêt des barres, on utilise une courbe enveloppe qui s'obtient en décalant horizontalement de "al" la courbe. "al" dépend de la méthode qui a été employé pour calculer les armatures d'effort tranchant:
al =
z (1 − cot gα ) 2
Si on a utilisé la méthode standard:
Si on a utilisé la méthode de l'inclinaison variable des bielles:
Avec:
al =
z (cot gθ − cot gα ) 2
Z= 0,9D α: angle formé entre l'armature d'effort tranchant et l'axe longitudinal θ: angle formé entre les bielles de béton et l'axe longitudinal
CNAM CCV109 – Béton armé
39
L'épure est résumée sur la figure suivante :
⇒ Pour les barres relevées qui participent à l'effort tranchant, les longueurs ne doivent pas être inférieures à 1,3 lbd dans la zone tendue et 0,7 lbd dans la zone comprimée. 18.9.7. Cisaillement Table – Nervure (§6.2.4). Ce chapitre de l’EC2 concerne ce que l’on appelle communément les « aciers de couture » dans le cas d’une section en Té.. L’ensemble de la zone comprimée (par équilibre de la section) doit reprendre l’effort normal
M Ed . z
On peut donc considérer que les ailes reprennent un effort au prorata de la largeur du débord, soit
beff − bw
2.beff Ce qui veut dire que le débord de la table de compression reprend un effort
FEd =
M Ed beff − bw . . z 2.beff
CNAM CCV109 – Béton armé
40
v Ed , qui est due à une variation du moment de flexion (et donc de l’effort normal résultant sur la zone comprimée) sur une longueur ∆x :
L’EC2 définit une contrainte de cisaillement notée
On a donc : v Ed
=
∆Fd 1 ∆M Ed beff − bw = . (h f .∆x ) (h f .∆x ) z . 2.beff .
Pour éviter un écrasement du béton dans les bielles de compression, cette contrainte ne doit pas dépasser la valeur limite suivante : v Ed
En fonction de l’angle
θf
f ≤ v. f cd . sin θ f . cos θ f avec v = 0,61 − ck . 250
d’inclinaison des bielles dans la membrure, la quantité nécessaire
d’armatures peut être calculée (en cm²/ml) à partir de la formule suivante :
Asf sf
=
v Ed .h f f yd . cot θ f
Avec une quantité minimale d’armatures correspondant à :
Asf sf
≥ 0,08h f .
f ck f yk
L’EC2 précise que la longueur maximale de ∆x est égale à la moitié de la distance entre l’abscisse de moment nul et l’abscisse de moment max. L orsque la poutre supporte des charges ponctuelles, il faut plafonner cette valeur à la distance entre deux charges ponctuelles. ATTENTION, il n’est pas nécessaire de mettre en place d’aciers de couture si v Ed 0,4 pour l’EC2 de base et le DAN France).
≤ k . f ctd (k=
CNAM CCV109 – Béton armé
41
Lorsque la poutre comporte des aciers de flexion transversale (exemple des aciers de chapeaux de la dalle), on peut disposer les sections suivantes :
Asf Asf max ;0,5. + As sf s f
As (flexion de la dalle)
Pour simplifier les calculs et ne pas déterminer les aciers de couture en tout point de la poutre, il est possible de considérer la contrainte constante sur une certaine longueur. L’EC2 spécifie de prendre en compte cette contrainte constante sur quatre zones entre les points de moments nuls, suivant le schéma suivant :
REMARQUE IMPORTANTE Théoriquement, la longueur de la zone où la table est comprimée est fonction du cas de charge. Pour simplifier les calculs, on peut retenir les valeurs suivantes (telles que décrites à l’article 5.3.2.1) : En travée de rive (sans console), une longueur de 0,85Leff à partir de l’appui de rive. En travée intermédiaire, une longueur de 0,70Leff.
CNAM CCV109 – Béton armé
42
18.9.8. Dispositions constructives spécifiques aux poutres
18.9.8.1. Armatures longitudinales (§9.2.1.1) Pourcentages minimaux et maximaux L’article 9.2.1.1 de l’EC2 indique que la section d’armatures longitudinales d’une poutre ne doit pas être inférieure à une quantité As ,min définie par la formule suivante :
As ,min = 0.26
f ctm bt .d ≥ 0,0013.bt .d f yk
bt représente la largeur moyenne de la zone tendue.
La section d’armatures longitudinales ne doit pas dépasser la valeur maximale As ,max définie par As ,max
= 0,04. Ac , soit 4% de la section de béton.
Disposition des armatures (§5.4.2.1.2) Dans le cas d'une poutre continue, les aciers tendus des appuis intermédiaires peuvent être réparties sur toute la largeur de la poutre (largeur de table incluse) et non pas uniquement sur la largeur de la membrure. Cette répartition ne peut se faire une distance supérieure à la demi-largeur de la membrure (voir dessin ci-après).
CNAM CCV109 – Béton armé
43
18.9.8.2. Ancrage des armatures inférieures Ancrage des armatures inférieures sur un appui de rive (§9.2.1.4) L’EC2 (texte de base) indique qu’au droit des appuis de rive qui ne sont pas encastrés, il est nécessaire de disposer au moins un quart de la section d'acier en travée. Cependant, l’annexe nationale française stipule qu’il n’est pas nécessaire de mettre cette quantité d’acier en place sous réserve de vérifier la condition ci-dessous. L'ancrage des armatures doit résister à une force de traction qui vaut:
FE =
VEd × al M + N Ed + Ed z z
Avec :
N Ed : effort normal agissant sur l’appui.
VEd : effort tranchant au droit de l’appui.
M Ed : moment de flexion au droit de l’appui, concomitant à l’effort normal.
La longueur d'ancrage se mesure à partir du nu de l'appui et doit être au moins égale à Lbd :
Ancrage d'armatures inférieures sur appui intermédiaire (§9.2.1.4) L’aire de la section à ancrer est calculée avec la même formule que les appuis de rive. L'ancrage doit avoir une longueur au moins égale à 10φ (pour les barres rectilignes) ou au moins égale au diamètre du mandrin (pour les crochets et les coudes) pour des diamètres supérieurs à 16mm ou deux fois le diamètre du mandrin dans les autres cas. De plus, il faut assurer une continuité des armatures au moyen de recouvrements, tels qu’indiqués sur le schéma suivant :
CNAM CCV109 – Béton armé
44
18.9.8.3. Armatures transversales (§9.2.2) Pourcentage minimum La quantité minimale d’armatures transversales peut varier selon les différentes annexes nationales de chaque pays. L’EC2 de base indique la valeur suivante :
0,08 f ck Asw ≥ ρ w,min .bw . sin α avec ρ w,min = . s f yk
L’annexe française indique :
Asw ≥ 0,08.bw . sin α s
Espacement maxi Les armatures d’effort tranchant peuvent être composées d’une combinaison de : Cadres, étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales. Barres relevées. Cadres ouverts, échelles ou épingles.
L’espacement max des armatures transversales ne doit pas dépasser :
st ,max = 0,75d (1 + cot α ) pour les cadres, étriers ou épingles.
st ,max = 0,6d (1 + cot α ) pour les barres relevées.
De plus, pour un même cadre (par exemple pour les dalles), l’espacement des aciers intérieurs ne doit pas dépasser 0,75d. Dans le cas ou il existe des armatures longitudinales comprimés, ces dernières doivent être maintenues par des armatures transversales espacées au plus de 15φ L .
CNAM CCV109 – Béton armé
45
18.10. Application des EC2 au calcul des poteaux Dans le texte de base, l’EC2 ne prévoit pas de méthode équivalente à la méthode simplifiée du BAEL91, pour les poteaux en compression simple. Par contre, les « règles professionnelles » prévoient une méthode simplifiée applicable aux sections rectangulaires et circulaires => au niveau du logiciel, il faudra prévoir une option pour activer cette méthode et indiquer clairement qu’il s’agit d’une méthode « règles professionnelle » et non pas d’une méthode directement issue de l’EC2. Les « règles professionnelles » sont un ensemble de textes techniques, rédigés par un groupement d’expert, qui viennent en complément de l’EC2. Par contre, l’EC2 décrit plusieurs méthodes pour prendre en compte les effets du second ordre dans les poteaux élancés. On peut donc lister au total 4 méthodes différentes : Formules simplifiées des règles professionnelles. Méthode générale (§5.8.6). Méthode de la rigidité nominale (§5.8.7). Méthode de la courbure nominale (§8.8.8). La méthode de la rigidité nominale peut être utilisée à la fois pour les éléments isolés et pour les structures complètes. La méthode de la courbure nominale (proche de la méthode BAEL) convient plus aux éléments isolés.. 18.10.1.
Imperfections géométriques
Quelque soit la méthode appliquée (hors méthode simplifiée), pour le calcul local des éléments, il convient de prendre en compte les imperfections géométriques, uniquement à l’ELU. Pour cela, on prend en compte une excentricité initiale définie par :
L ei = max 400 2cm La valeur de « 2cm » correspond est issue de l’annexe nationale française et est susceptible d’être modifiée dans les documents d’application nationale dans les autres pays. 18.10.2.
Prise en compte des effets du second ordre.
18.10.2.1.
Cas général
L’EC2 indique certains cas dans lesquels il n’est pas nécessaire de prendre en compte les effets du second ordre : « Les effets du second ordre peuvent être négligés s’ils représentent moins de 10% des er effets du 1 ordre » conformément à l’article 5.8.2(6) => il est quasiment impossible d’informatiser cela, c’est à l’utilisateur de le vérifier s’il impose par exemple la méthode simplifiée. Pour un élément isolé (§5.8.3.1), on peut négliger les effets du second ordre si l’élancement de l’élément est inférieur à une valeur limite notée λlim définie par : o
λlim =
20. A.B.C n
CNAM CCV109 – Béton armé
N Ed représente l’effort normal relatif Ac . f cd
o
n=
o
.A= à
o
46
1 (1 + 0,2.ϕ ef ) , si ϕ ef n’est pas connu, on peut prendre 0,7 (ce qui correspond
ϕ ef = 2 ).
B = 1 + 2ω avec ω =
As . f yd Ac . f cd
(ratio mécanique d’armatures). Si
ω n’est
pas
connu, on peut prendre une valeur de B= 1,1. Au niveau du logiciel, on peut considérer que la vérification avant calcul sera faite en prenant B=1,1 puis on refait une vérification après calcul pour vérifier si B n’est pas inférieure à 1,1 (ce qui nous donnerait un élancement limite plus petit. o
C = 1,7 − rm avec rm =
M 01 er (rapport des moments du 1 ordre). Si rm n’est pas M 02
connu, on peut prendre C=0,7.
M 01 , M 02 sont les moments du 1er ordre, tels que M 02 ≥ M 01 .
Si les moments provoquent des tractions sur la même face, il convient de prendre rm positif (ce qui donne C ≤ 1,7 ) et de prendre un signe négatif dans le cas contraire (donc C
> 1,7 ).
En compression simple, on prend en général rm
= 1.
Dans le cas d’une flexion composée déviée, il faut faire cette vérification dans les deux directions.
18.10.2.2.
Cas des bâtiments (§5.8.3.3)
On peut négliger les effets globaux du second ordre dans un bâtiment si on satisfait la condition suivante :
Fv , Ed ≤ k1 .
ns ∑ Ecd .I c . n s + 1,6 L²
Avec :
Fv , Ed qui représente la charge verticale totale.
n s représente le nombre d’étages.
L est la hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d’encastrement du moment.
E cd est la valeur de calcul du module d’Young du béton (voir description de la méthode générale).
I c est l’inertie (en section non fissurée) des éléments de contreventements. Attention à bien calculer cette inertie dans le plan de contreventement.
L’EC2 propose de prendre k1 = 0,31 mais indique que ce coefficient peut être modifié dans l’annexe nationale de chaque pays (l’annexe Française propose également de prendre k1 = 0,31 ).
S’il est possible de démontrer que les éléments de contreventements restent en inerties non-fissurées, on peut remplacer le coefficient k1 par un coefficient k 2 = 0,62 (valeur proposée par l’EC2 et le DAN France, et qui peut être modifiée).
CNAM CCV109 – Béton armé
47
ATTENTION, cette vérification n’est applicable que sous certaines conditions : L’instabilité en torsion n’est pas dominante (structure « raisonnablement » symétrique). Les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables. C’est le cas par exemple d’un bâtiment contreventés par voiles sans grandes ouvertures). Les éléments de contreventement sont encastrés à la base (rotations négligeables). La charge verticale totale augmente régulièrement à chaque étage. 18.10.3.
Longueurs de flambement (§5.8.3.2).
L’EC2, tout comme le BAEL, présente deux façons de déterminer les longueurs de flambement : Longueurs de flambement forfaitaire, dans le cas des éléments isolés de section constante. Calcul exact de la longueur de flambement en fonction des coefficients de rigidité aux deux extrémités. Longueurs forfaitaires Les longueurs de flambement forfaitaire sont les mêmes que celles utilisées au BAEL :
Calcul exact de la longueur de flambement Cette méthode est très proche de la méthode dite des coefficients « Ka-Kb ». On distingue deux cas de figure pour le calcul de la longueur de flambement, notée l0 :
Eléments contreventés – structure à nœuds fixes (schéma « f » ci-dessus) :
k1 k2 .1 + L0 = 0,5.L. 1 + 0,45 + k1 0,45 + k 2
Eléments non-contreventés – structure à nœuds déplaçables (schéma « g » ci-dessus) :
k .k 1 + 10. 1 2 k1 + k 2 L0 = L. max 1 + k1 .1 + k 2 1 + k1 1 + k 2
CNAM CCV109 – Béton armé
48
ATTENTION, contrairement aux notations utilisées au BAEL, le terme L0 représente la longueur de flambement de l’élément et non pas la hauteur libre qui correspond à L . Les coefficients k1 et k 2 sont les coefficients de souplesse relatifs des encastrements partiels :
k=
M EI
θ
, avec :
L
θ
EI : rigidité en flexion de l’élément comprimé. L : longueur libre de l’élément comprimé.
: rotation des éléments s’opposant à la rotation pour un moment fléchissant M.
Dans le cas d’une ossature avec des poutres et des poteaux au droit du nœud considéré, le coefficient k peut également s’écrire :
I
L
EI EI 2 + L L2 kA = EI 5 EI 6 + L3 L4 EI EI 1 + L L1 kB = EI 3 EI 4 + L3 L4
C’est le rapport des rigidités verticales sur les rigidités horizontales.
CNAM CCV109 – Béton armé
18.10.4.
49
Méthode simplifiée (règles professionnelles).
La méthode simplifiée s’applique sous deux conditions : Sollicitation en compression centrée. Elancement inférieur à 120. Les formules à utiliser sont les suivantes (issues du livre de Thonier – page 283) :
α = [32 / λ ]1,3
REMARQUE : Si on ne connaît pas les valeurs de ρ et δ, on peut prendre
(1 − 6.ρ .δ ) = 0,95 .
CNAM CCV109 – Béton armé
18.10.5.
50
Fluage effectif (§5.8.4)
L’EC2 indique qu’il est possible de prendre en compte, de façon simplifiée, les effets du fluage en calculant un coefficient de fluage effectif :
ϕ ef = ϕ (∞, t0 ).
M 0 Eqp M 0 Ed
Avec :
ϕ ( ∞, t 0 )
M 0 Eqp est le moment fléchissant du 1er ordre pour la combinaison quasi-permanente
est la valeur finale du coefficient de fluage (voir chapitre correspondant).
(ELS).
M 0 Ed est le moment fléchissant du 1er ordre sous combinaison ELU.
L’effet de fluage peut être ignoré ( ϕ ef
= 0 ) si on vérifie les 3 conditions suivantes :
ϕ ( ∞, t0 ) ≤ 2 .
λ ≤ 75
M 0 Ed ≥ h , ou h représente la hauteur de la section dans le sens d’application du moment N Ed er
du 1 ordre.
18.10.6.
Méthode générale.
Le principe de cette méthode est le même que la méthode de Faessel ou la méthode dite de l’équilibre : il consiste à rechercher des déformations qui satisfont l’équilibre « excentricité agissante = excentricité résistante ». On peut donc utiliser la méthode de l’équilibre du BAEL en prenant les hypothèses suivantes : Pour le béton armé, on utilise le diagramme non-linéaire (formule de Sargin simplifiée). Pour l’acier, on peut utiliser, au choix, un diagramme constant ou un diagramme incliné. On prend en compte les effets du fluage multipliant l’axe des déformations par le coefficient (1 + ϕ ef ) . 18.10.7.
Méthode basée sur la rigidité nominale
Le but est de déterminer une rigidité en flexion, en tenant compte de différents effets : Effets de la fissuration. Effets de la non-linéarité des matériaux. Effets du fluage. Puis de déterminer une amplification du moment correspondante.
CNAM CCV109 – Béton armé
18.10.7.1.
51
Rigidité nominale
On estime la rigidité à partir de la formule suivante : EI
= K c . E cd . I c + K s . E s . I s .
Avec :
E cd =
E cm
γ cE
est la valeur de calcul du module d’élasticité du béton ( γ cE
= 1,2 pour l’EC2 de
base et le DAN français).
I c : inertie de la section de béton.
E s : module d’élasticité de l’acier.
I s : inertie des armatures par rapport au centre de gravité de la section de béton.
K c est un coefficient qui tient compte des effets de fissuration et du fluage du béton : o
Kc =
o
k1 =
k1 .k 2 1 + ϕ ef f ck N Ed λ (MPa) et k 2 = n. ≤ 20 avec n = . 20 170 Ac . f cd
Dans le cas de sections entièrement fissurées, il faut utiliser le module effectif du béton :
Ecd ,eff =
Ecd . (1 + ϕ ef ) 18.10.7.2.
Coefficient de majoration des moments
Le moment total, incluant les effets du second ordre, est défini comme une valeur majorée du moment er du 1 ordre :
M Ed
β = M 0 Ed .1 + NB − 1 N Ed
β est un coefficient qui dépend de la distribution des moments du 1er ordre et du 2nd ordre. Dans le cas d’élément isolé, de section constante et soumis à un effort normal constant, on peut déterminer ce coefficient à l’aide de la formule suivante :
β=
π² c0
er
Le coefficient c0 dépend de la distribution du moment du 1 ordre :
c0 = 8 si le moment est constant.
c0 = 9,6 pour une distribution parabolique.
c0 = 12 pour une distribution triangulaire symétrique.
Dans le cas des éléments non soumis à une charge transversale, on prend également c0 = 8 .
CNAM CCV109 – Béton armé
52
Dans le cas ou un élément ne rempli pas les conditions précédentes (section variable, effort normal variable, répartition de moment autres…), on prend β = 1 . On a alors la formule :
M Ed =
M 0 Ed N 1 − Ed NB
L’effort N B représente la charge de flambement (charge critique d’Euler) basée sur la rigidité nominale. On utilise ensuite ce moment de calcul pour faire un dimensionnement en flexion composée, le plus souvent en section entièrement comprimée (diagrammes d’interaction). On voit bien que le calcul doit être itératif car il faut connaître la section d’armature pour pouvoir déterminer la rigidité nominale et donc les efforts du second ordre.
18.10.8.
Méthode basée sur la courbure nominale.
Cette méthode donne une valeur approchée par excès de la déformée du 2
18.10.8.1. Le moment de calcul vaut : M Ed
nd
ordre.
Moment de calcul = M 0 Ed + M 2
M 0 Ed : moment du 1er ordre incluant les imperfections géométriques.
M 2 : Moment nominal du second ordre.
Lorsque l’élément est soumis à deux moments différents (à chacune de ses extrémités), on peut les remplacer par un moment équivalent : M 0 e
= 0,6.M 02 + 0,4.M 01 ≥ 0,4. M 02 avec ( M 02 ≥ M 01 ).
Il faut prendre les moments M 01 et M 02 de même signe s’ils provoquent la traction sur la même face et de signes opposés dans le cas contraire. Le moment
M 2 est calculé à partir de la courbure : M 2 = N Ed .e2
N Ed : effort normal agissant de calcul.
1 L20 e2 = . r c L0 : longueur de flambement.
On prend c=8 si le moment est constant, c= 10 dans les autres cas.
CNAM CCV109 – Béton armé
53
18.10.8.2.
Calcul de la courbure
Pour déterminer la courbure à partir de la formule ci-dessous, il faut que la section droite soit constante et que le ferraillage soit symétrique :
1 1 = K r . Kϕ . r r0
ε yd f yd 1 = avec ε yd = Es r0 (0,45.d )
K r : coefficient de correction dépendant de l’effort normal => K r =
nu − n ≤1 nu − nbal
N Ed Ac . f cd
o
n=
o
nu = 1 + ω
o
ω=
As . f yd Ac . f cd
Kϕ : coefficient qui tient compte du fluage => Kϕ = 1 + β .ϕ ef ≥ 1 o
β = 0,35 +
f ck λ − 200 150
De la même façon, on utilise ensuite ce moment de calcul pour faire un dimensionnement en flexion composée, le plus souvent en section entièrement comprimée (diagrammes d’interaction). On voit bien que le calcul doit également être itératif car il faut connaître la section d’armature pour pouvoir déterminer la courbure nominale et donc les efforts du second ordre. 18.10.9.
Cas particulier de la flexion déviée (§5.8.9)
L’article 5.8.9 de l’EC2 donne une démarche claire dans le cas d’une section en flexion déviée : On fait d’abord un calcul en flexion composée, dans chaque plan, en tenant compte des nd effets du 2 ordre mais en ne considérant les imperfections géométriques que dans la direction où elles ont l’effet le plus défavorable. On vérifier ensuite deux conditions (voir EC2). Si ces deux conditions sont respectées, pas de calcul en flexion déviée. Si ces conditions ne sont pas respectées, on redimensionne les sections d’aciers théoriques de façon à satisfaire l’équation donnée en 5.8.9 (4).
CNAM CCV109 – Béton armé
Voici l’extrait correspondant de l’EC2 :
54
CNAM CCV109 – Béton armé
55
. 18.10.10. Dispositions constructives propres aux poteaux
18.10.10.1.
Armatures longitudinales (§ 9.5.2)
Les armatures longitudinales doivent avoir un diamètre minimum de 8mm. Les armatures longitudinales comprimées prises en compte dans le calcul doivent être entourées d'armatures transversales avec un espacement maxi de 15∅long (idem BAEL91). La section mini d'armatures longitudinales doit vérifier:
As ,min = avec:
0,10 N Ed ≥ 0,002Ac Fyd
Fyd: limite élastique de calcul des armatures NEd: force de compression axiale de calcul Ac: aire de la section transversale de béton
La section max d’armatures doit vérifier : As,max= 0,04Ac en dehors des zones de recouvrement As,max= 0,08Ac dans les zones de recouvrement
CNAM CCV109 – Béton armé
18.10.10.2.
56
Diamètre et répartition des armatures transversales
Les armatures transversales (diamètres et espacements) sont définies par les formules suivantes :
6mm
φt ≥ max φlong
4 20 × φlong st ≤ min min(a, b) 400 mm
IMPORTANT: ⇒ L'espacement doit être réduit d'un facteur de 0,6 dans les zones situées au-dessus et au-dessous d'une poutre ou d'une dalle, sur une hauteur égale à la dimension transversale la plus grande du poteau. Cette réduction doit également être faite près des recouvrements si ∅l > 14mm.
18.11. Efforts tranchants L’EC2 distingue : Les éléments pour lesquels aucune armature d’effort tranchant n’est requise (§6.2.2). Il s’agit principalement des dalles ou de tout élément dans lequel une redistribution transversale est possible. Les éléments pour lesquels des armatures d’effort tranchant sont nécessaire (§6.2.3). 18.11.1.
Notations
Les notations utilisées pour la vérification à l’effort tranchant sont les suivantes :
VEd : Effort tranchant de calcul.
VRd ,c : Effort tranchant résistant de calcul en l’absence d’armatures transversales.
VRd , s : Effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures transversales travaillant à la limite d’élasticité.
VRd ,max : Valeur de calcul de l’effort tranchant maximal pouvant être repris par le béton avec écrasement des bielles de compression. 18.11.2.
Effort tranchant résistant du béton
L’effort tranchant résistant du béton est défini par la formule :
VRd ,max =
α cw .bw . z.v1. f cd tgθ + cot gθ
Avec :
θ : angle d’inclinaison des bielles z : bras de levier des forces internes. On peut prendre z=0,9d.
α cw
: coefficient qui tient compte de l’état de contrainte de la membrure comprimé. o
α cw = 1 en flexion simple sans précontrainte.
CNAM CCV109 – Béton armé
o
57
σ α cw = α cw,t = 1 + ct f ctm
σ ct
où
est la contrainte de traction au centre de gravité
dans le cas de la flexion composée avec traction.
v1 : coefficient de réduction de la résistance du béton fissurée à l’effort tranchant : o
f v1 = 0,6 1 − ck 250
v1 peut être modifiée comme suit si on limite la contrainte sur les aciers f yk tendus à f ywd = 0,8. f yk au lieu de : La valeur de
γs
o
v1 = 0.6 pour f ck ≤ 60 Mpa
o
v1 = 0,9 −
f ck > 0,5 pour f ck > 60 Mpa 200
Prenons l’exemple d’une poutre de 0.25*0.70 en béton C25/30, avec des bielles inclinées à 45° :
=
25 = 16.67 Mpa . 1,5
On a f cd
Si on prend f ywd
=
Hauteur utile : d
= 0,9h = 0,63m et z = 0,9d = 0.567m
α cw = 1
VRd ,max =
f yk
γs
=
500 25 = 434.78 , on a v1 = 0,6 1 − = 0,54 1,15 250
car flexion simple.
α cw .bw . z.v1. f cd 0.25 × 0.567 × 0,54 × 16.67 = = 0.638 MN tgθ + cot gθ 2
Si on limite la contrainte des aciers à f ywd
v1 = 0,6
VRd ,max =
= 0,8. f yk , on a :
α cw .bw .z.v1. f cd 0.25 × 0.567 × 0,60 × 16.67 = = 0.709 MN tgθ + cot gθ 2
18.11.3.
Transmissions directe aux appuis
Dans le cas des charges proches des appuis, l’EC2 prévoit une réduction de l’effort tranchant afin de prendre en compte la transmission directe d’une partie de ces charges aux appuis. ATTENTION, il convient de souligner deux points : La réduction de l’effort tranchant n’est pas admise pour la vérification de Vrd,max. Pour info, le BAEL autorisait à prendre en compte l’effort tranchant réduit pour le calcul de τ u .
Cette réduction n’est applicable que s’il y a un ancrage total (et non pas uniquement un ancrage de la section théorique) des aciers longitudinaux aux appuis.
CNAM CCV109 – Béton armé
58
18.11.3.1.
Charges ponctuelles.
Lorsqu’une charge ponctuelle est appliquée à une distance inférieure à 2d (contre 1,5h pour le BAEL) de l’appui, on ne prend en compte qu’une fraction β de ces charges. La distance de la charge à l’appui est notée av. On a alors :
β = max 0,5;
av 2d
Si l’élément nécessite des armatures d’effort tranchant, celles-ci doivent être disposées sur une longueur au moins égale à 0,75 av. Prenons un exemple de comparaison avec le BAEL : une poutre de hauteur 60 cm (d= 54 cm) et de portée 5m, soumise à une charge concentrée Pu= 35KN à 70cm de l’appui.
BAEL91
EC 2
Pu × ( L − a ) = 30 KN L 2a Vu ,red = Vu × 3h 2 × 0.70 Vu ,red = 30 × = 23.33MPa 3 × 0.60 ( 22%)
Pu × ( L − a ) = 30 KN L ( L − a) VEd ,red = Pu × β × L β = Max[0.5; av / 2d ] = Max[0.5;0.70 / 2 × 0.54] = 0.65
Vu =
VEd =
VEd ,red = 35 × 0.65 ×
(5 − 0.70) = 19.6 KN 5
(35%) On voit donc que la réduction de l’EC2 est plus importante que celle du BAEL.
18.11.3.2.
Charge répartie.
Pour une charge répartie, on prend en compte la valeur de l’effort tranchant à l’abscisse d au lieu de 5/6h pour le BAEL.
18.11.4.
Cas des éléments non armés (§6.2.2).
Attention, il s’agit ici des éléments non-armés, c’est-à-dire non soumis au pourcentage minimum d’armatures, à ne pas confondre avec les éléments armés en pourcentage mini. On doit vérifier : VEd
≤ VRd ,c
L’effort tranchant résistant de calcul est donné par la formule suivante :
[
]
VRd ,c = {Max C Rd ,c .k (100.ρ L . f ck )1/ 3 ; vmin + k1 .σ cp }.bw d
Avec
k = 1+
ρL =
200 ≤ 2,0 avec d exprimé en mm. d
AsL ≤ 0,02 avec AsL qui représente la section d’armatures longitudinales bw .d
dépassant le point de calcul d’une distance au moins égale à d (voir schéma ci-dessous).
CNAM CCV109 – Béton armé
59
Attention, cette même section d’armature doit être prolongée au-delà d’une distance au moins égale lbd :
bw représente la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue, exprimée en mm.
σ cp =
N Ed < 0,2 f cd avec : Ac
o
N Ed : effort normal agissant dans la section droite sous l’effet des charges extérieures ou d’une précontrainte, exprimée en Newton.
o
C Rd ,c =
Ac représente l’aire de la section droite de béton, exprimée en mm². 0.18
γc
et
k1 = 0,15 . Ces deux valeurs peuvent être modifiées par l’Annexe
nationale de chaque pays. La valeur de
v min est définie par la formule : v min = 0,035.k 3 / 2 . f ck1/ 2
REMARQUE Dans le cas des dalles, en général faiblement armé, on a souvent le terme
v min qui sert de valeur
plancher. On se rend compte que la valeur de v min est très faible, ce qui amène souvent à augmenter les aciers longitudinaux de la dalle en conséquence. Pour éviter cela, l’annexe nationale donne des valeurs beaucoup moins défavorables. Valeurs de l’annexe française : Vmin Dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale
Poutres et dalles autres que ci-dessus
Voiles * ANF= Annexe Nationale Française.
Valeur ANF*
Vmin =
0,34
Vmin =
0,053
Vmin =
0,35
γc γc γc
. f ck1/ 2
. f ck1/ 2
. f ck1/ 2
CNAM CCV109 – Béton armé
18.11.5.
60
Cas des éléments armés (§6.2.3)
La vérification à faire est la suivante :
Si
VEd ≤ VRd ,c => la section théorique d’armatures transversales est nulle, il faut donc
mettre en place un pourcentage minimum (voir chapitre suivant).
Bien entendu, si
VEd > VRd ,c => mise en place d’armatures transversales.
La modélisation se fait selon la poutre-treillis de Ritter-Mörsch (identique au BAEL) avec un principe de bielles-tirants. La nuance de l’EC2 se situe au niveau de l’inclinaison des bielles qui peut être choisit aléatoirement dans l’intervalle suivant :
Soit θ l’angle d’inclinaison des bielles par rapport à l’horizontale, on a 1 ≤ cot θ ≤ 2,5 ou encore 21.8° ≤ θ ≤ 45° pour des éléments sollicités en flexion simple ou en flexion composée avec compression.
1+
σ ct f ctm
≤ cot θ ≤ 2,5 1 +
σ ct
pour les éléments sollicités en traction pure ou en
f ctm
flexion composée avec traction ( σ ct est la contrainte de traction au centre de gravité de la section de béton).
ATTENTION, l’inclinaison des bielles a des avantages et des inconvénients : En effet, les bielles très inclinées vont réduire la section d’acier théorique mais vont conduire à allonger les armatures longitudinales. o
D’une valeur de
a L = 0,5. z.(cot θ − cot α ) .
L’angle le plus économiques est 45 ° (voir documen t de Thonier, chapitre 1.5 page 203).
Pour le calcul des armatures, on distingue deux cas de figures :
Le cas des armatures transversales verticales (α= 90°) Le cas des armatures transversales inclinées ( 45° ≤ α
18.11.5.1.
< 90° )
Cas des armatures transversales verticales.
L’effort tranchant que peuvent reprendre les armatures verticales vaut :
VRd , s =
Asw . z. f ywd . cot θ s
Le bras de levier z peut être pris égal à 0.9d.
Pour déterminer les armatures à mettre en place, on écrit l’égalité
Asw VEd .tgθ = S z. f ywd
VEd = VRd ,s , ce qui nous donne :
CNAM CCV109 – Béton armé
61
18.11.5.2.
Cas des armatures transversales inclinées.
L’effort tranchant que peuvent reprendre les armatures verticales inclinées vaut :
VRd , s =
Asw . z (cot θ + cot α ). f ywd . sin α s
Pour déterminer les armatures à mettre en place, on écrit l’égalité VEd
= VRd ,s , ce qui nous donne :
Asw VEd = S z. f ywd .(cot θ + cot α ). sin α 18.12. Etat limite d'ouverture des fissures (E.L.S) Comme nous l’avons vu précédemment, l’EC2 n’impose plus de limite de contraintes sur l’acier en fonction du type de fissuration (peu préjudiciable, préjudiciable ou très préjudiciable). Par contre, un chapitre important de l'EC2 concernant la maîtrise de l'ouverture des fissures. Par conséquent, des vérifications complémentaires consistent à limiter l'ouverture des fissures : Par des dispositions constructives visant à limiter l'ouverture des fissures (§ 7.3.3 de l'EC2) Par un calcul exact de l'ouverture des fissures (§ 7.3.4 de l'EC2) et comparaison avec l'ouverture limite qui est fonction de la classe d'exposition (articles 4.2 et 7.3 de l'EC2).
18.12.1.
Limitations des fissures.
Le tableau 7.1N de l’EC2 définit l’ouverture maximum des fissures en fonction de la classe d’exposition :
CNAM CCV109 – Béton armé
18.12.2.
62
Dispositions constructives pour éviter les fissures
Il est possible de s’affranchir d’un calcul exact de l’ouverture des fissures si on respecte un diamètre et un espacement maximum des barres, fonction de la contrainte limite de l’acier que l’on souhaite utiliser :
On voit bien que ces conditions sont très peu économiques, car le diamètre maximum des aciers diminue fortement lorsque l’on augmente la contrainte admissible du matériau. 18.12.3.
Calcul exact de l’ouverture des fissures
Le calcul exact de l’ouverture des fissures est détaillé à l’article 7.3.4 de l’EC2. La largeur de fissure de calcul peut se déduire de la formule suivante:
wk = sr , max (ε sm − ε cm )
wk : ouverture de la fissure calculée.
sr ,max :espacement maximal des fissures.
ε sm : élongation moyenne de l’armature
rigidité du béton tendu, du retrait, etc… ε cm : déformation moyenne du béton entre les fissures.
18.12.3.1.
sous la combinaison de charges appliquées compte-tenu de la
Calcul de Sr,max
L’espacement maximal des fissures est déterminé à partir de la formule :
sr ,max = 3.4c +
0.425.k1.k 2 .φ
ρ p ,eff
ATTENTION, les coefficients 3.4 et 0.425 (respectivement k3 et k4) peuvent être modifiés dans l’annexe nationale de chaque pays.
ρ p ,eff =
As si pas d’armatures de précontrainte. Ac ,eff
CNAM CCV109 – Béton armé
o
63
Ac ,eff : aire effective de béton autour de l’armature tendue => Ac ,eff
Dans la formule de calcul de
2.5( h − d ) (h − x ) = b. min 3 h 2
sr ,max intervient également le diamètre des barres. Dans le cas d’une section
comportant n1 barres de diamètres φ1 et n2 barres de diamètre φ2, on a la formule suivante :
φeq =
n1.φ12 + n2 .φ22 n1.φ1 + n2 .φ2
Les coefficients k1 et k2 sont définis par : k1 est un coefficient qui tient compte des propriétés d’adhérence des armatures : o o
k1 = 0.8 pour les barres à haute adhérence. k1 = 1.6 pour les barres lisses.
k 2 est un coefficient qui tient compte de la distribution des déformations : o k 2 = 0.5 en flexion ou flexion composée avec compression. o k 2 = 1 en traction pure ou en flexion composée avec traction. 18.12.3.2.
Le terme
Calcul de Esm-Ecm
ε sm − ε cm peut être calculé avec l’expression suivante : σ s − kt . ε sm − ε cm =
f ct ,eff
ρ p ,eff
(1 + α e .ρ p ,eff )
Es
Avec :
αe
k t : coefficient qui dépend de la durée de chargement :
: coefficient d’équivalence.
o
k t = 0.6 pour un chargement de courte durée.
o
k t = 0.4 pour un chargement de longue durée.
≥ 0,6
σs Es
CNAM CCV109 – Béton armé
18.12.3.3.
64
Exemple de calcul
On se propose de calculer l’ouverture des fissures sur la poutre suivante : Poutre rectangulaire de 30*70 Portée de la poutre : 5.90m entre-axe. Les armatures inférieures sont 4HA16 + 4HA14
f ct ,eff = f ct ,m = 2.56 MPa k1 = 0.4 2.5( h − d ) = 2.5(70 − 63.33) = 16.75cm h − x 70 − 23.3 Ac ,eff = 30 × Min = = 15.7cm = 471cm ² 3 3 h 2 = 35cm 14.2 As = 14.2cm ² ⇒ ρ p ,eff = = 0.0301 471 E 200 αe = s = = 6.35 Ecm 31.5
ε sm − ε cm =
250 − 0.4
2.56 (1 + 6.35 × 0.0301) σ 0.0301 = 0.001 > 0.6 s = 0.00075 200000 Es
c = 40mm 4 × 16² + 4 × 14² φ= = 15.07mm 4 × 16 + 4 × 14 0.425 × 0.8 × 0.5 × 15.07 sr ,max = 3.4 × 40 + = 221mm 0.0301 wk = 221 × 0.001 = 0.221mm < Wmax = 0.3mm 18.12.4.
Pourcentage minimum à mettre en place
Pour déterminer le pourcentage minimum d’armatures à mettre en place, il faut vérifier deux articles de l’EC2 : L’article 7.3.2 concernant la maitrise de la non-fissuration. L’article 9.2.1.1 qui est spécifique aux poutres.
18.12.4.1.
Article 7.3.2
A défaut d'autre justification, on peut déduire la section minimale d'armature à partir de la formule suivante (§7.3.2):
As ,min = k c × k × Fct . eff ×
As,min: section d'armature mini dans la zone tendue.
Act
σs
CNAM CCV109 – Béton armé
65
Act: aire de la zone de béton tendue juste avant la formation de la première fissure.
σs: contrainte maximale admissible dans l'armature, on peut considérer en général qu'elle est égale à Fyk. Cependant, elle peut être inférieur à Fyk dans le afin de respecter le diamètre maxi des barres (voir tableaux §5.2.1). Fct.eff: résistance effective sur le béton au moment où les fissures sont censées se produire, à défaut de renseignement exact, on peut prendre Fct.eff = Fctm. k: coefficient prenant en compte l'effet d'auto-contraintes non-uniformes: Poutre rectangulaire avec h ≤ 30cm: k = 1,0 Poutre rectangulaire avec h ≥ 80cm: k = 0,65 Entre les deux valeurs, on fait une interpolation linéaire. kc: coefficient prenant en compte la nature de la distribution des contraintes dans la section et qui dépend bien entendu du type de sollicitations: En traction pure: kc = 1,0.
En flexion simple ou en flexion composée:
σc
σc k c = 0,4.1 − ≤1 * k1 (h / h ). f ct ,eff
Avec : contrainte moyenne dans le béton =>
σc =
N ed bh
(Ned est positif si
compression).
o
h* : h * = h pour h < 1,0m. h * = 10m pour h ≥ 1,0m.
Définition de
o Définition de k1 : o k1 = 1,5 si Ned est un effort de compression o
k1 =
2h * si Ned est un effort de traction. 3h
18.12.4.2.
Article 9.2.1.1 (rappel)
Cet article de l’EC2 indique que la section d’armatures longitudinales d’une poutre ne doit pas être inférieure à une quantité As ,min définie par la formule suivante :
As ,min = 0.26
f ctm bt .d ≥ 0,0013.bt .d f yk
CNAM CCV109 – Béton armé
66
18.13. Etat limite de déformation - Calcul des flèches Selon l’EC2 (§7.4), l’état limite de déformation peut être vérifié de deux façons : En limitant le rapport portée-hauteur pour se dispenser d’un calcul exact. En calculant précisant la valeur de la déformée et en la comparant à une valeur admissible. 18.13.1.
Limites admissibles
L’article 7.4.1 définit quelques valeurs admissibles de flèches à ne pas dépasser. Ces valeurs sont données en fonction de la portée utile L : L/250, sous charges quasi-permanentes, pour les poutres, les dalles ou les consoles. L/500, sous charges quasi-permanentes, si les déformations sont susceptibles d’endommager les éléments de structures avoisinants. Attention, ces limitations ne sont pas exhaustives et doivent être revues ou valider en fonction de la structure étudiée. Il faut pour cela prévoir un paramètre utilisateur au niveau du logiciel.
18.13.2.
Limitation du rapport portée-hauteur (§7.4.2)
A l’article 7.4.2, l’EC2 propose des valeurs du rapport L/d qui permettent de s’affranchir d’une vérification détaillée des déformations max. L’EC2 définit deux limites en fonction du pourcentage d’armatures de traction à mi-portée :
3 ρ0 2 L ρ0 = K .11 + 1,5 f ck + 3,2 f ck − 1 si ρ ≤ ρ 0 d ρ ρ
L 1 ρ0 = K .11 + 1,5 f ck + d ρ − ρ ' 12
f ck .
ρ' ρ0
si ρ > ρ 0
Où :
L/d est la valeur limite du rapport portée/hauteur utile. K est un coefficient qui tient compte des différents systèmes structuraux (voir tableau ciaprès).
ρ0 =
ρ0
ρ : pourcentage d’armatures de traction à mi-travée (ou sur appui pour une console) =>
: représente le pourcentage d’armatures de référence =>
ρ=
f ck .10−3
As bd
ρ’ : pourcentage d’armatures de compression à mi-travée (ou sur appui pour une console)
=>
ρ'=
A' s bd
Le coefficient K peut être défini dans les différentes annexes nationales de chaque pays.
CNAM CCV109 – Béton armé
L’EC2 de base propose les valeurs du tableau suivant :
L’annexe France propose le tableau suivant :
67
CNAM CCV109 – Béton armé
68
ATTENTION, les formules précédentes ont été établies en considérant certaines hypothèses. Il convient donc de modifier le rapport L/d lorsque les hypothèses diffèrent de ces hypothèses initiales : Les valeurs précédentes ont été établie pour une contrainte de traction sur l’acier de 310 MPa. Lorsque la contrainte calculée σs est très différente de cette valeur, il convient de multiplier le rapport L/d par 310/σs.
beff > 3bw , il faut multiplier le rapport L/d par 0,8.
Pour les sections en Té dont
Dans le cas des poutres ou des dalles de portée supérieure à 7m, il faut multiplier le rapport L/d par « 8,5/Leff » si ces derniers supportent des cloisons susceptibles d’être endommagées => option à prévoir dans le logiciel.
18.13.3.
Calcul exact de la déformée (§7.4.3)
L’EC2 préconise d’appliquer la méthode d’intégration des courbures avec prise en compte des inerties fissurées le cas échéant.
Lorsque l'on calcul une flèche, on doit impérativement tenir compte des deux conditions suivantes : La condition non fissurée: dans ce cas, on considère l'acier et le béton, aussi bien en traction qu'en compression. La condition fissurée: dans ce cas, on néglige le béton tendu. La méthode simplifiée, qui n'est applicable que pour la flexion simple, se traduit par la formule suivante:
α = ζα ii + (1 − ζ )α i
(1)
α est le paramètre considéré, qui peut être une courbure, une rotation ou une déformation (en simplification, α peut représenter une flèche). αi et αii sont respectivement les paramètres calculés en conditions non fissurées et en conditions fissurées. ζ est le coefficient de distribution donné par l'équation ci-dessous : 2
σ M ζ = 1 − β sr = 1 − β cr σs Ms
2
β est un coefficient qui tient compte de l’influence du chargement ou de la répétition du chargement :
o
β = 1,0 dans le cas d’un chargement unique de courte durée.
o
β = 0,5 dans le cas d’un chargement prolongé ou d’un grand nombre de cycles de chargement.
σs: contrainte de l'acier tendu à partir d'une section fissurée.
σsr: contrainte de l'acier tendu calculée à partir d'une section fissurée soumise au chargement nécessaire et suffisant pour provoquer la fissuration.
ζ= 0 pour les sections non fissurées. Mcr : moment de fissuration.
Les valeurs de αi et αii (respectivement les flèches en section non fissurées et entièrement fissurées) peuvent être calculées grâce à la méthode d'intégration des courbures.
CNAM CCV109 – Béton armé
69
Il convient, lors du calcul des flèches, d’ajouter les effets du fluage (pour les charges de longue durée) et les effets du retrait (le cas échéant) : Pour prendre en compte les effets du fluage (option utilisateur), on mènera les calculs avec le module d’élasticité effectif du béton :
Ec ,eff =
Ecm 1 + ϕ ( ∞, t 0 )
Les courbures dues au retrait doivent être cumulées aux courbures sous chargement extérieure, et calculées avec l’expression suivante :
1 S = ε cs .α e . rcs I o
1 : représente la courbure due au retrait. rcs
o
ε cs
o o o
: déformation libre de retrait.
S : moment statique de la section d’armatures par rapport au centre de gravité de la section de béton. I : Moment d’inertie de la section homogène ATTENTION, il faut calculer les valeurs de I et S pour une section fissurée et nonfissurée. Il faut ensuite faire une interpolation en utilisant la formule (1) vue précédemment.
Le nota (7) de l’article 7.4.3 de l’EC2 précise la chose suivante :
18.13.4.
Méthode d'intégration des courbures
Lorsque l'on applique la méthode d'intégration des courbures, il est impératif de bien prendre en compte les deux cas de figure: Section non fissurée Section fissurée En chaque point de calcul, on compare donc le moment de flexion à un moment critique, au-delà duquel on se considère en inertie fissurée. Pour le calcul de ce moment critique Mcr, on utilisera la formule :
bh ² + α . As .d f ctm × I M cr = avec v = 2 (α est le coefficient d’équivalence). h−v bh + α . As Quelque soit la condition, la démarche est toujours la même: On détermine dans un premier temps la position de l'axe neutre. On détermine ensuite l'inertie de la section (fissurée ou pas) On calcul l'équation du moment sollicitant On calcul l'équation des courbures en fonction du moment sollicitant On détermine la flèche par double intégration des courbures.
CNAM CCV109 – Béton armé
70
De façon générale, on peut écrire:
1 M ( x) = r EI x 1 Rotation: ω ( x ) = ∫ dX + w0 r 0
Courbure:
Flèche:
x
f ( x) = ∫ w.dX + w0 × X + f 0 0
18.13.4.1.
Section rectangulaire
Partons du schéma suivant:
Ce schéma est applicable pour des sections rectangulaires en prenant b=b0 et h0=0.
a. Section non fissurée
La position de l'axe neutre est solution de l'équation suivante: o bv² + 30(As+A's)v - 30(dAs+d'A's)= 0 Le moment d'inertie vaut: 3 o I= bv /3 + 15[As(d - v)² + A's(v – d')²] 1/r= M(x)/EbI= M(x)/EsI
b. Section fissurée
La position de l'axe neutre est solution de l'équation: o bx²/2 + (nA' + nA)x – nA'd' – nAd= 0 Le moment d'inertie vaut: 3 o I= bx /3 + nA(d – x)² + nA'(x – d')² 1/r= (εs + εb)/d avec : o
o
σb
xM ( X ) nxM ( X ) = Eb Eb I Es I σ nM ( X )(d − x) Et ε S = s = et n=15 Es Es I
εb =
=
CNAM CCV109 – Béton armé
18.13.4.2.
71
Section en Té
Partons du schéma suivant
a. Section non fissurée
b0 h ² (b − b0 )h02 + + n( Ad + A' d ' ) 2 2 La position de l'axe neutre vaut: v = b0 h + (b − b0 )h0 + n( A + A' )
bv 3 b0 (h − v) 3 (b − b0 )(h0 − v)3 I= + − + nA(d − v)² + nA' (v − d ' )² 3 3 3
Inertie:
Courbure:
1 M ( X ) nM ( X ) = = r Eb I Es I
b. Section fissurée
La position de la fibre neutre (x) est solution de l'équation:
b0 x ² h2 + (nA'+ nA + (b − b0 )h0 ) x − nA' d '− nAd − (b − b0 ) 0 = 0 2 2 3 3 ( x − h0 ) bx Inertie: I = − MAX (b − b0 ) ;0 + nA(d − x)² + nA' ( x − d ' )² 3 3 σ σ 1 ε + εb xM ( X ) nxM ( X ) nM ( X )(d − x) Courbure: = s avecε b = b = = etε s = s = r d Eb Eb I Es I Es Es I o
o
Avec n= Es/Eb
CNAM CCV109 – Béton armé
72
18.14. Vérification au poinçonnement. (§ 6.4) 18.14.1.
Vérification des dalles.
18.14.1.1.
Contour de contrôle.
Le contrôle du poinçonnement se fait sur un périmètre situé à 2d du nu de l’élément porté. Ce périmètre est appelé « contours de contrôle ».
ATTENTION, la vérification de la résistance au poinçonnement doit également se faire au nu du poteau. d représente la hauteur utile moyenne des deux directions :
d=
dx + dy 2
.
De façon générale, le contour u1 doit être tracé de façon à minimiser sa longueur. La note 6.4.2 (2) de l’EC2 indique que l’on peut réduire la distance « 2d » dans le cas ou la force concentrée peut être équilibrée par une pression élevée, ce qui est rarement le cas pour les dalles. Voici quelques exemples de détermination du contour de contrôle :
CNAM CCV109 – Béton armé
73
Dans le cas d’un bord libre :
Lorsqu’il y a une trémie au voisinage de l’aire chargée (distance inférieure à 6d), il convient de déduire la partie du contour de contrôle comprise entre les deux tangentes à la trémie (voir figure ci-dessous) :
18.14.1.2.
Calcul de la résistance au poinçonnement (§6.4.3).
La vérification au poinçonnement est faite à partir de la contrainte de cisaillement calculée avec la formule suivante :
VEd ui .d Dans tous les cas, au voisinage du poteau, la résistance au poinçonnement du poteau est limitée à : v Ed = β
Le principe de la vérification est le suivant : On détermine la contrainte de cisaillement sur le contour de contrôle :
v Ed =
β .VEd u0 .d
≤ v Rd ,max = 0.5.v. f cd
o
β : coefficient qui tient compte de la position du poteau
o
Pour un poteau rectangulaire de dimensions a*b, on aura
o
f v = 0,61 − ck pour prendre en compte la fissuration du béton à l’effort 250
u0 = 2(a + b) + 2π ( 2d )
tranchant. Il n’y a pas nécessité de mettre en place des aciers comprimés si :
v Ed ≤ v Rd ,c
0.18 200 .(100.ρ L . f ck )1/ 3 + 0,1.σ cp .1 + = max γ c d vmin + 0,1.σ cp
CNAM CCV109 – Béton armé
o
74
ρ L = ρ Ly .ρ Lz ≤ 0,02 , où ρ Ly et ρ Lz sont les valeurs moyennes des ratios d’aciers longitudinaux mesurés sur une largeur égale à la largeur du poteau majorée de 3d.
o
σ cp =
σ cy + σ cz 2
avec
normal agissant et o
σ cy =
N Ed , y Acy
et
σ cz =
N Ed , z ( N Ed représente l’effort Acz
Ac la section de béton qui correspond à cet effort).
v min = 0,035.k 3 / 2 . f ck
1/ 2
avec
k =1+
200 ≤ 2 (d exprimée en mm). d
Dans le cas contraire, on détermine les armatures à partir de la formule ci-dessous :
vEd ≤ vRd ,cs = 0.75vRd ,c + 1.5 o
1 d Asw . f ywd ,ef . sin α sr u0 .d
α est l’angle d’inclinaison de l’armature de poinçonnement.
Dans tous les cas, au voisinage du poteau, la résistance au poinçonnement du poteau est limitée à :
v Ed =
β .VEd u0 .d
Avec :
≤ v Rd ,max = 0.5.v. f cd
u0 = périmètre du poteau.
o
Pour un poteau intérieur :
o
Pour un poteau de rive :
u0 = c2 + 3d ≤ c2 + 2c1 .
o
Pour un poteau d’angle :
u0 = 3d ≤ c1 + c2
Les dimensions c1 et c2 du poteau sont indiquées sur la figure 9.38 du paragraphe suivant.
18.14.1.3.
Détermination du coefficient β (§6.4.3)
ATTENTION, ce coefficient n’est à prendre en compte que lorsque la réaction d’appui est excentrée par rapport au contour de contrôle, ce qui est le cas lorsque l’on a un moment et un effort normal. Le coefficient β est calculé à partir de la formule suivante :
β = 1 + k.
M Ed u1 . VEd W1
u1 est le périmètre du contour de contrôle de référence. k est un coefficient qui dépend du rapport des dimensions du poteau et permet de prendre en compte la proportion du moment non équilibré qui est transmis par cisaillement non uniforme, par flexion et par torsion. Le coefficient k se lit dans le tableau suivant :
CNAM CCV109 – Béton armé
75
ui
Le terme
W1 est défini par la formule W1 = ∫ e .dL . 0
o
e est la distance à l’axe autour duquel le moment
M Ed agit.
Cette intégrale nous donne les formules suivantes pour des formes usuelles de poteau :
Avec les notations ci-après.
CNAM CCV109 – Béton armé
76
On voit que ce coefficient est assez complexe à déterminer. L’EC2 précise que dans le cas des structures pour lesquelles la stabilité latérale ne dépend pas du fonctionnement en portique des dalles et des poteaux et où les longueurs de travées adjacentes ne diffèrent pas de plus de 25%, on peut utiliser les valeurs approchées suivantes pour le coefficient β :
18.14.1.4.
Calcul des armatures (§6.4.5 et §9.4.3)
Comme nous l’avons vu précédemment, lorsque v Ed
≤ v Rd , c , il faut mettre en place des armatures de
poinçonnement qui sont déterminées à partir des formules suivantes :
vEd ≤ vRd ,cs = 0.75vRd ,c + 1.5 o
d 1 Asw . f ywd ,ef . sin α sr u0 .d
Asw : aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre autour du poteau (mm²).
o
s r : espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement (mm).
o
f ywd ,ef : limite élastique de calcul des armatures de poinçonnement => f ywd ,ef = 250 + 0,25.d ≤ f ywd
Pour pouvoir placer les armatures, il faut déterminer le contour limite en dessous duquel on met en place des armatures de poinçonnement et au-delà duquel on ne place plus d’aciers de poinçonnement :
uout ,ef =
β .VEd v Rdc .d
CNAM CCV109 – Béton armé
77
Les dispositions à respecter pour la mise en place des armatures de poinçonnement sont résumées dans le schéma suivant :
Il faut placer les armatures de poinçonnement à l’intérieur d’un contour (noté uout ) cidessus, de telle sorte que la dernière file soit à une distance inférieure à « k.d » du contour uout ,ef . La valeur du coefficient k peut être définie par l’annexe nationale de chaque pays
et est proposé à 1,5 pour l’EC2 de base et l’annexe française. Il faut placer au minimum 2 armatures par ligne espacées au maximum de 0,75d. L’espacement des lignes d’armatures, le long du contour, ne doit pas être supérieur à 2d.
18.14.2.
Vérification des semelles.
Pour une semelle isolée, le principe de vérification est le même que pour les dalles avec une subtilité : L’EC2 indique qu’il convient de faire la vérification sur tous les contours de contrôle entre 0 et une distance qui peut être inférieure à 2d, mais sans préciser la valeur. Cela dépend de la géométrie de la semelle (voir schéma de Thonier page 316).
On peut déduire de l’effort
VEd apporté par le poteau, la réaction du sol
∆VEd correspondant à la réaction de la partie du sol située à l’intérieur du contour de contrôle.
18.15. Enrobages minimum (§4.4.1) L’enrobage nominal est la distance entre la surface de l’armature (aciers transversaux inclus) la plus proche de la surface de béton et cette dernière. Cet enrobage nominale est défini par :
cnom = cmin + ∆cdev Le terme
∆cdev correspond à une tolérance d’exécution.
CNAM CCV109 – Béton armé
18.15.1.
78
Notion de condition d’environnement.
On verra un peu plus loin que l’enrobage minimal est notamment fonction des conditions d’environnement, c'est-à-dire des conditions physiques et chimiques auxquelles la structure est exposée. Ces conditions sont résumées dans le tableau suivant, issu de l’EC2 (article4.2) :
CNAM CCV109 – Béton armé
18.15.2.
79
Enrobage minimal cmin
La notion d’enrobage minimal de l’EC2 est beaucoup plus complexe que celle du BAEL. La notion EC2 intègre notamment la notion de marge de sécurité liée aux matériaux employés. Il y a également la notion de protection complémentaire qui permet de réduire l’enrobage minimal. L’enrobage minimal défini à l’article 4.4.1.2 de l’EC2 a pour but d’assurer : La bonne transmission des forces d’adhérence. La protection de l’acier contre la corrosion (ce que l’on appelle la durabilité). Une résistance au feu convenable.
C min doit être pris égal au maximum des valeurs ci-dessous : C min, b = max C min, dur + ∆C dur ,γ − ∆C dur , st − ∆C dur , add 10 mm
L’enrobage minimal
C min
Avec les notations suivantes : C min, b : enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’adhérence.
C min, dur : enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’environnement.
∆Cdur ,γ : marge de sécurité.
∆C dur , st : réduction de l’enrobage minimal dans le cas d’acier inoxydable
∆Cdur ,add : réduction de l’enrobage minimal dans le cas d’une protection supplémentaire.
L’EC2 précise qu’il est possible d’appliquer les coefficients
∆Cdur ,γ et ∆C dur , st mais conseille de
prendre des valeurs nulles !!! (Une des aberrations de l’EC2). Il indique également que ces mêmes coefficients peuvent être imposés par les annexes nationales de chaque pays. L’annexe nationale Française préconise de prendre les valeurs suivantes : ∆Cdur ,γ = 0 => c’est-à-dire pas de marge de sécurité complémentaire.
En ce qui concerne ∆C dur , st , l’annexe française propose de prendre une valeur nulle. Toutefois, sur justification spéciale et à condition d’utiliser des aciers dons la résistance à la corrosion est éprouvée (certains aciers inox ou galvanisés par exemple), pour la durée d’utilisation et dans les conditions d’exposition du projet, les documents particuliers du marché peuvent fixer la valeur de ∆C dur , st .
Dans les cas les plus courants, c’est-à-dire si on applique les valeurs recommandées par l’EC2 et l’annexe nationale française et que l’on a pas de protection supplémentaire, on aura la formule suivante :
C min
C min, b = max C min, dur 10 mm
CNAM CCV109 – Béton armé
18.15.2.1. Le coefficient
80
Définition de Cmin,b
Cmin,b est défini à partir du tableau 4.2 de l’EC2, en fonction de la disposition des
armatures :
Dans le cas d’un paquet d’armatures, le paquet est remplacé par une barre fictive équivalente présentant la même section et le même centre de gravité que le paquet. Le diamètre équivalent φn de cette barre est tel que :
φn = φ . nb ≤ 55mm L’EC2 précise : On peut grouper des barres de diamètres différents sous réserve que le rapport des diamètres ne soit pas supérieur à 1,7. Dans ce cas, le diamètre équivalent est déterminé à partir du diamètre des barres le plus petit. Lorsque deux barres en contact sont situées l’une au-dessus de l’autre, il n’est pas nécessaire de traiter ces barres comme un paquet. Il ne faut pas faire de recouvrement pour des paquets de plus de 3 barres.
18.15.2.2.
Définition de Cmin,dur
Ce coefficient dépend de la classe d’exposition et des classes structurales. En valeur de base, on retient une classe S4 correspondante à une durée d’utilisation du projet de 50 ans. Ensuite on minore ou on majore cette classe en fonction de plusieurs paramètres : En fonction de la durée réelle d’utilisation du projet. En fonction de la classe de résistance du béton employé. En fonction de la nature du liant. En fonction d’un critère d’enrobage compact, qui ne s’applique que dans le cas des éléments pour lesquels une bonne compacité de l’enrobage peut être garantir, c'est-à-dire : o Face coffrée des éléments plans coulés horizontalement sur des coffrages industriels. o Eléments préfabriqués industriellement. o Sous-face des dalles de pont, sous réserve de l’accessibilité du fond de coffrage aux dispositifs de vibration. ATTENTION, la classe structurale minimale est S1.
CNAM CCV109 – Béton armé
Ces minorations ou majorations de la classe sont données dans le tableau 4.3N de l’EC2 :
ATTENTION, ce tableau peut être modifié par les différentes annexes nationales. Dans le cas de la France, le tableau à utiliser est le suivant :
81
CNAM CCV109 – Béton armé
Une fois que l’on a déterminé la classe structurale, on définit la valeur de
82
C min, dur à partir du tableau
4.4N de l’EC2 :
Ce tableau peut également être modifié dans les annexes nationales de chaque pays. Dans le cas de l’annexe française, on utilise le tableau précédent. Attention, la valeur de C min finalement obtenue est a modifier pour prendre en compte, le cas échéant, l’abrasion du béton dans les cas suivants, en fonction de la classe d’abrasion : Classe d’abrasion XM1 qui correspond à une abrasion modérée (éléments de sites industriels soumis à la circulation de véhicules équipés de pneumatiques) => on majore Cmin d’un coefficient k1= 5mm. Classe d’abrasion XM2 qui correspond à une abrasion importante (éléments de sites industriels soumis à la circulation de chariots élévateurs équipés de pneumatiques ou de bandages en caoutchouc plein) => on majore Cmin d’un coefficient k2= 10mm. Classe d’abrasion XM3 qui corrrepond à une abrasion extrême (éléments de sites industriels soumis à la circulation de chariots élévateurs équipés de bandages élastomères ou métalliques ou d’engins à chenilles) => on majore Cmin d’un coefficient k3= 15mm.
CNAM CCV109 – Béton armé
18.15.3.
83
Tolérances d’exécution (§4.4.1.3).
Comme nous l’avons vu précédemment, conformément à l’article 4.4.1.3 de l’EC2, l’enrobage minimal doit être majoré pour tenir compte des tolérances d’exécution. L’EC2 préconise de prendre
∆cdev = 10 mm .
Cependant, cette valeur peut être modifiée par les différentes annexes nationales. L’annexe nationale française préconise les valeurs suivantes :
View more...
Comments
