Chapitre 11 - Poutres Continues Méthode de Caquot_A
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Caquot...
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CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT
___________
" BETON ARME " Chapitre 11 : Calcul des poutres continues Méthode de Caquot Indice A (Code CCV109)
Enseignant : J. PAÏS
2008 – 2009
CNAM CCV109 – Béton armé – Indice A
2
Sommaire 11.
CALCUL DES POUTRES PAR LA METHODE DE CAQUOT.................................................. 3
11.1. DOMAINE D’APPLICATION........................................................................................................... 3 11.2. PRINCIPE DE LA METHODE ......................................................................................................... 3 11.3. CALCUL DES MOMENTS SUR APPUIS ........................................................................................... 4 11.3.1. Cas des charges réparties ............................................................................................ 4 11.3.2. Cas des charges ponctuelles ........................................................................................ 8 11.3.3. Cas des consoles ........................................................................................................ 10 11.4. CALCUL DES MOMENTS EN TRAVEE .......................................................................................... 11 11.5. CALCUL DES EFFORTS TRANCHANTS ........................................................................................ 14 11.6. REACTIONS D’APPUIS.............................................................................................................. 14 11.7. METHODE DE CAQUOT MINOREE. ............................................................................................ 15 11.8. EXERCICE 1 POUTRE CONTINUE A 2 TRAVEES........................................................................... 16 11.8.1. Moment maximum sur l’appui B .................................................................................. 16 11.8.2. Moment en travée AB.................................................................................................. 16 11.9. EXERCICE 2 POUTRE CONTINUE A 3 TRAVEES........................................................................... 18 11.9.1. Recherche des moments sur appuis........................................................................... 18 11.9.2. Recherche des moments sur la travée 1..................................................................... 19 11.9.3. Recherche des moments sur la travée 2..................................................................... 21 11.9.4. Analyse détaillée de la travée 2. ................................................................................. 23
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11.
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Calcul des poutres par la méthode de Caquot 11.1. Domaine d’application
La méthode de Caquot s’applique pour le calcul des poutres supportant des planchers dont les charges d’exploitation sont relativement élevées : QB > 2G ou QB > 5 kN/m². C’est le cas par exemple pour les bâtiments industriels et entrepôts. Elle s’applique également quand l’une des trois conditions qui délimitent la méthode forfaitaire n’est pas remplie.
Cette méthode est décrite dans l’annexe E2 du BAEL.
11.2. Principe de la méthode La méthode consiste à calculer les moments sur appuis d’une poutre continue en considérant uniquement les travées qui encadrent l’appui considéré. Cette méthode est donc une « méthode de continuité simplifiée ».
Ainsi une poutre continue est assimilée à une série de poutres à deux
travées :
Prenons une poutre à 4 travées, on aura les différents cas suivant à traiter :
A
B
C
D
E
Pour le calcul de MB
A
B
C Pour le calcul de MC
B
C
D Pour le calcul de MD
C
D
E
Ensuite, en tenant compte des travées chargées-déchargées, on calcule les courbes de moments fléchissants.
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11.3. Calcul des moments sur appuis Les moments sur appuis sont calculés en ne tenant compte que des travées voisines de gauche (w) et de droite (e). On considère que la longueur des travées de calcul l’w et l’e sont égales à :
S’il s’agit d’une poutre de rive : l’i = li
S’il s’agit d’une poutre intermédiaire : l’i = 0,8.li
avec li = longueur réelle de la travée i (prise en compte entre-nus d’appuis dans le cadre du BAEL) En reprenant l’exemple précédent nous avons :
A
B
l’w = l1
C
l’e = 0,8.l2 B
C
D
l’w = 0,8.l2
l’e = 0,8.l3
B
C
l’w = 0,8.l3 11.3.1.
D
l’e = l4
Cas des charges réparties
On considère les deux charges réparties de part et d’autre de l’appui à calculer. Soit pw la charge répartie sur la travée de gauche et pe la charge sur celle de droite, le moment d’appui i est égale à :
Mi = −
p w .l'3w + p e .l' e3 8,5(l' w + l'e ) pw
pe
l’w
l’e
i La méthode de Caquot diffère de la méthode de calcul des 3 moments pour laquelle on
p w .l'3w + p e .l' e3 trouve M i = − . 8(l' w + l'e ) ATTENTION, ces formules ne sont valables que si l’inertie I de la poutre est constante entre les deux travées.
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La différence entre la méthode de Caquot et la méthode des 3 moments réside dans le coefficient de 8,5 au lieu de 8, pour tenir compte du fait que les inerties sont variables pour chaque travée, du fait de la fissuration du béton.
En effet pour une section en T, on aura des états de fissuration différents sur appui et en travée qui conduiront à mener le calcul en tenant compte de section résistante en T ou rectangulaire :
en travée
sur appui
Itravée ≠ Iappui Dans le cas où les inerties des travées de part et d’autres de l’appui sont différentes, on applique les formules suivantes :
K K M i = − M w' e + M e' 1 − e D D Avec :
p w .l w' ² pe .le' ² ' M = et M e = 8,5 8,5 ' w
Kw =
Iw I ; K e = 'e et D = K w + K e ' lw le
Attention, dans les expressions précédentes, les inerties considérant la section de béton seule (soit des armatures.
I w et I e doivent être calculées en
bh 3 pour une section rectangulaire) sans tenir compte 12
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Démonstration Pour démontrer les formules précédentes, on part de l’équation générale des 3 moments :
bi x Mi-1 + (ci + ai+1) Mi + bi+1 x Mi+1 =
ai = 2 x bi = ci =
Ii = moment d’inertie de la travée li
ω 'i +1
et
ω 'i +1 −ω ' 'i
li si Ii = Cste 3EI i
ω ' 'i = rotations sur l’appui Gi des travées de référence encadrant cet appui
Les rotations des travées isostatiques (avec les notations précédentes) d’une poutre uniformément chargée valent : 3
ωi' +1 = −
Pe .le' 24.EI e 3
P .l ' ω = w w 24.EI w '' i
Caquot ne considère que les deux travées adjacentes pour déterminer le moment sur appuis. On a donc M i −1 = M i +1 = 0 . On peut donc écrire en simplifiant l’équation générale des 3 moments : 3
3
l w' l e' Pe .l e' Pw .l w' + . M = − − i 3EI 3EI e 24. EI e 24. EI w w
On simplifie par E car supposé constant : 3
3
2
2
l w' l w' l e' Pe .l e' Pw .l w' l e' Pe .le' l e' Pw .l w' l w' + . M = − − ⇒ + . M = − . − . 3I i I i 24. EI e 24. EI w 8 Ie 8 Iw w 3I e w Ie 2 Pe .le' 2 l e' l w' le' Pw .l w' l w' I + I . M i = − 8 . I + 8 . I e e w w ' ' le lw '2 ' 2 Pe .l e Ie Pw .l w Iw Mi = − . ' + . ' 8 l w le' l w l e' 8 + + Iw Ie I w I e
On cherche à exprimer Mi en fonction de raideur, donc de rapport I/L (le module E étant considéré comme constant).
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On multiplie donc tous les termes par le rapport
Ie Iw . le' lw' Mi = − Ie Iw . le' lw'
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Ie I w . , ce qui nous donne: le' lw'
le' lw' '2 2 ' Pe .le . I e + Pw .lw . I w 8 lw' le' lw' le' 8 + + Iw Ie I w I e
le' I I lw' Ie I w × e' . 'w × . '2 2 Pe .le Pw .lw' I e le lw I w le' lw' =− . + . ' 8 lw' I e I w le' I e I w lw I e I w le' I e I w 8 × . + × '. ' × . + × '. ' I w le' lw' I e le lw I w le' lw' I e le lw Iw Ie 2 ' ' 2 P .l ' 2 P .l ' 2 Pw .lw Kw Pw .lw' Ke lw le' e e e e = − = − . + . . + . Ie Iw 8 8 K + K 8 K + K 8 Ie + Iw e w e w + le' lw' le' lw' 2 2 P .l ' 2 K + K − K P .l ' 2 Pw .lw' Ke Ke Pw .lw' Ke e e w e e e e = − + . . .(1 − )+ . = − Ke + Kw Ke + K w 8 K e + K w 8 K e + K w 8 8
On retrouve bien les termes de la page 5.
Caquot a remplacé le coefficient 8 par un coefficient 8,5 pour tenir de l’adaptation de la méthode classique au dimensionnement des sections en Béton Armé.
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11.3.2. Soit :
8
Cas des charges ponctuelles
Pw la charge ponctuelle située sur la travée de gauche et distante de aw de l’appui considéré. Pe la charge ponctuelle située sur la travée de droite et distante de ae de l’appui considéré.
Le moment d’appui i est égal à :
Mi = −
k .Pw .l' w2 pour la charge Pw l' w + l' e
k .Pe .l'e2 Mi = − pour la charge Pe l ' w + l' e Pw l’w
aw
ae i
Pe
l’e
Le coefficient k dépend du rapport a/l’ et prend les valeurs suivantes :
k=
1 a a a . . 1 − . 2 − 2,125 l' l' l'
a = aw et l’ = l’w pour la travée à gauche de l’appui
a = ae et l’ = l’e pour la travée à droite de l’appui
De la même façon, lorsque les inerties des travées de part et d’autres de l’appui sont différentes, on applique les formules suivantes :
K K M i = − M w' . e + M e' .1 − e D D avec :
kw =
a a 1 a w a w 1 a e a e . ' .1 − ' 2 − 'w et k = . ' .1 − ' 2 − 'e 2,125 l w l w lw 2,125 l e l e le e
M w' = k w . Pw .l w' et M e' = k e .Pe .l e' Kw =
Iw I ; K e = 'e et D = K w + K e ' lw le
Nota :
1 8 1 provient de l’application de la méthode Caquot : . 2,125 8,5 2
le coefficient
Lorsqu’il y a plusieurs charges ponctuelles, il suffit de sommer les effets de chacune des charges.
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Démonstration Pour démontrer les formules précédentes, on part également de l’équation générale des 3 moments :
bi x Mi-1 + (ci + ai+1) Mi + bi+1 x Mi+1 =
ai = 2 x bi = ci =
Ii = moment d’inertie de la travée li
ω 'i +1
et
ω 'i +1 −ω ' 'i
li si Ii = Cste 3EI i
ω ' 'i = rotations sur l’appui Gi des travées de référence encadrant cet appui
Les rotations des travées isostatiques d’une poutre soumise à une charge ponctuelle, distante de "a" par rapport à l’appui gauche, valent :
ω
' i +1
=−
Pe .a e .(l e' − a e )( 2l 'e − a e ) 6 E . I e .l 'e
Pw .a w .(l w' − a w )( 2l w' − a w ) ω = 6 E . I w .l w' '' i
Caquot ne considère que les deux travées adjacentes pour déterminer le moment sur appuis. On a donc M i −1 = M i +1 = 0 . On peut donc écrire en simplifiant l’équation générale des 3 moments :
l w' l e' Pe .ae .(l e' − a e )( 2l e' − a e ) Pw .a w .(l w' − a w )( 2l w' − a w ) + . M = − − i 3EI 3EI e 6 E. I e .l e' 6 E. I w .l w' w
On simplifie par E car supposé constant :
l w' Pe .a e .(le' − ae )( 2l e' − a e ) Pw .a w .(l w' − a w )( 2l w' − a w ) le' + . M = − + I i 2. I e .l e' 2. I w .l w' w Ie 2 2 1 a e a e l w' le' a e Pe .l e' a w Pw .l w' 1 a w a w I + I . M i = − 2 . l ' .1 − l ' 2 − l ' I + 2 . l ' .1 − l ' 2 − l ' I e e e e e w w w w w 2 2 Pe .le' Pw .l w' ae I e aw I w 1 a e a e 1 a w a w M i = − . ' .1 − ' 2 − ' ' + . .1 − ' 2 − ' ' 2 le l e le l w l e' 2 l w' l w l w l w l e' + + Iw Ie I w I e
Caquot a remplacé le terme « 2 » par « 2,125 » de façon à avoir la même correction que pour les charges réparties (2/2.125=8/8.5)
En posant
kw =
a a 1 a w a w 1 a e a e . ' .1 − ' 2 − 'w et k e = . ' .1 − ' 2 − 'e , on retrouve 2,125 l w l w lw 2,125 le l e le
les formules précédentes.
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11.3.3. Cas des consoles Les charges appliquées sur la console vont induire un moment sur l’appui i-1. On cherche donc à déterminer les effets de ce moment sur l’appui i.
= l’w
Mi-1
l’e
l’w
i
i-1
l’e i
On applique le théorème des 3 moments pour calculer le moment sur l’appui i: bw x Mi-1 + (cw + ae) Mi + be x Mi+1 = ω ' e −ω ' ' w
li si Ii = Cste 3EI i
ai = 2 x bi = ci =
Ii = moment d’inertie de la travée li
ω'e = 0
et
ω ' ' w = 0 car
les deux travées ne sont pas chargées (influence uniquement de la
console). On a donc :
l w' l w' l e' . M i −1 + + 6. E . I w 3.E . I w 3. E . I e Mi = −
l w' 6. E . I w l w' l' + e 3. E . I w 3. E . I e
. M i = 0
. M i −1
On simplifie par E car supposé constant :
Mi = −
l w' . I e 1 .M i −1 2 l w' . I e + le' . I w
De la même façon que précédemment, Caquot a modifié le coefficient 2 en 2.125, ce qui nous donne :
Mi = −
l w' . I e 1 .M i −1 2.125 l w' . I e + le' . I w
Si l’inertie de la poutre continue est constante, on a :
l w' 1 Mi = − . M i −1 2.125 l w' + le'
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Si la console est à droite de la poutre continue, il faut inversé le rapport des travées dans la formule précédente, ce qui nous donne :
= l’w
i
l’e
Mi+1 l’w
i+1
l’e i
Mi = −
le' . I w 1 .M i +1 2.125 l w' . I e + le' . I w
Dans le cas d’’une inertie constante, on a :
Mi = −
l e' 1 . M i +1 2.125 l w' + le'
Bien entendu, ce moment viendra se cumuler aux moments sur appui issus du chargement des travées.
11.4. Calcul des moments en travée Pour le calcul des moments en travée, on utilise les formules classiques de RDM (théorème des 3 moments, en considérant les travées réelles et non plus les travées fictives.
Pour le calcul des moments de la travée i ci-dessous, il faut prendre en compte 3 combinaisons de charges (notion de travée chargée-déchargée) :
Cas 1 :
Toutes les travées chargées avec la surcharge. 1,35G+1,5QB
1,35G+1,5QB
1,35G+1,5QB
Travée i
Cas 2 :
On charge uniquement la travée i 1,35G
1,35G+1,5QB
1,35G
Travée i
Cas 3 :
On charge les travées adjacentes 1,35G+1,5QB
1,35G
Travée i
1,35G+1,5QB
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Cas 1 : Pour le calcul des moments maximum sur appuis, donc des aciers maxi en chapeaux
Cas 2 : pour le calcul du moment maximum en travée, donc des aciers maxi en travée et leurs longueurs.
Cas 3 : pour le calcul du moment minimum en travée, donc de la longueur des aciers en ème
chapeaux. Dans le cas des travées soulevées (voir 2
exercice), il se peut que le cas I
soit plus défavorable que le cas III en ce qui concerne les longueurs d’aciers sur appuis.
Pour chaque cas de combinaisons, on calcule :
Les moments sur appuis avec les longueurs l’ comme décrit en 10.3 (avec les travées fictives).
La courbe des moments fléchissants sur la travée i selon les formules données ci-après.
Ainsi on peut dresser la courbe enveloppe des moments fléchissants qui a en général l’allure suivante :
Mw max
Me max Cas 1
Cas 3
Cas 2
Mt max
L’équation du moment fléchissant le long de la travée i est :
M ( x ) = M o ( x ) + M w 1 −
x x + M e. l l
Avec Mo(x) Moment fléchissant de la poutre considéré isolée (calcul isostatique) :
plx px 2 Pour une charge répartie : M o ( x ) = − 2 2
Pour une charge ponctuelle : o
M o ( x) =
Pbx pour x < a l
o
M o ( x) =
Pbx − P( x − a ) pour x ≥ a l
P
a
b
Le moment maximum en travée est obtenu au point x0, tel que l’effort tranchant V(x0) est nul en ce point.
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Remarque Dans notre exemple, ce mode de calcul permet de déterminer la courbe enveloppe des moments d’une poutre continue à trois travée simplement en étudiant 3 cas de charges différents.
Cette décomposition est tout à fait exacte pour la détermination des moments sur appuis et en travée mais amène à sous-estimer légèrement la valeur des efforts tranchants aux appuis.
Si on souhaite faire un calcul plus exact, il faut faire la décomposition suivante :
Cas 1 :
Les deux premières travées chargées avec la surcharge. 1,35G+1,5QB
1,35G+1,5QB
1,35G
Travée i
Cas 2 :
Les deux dernières travées chargées avec la surcharge. 1,35G
1,35G+1,5QB
1,35G+1,5QB
Travée i
Cas 3 :
On charge uniquement la travée i 1,35G
1,35G+1,5QB
1,35G
Travée i
Cas 4 :
On charge les travées adjacentes 1,35G+1,5QB
1,35G
1,35G+1,5QB
Travée i
Cas 1 et 2 : Pour le calcul des moments maximum sur appuis, donc des aciers maxi en chapeaux
Cas 3 : pour le calcul du moment maximum en travée, donc des aciers maxi en travée et leurs longueurs.
Cas 4 : pour le calcul du moment minimum en travée, donc de la longueur des aciers en chapeaux.
La différence entre les deux décompositions (3 cas ou 4 cas) est d’environ 5% sur l’effort tranchant aux appuis de la travée centrale (la décomposition en 4 cas est plus précise).
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11.5. Calcul des efforts tranchants Les efforts tranchants sont calculés en tenant compte des moments d’appuis évalués par la méthode Caquot. En général l’effort tranchant Vu est maximum sur appuis lorsque les travées qui encadrent l’appui considéré sont chargées (voir remarque au paragraphe précédent). 1,35G+1,5QB
1,35G+1,5QB
1,35G +1,5 QB
travée i Vw
Ve
Effort tranchant sur l’appui de gauche de la travée i :
Effort tranchant sur l’appui de droite de la travée i :
Effort tranchant le long de la travée i :
Vw = Vo (0) +
Ve = Vo (l ) +
Vu ( x ) = Vo ( x ) +
Me − Mw l
Me − Mw l
Me − Mw l
avec Vo(x) effort tranchant de la poutre considéré isolée (calcul isostatique) :
Pour une charge répartie :
Vo ( x ) =
pl pl pl − p.x , Vo (0) = , Vo ( l ) = − 2 2 2 P
Pour une charge ponctuelle :
Vo (0) =
Pb Pa , Vo ( l ) = − l l
a
b
Quelque soit le chargement, l’équation de l’effort tranchant ainsi obtenue doit vérifier la relation :
dM ( x ) = V ( x) dx
11.6. Réactions d’appuis Connaissant les efforts tranchants au droit des appuis intermédiaires, on peut en déduire facilement les réactions d'appuis correspondantes : Soit Ri, la réaction d'appui à l'appui "i". "V'i+1" l'effort tranchant "gauche" de la travée i+1 " V''i" l'effort tranchant "droit" de la travée i
On a :
Ri = Vi+' 1 − Vi ''
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11.7. Méthode de Caquot minorée. La méthode de Caquot minorée s’applique pour les poutres supportant des charges d’exploitations modérées (telles que décrites au chapitre de la méthode forfaitaire) mais dont le rapport des longueurs de portée ne respecte pas les conditions de la méthode forfaitaire (ou si on a une inertie variable le long d’une travée). Dans ce cas, on applique la méthode de Caquot décrite précédemment en réduisant uniquement les charges permanentes (pas de réduction sur les surcharges) d’un coefficient compris entre 1 et 2/3, pour le calcul des moments sur appuis. Pour le calcul des moments en travée, on considère la totalité des charges.
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11.8. Exercice 1 poutre continue à 2 travées Soit une poutre continue à 2 travées identiques chargées par des charges permanentes et d’exploitation réparties
Calculer à l’ELU : Le moment maximum sur l’appui B Le moment maxi en travée le moment à miportée de la travée AB. La courbe de moment le long de la poutre
A
B
A l’E.L.U.
permanentes
p = 1,35 g = 18 kN/m
d’exploitation
q = 1,5q B = 32 kN/m
totales
q u = 1,35 g + 1,5q B = 50 kN/m
C
6,00
Portées fictives :
Charges
6,00
l ' w = l ' e = 6,00
11.8.1. Moment maximum sur l’appui B Le moment max sur l’appui B est calculé en chargeant les deux travées adjacentes :
A
6,00 B
6,00
C
On a donc :
p w = p e = qu = 50 kN/m
p l ' + pe l ' e MB = − w w . 8,5(l ' w + l ' e ) 3
3
MB = −
qu l 2 = −211.765KN .m 8,5
11.8.2. Moment en travée AB
Pour avoir le moment max sur la travée AB, on ne charge que cette travée :
A
B
C
Les moments d’appuis en A et C sont nuls car ce sont des appuis de rive.
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On recalcule le moment sur l’appui B correspondant à ce chargement.
MB = −
50,0 × 63 + 18,0 × 63 = −144 KN .m 8,5(6 + 6)
Le moment en travée est défini par
Le moment isostatique vaut
M ( x) =
Soit
x x M ( x ) = M o ( x ) + M w 1 − + M e . . l l
M o ( x) =
qu .l . x qu . x 2 − 2 2
50 × 6 50 144 .x − .x ² − x = −25. x ² + 126 x 2 2 6
Moment à mi-travée : En x=l/2, on a :
l l2 M 0 (x = ) = q u = 225,0 kN.m 2 8
M + Me l 0 − 144 M x (x = ) = M 0 + w = 225 + = 153kN .m 2 2 2
Moments maximal en travée AB Pour déterminer l’abscisse où le moment est maximal, il nous faut déterminer le point ou l’effort tranchant s’annule. On a
Vu ( x ) = Vo ( x ) +
q .l Me − Mw avec Vo ( x ) = u − qu . x l 2
qu .l M − M w 50 × 6 144 − qu . x + e = − 50. x − = −50. x + 126 2 l 2 6
Vu ( x ) =
V(x) = 0 pour x = 2,52 m.
Le moment max vaut donc M(x)= − 25. x ² + 126 x
= −25 × 2,52² + 126 × 2,52 = 158,76 KN .m
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11.9. Exercice 2 poutre continue à 3 travées
l1 A
l3
l2 B
6
7
C
6
D
1.35 g = 18 kN/m 1.35 g + 1.50 q = 50 kN/m
11.9.1. Recherche des moments sur appuis
MA = MD = 0
MB = MC du fait de la symétrie de la poutre.
appuis de rive
Les portées de calcul, pour la détermination des moments sur appuis, sont les suivantes :
A
l '1 = l 1 = 6
B
l ' 2 = 0,8l 2 = 5,60
C
On calcul les moments sur appuis pour les 3 scénarios de chargement :
1 Les deux travées chargées simultanément. 1,35g+1,5q
1,35g+1,5q
Pw l ' 1 + p e l ' 2 3 50 × 63 + 50 × 5,60 3 = − = −198,59 KN .m 8,5(l '1 + l ' 2 ) 8,5(6 + 5,6 ) 3
MB = −
ère
2 1
travée chargée uniquement.
1,35g+1,5q 1,35g
50 × 63 + 18 × 5,603 MB = − = −141,59 KN .m 8,5(6 + 5,6)
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ème
3 2
19
travée chargée uniquement. 1,35g+ 1,50q 1,35g
MB = −
18 × 63 + 50 × 5,603 = −128,49 KN .m 8,5(6 + 5,6)
On a donc les moments max suivant MB = MC = - 198,59 kN.m
11.9.2. Recherche des moments sur la travée 1 On cherche à déterminer les courbes enveloppes des moments de la travée 1 :
x x M ( x ) = M o ( x ) + M w 1 − + M e . l l M w = 0 et M E dépend des cas étudiés. p.l . x p. x ² − M 0 ( x) = 2 2 p.l . x p. x ² x M ( x) = − + M e. 2 2 l
On détermine donc les courbes de moments pour les 3 cas étudiés précédemment, qui correspondent à trois valeurs de moment différentes.
Cas 1 :
M e = −198,59 KN .m
50 × 6 50 x 2 198,59 .x − − x 2 2 6 M ( x ) = 150 x − 25 x 2 − 33,10 x
M ( x) =
M ( x ) = 116,90 x − 25 x 2 o M ( x ) = 0 => x (116,90 − 25 x ) = 0 => x = 4,68m V ( x ) = 116,90 − 50 x
o
V ( x ) = 0 pour x = 2,34m M max = M ( x = 2,34m ) = 136,66 KN .m
CNAM CCV109 – Béton armé – Indice A
20
On a le diagramme suivant pour le moment de flexion : - 198,59 kN.m
4,68
136,66 kN.m
Cas 2 :
M e = −141,59 KN .m
50 × 6 50 x 2 141,59 .x − − x 2 2 6 M x= 150 x − 25 x 2 − 23,60 x
M x = 126,40 x − 25 x 2
M ( x) =
M ( x ) = 0 => x (126,40 − 25 x ) = 0 => x = 5,06m V x = 126,40 − 50 x o V ( x ) = 0 pour x = 2,53m => M max = M ( x = 2,53m ) = 159,77 KN .m o
On a le diagramme suivant pour le moment de flexion :
- 141,59 kN.m 5,06
159,77 kN.m
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Cas 3 :
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M e = −128,49 KN .m (la travée 1 n’est chargée qu’avec 1,35 g)
18 × 6 18 x 2 128,49 .x − M ( x) = − x 2 2 6 M ( x ) = 54 x − 9 x 2 − 21,415 x
M ( x ) = 32,585 x − 9 x 2
M ( x ) = 0 => x(32,585 − 9 x ) = 0 => x = 3,62m V x= 32,585 − 18 x o V ( x ) = 0 pour x = 1,81m => M max = M ( x = 1,81m) = 29,49 KN .m o
On a le diagramme suivant pour le moment de flexion :
- 128,49 kN.m 3,62
29,49 kN.m
11.9.3. Recherche des moments sur la travée 2 De la même façon, on veut déterminer les courbes enveloppes des moments de la travée 2 :
x x M ( x ) = M o ( x ) + M w 1 − + M e . l l p.l . x p. x ² M 0 ( x) = − 2 2 M w et M E dépendent des cas étudiés.
M ( x) =
p.l . x p. x ² − + M w 1 − 2 2
x x + M e. l l
On détermine donc les courbes de moments pour les 3 cas étudiés précédemment, qui correspondent à trois valeurs de moment différentes.
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Cas 1 :
22
M w = M e = −198,59 KN .m
50 × 7 50 x 2 x 198,59 M ( x) = .x − − 198,591 − − x 2 2 7 7 2 M ( x ) = 175 x − 25 x − 198,59 o M ( x ) = 0 => x = 1,42m ou x = 5,57m V ( x ) = 175 − 50 x o V ( x ) = 0 pour x = 3,50m M max = M ( x = 3,50m ) = 107,66 KN .m On a le diagramme suivant pour le moment de flexion :
-198,59 kN.m
107,66 kN.m
Cas 2 :
M w = M e = −141,59 KN .m (la travée est chargée avec 1,35g)
18 × 7 18 x 2 x 141,59 M ( x) = .x − − 141,591 − − x 2 2 7 7 M ( x ) = 63 x − 9 x 2 − 141,59 + 20,23 x − 20,23 x M ( x ) = 63 x − 9 x 2 − 141,59 2 o M ( x ) = 0 => 63 x − 9 x − 141,59 = 0 => pas de solution réelle. Ce qui veut dire que le moment ne change pas de signe. La travée est entièrement soulevée.
V ( x ) = 63 − 18 x o V ( x ) = 0 pour x = 3,50m M max = M ( x = 3,50 m) = −31,34 KN .m -141,59 kN.m
-31,34 kN.m
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Cas 3 :
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M w = M e = −128,49 KN .m
50 × 7 50 x 2 x 128,49 M ( x) = .x − − 128,491 − − x 2 2 7 7 M ( x ) = 175 x − 25 x 2 − 128,49 + 18,36 x − 18,36 x
M ( x ) = 175 x − 25 x 2 − 128,49 o M ( x ) = 0 => x = 0,833m ou x = 6,17m V ( x ) = 175 − 50 x o V ( x ) = 0 pour x = 3,50m M max = M ( x = 3,50m ) = 177,76 KN .m
-128,49 kN.m
177,76 kN.m Les moments de la travée 3 sont obtenus par symétrie de la travée 1.
11.9.4. Analyse détaillée de la travée 2. Si on superpose toutes les courbes de moments obtenus précédemment, on a le schéma suivant :
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24
Nous maintenant analyser de façon détaillée la travée 2 en partant des hypothèses suivantes : Section de la travée centrale : 25*60cm Béton B25 et acier Fe500. Hauteur utile : d=0.9h= 0.54m. On cherche à calculer pour cette travée : Les armatures longitudinales inférieures. Les aciers de chapeaux. La longueur des barres en considérant les courbes de moments adéquates.
Armatures longitudinales inférieures Pour le calcul de ces armatures, on prend compte la courbe de moment du cas III (qui donne le moment max en travée) qui correspond au chargement de la travée centrale et au non-chargement des travées adjacentes. On a donc
M u = 177.76 KN .m = 0.178MN .m .
On effectue à partir de cette valeur un dimensionnement en flexion simple : Hauteur utile : d=0,54m
Calcul du moment réduit :
µb =
Mu 0,178 = = 0,172 bd ² Fbu 0,25 × 0,54² × 14,17
[
]
[
]
α u = 1,25 1 − (1 − 2µb ) = 1,25 1 − (1 − 2 × 0,172) = 0,237 Calcul du bras de levier zb : zb = d (1 − 0,4α ) = 0,54(1 − 0,4 × 0,237) = 0,489m
Calcul de la section d’armatures :
Calcul de α :
Au =
o
Mu 0,178 = = 8,37.10− 4 m ² = 8,37cm² zb Fed 0,489 × 434.78
On peut mettre en place 3HA16+3HA12= 6.03 + 3.39= 9.42 cm². Aciers de chapeaux – travée 2 Pour le calcul des aciers sur appuis, on prend en compte le cas de chargement donnant le moment maximum sur appui, à savoir le cas I : chargement des travées de part et d’autres de l’appui. On a donc
M u = 198.59 KN .m = 0.198MN .m
Le signe du moment n’a pas d’influence sur le dimensionnement en flexion simple mais indique simplement que la fibre tendue est en partie supérieure de la poutre. On effectue à partir de cette valeur un dimensionnement en flexion simple : Hauteur utile : d=0,54m
µb =
0,198 = 0,192 0,25 × 0,54² × 14,17
[
]
α u = 1,25 1 − (1 − 2 × 0,192) = 0,269 zb = d (1 − 0,4α ) = 0,54(1 − 0,4 × 0,269) = 0,482m Au =
0,198 = 9,45.10 − 4 m ² = 9,45cm ² 0,482 × 434.78
Vu le faible écart, on peut mettre en place 3HA16+3HA12= 6.03 + 3.39= 9.42 cm².
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25
Arrêt des barres en fibre inférieure (travée) Pour l’arrêt des barres des aciers inférieurs, on va utiliser la courbe de moments du cas III qui nous a donné le moment max en travée. Le calcul précédent en flexion simple nous a donné : M u = 0.178MN .m
zb = 0.48m
Un bras de levier de
Une section d’acier réelle de 3HA16 + 3HA12.
On détermine ensuite le moment résistant de chaque lit : er
1 lit – 3HA16 (6.03cm²) =>
2
ème
On a bien
M r1 = 6,03.10 −4 × 434,78 × 0,48 = 0,126 MN .m
lit – 3HA12 (3.39cm²) =>
M r 2 = 3,39.10 −4 × 434,78 × 0,48 = 0,071MN .m
M r1 + M r 2 = 0.197 MN .m > M u = 0.178MN .m .
L’équation du moment en travée 2 du cas III est :
M ( x ) = 175 x − 25 x 2 − 128,49 .
Pour connaitre l’abscisse à laquelle on doit arrêter le 2 0.126MN.m soit 126KN.m
ème
lit, on chercher à déterminer x tel que M(x)=
On a donc :
M ( x) = 175 x − 25 x 2 − 128,49 = 126
175 x − 25 x 2 − 254,49 = 0 => x=2.06m et x=4.93m
A l’abscisse x=2.06m, il faut retrancher le décalage de la courbe de moment, soit 0.8h= 0.48m. ème
Le 2
lit d’armature commence donc à x=2.06-0.48= 1.58m. er
On vérifie ensuite qu’en projetant une perpendiculaire sur le 1 lit et en y ajoutant la longueur de scellement (ls=50φ=50*1.2=60cm), on ne coupe pas la courbe de moment.
1er lit 3HA 16 Mru = 0,126 MNm
2.06 2eme lit 3HA12 Mru = 0,071 MNm
0.48
0.60
1.92 3.50
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Arrêt des barres en fibre supérieure (sur appui) Théoriquement, pour le calcul des longueurs d’aciers de chapeaux, on part de la courbe de moment du cas II, à savoir le cas qui donne le point de moment nul le plus éloigné de l’appui, et donc la longueur d’acier de chapeaux la plus importante (voir §11.4). En analysant la courbe de moment, on se rend compte que le cas II correspond à une travée centrale entièrement soulevée, c'est-à-dire que le moment sur appui ne s’annule pas le long de la travée. Pour er des raisons de simplification de ferraillage, on prolonge donc le 1 lit (3HA16) sur toute la longueur de la travée, ce qui suffit largement à reprendre le moment de -31.34KN.m. ème
Ensuite, on arrête le 2
lit (3HA12) par rapport à la courbe du cas II :
M ( x ) = 63 x − 9 x 2 − 141,59
Pour connaitre l’abscisse à laquelle on doit arrêter le 2 -0.126MN.m soit -126KN.m
ème
lit, on chercher à déterminer x tel que M(x)=
On a donc :
M ( x) = 63 x − 9 x 2 − 141,59 = −126
63 x − 9 x 2 − 15,59 = 0 => x=0.26m et x=6.74m
A l’abscisse x=0.26m, il faut ajouter (car on décale en sens inverse par rapport au moment en travée) le décalage de la courbe de moment, soit 0.8h= 0.48m. ème
Le 2
lit d’armature se termine donc à x=0.26+0.48= 0.54m en considérant le cas II.
Faisons le même calcul en considérant le cas I :
M ( x ) = 175 x − 25 x 2 − 198,59
M ( x) = 175 x − 25 x 2 − 198,59 = −126
M ( x) = 175 x − 25 x 2 − 72.59 = 0 => x= 0.44m ème
Pour le cas I, le 2
lit doit donc s’arrêter à 0.44 + 0.48= 0.92m.
On se rend compte que dans le cas de notre exemple, c’est la courbe de moment du cas I (moment ème max sur appui) qui donne la longueur du 2 lit la plus importante. Cela vient du fait que la travée centrale est entièrement soulevée sous le cas II, à savoir que le moment ne change pas de signe en travée et reste toujours négatif.
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