Chapitre 1 LES OUTILS MATHEMATIQUES
September 12, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Chapitre 1 LES OUTILS MATHEMATIQUES...
Description
Hæbnmfquj rntfkmmjaaj
Rkhhnfrj > AJR KZ\FAR HN\@JHN\F^ZJR HN\@JH N\F^ZJR ......................................................................................................................... 4 >.>
Fmtrklub Fmtrklubtfkm tfkm .............................................................................................................................................. 4
>.4
Lægfmf Lægfmftfkm tfkm ................................................................................................................................................... 4
>.2
Banssfg Banssfgfbntf fbntfkm km ljs vjbtjurs vjbtju rs .................................................................................................................... 4
>.<
Bkhpksnmtjs l‖um vjbtjur .................................................................................................................. .................................................................................................................. 4
>.:
Akf lj bkhpksftfkm bkhpks ftfkm fmtjrmj fmtjrm j 5 Rkhhj vjbtkrfjaaj vjbtkrf jaaj ............................................................................... 4
>.:.>
Srkprfætæs Srkprfæt æs lj an skhhj vjbtkrfjaaj vjbtkr fjaaj ............................................................................................. 2
>.:.4
Huatfpafbntfkm Huatfpa fbntfkm pnr um sbnanfrj sbnanf rj ....................................................................................................... 2
>.7
Bkhdfmnf Bkhdfmnfskm skm afmænfrj afmæn frj ljs vjbtjurs vjbtju rs ..................................................................................................... 2
>.7.> >.9
Læpjmlnmbj jt fmlæpjmlnmbj afmænfrj jmtrj ajs vjbtjurs ............ .................. ............ ............ ............ ............ ............ ........ .. 2
Srkluft sbnanfrj sbnan frj lj ljux vjbtjurs vjbtju rs ....................................................................................................... <
>.9.>
Srkprfætæs Srkprfæt æs lu prkluft prkluf t sbnanfrj sbnanf rj ....................................................................................................... :
>.9.4
Jxprjssfkm Jxprjs sfkm nmnaytfquj nmnayt fquj lu prkluft sbnanfrj sbnanf rj ................................................................................. :
>.9.2
Mkrhj ku hkluaj l‖um vjbtjur .................................................................................................. .................................................................................................. :
>.9.<
Wjbtjurs Wjbtj urs krt`kikmnux krt`kikm nux ................................................................................................................... :
>.9.:
Dnsj krt`kmkrhæj krt`kmkr hæj .......................................................................................................................... 7
>.0
Srkluft vjbtkrfja vjbtkr fja lj ljux vjbtjurs vjbtj urs ...................................................................................................... 7
>.0.>
Srkprfætæs Srkprfæt æs lu prkluft prkluf t vjbtkrfja vjbtkrf ja ..................................................................................................... 7
>.0.4
Srkluft vjbtkrfja ljs vjbtjurs umftnfrjs l‖umj dnsj krt`kmkrhæj krt`kmkrhæj ........................................ ...................................... 9
>.0.2
Jxprjssfkm nmnaytfquj lu prkluft vjbtkrfja lnms umj dnsj krt`kmkrhæ lfrjbt ............ ................. ..... 9
>.0.<
Srkluft hfxtj .................................................................................................................................... 9
>.0.:
Lkudaj prkluft vjbtkrfja vjbtkrf ja ................................................................................................................ 0
>.6
Srkejbt Srkejbtfkm fkm ljs vjbtjurs vjbtj urs .......................................................................................................................... 0
>.6.>
Srkejbtfkm krt`kikmnaj l‖um vjbtjur sur um nxj ..................................................................... nxj ..................................................................... 0
>.6.4
Srkejbtfkm krt`kikmnaj l‖um vjbtjur sur um panm .................................................................... panm .................................................................... 0
>.>3
3:/>3/43>7
Lfvfsfkm Lfvfs fkm vjbtkrfjaaj vjbtkrf jaaj ............................................................................................................................... 0
Snij >/6
Hæbnmfquj rntfkmmjaaj
> AJR KZ\FAR HN\@JHN\F^ZJR >.> Fmtrklubtfkm
A‖jxpksæ lj an hæbnmfquj jst gkrtjhjmt gnbfaftæ pnr a‖utfafsntfkm lu bnabua vjbtkrfja. Km nppjaaj irnmljur vjbtkrfjaaj ljs irnmljurs lfrfiæjs, b‖jst b‖jst-ã-lfrj -ã-lfrj bnrnbtærfsæjs pnr umj lfrjbtfkm jt um sjms nakrs quj ajs irnmljurs sbnanfrjs skmt ljs irnmljurs lægfmfjs sjuajhjmt pnr ajur fmtjmsftæ.
>.4 Lægfmftfkm Zm vjbtjur jst um sjihjmt lj lrkftj KN sur ajquja km n b`kfsf umj krfifmj K jt umj jxtræhftæ N ? fa jst lægfmf pnr 5 - skm krfifmj ? - sn lfrjbtfkm ? - skm sjms ? - skm hkluaj.
Zm vjbtjur 5 v ku KN
>.2
Banssfgfbntfkm ljs vjbtjurs
Fa jxfstj pausfjurs typjs lj vjbtjurs 5 - Wjbtjur afdrj 5 an lfrjbtfkm, aj sjms jt aj hkluaj skmt lkmmæs hnfs an lrkftj suppkrt jt aj pkfmt l‖nppafbntfkm (krfifmj lu vjbtjur) mj skmt pns bkmmujs ? - Wjbtjur iafssnmt 5 aj pkfmt l‖nppafbntfkm (krfifmj lu vjbtjur) m‖jst pns gfxæ ? - Wjbtjur afæ 5 tkus ajs æaæhjmts lu vjbtjur skmt lætjrhfmæs ? - Wjbtjur umftnfrj 5 b‖jst um vjbtjur lkmt aj hkluaj jst æina ã >.
>., j4 , j2 Bjttj dnsj jst krt`kmkrhæj sf 5
> sf f e jf .j e 3 sf f e
An dnsj T3 jst lftj lfrjbtj sf um kdsjrvntjur sj panénmt ã a‖jxtræhftæ lu vjbtjur j2 vjrrn aj vjbtjur
j> tkurmjr vjrs aj vjbtjur j4 lnms aj sjms bkmtrnfrj ljs nfiufaajs l‖umj hkmtrj. Lnms bjttj dnsj um vjbtjur v lj bkhpksnmtjs x, y, z T s‖æbrfrnft 5
2
v xj> y j 4 zj2 2
Ajs qunmtftæs ræjaajs x, ræjaajs x, y, z skmt nppjaæjs bkhpksnmtjs lu vjbtjur v lnms an dnsj T . An mktntfkm nlkptæj jst an sufvnmtj 5
x v y z T 3
>.:
Akf lj bkhpksftfkm fmtjrmj 5 Rkhhj vjbtkrfjaaj
An skhhj lj ljux vjbtjurs v> jt v4 jst um vjbtjur w tja quj 5
v>, v 4 T2 mkus
nvkms
w v> v 4 T2 3:/>3/43>7
Snij 4/6
Hæbnmfquj rntfkmmjaaj
Rkft n>, n 5 v> 4 , n2 ajs bkhpksnmtjs lu vjbtjur v> l‖kö 5 bkhpksnmtjs lu vjbtjur v4 l‖kö 5 5 v4
4 j4 n2 j2 jt d>, d 4 , d2 ajs n>j> n
d>j> d 4 j4 d2 j2
Aj vjbtjur skhhj jst lægfmf pnr an rjantfkm 5
w v> v4 n> d> j > n 4 d4 j4 n2 d2 j 2 A‖æaæhjmt mjutrj ku vjbtjur mua, jst mktæ 5 5 3 3,3,3
>.:.>
Srkprfætæs lj an skhhj vjbtkrfjaaj
- an skhhj vjbtkrfjaaj jst bkhhutntfvj 5 v> v4 v4 - an skhhj vjbtkrfjaaj jst nsskbfntfvj 5 v> v4
v> ?
v2 v> v4 v2
?
- a‖æaæhjmt mjutrj jst lægfmf pnr 5 5 v 3 v ?
- N tkut vjbtjur v bkrrjspkml um vjbtjur kppksæ mktæ v tja quj 5 v v 3
>.:.4
Huatfpafbntfkm pnr um sbnanfrj
Rf ο jst um mkhdrj ræja jt jt v um vjbtjur, ajur prkluft jst um vjbtjur.
T, v T2 w v T2 Aj vjbtjur w jst bkafmænfrj nu vjbtjur v . Rf aj vjbtjur v n pkur bkhpksnmtjs n>, n 4 , n2 tja quj 5 v s‖æbrfrnft 5 5 w
n>j> n4 j 4 n2 j2 ?
aj vjbtjur w
n>j> n4 j 4 n2 j2
An huatfpafbntfkm l‖um vjbtjur pnr um sbnanfrj værfgfj ajs prkprfætæs sufvnmtjs 5 n) Lfstrfdutfkm pnr rnppkrt ã a‖nllftfkm ljs sbnanfrjs 5 5 > 4 v > v 4 v ?
b) Nsskbfntfvftæ pkur an huatfpafbntfkm pnr um sbnanfrj 5 5 v v
v> v4 ? d) Lfstrfdutfkm pnr rnppkrt ã an skhhj vjbtkrfjaaj 5 5 v> v4 >
>.7
4
> 4
Bkhdfmnfskm afmænfrj ljs vjbtjurs
Rkft ajs m vjbtjurs 5 v>, v4 , v 2 ,... vf ,... a‖jspnbj T2 jt >, 4 , 2 ,..., m ljs mkhdrjs ræjas. Ajs vm lj a‖jspnbj vjbtjurs >v>, 4 v4 , 2 v2 ,..., f vf ,..., a‖jspnbj T2 nfmsf quj ajur m vm skmt nussf ljs vjbtjurs lj a‖jspnbj skhhj w lægfmf pnr 5
w >v> 4 v4 2 v 2 ...... m vm
m
v f
f
f
Aj vjbtjur w jst nppjaæ bkhdfmnfskm afmænfrj ljs vjbtjurs 5 v>, v4 , v2 ,...... vm
>.7.>
Læpjmlnmbj jt fmlæpjmlnmbj afmænfrj jmtrj ajs vjbtjurs
>.7.>.> Lægfmftfkm Km lft quj ajs m vjbtjurs 5 v>, v4 , v 2 ,... vf ,... vm lj a‖jspnbj T2 skmt afmænfrjhjmt fmlæpjmlnmt sf jt m
sjuajhjmt sf, fas værfgfjmt an rjantfkm sufvnmtj 5
v f
f
3:/>3/43>7
f
3 jmtrnímj quj tkus ajs f skmt muas.
Snij 2/6
Hæbnmfquj rntfkmmjaaj
m
v f
f
>v> 4 v4 2 v2 ...... m v m 3 > 3, 4 3, 2 3,......, m 3
f
Rf ajs f mj skmt pns tkus muas km lft quj ajs vjbtjurs skmt afmænfrjhjmt læpjmlnmt jmtrj jux.
>.7.>.4 Srkprfætæs sur a‖fmlæpjmlnmbj ljs vjbtjurs n) Zm vjbtjur v jst ã auf sjua um vjbtjur afmænfrjhjmt fmlæpjmlnmt ? d) Lnms um systàhj lj vjbtjurs afmænfrjhjmt fmlæpjmlnmts, nubum l‖jmtrj jux mj pjut åtrj um vjbtjur mua ? b) Lnms um jmsjhdaj lj vjbtjurs fmlæpjmlnmts, tkut skus jmsjhdaj præajvæ sur bjs vjbtjurs gkrhj um systàhj lj vjbtjurs fmlæpjmlnmts.
>.7.>.2 Srkprfætæs sur an læpjmlnmbj ljs vjbtjurs Rf m vjbtjurs skmt læpjmlnmts jmtrj jux nakrs, nu hkfms a‖um l‖jmtrj jux jst u mj bkhdfmnfskm a‖jspnbj T2 jt >, 4 , 2 ,..., m ljs afmænfrj ljs nutrjs. Rkft ajs m vjbtjurs 5 v>, v4 , v 2 ,... vf ,... vm lj a‖jspnbj m
mkhdrjs ræjas, sf bjs vjbtjurs skmt afmænfrjhjmt læpjmlnmts an rjantfkm 5
v f
f
3
f
Fhpafquj qu‖fa jxfstj ljs f mkm muas, lj tjaaj skrtj quj an rjantfkm pufsj s‖æbrfrj 5 m
v f
f
>v> 4 v4 2 v 2 ...... m vm 3
f
quf lkmmj pnr jxjhpaj 5
>v> 4 v4 2 v2 ...... m vm
v>
>
>
v v 4
4
2
2
...... m vm
Km lft nakrs quj v> læpjml afmænfrjhjmt ljs vjbtjurs 5 v4 , v 2 ,...... vm
Tjhnrquj 5 n)Rf
v>, v4 , v2 ,...... vm
skmt
afmænfrjhjmt
fmlæpjmlnmt,
nakrs
ajs
vjbtjurs
v>, v4 , v2 ,... vf ,... m 4 ,... . vm , vm>, vm 4 ,... aj skmt nussf quja quj skft ajs vjbtjurs vm> , v Lnms um jmsjhdaj lj vjbtjurs afmænfrjhjmt fmlæpjmlnmts, b`nquj vjbtjur jst umj bkhdfmnfskm umfquj ljs nutrjs vjbtjurs. m
d) Rkft w
f vf
m
jt v
f
f vf ljux vjbtjurs fmlæpjmlnmts5 f
A‖æinaftæ jmtrj ajs ljux vjbtjurs fmlæpjmlnmts jst æqufvnajmtj ã m æinaftæs jmtrj ajs mkhdrjs ræjas 5 Rf w
>.9
v f f
Srkluft sbnanfrj lj ljux vjbtjurs
Km nppjaaj prkluft sbnanfrj lj ljux vjbtjurs v> jt v4 umj akf lj bkhpksftfkm jxtjrmj quf nsskbfj nux ljux vjbtjurs, um sbnanfrj (mkhdrj ræja) mktæ 5 v>.v4 tja quj 5
v>, v4 T 2 v>.v4 T
v>.v 4 v> . v 4 bks v>, v4 ? aj ræsuatnt l‖um prkluft sbnanfrj jst um sbnanfrj. Aj prkluft sbnanfrj jst mua, sf 5 Ajs ljux vjbtjurs skmt krt`kikmnux ? k A‖um ljs vjbtjurs jst mua. k 3:/>3/43>7
Snij .9.>
Srkprfætæs lu prkluft sbnanfrj
n) afmænrftæ 5 v> v4 .w v> .w v4 .w , v . w v.w
d) d) syhætrfj syhætrfj pnr rnppkrt nux vjbtjurs 5 v.w w.v lkmb 5 v.v 3 sf v
3
Aj prkluft sbnanfrj jst umj gkrhj afmænfrj syhætrfquj nsskbfæj nux vjbtjurs v jt w >.9.4 Jxprjssfkm nmnaytfquj lu prkluft sbnanfrj Bkmsflærkms umj dnsj d lj a‖jspnbj T2 mktæj 5 d j>, j 4 , j2 . Bjttj dnsj jst krt`kmkrhæj sf 5
> sf f e jf .j e 3 sf f e An dnsj d jst lftj lfrjbtj sf um kdsjrvntjur sj panénmt ã a‖jxtræhftæ lu vjbtjur j2 vjrrn aj vjbtjur
j> tkurmjr vjrs aj vjbtjur j4 lnms aj sjms bkmtrnfrj ljs nfiufaajs l‖umj hkmtrj.
Rkfjmt ljux vjbtjurs v> jt v4 . Ajurs jxprjssfkms lnms bjttj dnsj skmt 5
v> n>j> n 4 j4 n2 j2
v4 d>j> d 4 j4 d2 j2 Aj prkluft sbnanfrj ljs ljux vjbtjurs jst lkmmæ pnr 5
v>.v4 n>j> n4 j4 n2 j2 . d>j > d4 j4 d2 j2 n>d> n4 d4 n2 d2 >.9.2
Mkrhj ku hkluaj l‖um vjbtjur
Km nppjaaj mkrhj ku hkluaj l‖um vjbtjur v , mktæ 5 v an rnbfmj bnrræj pksftfvj lu prkluft sbnanfrj lu vjbtjur pnr auf-håhj. v
v.v v
4
Mkus nvkms jm pnrtfbuafjrs 5 v v
v> v4 v> v4 v> v4 5 Nppjaæ fmæinaftæ trfnmiuanfrj. >.9.3/43>7
Snij :/6
Hæbnmfquj rntfkmmjaaj
>.9.: Dnsj krt`kmkrhæj Zmj dnsj jst lftj krt`kmkrhæj sf ajs vjbtjurs quf an bkmstftujmt skmt pjrpjmlfbuanfrjs ljux ã ljux jt sf ajurs mkrhjs skmt æinajs ã >. Rf d j>, j 4 , j2 jst krt`kmkrhæj mkus nvkms nakrs 5
j>.j 4 3 , j>.j 2 3 , j4 .j 2 3 4
4
4
j>.j> j> >, j4 .j4 j4 >, j2 .j2 j2 > >.0
Srkluft vjbtkrfja lj ljux vjbtjurs
Aj prkluft vjbtkrfja lj ljux vjbtjurs v> jt v4 lj a‖jspnbj T2jst um vjbtjur w pjrpjmlfbuanfrj ã
v> jt v4 , lægfmf pnr 5
w v> v4 v > v4 sfm v>, v4 m ku 5 m jst um vjbtjur umftnfrj pjrpjmlfbuanfrj ã v> jt v4 Aj prkluft vjbtkrfja jst mua sf 5 - Ajs ljux vjbtjurs skmt bkafmænfrjs ? - A‖um ljs vjbtjurs, jst mua.
>.0.>
Srkprfætæs lu prkluft vjbtkrfja
n) Aj hkluaj lu prkluft vjbtkrfja jst æina ã a‖nfrj lu pnrnaaæakirnhhj gkrhæ pnr v> jt v4 ? d) Aj prkluft vjbtkrfja jst lfstrfdutfg ã inub`j jt ã lrkftj pkur an skhhj vjbtkrfjaaj 5
v> v4 w v> w v4 w
w v> v4 w v > w w v4 b) Aj prkluft vjbtkrfja jst nsskbfntfg pkur an huatfpafbntfkm pnr um mkhdrj ræja 5
v w v w
v w v w
l) Aj prkluft vjbtkrfja jst nmtfsyhætrfquj (nmtfbkhhutntfg)
v> v4 v4 v> Rf km nppafquj bjttj bjttj prkprfætæ nu prkluft vjbtkrfja l‖um håhj vjbtjur, mkus nurkms 5
v v v v 3 Km læluft ã pnrtfr lj bjttj prkprfætæ quj 5 ljux vjbtjurs mkm muas skmt bkafmænfrjs sf jt sjuajhjmt sf ajur prkluft vjbtkrfja jst mua.
4 Rf v> // v4 nakrs v> v
3
Jm jggjt sf v> // v4 km pjut æbrfrj 5 v> v4 ⇔ v> v 4 3:/>3/43>7
v4 v4 3 Snij 7/6
Hæbnmfquj rntfkmmjaaj
>.0.4
Srkluft vjbtkrfja ljs vjbtjurs umftnfrjs l‖umj dnsj dns j krt`kmkrhæj
Rf d j>, j 4 , j2 jst krt`kmkrhæj mkus nvkms 5 Rjms lfrjbt 5
j> j 4 j2 , j2 j > j4 , j4 j 2 j> Rjms kppksæ 5
j4 j > j2 , j> j 4 j4 , j2 j 4 j> >.0.2
Jxprjssfkm nmnaytfquj lu prkluft vjbtkrfja lnms umj dnsj krt`kmkrhæ lfrjbt
Aj prkluft vjbtkrfja lj ljux vjbtjurs v> jt v4 lj bkhpksnmtjs rjspjbtfvjs lnms umj dnsj
x v y z T
>
krt`kmkrhæj lfrjbt T5
>
>
>
jt
x v y z T 4
4 4
4
x> x4 y> z4 z>y 4 v> v4 y> y 4 z> x4 x> z4 z z x y y x > 4 T > T 4 T > 4 >.0. , v4 jt v2 prfs lnms bjt krlrj, aj mkhdrj ræja lægfmf pnr 5 v>. v 4 v2 Aj prkluft hfxtj jst lkmb um sbnanfrj æina nu vkauhj vjbtjurs.
lu pnrnaaæaæpfpàlj gkrhæ gkrhæ pnr ajs trkfs
Aj prkluft hfxtj jst mua, sf 5 - ajs trkfs vjbtjurs skmt lnms aj håhj panm ? - ljux ljs vjbtjurs skmt bkafmænfrjs ? - a‖um ljs vjbtjurs, jst mua. Km hkmtrj gnbfajhjmt quj, lnms umj dnsj krt`kmkrhæj lfrjbtj, aj prkluft hfxtj jst um vnrfnmt sbnanfrj pnr pjrhutntfkm bfrbuanfrj lfrjbt ljs trkfs vjbtjurs bnr aj prkluft sbnanfrj jst bkhhutntfg5
v>. v4 v2 v2 . v > v4 v4 . v2 v> Tjhnrquj 5 Zmj mktntfkm sfhpafgfæj, lnms anqujaaj ajs kpærntjurs m‖nppnrnfssjmt pns, jst nlkptæj lnms bj bns pkur gnbfaftjr a‖æbrfturj ljs æquntfkms vjbtkrfjaajs 5
v>. v 4 v2 jst æqufvnajmt ã v>, v 4 , v2 mkus nvkms nakrs 5 v>, v4 , v2 v2 , v >, v4 v4 , v2 , v>
3:/>3/43>7
Snij 9/6
Hæbnmfquj rntfkmmjaaj
>.0.:
Lkudaj prkluft vjbtkrfja
Aj lkudaj prkluft vjbtkrfja lj trkfs vjbtjurs rjspjbtfgs v>, v 4 , v2 jst um vjbtjur w jxprfhæ pnr an rjantfkm 5 w
v> v 4 v2
. Aj vjbtjur w jst pjrpjmlfbuanfrj nu vjbtjur v> jt nu vjbtjur gkrhæ
pnr aj prkluft 5 v4 v2 , fa jst lkmb lnms aj panm gkrhæ pnr ajs vjbtjurs v4 jt v2 . Aj vjbtjur w pjut s‖æbrfrj 5 w
n v4 dv2
Mkus pkuvkms præsjmtjr bjttj rjantfkm nutrjhjmt pnr fljmtfgfbntfkm ljs sbnanfrjs n jt d, km kdtfjmt 5
v> v4 v2 v>.v2 v4 v>.v4 v2 Fa gnut gnfrj nttjmtfkm ã a‖krlrj ljs vjbtjurs bnr aj prkluft vjbtkrfja m‖jst pns bkhhutntfg. Skur rjtjmfr bjttj gkrhuaj, fa jst paus sfhpaj lj a‖æbrfrj skus an gkrhj 5
N D B D N.B B N.D >.6 >.6.>
Srkejbtfkm ljs vjbtjurs Srkejbtfkm krt`kikmnaj l‖um vjbtjur sur um nxj
Rkft v um vjbtjur qujabkmquj, jt (Μ) um nxj lj a‖jspnbj lægfmf pnr skm vjbtjur umftnfrj u . An prkejbtfkm krt`kikmnaj lu vjbtjur v jst an bkhpksnmtj vu lj bj vjbtjur lu bjt nxj.
vu v.u u
>.6.4
Srkejbtfkm krt`kikmnaj l‖um vjbtjur sur um panm
Rkft v um vjbtjur qujabkmquj, jt (σ) um panm lj a‖jspnbj lægfmf pnr an mkrhnaj m . An prkejbtfkm krt`kikmnaj lu vjbtjur v jst an bkhpksnmtj v lnms aj panm. Aj vjbtjur v n ljux bkhpksnmtjs a‖umj lnms aj panm jt a‖nutrj pjrpjmlfbuanfrj nu panm. Km n nfms nfmsff 5
v v vm v v.m m ^uf s‖æbrft nussf skus an gkrhj 5 v
m.m v v.m m
Km rjtrkuvj an rjantfkm lu lkudaj prkluft vjbtkrfja vjbtkrfja jmtrj ajs vjbtjurs v jt m 5 v
m v m
>.>3 Lfvfsfkm vjbtkrfjaaj Rf w x v , km lft quj x jst aj ræsuatnt lj an lfvfsfkm vjbtkrfjaaj lj w pnr v
f) v mj lkft pns åtrj um vjbtjur mua ? ff) w jt v lkfvjmt åtrj krt`kikmnux R‖fa jxfstj umj skautfkm pnrtfbuafàrj pnrtfbuafàrj x 3 , nakrs jaaj jst an gkrhj x3 Jm rjhpanénmt bjttj vnajur lnms a‖jxprjssfkm w
v w
x v km kdtfjmt 5 w v w v ⇜ w w v . v v v.w
3:/>3/43>7
Snij 0/6
Hæbnmfquj rntfkmmjaaj
Bkhhj v w nakrs v.w
3 ? km kdtfjmt 5 w w v.v
Mkus nvkms nussf 5 x v
⇔
x3 v x x3 v 3
>
v4
bjttj jxprjssfkm hkmtrj quj aj vjbtjur
FT ku x x3 jst pnrnaaàaj ã v , lnms bj bns mkus pkuvkms æbrfrj quj 5 x x 3 v nvjb ο ∀ FT
x x 3 v Gfmnajhjmt 5 x
3:/>3/43>7
vw v v4
Snij 6/6
View more...
Comments
