CHAPITRE 03 Arbres Et Axes

 

CHAPITRE 03:

 ARBRES ET AXES  AXES  (Calcul et Dimensionnement )

I- Géné Général ralité itéss : 1. Déf Défini initio tions ns : Les arbres et les axes sont des pièces mécaniques, de section généralement circulaire. Leur  rôle principal est de supporter les pièces de rotation d’une machine et de matérialiser leur axe de rotation géométrique. Les Axes : Ne sont prévus que pour supporter les pièces de rotation. ls peuvent !tre soit "ixes par 

rapport rappo rt aux pièces supportent, suppo rtent,des soitcharges tourner"léchissant. avec elles. Les e""orts e""orts s’exer#ant sur les pièces de rotation agissent surqu’ils leur axe comme Les Arbres Arbre s : Non seulement portent les pièces de rotation, mais transmettent aussi le moment $coup $co uple) le) de torsio torsion n entre entre les élémen éléments ts de transmi transmissio ssion n qu’ils qu’ils suppor supporten tentt : poulie poulies, s, engren engrenage ages, s,  pignons de cha%nes, etc. l en résulte qu’en plus des e""orts "léchissant, ils sont sollicités par un moment de torsion sur toute leur longueur ou sur une partie seulement.

. Con Constr str!"ti !"tion on : &’aprèss les "ormes &’aprè "ormes géomét géométriq riques ues,, on distin distingue gue les arbres arbres droits, droits, coudés coudés $vileb $vilebreq requin uin), ), "lexibles. Les axes ne peuvent !tre que droits. Les arbres droits peuvent !tre : lisses, ' gradin $dans la plupart des cas), ' brides et ' pignons "igure $().

rbre lisse 3rous

1ainure de clavette

rbre ' gradins

rbre ' -rides

&ents de pignon

rbre ignon

&’après la "orme géométrique de la section droite, les arbres et les axes peuvent !tre : pleins, creux, cannelés, etc. / / / lein

2reux

2annelé

 

Les parties d’appuis des arbres et des axes s’appellent to!rillons . Les tourillons situés sur les  bouts des arbres et subissent les réactions radiales s’appellent er#ots . Les tourillons intermédiaires s’appellent "ollets. Les tourillons subissant les réactions axiales s’appellent pivots. *n distingue les ergots c+lindriques, coniques et sphériques.

0rgot conique

0rgot sphérique

'i#.01

3. Cal"!l $e %ré$éter&ination %ré$éter&inat ion $es arbres :

Module : Construction Mécanique  

Enseignant : Mr Nafaâ ali

 

-ien que certains calculs calculs de prédéterminati prédéterminations ons $calcul de dimensionnemen dimensionnement) t) soient encore  basés sur la théorie de la résistance des matériaux, l’optimisation des arbres relève maintenant de l’emploi de codes de calcul utilisant les éléments "inis. 0n e""et, le calcul de prédétermination d’un arbre se "ait ' partir: d’un calcul classique de 1.&.4. $ ( la résistan"e ou ' la dé"ormation) dé"ormation).. Le calcul ' la résistance résistance est d’ailleurs le critère essentiel de l’aptitude au travail des axes et des arbres. 2ependant le calcul ri#i #i$i $ité té) est pratiq ' la dé dé"o "orm rmati ation on $( la ri pratiqué ué général généraleme ement nt pour pour véri"i véri"ier er les constru constructi ctions ons importantes.  de la théorie théorie de la "atigue ou de l’endurance, l’endurance, pour les arbres ou les axes aux vitesses vitesses rapides. rapides. our le calcul ( l)en$!ran"e il "aut savoir les dimensions des arbres et des axes déterminées par  le calcul ' la résistance statique. *ibrations  pour d’un d’un ca calc lcul ul de vé véri ri"ic "icat atio ion n a!x *ibrations pour les constru constructi ctions ons importa importante ntess aux vitesse vitessess rapides.

5uivant la destination de l’arbre, tous les critères de calcul ne seront pas nécessairement utilisés. 6n arbre de réducteur de "orte capacité sera en premier lieu calculé ' la résistance. ar  contre on commencera par "aire un calcul ' la vitesse critique pour un arbre de turbine, de turbo/ compresseur qui tourne ' es vitesses très élevées. 2es calculs "aits, on dispose d’un diamètre minimal pour l’arbre, ce n’est pas "orcément le diamèt dia mètre re réellem réellement ent choisi choisi,, car l’envir l’environn onneme ement nt techno technolog logiqu iquee peut peut impose imposerr de plus plus grande grandess dimensions et des "ormes spéci"iques. A- Cal"!l $es Arbres et $es Axes Axes ( la Résista Résistan"e n"e :

*n distingue le calcul préalable, le calcul de pro7et et le calcul de véri"ication des arbres $endurance).

1- Cal"!l %réalab %réalable le : 2e calcul n’est qu’une première approximation, il a pour ob7et de donner une idée très grossière sur l’ordre de grandeur du diamètre minimal de l’arbre$les axes ne sont pas concernés par  ce t+pe de calcul). *n détermine le diamètre de l’arbre ' partir de la condition de résistance ' la torsion d’après la "ormule connue de la 1ésistance des matériaux :

d ≥

 M t   *9 (,8[τ ]

4t : moment transmis de torsion et ;< : 2ontrainte admissible de torsion

-Cal" -C al"!l !l $e %ro+ %ro+et et : 2’est le vrai calcul des arbres ' la résistance. l se pratique selon l’ordre suivant : a) *n "ait le schéma schéma de calcul, calcul, o9 les arbres arbres sont modélis modélisés és comme comme des poutres poutres reposan reposantt sur des appuis articulés $liaison pivot), on "ixe les distances entre les appuis articulés et les pièces situées sur l’arbre.  b) *n détermine les valeurs et les directions d’action des e""orts et des moments agissant sur  l’arbre ' travers les organes qu’il supporte. c) *n déco décomp mpos osee les les "o "orc rces es de "l "lex exio ion n en co comp mpos osan ante tess su suiv ivan antt de deux ux pl plan anss mutu mutuel elle leme ment nt  perpendiculaires, et cela pour toutes les charges, puis on trace les schémas calculés pour chaque  plan. d) *n détermi détermine ne les réactions réactions dans dans les appuis appuis $e""or $e""orts ts de liaison) liaison) ' l’aide l’aide de la mécani mécanique que des solides indé"ormables et on construit les épures des moments de "lexion pour chaque plan. e) *n construit construit l’épure l’épure du moment moment résultan résultantt de "lexion "lexion par addition addition géométri géométrique que des moments moments de "lexion agissant dans chaque plan.  M =  M    M  y8      x8 + *9 4 4x et : moment résultant "lexion 4+ : moments dede"lexion agissant dans deux plans perpendiculaires.

Module : Construction Mécanique  

Enseignant : Mr Nafaâ ali

 

") *n cons constru truit it l’épu l’épure re des des mome moments nts de de torsio torsion. n. g) *n constr construi uitt l’ép l’épur uree de dess mome moment ntss ré résul sulta tant ntss 4r suivan suivantt la = ème théorie de la résistance des matériaux d’après laquelle : 8  Mr =  M    + M t 8

h) *n trouve trouve la section section dangereuse dangereuse o9 o9 4r est maximal maximal et on détermi détermine ne ainsi le diamètre diamètre minimal minimal de l’arbre pour la section dangereuse d’après la relation : d  ≥ =

 Mr  (,)[σ  ]  f  

*9 > H; >r  d’acier en NImm8 J A(( J ((( J A(( J ((( ,=C ,=A ,? ,DC ,?C ,EE

,B= ,A8

,D? ,D8

,E ,D?

,BC

8,8?

,A

8,88

8 ,D

=,?

 ,B

8,E

8 ,8

8,?

 ,(

,(

 Remarque : 5i dans la m!me section il + a quelques concentrateurs de contraintes, on tient compte de celui qui a la plus grande valeur de H> . M> et M; sont les "acteurs d’échelle $tableau =.8).

Le diamètre minimal dans la one de concentration $mm)

cie c ierr au au car carbo bone ne

M>

cie ciers rs llié lliéss

M;

M>

M;

de 8( ' =( mm (,C (,BC (,B= (,BC de =( ' D( mm (,BB (,B (,AA (,B de D( ' E( mm (,BD (,AB (,A= (,AB >a  et  ;a sont respectivement les amplitudes des c+cles du changement de contraintes lors de la  M   Mt  "lexion et la torsion. σ a =W    , τ a = 8.W  p   f   = = π  d  π  d    4oment de résistance de la section ' la "lexion. W  p   4oment de de résistance de la W   f   =  p = =8 )? section ' la torsion.   =   τ  a σ  m =(   , τ  m O> et O; sont les coe""icients qui tiennent compte de l’in"luence de la contrainte mo+enne sur la résistance ' la "atigue. *n adopte habituellement : / pour pour les les acie aciers rs au carb carbon onee mo+ mo+en en O> G (,8( et O;  G (,( / ou our les les acie aciers rs alli alliés és O> G (,8E et O; G (,E [ n] est le coe""icient de sécurité admissible. *n adopte [ n]  G $,= PD,().

> >max

; >a

temps

;a

;max

>min

;m

temps

ér iode du c+cle

> max G / > min@ > m G  ( 

'i#.0

2+cle 5+métrique C- Cal"!l $)!n arbre ( la *ibration :

;max Q( @ ;min G ( @ ;m G ;a G ;maxI8  2+cle pulsatoire

Le calcul d’un arbre pour la résistance aux vibrations latérales, se ramène ' véri"ier la condition de non appari apparitio tion n de la résonan résonance, ce, qui provoq provoque ue un accroi accroissem ssement ent brusqu brusquee de l’ampl l’amplitu itude de

Module : Construction Mécanique  

Enseignant : Mr Nafaâ ali

 

susceptible d’entra%ner la rupture de l’arbre. Les résonances apparaissent lorsque la vitesse atteint une valeur critique ' laquelle la "réquence de variation des e""orts extérieurs se con"ond avec celle des vibrations propres du s+stème constitué par l’arbre et les pièces qu’il porte. 5oit un disque d’un poids $R) posé sur un arbre $"ig.(=) s+métriquement par rapport ' ses  paliers. Le centre de gravité du disque est déplacé de la valeur $e) par rapport ' l’axe géométrique de rotation. Lors de la rotation uni"orme de l’arbre avec le disque, l’arbre subit une "lexion sous l’e""et d’une "orce centri"uge Fc. Fc G m.S8 $+  $ + T e)

avec : m : masse du disque $mGRIg)

L e G L6

'i#.03

2ela étant vrai, si on ne tient pas compte du poids propre du s+stème $cas semblable ' celui d’une poutre reposant librement sur deux appuis). D DB. E . I  π  .d   F . L=  y  F   y  F    . . ( d’o9   @  I =  y   . y  F ( . y   @  L= DB. E . I  ?D   avec F( : est la "orce qui provoque une "lèche égale ' l’unité.   0 : 4odule d’élasticité longitudinale  < du matériaux de l Uarbre.   *n peut écrire que    =   e Fc G F d’o9 m.S8$+ T e) G " (.+   *u encore m.S8.+ T m.S8.e m.w 8.e e =  y = 8   f  ( .m.w  F ( −) m .w 8 =

=

=

 

=

vec l’augmentation de la vitesse angulaire ; la valeur de la "lèche