Chapitr 15 Consoles Courtes

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS ET BATIMENT

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" BETON ARME " Chapitre 15 : Calcul des consoles courtes

(Code CCV109)

Enseignant : J. PAÏS

2008 – 2009

CNAM CCV109 – Béton armé

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Sommaire 15.

CALCUL DES CONSOLES COURTES .................................................................................... 3

15.1. DEFINITION ET HYPOTHESES ..................................................................................................... 3 15.2. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES................................................................................................. 3 15.3. NOTATIONS .............................................................................................................................. 4 15.4. VERIFICATION DE LA CONTRAINTE TANGENTE CONVENTIONNELLE................................................ 5 15.5. ARMATURES SUPERIEURES TENDUES......................................................................................... 5 15.6. ARMATURES REPARTIES............................................................................................................ 6 15.7. DIMENSIONNEMENT SOUS CHARGE HORIZONTALE....................................................................... 6 15.8. ARMATURES TRANSVERSALES VERTICALES ................................................................................ 6 15.9. EXERCICE ................................................................................................................................ 7 15.9.1. Vérification domaine d’application................................................................................. 7 15.9.2. Vérification de la contrainte tangente du béton............................................................. 7 15.9.3. Calcul des armatures supérieures tendues................................................................... 8 15.9.4. Armatures inférieures et réparties. ................................................................................ 8 15.9.5. Armatures transversales verticales ............................................................................... 9 15.9.6. Plan de ferraillage.......................................................................................................... 9

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15.

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Calcul des consoles courtes

15.1. Définition et hypothèses Le dimensionnement des consoles courtes est donné à l’annexe E.6 du BAEL91. Sont considérées comme consoles courtes, les consoles dans lesquelles la hauteur utile, noté d est au moins égale à la plus grande des deux dimensions suivantes :
a : distance du point d’application de la résultante de la charge au nu de la section d’encastrement
l : longueur sur laquelle la charge appliquée est répartie.

l

a

P

d

d

a

P

l

d d

Comme on peut le voir sur les schémas ci-dessus, une console courte peut-être à inertie constante ou à inertie variable.

15.2. Dispositions constructives. Quelques remarques d'ordre général issues du BAEL:
Sauf impossibilité absolue, nécessitant des dispositions particulières, les charges ne sont pas appliquées à l’extrémité des consoles. Faute de prendre cette précaution, on risque des désordres au nez par écrasement du béton :

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Les armatures supérieures doivent être de diamètre relativement réduit, de manière à pouvoir les crosser à plat, afin que les extrémités des consoles soient correctement armées (indispensable dans le cas où une charge localisée importante set appliquée près du bord). Toutes les barres horizontales doivent être ancrées pour éviter la transmission des efforts de traction

Une console courte est composée de 4 types d'armatures:
Des armatures supérieures tendues de section totale A.
Des armatures inférieures disposées parallèlement au parement inférieur (droit ou incliné) de section au moins égale à



A . 10

Des armatures de répartition Ar réparties sur la hauteur de la poutre. Des cadres verticaux pour les dispositions constructives.

Dans le cas d'une console à parement droit, on a donc le schéma suivant: Armatures sup tendues A

Armatures de répartition Ar

Armatures inf égales à A/10

au

moins

Pour un parement inclinée, 3 possibilités de ferraillage:

15.3. Notations Les notations sont les suivantes :
Mu : moment de flexion à l’état limite ultime
Vu : effort tranchant à l’état limite ultime.
Hu : effort horizontal appliqué dans le sens de portée de la console (peut-être issu d’un effort de freinage d’un pont roulant).
a : la distance de la résultante de la charge au nu de l’encastrement (a=Mu/Vu)
d : la hauteur utile, c’est-à-dire la distance du centre de gravité des armatures supérieures au parement le plus comprimé
δ : le rapport d/a
τu la contrainte tangentielle conventionnelle à l’état limite ultime.

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15.4. Vérification de la contrainte tangente conventionnelle. Cette vérification est similaire à celle qui est faite vis-à-vis de l’effort tranchant dans les poutres. On calcul la contrainte de cisaillement τu :

τu = Avec :



Vu b0 d

b0: épaisseur de la console. La hauteur utile d doit être limitée: o d < 4a dans le cas d’une charge concentrée. o d < 4l dans le cas d'une charge répartie.

Cette contrainte de cisaillement doit vérifier l’expression :

0,03(2 + δ ). f cj 4 Mpa 

τ u < τ lim = min Attention, dans cette expression les valeurs de



f cj et de δ sont plafonnées :

f cj est plafonnée à 30 Mpa

δ

est plafonné à 4.

15.5. Armatures supérieures tendues Comme nous l’avons vu précédemment, les armatures supérieures tendues peuvent être constituées :
De cadres horizontaux ancrés sur l’appuis.
De barres avec crochets. Ces armatures doivent équilibrer le moment d’encastrement de la console :

A=

Mu F z. e

γs

Où z est pris égal à la plus petite des deux valeurs suivantes :
0.7*d*(1+0.1δ)
2.4*a*(0.4+0.1δ) Nous avons vu précédemment qu’il faut également mettre en place des armatures inférieures qui suivent le parement et de section égale à

A . 10

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15.6. Armatures réparties. Le BAEL indique que l’aire totale des armatures répartie (hors armatures tendues), notée A’, est donnée par :

A' = λ . A Le coefficient

λ est défini par l’expression :

1  12τ u  − 1   δ + 4 Fcj  λ = max       1 / 10 Où δ est plafonné est 4. De plus, la section des armatures disposées au voisinage du parement inférieur peut être prise en compte dans A’, dans la limite de A/10. Lorsque λ > 1/10, il convient donc de disposer des armatures intermédiaires.

15.7. Dimensionnement sous charge horizontale Dans le cas ou la console courte doit reprendre un effort horizontal Hu, il faut prendre deux dispositions :


La section A des armatures tendues définies précédemment doit être majorée de

Hu , ce Fe

γs

qui nous donne la formule suivante : A =

Mu Hu + Fe Fe z.

γs




γs

Pour le calcul de la contrainte tangente, on applique la formule :

τu =

Vu 1 . b0d 1 − 0,6. H u Vu

15.8. Armatures transversales verticales Les cadres transversaux ne font pas l'objet d'une justification quelconque vis-à-vis de l'effort tranchant. Ils peuvent avoir éventuellement un rôle résistant vis-à-vis des sollicitations en torsion. Excepté ce cas, leur rôle est plutôt d'ordre constructif:
Servir de coutures lors d'un ancrage important des armatures supérieures.
Maintenir en place l'ensemble des armatures longitudinales.

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15.9. Exercice On souhaite calculer les armatures de la console courte suivante : Vu 22.5 cm

Hu








15 cm

35cm

b0= 40cm

Hu= 45 kN Vu= 230 kN Béton à 25 Mpa Acier Fe500. d= 31cm

45cm

15.9.1. Vérification domaine d’application On vérifie si on est bien dans le domaine des consoles courtes :

l d > Max  a D’après l’énoncé, on a :
l : longueur d’application de la charge => l= 15cm
A : Distance de la résultante au nu du poteau => a= 22.5cm

 l = 15cm => on est donc bien dans le domaine d’application des a = 22.5cm

On vérifie donc bien d > Max  consoles courtes.

15.9.2. Vérification de la contrainte tangente du béton

On doit vérifier :

Avec

τu =

Vu 1 . ≤ τ lim b0 d 1 − 0,6. H u Vu

0,03(2 + δ ). f cj 4 Mpa 

τ lim = min 




δ=




τ lim

d 31 = = 1,38 a 22.5 0,03(2 + δ ). f cj = 0,03( 2 + 1,38).25 = 2,53Mpa = min  = 2,53Mpa 4 Mpa 

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On calcul la contrainte




τu =

On a bien τ u

τu

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:

Vu 1 0,230 1 . = × = 2,10 Mpa b0 d 1 − 0,6. H u 0,40 × 0,31 1 − 0,6 × 0,045 Vu 0,230

< τ lim . 15.9.3. Calcul des armatures supérieures tendues

On calcul les armatures supérieures tendues à partir de l’expression suivante : A =

Mu Hu + Fe Fe z.

γs

Avec



γs

 0,7d (1 + 0,1δ ) = 0,7 × 0,31(1 + 0,1 × 1,38) = 0,247m z = min  2,4.a (0,4 + 0,1δ ) = 2,4 × 0,225(0,4 + 0,1 × 1,38 = 0,290m M u = Vu .a = 0,290 × 0,225 = 0,065MN .m

D’où


A=

0,065 0,045 + = 7,09cm ² 500 500 0,247. 1,15 1,15

On choisit de mettre 5HA14, soit 7,70cm². 15.9.4. Armatures inférieures et réparties. Pour les armatures inférieures, on doit placer au minimum Ai

=

A = 0,71cm ² . 10

Pour les armatures réparties, on doit mettre A' = λ . A − Ai




1    1 12τ u 12 × 2,10  − 1 = 1,38 + − 1 = 0,35   δ + 4  Fcj 25   4 λ = max        1 / 10




A' = 0,35 × 7,09 − 0,71 = 1,77cm ²

Pour les armatures inférieures, on mettra en place 5HA8 par symétrie avec les aciers supérieurs. Pour les armatures réparties, on mettre deux cadres horizontaux en HA8, soit 4HA8= 2,01cm²

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15.9.5. Armatures transversales verticales Ces armatures ne sont pas issues d’un quelconque dimensionnement et sont purement constructives. On mettra en place 3 cadres en HA8 (dont 1 en extrémité de console).

15.9.6. Plan de ferraillage On aboutit au plan de ferraillage suivant :