Chap2. Déplacements des poutres fléchies

Déplacements des poutres fléchies

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Chapitre 2  DÉPLACEMENTS DES POUTRES  FLÉCHIES 

Les poutres considérées sont droites et possèdent un plan de symétrie qui contient les charges appliquées. Dans ces conditions, la flexion se fait dans le  plan de symétrie de la pièce pièce considérée. Ce chap chapit itre re expo expose se les les prin princi cipa pale less méth méthod odes es qui qui perm permet ette tent nt d'ob d'obte teni nir  r  l'équation de la déformée.

2.1 IMPORTANCE DES CALCULS DE DÉPLACEMENTS Dans toute étude de structure, outre le calcul des réactions, des éléments de réduct réduction ion et des contra contraint intes, es, on fait fait égalem également ent des calcul calculss de déplac déplaceme ements nts.. Généralement, on fixe pour les déplacements des sections des limites admissibles à ne pas dépasser, tout comme pour les contraintes. Il n'est pas rare même que les conditions de déformabilité soient plus sévères que les conditions de résistance. La limitation des déplacements vise avant tout à préserver la fonctionnalité de la construction. A titre d'exemple, une trop grande déformabilité des poutres  peut provoquer la fissuration des cloisons légères et engendrer des désordres très gênants. D'autre part, lorsque les déplacements sont importants ils peuvent modifier  significativement l'action des charges appliquées (ils engendrent d'autres efforts, dits effets du second ordre), et dans ce cas il est nécessaire d'en tenir compte. Par ailleu ailleurs, rs, la résolu résolutio tion n des problè problèmes mes hypers hyperstat tatiqu iques, es, qui consti constitue tuent nt l'essentiel des structures habituelles, fait appel aux calculs de déplacements. Le déplacement de la section d'une poutre peut être : - une translation - une rotation Dans le cas d'une poutre horizontale fléchie dans le plan  xy,  xy, l'axe des x des  x étant confondu avec l'axe longitudinal de la pièce, les déplacements verticaux des centres de gravité des sections droites, mesurés à partir de l'axe  x,  x, sont appelés

C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S T A T IQ IQ U E S

Déplacements des poutres fléchies

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flèches. Les rotations se font autour de l'axe  z  (axe neutre) et représentent les angles, mesurés en radians, dont tournent les sections droites de la poutre.

2.2 ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE LA DÉFORMÉE Considérons une poutre horizontale simplement appuyée, fléchie dans le plan vertical xy (Figure 2.1). Après flexion, l'axe longitudinal AB de la poutre prend la forme courbe AMB. Cette courbe est appelée déformée ou ligne élastique (ou élastique tout simplement) de la poutre et peut être décrite par une équation de la forme y = f(x). Les ordonnées  y représentant les flèches subies par les sections (leurs centres de gravité plus exactement) de la pièce.

 R

d θ 

θ  θ 

 A

 B

 x

 M   x

dx

 y

Figure 2.1 L'influence de l'effort tranchant sur la courbure de la déformée étant généralement très faible, elle peut être négligée (nous étudierons plus loin l'influence de T ). Nous admettrons donc que la courbure de la ligne élastique en un point donné ne dépend que de la valeur du moment fléchissant en ce point. Dans ce cas, nous utilisons la relation liant la courbure au moment fléchissant obtenue rigoureusement dans le cas de la flexion pure et qui s'écrit :

1  R

=

 M  z   EI  z 

(2.1) D'autre part, on apprend dans les cours de Géométrie Différentielle que la courbure en un point M , d'une courbe plane donnée par l'équation explicite  y =  f(x), vaut :

d2y 1

 x

 R  M 

 y"